中考数学二轮复习第六章 实数知识点及练习题含答案
一、选择题
1．已知1x ，2x ，…，2019x 均为正数，且满足
()()122018232019M x x x x x x =++++++，
()()122019232018N x x x x x x =++
+++
+，则M ，N 的大小关系是( )
A ．M N <
B ．M N >
C ．M
N
D ．M N ≥
2．在求234567891666666666+++++++++的值时，小林发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的6倍，于是她设：234567891666666666S =+++++++++……① 然后在①式的两边都乘以6，得：234567891066666666666S =+++++++++……②
②-①得10
661S S -=-，即10
561S =-，所以1061
5
S -=.
得出答案后，爱动脑筋的小林想：如果把“6”换成字母“a”(a≠0且a≠1)，能否求出
23420181...a a a a a ++++++的值?你的答案是
A ．201811a a --
B ．201911a a --
C ．20181a a
-
D ．20191a -
3．对一组数(x,y)的一次操作变换记为P 1(x,y)，定义其变换法则如下：P 1(x,y)=(x+y,x-y)，且规定P n (x,y)=P 1(P n-1(x,y))（n 为大于1的整数），如：P 1(1,2)=(3,-1)，P 2(1,2)= P 1(P 1(1,2))= P 1(3,-1)=(2,4)，P 3(1,2)= P 1(P 2(1,2))= P 1(2,4)=(6,-2)，则P 2017(1,-1)=（ ）．
A ．（0，21008）
B ．（0，-21008）
C ．（0，-21009）
D ．（0，21009）
4．如图将1、2、3、6按下列方式排列．若规定(,)m n 表示第m 排从左向右第n 个数，则(5,4)与(15,8)表示的两数之积是（ ）．
A ．1
B 2
C 3
D 6
5．501的结果应该在下列哪两个自然数之间（ ） A ．3，4 B ．4，5 C ．5，6 D ．6，7 6．如果一个自然数的算术平方根是n ，则下一个自然数的算术平方根是( )
A ．n +1
B ．21n +
C 1n +
D 21n
731
64
） A ．
12 B ．
14
C ．
18
D ．12
±
8．已知280x y -++=，则x y +的值为( )
A ．10
B ．-10
C ．-6
D ．不能确定 9．若a 2=(-5)2 ，b 3=(-5)3 ，则a+b 的值是（ ）
A ．0或-10或10
B ．0或-10
C ．-10
D ．0
10．若a 、b 为实数，且满足|a －2|＋2b -＝0，则b －a 的值为( ) A ．2
B ．0
C ．－2
D ．以上都不对
二、填空题
11．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a 和b ，规定a ☆b=．
例如：(-3)☆2=
3232
2
-++-- = 2．
从﹣8，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，中任选两个有理数做a ，b(a≠b)的值，并计算a ☆b ，那么所有运算结果中的最大值是_____． 12．若已知()2
1230a b c -+++-=，则a b c -+=_____． 13．若()2
21210a b c -+++-=，则a b c ++=__________． 14．如果一个数的平方根和它的立方根相等，则这个数是______.
15．已知：103＜157464＜1003；43＝64；53＜157＜63，则 315746454=，请根据上面的材料可得359319=_________． 16．比较大小：
51
2
-__________0.5．（填“>”“<”或“=”） 17．为了求2310012222+++++的值，令2310012222S =+++++，则
234101222222S =+++++，因此101221S S -=-，所以10121S =-，即
231001*********+++++=-，仿照以下推理计算23202013333+++++的值是
____________．
18．如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达
O '点，那么O '点对应的数是______．你的理由是______．
1946________．
20．若一个正数的平方根是21a +和2a +，则这个正数是____________．
三、解答题
21．先阅读下面的材料，再解答后面的各题：
现代社会会保密要求越来越高，密码正在成为人们生活的一部分，有一种密码的明文（真
实文）按计算机键盘字母排列分解，其中,,,,,Q W E N M 这26个字母依次对应
1,2,3,
,25,26这26个自然数（见下表）．
给出一个变换公式：
(126,3)3
2
17(126,31)31
8
(126,32)3J J J x
x x x x x x x x x x x x x x ?=≤≤??
+?=+≤≤??
+?=+≤≤??
是自然数，被整除是自然数，被除余是自然数，被除余 将明文转成密文，如4+24+17=193?
