余数的性质
知识结构
一、 三大余数定理：
（1） 余数的加法定理
a 与
b 的和除以
c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当
余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为2
（2） 余数的减法定理
a 与
b 的差除以
c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。
例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝4
（3） 余数的乘法定理
a 与
b 的乘积除以
c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数的积，或者这个积除以c 所得的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 乘方：如果a 与b 除以m 的余数相同，那么n a 与n b 除以m 的余数也相同．
例题精讲
【例 1】 在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中几个数的和被9除余7，则将这几个数归为一组．这
样的数组共有______组．
【考点】余数的加减法定理 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】2004年，少年数学智力冬令营
【解析】 1995，1998，2000，2001，2003除以9的余数依次是6，0，2，3，5．因为252507+=++=，
25360253679+++=++++=+，所以这样的数组共有下面4个：()2000,2003，()1998,2000,2003 ，()2000,2003,2001,1995 ，()1998,2000,2003,2001,1995．
【答案】4
【巩固】 号码分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们号码的
和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘?
【考点】余数的加减法定理【难度】2星【题型】解答
【解析】本题可以体现出加法余数定理的巧用。计算101，126，173，193除以3的余数分别为2，0，2，1。那么任意两名运动员的比赛盘数只需要用2，0，2，1两两相加除以3即可。显然126运动员打5盘是最多的。
【答案】5
【例2】有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是______．
【考点】余数的加减法定理【难度】3星【题型】填空
【关键词】2005年，小学数学奥林匹克
【解析】(70110160)50290
++-=，50316 (2)
÷=，除数应当是290的大于17小于70的约数，只可能是29和58，11058 1 (52)
÷=，
÷=，11029 3 (23)
÷=，5250
>，所以除数不是58．7029 2 (12)
++=，所以除数是29
÷=，12231550
16029 5 (15)
【答案】29
【巩固】用自然数n去除63，91，129得到的三个余数之和为25，那么n=________．
【考点】余数的加减法定理【难度】3星【题型】填空
【关键词】2002年，小学数学奥林匹克
【解析】n能整除639112925258
÷=，所以n是258大于8的约数．显然，n不能++-=．因为2538 (1)
大于63．符合条件的只有43.
【答案】43
【例3】六名小学生分别带着14元、17元、18元、21元、26元、37元钱，一起到新华书店购买《成语大词典》．一看定价才发现有5个人带的钱不够，但是其中甲、乙、丙3人的钱凑在一起恰好可买2本，丁、戊2人的钱凑在一起恰好可买1本．这种《成语大词典》的定价是________元．【考点】余数的加减法定理【难度】3星【题型】填空
【关键词】2002年，小数报
【解析】六名小学生共带钱133元．133除以3余1，因为甲、乙、丙、丁、戊的钱恰好能买3本，所以他们五人带的钱数是3的倍数，另一人带的钱除以3余1．易知，这个钱数只能是37元，所以每本《成语大词典》的定价是(1417182126)332
++++÷=(元) ．
【答案】32
【巩固】商店里有六箱货物，分别重15，16，18，19，20，31千克，两个顾客买走了其中的五箱．已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍，那么商店剩下的一箱货物重量是________千克．
【考点】余数的加减法定理【难度】3星【题型】填空
【关键词】2000年，小学数学奥林匹克
【解析】两个顾客买的货物重量是3的倍数．(151618192031)(12)119339 (2)
+++++÷+=÷=，剩下的一箱货物重量除以3应当余2，只能是20千克．
【答案】20
【例4】求478296351
??除以17的余数．
【考点】余数的乘法定理【难度】3星【题型】解答
【关键词】华杯赛
【解析】先求出乘积再求余数，计算量较大．可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数之积除以17的余数．478,296,351除以17的余数分别为2，7和11，(2711)179 (1)
??÷=．
【答案】1
【巩固】求4373091993
??被7除的余数．
【考点】余数的乘法定理【难度】3星【题型】解答
【解析】方法一：先将4373091993
??=．再求得此数被7除的余
??算出以后，即4373091993269120769
数为1．
方法二：因为473除以7的余数为3，309除以7的余数为1，由“同余的可乘性”知：437309
（）除
?以7的余数为31
（）除以7的
??
?
（）．又因为1993除以7的余数为5，所以4373091993
余数等于315
??被7除的余数为1．
??
（）即15除以7的余数，算出4373091993
方法三：利用余数判别法⑹，算出4373091993269120769
??=，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差即2697691201722336
（）（）（），36除以7的余数为1，即
+++++-++=+-=
4373091993
??被7除的余数为1．
【答案】1
【例 5】 求12644319÷的余数
【考点】余数的乘法定理 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 本题为余数乘法定理的拓展模式，即数字的乘方与一个数相除的余数情况。由6443÷19余2，求
原式的余数只要求12219÷的余数即可。但是如果用2÷19发现会进入一个死循环，因为这时被除
数比除数小了，所以可以进行适当的调整，12662226464=?=?，
64÷19余数为7，那么求12219÷的余数就转化为求646419?÷的余数，即49÷19的余数。
49÷19余数为11，所以原式12644319÷的余数为11.
【答案】11
【巩固】 求89143除以7的余数．
【考点】余数的乘法定理 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 法一：由于()1433mod 7≡ (143被7除余3)，所以()89891433mod 7≡ (89143被7除所得余数与89
3被7除所得余数相等),而63729=，()7291mod 7≡（729除以7的余数为1），
所以()8966655143333335mod7≡??
??≡≡个,故89143除以7的余数为5.
法二：计算893被7除所得的余数可以用找规律的方法，规律如下表：
于是余数以6为周期变化．所以335mod 7≡≡．
【答案】5
【例 6】 20102009200920092009??
?个的个位数字是________．
【考点】余数的乘法定理 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】2010年，迎春杯，五年级,初赛，第4题
【解析】 易知２００９的个位数字是９，22009的个位数字是１，32009的个位数字是９，42009的个位数
字是１，两个为一周期，则20102009的个位数字是１.
【答案】1
【巩固】 2007×2007×…×2007（2008个2007）的个位数字是 。
【考点】余数的乘法定理 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】2007年，第五届，走美杯，初赛，六年级，第1题
【解析】 可以看出2007的乘方其尾数是7、9、3、1四个数字循环的，2008个2007相乘，其尾数为1.
