【考点精讲】
例题2 已知幂函数f (x )=3
22--m m x (m ∈N *)的图象关于y 轴对称,且在(0,+∞)
上是减函数,求满足3
)
1(m
a -+<3
)
23(m a -
-的a 的取值范围。
思路导航:解答此类问题可分为两步:第一步,利用单调性和奇偶性(图象对称性)求
出m 的值或范围;第二步,利用分类讨论的思想,结合函数的图象求出参数a 的取值范围。
答案:∵函数在(0,+∞)上递减,
∴m 2-2m -3<0,解得-1<m <3。 ∵m ∈N *,∴m =1,2。
又函数的图象关于y 轴对称,∴m 2-2m -3是偶数, 而22-2×2-3=-3为奇数,12-2×1-3=-4为偶数, ∴m =1。 而3
1)(-=x x f 在(-∞,0),(0,+∞)上均为减函数,
∴3
1
31)23()
1(---<+a a 等价于a +1>3-2a >0
(答题时间:15分钟)
1. 已知幂函数y =f (x )通过点(2,,则幂函数的解析式为( )
A. y =212x
B. y =12x
C. y =32x
D. y =5
21
x 2
2. 下列命题中正确的是
( )
A. 当0=α时函数αx y =的图象是一条直线
B. 幂函数的图象都经过点(0,0)和(1,1)
C. 若幂函数αx y =是奇函数,则αx y =是定义域上的增函数
D. 幂函数的图象不可能出现在第四象限
3. 已知(0.71.3)m <(1.30.7)m ,则实数m 的取值范围是( ) A.(0,+∞) B.(1,+∞) C.(0,1) D.(-∞,0)
m
1. C 解析:设y =x α,则由已知得,
2α
,
即32
2=2α
,∴α=3
2
,∴f (x )=3
2x 。
2. D 解析:A 错,当0α=时函数y x α=的图象是一条直线(去掉点(0,1));B 错,如幂函数1-=x y 的图象不过点(0,0);C 错,如幂函数1-=x y 在定义域上不是增函数;
式。
幂函数的概念及其性质 一、单选题(共12道,每道8分) 1.下列命题正确的是( ) A.幂函数在第一象限都是增函数 B.幂函数的图象都经过点(0,0)和(1,1) C.若幂函数是奇函数,则是定义域上的增函数 D.幂函数的图象不可能出现在第四象限 答案:D 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:幂函数的图象 2.下列函数中既是偶函数,又在(-∞,0)上是增函数的是( ) A. B. C. D. 答案:C 解题思路:
试题难度:三颗星知识点:幂函数的单调性、奇偶性及其应用 3.若幂函数上是减函数,则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案:B 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:幂函数的单调性 4.当时,幂函数为减函数,在实数m的值是( ) A.2 B.﹣1 C.﹣1或2 D. 答案:A 解题思路:
试题难度:三颗星知识点:幂函数的单调性5.函数的图象大致是( ) A. B. C. D. 答案:B 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:幂函数的图象
6.若是幂函数,且满足,则的值是( ) A. B. C.2 D.4 答案:B 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:幂函数的解析式及运算 7.已知幂函数在区间上是单调递增函数,且函数的图象关于y轴对称,则的值是( ) A.16 B.8 C.﹣16 D.﹣8 答案:A 解题思路:
试题难度:三颗星知识点:幂函数的图象与性质 8.若,则不等式的解集是( ) A. B. C. D. 答案:D 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:幂函数的单调性 9.已知,,下列不等式:①;②;③;
第二章函数概念与基本初等函数I 一. 课标要求: 函数是高中数学的核心概念,本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习,强调结合实际问题,从而发展学生对变量数学的认识。教材把指数函数,对数函数,幂函数当作三种重要的函数模型来学习,强调通过实例和图象的直观,揭示这三种函数模型增长的差异及其关系,体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法,学会运用具体函数模型解决一些实际问题. 1.会用集合与对应的语言来刻画函数,理解函数符号y=f(x)的含义;了解函数构成 的三要素,了解映射的概念;体会函数是一种刻画变量之间关系的重要数学模型,体会对应关系在刻画函数概念中的作用;会求一些简单函数的定义域和值域, 2. 了解函数的一些基本表示法(列表法、图象法、分析法),并能在实际情境中,恰当地进行选择;会用描点法画一些简单函数的图象. 3.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用. 4. 结合熟悉的具体函数,理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义,了解奇偶性和周期性的含义,通过具体函数的图象,初步了解中心对称图形和轴对称图形. 5. 学会运用函数的图象理解和研究函数的性质,体会数形结合的数学方法. 6.理解有理数指数幂的意义,通过具体实例了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算. 7.