中考数学一轮复习第六章 实数知识点及练习题含答案
一、选择题
1．已知x 、y （y ﹣3）2＝0．若axy ﹣3x ＝y ，则实数a 的值是（ ） A ．
14
B ．﹣
14
C ．
74
D ．﹣
74
2．有下列命题：
①无理数是无限不循环小数；②平方根与立方根相等的数有1和0；③过一点有且只有一条直线与这条直线平行；④邻补角是互补的角；⑤实数与数轴上的点一一对应． 其中正确的有（ ） A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
3．定义(),2f a b ab =，()2
2(1)g m m m =-+，例如：()1,22124f =??=，
()()2
112111g -=---+=，则()1,2g f ??-??的值是( )
A ．-4
B ．14
C ．-14
D ．1
4．下列各式正确的是( )
A 4=±
B 1
43
= C 4=- D 4=
5．下列说法正确的是（ ）
A ．
1
4是0.5的平方根 B ．正数有两个平方根，且这两个平方根之和
等于0
C ．27的平方根是7
D ．负数有一个平方根
6．下列实数中的无理数是（ ）
A
B C D ．
227
7．设n 为正整数，且n n+1，则n 的值为（ ） A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
8．若一个数的平方根与它的立方根完全相同.则这个数是()
A ．1
B ．1-
C ．0
D ．10±，
9．若x ，y 都表示有理数，那么下列各式一定为正数的是（ ） A ．2
1
2
x +
B ．()2
x y +
C ．2
2x
y +
D ．5x +
10．下列各组数中互为相反数的是（ ）
A ．3
B ．﹣||）
C D ．﹣2和
12
二、填空题
11．若x +1是125的立方根，则x 的平方根是_________．
12．定义一种对正整数n 的“F”运算：①当n 为奇数时，结果为3n+5；②当n 为偶数时，结果为
2k n （其中k 是使2
k
n
为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如：取n=26，则：
若449n =，则第201次“F”运算的结果是 ． 13．用⊕表示一种运算，它的含义是：1(1)(1)
x
A B A B A B ⊕=
++++，如果5
213
⊕=
，那么45⊕= __________．
14．规定：[x]表示不大于x 的最大整数，（x ）表示不小于x 的最小整数，[x ）表示最接近x 的整数（x≠n+0.5，n 为整数），例如：[2.3]=2，（2.3）=3，[2.3）=2．当﹣1＜x ＜1时，化简[x]+（x ）+[x ）的结果是_____．
15．定义新运算a ☆b ＝3a ﹣2b ，则（﹣2）☆1＝_____．
16．已知：103＜157464＜1003；43＝64；53＜157＜63，则 315746454=，请根据上面的材料可得359319=_________．
17．对于任意有理数a ，b ，定义新运算：a ?b =a 2﹣2b +1，则2?(﹣6)=____． 18．如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达
O '点，那么O '点对应的数是______．你的理由是______．
19．对于实数a ，我们规定：用符号[]a 表示不大于[]a 的最大整数，称为a 的根整数，例如：
，如果我们对a 连续求根整数，直到结果为1为止．例
如：对10连续求根整数2次： 10]33]1=→=这时候结果为1．则只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是__________． 20．如果36a =
b 7的整数部分，那么ab =_______．
三、解答题
21．阅读理解： 计算1111234??+
++ ???×11112345??+++ ???﹣111112345??++++ ???×111234??
++ ???
时，若把
11112345??+++ ???与111234??
++ ???
分别各看着一个整体，再利用分配律进行运算，可以大大简化难度．过程如下： 解：设111234??++
???为A ，11112345??
+++ ???
为B ， 则原式=B （1+A ）﹣A （1+B ）=B+AB ﹣A ﹣AB=B ﹣A=1
5
．请用上面方法计算： ①11111123456??+
++++ ???×111111234567??+++++ ???
-1111111234567??++++++ ???×1111123456??++++ ???
②111123
n ??+
+++ ??
?11123
1n ??+++
?+??-111123
1n ??++++
?+??11123n ??+++ ???
． 22．观察下列各式的计算结果
2113131-1-24422===? 2118241-1-39933
===? 21115351-
1-4161644===? 21124461-1-5252555===? （1）用你发现的规律填写下列式子的结果： 211-6= × ； 2
11-10= × ； （2）用你发现的规律计算：
22222111111-
1-1-1-1-23420162017
??????（）（）（）（）（） （3）计算
()22222111
111111
1234
1n n
????
-?-
?-??-?-??
???-????
（）
（）（）（直接写出结果） 23．阅读理解．
2
3． ∴1
1＜2
1的整数部分为1， 12
．
解决问题：已知a ﹣3的整数部分，b ﹣3的小数部分． （1）求a ，b 的值；
（2）求（﹣a ）3+（b +4）22＝17．
24．你会求（a ﹣1）（a 2012+a 2011+a 2010+…+a 2+a+1）的值吗？这个问题看上去很复杂，我们可以先考虑简单的情况，通过计算，探索规律：
()()2111a a a -+=-，
()()23111a a a a -++=-， ()()324111a a a a a -+++=-，
（1）由上面的规律我们可以大胆猜想，得到（a ﹣1）（a 2014+a 2013+a 2012+…+a 2+a+1）＝ 利用上面的结论，求：
（2）22014+22013+22012+…+22+2+1的值是 ． （3）求52014+52013+52012+…+52+5+1的值．
25．定义：若两个有理数a ，b 满足a ＋b ＝ab ，则称a ，b 互为特征数． （1）3与 互为特征数；
（2）正整数n (n ＞1)的特征数为 ；（用含n 的式子表示）
（3）若m ，n 互为特征数，且m ＋mn ＝－2，n ＋mn ＝3，求m ＋n 的值．
26．已知A 、B 在数轴上对应的数分别用a 、b 表示，且2
110|2|02ab a ??++-= ???
，点P 是数轴上的一个动点．
（1）求出A 、B 之间的距离；
（2）若P 到点A 和点B 的距离相等，求出此时点P 所对应的数；
（3）数轴上一点C 距A 点c 满足||ac ac =-．当P 点满足2PB PC =时，求P 点对应的数．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．A 解析：A 【分析】
()2
30y -=可得：340
30
x y +=??-=?，据此求出x 、y 的值，然后把求出的
x 、y 的值代入axy-3x=y ，求出实数a 的值即可． 【详解】
()2
30y -=，
∴34030x y +=??-=?
