第八章图论方法 §1 图论中图的概念 在人们从事的各种活动中，为了反映事物之间的关系，常在纸上用点和线画出各种各样的示意图。例如，为了反映某地区的铁路交通、公路网分布情况，画出铁路、公路交通图。在这些图中以点表示城镇，用点与点之间的连线表示城镇之间的铁路或公路的沟通情况。诸如此类的图还有电缆线分布图、供水道及下水道分布图、航空线图等等。 再如，在一场有5支球队参加的球类比赛中，比赛情况也可以用图表示出来，如图6-1，我们用点代表各个球队，某两个队比赛过一次，就在两个点之间画一条箭线。从图中可以看出A队与其他各队都比赛过，只有一场败给C 队。而B队和E队各比赛过两场，成绩都是一胜一负，等等。 图6-1 从上述例子中可以看出，图的最基本要素是：点、以及点与点之间的一些连线。通常用点表示我们所要研究的对象（如城市、运动队、状态等等），用线表示研究对象间的某种特定关系（如两个城市之间有铁路，两个运动队之间已经比赛过等）。因此可以说，图是反映对象之间关系的一种工具。如果两个对象之间有某种特定关系，那么就用一条线连接这两个点。 必须指出：上述图中点的相对位置如何，点与点之间连线的长短曲直，对于反映研究对象之间的关系并不很重要，因此，图论中的图与几何图、工程图本质上是不同的。 另外在许多情况下，我们要研究的“关系”只用一条线反映还是不够完全。比如说比赛，我们关心的如果不只是两个队是否比赛过，还要了解比赛的胜负情况，我们可以用一条箭线（有向线）来表示，如果A队胜了B队，就表示为
A→B。如图6-1所示，从图中可以看出A队三胜一负，D队三场全负等。类似的情况在生产和生活中也是常见的，例如交通运输中的“单行线”、部门之间的领导与被领导关系、一项生产活动中各工序之间的先后次序关系等等。图论中把不带箭头的连线叫做边，把带箭头的连线叫做弧。 如果一个图是由点和边所构成的，则称之为无向图，记作G=（V，E），其中V表示图G中的所有点组成的点集合，E表示图G中所有边组成的边集合。如，交通图。 如果一个图是由点和弧所构成的，则称之为有向图，记作G=（V，A），其中V表示图G中的点集合，A表示图G中所有弧组成的弧集合（如上图）。 其次，为了反映两个城市之间铁路线的公里数（或运行时间等），就要在这两个城市之间的连线旁边写上里程数（或运行时间等）。这就是说，根据问题的需要，还可以在图的点旁或连线旁标上数，统称为权数。权数在不同的场合可以有不同的含义，如距离（长度），时间、费用、容量等等。如果给图中每一条连线赋予一个数，则称这样的图G为赋权图，所谓网络就是指定了起点（发点）和终点（收点）的赋权图。 对要研究的问题确定具体对象及各对象间的关系，并用图的形式表示出来，这样的图就是对研究问题建立的图模型。用建立图模型的方法往往能帮助我们解决一些用其他方法难以解决的问题。 例1、有甲、乙、丙、丁、戊、已六名运动员报名参加A、B、C、D、E、F六个项目的比赛。表中打√的是各运动员报名参加的比赛项目。问六个项目的比赛顺序应如何安排，才能保证每名运动员都不连续地参加两项比赛。 解：把比赛项目作为研究对象，用点表示。如果两个项目有同一名运动员参加，就在代表这两个项目的点之间连成一条线，可得一图。在该图中只要找出一个点的序列，使依次排列的两个点间没有连线，就能保证每名运动员不会
习题一 作者---寒江独钓 1.证明：在n 阶连通图中 (1) 至少有n-1条边； (2) 如果边数大于n-1，则至少有一条闭迹； (3) 如果恰有n-1条边，则至少有一个奇度点。 证明: (1) 若G 中没有1度顶点，由握手定理： ()2()21v V G m d v n m n m n ∈= ≥?≥?>-∑ 若G 中有1度顶点u ，对G 的顶点数作数学归纳。 当n=2时，结论显然；设结论对n=k 时成立。 当n=k+1时，考虑G-u,它仍然为连通图，所以，边数≥k-1.于是G 的边数≥k. (2) 考虑G 中途径： 121:n n W v v v v -→→→→L 若W 是路，则长为n-1;但由于G 的边数大于n-1,因此，存在v i 与v j ,它们相异，但邻接。于是： 1i i j i v v v v +→→→→L 为G 中一闭途径，于是 也就存在闭迹。 (3) 若不然，G 中顶点度数至少为2，于是由握手定理： ()2()21v V G m d v n m n m n ∈= ≥?≥?>-∑ 这与G 中恰有n-1条边矛盾！ 2.(1)2n ?12n 2?12n ?1 (2)2n?2?1 (3) 2n?2 。 证明 :u 1的两个邻接点与v 1的两个邻接点状况不同。所以， 两图不同构。 4.证明下面两图同构。 u 1 v 1
证明:作映射f : v i ? u i (i=1,2….10) 容易证明，对?v i v j ∈E ((a)),有f (v i v j,),=,u i,u j,∈,E,((b)) (1≤ i ≤ 10, 1≤j ≤ 10 ) 由图的同构定义知，图(a)与(b)是同构的。 5.指出4个顶点的非同构的所有简单图。 分析：四个顶点的简单图最少边数为0，最多边数为6，所以 可按边数进行枚举。 (a) v 2 v 3 u 4 u (b)
