6.3 实数
第2课时 实数的运算
一、新课导入
1.导入课题：
把有理数扩充到实数之后，有理数关于相反数和绝对值的意义，大小比较以及运算法则和运算律等同样适合于实数，这节课我们就来学习这些内容（板书课题）.
2.学习目标：
（1）理解实数的相反数、绝对值的意义，会求一个实数的相反数和绝对值.
（2）会比较实数的大小.
（3）知道有理数的运算法则和运算性质等在实数范围内仍成立，会进行简单的实数运算.
3.学习重、难点：
重点：实数的运算.
难点：运算律和运算性质在实数运算中的运用.
二、分层学习
1.自学指导：
（1）自学范围：课本P 54“思考”上面一行至P 55例1为止的内容.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学要求：认真阅读课文，将重要法则和性质做上记号，注意例1的解题要领.
（4）自学参考提纲：
①有理数关于相反数和绝对值的意义适用于实数吗？
②完成课本P54“思考”中的填空，由此你能得出实数的相反数和绝对值的意义吗？
③填空：绝对值是它本身的数是正实数,绝对值是它的相反数的数是负实数，绝对值最小的实数是0.
④求下列各数的相反数与绝对值：
2.5，-π2 -2，0
答案：相反数：-2.5，7，π
2
,2-3,0;
绝对值：2.5，7，π
2
,2-3,0.
⑤求下列各式中的实数x：
|x|=2
3
; |x|=0; |x|=10; |x|=π.
答案：上面四个小题的答案依次为：x=±2
3
;x=0;x=±10;x=±π.
2.自学：同学们可结合自学指导进行学习.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：教师巡视课堂，了解学生的自学情况.
②差异指导：根据学情进行相应的指导.
（2）生助生：小组内同学间相互交流和纠错.
4.强化：实数的相反数和绝对值的意义.
1.自学指导：
（1）自学范围：课本P55最后自然段至P56例2为止的内容.
（2）自学时间：6分钟.
（3）自学要求：认真阅读课文，体会运算律和运算性质在实数的运算中是如何运用的.
（4）自学参考提纲：
①当有理数扩充到实数后，实数不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样运用.
②仿照例2计算：①22②232.答案：①2;32.
③例3是无理数的近似计算题,是通过取近似值转化为有理数进行计算的,分析其过程，你能说说中间的近似值与最终的近似值在取法上有什么不同吗？
2.自学：同学们可结合自学指导进行学习.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：教师巡视课堂，了解学生的自学情况.
②差异指导：根据学情进行相应指导.
（2）生助生：小组内同学间互相交流研讨、互助解疑难.
4.强化：
（1）在进行实数运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样运用.
（2）近似计算时，计算过程中所取的近似值要比题目要求的精确度多取一位小数.
三、评价
1.学生的自我评价：学生代表交流学习目标的达成情况及学习的感受等.
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：教师对学生在本节课学习中的整体表现进行总结和点评.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）：
本课时教学应从学生已有的认识出发，借助有理数知识，拓展延伸到实数范围内的知识认识，注重学生间的自主探究、交流，从而完成对实数知识的理解.
实数的运算是有理数运算的扩展，引领学生适时地把有理数的运算法则延伸到实数运算领域，理解二者间的联系与区别.
(时间：12分钟满分：100分)
一、基础巩固（70分）
1.（10分）填表：
2.（20分）用计算器计算（结果保留小数点后两位）：
（153（2）6π2
解：（153+0.145≈2.236-1.732+0.145≈0.65.
（2）π≈1.817-3.142-1.414≈-2.74.
3.（20分）计算：
（1）; （2）
解：（1）. （2）|=-4.(20分)比较下列各组数的大小：
（1）π，3.1416;（2 1.732;（3-3，22;（4）2，3,
解：（1）π≈3.141592654<3.1416; （2≈1.732050808>1.732;
（3-3≈-0.763932022≈0.118033988,;
(4) 2≈0.707106781, 3≈0.577360269,∴2>3. 二、综合运用（20分）
5.(10分)若a 2=25,|b|=3,则a+b 的所有可能值为（D ）
A.8
B.8或2
C.8或-2
D.±8或±2
6.（10分）计算： ()12
-2+-2|.
解：()12
-2+-2|
=14-2-12
=-14. 三、拓展延伸（10分）
7.要生产一种容积为36πL 的球形容器，这种球形容器的半径是多少分米？（球的体积公式是V=
43πR 3，其中R 是球的半径） 解：由V=43πR 3得36π=43
πR 3，∴R 3=27, ∴R=3(dm).
答：这种球形容器的半径是3dm.
