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模块综合评价
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的)
1．已知平面向量a 与b 的夹角等于π
3，若|a |＝2，|b |＝3，则|2a －
3b |＝( )
A.57
B.61 C ．57
D ．61
解析：由题意可得a·b ＝|a |·|b |cos
π
3
＝3，所以|2a －3b |＝（2a －3b ）2＝4|a |2＋9|b |2－12a·b ＝16＋81－36＝61. 答案：B
2．已知角α的终边经过点P (4，－3)，则2sin α＋cos α的值等于( )
A ．－35
B ．45
C ．25
D ．－25
解析：因为α的终边过点P (4，－3)， 所以x ＝4，y ＝－3，r ＝|OP |＝5， 所以sin α＝y r ＝－3
5，cos α＝45
，
所以2sin α＋cos α＝2×? ????－35＋45
＝－2
5.
答案：D
3．下列各向量中，与a ＝(3，2)垂直的是( ) A ．(3，－2) B ．(2，3) C ．(－4，6)
D ．(－3，2)
解析：因为(3，2)·(－4，6)＝3×(－4)＋2×6＝0. 答案：C
4．为了得到函数y ＝sin ? ??
??
2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的
图象上所有的点( )
A ．向左平行移动π
3个单位长度
B ．向右平行移动π
3个单位长度
C ．向左平行移动π
6个单位长度
D ．向右平行移动π
6
个单位长度
解析：因为y ＝sin ?
????2x －π3＝sin 2? ????x －π6， 所以将函数y ＝sin 2x 的图象向右平行移动π
6
个单位长度，可得y
＝sin ?
??
??
2x －π3的图象．
答案：D
5．已知向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，c ⊥a ，则a 与b 的夹角等于( )
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．90°
解析：设a ，b 的夹角为θ，由c ⊥a ，c ＝a ＋b ?(a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b
＝0?a ·b ＝－1?cos θ＝a ·b |a ||b |＝－1
2且0°≤θ≤180°?θ?120°.
故选C.
答案：C
6．(2015·广东卷)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )
A ．y ＝x ＋sin 2x
B ．y ＝x 2－cos x
C ．y ＝2x
＋1
2
x
D ．y ＝x 2＋sin x
解析：A 项，定义域为R ，f (－x )＝－x －sin 2x ＝－f (x )，为奇函数，故不符合题意；B 项，定义域为R ，f (－x )＝x 2－cos x ＝f (x )，为偶函数，故不符合题意；C 项，定义域为R ，f (－x )＝2－x
＋12
－x ＝2x
＋12x
＝f (x )，为偶函数，故不符合题意；D 项，定义域为R ，f (－x )＝x 2－sin x ，－f (x )＝－x 2－sin x ，因为f (－x )≠－f (x )，且f (－x )≠f (x )，故为非奇非偶函数．
答案：D
7．如果点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，那么角θ所在的象限是( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
解析：因为点P 位于第三象限，
所以?????sin θcos θ<0，2cos θ<0，所以?
????cos θ<0，
sin θ >0，
所以θ在第二象限． 答案：B
8．若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π
12个单位长度，则平移
后图象的对称轴为( )
A ．x ＝k π2－π
6(k ∈Z)
B ．x ＝k π2＋π
6(k ∈Z)
C ．x ＝k π2－π
12
(k ∈Z)
D ．x ＝k π2＋π
12
(k ∈Z)
解析：将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移
π
12
个单位长度，得到函数y ＝2sin 2?
????x ＋π12＝2sin ? ????2x ＋π6的图象．由2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝
k π2＋π6(k ∈Z)，即平移后图象的对称轴为x ＝k π2＋π
6
(k ∈Z)． 答案：B
9．(2015·课标全国Ⅰ卷)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )
A.? ????k π－14，k π＋34，k ∈Z
B.? ????2k π－14，2k π＋34，k ∈Z
C.? ????k －14，k ＋34，k ∈Z
D.?
??
??
2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析：由图象知，周期T ＝2?
??
??
54－14＝2，
所以2π
ω
＝2，所以ω＝π.
由π×1
4
＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，
所以f (x )＝cos ?