图论及其应用答案电子科 大 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020
习题三： 证明：e是连通图G 的割边当且仅当V(G)可划分为两个子集V1和V2，使对任意u ∈V 1及v ∈V 2, G 中的路（u，v）必含e . 证明：充分性: e是G的割边，故G ?e至少含有两个连通分支，设V 1是其中一个连通分支的顶点集，V 2是其余分支的顶点集，对12,u V v V ?∈?∈，因为G中的u ,v不连通， 而在G中u与v连通，所以e在每一条(u ,v )路上，G中的(u ,v )必含e。 必要性：取12,u V v V ∈∈，由假设G中所有(u ,v )路均含有边e，从而在G ?e中不存在从 u与到v的路，这表明G不连通，所以e 是割边。 3.设G 是阶大于2的连通图，证明下列命题等价： （1） G 是块 （2） G 无环且任意一个点和任意一条边都位于同一个圈上； （3） G 无环且任意三个不同点都位于同一条路上。 （1）→（2）： G是块，任取G的一点u，一边e，在e边插入一点v，使得e成为两条边，由此得到新图G 1，显然G 1的是阶数大于3的块，由定理，G中的u,v 位于同一个圈上，于是G 1中u 与边e都位于同一个圈上。 （2）→（3）： G无环，且任意一点和任意一条边都位于同一个圈上，任取G的点u ，边e ，若u在e 上，则三个不同点位于同一个闭路，即位于同一条路，如u不在e上，由定理，e的两点在同一个闭路上，在e边插入一个点v ，由此得到新图G 1，显然G 1的是阶数大于3的块，则两条边的三个不同点在同一条路上。 （3）→（1）： G连通，若G不是块，则G中存在着割点u，划分为不同的子集块V 1, V 2, V 1, V 2无环，12,x v y v ∈∈，点u在每一条(x ,y )的路上，则与已知矛盾，G是块。 7.证明：若v 是简单图G 的一个割点，则v 不是补图G ?的割点。 证明：v是单图G的割点，则G ?v有两个连通分支。现任取x ,y ∈V (G ?v ), 如果x ,y 不在G ?v的同一分支中，令u是与x ,y处于不同分支的点，那么，x ,与y在G ?v的补图中连通。若x ,y在G ?v的同一分支中，则它们在G ?v的补图中邻接。所以，若v是G 的割点，则v不是补图的割点。 12.对图3——20给出的图G1和G2，求其连通度和边连通度，给出相应的最小点割和最小边割。 解：()12G κ= 最小点割 {6,8} 1()2G λ= 最小边割{（6,5），（8,5）}
5经典图论问题 5.1 一笔画问题 一笔画算法即是从起点a开始选择关联边（第一这条边不是往回倒，第二这条边在前面延伸路上没有出现过）向前延伸，如果到达终点b，得到a—b迹，判断路上的的边数是否为图的总边数，是就终止，否则选择迹上某个关联边没有用完的顶点v，用同样方式再搜索v—v的闭迹，添加到a—b迹上，即得到a—v---v—b迹，如果这个迹的边数还没有达到总边数，则再选择迹上某个关联边没有用完的顶点。。。。。。逐步扩展即可。
二、弗罗莱（Fleury ）算法 任取v 0∈V(G)，令P 0=v 0； 设P i =v 0e 1v 1e 2…e i v i 已经行遍，按下面方法从中选取e i+1： （a ）e i+1与v i 相关联； （b ）除非无别的边可供行遍，否则e i+1不应该为G i =G-{e 1,e 2, …, e i }中的桥（所谓桥是一条删除后使连通图不再连通的边）； （c ）当（b ）不能再进行时，算法停止。 5.2 中国邮递员问题（CPP ） 规划模型： 设ij x 为经过边j i v v 的次数，则得如下模型。 ∑∈= E v v ij ij j i x z ?min ∑ ∑ E ∈E ∈∈=j i i k v v i v v ki ij V v x x , E ∈∈≤j i ij v v N x ,1 ..t s
5.3旅行推销员问题（TSP，货郎担问题）（NPC问题） 定义：包含图G的所有定点的路（圈）称为哈密顿路（圈），含有哈密顿圈得图称为哈密顿图。 分析：从一个哈密顿圈出发， 算法一：（哈密顿圈的充要条件：一包含所有顶点的连通子图，二每个顶点度数为2） 象求最小生成树一样，从最小权边加边，顶点度数大于3以及形成小回路的边去掉。 算法二： 算法三：