【答案】1
【例 7】 20032与22003的和除以7的余数是________．
【考点】余数性质的综合运用 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】2003年，南京市，少年数学智力冬令营
【解析】 找规律．用7除2，22，32，42，52，62，…的余数分别是2，4，1，2，4，1，2，4，1，…,2
的个数是3的倍数时，用7除的余数为1；2的个数是3的倍数多1时，用7除的余数为2；2的
个数是3的倍数多2时，用7除的余数为4．因为20033667222?+=，所以20032除以7余4．又两个
数的积除以7的余数，与两个数分别除以7所得余数的积相同．而2003除以7余1，所以2
2003除以7余1．故20032与22003的和除以7的余数是415+=．
【答案】5
【巩固】
2008222008+除以7的余数是多少？
【考点】余数性质的综合运用 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 328=除以7的余数为1，200836691=?+，所以200836691366922(2)2?==?＋，其除以7的余数
为：669122?=；2008除以7的余数为6，则22008除以7的余数等于26除以7的余数，为1；
所以2008222008+除以7的余数为：213+=．
【答案】3
【例 8】 有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.
【考点】两个数的同余问题 【难度】1星 【题型】解答
【解析】 (法1) 39336-=，51-3=48，1473144-=，(36,144)12=，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数
为3要小于除数，这个数是4,6,12；
(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任
意两数差的公约数．513912
=，所以这个数是4,6,12．
-=，14739108
-=，(12,108)12
【答案】4,6,12
【巩固】某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______. 【考点】两个数的同余问题【难度】2星【题型】填空
【关键词】2003年，人大附中，分班考试
【解析】“加上3后被3除余1”其实原数还是余1，同理这个两位数除以4、5都余1，这样，这个数就是
[3、4、5]+1=60+1=61。
【答案】61
【例9】有一个大于1的整数，除45,59,101所得的余数相同，求这个数.
【考点】三个数的同余问题【难度】3星【题型】解答
【解析】这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数相同，根据同余定理，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．1014556
=，14的约数有1,2,7,14，所以这个数可
-=，(56,14)14
-=，594514
能为2,7,14。
【答案】2,7,14
【巩固】有一个整数，除300、262、205得到相同的余数。问这个整数是几?
【考点】三个数的同余问题【难度】3星【题型】填空
【关键词】第一届，华杯赛，初赛，第9题
【解析】这个数除300、262，得到相同的余数，所以这个数整除300－262＝38，同理，这个数整除262－205＝57，因此，它是38、57的公约数19。
【答案】19
【例10】一个大于1的数去除290，235，200时，得余数分别为a，2
a+，5
a+，则这个自然数是多少？【考点】三个数的同余问题【难度】4星【题型】解答
【解析】根据题意可知，这个自然数去除290，233，195时，得到相同的余数（都为a）．
既然余数相同，我们可以利用余数定理，可知其中任意两数的差除以这个数肯定余0．那么这个自然数是29023357
-=的约数，因此就是57和38的公约数,因为57 -=的约数，又是23319538
和38的公约数只有19和1，而这个数大于1，所以这个自然数是19．
【答案】19
【巩固】有3个吉利数888，518，666，用它们分别除以同一个自然数，所得的余数依次为a,a+7,a+10,则这个自然数是_____.
【考点】三个数的同余问题【难度】4星【题型】填空
【关键词】2006年，清华附中，入学测试
【解析】处理成余数相同的，则888、518-7、666-10的余数相同，这样我们可以转化成同余问题。这样我们用总结的知识点可知：任意两数的差肯定余0。那么这个自然数是888-656=232的约数，也是656-511=145的约数，因此就是232、145的公约数,所以这个自然数是29。
【答案】29
【例11】一个大于1的数去除290，235，200时，得余数分别为a，2
a+，则这个自然数是多少？
a+，5
有一个自然数，除以2余1，除以3余2，除以4余3，除以5余4，除以6余5，则这个数最小是。
【考点】余数性质综合【难度】2星【题型】填空
【关键词】2007年，第12届，华杯赛，五年级，决赛，第7题，10分
【解析】这个数加1能同时被2，3，4，5，6整除，而 [2，3，4，5，6]=60
所以这个数最小是 60－1=59。
【答案】59
【巩固】n除以2余1，除以3余2，除以4余3，除以5余4，，除以16余15。n最小为。【考点】余数性质综合【难度】2星【题型】填空
【关键词】2008年，第6届，走美杯，5年级，决赛，第1题，8分
【解析】n加上1后变成116
?????=，n最小为720719。
n+最小为169571113720720
~的公倍数，所以1
【答案】720719
课堂检测
【随练1】六张卡片上分别标上1193、1258、1842、1866、1912、2494六个数，甲取3张，乙取2张，丙
取1张，结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另—个人的2倍，则丙手中卡片上
的数是________．(第五届小数报数学竞赛初赛)
【考点】余数的加减法定理【难度】3星【题型】填空
【关键词】1997年，小学数学奥林匹克
【解析】根据“甲、乙二人各自手中卡片上的数之和一个人是另一个人的2倍”可知，甲、乙手中五张卡片上的数之和应是3的倍数．计算这六个数的总和是11931258184218661912249410565
+++++=，10565除以3余2；因为甲、乙二人手中五张卡片上的数之和是3的倍数，那么丙手中的卡片上
的数除以3余2．六个数中只有1193除以3余2，故丙手中卡片上的数为1193．
【答案】1193
【随练2】求4782569352
??除以9的余数．
【考点】余数的乘法定理【难度】3星【题型】解答
【分析】47819291
++==+，4782569351
??除以9的余
++==+，3521091
++==?+，2561394
数等于1414
??=．
【答案】4
【随练3】求406
3的个位数字．
【考点】余数的乘法定理【难度】3星【题型】解答
【解析】要想把406
3除以10的余数．看到题3具体数字算出来显然是不可能的，由于题目可以转化为求406
目里面有个很大的乘方，我们想到利用“同余的乘方性”．可先确定n，使3n除以10的余数为1．通过尝试可知，最小的n为4．因为406404241012
1除
（）除以10的余数等于101
3
（），4101
33333
=?=?
以10的余数即1，23除以10的余数为9，所以，406
3写成十进
3除以10的余数为199
?=，即406制数时的个位数为9．
【答案】9
家庭作业
【作业1】三个数：23，51，72，各除以大于1的同一个自然数，得到同一个余数，则这个除数是。
【考点】三个数的同余问题 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】2009年，希望杯，第七届，五年级，初赛，第4题，6分
【解析】 512328-=，725121-=，
（28，21）=7，所以这个除数是7。 【答案】7
【作业2】 一个自然数除429、791、500所得的余数分别是5a +、2a 、a ，求这个自然数和a 的值.
【考点】三个数的同余问题 【难度】4星 【题型】解答
【分析】 将这些数转化成被该自然数除后余数为2a 的数：()42952848-?=，791、50021000?=，这样
这些数被这个自然数除所得的余数都是2a ，故同余.