????πx ＋π4. 由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，得2k －14 4 ，k ∈Z ， 所以f (x )的单调递减区间为? ?? ?? 2k －14，2k ＋34，k ∈Z. 答案：D 10．将函数y ＝sin ? ????2x －π3图象上的点P ? ?? ?? π4，t 向左平移s (s ＞0)个 单位长度得到点P ′.若P ′位于函数y ＝sin 2x 的图象上，则( ) A ．t ＝12， s 的最小值为π6 B ．t ＝32， s 的最小值为π 6 C ．t ＝12， s 的最小值为π3 D ．t ＝32， s 的最小值为π 3 解析：因为点P ? ????π4，t 在函数y ＝sin ? ???? 2x －π3的图象上，所以t ＝sin ? ????2×π4－π3＝sin π6＝1 2.所以P ? ????π4，12.将点P 向左平移s (s ＞0)个单位 长度得P ′? ???? π4－s ，12. 因为P ′在函数y ＝sin 2x 的图象上，所以sin 2? ????π4－s ＝12 ，即cos 2s ＝12，所以2s ＝2k π＋π3或2s ＝2k π＋53π，即s ＝k π＋π6或s ＝k π＋5π 6(k ∈Z)，所以s 的最小值为π6 . 答案：A 11．函数y ＝3sin ? ????π3－2x 的单调递增区间是( ) A.?????? －π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z) B.??????π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z) C.???? ?? 5π12＋k π，11π12＋k π(k ∈Z) D.? ??? ?? －π12＋k π，5π12＋k π(k ∈Z) 解析：由题意可得y ＝－3sin ? ?? ??2x －π3，由π2＋2k π≤2x －π3≤3π 2＋ 2k π，k ∈Z ，得 5π12＋k π≤x ≤11π 12 ＋k π，k ∈Z ，所以原函数的单调递增区间是???? ?? 5π12＋k π，11π12＋k π(k ∈Z)． 答案：C 12．化简cos 2? ????x 2－7π8－cos 2? ?? ??x 2＋7π8＝( ) A ．－2 2sin x B.2 2sin x C ．－ 2 2 cos x D.2 2 cos x 解析：cos 2? ????x 2－7π8－cos 2? ?? ??x 2＋7π8＝ ?????? cos ? ????x 2－7π8＋cos ? ????x 2＋7π8. ??????cos ? ????x 2－7π8－cos ? ????x 2＋7π8＝ ? ????2cos x 2cos 7π8·? ?? ??2sin x 2sin 7π8＝ ? ????2sin 7π8cos 7π8·? ????2sin x 2cos x 2＝ sin 7π 4·sin x ＝sin ? ?? ??2π－π4·sin x ＝ －sin π4·sin x ＝－2 2sin x . 答案：A 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．设sin 2α＝－sin α，α∈? ?? ?? π2，π，则tan 2α的值是________． 解析：因为sin 2α＝－sin α，所以2sin αcos α＝－sin α. 因为α∈? ?? ?? π2，π，sin α≠0， 所以cos α＝－1 2 . 又因为α∈? ?? ??π2，π，所以α＝23π， 所以tan 2α＝tan 4 3π＝tan ? ?? ??π＋π3＝tan π3＝ 3. 答案：3 14．(2014·陕西卷)设0<θ<π 2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ， 1)，若a ∥b ，则tan θ＝________． 解析：因为a ∥b ，所以sin 2θ×1－cos 2θ＝0， 所以2sin θcos θ－cos 2 θ＝0，因为0<θ<π 2 ，所以cos θ >0，所以2sin θ＝cos θ，所以tan θ＝1 2 . 答案：1 2 15．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC → 的值为________． 解析：如图，由条件可知BC →＝AC →－AB → ， AF →＝AD →＋DF →＝12AB →＋32DE →＝12AB →＋34AC →， 所以BC →·AF → ＝(AC →－AB →)·? ????? 12AB →＋34AC → ＝34AC →2－14AB →·AC →－12 AB → 2. 因为△ABC 是边长为1的等边三角形， 所以|AC →|＝|AB → |＝1，∠BAC ＝60°， 所以BC →·AF →＝34－18－12＝18. 答案：1 8 16．已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R.若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________． 解析：f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ? ?? ?? ωx ＋π4， 因为f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x ＝ω对称， 所以f (ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，所以ω2 ＝π 4 ＋2k π，k ∈Z. 又ω－(－ω)≤ 2πω 2 ，即ω2≤π2，所以ω2＝π4，所以ω＝π 2. 答案： π2 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为θ. (1)若a ∥b ，求a·b ； (2)若a －b 与a 垂直，求θ. 解：(1)因为a ∥b ，所以θ＝0°或180°， 所以a·b ＝|a ||b |cos θ＝±2. (2)因为a －b 与a 垂直， 所以(a －b )·a ＝0，即|a |2－a·b ＝1－2cos θ＝0， 所以cos θ＝22 . 又0°≤θ ≤180°，所以θ＝45°. 18．(本小题满分12分)已知角α的终边过点P ? ?? ?? 