，
解得433
x y ?=-???=?，
∵axy-3x=y ，
∴a(﹣
43)·3-3×(﹣4
3)＝3， ∴﹣4a +4＝3，
解得a ＝
14
． 故选：A ． 【点睛】
本题考查了算数平方根平方数的非负性，利用非负数性质求x 、y 的值是解决问题的关键．
2．B
解析：B 【分析】
利用无理数的概念，邻补角、平方根与立方根的定义、实数与数轴的关系，两直线的位置关系等知识分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】
①无理数是无限不循环小数，正确； ②平方根与立方根相等的数只有0，故错误；
③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与这条直线平行，故错误； ④邻补角是相等的角，故错误； ⑤实数与数轴上的点一一对应，正确． 所以，正确的命题有2个， 故选B. 【点睛】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够了解无理数、平方根与立方根的定义、两直线的位置关系等知识，难度不大．
3．C
解析：C 【分析】
根据(),2f a b ab =，()2
2(1)g m m m =-+，代入求解即可.
【详解】 解
(),2f a b ab =，()22(1)g m m m =-+
∴()1,2g f ??-??=()()2
44241-14g -=---+= 故选C. 【点睛】
本题考查了新定义的有理数运算，利用(),2f a b ab =，()2
2(1)g m m m =-+，代入求
值是解答本题的关键.
4．D
解析：D 【分析】
根据算术平方根的定义逐一判断即可得解. 【详解】
4=，故原选项错误；
=
，故原选项错误；
D. 4=，计算正确，故此选项正确. 故选D. 【点睛】
此题主要考查了算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义.
5．B
解析：B 【分析】
根据0.5是0.25的一个平方根可对A 进行判断；根据一个正数的平方根互为相反数可对B 进行判断；根据平方根的定义对C 、D 进行判断． 【详解】
A 、0.5是0.25的一个平方根，所以A 选项错误；
B 、正数有两个平方根，且这两个平方根之和等于0，所以B 选项正确；
C 、72的平方根为±7，所以C 选项错误；
D 、负数没有平方根． 故选B ． 【点睛】
本题考查了平方根：若一个数的平方定义a ，则这个数叫a 的平方根，记作a≥0）；0的平方根为0．
6．C
解析：C 【分析】
无限不循环小数是无理数，根据定义解答. 【详解】
=1.1是有理数；
，是有理数；
是无理数；
D.
22
7是分数，属于有理数， 故选：C. 【点睛】
此题考查无理数的定义，熟记定义是 解题的关键.
7．D
解析：D 【分析】
n 的值． 【详解】
∴89，
∵n n+1， ∴n=8， 故选；D ． 【点睛】
8．C
解析：C 【详解】
任何实数的立方根都只有一个，而正数的平方根有两个，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根，所以这个数是0， 故选C ．
9．A
解析：A 【分析】
根据平方的非负性、绝对值的非负性以及实数的分类进行判断即可得解． 【详解】 解：A.∵20x ≥
∴2
1122x +
≥ ∴2
12
x +一定是正数；
B. ∵()2
0x y +≥ ∴()2
x y +一定是非负数；
C.∵20x ≥，20y ≥ ∴220≥+x y ∴2
2x
y +一定是非负数；
D. ∵50x +≥ ∴5x +一定是非负数． 故选：A 【点睛】
本题考查了平方的非负性、绝对值的非负性以及实数的分类，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键．
10．B
解析：B 【分析】
根据相反数的定义，找到只有符号不同的两个数即可． 【详解】
解：A 3，3
B 、﹣||，﹣||）两数互为相反数，故本选项正确；
C 22
D 、﹣2和
1
2
两数不互为相反数，故本选项错误． 故选：B ． 【点睛】
考查了相反数的定义：要知道，只有符号不同的两个数互为相反数．
二、填空题 11．±2 【分析】
先根据立方根得出x 的值，然后求平方根． 【详解】
∵x+1是125的立方根 ∴x+1=，解得：x=4 ∴x 的平方根是±2 故答案为：±2 【点睛】
本题考查立方根和平方根，注意一个正
解析：±2
【分析】
先根据立方根得出x的值，然后求平方根．
【详解】
∵x+1是125的立方根
∴x=4
∴x的平方根是±2
故答案为：±2
【点睛】
本题考查立方根和平方根，注意一个正数的平方根有2个，算术平方根只有1个．12．．
【详解】
第一次：3×449+5=1352，第二次：，由题意k=3时结果为169；
第三次：3×169+5=512，第四次：因为512是2的9次方，所以k=9，计算结果是1；
第五次：1×3+5
解析：8．
【详解】
第一次：3×449+5=1352，第二次：1352
2k
，由题意k=3时结果为169；
第三次：3×169+5=512，第四次：因为512是2的9次方，所以k=9，计算结果是1；第五次：1×3+5=8；
第六次：8
2k
，因为8是2的3次方，所以k=3，计算结果是1，此后计算结果8和1循
环．
因为201是奇数，所以第201次运算结果是8．
故答案为8．
13．【分析】
按照新定义的运算法先求出x，然后再进行计算即可.
【详解】
解：由
解得：x=8
故答案为.
【点睛】
本题考查了新定义运算和一元一次方程，解答的关键是根据定义解一元一次方程，求得x的
解析：
1745
【分析】
按照新定义的运算法先求出x ，然后再进行计算即可. 【详解】 解：由1521=21(21)(11)3
x ⊕=++++ 解得：x=8
18181745==45(41)(51)93045
⊕=
+++++ 故答案为
1745
. 【点睛】
本题考查了新定义运算和一元一次方程，解答的关键是根据定义解一元一次方程，求得x 的值.
14．﹣2或﹣1或0或1或2． 【分析】 有三种情况：
①当时，[x]＝-1，（x ）＝0，[x ）=-1或0， ∴[x]+（x ）+[x ）＝-2或-1；
②当时，[x]＝0，（x ）＝0，[x ）=0， ∴[x]
解析：﹣2或﹣1或0或1或2． 【分析】 有三种情况：
①当10x -<<时，[x ]＝-1，（x ）＝0，[x ）=-1或0， ∴[x ]+（x ）+[x ）＝-2或-1；
②当0x =时，[x ]＝0，（x ）＝0，[x ）=0， ∴[x ]+（x ）+[x ）＝0；
③当01x <<时，[x ]＝0，（x ）＝1，[x ）=0或1， ∴[x ]+（x ）+[x ）＝1或2；
综上所述，化简[x ]+（x ）+[x ）的结果是-2或﹣1或0或1或2. 故答案为-2或﹣1或0或1或2.
点睛：本题是一道阅读理解题.读懂题意并进行分类讨论是解题的关键. 【详解】 请在此输入详解！
15．﹣8 【分析】
原式利用题中的新定义计算即可得到结果．
【详解】
解：根据题中的新定义得：（﹣2）☆1＝3×（?2）?2×1＝?6?2＝?8，
故答案为?8.