第八讲图论中的匹配与逻辑推理问题 先看一个例题.中、日、韩三个足球队进行比赛，已知A不是第一名，B不是韩国队，也不是第二名，第一名不是日本队，中国队第二.问A、B、C各代表哪国队？各是第几名？ 一般解这类题都归于逻辑推理类问题. 我们先来降低难度.先只要求你判断出中、日、韩各是第几名（不必判断A、B、C）.可以把中、日、韩各用一个点代表，列于上一行.第一、二、三名各用一个点代表，列于下一行，记为： V1=｛中，日，韩｝，V2=｛第1名，第2名，第3名｝. V1中的点与V2中某一个点有肯定关系的，就画一条实线，如和②.否定关系的两点之间画一条虚线，如不是②；不是①.把已知条件不加任何推理地表现于图上.虚线2条，实线1条，共3条线. 现在，有两个明显的事实；第一，V1中每点有且只有一条实线与V2中相应点配对，V2中每点有且只有一条实线与V1中相应点配对.V1内部点之间不会有线相联结，V2内部点之间也不会有线相联结.第二，从V1（或V2）中某一个点，例如说a点如发出了一条实线向着V2（或V1）中某一个点，例如说x点，那么a点与V2（或V1）中其他点之间必然只能用虚线联结.（这是逻辑推理中的排它性） 由此，我们很容易将中、日、韩的名次判出. 这样的问题，抽象起来可归属于图论中称之为“二分图的匹配”问题. 图论的名词术语太多，这里不作详细定义，只是描述性介绍一下，大家以前在“一笔画”等讲中已初步接触.所谓二分图，就是顶点集合可以划分成两个部分，V=V1＋V2，如V1有p个点，记为V1=｛v1，v2…，v p｝，V2有q个点，记为V2=｛v p+1，v p+2…，v p+q｝，而V1中任意一点，不会
本系列共14讲 第八讲图论中的匹配与逻辑推理问题 . 文档贡献者：与你的缘 先看一个例题.中、日、韩三个足球队进行比赛，已知A不是第一名，B 不是韩国队，也不是第二名，第一名不是日本队，中国队第二.问A、B、C 各代表哪国队？各是第几名？ 一般解这类题都归于逻辑推理类问题. 我们先来降低难度.先只要求你判断出中、日、韩各是第几名（不必判断A、B、C）.可以把中、日、韩各用一个点代表，列于上一行.第一、二、三名各用一个点代表，列于下一行，记为： V1=｛中，日，韩｝，V2=｛第1名，第2名，第3名｝. V1中的点与V2中某一个点有肯定关系的，就画一条实线，如和②.否定关系的两点之间画一条虚线，如不是②；不是①.把已知条件不加任何推理地表现于图上.虚线2条，实线1条，共3条线. 现在，有两个明显的事实；第一，V1中每点有且只有一条实线与V2中相应点配对，V2中每点有且只有一条实线与V1中相应点配对.V1内部点之间不会有线相联结，V2内部点之间也不会有线相联结.第二，从V1（或V2）中某一个点，例如说a点如发出了一条实线向着V2（或V1）中某一个点，例如说x点，那么a点与V2（或V1）中其他点之间必然只能用虚线联结.（这是逻辑推理中的排它性）
由此，我们很容易将中、日、韩的名次判出. 这样的问题，抽象起来可归属于图论中称之为“二分图的匹配”问题. 图论的名词术语太多，这里不作详细定义，只是描述性介绍一下，大家以前在“一笔画”等讲中已初步接触.所谓二分图，就是顶点集合可以划分成两个部分，V=V1＋V2，如V1有p个点，记为V1=｛v1，v2…，v p｝，V2有q个点，记为V2=｛v p+1，v p+2…，v p+q｝，而V1中任意一点，不会与V1中其他点联结，而只能与V2中某些点联结；V2也如此.大家看几个例. 一般的图记为G＝（V，E），V是顶点集合，E是边（也可称为线）的集合.大家在哥尼斯堡七桥问题中已领略过这种抽象.现在的二分图是一类特殊的图，只不过顶点集V划分为两部分，而这只能“跨越”于V1中某个点和V2中另一个点.二分图的匹配问题，就是找一个边的集合，这些边之间都没有公共的端点. 关于二分图的匹配，要研究的是“最大匹配”，即找一个边最多的匹配. 就本讲开始引入的问题看，我们还没有解完，因为还有A、B、C三个代号到底如何归于中、日、韩三队的问题.一种解题办法，是把已判出的国籍和名次捆绑在一个顶点内，如（中2）、（韩1）、（日3），再和A、B、C构造一个新的二分图：
图论第一次作业 By byh
|E(G)|,2|E(G)|2G υυ??≤ ??? ?? ??? 1.1 举出两个可以化成图论模型的实际问题 略 1.2 证明其中是单图 证明：（思路）根据单图无环无重边的特点，所以 最大的情形为任意两个顶点间有一条边相连，即极 端情况为。
?1.4 画出不同构的一切四顶单图 ?0条边：1条边： ?2条边：3条边： ?4条边：5条边：?6条边：
1.10G?H当且仅当存在可逆映射θ:V G→V H，使得uv∈E G?θuθv∈E H，其中G和H是单图。（证明充分性和必要性） ?必要性 ?若G?H，由定义可得，存在可逆映射θ:V G→V Hφ:E G→E(H)当且仅当ψ G e=uv时，ψHφe=θuθ(v)，所以uv∈E G? θuθv∈E H ?充分性 ?定义?:E G→E(H)，使得uv∈E G和θuθv∈E(H)一一对应，于是?可逆，且ψ e=uv的充要条件是ψHφe=θuθv，得G?H G
1.12求证(a)?K m ,n =mn，(b)G是完全二分图，则?G≤1 4 v G2 ?(a)对于K m ,n ，将顶集分为X和Y，使得X∪Y=V K m,n， X∩Y= ?，X=m，Y=n，对于X中的每一顶点，都和Y中所有顶点相连，所以?K m,n =mn ?(b)设G的顶划分为X,Y，X=m,Y=v?m，则?G≤ ??K m ,v-m =v?m m≤v2 4
?证明： ?(a)第一个序列考虑度数7,第二个序列考虑6,6,1 ?(b)将顶点v分成两部分v’和v’’ ?v’ = {v|v= v i, 1≤ i≤ k}, ?v’’ = {v|v= v i, k< i≤ n} ?以v’点为顶的原图的导出子图度数之和小于 ?然后考虑剩下的点贡献给这k个点的度数之和最大可能为