，即R 变为L ：11+1
11+8=123
?，即A 变为S ．将密文转成成明文，如213(2117)210??--=，即X 变为P ：
133(138)114??--=，即D 变为F ．
（1）按上述方法将明文NET 译为密文．
（2）若按上方法将明文译成的密文为DWN ，请找出它的明文． 22．（概念学习）
规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3
次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④
，读作“﹣3的圈4次方”，一般
地，把n 个a （a ≠0）记作a ?，读作“a 的圈n 次方”． （初步探究）
（1）直接写出计算结果：2③＝ ，（﹣12
）⑤
＝ ； （深入思考）
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式． （﹣3）④＝ ；5⑥＝ ；（﹣
12
）⑩
＝ ． （2）想一想：将一个非零有理数a 的圈n 次方写成乘方的形式等于 ；
23．观察下列等式：
①
111122=-?， ②1112323=-?， ③1113434=-?. 将以上三个等式两边分别相加，得 1111111113111223342233444++=-+-+-=-=???. （1）请写出第④个式子
（2）猜想并写出：1
n(n 1)
+= ．
（3）探究并计算：
111244668+++??? (1100102)
?. 24．阅读下列材料：
()1
121230123
?=
??-?? 1
23(234123)3?=??-??
()1
343452343
?=
??-?? 由以上三个等式相加，可得 读完以上材料，请你计算下列各题． （1）求1×2+2×3+3×4+…+10×11的值．
（2）1×2+2×3+3×4+……+n×（n+1）=___________．
25．（1）如图，分别把两个边长为1cm 的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形拼成一个大正方形，则大正方形的边长为_______cm ；
（2）若一个圆的面积与一个正方形的面积都是22cm π，设圆的周长为C 圆，正方形的周长为C 正，则C 圆_____C 正（填“=”或“<”或“>”号）；
（3）如图，若正方形的面积为2400cm ，李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积为2300cm 的长方形纸片，使它的长和宽之比为3:2，他能裁出吗？请说明理由？
26．是无理数，而无理数是无限不循环小数，
﹣1的小数部
的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分又例如：因为
2＜3的整数部分为2﹣2）
请解答：
（1的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2a b ，求a +b
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一、选择题 1．B 解析：B 【分析】 设122018p x x x =+++，232018q x x x =++，然后求出M -N 的值，再与0进行比较
即可. 【详解】
解：根据题意，设122018p x x x =+++，232018q x x x =++，
∴1p q x -=， ∴()()12201823201920192019()M x x x x x x p q x pq p x =++
++++=?+=+?； ()()12201923201820192019()N x x x x x x p x q pq q x =++
+++
+=+?=+?；
∴20192019()M N pq p x pq q x -=+?-+?
=2019()x p q ?-
=201910x x ?>； ∴M N >； 故选：B. 【点睛】
本题考查了比较实数的大小，以及数字规律性问题，解题的关键是熟练掌握作差法比较大小.
2．B
解析：B 【解析】 【分析】
首先根据题意，设M=1+a+a2+a3+a4+…+a2014，求出aM的值是多少，然后求出aM-M的值，即可求出M的值，据此求出1+a+a2+a3+a4+…+a2019的值是多少即可．
【详解】
∵M=1+a+a2+a3+a4+…+a2018①，
∴aM=a+a2+a3+a4+…+a2014+a2019②，
②-①，可得aM-M=a2019-1，
即（a-1）M=a2019-1，
∴M=
20191
1 a
a
-
-
.
故选：B.
【点睛】
考查了整式的混合运算的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．
3．D
解析：D
【解析】分析：用定义的规则分别计算出P1，P2，P3，P4，P5，P6，观察所得的结果，总结出规律求解.
详解：因为P1（1，-1）=（0，2）；
P2（1，-1）=P1(P1(1,-1）)=P1(0,2)=(2,-2)；
P3（1，-1）=P1（P2(2,-2)）=(0,4)；
P4（1，-1）=P1（P3(0,4)）=(4,-4)；
P5（1，-1）=P1（P4(4,-4)）=(0,8)；
P6（1，-1）=P1（P5(0,8)）=(8,-8)；
……
P2n-1（1，-1）=……=(0,2n)；
P2n（1，-1）=……=(2n,-2n).
因为2017=2×1009-1，
所以P2017=P2×1009-1=（0，21009）.
故选D.
点睛：对于新定义，要理解它所规定的运算规则，再根据这个规则进行相关的计算；探索数字的变化规律通常用列举法，按照一定的顺序列举一定数量的运算过程和结果，从运算过程和结果中归纳出运算结果或运算结果的规律.