了解指数函数模型的实际背景.理解指数函数的概念和意义,掌握f(x)=a x的符号、意义,能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的有关性质(单调性、值域、特别点). 8.理解对数的概念及其运算性质,了解对数换底公式及其简单应用,能将一般对数转化为常用对数或自然对数,通过阅读材料,了解对数的发现历史及其对简化运算的作用.通过具体函数,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念,掌握f(x)=log a x符号及意义,体会对数函数是一类重要的函数模型,能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的有关性质(单调性、值域、特殊点). 9.知道指数函数y=a x与对数函数y=log a x互为反函数(a>0, a≠1),初步了解反函数的概念和f- -1(x)的意义. 10.通过实例,了解幂函数的概念,结合五种具体函数 1 312 ,,, y x y x y x y x - ====的 图象,了解它们的变化情况 11.通过应用实例的教学,体会指数函数是一种重要的函数模型. 12. 通过实习作业,使学生初步了解对数学发展有过重大影响的重大历史事件和重要人物,了解生活中的函数实例. 二. 编写意图与教学建议 1.教材突出了函数概念的背景教学,强调从实例出发,让学生对函数概念有充分的感性基础,再用集合与对应语言抽象出函数概念,符合学生的认识规律,同时有利于培养学生的抽象概括的能力,增强学生应用数学的意识,教学中要高度重视数学概念的背景教学. 2..教材对函数的三要素着重从函数的实质上要求理解,而对定义域、值域的繁难计算,特别是人为的过于技巧化的训练不做提倡,要准确把握这方面的要求,防止拨高教学. 3. 函数的表示是本章的主要内容之一,教材重视采用不同的表示法(列表法、图象法、分析法),目的是丰富学生对函数的认识,帮助理解抽象的函数概念. 在教学中,既要充分发挥图象的直观作用,又要适当地引导学生从代数的角度研究图象,使学生深刻体会数形结合这一重要数学方法.
高中数学幂函数的定义练习及答案 题型一:幂函数的定义 【例1】 下列所给出的函数中,是幂函数的是( ) A .3x y -= B .3-=x y C .32x y = D .13-=x y 【考点】幂函数的定义 【难度】1星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】 形如(01)x y a a a =>≠且的函数叫做幂函数,答案为B . 【答案】B 【例2】 11.函数 的定义域是 . 【考点】幂函数的定义 【难度】1星 【题型】填空 【关键词】无 【解析】 【答案】 【例3】 如果幂函数()f x x α= 的图象经过点,则(4)f 的值等于( ). A. 16 B. 2 C. 116 D. 12 【考点】幂函数的定义 【难度】1星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】 【答案】D 【例4】 幂函数()y f x =的图象过点1(4,)2 ,则(8)f 的值为 . 【考点】幂函数的定义 【难度】1星 【题型】填空 【关键词】无 【解析】 典例分析
【例5】 下列幂函数中过点(0,0),(1,1)的偶函数是( ). A.12y x = B. 4y x = C. 2y x -= D.13y x = 【考点】幂函数的定义 【难度】1星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】 【答案】B 【例6】 下列命题中正确的是 ( ) A .当0=α时函数αx y =的图象是一条直线 B .幂函数的图象都经过(0,0)和(1,1)点 C .若幂函数αx y =是奇函数,则αx y =是定义域上的增函数 D .幂函数的图象不可能出现在第四象限 【考点】幂函数的定义 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】 A 错,当0α=时函数y x α=的图象是一条直线(去掉点(0,1));B 错,如幂函数1y x -=的 图象不过点(0,0);C 错,如幂函数1y x -=在定义域上不是增函数;D 正确,当0x >时,0x α>. 【答案】D 【例7】 函数2221(1)m m y m m x --=--是幂函数,求m 的值. 【考点】幂函数的定义 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】 幂函数需要保证系数为1,同时指数为有理数,从此两个条件入手,可以得到关于m 的等式 和不等式,从而解出m 的值. ∵2221(1)m m y m m x --=--是幂函数, ∴函数可以写成如下形式a y x =(a 是有理数) ∴211m m --=,解得121,2m m =-= 当11m =-时,211212m m Q --=∈ 22m =时,222211m m Q --=-∈ ∴m 的值域为-1或2. 【点评】本题为幂函数的基本题目,注意不要忘了检验a 是有理数. 【答案】-1或2 【例8】 求函数1302 (3)y x x x -=+--的定义域. 【考点】幂函数的定义 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】 这是几个幂函数的复合函数,求复合函数的定义域需要保证每一个函数都有意义,即分母不为0、被开方数大于等于0.