【点睛】
此题考查了有理数的混合运算，
解析：﹣8
【分析】
原式利用题中的新定义计算即可得到结果．
【详解】
解：根据题中的新定义得：（﹣2）☆1＝3×（?2）?2×1＝?6?2＝?8，
故答案为?8.
【点睛】
此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
16．【分析】
首先根据一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数确定个位数，然后一次确定十位数，即可求得立方根.
【详解】
由103＝1000，1003＝1000000，就能确定是2位数．由
解析：39
【分析】
首先根据一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数确定个位数，然后一次确定十位数，即可求得立方根.
【详解】
由103＝1000，1003＝10000002位数．由59319的个位上的数是
99，如果划去59319后面的三位319得到数59，而
33＝27、43＝64339．
故答案为：39
【点睛】
本题主要考查了数的立方，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解题的关键．
17．【分析】
根据公式代入计算即可得到答案.
【详解】
∵a?b=a2﹣2b+1，
∴2?(﹣6)=22﹣2×(﹣6)+1=4+12+1=17.
故答案为：17.
【点睛】
此题考查新定义计算公式，正
解析：【分析】
根据公式代入计算即可得到答案.
【详解】
∵a?b=a2﹣2b+1，
∴2?(﹣6)=22﹣2×(﹣6)+1=4+12+1=17.
故答案为：17.
【点睛】
此题考查新定义计算公式，正确理解公式并正确计算是解题的关键.
18．π 圆的周长=π?d=1×π=π
【分析】
直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，说明OO′之间的距离为圆的周长=π，由此即可确定O′点对应的数．
【详解】
因为圆的周长为π
解析：π圆的周长=π?d=1×π=π
【分析】
直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，说明OO′之间的距离为圆的周长
=π，由此即可确定O′点对应的数．
【详解】
因为圆的周长为π?d=1×π=π，
所以圆从原点沿数轴向右滚动一周OO'=π．
故答案为：π，圆的周长=π?d=1×π=π.
【点睛】
此题考查实数与数轴，解题关键在于注意：确定点O′的符号后，点O′所表示的数是距离原点的距离．
19．255
【分析】
根据材料的操作过程，以及常见的平方数，可知分别求出255和256进行几次操作，即可得出答案．
【详解】
解：
∴对255只需要进行3次操作后变成1，
∴对256需要进行4次操作
解析：255 【分析】
根据材料的操作过程，以及常见的平方数，可知分别求出255和256进行几次操作，即可得出答案． 【详解】
解：
25515,3,1,??===?? ∴对255只需要进行3次操作后变成1，
25616,4,2,1,??====?? ∴对256需要进行4次操作后变成1，
∴只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是255； 故答案为：255． 【点睛】
本题考查了估算无理数的大小应用，主要考查学生的阅读能力和猜想能力，同时也要考了一个数的平方数的计算能力．
20．12 【分析】
先根据算术平方根的定义求出a 的值，再根据无理数的估算得出b 的值，然后计算有理数的乘法即可． 【详解】 ，即
的整数部分是2，即 则
故答案为：． 【点睛】
本题考查了算术平方根的
解析：12 【分析】
先根据算术平方根的定义求出a 的值，再根据无理数的估算得出b 的值，然后计算有理数的乘法即可． 【详解】
6a ==
479<<
<<23<<
∴
的整数部分是2，即2b =
则6212ab =?= 故答案为：12． 【点睛】
本题考查了算术平方根的定义、无理数的估算，根据无理数的估算方法得出b 的值是解题关键．
三、解答题
21．（1）17；（2）11
n +. 【解析】 【分析】
①根据发现的规律得出结果即可；
②根据发现的规律将所求式子变形，约分即可得到结果． 【详解】 （1）设1111123456??++++
???为A ，111111234567??
+++++ ???
为B ， 原式=（1+A ）B ﹣（1+B ）A=B+AB ﹣A ﹣AB=B ﹣A=
1
7
； （2）设11
123n ??++
+ ???为A ，11123
1n ??
+++
?+??
为B ， 原式=（1+A ）B ﹣（1+B ）A=B+AB ﹣A ﹣AB=B ﹣A=1
1
n +． 【点睛】
考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 22．（1）5766?；9111010?（2）10092017（3）12n n
+ 【解析】
试题分析：（1）根据题目中所给的规律直接写出答案；（2）根据所得的规律进行计算即可；（3）根据所得的规律进行计算即可德结论. 试题解析： （1）
5766? ， 9111010
?； （2）原式=
1324352016201822334420172017??????
???????? ? ? ?????
??
（） =
1201822017
?
=
1009
2017
; （3）12n n
+.
点睛：本题是一个数字规律探究题，解决这类问题的基本方法为：通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用规律解决问题．
23．（1）a ＝1，b ﹣4；（2）±4． 【分析】
（1）根据被开饭数越大算术平方根越大，可得a ，b 的值， （2）根据开平方运算，可得平方根． 【详解】
解：（1<，
∴4<＜5，
∴1﹣3＜2，
∴a ＝1，b 4；
（2）（﹣a ）3+（b+4）2＝（﹣1）3+﹣4+4）2＝﹣1+17＝16，
∴（﹣a ）3+（b+4）2的平方根是：±4． 【点睛】
本题考查了估算无理数的大小，利用被开方数越大算术平方根越大得出4＜5是解题关键． 24．（1）a 2015
﹣1；（2）2
2015
﹣1；（3）201551
4
-．
【分析】
（1）根据已知算式得出规律，即可得出答案． （2）先变形，再根据规律得出答案即可． （3）先变形，再根据规律得出答案即可． 【详解】
（1）由上面的规律我们可以大胆猜想，（a ﹣1）（a 2012+a 2011+a 2010+…+a 2+a+1）＝a 2015﹣1，
故答案为：a 2015﹣1； （2）22014+22013+22012+…+22+2+1
＝（2﹣1）×（22014+22013+22012+…+22+2+1） ＝22015﹣1， 故答案为：22015﹣1； （3）52014+52013+52012+…+52+5+1 ＝
1
4
×（5﹣1）×（52014+52013+52012+…+52+5+1）
＝2015514-．
【点睛】
本题考查了实数运算的规律题，掌握算式的规律是解题的关键． 25．（1）32；（2）1
n n -；（3）1
3 【分析】
（1）设3的特征数为b ，根据特征数的定义列式求解即可； （2）设n 的特征数为m ，根据特征数的定义列式求解即可；
（3）根据m ，n 互为特征数得出m ＋n ＝mn ，结合已知的两个等式进行求解即可． 【详解】
解：（1）设3的特征数为b ， 由题意知，33b b +=， 解得，32
b =， ∴3与
3
2
互为特征数， 故答案为：
32
（2）设n 的特征数为m ， 由题意知，n ＋m ＝nm ， 解得，1
n
m n =
-， ∴正整数n (n ＞1)的特征数为1
n
n -， 故答案为：
1
n n - （3）∵ m ，n 互为特征数， ∴ m ＋n ＝mn ，
又m ＋mn ＝－2 ①，n ＋mn ＝3 ②， ①＋②得，m ＋n ＋2mn ＝1， ∴ m ＋n ＋2(m ＋n )＝1， ∴ m ＋n ＝13
． 【点睛】
本题考查了新定义的运算，正确理解特征数的定义是解题的关键．
26．（1）12；（2）-4；（3）2--或14-【分析】
（1）根据平方与绝对值的和为0，可得平方与绝对值同时为0，可得a 、b 的值，根据两点
间的距离，可得答案；
（2）根据A 和B 所对应的数，可得AB 中点所表示的数，即为点P 所表示的数； （3）根据题意可以得到c 的值，然后利用分类讨论的方法即可求得点P 对应的数. 【详解】
解：（1）∵2
110|2|02ab a ??++-= ???