4．B
解析：B
【分析】
首先从排列图中可知：第1排有1个数，第2排有2个数，第3排有3个数，然后抽象出第5排第4个数，第15排第8个数，然后可以得到答案．
【详解】
解：(5,4)表示第5排从左往右第4，(15,8)表示第15排第8个数，从上面排列图中可以看出奇数行1排在最中间，所以第15行最中间是1，且为第8个，所以1和
．
故本题选B．
【点睛】
本题是规律题的呈现，考查学生的从具体情境中抽象出一般规律，考查学生观察与归纳能力．
5．D
解析：D
【分析】
直接利用已知无理数得出最接近的整数，进而得出答案．
【详解】
解：∵72＝49，82＝64，
<<，
∴78
<<，
∴617
1的结果应该在自然数6，7之间．
故选：D．
【点睛】
本题考查了无理数的整数解问题，掌握求无理数的整数解的方法是解题的关键．
6．D
解析：D
【分析】
根据算术平方根的平方等于这个这个自然数，得出下一个自然数，可得答案．
【详解】
n+，
解：这个自然数是2n，则和这个自然数相邻的下一个自然数是21
．
故选：D．
【点睛】
本题考查了算术平方根，掌握一个数算术平方根的平方等于这个数是解题关键．
7．A
解析：A
【分析】
【详解】
1
，
4
12
=． 故选：A ． 【点睛】
此题主要考查了立方根的性质、算术平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键
. 8．C
解析：C 【分析】
根据算术平方根的非负性求出x ，y ，然后再求x+y 即可； 【详解】
解：由题意得：x-2=0，y+8=0 ∴x=2，y=-8 ∴x+y=2+（-8）=-6 故答案为C. 【点睛】
本题考查了算术平方根的非负性，掌握若干个非负数之和为0，则每个非负数都为0是解答本题的关键.
9．B
解析：B 【分析】
直接利用平方根和立方根的计算得出答案. 【详解】
∵a 2=(-5)2 ，b 3=(-5)3,
∴a=±5,b=-5, ∴a+b=0或-10，故选B. 【点睛】
本题考查了平方根和立方根，掌握平方根和立方根的性质是关键．
10．C
解析：C 【详解】
根据绝对值、算术平方根的非负性得a-2=0,20b -=, 所以a=2,b=0. 故b －a 的值为0-2=-2. 故选C.
二、填空题 11．8
【解析】
解：当a ＞b 时，a ☆b= =a ，a 最大为8；
当a ＜b 时，a ☆b==b ，b 最大为8，故答案为：8．
点睛：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
解析：8 【解析】
解：当a ＞b 时，a ☆b =2a b a b
++- =a ，a 最大为8；
当a ＜b 时，a ☆b =
2
a b a b
++-=b ，b 最大为8，故答案为：8．
点睛：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12．6 【分析】
分别根据绝对值、平方和算术平方根的非负性求得a 、b 、c 的值，代入即可． 【详解】 解：因为， 所以， 解得， 故，
故答案为：6． 【点睛】
本题考查非负数的性质，主要考查绝对值、平方
解析：6 【分析】
分别根据绝对值、平方和算术平方根的非负性求得a 、b 、c 的值，代入即可． 【详解】
解：因为()2
120a b -+++=， 所以10,20,30a b c -=+=-=， 解得1,2,3a b c ==-=， 故1(2)36a b c -+=--+=， 故答案为：6． 【点睛】
本题考查非负数的性质，主要考查绝对值、平方和算术平方根的非负性．理解几个非负数（式）的和为0，那么这几个数或（式）都为0是解题关键．
13．【分析】
先根据绝对值、算术平方根、偶次方的非负性求出a 、b 、c 的值，再代入即可
得． 【详解】
由题意得：，解得， 则，
故答案为：． 【点睛】
本题考查了绝对值、算术平方根、偶次方的非负性的应用
解析：1
2
-
【分析】
先根据绝对值、算术平方根、偶次方的非负性求出a 、b 、c 的值，再代入即可得． 【详解】
由题意得：2102010a b c -=??
+=??-=?，解得1221a b c ?=??=-??=?
?