将这三个数相减，得到84879157-=、1000848152-=，
所求的自然数一定是57和152的公约数，而()57,15219=，所以这个自然数是19的约数，显然1是不符合条件的，那么只能是19.经过验证，当这个自然数是19时，除429、791、500所得的余数分别为11、12、6，6a =时成立,所以这个自然数是19，6a =.
【答案】6
【作业3】 一个小于200的数，它除以11余8，除以13余10，这个数是几？
【考点】余数性质综合 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 根据总结，我们发现这两个除数与余数的差都等于118=1310=3--，观察发现这个数加上3后就
能同时被11和13整除,所以[11、13]=143，所以这个数是143-3=140。
【答案】140
【作业4】 小朋友们做游戏，若3人分成一组，则最后余下2人；若4人分成一组，则最后余下3人；若5
人分成一组，则最后余下4人。那么一起做游戏的小朋友至少有 人。
【考点】余数性质综合 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】2004年，希望杯，第二届，四年级，复赛，第15题，6分
【解析】 这个数除以3余2，除以4余3，除以5余4，那么加上一个人这些小朋友的数量能整除3、4、5，
3×4×5=60，那么小朋友至少59人
【答案】59
【作业5】某个自然数除以2余1，除以3余2，除以4余1，除以5也余1，则这个数最小是。
【考点】余数性质综合【难度】3星【题型】填空
【关键词】2007年，希望杯，第五届，五年级，初赛，第5题，6分
【解析】除以2余1，除以4余1，除以5余1的最小的数减去1能被2、4、5整除，所以，所以这个数可以表示为20n+1,n是自然数，所以20n+1中除以3余2的最小数是41.
【答案】41
5、余数问题 知识讲解 一、消去余数 1、出示例1：把蛋糕和面包平均分给敬老院老人。 蛋糕230块面包345个 蛋糕分到最后余2块，面包分到最后还多3个，这些蛋糕和面包最多可以分给多少位老人？ 这是一道求除数的问题，设除数a。 已知：230÷a=（） (2) 345÷a=（） (3) 如果消去余数，就转化为整除问题。 230－2=228，345－3=342。228，342分别能被a整除，a最大是几呢？ （228，342）==114，最多可以分给114位老人。 如果这个敬老院的老人在50～60人之间，你能求出正确的人数和每位老人分到的蛋糕块数、面包个数吗？ 2、写出除数和余数相同，被除数不同的出发算式。 （）÷5=4...2 （）÷8=（） (5) （）÷5=7...2 （）÷8=（） (5) （）÷5=12...2 （）÷8=（） (5) （）÷12=（）...7 （）÷23=（） (12) （）÷12=（）...7 （）÷23=（） (12) （1）说说你的发现。 22÷5=4…2 22－2=5×4 37÷5=7…2 37－2=5×7 62÷5=12…2 62－2=5×12
219÷23=9…12 357－12=23×9 357÷23=15…12 357－12=23×15 被除数和余数的差是除数的倍数。 37－22=5×3 357－219=138 62－22=5×8 138÷23=6 62－37=5×5 如果两个等式除数和余数相同，被除数之间的差是除数的倍数。 （2）你能再举一些这样的例子吗？ A：被除数分别是43和75，余数都是3，除数是多少？ B：被除数分别是75、51和111，余数相同，除数是多少？ 问题A：因为被除数与余数的差是除数的倍数，因此除数必定是（43－3）和（75－3）的公因数。（40，72）=8，其他的因数还有1，2，4。1，2比余数3小，不可能是除数，因此除数是4或8。 问题B：因为被除数之间的差是除数的倍数，因此除数必定是（75－51），（111－51）的公因数。（24，36，60）=12，其他公因数还有2，3，4，6。 75÷2=37…1，51÷2=25…1，111÷2=55…1。如果除数都是2，那么余数是1。 75÷3=25，51÷3=17，111÷3=37。如果都是3，那么余数是0。 75÷4=18…3，51÷4=12…3，111÷4=27…3， 75÷6=12…3，51÷6=8…3，111÷6=18…3。 如果除数都是4或6，那么余数是3。 3、巩固练习： （1）、用一个数去除47，61，75，结果都余5。这个数是几？ （2）、用一个数去除193余4，除1087则余7。这个数是几？ （3）、69，90，125被一个数n除时，余数相同，试求n的最大值。
余数综合之余数问题解题技巧 4. 同余 （1）若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数， 那么称a、b关于m同余， 用式子表示为：a≡b (modm) 余 数的性质 1. 余数小于除数（2）若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除 2. 带余除法：被除数＝除数×商+余数用式子表示为：如果有a≡b(modm)， 那么一定有a－b＝mk，k是整数，即m|a－b 3. 余数的运算： （1）和的余数等于余数的和 5. 中国剩余定理 逐级满足法 【例1】（★）我爱数学少年数学夏令营试题【例2】(★★) （全国小学数学奥林匹克试题） 有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人。如果 把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够。如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够。问：第二组有多少人? 有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？ 1
【例3】（★★★）【例4】(★★★)全国小学数学奥林匹克试题 一个三位数除以17和19都有余数，并且除以17后所得的商与余数的和等于它除以19后所得到的商与余数的和。那么这样的三位数中最大数是多少，最小数是多少？六张卡片上分别标上1193，1258，1842，1866，1912，2494六 个数，甲取3张，乙取2张，丙取1张，结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另—个人的2倍，则丙手中卡片上的数是________。 【例5】(★★)【例6】(★★) 有一列数排成一行，其中第一个数是3，第二个数是10，从第三 个数开始，每个数恰好是前两个数的和，那么第1997个数被3 除所得的余数是多少？ 今天是星期四，101000天之后将是星期几？ 2
一、 带余除法的定义及性质 1. 定义：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b =q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r , 0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： (1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商 (2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商 一个完美的带余除法讲解模型:如图 这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。 这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。 2. 余数的性质 ⑴ 被除数=除数?商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数； ⑵ 余数小于除数． 二、 余数定理： 1.余数的加法定理 a 与 b 的和除以 c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为 2 2.余数的加法定理 a 与 b 的差除以 c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。 知识框架 余数性质及同余定理