7.1算术平方根 【学习目标】 1.理解算术平方根的概念。 2.会求正数的算术平方根。【知识准备】 1. 一个正方形的面积是4，它的边长是 。 2. 一个正方形的面积是9，它的边长是 。 3. 一个正数的平方是16，这个数是 。【自学提示】 自学课本第40页的内容，完成下列知识：1. 算术平方根： 记作： 读作： 2. 特别地规定0的算术平方根是 ，即 。3. ()2= (a ) a 0≥想一想，为什么上面的式子中a 0？≥【问题积累】你遇到的疑惑： 【共同释疑】 例1 求下列各数的算术平方根：（1） 49 （2）100 （3） （4）0.6416 9 对应练习 求下列各数的算术平方根： （1）36 （2）0 （3）1 （4） （5） （6）（-0.3）2 9125 16例2铺一间面积为60m 2的教室的地面，需用大小完全相同的240块正方形地板砖。每块地 板砖的边长是多少？ 对应练习 一个正方形运动场地的面积是625m 2，它的边长是多少？【当堂测试】 1.算术平方根等于它本身的数是 。 2.判断 （1）5是25的算术平方根；（ ）（2）9是3的算术平方根；（ ）（3）6是的算术平方根；（ ） 36
（4）-1是1的算术平方根。（ ）3.计算 （1） （2） （3） 14449 25 10000（4） （5）（）2 （6） （ ）2 0049.04100 814.计算﹙ 选做题﹚（1） － （2） ×01.025.09425 9（3）×﹙﹣﹚ （4）× 1610012136.0324 225 7.2 勾股定理 【学习目标】 1、经历勾股定理的探索过程，感受数形结合的思想，积累数学活动经验. 2、掌握勾股定理，会用勾股定理解决与直角三角形有关的问题. 3、尝试用多种方法验证勾股定理，体验解决问题方法的多样性.【知识准备】 直角三角形、正方形及梯形的面积计算公式： ， ， . =△S =□S =梯形S 【自学提示】 一、自学教材第43页-44页例1内容，完成下列题目： 1、图7-3①中四边形Ⅰ的形状是 ，它的面积是 .1S 2、图7-3①中四边形Ⅱ的形状是 ，它的面积是 . 2S
6.1平方根导学案（第1课时） 设计 杨振军 审核 时间 课时 班级 姓名 小组 批改 一、教学目标1.经历算术平方根概念的形成过程，了解算术平方根的概念. 2.会求某些正数（完全平方数）的算术平方根并会用符号表示. 二、重点和难点1.重点：算术平方根的概念. 2.难点：算术平方根的概念. 三、自主探究 学校要举行美术作品比赛，扎西很高兴.他想裁出一块面积为25平方分米的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少分米？ （一）说这块正方形画布的边长应取多少分米？你是怎么算出来的？ 答：因为52 ＝25，所以这个正方形画布的边长应取5分米。 （二） （自主完成下表） 正方形的面积 9 16 36 1 425 边长 这个实例中的问题、填表中的问题实际上是一个问题，什么问题？它们都是已知正方形面积求边长的问题.通过解决这个问题，我们就有了算术平方根的概念. 正数3的平方等于9，我们把正数3叫做9的 . 正数4的平方等于16，我们把正数4叫做16的算术平方根，16叫4的 . 说说6和36这两个数之间的关系？说说1和1这两个数呢？ 同桌之间互相说一说5和25这两个数.（同桌互相说） 说了这么多，同学们大概已经知道了算术平方根的意思.那么什么是算术平方根呢？还是先在小组里讨论讨论，说说自己的看法. （三）什么是算术平方根呢？如果一个正数的平方等于a ，那么这个正数叫做a 的算术平方根 请大家把算术平方根概念默读两遍.（生默读） 如果一个正数的平方等于a ，那么这个正数叫做a 的算术平方根.为了书写方便，我们把a 的算术平方根记作a （板书：a 的算术平方根记作a ）. （指准上图）看到没有？这根钓鱼杆似的符号叫做根号，a 叫做被开方数，a 表示a 的算术平方根. 四、精讲精练 根号 被开方数 a
18.1变量与函数学案 Ⅰ、教学目标 1、知识与技能目标： 运用丰富的实例，使学生从具体的问题情境中了解常量与变量的含义，能分清实例中的常量与变量，领悟函数的概念，了解自变量与函数的意义。 2、过程与方法目标： 通过动手实践与探索，让学生参与变量的发现与函数的形成过程，感受获取知识的成功体验，提高学生分析问题和解决问题的能力。 3、情感态度价值观目标： 在引导学生探索实际问题的数量关系中，培养学生学习数学的兴趣并积极参与数学活动的热情，在解决问题的过程中体会数学的应用价值。 Ⅱ、教学重点 了解常量与变量的意义；理解函数概念和自变量的意义；确定函数关系式。Ⅲ、教学难点 函数概念的理解；函数关系式的确定 Ⅳ、教学过程 一、自主探究 （一）提出问题，创设情景 问题一：汽车以 60 千米/时的速度匀速行驶，行驶路程为 s 千米，行驶时间为 t 小时。 问题二：电影票的售价为10元∕张。第一场售出150张票，第二场场售出205张票，第三场场售出310张票，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售票x 张，票房收入y元．?怎样用含x的式子表示y ? 问题三：你见过水中涟漪吗？圆形水波慢慢地扩大，在这一过程中，当圆的半径r 分别为 10 cm，20 cm，30 cm 时，圆的面积S 分别为多少？S的值随r的变化而变化吗？ 问题四：用100 cm长的绳子围一个矩形，当矩形的一边长x 分别为 30 cm，35 cm，40 cm，45 cm 时，它的邻边长y 分别为多少？y的值随x的变化而变化吗？ 小结：以上这些问题都反映了不同事物的变化过程，其实现实生活中还有好多类似的问题，在这些变化过程中，有些量的值是按照某种规律变化的（如……），有些量的数值是始终不变的（如……）。 （二）归纳总结： 1、在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为________； 2、在一个变化过程中，我们称数值始终不变的量为________； （三）快速抢答： 练习1 指出下列问题中的变量和常量： （1）某市的自来水价为 4 元／t。现要抽取若干户居民调查水费支出情况，记某户月用水量为 x t，月应交水费为 y 元。 （2）某地手机通话费为 0.2 元／min ，李明在手机话费卡中存入30元，记此后他的手机通话时间为 t min ，话费卡中的余额为 w 元。 二、合作探究 （一）合作交流： 1、在研究的每个问题中，都出现了两个变量，它们之间是相互影响，相互制约的． 2、同一个问题中的变量之间有什么联系？（请同学们自己分析“问题一”中两个变量之间的关系，进而再分析上述所有实例中的两个变量之间是否有类似的关系．） 