图论例讲 （陶平生） 1、设有2n 阶简单图G ，若其每个顶点的度数皆不小于n ，证明：从G 中必可选出 n 条边，其端点互不相同． 2、某地网球俱乐部的20名成员举行14场单打比赛，每人至少上场一次，证明：必有六场比赛，其中的12名参赛者各不相同．（美国1989） 3、设G 为n 阶图，且没有长为4的圈；证明：其边数( 14n q ?? ≤ +??? ? ． 4、任意给定() 2n n ≥个互不相等的n 位正整数，证明：存在{}1,2,,k n ∈ ，使得 将它们的第k 位数字都删去后，所得到的n 个1n -位数仍互不相等. 5、设G 为n 阶图()5n ≥，其边数4e n ≥+，证明G 中存在两个无公共边的圈. 6、若简单图G 有21n +个顶点，至少31n +条边(2)n ≥，证明：G 中必有偶圈． 7、一次足球邀请赛共安排了n 支球队参加，每支球队预定的比赛场数分别是 12,,,n m m m ，如果任两支球队之间至多安排了一场比赛，则称12(,,,)n m m m 是一个有 效安排；证明：如果12(,,,)n m m m 是一个有效安排，且12n m m m ≥≥≥ ，则可取掉一支球队，并重新调整各队之间的对局情况，使得11231 2(1,1,,1,,,)m m n m m m m m ++--- 也 是一个有效安排． 8、十个城市之间有两个航空公司服务，其中任意两个城市之间都有一条直达航线（中 间不停），所有航线之间都是可往返的． 证明：至少有一个航空公司可以提供两条互不相交的环形旅行线路，其中每条线路上的城市个数都为奇数． （与其等价的图论说法是：10阶完全图10K 的边红蓝2-染色，则必存在两个无公共顶点的同色奇圈（顶点个数为奇数的圈，且这两个圈的边或者同为红色，或者同为蓝色））． 9、在一次学术讲演中有五名数学家参加，会上每人均打了两次旽，且每两人均有同时 在打旽的时刻，证明：一定有三人，他们有同时在打旽的时刻． 10 、() 2n n n ?≥矩阵A 中，每行及每列的元素中各有一个1和一个1-，其余元素 皆为0；证明：可以通过有限次行与行的交换以及列与列的交换，化为矩阵B ，使得 0A B +=.（即A 中的每个数都变成了其相反数） 11、有七种颜色的珍珠，共计14颗，其中每种颜色的珍珠各两颗；今把这些珍珠分装 于七个珠盒中，使得每个珠盒中各有一对不同颜色的珍珠； (1)、证明：不论各盒中的珍珠怎样搭配，总可以将这七个珠盒分别放置于一个正七边 形的七个顶点之上，使得七边形的任两个相邻顶点处所放置的盒中，四颗珍珠互不同色． (2)、如将以上条件与待证结论中的“七”一律改为“五” ，14改为10，则情况如何？
第三章 匹配理论 §3.1 匹配与最大匹配 定义3.1.1 设G 是一个图, )(G E M ?，满足:对i e ?,M e j ∈，i e 与j e 在G 中不相邻，则称M 是G 的一个匹配。对匹配M 中每条边uv e =，其两端点 u 和 v 称为被匹配M 所匹配，而 u 和 v 都称为是M 饱和的(saturated vertex )。 注:每个顶点要么未被M 饱和, 要么仅被M 中一条边饱和。 定义3.1.2 设M 是G 的一个匹配, 若G 中无匹配M ′, 使得||||M M >′, 则称M 是G 的一个最大匹配；如果G 中每个点都是M 饱和的, 则称M 是G 的完美匹配(Perfect matching ). 显然, 完美匹配必是最大匹配。 例如，在下图G 1中，边集{e 1}、{e 1,e 2}、{e 1,e 2,e 3}都构成匹配，{e 1,e 2,e 3}是G 1的一个最大匹配。在 G 2中，边集{e 1,e 2,e 3,e 4}是一个完美匹配，也是一个最大匹配。 定义3.1.3 设M 是G 的一个匹配, G 的M 交错路是指其边M 和M G E \)(中交替出现的路。如果G 的一条M 交错路(alternating path)的起点和终点都是M 非饱和的，则称其为一条M 可扩展路或M 增广路(augmenting path)。 定理 3.1.1(Berge,1957) 图G 的匹配M 是最大匹配的充要条件是G 中不存在M 可扩展路。 证明:必要性:设M 是G 的一个最大匹配。如果G 中存在一个M 可扩展路P ,则将P 上所有不属于M 的边构成集合M ′。显然M ′也是G 的一个匹配且比M 多一条边。这与M 是最大匹配相矛盾。 充分性:设G 中不存在M 可扩展路。若匹配M 不是最大匹配，则存在另一匹配M ′,使 ||||M M >′. 令 ][M M G H ′⊕=，(M M M M M M ′?′=′⊕∩∪称为对称差)。 则H 中每个顶点的度非1即2(这是因为一个顶点最多只与M 的一条边及M ′的一条边相关联)。故H 的每个连通分支要么是M 的边与M ′的边交替出现的一个偶长度圈，要么是M 的边与M ′的边交替出现的一条路。 由于||||M M >′，H 的边中M ′的边多于M 的边，故必有H 的某个连通分支是一条路，且始于M ′的边又终止于M ′的边。这条路是一条M 可扩展路。这与条件矛盾。 证毕。