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝ 2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。 例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝4 3.余数的乘法定理 a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 乘方：如果a与b除以m的余数相同，那么n a与n b除以m的余数也相同． 一、同余定理 1、定义 整数a和b，除以一个大于1的自然数m所得余数相同，就称a和b对于模m同余或称a和b在模m下同余，即a≡b（modm） 2、同余的重要性质及举例。 〈1〉a≡a（modm）（a为任意自然）； 〈2〉若a≡b（modm），则b≡a（modm） 〈3〉若a≡b（modm），b≡c（modm）则a≡c（modm）； 〈4〉若a≡b（modm），则ac≡bc（modm） 〈5〉若a≡b（modm），c≡d（modm），则ac=bd（modm）； 〈6〉若a≡b（modm）则an≡bm（modm） 其中性质〈3〉常被称为"同余的可传递性"，性质〈4〉、〈5〉常被称为"同余的可乘性，"性质〈6〉常被称为"同余的可开方性" 注意：一般地同余没有"可除性"，但是：如果：ac=bc（modm）且（c，m）=1则a≡b（modm）3、整数分类： 〈1〉用2来将整数分类，分为两类： 1，3，5，7，9，……（奇数）； 0，2，4，6，8，……（偶数） 〈2〉用3来将整数分类，分为三类： 0，3，6，9，12，……（被3除余数是0） 1，4，7，10，13，……（被3除余数是1） 2，5，8，11，14，……（被3除余数是2）
课时教案 主备教师：执教教师：（） 教学内容：小数的性质和意义（P58－59 例1、例2、例3） 教学目标： 1.通过观察和操作理解小数的性质，应用小数性质把小数简化，并把一个数改写成指定位数的小数。 2.通过合作讨论与小组交流，探讨小数的性质，培养数学交流能力。 3.通过交流互动与独立思考，发现数学规律，体会数学发现的乐趣，激发学生的求知欲，学会用联系变化的观点认识事物。 教学重点：通过观察、操作，理解小数的性质。 教学难点：小数性质归纳的过程。 教材分析： 小数的性质是小数四则计算的基础。根据小数的性质，可以化简小数，也可以不改变小数的大小，在小数末尾添上一个或几个“0”，或者把整数改写成小数的形式。教学时，要通过比较、辨析、抽象、概括等一系列的思维活动，帮助学生理解和掌握小数的性质。 学情分析： 概括小数的性质时，可引导学生观察0.1米＝0.10米＝0.100米，看三个小数有什么不同？从左往右看，小数的末尾有什么变化？小数的大小有没有变化？从右往左看，小数的末尾有什么变化？小数的大小有没有变化？然后引导学生把上面的结论归纳成一句话：小数末尾添上“0”或去掉“0”小数的大小不变。 教学具准备：米尺、不同颜色的纸条、剪刀、多媒体。
总课时：1课时 教学课时：1课时 教学预设： 一、激趣导入 夏天的时候同学们都爱吃冷饮，老师了解到校门口左边的商店可爱多标价是2.5元，右边一家则是2.50元，那你们去买的时候会选择哪一家呢？为什么？ 小结：为什么2.5元末尾添个0大小不变呢？究竟可以添几个零呢？这节课我们就来研究这一方面的知识。 二、新知探究 老师就给大家讲一个故事：唐僧师徒取经回来终于到家了，孙悟空说离家还有0.1米、而沙和尚说还有0.10米、而猪八戒却说还有0.100米。猪八戒很不高兴，说：“还有这么远才到家呢。”孙悟空最高兴，因为他认为回家的路最近了，只有唐僧很平静，他对徒弟们说：“你们的路其实一样长。”他们的话谁对呢？大家猜猜看。 到底谁对呢？今天我们就来解决这个问题。 1.初步了解小数的性质。 （1）边引导学生回答边演示： 孙悟空说离家还有0.1米，0.1米是1米的几分之几？也就是几分米？你能在直尺上找出来吗？（1分米＝0.1米） 沙和尚说的路呢？长0.10米，是1米的几分之几？也就是10厘米。 （10厘米＝0.10米） 猪八戒的呢？长0.100米，是1米的几分之几？也就是100毫米。 （100毫米＝0.100米） （2）观察比较 1分米、10 厘米和100毫米，它们的长度怎样？（相等） 你能得出什么结论？为什么？ 0.1米=0.10米=0.100米
第二十一讲余数的性质与计算 37』桂除的 余数足多少？我知沽玳，余数昂7! ^ 1 这一讲我们来学习余数问题.在整数的除法中，只有能整除和不能整除两种情况. 当不能整除时，就会产生余数. 一般地，如果a是整数，b是整数（b丰0）,若有a+ b=q r （也就是a b q r ）, 0
当r 0 时，我们称a 能被b 整除； 当r 0 时，我们称a 不能被b 整除，r 为a 除以b 的余数，q 为a 除以b 的商余数问题和整除问题是有密切关系的，因为只要我们去掉余数，就能和整除问题联系在一起了．余数有如下一些重要性质．基本性质：被除数=除数X商（当余数大于0时也可称为不完全商）+余数除数=（被除数-余数）* 商；商=（被除数-余数）十除数. 余数小于除数． 理解这条性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了． 例题1．用一个自然数去除另一个整数，商40，余数是16，被除数、除数的和是877，求被 除数和除数各是多少？ 「分析」如果设除数为a,被除数可以表示为什么？ 练习1． 甲、乙两数的和是2014,甲数除以乙数商99余14,求甲、乙两数． 我们之前学过一些特殊数（如2、3、4、5、7、8、9、11、13、25、99、125）的整除 特性．这些数的整除特性稍加改造,即可成为求解余数的一类简便算法： 1）一个数除以2或5的余数,等于这个数的个位数字除以2或5的余数； 一个数除以4或25的余数,等于这个数的末两位数除以4或25的余数； 一个数除以8或125的余数,等于这个数的末三位数除以8或125 的余数； 2）一个数除以3或9的余数,等于这个数的各位数字和除以3或9的余数； 一个数除以99（包括11、33）的余数,等于将它两位截断再求和之后的余数；此外,求3和9的余数还可应用乱切的方法． （3）一个数除以11 的余数，等于它的奇位数字和减去偶位数字和除以11的余数，如 果奇位数字和比偶位数字和小，则先加上若干个11 再减即可．