归纳：上面每个问题中的两个变量相互联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有________确定的值与其对应。 （二）归纳概念： 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x?的每一个确定的值，y?都有唯一确定的值与其对应，?那么我们就说x?是______，y是x的_______． 如果当x=a时y=b，那么b?叫做当自变量的值为a时的_________． 用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法．这种式子叫做函数的解析式． （三）巩固练习 练习2下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？试写出函数的解析式。 （1）改变正方形的边长x，正方形的面积S 随之变化； （2）每分向一水池注水0.1 m3，注水量y（单位：m3）随注水时间x（单位：min）的变化而变化；
平方根导学案（第1课时） 一、教学目标 1.经历算术平方根概念的形成过程，了解算术平方根的概念. 2.会求某些正数（完全平方数）的算术平方根并会用符号表示. 二、重点和难点：算术平方根的概念. 三、自主探究 （自主完成下表） 算术平方根呢:________________________________________________ 为了书写方便，我们把a 的算术平方根记作____.a 叫做______a 的算术平方根. 四、1、 求下列各数的算术平方根：（要注意解题格式，解题格式要与课本上的相同） (1)49 64 ； (2)0.0001. 2、填空：(1)因为_____2 =64，所以64的算术平方根是______＝______； (2)因为_____2=0.25，所以0.25的算术平方根是____________； (3)因为_____2 = 1649，所以1649的算术平方根是____________. 3、求下列各式的值： ＝______；______；______； ______；＝______；＝______. 4、根据112 ＝121，122 ＝144，132 ＝169，142 ＝196，152 ＝225，162 ＝256，172 ＝289，182 ＝ 324，192 ＝361，填空并记住下列各式： _______，_______，_______， _______，_______，_______， _______，_______，_______. 5、辨析题：卓玛认为，因为(－4)2 ＝16，所以16的算术平方根是－4.你认为卓玛的看法对吗？为什么？
课题：实数（第二课时） 学习目标 1．知识目标 （1）知道实数与数轴上的点是一一对应的 （2）会用有理数估计一个无理数的大致范围. (3)对实数进行大小比较. 2．能力目标 知道实数与数轴上的点是一一对应的,能够对实数进行大小比较. 3．情感目标 渗透数形结合及分类的思想，体验数系的扩展源于实际，又服务于实际的辩证关系。 学习重点、难点 重点：实数与数轴上的点是一一对应的,对实数进行大小比较. 难点：对实数进行大小比较. 节前预习 教材P106页图17—2，探讨以下问题： OA=AB=BC=CD=DE=EF=FG=GH=1 计算各直角三角形斜边的长. OB= , OC= ,OD= ,OE= ,OF= ,OG= ,OH= 其中，是无理数，是有理数。归纳： 有理数可以表示线段的长度，无理数也可以表示线段的长度。 学习过程 合作探究新知 备注 探究一 教材P106页图17—3，探讨以下问题： 在△OAB中，∠OAB=90°,OA=OB=1且OC=OB=OD 由勾股定理得，OB= ，则点A表示的数是， 点C表示的数是，点D表示的数是 .在数 轴上，A、C、O、D由左到右的顺序是， 他们表示的数字由小到大是。 归纳： 1.数轴上的点与实数是的。也就是 说，数轴上的任一点必定表示一个数（包括数和 数）；反过来，每一个实数（数和数）也都可以 用数轴上的点来表示。 2.数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大. 自我展示: 比较下列各组数的大小 提示： （1）正数都大于0，负数都小于0，正数都大于负数. （2）数轴上右边的数大于左边的数. （3）比较两个正数的大小还可以用平方法、作差法.
第一讲 认识无理数 探究点一：无理数的概念及认识 例1：下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ 3．14，－53，0.58·· ，－0.125，－5π，0.35，22 7 ，5.3131131113…(相邻两个3之间1的个数逐次加1)． 方法总结：有理数与无理数的主要区别． (1)无理数是无限不循环小数，而有理数可以用有限小数或无限循环小数表示． (2)任何一个有理数都可以化为分数形式，而无理数则不能． 练习巩固： 1．在实数3.14，2 5 ，3.3333 3，0.412?? ，0.10110111011110…，π， 中，有（ ） 个无理数？ A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 2．下列说法中，正确的是（ ） A ．带根号的数是无理数 B ．无理数都是开不尽方的数 C ．无限小数都是无理数 D ．无限不循环小数是无理数 3.a ） A ．有理数 B ．正无理数 C ．正实数 D ．正有理数 是有理数时，一定有（ ） A ．m 是完全平方数 B ．m 是负有理数 C ．m 是一个完全平方数的相反数 D ．m 是一个负整数 5.已知a 为有理数，b 为无理数，则a +b 为（ ） A ．整数 B ．分数 C ．有理数 D ．无理数 6.设a 、b 互为相反数，但不为0;c 、d 互为倒数;m 的倒数等于它本身，化简 111c m m m d a b ?? ÷++- ??? 的结果是 . 探究点二：用“夹逼法”求无理数的近似值 例2：正数x 满足x 2 ＝17，则x 精确到十分位的值是________． 方法总结：估计x 2 ＝a (a >0)中的正数x 各位上的数字的方法：(1)估计x 的整数部分，看它在哪两个连续整数之间，较小数即为整数部分；(2)确定x 的十分位上的数，同样寻找它在哪两个连续整数之间；(3)按照上述方法可以依次确定x 的百分位、千分位、…上的数，从而确定x 的值． 第二讲 平方根 探究点一：算术平方根的概念 【类型一】 求一个数的算术平方根 例1：求下列各数的算术平方根： (1)64； (2)214 ； (3)0.36； (4)412－402 .