二、应用题 题0：（1996年全国数学联赛） 有n （n ≥6）个人聚会，已知每个人至少认识其中的[n /2]个人，而对任意的[n /2]个人，或者其中有两个人相互认识，或者余下的n -[n /2]个人中有两个人相互认识。证明这n 个人中必有3个人互相认识。 注：[n /2]表示不超过n /2的最大整数。 证明 将n 个人用n 个顶点表示，如其中的两个人互相认识，就在相应的两个顶点之间连一条边，得图G 。由条件可知，G 是具有n 个顶点的简单图，并且有 （1）对每个顶点x ， )(x N G ≥[n /2]； （2）对V 的任一个子集S ，只要S ＝[n /2]，S 中有两个顶点相邻或V-S 中有 两个顶点相邻。 需要证明G 中有三个顶点两两相邻。 反证，若G 中不存在三个两两相邻的顶点。在G 中取两个相邻的顶点x 1和y 1,记N G (x 1)＝{y 1,y 2,……,y t }和N G (y 1)={x 1,x 2,……,x k },则N G (x 1)和N G (y 1)不相交，并且N G (x 1)（N G (y 1)）中没有相邻的顶点对。 情况一；n=2r ：此时[n /2]＝r ，由（1）和上述假设，t=k=r 且N G (y 1)＝V-N G (x 1)，但N G (x 1)中没有相邻的顶点对，由（2），N G (y 1)中有相邻的顶点对，矛盾。 情况二；n=2r+1: 此时[n /2]＝r ，由于N G (x 1)和N G (y 1)不相交，t ≥r,k ≥r,所以r+1≥t,r+1≥k 。若t=r+1,则k=r ，即N G (y 1)=r ，N G (x 1)＝V-N G (y 1)，由（2），N G (x 1)或N G (y 1)中有相邻的顶点对，矛盾。故k ≠r+1，同理t ≠r+1。所以t=r,k=r 。记w ∈V- N G (x 1) ∪N G (y 1),由（2），w 分别与N G (x 1)和N G (y 1)中一个顶点相邻，设wx i0∈E, wy j0∈E 。若x i0y j0∈E ，则w ，x i0, y j0两两相邻，矛盾。若x i0y j0?E ，则与x i0相邻的顶点只能是(N G (x 1)-{y j0})∪{w},与y j0相邻的顶点只能是(N G (y 1)-{x j0})∪{w}。但与w 相邻的点至少是3，故N G (x 1)∪N G (y 1)中存在一个不同于x i0和y j0顶点z 与w 相邻，不妨设z ∈N G (x 1)，则z ，w ，x i0两两相邻，矛盾。 题1：已知图的结点集V ={a ,b ,c ,d }以及图G 和图D 的边集合分别为： E (G )={(a ,a ), (a ,b ), (b ,c ), (a ,c )} E (D)={, ,
图论第三次作业 一、第六章 2.证明： 根据欧拉公式的推论，有m ≦l*(n-2)/(l-2), (1)若deg(f)≧4,则m ≦4*(n-2)/2=2n-4; (2)若deg(f)≧5,则m ≦5*(n-2)/3,即：3m ≦5n-10; (3)若deg(f)≧6,则m ≦6*(n-2)/4,即：2m ≦3n-6. 3.证明： ∵G 是简单连通图，∴根据欧拉公式推论，m ≦3n-6; 又，根据欧拉公式：n-m+φ=2,∴φ=2-n+m ≦2-n+3n-6=2n-4. 4.证明： (1)∵G 是极大平面图，∴每个面的次数为3， 由次数公式：2m==3φ, 由欧拉公式：φ=2-n+m, ∴m=2-n+m,即：m=3n-6. (2)又∵m=n+φ-2,∴φ=2n-4. (3)对于3n >的极大可平面图的的每个顶点v ，有()3d v ≥，即对任一一点或者
子图，至少有三个邻点与之相连，要使这个点或子图与图G 不连通，必须把与之相连的点去掉，所以至少需要去掉三个点才能使()(H)w G w G <-，由点连通度的定义知()3G κ≥。 5.证明： 假设图G 不是极大可平面图，那么G 不然至少还有两点之间可以添加一条边e ，使G+e 仍为可平面图，由于图G 满足36m n =-，那么对图G+e 有36m n '=-，而平面图的必要条件为36m n '≤-，两者矛盾，所以图G 是极大可平面图。 6.证明： (1)由()4G δ=知5n ≥当n=5时，图G 为5K ，而5K 为不可平面图，所以6n ≥，（由()4G δ=和握手定理有24m n ≥，再由极大可平面图的性质36m n =-，即可得6n ≥）对于可平面图有()5G δ≤，而6n ≥，所以至少有6个点的度数不超过5. (2)由()5G δ=和握手定理有25m n ≥，再由极大可平面图的性质36m n =-，即可得12n ≥，对于可平面图有()5G δ≤，而12n ≥，所以至少有12个点的度数不超过5. 二、第七章 2.证明： 设n=2k+1,∵G 是Δ正则单图，且Δ>0, ∴m(G)==>k Δ,由定理5可知χˊ(G)=Δ(G)+1.