， ∴
1
1002
ab +=，20a -=， 解得：a=2，b=-10，
∴A 、B 之间的距离为：2-（-10）=12； （2）∵P 到A 和B 的距离相等， ∴此时点P 所对应的数为：
()21042
+-=-；
（3）∵|ac|=-ac ，a=2＞0，
∴c ＜0，又|AC|=
∴c=2-BC=12- ∵2PB PC =，
①P 在BC 之间时，点P 表示(2
101223
-+?-=--
②P 在C 点右边时，点P 表示(1021214-+?-=-
∴点P 表示的数为：2--或14- 【点睛】
本题主要考查数轴上的点与绝对值的关系和平方与绝对值的非负性，另外此题有一个易错点，第（3）题中，要注意距离与数轴上的点的区别．
人教版七年级数学下册 第六章 实数 一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 整数包括正整数、零、负整数。 实数 正整数又叫自然数。 正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。 2、无理数 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3 π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； 二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数：实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。 2、绝对值：一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。 3、倒数：如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 三、平方根、算数平方根和立方根 1、平方根 （1）平方根的定义：如果一个数x 的平方等于a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根．即：如果 a x =2，那么x 叫做a 的平方根． （2）开平方的定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方运算的被开方数必须是 非负数才有意义。 （3）平方与开平方互为逆运算：±3的平方等于9，9的平方根是±3 （4）一个正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果； 一个负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算 （5）符号：正数a 的正的平方根可用a 表示，a 也是a 的算术平方根； 正数a 的负的平方根可用-a 表示． （6）a x =2 <———————————————— > a x ±= a 是x 的平方，x 是a 的平方根 x 的平方是a ，a 的平方根是x
实数 考点一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 整数包括正整数、零、负整数。 正整数又叫自然数。 正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。 2、无理数 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3 π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数，如sin60o 等 考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。 2、绝对值 一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 考点三、平方根、算数平方根和立方根 1、平方根 如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。 一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 正数a 的平方根记做“a ±”。 2、算术平方根 正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 a （a ≥0） 0≥a ==a a 2 ；注意a 的双重非负性： -a （a <0） a ≥0
实数 知识点一、【平方根】如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根；也即，当)0(2 ≥=a a x 时，我们称x 是a 的平方根，记做：)0(≥±=a a x 。因此： 1、当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身； 2、当a ＞0时，也就是a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：a x ±=。 3、当a ＜0时，也即a 为负数时，它不存在平方根。 例1. （1） 的平方是64，所以64的平方根是 ； （2） 的平方根是它本身。 （3）若 x 的平方根是±2，则x= ；的平方根是 （4）当x 时，x 23－有意义。 （5）一个正数的平方根分别是m 和m-4，则m 的值是多少？这个正数是多少？ 知识点二、【算术平方根】： 1、如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2 ，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”，读作，“根 号a”，其中，a 称为被开方数。特别规定：0的算术平方根仍然为0。 2、算术平方根的性质：具有双重非负性，即：)0(0≥≥a a 。 3、算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。因此， 算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为： a ±。 例2. （1）下列说法正确的是 （ ） A ．1的立方根是1±； B ．24±=； （ C ）、81的平方根是3±； （ D ）、0没有平方根； （2）下列各式正确的是（ ） A 、981±= B 、14.314.3-=-ππ C 、3927-=- D 、235=- （3）2 )3(-的算术平方根是 。 （4）若x x -+ 有意义，则=+1x ___________。 （5）已知△ABC 的三边分别是,,,c b a 且b a ,满足0)4(32 =-+-b a ，求c 的取值范围。 （7）如果x 、y 分别是4－ 3 的整数部分和小数部分。求x － y 的值. （8）求下列各数的平方根和算术平方根. 64； 121 49 ； 0.0004； (－25)2； 11. 1.44， 0，8， 49 100 ， 441， 196， 10－4
实数知识点总结 一、平方根、算术平方根、立方根 1、概念、定义 （1）如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根。 （2）如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。如果，那么x叫做a的 平方根。 （3）如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。如果，那么x叫做 a的立方根。 2、运算名称 （1）求一个正数a的平方根的运算，叫做开平方。平方与开平方互为逆运算。 （2）求一个数的立方根的运算，叫做开立方。开立方和立方互为逆运算。 3、运算符号 （1）正数a的算术平方根，记作“a”。 （2）a(a≥0)的平方根的符号表达为。 （3）一个数a的立方根，用表示，其中a是被开方数，3是根指数。 4、运算公式 4、开方规律小结 ，a的算术平方根a；正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正（1）若a≥0，则a的平方根是a 的那个叫它的算术平方根；0的平方根和算术平方根都是0；负数没有平方根。 实数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与被开方数的符号相同。正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。 （2）若a<0，则a没有平方根和算术平方根；若a为任意实数，则a的立方根是。 （3）正数的两个平方根互为相反数，两个互为相反数的实数的立方根也互为相反数。 二、小数点移动规律 平方根（如果被开方数的小数点，向右或向左每移动两位，它的平方根的小数点就相应地向右或向左移动一位）立方根（开立方的小数点移动规律：被开方数的小数点向右或向左每移动三位，则立方根的小数点就向右或向左移动一位） 三、实数的概念及分类 1、实数的分类 2、无理数
八年级数学上册第二章实数知识点总结+练习