第二十一章一元二次方程 21．1 一元二次方程 预习检测 1.一元二次方程必须同时具备的三个条件： ①方程的两边都是；②方程中只含有个未知数；③未知数的最高次数是. 2.一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理（去分母、去括号、移项、合并同类项等），都能化成,这种形式叫一元二次方程的一般形式.其中是二次项,是二次项系数；是一次项,是一次项系数；是常数项. 问题思考 1.下面的这些方程是一元二次方程吗？为什么？ ⑴0422=-+x x ； ⑵942=x ； ⑶3x =0； ⑷7532 =-x y ； ⑸ 13 2 =+x x ； ⑹22)1()2(-=+x x ； ⑺x x 32-=. 2.关于x 的方程0232=+-x mx 一定是一元二次方程吗？为什么？ 3.若关于x 的方程 012)2(=-++x x m m 是一元二次方程，则m =. 当堂检测 1.已知关于x 的方程：①0322 =-x ；②111 2 =-x ；③013 1212=+-x x ; ④022=++c y ay ；⑤5)3)(1(2+=+-x x x ；⑥02 =-x x ； 2 x -=
其中是一元二次方程的有（只填序号）. 2.方程 0112 =++mx x m )－（是关于x 的一元二次方程，则m 的值是（ ） A.任何实数 B.0≠m C .1≠m D.1-≠m 3.若x x m －m +-2 2 2)(-3=0是关于x 的一元二次方程，则m 的值是______. 4.将方程化成一般形式为___________,它的二次项系数为 _____，一次项系数为_____，常数项为______. 5.（湛江）湛江市2009年平均房价为每平方米4000元．连续两年增长后，2011年平均房价达到每平方米5500元，设这两年平均房价年平均增长率为x ，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A ．5500（1+x ）2=4000 B ．5500（1-x ）2 =4000 C ．4000（1-x ）2=5500 D ．4000（1+x ）2 =5500 ★6．把关于x 的一元二次方程(2－n )x 2 －n (3－x )＋1=0化为一般形式为_______________，二次项系数为______，一次项系数为______，常数项为______． ★7.已知关于x 的方程 013)1()12 2=-+++-m x m x m （，求当m 为时，它是一元二次方程.当m 为时，它是一元一次方程. ★8.一元二次方程0)1()1(2 =+-+-c x b x a 化为一般形式后为01322=-x x －，则 c b a +的值为. ★★9.已知a 是方程0120142=+-x x 的一个根，求1 2014 201322++-a a a 的值. 21．2 解一元二次方程 21.2．1配方法（第一课时） 预习检测 1.解方程：092 =-x 解：移项得，92 =x ， 因此，=x ．（这里实际上就是求9的平方根.） 2 (21)(3)(21)6x x x -+--=
初中数学-实数(第1课时)导学案 学习目标 1.知道什么叫无理数、实数，并能对实数进行分类. 2.感受数系的扩充，通过自主探究，感受实数与数轴上点的一一对应关系，体验数形结合的优越性，发展类比和归纳能力. 自主学习 1.把下列各数写成小数的形式，你有什么发现? 2，-5，0，14，-，，-911. 2.有理数分类: 有理数{ 整数{正整数 零 负整数分数{正分数负分数 合作探究 合作探究一 1.你能举出几个无理数吗? 2.请同学们思考，无理数的常见形式有哪些? 合作探究二 实数的分类: 深化探究 1.下列说法正确的有( ) A.带根号的数都是无理数
B.无限小数是无理数 C.无限不循环小数是无理数 D.有理数只包括无限循环小数 2.12 3.032 032 032是( ) A.无限循环小数 B.无限不循环小数 C.无理数 D.有理数 3.下列说法中正确的有( ) ①无理数都是实数 ②实数都是无理数 ③无限小数都是有理数 ④带根号的数都是无理数 ⑤除了π之外不带根号的数都是有理数 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.把下列各数填在相应的大括号内: 0，√8，-，，-√27，-2，，，1.，，0.101 001 000 1… 自然数集合{ }; 有理数集合{ }; 正数集合{ }; 整数集合{ }; 无理数集合{ }; 分数集合{ }; 5.√32 分数.(填“是”或“不是”) 6.比较大小:√140 12.(填“<”或“>”或“=”) 课堂练习 1.下列各数0.515 153 54…，0，0.2·，3π，227，6.101 001 000 1…，，中，无理数的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.实数-23，0，-π ，3.141 592 6，，中无理数，m 个，则m 等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3. 面积为10的正方形的边长为x ，那么x 的取值范围是( )
课题：第6章《实数》复习导学案 课型 复习课 学习目标：1、巩固实数的有关概念和相关性质。 2、熟练运用实数的有关性质进行运算、化简，以及实数的实际应用。 学习重点：巩固实数的有关概念和相关性质。 学习难点：熟练运用实数的有关性质进行运算、化简，以及实数的实际应用。 学习过程：一、 知识结构： 二、 专题一 你知道算术平方根、平方根、立方根联系和区别吗？ 算术平方根 平方根 立方根 表示方法 性质 正数 0 负数 是本身的数 二次备课（或学生笔记栏）： 开立方 开平方 互为逆运算 实数 实数