图论〔Graph Theory〕是数学的一个分支。它以图为研究对象。图论中的图是由若干给定的点及连接两点的线所构成的图形，这种图形通常用来描述某些事物之间的某种特定关系，用点代表事物，用连接两点的线表示相应两个事物间具有这种关系。 图论与数学的关系 图论本身是应用数学的一部份，因此，历史上图论曾经被好多位数学家各自独立地建立过。关于图论的文字记载最早出现在欧拉1736年的论著中，他所考虑的原始问题有很强的实际背景。 图论的起源 图论起源于著名的柯尼斯堡七桥问题。在柯尼斯堡的普莱格尔河上有七座桥将河中的岛及岛与河岸联结起来 问题是要从这四块陆地中任何一块开始，通过每一座桥正好一次，再回到起点。然而无数次的尝试都没有成功。欧拉在1736年解决了这个问题，他用抽像分析法将这个问题化为第一个图论问题：即把每一块陆地用一个点来代替，将每一座桥用联接相应的两个点的一条线来代替，从而相当于得到一个“图”（如下图）。 欧拉证明了这个问题没有解，并且推广了这个问题，给出了对于一个给定的图可以某种方式走遍的判定法则。这就是后
来的欧拉路径和欧拉回路。这项工作使欧拉成为图论〔及拓扑学〕的创始人。 汉密尔顿的游戏与图论 1859年，英国数学家汉密尔顿发明了一种游戏：用一个规则的实心十二面体，它的20个顶点标出世界著名的20个城市，要求游戏者找一条沿着各边通过每个顶点刚好一次的闭回路，即“绕行世界”。用图论的语言来说，游戏的目的是在十二面体的图中找出一个生成圈。这个生成圈后来被称为汉密尔顿回路。这个问题后来就叫做汉密尔顿问题。由于运筹学、计算机科学和编码理论中的很多问题都可以化为汉密尔顿问题，从而引起广泛的注意和研究。 四色猜想 在图论的历史中，还有一个最著名的问题－－四色猜想。这个猜想说，在一个平面或球面上的任何地图能够只用四种颜色来着色，使得没有两个相邻的国家有相同的颜色。每个国家必须由一个单连通域构成，而两个国家相邻是指它们有一段公共的边界，而不仅仅只有一个公共点。这一问题最早于1852年由Francis Guthrie提出，最早的文字记载则现于德摩根于同一年写给哈密顿的信上。包括凯莱、肯普等在内的许多人都曾给出过错误的证明。泰特(Tait)、希伍德(Heawood)、拉姆齐和哈德维格(Hadwiger)对此问题的研究与推广引发了对嵌入具有不同亏格的曲面的图的着色问题的研究。一百多年后，四色问题仍未解决。1969年，Heinrich Heesch发表了一
图论复习题答案 一、 判断题，对打√，错打 1．无向完全图是正则图。( √ ) 2．零图是平凡图。( ) 3．连通图的补图是连通图. ( ) 4．非连通图的补图是非连通图。( ) 5．若连通无向简单图G中无圈，则每条边都是割边。( √ ) 6．若无向简单图G是（n，m）图，并且m=n-1，则G是树。( ) 7．任何树都至少有2片树叶。( ) 8．任何无向图G都至少有一个生成树。( ) 9．非平凡树是二分图。( √ ) 10．所有树叶的级均相同的二元树是完全二元树。( ) 11．任何一个位置二元树的树叶都对应唯一一个前缀码。( √ ) 12．3,3 K是欧拉图也是哈密顿图。( ) 13．二分图的对偶图是欧拉图。( ) 14．平面图的对偶图是连通图。( √ ) 15．设G*是平面图G的对偶图，则G*的面数等于G的顶点数。( )二、填空题 1．无向完全图K6有 15 条边。 2．有三个顶点的所有互不同构的简单无向图有 4 个。 3．设树T中有2个3度顶点和3个4度顶点，其余的顶点都是树叶，则T中有 10 片树叶。 4．若连通无向图G是（n，m）图，T是G的生成树，则基本割集 有 n-1 个，基本圈有 m-n+1 个。 5．设连通无向图G有k个奇顶点，要使G变成欧拉图，在G中至少要 加k / 2 条边。 6．连通无向图G是（n，m）图，若G是平面图，则G有m-n+2 个面。 三、解答题 1．有向图D如图1所示，利用D的邻接矩阵及其幂运算 求解下列问题： （1）D中长度等于3的通路和回路各有多少条。（2）求D的可达性矩阵。 （3）求D的强分图。 a b e 图1
解： （1） M=????????????????00010 1000000001 010******* M 2 =?? ?? ??? ? ??? ?????010******* 00010 1000001000 M 3=????????????????1000001000010000001010000 M 4=??????? ?????????0001001000100000100000010 由M 3可知，D 中长度等于3的通路有5条，长度等于3的回路有3条。 （2） I+M+M 2+M 3+M 4 =????????????? ???100000100000100 0001000001 +??????????? ?? ???000101000000001 010******* +??? ???? ? ??? ?? ???010000001000010 1000001000 + ????????????????1000001000010000001010000 +??? ?? ???????????0001001000100000100000010 = ??? ???? ? ????????21020 13010111110202011021 D 的可达性矩阵为 R=B （I+M+M 2+M 3+M 4 ）=??? ???? ? ????? ???110101********* 1101011011 （3）R T =????????????????11111 1111100100 1111100101 R×R T =??? ???? ? ??? ?????11010 11010 001001101000001 由矩阵R×R T 可知，该有向图的强分图有：{a}，{ b ，d ，e}， { c} a b e 图1