《小数的意义和性质》 教学内容： 苏教版五年级数学上册第三单元37页至39页，例4、例5、例6和试一试与练一练。 教材分析： “小数的性质”是在学生学习了小数意义的基础上进行教学的。通过前面的学习，学生已经认识了小数的意义，掌握了小数的读写方法、数位顺序及计数单位。学生掌握了小数的性质，不仅有助于加深对小数意义的理解，还为今后学习小数的四则运算奠定良好的基础。 教学目标： 1、利用迁移规律，让学生从形象思维逐步过渡到抽象思维，通过直观推理、自主探究、合作交流中让学生理解和掌握小数的性质，并能将小数根据需要进行化简和改写。 2、培养学生观察、比较、抽象和归纳概括的能力。 3、使学生感悟到数学知识的内在联系，培养学生初步的数学辩证思想。 教学重点：掌握小数性质的含义； 教学难点：理解小数性质归纳的过程，以及性质中“变”与“不变”的辨证统一关系。 教学过程： 一、复习导入 1、小数的意义。 2、计数单位。指名回答。 3、小数与分数的改写。
105= 1000 504= 10032= 1008= 0.80= 0.4= 0.604= 0.54= 4、长度单位相邻两个之间的进率是多少？（指名回答） 长度单位相邻两个之间的进率是10。（引出新课） 二、新课教学 （一）长度单位 1米=10分米=100厘米=1000毫米 1分米=10厘米=100毫米 （根据小数的意义，将单位改写成米） 101米=10010米=1000 100米 0.1米=0.10米=0.100米 0.1米○0.10米○0.100米 （二）、买一支铅笔用0.3元，买一块橡皮用0.30元。橡皮和铅笔的单价相等吗？为什么？ 1、0.3元是将1元平均分成10分，每一份是1角，3分是3角。 0.30元是将1元平均分成100分，每一份是1分，30分是3角。 0.3元与0.30元都是3角，0.3元=0.30元 2、0.3是3个0.1,3个0.1是30个0.01，所以0.3=0.30 0.3元○0.30元 观察上面两个例子，有什么发现？ 从左往右看，小数的末尾添上一个或几个0，小数的大小不变。 它是否说明，这个小数没有任何变化呢？（小数的大小不变，但计数单位改变，意义变了）
五年级奥数第讲尾数和 余数 Document serial number【KK89K-LLS98YT-SS8CB-SSUT-SST108】
第2讲尾数和余数 一、知识要点 自然数的末位数字称为自然数的尾数；除法中，被除数减去商与除数的差叫作余数。尾数和余数在运算时是有规律可循的，利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。 二、精讲精练 【例题1】（1）9×9×9×……×9（51个9相乘）积的个位数是几？ （2）0.3×0.3×0.3×……0.3（204个0.3相乘）×25×25×25×……×25（1001个25）的个位数字是几？ 练习1： （1）61×61×61×……×61（2001个61相乘）积的尾数是几？ （2）（31×36）×（31×36）×……×（31×36）（共50个）积的尾数是几？ （3）0.7×0.7×0.7×……×0.7（2002个0.7）×0.6×0.6×0.6×……×0.6（2002个0.6）积的尾数是多少？ 【例题2】3×3×3×……3（2006个3相乘）+4×4×4×……4（2007个4相乘）的尾数是几？ 练习2： （1）5×5×5×......5（2000个5相乘）+6×6×6×......6（2001个6相乘）+7×7×7× (7) （2002个7相乘）的尾数是几？ （2）52×52×52×……52（33个52相乘）-32×32×32×……32（29个32相乘）的尾数是几？ 【例题3】444……4（100个4）÷6，当商是整数时，余数是几？ 练习3：当商是整数时，余数各是几？ （1）666……6（50个6）÷4（2）888……8（80个8）÷7 （3）444……4（1000个4）÷74（4）111……1（1000个1）÷5 【例题4】有一列数，前两个数是3与4，从第3个数开始，每一个数都是前面两个数的和。这一列数中第2001个数除以4，余数是多少？ 练习4： （1）有一串数排成一行，其中第一个数是3，第二个数是10.从第三个数七，每个数恰好是前面两个数的和。在这一串数种，第1991个数被3除，所得的余数是几？ （2）一列数1、2、4、7、11、16、22、29、……这一列数的规律是第二个数比第一个数多1；第三个数比第二个数多2；第四个数比第三个数多3，依次类推。这列数左起第1996个数被5除余
小数的性质优秀教学设 计 文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-
篇一：小数的性质优质课教案 9号优质课教案 小数的性质 教学内容四年级下册教材第58、59页的内容及练习十第1、2、3题。教学目的1．引导学生知道、掌握小数的性质，能利用小数的性质进行小数的化简和改写． 2．培养学生的动手操作能力以及观察、比较、抽象和归纳概括的能力． 3．培养学生初步的数学意识和数学思想，使学生感悟到数学知识的内在联系，同时渗透事物在一定情况下可以相互转化的观点． 教学重点 让学生理解并掌握小数的性质． 教学难点 能应用小数的性质解决实际问题． 教学步骤 一、创设情境，导入新课。 创设情境：夏天的时候同学们都爱吃冷饮，老师了解到校门口左边的商店里一种雪糕标价是2.5元，右边一家则是2.50元，那你们去买的时候会选择哪一家呢？为什么？ 为什么2.5元末尾添个0价钱不变呢？究竟可以添几个零呢？这节课我们就来研究这一方面的知识。 二、出示课题，提出目标。 1．知道、掌握小数的性质，能利用小数的性质进行小数的化简和改写． 2．培养动手操作能力以及观察、比较、抽象和归纳概括的能力． 3．培养 初步的数学意识和数学思想，感悟到数学知识的内在联系． 三、自学尝试，探究新知。 1、出示尝试题 (1)1、10、100这三个数相等吗？你能想办法使它们相等吗？ （2）你能把1分米、10厘米、100毫米改用"米"作单位表示吗？ （3）改写成用米作单位表示后，实际长度有没有变化？说明什么？ （4）"0.1米=0.10米=0.100米"这个等式从左往右看，小数末尾有什么变化？小数大小有什么变化？从右往左看又怎样呢？你发现了什么规律？ 2、学生自学课本58页后尝试练习并讨论。（5分钟后全班交流）。 3、根据自学情况引导讲解。 四、拓展练习，验证结论。 为了验证我们的这个结论，我们再来做一个实验。 1出示做一做：比较0.30与0.3的大小 你认为这两个数的大小怎样？（让学生先应用结论猜一猜） 2想一下你用什么办法来比较这两个数的大小呢？（给学生独立思考的时间，可以进行小组讨论合作，想的办法越多越好） 3在两个大小一样的正方形里涂色比较。 （1）左图把1个正方形平均分成几份？阴影部分用分数怎样表示？用小数怎样表示？（2）右图把同样的正方形平均分成几份？阴影部分用分数怎样表示？用小数怎样表示？
小学五年级奥数：数的整除知识点汇总+例题解析 数的整除 数的整除问题，内容丰富，思维技巧性强。它是小学数学中的重要课题，也是小学数学竞赛命题的内容之一。 一、基本概念和知识 1.整除——约数和倍数 例如：15÷3=5，63÷7=9 一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。记作b｜a.否则，称为a不能被b整除，（或b不能整除a），记作ba。 如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a 的约数。 例如：在上面算式中，15是3的倍数，3是15的约数；63是7的倍数，7是63的约数。