，
则()112122a b c ++=+-+=-， 故答案为：12
-． 【点睛】
本题考查了绝对值、算术平方根、偶次方的非负性的应用等知识点，熟练掌握绝对值、算术平方根、偶次方的非负性是解题关键．
14．0 【解析】
试题解析：平方根和它的立方根相等的数是0．
解析：0 【解析】
试题解析：平方根和它的立方根相等的数是0．
15．【分析】
首先根据一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数确定个位数，然后一次确定十位数，即可求得立方根. 【详解】
由103＝1000，1003＝1000000，就能确定是2位数．由 解析：39
【分析】
首先根据一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数确定个位数，然后一次确定十位数，即可求得立方根. 【详解】
由103＝1000，1003＝10000002位数．由59319的个位上的数是
99，如果划去59319后面的三位319得到数59，而
33＝27、43＝64339． 故答案为：39 【点睛】
本题主要考查了数的立方，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解题的关键．
16．＞ 【分析】
首先把两个数采用作差法相减，根据差的正负情况即可比较两个实数的大小． 【详解】 ∵， ∵-2＞0， ∴＞0． 故＞0.5． 故答案为：＞. 【点睛】
此题考查实数大小比较，解题关键在于
解析：＞ 【分析】
首先把两个数采用作差法相减，根据差的正负情况即可比较两个实数的大小． 【详解】
∵
1112
-0.5=-=
2222
，
＞0，
∴
2
2
＞0．
故
1
2
＞0.5． 故答案为：＞. 【点睛】
此题考查实数大小比较，解题关键在于掌握比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法等．
17．【分析】
令，然后两边同时乘以3，接下来根据题目中的方法计算即可． 【详解】 令 则 ∴ ∴
故答案为：． 【点睛】
本题考查了有理数的混合运算问题，掌握题目中的运算技巧以及有理数混合运算法则是解
解析：202131
2
- 【分析】
令23202013333S =+++++，然后两边同时乘以3，接下来根据题目中的方法计算即
可． 【详解】
令23202013333S =+++++ 则23202133333S =++++
∴2021331S S -=-
∴2021312S -=
故答案为：202131
2
-．
【点睛】
本题考查了有理数的混合运算问题，掌握题目中的运算技巧以及有理数混合运算法则是解题的关键．
18．π 圆的周长=π?d=1×π=π 【分析】
直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，说明OO′之间的距离为圆的周长=π，由此即可确定O′点对应的数． 【详解】
因为圆的周长为π
解析：π 圆的周长=π?d=1×π=π 【分析】
直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，说明OO′之间的距离为圆的周长
=π，由此即可确定O′点对应的数． 【详解】
因为圆的周长为π?d=1×π=π，
所以圆从原点沿数轴向右滚动一周OO'=π． 故答案为：π，圆的周长=π?d=1×π=π. 【点睛】
此题考查实数与数轴，解题关键在于注意：确定点O′的符号后，点O′所表示的数是距离原点的距离．
19．6 【分析】
求出在哪两个整数之间，从而判断的整数部分． 【详解】 ∵，，
又∵36＜46＜49 ∴6＜＜7 ∴的整数部分为6 故答案为：6 【点睛】
本题考查无理数的估算，正确掌握整数的平方数是解
解析：6 【分析】
的整数部分． 【详解】
∵246=，2636=，2749= 又∵36＜46＜49
∴6＜7
6 故答案为：6 【点睛】
本题考查无理数的估算，正确掌握整数的平方数是解题的关键．
20．1 【分析】
一个正数有两个平方根，它们互为相反数，由此即可列式2a+1+a+2=0，求出a 再代回一个根再平方即可得到该正数. 【详解】
由题意得2a+1+a+2=0，
解得a=-1, ∴a+2=1
解析：1 【分析】
一个正数有两个平方根，它们互为相反数，由此即可列式2a+1+a+2=0，求出a 再代回一个根再平方即可得到该正数. 【详解】
由题意得2a+1+a+2=0， 解得a=-1, ∴a+2=1,
∴这个正数是22(2)11a +==， 故答案为：1. 【点睛】
此题考查平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根.
三、解答题
21．（1）N,E,T 密文为M,Q,P;（2）密文D,W,N 的明文为F,Y ,C ． 【分析】
(1) 由图表找出N,E,T 对应的自然数,再根据变换公式变成密文. (2)由图表找出N=M,Q,P 对应的自然数，再根据变换.公式变成明文. 【详解】
解：（1）将明文NET 转换成密文： 252
2517263
N M +→→
+=→ 3
313
E Q →→
=→ 51
58103
T P +→→
+=→ 即N,E,T 密文为M,Q,P;
（2）将密文D,W,N 转换成明文：
()133138114D F →→?--=→ 2326W Y →→?=→
253(2517)222N C →→?--=→
即密文D,W,N 的明文为F,Y ,C ． 【点睛】
本题考查有理数的混合运算，此题较复杂，解答本题的关键是由图表中找到对应的数或字母，正确运用转换公式进行转换．
22．初步探究：（1）12，-8；深入思考：（1）(?13)2，(15)4，8
2；（2）2
1n a -?? ???