常见问题： 1、图论的历史 图论以图为研究对象的数学分支。图论中的图指的是一些点以及连接这些点的线的总体。通常用点代表事物，用连接两点的线代表事物间的关系。图论则是研究事物对象在上述表示法中具有的特征与性质的学科。 在自然界和人类社会的实际生活中，用图形来描述和表示某些事物之间的关系既方便又直观。例如，国家用点表示，有外交关系的国家用线连接代表这两个国家的点，于是世界各国之间的外交关系就被一个图形描述出来了。另外我们常用工艺流程图来描述某项工程中各工序之间的先后关系，用网络图来描述某通讯系统中各通讯站之间信息传递关系，用开关电路图来描述IC中各元件电路导线连接关系等等。 事实上，任何一个包含了某种二元关系的系统都可以用图形来模拟。由于我们感兴趣的是两对象之间是否有某种特定关系，所以图形中两点之间连接与否最重要，而连接线的曲直长短则无关紧要。由此经数学抽象产生了图的概念。研究图的基本概念和性质、图的理论及其应用构成了图论的主要内容。 图论的产生和发展经历了二百多年的历史，大体上可分为三个阶段： 第一阶段是从1736年到19世纪中叶。当时的图论问题是盛行的迷宫问题和游戏问题。最有代表性的工作是著名数学家L.Euler于1736年解决的哥尼斯堡七桥问题(Konigsberg Seven Bridges Problem)。 东普鲁士的哥尼斯堡城(现今是俄罗斯的加里宁格勒，在波罗的海南岸）位于普雷格尔(Pregel)河的两岸，河中有一个岛，于是城市被河的分支和岛分成了四个部分，各部分通过7座桥彼此相通。如同德国其他城市的居民一样，该城的居民喜欢在星期日绕城散步。于是产生了这样一个问题：从四部分陆地任一块出发，按什么样的路线能做到每座桥经过一次且仅一次返回出发点。这就是有名的哥尼斯堡七桥问题。 哥尼斯堡七桥问题看起来不复杂，因此立刻吸引所有人的注意，但是实际上很难解决。 瑞士数学家(Leonhard Euler)在1736年发表的“哥尼斯堡七桥问题”的文章中解决了这个问题。这篇论文被公认为是图论历史上的第一篇论文，Euler也因此被誉为图论之父。 欧拉把七桥问题抽象成数学问题---一笔画问题，并给出一笔画问题的判别准则，从而判定七桥问题不存在解。Euler是这样解决这个问题的：将四块陆地表示成四个点，桥看成是对应结点之间的连线，则哥尼斯堡七桥问题就变成了：从A，B，C，D任一点出发，通过每边一次且仅一次返回原出发点的路线(回路)是否存在？Euler证明这样的回路是不存在的。 第二阶段是从19世纪中叶到1936年。图论主要研究一些游戏问题：迷宫问题、博弈问题、棋盘上马的行走线路问题。一些图论中的著名问题如四色问题(1852年)和Hamilton环游世界问题(1856年)也大量出现。同时出现了以图为工具去解决其它领域中一些问题的成果。1847年德国的克希霍夫(G.R.Kirchoff)将树
数学竞赛中的图论问题
分类号密级 U D C 编号 本科毕业论文(设计) 题目数学竞赛中的图论问题 所在院系数学与数量经济学院 专业名称数学与应用数学 年级 08级 学生姓名李曼 学号 0850410013 指导教师孙静
二 0一二年三月 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在孙静老师的指导下独立进行研究所取得的研究成果. 除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品.本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担. 作者：
日期：2012年3月29日 文献综述 一综述 在18世纪30年代，一个非常有趣的问题引起了欧洲数学家的浓厚兴趣，这个问题就是著名的哥尼斯堡七桥问题，即要求遍历哥尼斯堡七桥中的每一座桥恰好一次后回到出发点. 欧拉证明这是不可能完成的. 此后，欧拉发表了著名的论文《依据集合位置的阶梯方法》，这是图论领域的第一篇论文，标志着图论的诞生. 图论的真正发展始于20世纪五六十年代之间，是一门既古老又年轻的学科. 图论极有趣味性，严格来讲，它是组合数学的一个重要分支. 虽然图论只是研究点和线的学科,但是它的应用领域十分广泛，不仅局限于数学和计算机学科，还涵盖了社会学、交通管理等. 总的来说，图论这门科学具有以下特点：（1）图论蕴含了丰富的思想、漂亮的图形和巧妙的证明； （2）涉及的问题多且广泛，问题表明上简单朴素，本质上却十分深刻复杂； （3）解决问题的方法千变万化，非常灵活，常常是一种问题一种解法. 由以上三个特点可以看出，图论与其他的数学分支不同，它不像群论、拓扑等学科那样有一套完整的体系和解决问题的系统. 而且图论所研究的内容非常广泛，如图的连通性、遍历性、图的着色、图的可平面性等等. 二内容 由于图论具有蕴含了丰富的思想、漂亮的图形和巧妙的证明，涉及的问题多且广泛，问题表面上简单朴素，本质上却十分深刻复杂，解决问题的方法千变万化，非常灵活，常常是一种问题一种解法的特点. 随着数学竞赛越来越规范化，并且越来越考察考生的灵活运用知识的能力. 因此近年来，图论问题频繁的出现在数学竞赛中，如典型的一笔画问题、中国邮递员问题、旅游推销员问题、排课表问题等.