叫做三次方根）记为3a ，读作，3次根号a 。如23=8，则2是8的立方根，0的立方根是0。 2.性质：正数的立方根的正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。立方根是它本身的数有0,1，-1. 例：（1）64的立方根是 （2）若 9.28,89.233==ab a ，则b 等 于 （3）下列说法中：①3±都是27的立方根，②y y =33，③64的立方根是2，④()4832±=±。 其中正确的有 （ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 比较两个数的大小： 方法一：估算法。如3＜10＜4 方法二：作差法。如a ＞b 则a-b ＞0. 方法三：乘方法.如比较3362与的大小。 例：比较下列两数的大小 （1） 2 123-10与 （2）5325与 【实数】 定义：（1）有理数与无理数统称为实数。在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数是0，最大的负整数是-1。 （2）实数也可以分为正实数、0负实数。 实数的性质：实数a 的相反数是-a ；实数a 的倒数是a 1（a ≠0）；实数a 的绝对值|a|=? ??<-≥)0()0(a a a a ，它的几何意义是：在数轴上的点到原点的距离。 实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于0，0大 于负数；正数大于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小。（在数轴上，右边的数总是大于左边的数）。对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。 实数的运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算法则和运算 顺序与有理数的一 实数与数轴的关系：每个实数与数轴上的点是一一对应的 （1）每个实数可以以用数轴上的一个点来表示。 （2）数轴上的每个点都表示已个实数。
人教版七年级数学下册第六章实数知识点汇总 【知识点一】实数的分类 1、按定义分类： 2.按性质符号分类：注：0既不是正数也不是负数.【知识点二】实数的相关概念1.相反数(1)代数意义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数．0的相反数是0.(2)几何意义：在数轴上原点的两侧，与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数，或数轴上，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称.(3)互为相反数的两个数之和等于0.a、b互为相反数a+b=0.2.绝对值|a|≥0．3.倒数（1）0没有倒数(2)乘积是1的两个数互为倒数．a、b互为倒数.▲▲平方根【知识要点】 1.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“a”。 2. 如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作“±a” （a称为被开方数）。 3. 正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 4. 平方根和算术平方根的区别与联系： 区别：正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个。 联系：（1）被开方数必须都为非负数；（2）正数的负平方根是它的算术平方根的相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根。（3）0的算术平方根与平方根同为0。5. 如果x3=a，则x叫做a的立方根，记作“3a” （a称为被开方数）。 6. 正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。 7. 求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。 8.立方根与平方根的区别： 一个数只有一个立方根，并且符号与这个数一致；只有正数和0 有平方根，负数没有平方根，正数的平方根有2个，并且互为相反数，0的平方根只有一个且为0. 9. 一般来说，被开放数扩大（或缩小）n倍，算术平方根扩大（或缩小）n倍，例如50 2500 ,5 25= =. 10.平方表：（自行完成） __________________________________________________
第二章：实数 【无理数】 1.定义：无限不循环小数的小数叫做无理数；注：它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。 2.常见无理数的几种类型： （1）特殊意义的数，如：圆周率兀以及含有兀的一些数，女山2-托,3龙等； （2）特殊结构的数（看似循环而实则不循环）：如：2.010 010 001 000 01-（两个1 Z间依次多1个0）等。（3）无理数与有理数的和差结果都是无理数。女山2-兀是无理数 （4）无理数乘或除以一个不为0的有理数结果是无理数。如2兀， （5）开方开不尽的数，女n：V2,75,V9^；应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如: 也等;无理数也不一定带根号，女U：兀） 3.有理数与无理数的区别： （1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数； （2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。 例：（1）下列各数：①3. 141 x②0. 33333……、③亦一"、④兀、⑤土血亦、⑥一？、 3 ⑦0. 3030003000003……（相邻两个3 Z间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有_______ ； 是无理数的有______o （填序号） （2）有五个数:0?125125???，0. 1010010001-,-^-,扬，迈其中无理数有（）个 【算术平方根L 1.定义：如果一个正数x的平方等于a,即X2=6/,那么，这个正数x就叫做a的算术平方根, 记为：“侖”， 读作，“根号a”，其中，a称为被开方数。例如*9,那么9的算术平方根是3,即V9=3o 特别规地，0的算术平方根是0,即70=（）,负数没有算术平方根 2?算术平方根具有双重非负性：（1）若程有意义，则被开方数a是非负数。（2）算术平方根本身是非负数。 3?算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根屮正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：石；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：土丽。 例:(1)下列说法正确的是( )
)(无限不循环小数负有理数 正有理数无理数?????????????????--???---)()32,21()32,21()()3,2,1()3,2,1,0(无限循环小数有限小数整数负分数正分数小数分数负整数自然数整数有理数、、ΛΛΛΛ?????????????实数第二章 实数 一、 平方根、立方根 1..算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么正数x 叫做a 的算术平方根，记作a 。0的算术平方根为0；从定义可知，只有当a ≥0时,a 才有算术平方根。 2.平方根：一般地，如果一个数x 的平方根等于a ，即x 2=a ，那么数x 就叫做a 的平方根。 正数有两个平方根（一正一负）它们互为相反数；0只有一个平方根，就是它本身；负数没有平方根。 3.正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。 4. (1)())0,0(0,0>≥=≥≥=?b a b a b a b a ab b a （2）若b 3=a ，则b 叫做a 的立方根。 （3 (0)(0).a a a a a ≥?==?-
