复变函数复习提纲
(一)复数的概念
1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：两个复数不能比较大小.
2.复数的表示
1
）模：z =
2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctan
y
x
之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y
z x
=；
当0,arg arctan 0,0,arg arctan y
y z x
x y y z x
ππ?
≥=+??
?<=-??； 4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。 5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。 (二) 复数的运算
1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±
2.乘除法：
1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则
()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；
()()()()11221111212
1221
2222
22222222222x i y x i y z x i y x x y y y x y x i z x i y x i y x i y x y
x y
+-++-===+++-++。 2）若121122,i i z z e z z e θθ==, 则
()
1
21212i z z z z e θθ+=；
()1211
22
i z z e z z θθ-=
3.乘幂与方根
1） 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )n
n
n in z z n i n z e θθθ=+=。 2） 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则
1
22
cos sin (0,1,21)n
k k z i k n n n θπθπ++?
?=+=- ?
??
（有n 个相异的值）
（三）复变函数
1．复变函数：()w f z =，在几何上可以看作把z 平面上的一个点集D 变到w 平面上的一个点集G 的映射. 2．复初等函数
1）指数函数：()cos sin z x e e y i y =+，在z 平面处处可导，处处解析；且()z z e e '=。 注：z e 是以2i π为周期的周期函数。（注意与实函数不同）
3） 对数函数： ln (arg 2)Lnz z i z k π=++(0,1,2)k =±± （多值函数）；
主值：ln ln arg z z i z =+。（单值函数）
Lnz 的每一个主值分支ln z 在除去原点及负实轴的z 平面内处处解析，且()1
lnz z
'=； 注：负复数也有对数存在。（与实函数不同） 3）乘幂与幂函数：(0)b bLna
a e a =≠；(0)
b bLnz
z e z =≠
注：在除去原点及负实轴的z 平面内处处解析，且()1b b z bz -'=。
4）三角函数：sin cos sin ,cos ,t ,22cos sin iz iz iz iz e e e e z z
z z gz ctgz i z z
---+==== sin ,cos z z 在z 平面内解析，且()()sin cos ,cos sin z z z z ''==-
注：有界性sin 1,cos 1z z ≤≤不再成立；（与实函数不同）
4） 双曲函数 ,22
z z z z
e e e e shz chz ---+==； shz 奇函数，chz 是偶函数。,shz chz 在z 平面内解析，且()(),shz chz chz shz ''==。
（四）解析函数的概念 1．复变函数的导数 1）点可导：()0f z '=()()
000
lim
z f z z f z z
?→+?-?；
2）区域可导： ()f z 在区域内点点可导。 2．解析函数的概念
1）点解析： ()f z 在0z 及其0z 的邻域内可导，称()f z 在0z 点解析； 2）区域解析： ()f z 在区域内每一点解析，称()f z 在区域内解析； 3）若()f z 在0z 点不解析，称0z 为()f z 的奇点；
3．解析函数的运算法则：解析函数的和、差、积、商（除分母为零的点）仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数； （五）函数可导与解析的充要条件
1．函数可导的充要条件：()()(),,f z u x y iv x y =+在z x iy =+可导
?(),u x y 和(),v x y 在(),x y 可微，
且在(),x y 处满足C D -条件：,u v
u v x y
y x
????==-???? 此时， 有()u v
f z i x x
??'=
+??。 2．函数解析的充要条件：()()(),,f z u x y iv x y =+在区域内解析
?(),u x y 和(),v x y 在(),x y 在D 内可微，且满足C D -条件：,u v u v x y y x
????==-????； 此时()u v f z i x x
??'=
+??。 注： 若()(),,,u x y v x y 在区域D 具有一阶连续偏导数，则()(),,,u x y v x y 在区域D 内是可微的。因此在使用充要条件证明时，只要能说明,u v 具有一阶连续偏导且满足C R -条件时，函数()f z u iv =+一定是可导或解析的。
3．函数可导与解析的判别方法
1）利用定义 （题目要求用定义，如第二章习题1）
2）利用充要条件 （函数以()()(),,f z u x y iv x y =+形式给出，如第二章习题2） 3）利用可导或解析函数的四则运算定理。（函数()f z 是以z 的形式给出，如第二章习题3）
（六）复变函数积分的概念与性质 1．
复变函数积分的概念：()()1lim n
k k c
n k f z dz f z ξ→∞
==?∑?，c 是光滑曲线。
注：复变函数的积分实际是复平面上的线积分。 2．
复变函数积分的性质
1）()()1c
c
f z dz f z dz -=-?? （1c -与c 的方向相反）； 2）()()()()[],,c
c
c
f z
g z dz f z dz g z dz αβαβαβ+=+???是常数；
3） 若曲线c 由1c 与2c 连接而成，则()()()1
2
c
c c f z dz f z dz f z dz =+???。
3．复变函数积分的一般计算法
1）化为线积分：()c
c
c
f z dz udx vdy i vdx udy =-++???；（常用于理论证明）
2）参数方法：设曲线c ： ()()z z t t αβ=≤≤，其中α对应曲线c 的起点，β对应曲线c 的终点，则 ()()[]()c
f z dz f z t z t dt β
α
'=??。
（七）关于复变函数积分的重要定理与结论
1．柯西—古萨基本定理：设()f z 在单连域B 内解析，c 为B 内任一闭曲线，则
()0c
f z dz =?