学习过程：1.说出下列各数的平方根和算术平方根。 （1） 169 （2）0.16 （3）2 25 14 （4） 102 （5）︳—29 7 ︳ 2.说出下列各数的立方根： （1） -0.008 （2） 0.512 （3）— 64 27 3.说出下列各式的值 （1） — 81； （2）3 125； （3） ()225-； （4） — 3 027.0； （5）36 25 ± 三、 专题二 常见的无理数： 1、把下列各数填入相应的集合内： -8.6， 5，9， 32，179 ，3 64，0.99，-π，0.76 （1）有理数集合：﹛ ﹜ ； （2）无理数集： ﹛ ﹜ ； （3）正实数集合：﹛ ﹜ ； （4）负实数集合：﹛ ﹜ ； 2、判断下列说法是否正确： （1） 实数不是有理数就是无理数。 （ ） （2） 无限小数都是无理数。 （ ） （3） 无理数都是无限小数。 （ ） （4） 带根号的数都是无理数。 （ ） （5） 两个无理数之和一定是无理数。 （ ） （6） 所有的有理数都可以在数轴上表示，反过来，数轴上所有的点 都表示有理数。 （ ） 四、 分层练习： 第一组题目： 1.判断对错： （1）2- 、2-都没有意义.（ ） （2）0.01是0.1的算数平方根.（ ） 二次备课（或学生笔记栏）： 教学反思（学习小结）
2.2.2平方根（2） 【教学目标】： 1.了解平方根的概念、开平方的概念. 2.明确算术平方根与平方根的区别与联系. 3.进一步明确平方与开方是互为逆运算. 【教学重难点】： 平方根与算术平方根的区别与联系. 平方根：如果一个数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个数x 就叫做a 的平方根（也叫二 次方根）。 注意：（1）一个正数a 必须有两个平方根，一个是a 的算术平方根“a ” ，另外一个是“-a ”,读作“负根号a ” ，它们互为相反数；（2）0只有一个平方根，是它本身；（3）负数没有平方根。 3、开平方：求一个数a 的平方根的运算。其中a 叫做被开方数。 ???<-≥==)0()0(2a a a a a a ()a a =2()0≥a 探讨，总结： 平方根与算术平方根的联系与区别 联系： (1)具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种. (2)存在条件相同：平方根和算术平方根都是只有非负数才有. (3)0的平方根，算术平方根都是0. 区别： (1)定义不同：“如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根”；“非负数a 的非负平方根叫a 的算术平方根”. (2)个数不同：一个正数有两个平方根，而一个正数的算术平方根只有一个. (3)表示法不同：正数a 的平方根表示为±a ，正数a 的算术平方根表示为a . (4)取值范围不同：正数的平方根一正一负，互为相反数；正数的算术平方根只有一个. 一个正数有两个平方根，它们互为相反数。0只有一个平方根，它是0本身。负数没有平方根。一个正数a 有两个平方根,它们互为相反数。正数a 的正的平方
实数复习课导学案 一、复习目标： 1、对本章的知识点进行整合，形成知识网络（重点） 2、进一步熟悉本章的重要知识点的应用（难点） 二、复习流程： （一）、回忆整理 1、实数的有关概念：算术平方根 无理数 勾股数组 平方根 开平方 立方根 开立方 实数 2、勾股定理：勾股定理 逆定理 3用计算器求平方根和立方根 （二）、交流提高：（同学间、小组间对上述教学内容交流一下，谈收获，形成知识结构） （三）典例剖析： 1、已知实数x.y 满足（2x-3y-1）2+22+-y x =0 求2x-5 3y 的平方根。 （非负数的性质） 2、比较-53和-43的大小。 （负无理数的比较） 3、实数a 对应的点在数轴上的位置如图所示， 则a,-a, a 1,a 2的大小关系是＿ （用“<”连接） （四）巩固练习： <一>选择：1、化简4)2(-的结果是（ ） A-4 B.4 C.±4 D.无意义
2、下列各式无意义的是（ ） A 、23- B 、33)3(- C 、2)3(- D 、310- 3、若a 是b 的一个平方根，则b 的平方根是（ ） A 、a B 、—a C 、±a D 、a 2 4、25的算术平方根是（ ） A 、5 B 、5 C 、-5 D 、±5 5、414，226 ，15三个数的大小关系是（ ） A 、414<15< 226 B 、226<15< 414 C 、414<226<15 D 、226<414<15 6、估算24+3的值（ ） A 、在5和6之间 B 、在6和7之间 C 、在7和8之间 D 、在8和9之间 <二>、填空题 1、25的算术平方根是————。 2、如果3+x =2那么（x+3）2=————。 3、若2)1+-a （是一个实数，则a=＿＿＿ 4、若xy=-2,x-y=52-1,则 (x+1)(y-1)=＿＿ 5、若22-a 与｜b+2｜是互为相反数，则（a-b ）2=＿＿ 6、若a 3=b 4，那么b b a +2的值是＿＿＿ （五）课堂总结 1、针对练习中出现问题的原因 2、总结思想方法 （六）拓展提升 1、已知5+11的小数部分为a,5-11的小树部分为b. (1)求a+b 的值 （2）求a-b 的值 2、物体自由下落的高度h(米)和下落的时间（秒）的关系是：在地球上大约是h=4.9t 2,
6.1.1平方根（第一课时）】 知识与技能：通过实际生活中的例子理解算术平方根的概念，会求非负数的算术平方根并会用符号表示； 过程与方法：通过生活中的实例，总结出算术平方根的概念，通过计算非负数的算术平方根，真正掌握算术平方根的意义。 情感态度与价值观：通过学习算术平方根，认识数与人类生活的密切联系，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维，为学生以后学习无理数做好准备。 教学重点：算术平方根的概念和求法。 教学难点：算术平方根的求法。 一、情境引入： 问题：学校要举行美术作品比赛，小欧很高兴，他想裁出一块面积为225dm 的正方形画布，画上自己得意的作品参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？ 二、探索归纳： 1.探索： 学生能根据已有的知识即正方形的面积公式：边长的平方等于面积，求出正方形画布的边长为dm 5。 接下来教师可以再深入地引导此问题： 如果正方形的面积分别是1、9、16、36、 25 4 ，那么正方形的边长分别是多少呢？学生会求出边长分别是1、3、4、6、5 2 ，接下来教师可以引导性地提问：上面的问题它们有共同点吗？它们的本质是什 么呢？这个问题学生可能总结不出来，教师需加以引导。上面的问题，实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题。 2.归纳： ⑴算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a 那么这个正数x 叫做a 的算术平方根。⑵算术平方根的表示方法：a 的算术平方根记为a ，读作“根号a ”或“二次很号a ”，a 叫做被开方数。 三、应用： 例1、 求下列各数的算术平方根： ⑴100 ⑵ 6449 ⑶9 7 1 ⑷0001.0 ⑸0 注：①根据算术平方根的定义解题，明确平方与开平方互为逆运算； ②求带分数的算术平方根，需要先把带分数化成假分数，然后根据定义去求解；③0的算术平方根是0。由此例题教师可以引导学生思考如下问题： 你能求出－1,－36,－100的算术平方根吗？任意一个负数有算术平方根吗？