【分析】
初步探究：（1）分别按公式进行计算即可；
深入思考：（1）把除法化为乘法，第一个数不变，从第二个数开始依次变为倒数，由此分别得出结果；
（2）结果前两个数相除为1，第三个数及后面的数变为1a ，则1
1n a a a -??=? ?
??
?；
【详解】
解：初步探究：（1）2③=2÷2÷2=
1
2
， 111111-=-----222222????????????÷÷÷÷ ? ? ? ? ? ?????????????⑤
111=1---222??????÷÷÷ ? ? ???????
()11-2--22????
÷÷ ? ?????
=-8；
深入思考：（1）（-3）④
=（-3）÷（-3）÷（-3）÷（-3）=1×(?
13)2=(?13
)2
； 5⑥=5÷5÷5÷5÷5÷5=(15
)4
； 同理可得：（﹣
12
）⑩＝8
2； （2）2
1n a a -??= ???
?
【点睛】
本题是有理数的混合运算，也是一个新定义的理解与运用；一方面考查了有理数的乘除法及乘方运算，另一方面也考查了学生的阅读理解能力；注意：负数的奇数次方为负数，负数的偶数次方为正数，同时也要注意分数的乘方要加括号，对新定义，其实就是多个数的除法运算，要注意运算顺序．
23．（1）1114545=-?；（2）111(1)1n n n n =-++；（3）25
51
．
【解析】
试题分析：（1）规律：相邻的两个数的积的倒数等于它们的倒数的差，故第四个式子为：
111
4545
=-?； （2）根据以上规律直接写出即可；
（3）各项提出
1
2
之后即可应用（1）中的方法进行计算． 解：（1）答案为：
1114545
=-?； （2）答案为：()111
11n n n n =-++；
（3）
111244668+++???…1100102? =12×（111122334++???+…+1
5051?）
=12×5051 =2551
. 点睛：本题是一道找规律问题.解题的重点要根据所给式子中的数字变化归纳出规律，而难点在于第（3）问中要灵活应用所总结出来的公式. 24．（1）440；（2）()()1
123
n n n ++． 【分析】
通过几例研究n(n+1)数列前n 项和，根据题目中的规律解得即可． 【详解】 ．
（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11
=1(123012)3??-??+1(234123)3??-??+1(345234)3
??-??+…+
1
(10111291011)3??-?? =1101112=4403
???． （2）1×2+2×3+3×4+……+n×（n+1）
=1(123012)3??-??+1(234123)3??-??+1(345234)3
??-??+…+
()()()()12111
3
n n n n n n ++--+???? =
()()1
123
n n n ++． 故答案为：()()1123
n n n ++． 【点睛】
本题考查数字规律问题，读懂题中的解答规律，掌握部分探究的经验，用题中规律进行计算是关键．
25．（1；（2）<；（3）不能裁剪出，详见解析 【分析】
（1）根据所拼成的大正方形的面积为2即可求得大正方形的边长；
（2）由圆和正方形的面积公式可分别求的圆的半径及正方形的边长，进而可求得圆和正方形的周长，利用作商法比较这两数大小即可；
（3）利用方程思想求出长方形的长边，与正方形边长比较大小即可； 【详解】
解：（1）∵小正方形的边长为1cm ， ∴小正方形的面积为1cm 2， ∴两个小正方形的面积之和为2cm 2， 即所拼成的大正方形的面积为2 cm 2，
cm ， （2）∵22r ππ=，
∴r =
∴2=2C r π=圆， 设正方形的边长为a ∵22a π=，
∴a
∴=4C a =正
∴1C C ==
=
<圆正
故答案为：＜；
（3）解：不能裁剪出，理由如下： ∵长方形纸片的长和宽之比为3:2， ∴设长方形纸片的长为3x ，宽为2x ， 则32300x x ?=， 整理得：250x =，
∴2
2
(3)9950450x x ==?=， ∵450＞400， ∴2
2
(3)20x >， ∴320x >，
∴长方形纸片的长大于正方形的边长， ∴不能裁出这样的长方形纸片． 【点睛】
本题通过圆和正方形的面积考查了对算术平方根的应用，主要是对学生无理数运算及比较
大小进行了考查．
26．（1）3，﹣3；（2）1．
【分析】
<解答即可；
（1）根据34
（2）根据23得出a，根据34得出b，再把a，b的值代入计算即可．【详解】
<<，
（1）∵34
3﹣3，
故答案为：3﹣3；
（2）∵23，a2，
∵34，
∴b＝3，
a+b2+31．
【点睛】
此题考查无理数的估算，正确掌握数的平方是解题的关键.