2.数的整除性质 性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。 即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。 例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6）， 并且2｜（10—6）。 性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。 性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c 的积能整除a。 即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。 例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1, 那么（2×7）｜28。 性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。 即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。 例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。
3.数的整除特征 ①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。 ②能被5整除的数的特征：个位是0或5。 ③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。 ④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。 例如：1864=1800＋64，因为100是4与25的倍数，所以1800是4与25的倍数.又因为4｜64，所以1864能被4整除.但因为2564，所以1864不能被25整除. ⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。 例如：29375＝29000＋375，因为1000是8与125的倍数，所以29000是8与125的倍数.又因为125｜375，所以29375能被125整除.但因为8375，所以829375。
余数问题 例1：被除数、除数、商和余数之和是2143，已知商事33，余数是52，求被除数和除数。 拓展1：有一个自然数，用它去除63、91、129得到3个余数和是25，这个自然数是多少？ 例2：一个自然数除以3余1，除以5余3，加上2就能被7整除，这个自然数最小是多少？ 拓展2：在1~200这200个自然数中，被3除或被7除都余2的数有多少个？ 例3：自然数a除以7余3，自然数b除以7余4，a加b的和除以7余几？ 拓展3：自然数a除以7余3，自然数b除以7余3，已知a 大于b，那么a减b的差除以7，余数是多少？ 例4：有一个整数，除300、262、205得到的余数相同，这个数是多少？ 例5：整数11111----111（2004个1）被6除余数是几？ 1、2100除以一个两位数得到的余数是56，那么这个两位数是（）。 2、在整数除法里，余数比除数小，那么从4到50的各整数除以4，余数是2的整数有（）个。 3、一个数被2除余1，被3除余2，被4除余3，被5除余4，这个数至少是（）。
4、清照小学鼓号队同学在操场上列队，已知人数在90~110人之间，排成3列没有剩余，排成5列不足2人，排成7列不足4人，共用（）人参加列队。 5、一个四位数2a75除以11后所得余数是1，那么a=（）。 6、用一个整数去除312、231、123、得到的3个余数之和是41，这个数是（）。 7、在1~400整数中，被3、5、7除都余2的数有（）个。 8、100个7组成一个一百位数，被13除后余数是（），商的各位数字之和是（）。 9、71427和19的积被7除余（）。 10、小刚在一次计算除法时，把被除数171错写成117，结果商少了3，而余数恰好相同，原题中的除数是（）。11、69、90、125被某个自然数除时，余数相同，这个自然数最大是（）。 12、1991和1769除以某一个自然数n，余数分别是2和1，那么n最小是（）。 13、一个十几岁的男孩，把自己的岁数写在父亲之后，组成一个四位数，从这个四位数中减去他们父子两人岁数的差得4289，男孩（）岁，父亲（）岁。 14甲、乙、丙三数之和为100，甲数除以乙数，或丙数除以甲数，都是上5余1，乙数是（）。
小数的性质 教学目标： 1.复习小数的性质。 2.复习小数点位置移动引起小数大小变化的规律。 3.通过观察、比较、分析掌握小数的性质。 4.培养同学们分析问题、解决问题的能力。 教学重点和难点： 教学重点： 复习小数的性质及小数点位置移动引起小数大小的规律。 教学难点： 能利用小数点位置移动的规律来进行单位换算。 教学媒体： 教学平台 课前学生准备： 学习单 教学过程： 一、复习小数的性质： 出示：在小数部分末尾添上0或去掉0，小数的大小不变。 师：根据小数性质，可以化简小数，也可以不改变数的大小，进行改写。练习： P3/的1（1）（2），学生独立完成后交流。 师：质疑0.0200:前面的0能不能去掉,50.00中的个位上的0能不能去掉? 二、复习小数点移动： 回忆小数点移动有怎样的规律？（媒体出示规律）
练习： P3/的2（1），学生独立完成后交流。选一、两题说说怎样想？ 三、尝试练习单位换算： P3/的2（2），学生独立完成后交流。 师：谁能说说单位换算有哪些方法？学生交流。 小结：首先想进率，其次想用什么方法（用乘还是除），最后移动小数点。刚才我们复习了小数的性质和小数点移动。（出示课题）。 四、巩固练习： 1．划去下列每组数中与其它两个数不相等的数。 1）3.0 2)5.80 3)4.01 4)10.01 5)9.90 0.3 5.08 4.110 10.1 9.09 0.30 5.800 4.010 10.10 9.9 2.判断 1）9.3=9.30=9.300 ( ) 2)小数点后面添上0或者去掉0,小数的大小不变. ( ) 3)30.00元=30元 ( ) 4)把7.08改成三位小数是7.008 ( ) 5)7.0300化简是7.3 ( ) 3.选择 1)不改变数的大小,把9改写成三位小数是( ) A. 0.009 B. 9.00 C. 9.000 D. 9.0 2)0.8×100÷1000，结果是( ) A. 0.08 B. 0.008 C. 0.8 D. 8 3)30.29的小数点去掉后的值是( ) A. 扩大10倍 B. 扩大100倍 C. 缩小10倍 D. 缩小100倍 4.拓展： 摘苹果了！果农第一次摘了5380千克，第二次摘了5.93吨，哪一次摘得比较多？ 五、总结：
第6讲尾数和余数 令狐采学 一、知识要点 自然数末位的数字称为自然数的尾数；除法中，被除数减去商与除数积的差叫做余数。尾数和余数在运算时是有规律可寻的，利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。 二、精讲精练 【例题1】写出除213后余3的全部两位数 【思路导航】因为213=210＋3.把210分解质因数： 210=2×3×5×7，所以，符号题目要求的两位数有2×5=10，2×7=14，3×5=15，3×7=21.5×7=35，2×3×5=30， 2×3×7=42.一共有7个两位数。 练习1： 1.写出除109后余4的全部两位数。 2.178除以一个两位数后余数是 3.适合条件的两位数有哪些？ 3.写出除1290后余3的全部三位数。 【例题2】（1）125×125×125×……×125[100个125]积的尾数是几？ （2）（21×26）×（21×26）×……×（21×26）[100个（21×26）]积的尾数是几？ 【思路导航】（1）因为个位5乘5，积的个位仍然是5，所以不管多少个125相乘，个位还是5； （2）每个括号里21乘26积的个位是6，我们只要分析100个6相乘，积的尾数是几就行了。因为个位6乘6，积的个位仍然是6，所以不管多少个（21×26）连乘，积的个位还是6。 练习2： 1.21×21×21×……×21[50个21]积的尾数是几？ 2.1.5×1.5×1.5×……×1.5[200个1.5]积的尾数是几？ 3.（12×63）×（12×63）×（12×63）×……× （12×63）[1000个（12×63）]积的尾数是几？ 【例题3】（1）4×4×4×…×4[50个4]积的个位数是几？ （2）9×9×9×…×9[51个9]积的个位数是几？ 【思路导航】（1）我们先列举前几个4的积，看看个位数在怎样变化，1个4个位就是4；4×4的个位是6；4×4×4