第六章 实 数 6.3 实 数 第1课时 实 数 （导学案） （2011人教版七年级下册） 学习目标 1、知识与技能：了解无理数实数的概念，并能将实数按要求进行分类。了解实数与数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示无理数。 2、过程与方法：经历实数概念和实数与数轴上点之间关系的学习，让学生体会从特殊到一般，数形结合等数学思想方法。 3、情感态度与价值观：在探究新知的过程中，让学生学会合作与交流，培养学生团队合作意识。 学习重点 正确理解实数的概念及其分类。 学习难点 正确理解实数的概念及其与数轴的关系。 学习过程 一、情景导入 1、 我们知道有理数包括整数和分数，把下列分数写成小数的形式，它们有什么特征？ 52= 35-= 274= 119= 911= 2. 任意写一个分数，把它化成小数，是否仍然具有这个特征？整数能写成小数的形式吗？ 思考 由此你可以得到什么结论？ 二、新知探究 探究（一）：无理数的概念 1、我们在前面探究了2有多大时，它是整数吗？它是分数吗?它是什么数？学过的数是否都是有理数呢？请举例说明。 2、常见的无理数有哪些形式？ 思考:π 是无理数吗？1.010 010 001 000 01…是无理数吗？ 探究（二）、实数的分类 思考：我们将有理数和无理数统称为实数，仿照有理数的分类吗？你能给实数分类吗？ 探究（三）、实数与数轴上的点 思考1： 如图，直径为１个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上一点从原点到达A 点，则数轴上表示点A 的数是多少？ 思考2：你能在数轴上表示出2和2-吗？ 0 -2 -1 1 3 2 4
把两个边长为1的小正方形通过剪、拼，得到一个大正方形，大正方形的边长为 ，从而说明边长为1的小正方形的对角线为 . 由思考1、2我们可以得到实数与数轴上的点之间有什么关系？ 三、巩固练习 1.判断快枪手——看谁最快最准！ （1）实数不是有理数就是无理数. （ ） （2）无理数都是无限不循环小数. （ ） （3）带根号的数都是无理数. （ ） （4）无理数都是无限小数. （ ） （5）无理数一定都带根号. （ ） 2. 将下列各数分别填入下列相应的括号内： 39，1 4，7，π，16-，5-，38-，49，0，25，0.3737737773…… 无理数 有理数 正实数 负实数 3.下列说法正确的是（ ） A.a 一定是正实数 B. 22 17 是有理数 C. 22是有理数 D.数轴上任一点都对应一个有理数 4.有一个数值转换器，原理如下，当输x =81时，输出的y 是 （ ） A 、9 B 、3 C 、3 D 、3± 四、课堂小结 通过本节课的学习，你觉得自己有哪些收获愿意和同学们一起分享呢？ 五、课后作业 是无理数 输入x 取算术平方根 输出y 是有理数 0 -2 -1 1 3 2 4
第六课时：6.3 实数（一） 【学习目标】1、了解实数的意义，能对实数按要求进行分类。 2、了解实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义。 3、了解数轴上的点与实数一一对应，能用数轴上的点来表示无理数。 【学习重点】理解实数的概念。 【学习难点】正确理解实数的概念 一、学前准备 1、填空：（有理数的两种分类） 有理数 有理数 2、 把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？ 3= ， 31= ， 35- = ，478 = ，911 = ，119 = 3、你能将0.353535…化成分数吗？ 二、探索思考 1、探究一、归纳： 任何一个有理数都可以写成_______小数或________小数的形式。反过来，任何______小数或____________小数也都是有理数 观察 通过前面的探讨和学习，我们知道，很多数的_____根和______根都是____________小数， ____________小数又叫无理数， 3.14159265 π =也是无理数 结论： _______和_______统称为实数 2、把实数分类 练习一、 1、把下列各数分别填入相应的集合里： 22 73.141,,,,,1.414,0.020202,7378 π---- 正有理数{ } 负有理数{ } 正无理数{ } 负无理数{ } 探究二、每个有理数都可以用数轴上的点来表示，无理数是否也可以用数轴上的点来表示呢？ 想一想：怎样在数轴上表示出π，2 归纳： ①每一个无理数都可以用数轴上的__________表示出来，这就是说，数轴上的点有些表示__________，有些表示__________； 当从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点就是__________的，即每一个实数都可以用数轴上的__________来表示；反过来，数轴上的__________都是表示一个实数 ② 与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数______ ③ 当数从有理数扩充到实数以后，有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数 数a 的相反数是______，这里a 表示任意____________。 