2．复合闭路定理： 设()f z 在多连域D 内解析，c 为D 内任意一条简单闭曲线，
12,,n c c c 是c 内的简单闭曲线，它们互不包含互不相交，并且以12,,n c c c 为边界的
区域全含于D 内，则
① ()c
f z dz ? ()1,k
n
k c f z dz ==∑?
其中c 与k c 均取正向； ② ()0f z dz Γ
=?
，其中Γ由c 及1(1,2,)c k n -= 所组成的复合闭路。 3．闭路变形原理 ： 一个在区域D 内的解析函数()f z 沿闭曲线c 的积分，不因c 在D 内作连续变形而改变它的值，只要在变形过程中c 不经过使()f z 不解析的奇点。 4．解析函数沿非闭曲线的积分： 设()f z 在单连域B 内解析，()G z 为()f z 在B 内的一个原函数，则()()()
2
12112(,)z z f z dz G z G z z z B =-∈?
说明：解析函数()f z 沿非闭曲线的积分与积分路径无关，计算时只要求出原函数即可。
5。 柯西积分公式：设()f z 在区域D 内解析，c 为D 内任一正向简单闭曲线，c 的内部完全属于D ，0z 为c 内任意一点，则()()00
2c
f z dz if z z z π=-?
6．高阶导数公式：解析函数()f z 的导数仍为解析函数，它的n 阶导数为
()()
()01
02(1,2)()
!
n n c
f z i dz f z n z z n π+==-?
其中c 为()f z 的解析区域D 内围绕0z 的任何一条正向简单闭曲线，而且它的内部完全属于D 。 7．重要结论：
12,01
0,0
()n c
i n dz n z a π+=?=?≠-?? 。 （c 是包含a 的任意正向简单闭曲线）
8．复变函数积分的计算方法
1）若()f z 在区域D 内处处不解析，用一般积分法()()()[]c
f z dz f z t z t dt β
α
'=??
2）设()f z 在区域D 内解析，
● c 是D 内一条正向简单闭曲线，则由柯西—古萨定理，()0c f z dz =? ● c 是D 内的一条非闭曲线，12,z z 对应曲线c 的起点和终点，则有
()()()()21
21z c
z f z dz f z dz F z F z ==-?
?
3）设()f z 在区域D 内不解析
● 曲线c 内仅有一个奇点：()
()()()()00
01022()!c n n c f z dz i f z z z f z i dz f z z z n ππ+?=?-???=?-?
?? （()f z 在c 内解析）
● 曲线c 内有多于一个奇点：()c
f z dz ? ()1k
n
k c f z dz ==∑?
（i c 内只有一个奇点k z ） 或：()1
2Re [(),]n
k k c
f z dz i s f z z π==∑? （留数基本定理）
● 若被积函数不能表示成
()1
()n o f z z z +-，则须改用第五章留数定理来计算。
（八）解析函数与调和函数的关系
1．调和函数的概念：若二元实函数(,)x y ?在D 内有二阶连续偏导数且满足
2222
0x y ??
??+=??， (,)x y ?为D 内的调和函数。 2．解析函数与调和函数的关系
● 解析函数()f z u iv =+的实部u 与虚部v 都是调和函数，并称虚部v 为实部u 的共轭
调和函数。
● 两个调和函数u 与v 构成的函数()f z u iv =+不一定是解析函数；但是若,u v 如果满
足柯西—
黎曼方程，则u iv +一定是解析函数。
3．已知解析函数()f z 的实部或虚部，求解析函数()f z u iv =+的方法。 1）偏微分法：若已知实部(),u u x y =，利用C R -条件，得
,v v x y
????； 对
v u ??=
两边积分，得()u
v dy g x ?=+? （*）
再对（*）式两边对x 求偏导，得
()v u dy g x x x x ?????'=+ ??????