45，－35. (1)求sin α的值； (2)求式子sin ? ?? ??π2－αsin （α＋π）·tan （α－π） cos （3π－α） 的值． 解：(1)因为|OP |＝ ? ????452＋? ?? ??－352 ＝1， 所以点P 在单位圆上， 由正弦函数定义得sin α＝－3 5. (2)原式＝ cos α－sin α·tan α－cos α＝sin αsin α·cos α＝1 cos α ， 由(1)得sin α＝－3 5，P 在单位圆上， 所以由已知条件得cos α＝4 5. 所以原式＝5 4 . 19．(本小题满分12分)如图所示，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角 β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点． (1)若A ，B 两点的纵坐标分别为45，12 13，求cos( β－α)的值； (2)已知点C 是单位圆上的一点，且OC →＝OA →＋OB →，求OA →和OB → 的夹角θ. 解：(1)设A ? ????x 1，45，B ? ????x 2，1213，则x 2 1＋? ????452＝1，又x 1>0，所以 x 1＝3 5，所以A ? ?? ??35，45. x 22 ＋? ?? ?? 12132＝1，又x 2<0，所以x 2 ＝－5 13， 所以B ? ?? ?? －513，1213. 所以sin α＝45，cos α＝35，sin β＝1213，cos β＝－513， 所以cos( β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α＝ ? ????－513×35＋1213×45＝33 65 . (2)根据题意知|OA →|＝1，|OB →|＝1，|OC →|＝1，又OC →＝OA →＋OB → ， 所以四边形CAOB 是平行四边形． 又|OA →|＝|OB → |，所以?CAOB 是菱形， 又|OA →|＝|OB →|＝|OC → |，所以△AOC 是等边三角形， 所以∠AOC ＝60°，所以∠AOB ＝120°， 即OA →与OB → 的夹角θ为120°. 20．(本小题满分12分)设f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2. (1)求f (x )的单调递增区间； (2)把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移π 3 个单位，得到函数y ＝g (x )的图象， 求g ? ?? ?? π6的值． 解：(1)f (x )＝23sin (π－x )sin x －(sin x －cos x )2 ＝23sin2x －(1－2sin x cos x ) ＝3(1－cos 2x )＋sin 2x －1 ＝sin 2x －3cos 2x ＋3－1 ＝2sin ? ?? ??2x －π3＋3－1， 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π 2(k ∈Z)， 得k π－π12≤x ≤k π＋5π 12 (k ∈Z)， 所以 f (x )的单调递增区间是? ??? ? ?k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z)? ??? ?? 或? ?? ??k π－π12＞k π＋5π12（k ∈Z ）. (2)由(1)知f (x )＝2sin ? ?? ?? 2x －π3＋3－1， 把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不 变)，得到y ＝2sin ? ?? ?? x －π3＋3－1的图象， 再把得到的图象向左平移π 3个单位， 得到y ＝2sin x ＋3－1的图象， 即g (x )＝2sin x ＋3－1， 所以g ? ?? ??π6＝2sin π 6＋3－1＝ 3. 21．(本小题满分12分)(2015·广东卷)在平面直角坐标系xOy 中， 已知向量m ＝? ???? 22 ，－ 22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈? ????0，π2. (1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π 3，求x 的值． 解：(1)若m ⊥n ，则m·n ＝0. 由向量数量积的坐标公式得22sin x －2 2cos x ＝0， 所以tan x ＝1. (2)因为m 与n 的夹角为π3，所以m·n ＝|m |·|n |cos π 3， 即 22sin x －22cos x ＝1 2 ， 所以sin ? ????x －π4＝12 . 又因为x ∈? ????0，π2，所以x －π4∈? ?? ?? －π4，π4， 所以x －π4＝π6，即x ＝5π 12 . 22．(2015·重庆卷)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝1 2sin 2x －3 cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期和最小值； (2)将函数f (x )的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐 标不变，得到函数g (x )的图象．当x ∈???? ??π2，π时，求g (x )的值域． 解：(1)f (x )＝12sin 2x －3cos 2 x ＝12sin 2x －32(1＋cos 2x )＝12 sin 2x －32cos 2x －32＝sin ? ????2x －π3－3 2， 因此f (x )的最小正周期为π，最小值为－ 2＋3 2 . (2)由条件可知g (x )＝sin ? ????x －π3－3 2. 当x ∈??????π2，π时，有x －π3∈?????? π6，2π3， 从而y ＝sin ? ????x －π3的值域为???? ?? 12，1， 那么y ＝sin ? ????x －π3－3 2的值域为??????1－32 ，2－32. 故g (x )在区间?????? π2，π上的值域是??????1－32 ，2－32.
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