幂函数教案
教学设计 一、教学过程: (一)教学内容:幂函数概念的引入。 设计意图:从学生熟悉的背景出发,为抽象出幂函数的概念做准备。这样,既可以让学生体会到幂函数来自于生活,又可以通过对这些案例的观察、归纳、概括、总结出幂函数的一般概念,培养学生发现问题、解决问题的能力。 师生活动: 教师:前面我们学习了指数函数与对数函数,这两类描述客观世界变化规律的数学模型。但是同学们知道,不是所有的客观世界变化规律都能用这两种数学模型来描述。今天,我们将学习新的一类描述客观世界变换规律的数学模型,也就是本书二点三节的幂函数。首先我们来看这样几个实际问题。第一个问题,如果老师现在准备购买单价为每千克1元的蔬菜W 千克,老师总共需要花的钱P是多少? 教师:非常好,老师总共需要花的钱P=W。第二个问题,如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S等于多少? 教师:回答的非常正确。面积S= 2 a. 下面的 问题都很简单,请同学们跟上老师的思路。第三个问题,如果正方体的边长为a,那么他的体积V等于多少了? 教师:对。正方体的体积V= 3 a。第四个问题,
如果已知一个正方形面积等于S,那么这个正方形边长a等于多 少了? 教师:非常正确。通过前面对指数幂的学习,根式与分数指数幂是可以相互转换的,所以根号下S就等于S 的二分之一次方。那么我们的边长a=12S。最后一个问题,认真 听,某人s t内骑自行车行进了1KM,那他的平均速度v等于多少? 教师:回答非常正确。因为我们知道v×t=s 所以v=1 =1t 。好,现在我们一起来观察黑板上这五个具体表达 t 式,我们可以看出第一个表达式中P是W的函数,那第二个表达式了? 教师:非常好,第三个表达式了? 教师:第四个表达式了? 教师:第五个了? 教师:大家回答得非常正确。如果将上面的函数自变量全用x代替,函数值全用y来代替,那么我们可以得到第一个表达式为。。。。。。 教师:第二个表达式? 教师:第三个表达式? 教师:第四个表达式? 教师: 第五个表达式? 教师:回答的非常好。那现在请同学们仔细观察老师用x,y写成的这五个函数它们有哪些共同特征。等一下请
第二章函数概念与基本初等函数 I 一. 课标要求:函数是高中数学的核心概念,本章把函数作为描述客观世界变化规律的重 要数学模型来学习,强调结合实际问题,从而发展学生对变量数学的认识。教材把指数函数,对数函数,幂函数当作三种重要的函数模型来学习,强调通过实例和图象的直观,揭示这三种函数模型增长的差异及其关系,体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法,学会运用具体函数模型解决一些实际问题. 1.会用集合与对应的语言来刻画函数,理解函数符号y=f(x)的含义;了解函数构成的 三要素,了解映射的概念;体会函数是一种刻画变量之间关系的重要数学模型,体会对应关系在刻画函数概念中的作用;会求一些简单函数的定义域和值域, 2.了解函数的一些基本表示法(列表法、图象法、分析法),并能在实际情境中,恰当地进行选择;会用描点法画一些简单函数的图象. 3.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用. 4.结合熟悉的具体函数,理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义,了解奇偶性和周期性的含义,通过具体函数的图象,初步了解中心对称图形和轴对称图形. 5.学会运用函数的图象理解和研究函数的性质,体会数形结合的数学方法. 6.理解有理数指数幂的意义,通过具体实例了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算. 7.了解指数函数模型的实际背景. 理解指数函数的概念和意义,掌握f(x)=a x的符号、意义,能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的有关性质(单调性、值域、特别点). 8.理解对数的概念及其运算性质,了解对数换底公式及其简单应用,能将一般对数转化为常用对数或自然对数,通过阅读材料,了解对数的发现历史及其对简化运算的作用. 通过具体函数,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念,掌握f(x)=log a x符号及意义,体会对数函数是一类重要的函数模型,能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的有关性质(单调性、值域、特殊点). 9.知道指数函数y=a x与对数函数y=log a x互为反函数(a>0, a≠1),初步了解反函数的概念和f- -1(x)的意义. 1 10.通过实例,了解幂函数的概念,结合五种具体函数y = x,y= x3,y=x-1,y = x2的图象,了解它们的变化情况 11.通过应用实例的教学,体会指数函数是一种重要的函数模型. 12. 通过实习作业,使学生初步了解对数学发展有过重大影响的重大历史事件和重要人物,了解生活中的函数实例. 二. 编写意图与教学建议1.教材突出了函数概念的背景教学,强调从实例出发,让学生对函数概念有充分的感性基础,再用集合与对应语言抽象出函数概念,符合学生的认识规律,同时有利于培养学生的抽象概括的能力,增强学生应用数学的意识,教学中要高度重视数学概念的背景教学. 2..教材对函数的三要素着重从函数的实质上要求理解,而对定义域、值域的繁难计算,特别是人为的过于技巧化的训练不做提倡,要准确把握这方面的要求,防止拨高教学. 3.函数的表示是本章的主要内容之一,教材重视采用不同的表示法(列表法、图象法、分析法),目的是丰富学生对函数的认识,帮助理解抽象的函数概念. 在教学中,既要充分发挥图象的直观作用,又要适当地引导学生从代数的角度研究图象,使学生深刻体会数形结合这一重要数学方法. 4.教材将映射作为函数的一种推广,进行了逻辑顺序上的调整,体现了特殊到一般的思维