? （**） 由C R -条件，
u v y x
??=-??，得()u u dy g x y x x ?????
'=-+ ???????，可求出 ()g x ； 代入（*）式，可求得 虚部()u
v dy g x x
?=+??
。 2）线积分法：若已知实部(),u u x y =，利用C R -条件可得
v
v u u d v d x d y d x d y
x
y
y x
????=
+=-
+????， 故虚部为()
()
00,,x y x y u u
v dx dy c y x
??=-
++???
； 由于该积分与路径无关，可选取简单路径（如折线）计算它，其中()00,x y 与(),x y 是解析区域中的两点。
3）不定积分法：若已知实部(),u u x y =，根据解析函数的导数公式和C R -条件得知，
()u v u u
f z i i x y x y
????'=
+=-???? 将此式右端表示成z 的函数()U z ，由于()f z '仍为解析函数，故
()()f z U z dz c =+? （c 为实常数）
注：若已知虚部v 也可用类似方法求出实部.u （九）复数项级数 1．复数列的极限
1）复数列{}{}n n n a ib α=+（1,2n = ）收敛于复数a bi α=+的充要条件为
lim ,
lim n n n n a a b b →∞
→∞
== （同时成立）
2）复数列{}n α收敛?实数列{},{}n n a b 同时收敛。 2．复数项级数
1）复数项级数0()n n n n n a ib αα∞
==+∑收敛的充要条件是级数0n n a ∞=∑与0
n n b ∞
=∑同时收敛；
2）级数收敛的必要条件是lim 0n n α→∞
=。
注：复数项级数的敛散性可以归纳为两个实数项级数的敛散性问题的讨论。 （十）幂级数的敛散性
1．幂级数的概念：表达式00
()n
n n c z z ∞
=-∑或0
n n n c z ∞
=∑为幂级数。
2．幂级数的敛散性
1）幂级数的收敛定理—阿贝尔定理(Abel)：如果幂级数0n n n c z ∞
=∑在00z ≠处收敛，那么
对满足0z z <的一切z ，该级数绝对收敛；如果在0z 处发散，那么对满足0z z >的一切z ，级数必发散。 2）幂级数的收敛域—圆域
幂级数在收敛圆域内，绝对收敛；在圆域外，发散；在收敛圆的圆周上可能收敛；也可能发散。
3）收敛半径的求法：收敛圆的半径称收敛半径。 ● 比值法 如果1lim
0n n n c c λ+→∞
=≠，则收敛半径1
R λ
=； ● 根值法
0n λ=≠，则收敛半径1
R λ
=
；
● 如果0λ=，则R =∞；说明在整个复平面上处处收敛；
如果λ=∞，则0R =；说明仅在0z z =或0z =点收敛；
注：若幂级数有缺项时，不能直接套用公式求收敛半径。（如20n n n c z ∞
=∑）
3．幂级数的性质
1）代数性质：设0
,n
n n n n n a z b z ∞
∞
==∑∑的收敛半径分别为1R 与2R ，记()12min ,R R R =，
则当z R <时，有
()n
n
n
n n n n n n n a b z a z b z αβαβ∞
∞
∞
===+=+∑∑∑ （线性运算）
01100
()()()n
n
n n n n n n n n n a z b z a b a b a b z ∞∞∞
-====+++∑∑∑ （乘积运算）
2）复合性质：设当r ξ<时，()0
n n n f a ξξ∞
==∑，当z R <时，()g z ξ=解析且()g z r <，
则当z R <时，()()0
[][]n n n f g z a g z ∞
==∑。
3）分析运算性质：设幂级数0
n n n a z ∞
=∑的收敛半径为0R ≠，则
● 其和函数()0
n n n f z a z ∞
==∑是收敛圆内的解析函数；
● 在收敛圆内可逐项求导，收敛半径不变；且()10
n n n f z na z ∞
-='=∑ z R <
● 在收敛圆内可逐项求积，收敛半径不变；()1
01
z
n n n a f z dz z n ∞
+==+∑
? z R <
（十一）幂函数的泰勒展开
1. 泰勒展开：设函数()f z 在圆域0z z R -<内解析，则在此圆域内()f z 可以展开成幂级数 ()(
)
()
()
000!
n n
n f z f z z z n ∞
==-∑
；并且此展开式是唯一的。
注：若()f z 在0z 解析，则()f z 在0z 的泰勒展开式成立的圆域的收敛半径0R z a =-；
其中R 为从0z 到()f z 的距0z 最近一个奇点a 之间的距离。 2．常用函数在00z =的泰勒展开式
1）23011!