第二章 图的连通性 连通图：任二顶点间有路相连。 例 可见在连通图中，连通的程度也是有高有低。 本章的目的就是定义一种参数来度量连通图连通程度的高低。 §2.1 割边、割点与连通度 一、割点： 定义2.1.1 设)(G V v ∈，如果)()(G w v G w >?，则称v 为G 的一个割点。（该定义与某些著作有所不同，主要是在有环边的顶点是否算作割点上有区别）。 例 定理2.1.1 如果点v 是图G 的一个割点，则边集E (G)可划分为两个非空子集1E 和2E ，使得 ][1E G 和][2E G 恰好有一个公共顶点v 。 推论2.1.1 对连通图G ，顶点v 是G 的割点当且仅当v G ?不连通。 以上两个结论的证明留作习题。 定理2.1.2 设v 是树T 的顶点，则v 是T 的割点当且仅当1)(>v d 。 证明：必要性：设v 是T 的割点，下面用反证法证明1)(>v d 。 若0)(=v d ，则1K T ?，显然v 不是割点。 若1)(=v d ，则v T ?是有1)(??v T ν条边的无圈图，故是树。从而)(1)(T w v T w ==?。因此v 不是割点。 以上均与条件矛盾。 充分性：设1)(>v d ，则v 至少有两个邻点u ,w 。路uvw 是T 中一条),(w u 路。因T 是树，uvw 是T 中唯一的),(w u 路，从而)(1)(T w v T w =>?。故v 是割点。证毕。 推论2.1.2 每个非平凡无环连通图至少有两个顶点不是割点。 证明：设T 是G 的生成树，则T 至少有两个叶子u ,v ，由上一定理知，u ,v 都不是T 的割点，即1)()(==?T w u T w 。由于u T ?是图u G ?的生成树，故 )(1)()()(G w T w u T w u G w ===?=?，
第67讲图论问题(一) 本节主要内容是：把一个具体问题用图形表示出来，利用图形的直观性可能更有利于问题的解决． 有关的一些概念：由若干个不同的点及连接其中某些点对的线所组成的图形就称为图．图中的点的集合称为图的点集，记为V：V＝{v1，v2，…，v n，…}；图中的线的集合称为图的线集(边的集合)，记为E：E＝{v i v j}(v i，v j∈V)．故一个图由其点集V和线集E所决定，若用G 表示图，则记为G＝G(V；E)．含有n个点的图称为n阶图． 在一个图中，如果某点v共连了k条线，则说此点的“次数”(或“度数”)为k，记为deg v＝k.如果一个p阶图的每两个顶点间都连且只连了1条线，则称该图为p阶完全图，记为K p． 若对每条线确定一个方向(即确定了线的两个端点中一个为“起点”，另一个为“终点”．这时，线是点的“有序对”)，则得到“有向图”；对有向图的一个顶点v，deg v＝k，若v是其中n条边的起点，m条边的终点(m＋n＝k)，则称v的出次为n，入次为m．链：若在一个图G＝(V；E)中取n+1个顶点v1、v2、…、v n+1，每两个相邻的顶点v i、v i+1间连有一条边l i,则边l1,l2,…,l n就称为从v1到v n+1的一条链．n称为链的长度． A类例题 例1 ⑴证明任意的六人中一定有三个人互相认识或互不认识(约定甲认识乙就意味着乙认识甲)． ⑵ K6的边染成红蓝两色，求证：其中必有两个三角形，其三边同色． 分析⑴以点表示人，连红、蓝两色的线分别表示“认识”与“不认识”，问题转化成图的问题．要会把题目的语言转译成图的语言：“三人互相认识”就表示三点间都连红线，“三人互不认识”就表示三点间都连蓝线．⑵考虑每个异色三角形的三个角，其中两个角是异色角，而同色三角形的三个角都是同色角． 证明⑴用6个点v1，v2，…，v6表示这6个人，如果某两人相互认识，则在表示此二人的点间连一条红线，否则连一条蓝线．于是问题转化为证明此6点间一定连出了三边均为红色或蓝色的三角形． 在点v1连出的5条线中，由抽屉原理知，必有某色线连有3条或3条以上．不妨设红线连了至少3条．设v1与v2、v3、v4连的红线．现考虑点v2、v3、v4连线的情况，如果此三点间有任两点连的红线，则出现红色三角形(例如v2v3连红线，则v1v2v3是红色三角形)，如果这三点间都不连红线，则出现蓝色三角形(v2v3v4是蓝色三角形)．故证． ⑵考虑K6共连了C26＝15条线，共得到C36＝20个三角形．设第i个顶点连了r i(0≤i≤5) 条红线，5－r i条蓝线．由于r i(5－r i)≤6．所以，连出的异色角个数≤6×6＝36个．由于每个异色的三角形有2个异色角，所以图中异色三角形个数≤18，故图中同色三角形个数≥20－18＝2． 说明题⑴是早期匈牙利的一个图论竞赛题．解这类“实际问题”时，重要的是会用图的语言解释题意，把实际问题改写为图的问题． ⑵用异色角来解相关问题是较好的方法． 例2 由5人组成一个公司，其中任意三人总有2人彼此认识，也总有2人彼此不认识．证明：这五人可以围桌而坐，使每人两旁都是他认识的人．(1978年保加利亚数学竞赛) 证明用5个点表示这5个人，若两人互相认识，则在表示这2个人的点间连1条线．题
离散数学图论部分综合练习 一、单项选择题 1．设图G 的邻接矩阵为 ??? ???? ? ????? ???0101 010******* 11100100110 则G 的边数为( )． A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 2．已知图G 的邻接矩阵为 ， 则G 有（ ）． A ．5点，8边 B ．6点，7边 C ．6点，8边 D ．5点，7边 3．设图G ＝
图三 7．设有向图（a ）、（b ）、（c ）与（d ）如图四所示，则下列结论成立的是 ( )． 图四 A ．（a ）是强连通的 B ．（b ）是强连通的 C ．（c ）是强连通的 D ．（d ）是强连通的 应该填写：D 8．设完全图K n 有n 个结点(n ≥2)，m 条边，当（ ）时，K n 中存在欧拉回路． A ．m 为奇数 B ．n 为偶数 C ．n 为奇数 D ．m 为偶数 9．设G 是连通平面图，有v 个结点，e 条边，r 个面，则r = ( )． A ．e －v ＋2 B ．v ＋e －2 C ．e －v －2 D ．e ＋v ＋2 10．无向图G 存在欧拉通路，当且仅当( )． A ．G 中所有结点的度数全为偶数 B ．G 中至多有两个奇数度结点 C ．G 连通且所有结点的度数全为偶数 D ．G 连通且至多有两个奇数度结点 11．设G 是有n 个结点，m 条边的连通图，必须删去G 的( )条边，才能确定G 的一棵生成树． A ．1m n -+ B ．m n - C ．1m n ++ D ．1n m -+ 12．无向简单图G 是棵树，当且仅当( )． A ．G 连通且边数比结点数少1 B ．G 连通且结点数比边数少1 C ．G 的边数比结点数少1 D ．G 中没有回路． 二、填空题 1．已知图G 中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结 点，则G 的边数是 ． 2．设给定图G (如图四所示)，则图G 的点割 ο ο ο ο c a b f