减。运算中有括号的，先算括号内的，同一级运算从左到右依次进行。 3、实数的大小比较 常用方法：数轴表示法、作差法、平方法、估值法。 （1）在数轴上表示两个数的点，右边的点表示的数大，左边的点表示的数小。（2）正数大于零，负数小于零；两个正数，绝对值大的较大；两个负数，绝对值大的较小。（3）设a，b是任意两实数， 若a-b>0,则a>b; 若a-b=0,则a=b; 若a-b<0,则a 新北师大版八年级数学上册第二章实数知识点总结+练习 案场各岗位服务流程 销售大厅服务岗： 1、销售大厅服务岗岗位职责： 1)为来访客户提供全程的休息区域及饮品; 2)保持销售区域台面整洁; 3)及时补足销售大厅物资,如糖果或杂志等; 4)收集客户意见、建议及现场问题点； 2、销售大厅服务岗工作及服务流程 阶段工作及服务流程 班前阶段1）自检仪容仪表以饱满的精神面貌进入工作区域 2）检查使用工具及销售大厅物资情况，异常情况及时登记并报告上级。 班中工作程序服务 流程 行为 规范 迎接 指引 递阅 资料 上饮品 （糕点） 添加茶水 工作 要求 1）眼神关注客人，当客人距3米距离 时，应主动跨出自己的位置迎宾，然后 侯客迎询问客户送客户 注意事项 15度鞠躬微笑问候：“您好！欢迎光临！”2）在客人前方1-2米距离领位，指引请客人向休息区，在客人入座后问客人对座位是否满意：“您好！请问坐这儿可以吗？”得到同意后为客人拉椅入座“好的，请入座！” 3）若客人无置业顾问陪同，可询问：请问您有专属的置业顾问吗？，为客人取阅项目资料，并礼貌的告知请客人稍等，置业顾问会很快过来介绍，同时请置业顾问关注该客人； 4）问候的起始语应为“先生-小姐-女士早上好，这里是XX销售中心，这边请”5）问候时间段为8:30-11:30 早上好11:30-14:30 中午好 14:30-18:00下午好 6）关注客人物品，如物品较多，则主动询问是否需要帮助（如拾到物品须两名人员在场方能打开，提示客人注意贵重物品）； 7）在满座位的情况下，须先向客人致歉，在请其到沙盘区进行观摩稍作等 待； 阶段工作及服务流程 班中工作程序工作 要求 注意 事项 饮料（糕点服务） 1）在所有饮料（糕点）服务中必须使用 托盘； 2）所有饮料服务均已“对不起，打扰一 下，请问您需要什么饮品”为起始； 3）服务方向：从客人的右面服务； 4）当客人的饮料杯中只剩三分之一时， 必须询问客人是否需要再添一杯，在二 次服务中特别注意瓶口绝对不可以与 客人使用的杯子接触； 5）在客人再次需要饮料时必须更换杯 子； 下班程 序1）检查使用的工具及销售案场物资情况，异常情况及时记录并报告上级领导； 2）填写物资领用申请表并整理客户意见；3）参加班后总结会； 4）积极配合销售人员的接待工作，如果下班时间已经到，必须待客人离开后下班； 沪科版七年级数学第一章知识点复习以及例题讲解 1、平方根 （1）定义：一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根,也叫做a的二次方根。 来表示，（读做“根号a”） 对于正数a 负的平方根用”表示（读做“负根号a” ） 如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作“a称为被开方数）。 （2）平方根的性质： ①一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数； ②0只有一个平方根，它就是0本身； ③负数没有平方根. （3）开平方的定义:求一个数的平方根的运算，叫做开平方. （4）算术平方根：正数a的正的平方根叫做a”。 （50有意义的条件是a≥0。 （6）公式：⑴)2=a（a≥0）； 2、立方根 （1）定义：一般地，如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根(也叫做三次方根)。 即X3=a,把X叫做a的立方根。数a的立方根用符号”表示，读作“三次根号a”。 （2）立方根的性质： 正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。 （3）开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。开立方与立方也是互为逆运算，因此求一个数的立方根可以通过立方运算来求. 3、规律总结 （1）平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。 （2）每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。 二、平方根、立方根例题。 例1、（1）下列各数是否有平方根，请说明理由 ①（-3）2②0 2③-0.01 2 （2）下列说法对不对？为什么？ ①4有一个平方根②只有正数有平方根 第二章：实数 知识梳理 【无理数】 1. 定义：无限不循环小数的小数叫做无理数；注：它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。 2. 常见无理数的几种类型： （1）特殊意义的数，如：圆周率π以及含有π的一些数，如：2-π，3π等； （2）特殊结构的数（看似循环而实则不循环）：如：2.010 010 001 000 01…（两个1之间依次多1个0）等。 （3）无理数与有理数的和差结果都是无理数。如：2-π是无理数 （4）无理数乘或除以一个不 为0的有理数结果是无理数。如2π, （5）开方开不尽的数，如:39,5,2等；应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：9等；无理数也不一定带根号，如：π） 3.有理数与无理数的区别： （1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数； （2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。 例：（1）下列各数：①3.141、②0.33333……、③75-、④π、⑤252.±、⑥3 2-、⑦0.3030003000003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿。（填序号） （2）有五个数:0.125125…,0.1010010001…,-π,4,32其中无理数有 ( )个 【算术平方根】： 1. 定义：如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”， 读作，“根号a ”，其中，a 称为被开方数。例如32=9，那么9的算术平方根是3，即39=。 特别规地，0的算术平方根是0，即00=，负数没有算术平方根 2.算术平方根具有双重非负性：（1）若a 有意义，则被开方数a 是非负数。（2）算术平方根本身是非负数。 3.算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a ±。 例：（1）下列说法正确的是 （ ） A ．1的立方根是1±； B ．24±=；（ C ）、81的平方根是3±； （ D ）、0没有平方根； （2）下列各式正确的是（ ） A 、981±= B 、14.314.3-=-ππ C 、3927-=- D 、235= - 第一章 实数 考点一、实数的概念及分类 （3分） 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 整数包括正整数、零、负整数。 正整数又叫自然数。 正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。 2、无理数 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3 π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数，如sin60o 等（这类在初三会出现） 考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=-b ，反之亦成立。 2、绝对值 一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值是它本身，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于 一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 考点三、平方根、算数平方根和立方根 1、平方根 如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。 一个数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 正数a 的平方根记做“a ±”。 2、算术平方根 正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 a （a ≥0） 0≥a ==a a 2 ；注意a 的双重非负性： -a （a <0） a ≥0 3、立方根 如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 注意：33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 考点四、科学记数法和近似数 1、有效数字 一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。 2、科学记数法 第十三章实数----知识点总结 一、算术平方根 1. 算术平方根的定义：一般地，如果的等于a，即，那么这个正数x叫 做a的算术平方根．a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫做． 规定：0的算术平方根是0. ≥0) 理解：≥ a是x的平方 x的平方是a x是a的算术平方根 a的算术平方根是x a 当a 3. 当被开方数扩大(或缩小)时，它的算术平方根也扩大(或缩小)； 4. 夹值法及估计一个（无理）数的大小（方法：） 二、平方根 1. 平方根的定义：如果的平方等于a，那么这个数x就叫做a的．即：如果， 那么x叫做a的． 理解：— a是x的平方 x的平方是a x是a的平方根 a的平方根是x 2.开平方的定义：求一个数的的运算，叫做．开平方运算的被开方数必须是才 有意义。 3. 平方与开平方：的平方等于9，9 4. 一个正数有平方根，即正数进行开平方运算有两个结果； 一个负数平方根，即负数不能进行开平方运算 5. 符号：正数a a的算术平方根； 正数a的负的平方根可用 6. 