一个正实数的绝对值是______；一个负实数的绝对值是它的______；0的绝对值是______ 练习二、 1、 3-的相反数是 ，绝对值 ；绝对值等于5的数是 ，7-的平方是 2、 2= ； =-π ；=0 ；=-364 ； 三、当堂反馈 1、判断下列说法是否正确： ①实数不是有理数就是无理数。 （ ） ②无限小数都是无理数。 （ ） ③无理数都是无限小数。 （ ） ④带根号的数都是无理数。 （ ） ⑤两个无理数之和一定是无理数。（ ） ⑥所有的有理数都可以在数轴上表示，反过来，数轴上所有的点都表示有理数。（ ） 2． 叫无理数， 统称实数； 与数轴上的点一一对应． 3．把下列各数填入相应的集合： －1、3、π、－3.14、9、26-、2-、7.0 ． （1）有理数集合｛ ｝；（2）无理数集合｛ ｝； （3）正实数集合｛ ｝；（4）负实数集合｛ ｝． 4 、下列实数中是无理数的为（ ）A. 0 B. 3.5- 5、如图，在数轴上表示实数15的点可能是（ ） A ．P B ．Q 点 C ．M 点 D ．N 点 6、在数轴上与1距离是 2的点表示的实数为______． 7、2的相反数是________；2 1-的倒数是________； 3 5-的绝对值是________． 四、学习反思 实数
人教版七年级数学下册导学案 第六章 实数 6.3 实数（第一课时） 【学习目标】 1、了解实数的意义，能对实数按要求进行分类。 2、了解实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义。 3、了解数轴上的点与实数一一对应，能用数轴上的点来表示无理数。 【课前预习】 12的整数部分是a ，小数部分是b b -的值是（ ） A ．5 B ．5- C ．3 D ．3- 2．在实数 1.414-，π，3.14，2+ 3.212212221…中，无理数的个数是（ ）个． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．在数227，02112 π-，3.2020020002…（相邻的两个2之间依次多一个0）中，无理数有（ ） A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个 4．估算6 ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 5．如图，A 、B 、C 、D 的点是（ ） A ．点A B ．点B C ．点C D ．点D 6．下列说法中：①立方根等于本身的是1-,0,1；②平方根等于本身的数是0,1；③两个无理数的和一定是无理数；④实数与数轴上的点是一一对应的；⑤23 π- 是负分数；⑥两个有理数之间有无数个无理数，同样两个无理数之间有无数个有理数．其中正确的个数是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 73+的值应在（ ） A ．5和6之间 B ．6和7之间 C ．7和8之间 D ．8和9之间 8．各个数位上数字的立方和等于其本身的三位数叫做“水仙花数”．例如153是“水仙花数”，因为333153153++=．以下四个数中是“水仙花数”的是（ ） A ．135 B ．220 C ．345 D ．407 9．如图，在数轴上表示A B 、，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 表示的数为（ ）
第十六章 二次根式导学案 二次根式(1) 一、学习目标 1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。 2、掌握二次根式有意义的条件。 3、掌握二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 二、学习重点、难点 重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质． 难点：综合运用性质)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 。 三、学习过程 （一）复习回顾： （1）已知a x =2，那么a 是x 的______;x 是a 的________, 记为______,a 一定是_______数。 （2）4的算术平方根为2 ，用式子表示为 =__________；正数a 的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______；式子)0(0≥≥a a 的意义是 。 （二）自主学习 (1)16的平方根是 ； (2)一个物体从高处自由落下，落到地面的时间是t (单位：秒)与开始下落时的高度h (单位：米)满 足关系式25t h =。如果用含h 的式子表示t ，则t = ； (3)圆的面积为S ，则圆的半径是 ； (4)正方形的面积为3-b ，则边长为 。 思考：16， 5 h ，πs ,3-b 等式子的实际意义.说一说他们的共同特征. 定义: 一般地我们把形如a （0≥a ）叫做二次根式，a 叫做_____________ 4
1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？ 3，16-，34)0(3 ≥a a ，12+x 2、当a 为正数时a 指a 的 ，而0的算术平方根是 ，负数 ，只有非负数a 才有算术平方根。所以，在二次根式a 中，字母a 必须满足 , a 才有意义。 3、根据算术平方根意义计算 ： (1) 2)4( (2) （3）2)5.0( （4）2)3 1( 根据计算结果，你能得出结论： ，其中0≥a , 4、由公式)0()(2≥=a a a ，我们可以得到公式a =2)(a ,利用此公式可以把任意一个非负数写成 一个数的平方的形式。 如(5)2=5；也可以把一个非负数写成一个数的平方形式，如5=(5)2. 练习：(1)把下列非负数写成一个数的平方的形式： 6 0.35 (2)在实数范围内因式分解 72-x 4a 2-11 （三）合作探究 例：当x 是怎样的实数时，2-x 在实数范围内有意义？ 解：由02≥-x ，得 2≥x 当2≥x 时，2-x 在实数范围内有意义。 练习：1、x 取何值时，下列各二次根式有意义？ ________ )(2=a 2)3(