小学奥数数论问题余数问题练习题【五篇】 分析：这个题没有告诉我们,这三个数除以这个数的余数分别是多少,但是因为所得的余数相同,根据性质2,我们能够得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数. 101-45=56,101-59=42,59-45=14,(56,42,14)=14,14的约数有1,2,7,14,所以这个数可能为2,7,14. 2.已知三个数127,99和一个小于30的两位数a除以一个一位数b 的余数都是3,求a和b的值. 分析：127-3=124,99-3=96,则b是124和96的公约数.而(124,96)=4,所以b=4.那么a的可能取值是11,15,19,23,27. 3.除以99,余数是______. 分析：所求余数与19×100,即与1900除以99所得的余数相同,所以所求余数是19. 4.求下列各式的余数： (1)2461×135×6047÷11 (2)19992000÷7 分析：(1)5;(2)1999÷7的余数是4,19992000 与42000除以7 的余数相同.然后再找规律,发现4 的各次方除以7的余数的排列规律是 4,2,1,4,2,1......这么3个一循环,所以由2000÷3 余2 能够得到42000除以7 的余数是2,故19992000÷7的余数是2 . 【第二篇】
(小学数学奥林匹克初赛)有苹果,桔子各一筐,苹果有240个,桔子有313个,把这两筐水果分给一些小朋友,已知苹果等分到最后余2个不够分,桔子分到最后还余7个桔子不够再分,求最多有多少个小朋友参加分水果 分析：此题是一道求除数的问题.原题就是说,已知一个数除240余2,除313余7,求这个数为多少,我们能够根据带余除法的性质把它转化成整除的情况,从而使问题简化,因为240被这个数除余2,意味着240-2=238恰被这个数整除,而313被这个数除余7,意味着这313—7=306恰为这个数的倍数,我们只需求238和306的公约数便可求出小朋友最多有多少个了.240—2=238(个) ,313—7=306(个) ,(238,306)=34(人) . 【第三篇】 有一个大于1的整数,除45,59,101所得的余数相同,求这个数. 分析：这个题没有告诉我们,这三个数除以这个数的余数分别是多少,但是因为所得的余数相同,根据性质2,我们能够得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数. 101-45=56,101-59=42,59-45=14,(56,42,14)=14,14的约数有1,2,7,14,所以这个数可能为2,7,14. 【第四篇】 1.已知三个数127,99和一个小于30的两位数a除以一个一位数b的余数都是3,求a和b的值. 分析：127-3=124,99-3=96,则b是124和96的公约数.而(124,96)=4,所以b=4.那么a的可能取值是11,15,19,23,27. 2.除以99的余数是______.
五年级奥数.数论.余数性质(C级) 「例T.7 一个两位数除刖金余籬品求这样的两位数。 【哮点】除法必式的应用【难度】I星【题型】解答 「解折亍本題为余数问姻的M題吐需要学生明白一个重要知鎭畐就是把余救问题-即“不往徐问題” 转化为整除问题.方法为用被除數减击余数，即得到一个除数的借数；或者是用被除数加上一个“除魏与余數的差S也可说得到一个除數的倍數" 本題中315-*2=273＞说明273是所求兪数的倍数* 273=3x7x13＞所求的两位数的數还要满足 比竝丸，符合条件的有91 【答案】91 I贰冈)在卜-面的空格中填上适当的数* 7 4 Z □ □? 2 0 0 4 7 □ □ □ 【耆点】除法公戎的应用I难度】2星【题型】填空 ［关皱词】如年，第2^,走具杯.3年级,决赛丫第10題，12余 【解桁】本題的楝除敷、商和余數巴经給岀，根据除法的计算公瓦：掖徐龜4■除數=商……余敷，建推计算痔到：徐數-(2WM7—13)^742=27… 【答集】27 I例?］命子里放有编号I到10的十平球，小虹先后二次从盒子中共収出九个球，如果从第二次起，每衣取出的球的编号的和都比上一次的两倍还多一，那么剩卜的球的编号为—? I耆点】餘法公式的应用【难度】3星【题型】填空 【关撻词】第盛届、走美杯，四年虬初躺第11罐 【解析】令箔I次取的編号为釧第二次聪的编号为2a+i,第三冼取的编号为：2(2i+l ) +L=4a+3;还剰下的编号为：55*7a^=5L-7a,爭a为百臥俞下的趕9；当a为7时，余下的是￡ 【答案】9A＜2 I巩间】川个口然数，利为100,分别除囚人杵用去足泌「10个商的和为3D；若用四舍五入法，呦个商的利为34. H)个甦中帔3除余I的右_______________ 个. 【考点】除法公式的应用I难度】3星【题型〕填空 【关犍词】2(X)8年，第天届+走关杯，五年虬和執第洛題 【解析】由题意，“用击足法，10个贯的舸为和；用四舍五入法，KJ个商的粗为34"可知，10介数中除直
小数的性质 [教学内容] 苏教版小学数学五年级上册第37~39页。 [教材简析] 这部分内容结合现实的情境，通过自主观察、比较和归纳，引导学生在众多数学现象中体验并发现小数的性质。例4联系学生熟悉的“购学习用品”情境引入，激起学生进行比较的需要，再通过用不同方法对橡皮和铅笔单价的比较，使学生初步体验小数末尾添上0，小数的大小不变。“试一试”则借助直尺图使学生再次体验小数末尾去掉0，小数的大小不变。在此基础上，引导学生综合、归纳两组等式的特点，从而发现小数的性质。例5及相应的“试一试”则是突出小数性质内涵——“0”在小数末尾的专项教学，同时学习应用小数的性质，进行化简和改写小数的方法。 [教学目标] 1、使学生在现实的情境中通过猜想、验证以及比较、归纳等活动，理解并掌握小数的性质，会应用小数的性质改写小数。 2、使学生经历从日常生活现象中提出问题并解决问题的过程，通过自主探索、合作交流等方式，积累数学活动的经验，发展数学思考的能力。观察、比较、抽象概括能力， 3、在活动中使学生初步感悟数学知识间的内在联系，同时渗透事物在一定情况下可以相互转化的观点。 [教学过程] 一、复习旧知，引发冲突 1、谈话：数的王国里有许多神奇的现象，如不起眼的“0”，表示什么意思？（一个也没有）别小看这个“0”，它的作用可大着呢。看，在整数5的末尾添上一个0，这个数发生了什么变化？添上两个0呢？（屏幕依次出示一组数：5，50，500）我们再从右往左看，500去掉一个0，发生了什么变化？