平方根和算术平方根两者既有区别又有联系： 区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个； 联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根，而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。 三、立方根 1. 立方根的定义：如果的等于的（也叫 做 ），即如果 2. ， 叫被开方数，3叫根指数，不能省略，若省略表示平方。 理解： — a 是x 的立方 x 的立方是a x 是a 的立方根 a 的立方根是x 3. 一个正数有一个正的立方根；0有一个立方根，是它本身； 一个负数有一个负的立方根；任何数都有唯一的立方根。 4. 利用开立方和立方互为逆运算关系，求一个数的立方根，就可以利用这种互逆关系，检验其正确性，求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，再取其相反数，即 四、实数 1. 有理数的定义：任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。 2. 无理数的定义：无限不循环小数叫无理数 3. 实数的定义：有理数和无理数统称为实数 4. 负无理数。由于非0有理数和无理数都有正负之分，实数也可以这样分类： 5. 实数与数轴上点的关系： 每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来， 数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数， 实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数。 与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大 6. 7. 实数的绝对值：一个正实数的绝对值是本身； 线性代数知识点总结 第二章 矩阵及其运算 第一节 矩阵 定义 由m n ?个数() 1,2,,;1,2,,ij a i m j n ==L L 排成的m 行n 列的数表 11 12 1212221 2n n m m mn a a a a a a a a a L L M M M L 称为m 行n 列矩阵。简称m n ?矩阵，记作111212122 211 n n m m mn a a a a a a A a a a ?? ? ? = ? ??? L L L L L L L ，简记为() ()m n ij ij m n A A a a ??===，,m n A ?这个数称为的元素简称为元。 说明 元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。 扩展 几种特殊的矩阵： 方阵 ：行数与列数都等于n 的矩阵A 。 记作：A n 。 行(列)矩阵：只有一行(列)的矩阵。也称行(列)向量。 同型矩阵：两矩阵的行数相等，列数也相等。 相等矩阵：AB 同型,且对应元素相等。记作：A ＝B 零矩阵：元素都是零的矩阵（不同型的零矩阵不同） 对角阵：不在主对角线上的元素都是零。 单位阵：主对角线上元素都是1，其它元素都是0，记作：E n (不引起混淆时，也可 表示为E )（课本P29—P31） 注意 矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同。 第二节 矩阵的运算 矩阵的加法 设有两个m n ?矩阵() () ij ij A a B b ==和，那么矩阵A 与B 的和记作A B +， 规定为111112121121212222221122n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b +++?? ? +++ ? += ? ? +++?? L L L L L L L 说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。（课本P33） 矩阵加法的运算规律 ()1A B B A +=+； ()()()2A B C A B C ++=++ 第六章实数 知识讲解+题型归纳 知识讲解 一、实数的组成 1、实数又可分为正实数，零，负实数 2.数轴：数轴的三要素——原点、正方向和单位长度。数轴上的点与实数一一对应 二、相反数、绝对值、倒数 1. 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数。数a的相反数是-a。正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，零的相反数是零. 性质：互为相反数的两个数之和为0。 2.绝对值：表示点到原点的距离，数a的绝对值为 3.倒数：乘积为1的两个数互为倒数。非0实数a的倒数为1 a . 0没有倒数。 4.相反数是它本身的数只有0；绝对值是它本身的数是非负数（0和正数）；倒数是它本身的数是±1. 三、平方根与立方根 1.平方根：如果一个数的平方等于a，这个数叫做a的平方根。数a的平方根记作（a>=0） 特性：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，零的平方根还是零。负数没有平方根。正数a的正的平方根也叫做a的算术平方根，零的算术平方根还是零。开平方:求一个数的平方根的运算，叫做开平方。 2.立方根：如果一个数的立方等于a，则称这个数为a立方根。数a的立方根用3a表示。 任何数都有立方根，一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根，零的立方根是零。 开立方：求一个数的立方根（三次方根）的运算，叫做开立方。四、实数的运算 有理数的加法法则： a）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； b)异号两数相加。绝对值相等时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 任何数与零相加等于原数。 2.有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。 3.乘法法则： a）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；零乘以任何数都得零． b）几个不为0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数为奇数时，积为负，为偶数，积为正 c）几个数相乘，只要有一个因数为0，积就为0 4.有理数除法法则： a | |a 第六章实数知识点归纳 一、实 数的 概念（3分） 1、实数的分类 正有理数 有理数零有限小数和无限循环小数 实数负有理数 正无理数 无理数无限不循环小数 负无理数 整数包括正整数、零、负整数。 正整数又叫自然数。 正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。 2、无理数 在理解无理数时，要抓住“无限不 循环”这一 时之起 （1）开方开不尽的数，如 7,等；（2）有特定结构的数，如0.1010010001,等；32 32 （3） π 3 +8等； 3.实数与数轴上点： 实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反 过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数。 与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的 实数大 二、实数的倒数、相反数和绝对值（3分） 1、相反数 从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数， 则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。 2、绝对值 一 个 数的绝 对值就是表示这 个数的 点 与原 | a | ≥ 。 零 |a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个 负数，绝对值大小。 3、倒数 如果 a 与 b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有 倒数。 4、无限小数是有理数（×）无限小数是无理数（×） 有理数是无限小数（×）无理数是无限小数（√） 数轴上的点都可以用有理数表示（×）有理数都可以由数轴上的点表示（√） 数轴上的点都可以用无理数表示（×）无理数都可以由数轴上的点表示（√） 数轴上的点都可以用实数表示（√）实数都可以由数轴上的点表示（√） 三、平方根、算数平方根和立方根 1、平方根 1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. 第二章《实数》知识点梳理及题型解析 一、知识归纳 （一）平方根与开平方 1. 平方根的含义 如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根。 即a x =2 ，x 叫做a 的平方根。 2.平方根的性质与表示 ⑴表示：正数a 的平方根用a ±表示，a 叫做正平方根，也称为算术平方根，a -叫做a 的负平方根。 ⑵一个正数有两个平方根：a ± （根指数2省略） 0有一个平方根，为0，记作00= ，负数没有平方根 ⑶平方与开平方互为逆运算 开平方：求一个数a 的平方根的运算。 a a =2==???-a a 00<≥a a ()a a =2 （0≥a ） ⑷a 的双重非负性 0≥a 且0≥a （应用较广） 例：y x x =-+-44 得知0,4==y x ⑸如果正数的小数点向右或者向左移动两位，它的正的平方根的小数点就相应地 向右或向左移动一位。 区分：4的平方根为____ 4的平方根为____ ____4=4开平方后， 得____ 3.计算a 的方法????? ?? ??精确到某位小数 ＝非完全平方类 ＝完全平方类 773 294 *若0>>b a ，则b a > （二）立方根和开立方 1．立方根的定义 如果一个数的立方等于a ，呢么这个数叫做a 的立方根，记作3a 2. 立方根的性质 任何实数都有唯一确定的立方根。正数的立方根是一个正数。负数的立方根是一个负数。０的立方根是０. 3. 开立方与立方 开立方：求一个数的立方根的运算。 ()a a =3 3 a a =3 3 33a a -=- （a 取任何数） 这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 *０的平方根和立方根都是０本身。 （三）推广： n 次方根 １. 如果一个数的n 次方（n 是大于１的整数）等于a ，这个数就叫做a 的n 次方 根。 当n 为奇数时，这个数叫做a 的奇次方根。 当n 为偶数时，这个数叫做a 的偶次方根。 ２. 正数的偶次方根有两个：n a ±；０的偶次方根为０：00=n ；负数没有偶次方根。 正数的奇次方根为正。０的奇次方根为０。负数的奇次方根为负。 （四）实 数 1. 实数：有理数和无理数统称为实数 实数的分类： 最新初中数学实数知识点总复习 一、选择题 1．若30,a -=则+a b 的值是（ ） A ．2 B 、1 C 、0 D 、1- 【答案】B 【解析】 试题分析：由题意得，3﹣a=0，2+b=0，解得，a=3，b=﹣2，a+b=1，故选B ． 考点：1．非负数的性质：算术平方根；2．非负数的性质：绝对值． 2．一个自然数的算术平方根是x ，则它后面一个自然数的算术平方根是( )． A ．x ＋1 B ．x 2＋1 C 1 D 【答案】D 【解析】 一个自然数的算术平方根是x ，则这个自然数是2,x 则它后面一个数的算术平方根是 . 故选D. 3的平方根是( ) A ．2 B C ．±2 D ．【答案】D 【解析】 【分析】 ，然后再根据平方根的定义求解即可． 【详解】 ，2的平方根是， ． 故选D ． 【点睛】 正确化简是解题的关键，本题比较容易出错． 4．1，0( ) A B ．﹣1 C ．0 D 【答案】B 【解析】 【分析】 将四个数按照从小到大顺序排列，找出最小的实数即可． 【详解】 四个数大小关系为：10-<< < 则最小的实数为1-， 故选B ． 【点睛】 此题考查了实数大小比较，将各数按照从小到大顺序排列是解本题的关键． 5．下列实数中的无理数是（ ） A B C D ．227 【答案】C 【解析】 【分析】 无限不循环小数是无理数，根据定义解答. 【详解】 =1.1是有理数； ，是有理数； 是无理数； D. 227 是分数，属于有理数， 故选：C. 【点睛】 此题考查无理数的定义，熟记定义是 解题的关键. 6．设,a b 是不相等的实数，定义W 的一种运算；()()()2 a b a b a b a b =+-+-W ，下面给出了关于这种运算的四个结论：①()6318-=-W ；②a b b a =W W ；③若0a b =W ，则 0b =或0a b +=；④()a b c a b a c +=+W W W ，其中正确的是 （ ） A ．②④ B ．②③ C ．①④ D ．①③ 【答案】D 【解析】 【分析】 先化简()()()2a b a b a b +-+-，然后各式利用题中的新定义化简得到结果，即可作出判断． 【详解】 a 第六章 实数 【知识要点】 1. 算术平方根：一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a, 即 x 2 = a ,那么这个正 数 x 叫做 a 的算术平方根。a 的算术平方根记为 ，读作“根号 a”，a 叫做 被开方数。 2. 平方根：如果 x2=a，则 x 叫做a 的平方根，记作“± a ”（a 称为被开方数）。 3. 正数的平方根有两个，它们互为相反数；0 的平方根是 0；负数没有平方根。 4. 平方根和算术平方根的区别与联系： 区别：正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个。 联系：（1）被开方数为非负数； （2）正数的负平方根是它的算术平方根的相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根。 （3）0 的算术平方根与平方根同为 0。 5. 如果x 3=a ，则x 叫做 a 的立方根，记作“ 3 a ”。 6. 正数有一个正的立方根；0 的立方根是 0；负数有一个负的立方根。 7. 求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。 8. 立方根与平方根的区别： 一个数只有一个立方根，并且符号与这个数一致；只有正数和 0 有平方根， 负数没有平方根，正数的平方根有 2 个，并且互为相反数，0 的平方根只有一个且为 0. 9. 一般来说，被开方数扩大（或缩小） n 2 倍，它的算术平方根扩大（或缩小） n 倍，例如： = 5, = 50 . 10. 一般来说，被开方数扩大（或缩小）n 3 倍，它的立方根扩大（或缩小）n 倍， 1 25 2500 a a a a ?-a (a ＜0) 例如： = 5, 3 125000 = 50 . 11. 平方表：（希望大家背下来） 12=1 62=36 112=121 162=256 212=441 22=4 72=49 122=144 172=289 222=484 32=9 82=64 132=169 182=324 232=529 42=16 92=81 142=196 192=361 242=576 52=25 102=100 152=225 202=400 252=625 【题型规律总结】 1、平方根是其本身的数是 0；算术平方根是其本身的数是 0 和 1；立方根是其本身的数是 0 和±1。 2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。 3、双重非负性： 本身为非负数，有非负性，即 ≥0； 有意义的条件是 a ≥0。 4、公式：（1）( )2=a （a ≥0）； （2） 3 -a = - 3 a （a 取任何数）。 5、区分( )2=a （a ≥0）与 = a = ?a (a ≥0) ? 6、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于 0，则每一个非负数都为 0（此性质应用很广，务必掌握）。 3 125 a a 2 初中数学第六章 实数知识点-+典型题及解析 一、选择题 1．下列说法正确的是（ ） A ．有理数是整数和分数的统称 B ．立方等于本身的数是0，1 C ．a -一定是负数 D ．若a b =，则a b = 2．25的算术平方根是（ ） A ．5± B ．5 C ．52 ± D ．5 3．已知280x y -++=，则x y +的值为( ) A ．10 B ．-10 C ．-6 D ．不能确定 4．定义(),2f a b ab =，()2 2(1)g m m m =-+，例如：()1,22124f =??=， ()()2 112111g -=---+=，则()1,2g f ??-??的值是( ) A ．-4 B ．14 C ．-14 D ．1 5．若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如 a b c ++就是完全对称式(代数式中a 换成b ，b 换成a ，代数式保持不变).下列三个代数 式：①2 ()a b -；②ab bc ca ++；③222a b b c c a ++．其中是完全对称式的是（ ） A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③ 6．下列说法正确的是（ ） A ． 1 4是0.5的平方根 B ．正数有两个平方根，且这两个平方根之和 等于0 C ．27的平方根是7 D ．负数有一个平方根 7．实数33,10,25的大小关系是（ ） A ．3 10325<< B ．3 31025<< C ．3 10253< < D ．325310<< 8．3的平方根是（ ） A ．±3 B ．9 C ．3 D ．±9 9．2的平方根为（ ） A ．4 B ．±4 C ．2 D ．±2 10．下列实数中，.. 3 1 -40.2π0-8647 ， 3，，，，，无理数的个数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 二、填空题 11．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a 和b ，规定a ☆b= ．新北师大版八年级数学上册第二章实数知识点总结+练习
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