6.3 实数 第2课时 实数的运算 一、新课导入 1.导入课题： 把有理数扩充到实数之后，有理数关于相反数和绝对值的意义，大小比较以及运算法则和运算律等同样适合于实数，这节课我们就来学习这些内容（板书课题）. 2.学习目标： （1）理解实数的相反数、绝对值的意义，会求一个实数的相反数和绝对值. （2）会比较实数的大小. （3）知道有理数的运算法则和运算性质等在实数范围内仍成立，会进行简单的实数运算. 3.学习重、难点： 重点：实数的运算. 难点：运算律和运算性质在实数运算中的运用. 二、分层学习 1.自学指导： （1）自学范围：课本P 54“思考”上面一行至P 55例1为止的内容. （2）自学时间：5分钟. （3）自学要求：认真阅读课文，将重要法则和性质做上记号，注意例1的解题要领. （4）自学参考提纲： ①有理数关于相反数和绝对值的意义适用于实数吗？ ②完成课本P54“思考”中的填空，由此你能得出实数的相反数和绝对值的意义吗？ ③填空：绝对值是它本身的数是正实数,绝对值是它的相反数的数是负实数，绝对值最小的实数是0. ④求下列各数的相反数与绝对值： 2.5，-π2 -2，0
答案：相反数：-2.5，7，π 2 ,2-3,0; 绝对值：2.5，7，π 2 ,2-3,0. ⑤求下列各式中的实数x： |x|=2 3 ; |x|=0; |x|=10; |x|=π. 答案：上面四个小题的答案依次为：x=±2 3 ;x=0;x=±10;x=±π. 2.自学：同学们可结合自学指导进行学习. 3.助学： （1）师助生： ①明了学情：教师巡视课堂，了解学生的自学情况. ②差异指导：根据学情进行相应的指导. （2）生助生：小组内同学间相互交流和纠错. 4.强化：实数的相反数和绝对值的意义. 1.自学指导： （1）自学范围：课本P55最后自然段至P56例2为止的内容. （2）自学时间：6分钟. （3）自学要求：认真阅读课文，体会运算律和运算性质在实数的运算中是如何运用的. （4）自学参考提纲： ①当有理数扩充到实数后，实数不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样运用. ②仿照例2计算：①22②232.答案：①2;32. ③例3是无理数的近似计算题,是通过取近似值转化为有理数进行计算的,分析其过程，你能说说中间的近似值与最终的近似值在取法上有什么不同吗？ 2.自学：同学们可结合自学指导进行学习. 3.助学：
七年级上册数学第四章4.6实数学案 【学习目标】 1、了解实数的概念，会对实数进行分类，会求一个实数的相反数和绝对值。 2、了解实数与数轴上的点一一对应的关系。 【学习重点】了解实数的概念，会找一个实数的相反数和绝对值。 【学习难点】理解实数与数轴上的点一一对应的关系，并会比较两个实数的大小。 【学习过程】（教师寄语：当你的态度发生转变的时候，在学习上有什么不可以！） 一、课前预习：(认真预习，就意味着你走上了一条成功的学习之路) 学习任务一：阅读课本的内容，了解实数的概念，并会对实数分类。 1、 和 统称为实数。 2、 （1）将实数按概念分类： 2、将实数按正数、0、负数分类： 3、 将下列各数进行分类： 0.3, 7, 3.14, , 9-,-2.13,2 π,0.70770777077770…,（两个0之间7的个数逐次增1），0,， 3 ，32-中，整 数有 有理数： 无理数： 正实数： 负实数： 学习任务二：弄清实数与数轴上的点一一对应的关系。仿照例2和例3，进行相应的计算。 1、在数轴上找到下列各点的位置，并标出来。3, —4, ,2 —5 ,0 2、由此可以得到：把有理数扩充到实数后，每一个 都可以用 来表示。反过来， ，而且 也就是说 。 3、与有理数一样，对于数轴上的任意两个点， 比 大。如果a 是实数，那么 就是在数轴上表示数a 的点到原点的距离。 4、 比较各组数中两个数的大小：⑴5- 与—2.24 ⑵2与33 ________________????????????????????? 正有理数正实数实数零 负有理数负实数________ ________????? ???? ???有理数实数无理数________________________?????????????? ? ????? ??????????????? 正有理数有理数有限小数或无限循环小数实数正无理数无理数无限不循环小数
实数 【教材分析】 本章是学习二次根式，一元二次方程的预备知识。在中招考试中多以填空、选择形式出现，有的与后续知识综合出现。本章的概念多，并且比较抽象，但却是以后学习的基础，一定要好好掌握。 【学习目标】 1．进一步巩固实数的定义性质及其运算规律。 2．熟练使用计算器求一些数值的估算值。 3．能运用实数的运算解决简单的实际问题，提高对知识的应用能力。 【学习重难点】 无理数、平方根、算术平方根、立方根及实数的定义与性质，以及实数的运算法则。难点是利用平方根、算术平方根、立方根及实数运算法则的进行有关计算题目，特别是平方根与算术平方根的不同之处。 【学习方法】 学习、练习、讨论。 【学习过程】 一、基本知识回顾 实数的应用 1．无理数的引入。无理数的定义无限不循环小数。
20 200002233..无理数的表示算术平方根定义如果一个非负数的平方等于，即那么这个非负数就叫做的算术平方根，记为，算术平方根为非负数平方根正数的平方根有个，它们互为相反数的平方根是负数没有平方根定义：如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根，记为立方根正数的立方根是正数负数的立方根是负数的立方根是定义：如果一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根，记为x a x a x a a a a x a a a x a x a x a a =≥???????=±???????=?????????????????????????30.实数及其相关概念概念有理数和无理数统称实数分类有理数无理数或正数负数绝对值、相反数、倒数的意义同有理数实数与数轴上的点是一一对应 实数的运算法则、运算规律与有理数的运算法则运算规律相同。???????????????????????????