2、引发猜想：如果在一个小数的末尾添上0，或者去掉0，小数的大小又会怎样？猜猜看。（学生自由发表，可能出现两种意见：①受整数末尾添“0”的思维定势，认为小数大小也会随之变化。②由钱数等生活经验认为小数大小不变） 谁的猜想正确？我们可以用什么方法证明？（举些例子） [设计意图：从对“整数末尾添上或去掉‘0’引起大小变化”的思考，进而引导学生关注小数末尾的0，引发猜想。此时的猜想是一种直觉思维，可能两种意见谁也说服不了对方，目的在于通过冲突激起学生进一步探索的欲望。] 二、实例作证，体验小数性质的合理 1、创设情境，初步感知 （1）创设购物情境：两位同学去书店购买学习用品后在交流购物情况：小明：“我买1枝铅笔用了0.3元。”小芳：“我买1块橡皮用了0.30元。”你从图中能获取哪些信息？ （2）提出问题：橡皮和铅笔的单价相等吗？为什么？你能想办法证明吗？先独立思考，有想法后可以和同桌交流。 （3）学生活动后组织全班交流，可能出现如下的比较方法： ①用具体钱数解释：0.3元和0.30元都是3角，所以0.3元=0.30元。 ②用图表示：把两个同样大小的正方形分别平均分成10份、100份，其中的3份、30份分别用0.3、0.30表示。因为阴影部分大小相同，所以0.3=0.30。 ③结合计数单位理解：0.3是3个0.1，也就是30个0.01，所以0.3=0.30。 （4）感知与体验：同学们想出了多种办法都能证明0.3元=0.30元，说明这两个小数确实相等。 教师引读0.3元=0.30元，从左往右看，小数末尾有什么变化？小数的大小怎样？你有了什么想法？使学生初步体验小数的末尾添上“0”，小数的大小不变。
小学数学新课程标准教材 数学教案( 2019 — 2020学年度第二学期 ) 学校： 年级： 任课教师： 数学教案 / 小学数学 / 小学五年级数学教案 编订：XX文讯教育机构
《小数的性质》教学实录及评析 教材简介:本教材主要用途为通过学习数学的内容，让学生可以提升判断能力、分析能力、理解能力，培养学生的逻辑、直觉判断等能力，本教学设计资料适用于小学五年级数学科目, 学习后学生能得到全面的发展和提高。本内容是按照教材的内容进行的编写，可以放心修改调整或直接进行教学使用。 教学目标：1.引导学生自主探究，用举例验证的形式概括出“小数的基本性质”。 2.培养学生勇于探索的精神，合作学习的意识，严谨的学习态度。 教学活动： 一、 创设情境，引入新课 1. 出示：1 10 100 师：说一说在生活中你比较喜欢这3个数中的哪个数？今天就让我们用100分的热情10分认真的上1节你喜欢的数学课好吗？ 2. 你有办法让这3个数相等吗？（比如说加上点什么……） 生1：1元=10角=100分 生2：1分米=10厘米=100毫米 生3：……
【学生经过了3个数由不相等到相等的过程；并且学生给编制的等式赋予了实际意义，说明数学在学生的头脑中是很有意义的。】 二、 合作研究，探索规律 1. 初步感知“小数的性质”。 （1）出示：1分米=10厘米=100毫米（电脑出示对应的线段图） （2）交流：你能统一这个等式的单位名称吗？生交流后汇报： 生1：0.1米=0.10米=0.100米 生2：1分米=1.0分米=1.00分米 生3：…… （3）观察上面的等式，你想说些什么？你能接下去写吗？ 0.1米=0.10米=0.100米=0.1000米=0.10000米=0.100000米 还有吗？有多少？再写一个？（不写了） （4）你能举一组像这样的数吗？ （5）你现在有什么想法？ 生1：这些等式中小数的前几个数字是相同的，而且小数中“0”的个数不影响大小。（师
第四讲 余数问题 知识点： 1、在有余数的除法里，如果被除数和除数都能被同一自然数整除，那么余数也能被这个自然数整除。例如：60÷25=2……10，255,605，，那么一定有105 2、在有余数的除法里，如果除数和余数能被同一自然数整除，那么被除数也能被这个自然数整除。例如： 3、一个自然数被另一个自然数n 除时，余数只能是0，1，2，……（n-1)。例如： 4、如果两个整数被另一自然数n 除时（n 为整数），余数相同，则它们的差必定能被n 整除。例如： 5、如果整数a 和b 除以同一个自然数m ，所得的余数相同，c 和d 除以同一自然数m ，余数也相同，那么a+c ，b+d 除以m 所得的余数也相同。 例如： 一、例题讲解 例1、被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和余数。 例2、一个自然数除以3余1，除以5余3，加上2就能被7整除，这个自然数最小是多少？ 例3、自然数a 除以7余3，自然数b 除以7余4，（a+b ）除以7余几？ 例4、整数1111…111除以6的余数是几？ 2012个1
例5、2012个7组成一个2012位数，被13除后余数是多少？商的各位数字之和是多少？例6、1～400的整数中，被3、5、7除都余2的数共有多少个？ 二、拓展训练 1、有一个自然数，用它去除63、91、129得到3个余数的和是25，这个自然数是多少？ 2、在1～200这200个自然数中，被3或7除都余2的数有多少个？ 3、自然数a除以7余3，自然数b除以7余3，已知a大于b，那么a减去b的差除以7，余数是多少？ 4、有一个整数，除300、262、205得到相同的余数。这个数多少？
数论之同余问题 余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。 许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！” 余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。 知识点拨： 一、带余除法的定义及性质： 一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商 (1)当0 r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商 (2)当0 一个完美的带余除法讲解模型: 如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数， 现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后 共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是 余数。 这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。 二、三大余数定理： 1.余数的加法定理 a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等 于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2. 2.余数的乘法定理 a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 3.同余定理 若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。 同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论： 若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除 用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b) 三、弃九法原理： 在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的： ++++= 例如：检验算式1234189818922678967178902889923 1234除以9的余数为1 1898除以9的余数为8 18922除以9的余数为4 678967除以9的余数为7 178902除以9的余数为0 这些余数的和除以9的余数为2