2!3!!n
z
n n z z z e z z n n ∞
===++++++∑ z <∞
2）
20
1
11n n n z z z z z ∞
===+++++-∑ 1z < 3）352121
0(1)(1)sin (21)!
3!5!(21)!n n n n n z z z z z z n n ∞
++=--==-+-++++∑
z <∞ 4）24220
(1)(1)cos 1(2)!2!4!(2)!n n n n
n z z z z z n n ∞
=--==-+-++∑ z <∞
3．解析函数展开成泰勒级数的方法
1）直接法：直接求出()()01!n n c f z n =，于是()()00
n
n n f z c z z ∞
==-∑。
2）间接法：利用已知函数的泰勒展开式及幂级数的代数运算、复合运算和逐项求导、逐项求积等方法将函数展开。 （十二）幂函数的洛朗展开 1. 洛朗级数的概念：
()
n
n
n c z z ∞
=-∞
-∑，含正幂项和负幂项。
2．洛朗展开定理：设函数()f z 在圆环域102R z z R <-<内处处解析，c 为圆环域内绕
0z 的任意一条正向简单闭曲线，则在此在圆环域内，有()()0n
n n f z c z z ∞
=-∞
=
-∑
，
且展开式唯一。
3．解析函数的洛朗展开法：洛朗级数一般只能用间接法展开。
*4．利用洛朗级数求围线积分：设()f z 在0r z z R <-<内解析，c 为0r z z R <-<内的任何一条正向简单闭曲线，则 ()12c
f z dz ic π-=? 。其中1c -为()f z 在0r z z R <-<内洛
朗展开式中
1
z z -的系数。 说明：围线积分可转化为求被积函数的洛朗展开式中10()z z --的系数。 （十三）孤立奇点的概念与分类
1。 孤立奇点的定义 ：()f z 在0z 点不解析,但在0z 的00z z δ<-<内解析。 2。孤立奇点的类型：
1）可去奇点：展开式中不含0z z -的负幂项；()()()2
01020f z c c z z c z z =+-+-+ 2）极点：展开式中含有限项0z z -的负幂项；
()(1)2
1010201000()()()()()m m m m c c c f z c c z z c z z z z z z z z -----=+++++-+-+--- ()0,()m
g z z z =-
其中()1()()()m m g z c c z z c z z c z z -=+-++-+-+ 在z 解析，
且()00,1,0m g z m c -≠≥≠；
3）本性奇点：展开式中含无穷多项0z z -的负幂项；
()1
010000()()()()
m m m m
c c f z c c z z c z z z z z z --=+
++++-++-+-- （十四）孤立奇点的判别方法 1．可去奇点：()0
0lim z z f z c →=常数；
2．极点：()0
lim z z f z →=∞
3．本性奇点：()0
lim z z f z →不存在且不为∞。
4．零点与极点的关系
1）零点的概念：不恒为零的解析函数()f z ，如果能表示成()()0()m f z z z z ?=-， 其中()z ?在0z 解析，()00,z m ?≠为正整数，称0z 为()f z 的m 级零点； 2）零点级数判别的充要条件
0z 是()f z 的m 级零点?()()()()000,(1,2,1)
0n m f z n m f z ?==-??
≠??
3）零点与极点的关系：0z 是()f z 的m 级零点?0z 是()
1
f z 的m 级极点； 4）重要结论
若z a =分别是()z ?与()z ψ的m 级与n 级零点，则 ● z a =是()z ? ()z ψ的m n +级零点；
● 当m n >时，z a =是()
()
z z ?ψ的m n -级零点；
当m n <时，z a =是
()
()
z z ?ψ的n m -级极点； 当m n =时，z a =是()
()
z z ?ψ的可去奇点；
● 当m n ≠时，z a =是()()z z ?ψ+的l 级零点，min(,)l m n =
当m n =时，z a =是()()z z ?ψ+的l 级零点，其中()l m n ≥ （十五）留数的概念
1．留数的定义：设0z 为()f z 的孤立奇点，()f z 在0z 的去心邻域00z z δ<-<内解析，
c 为该域内包含0z 的任一正向简单闭曲线，则称积分()1
2c
f z dz i π?
为()f z 在0z 的留数
（或残留），记作 ()0Re [,]s f z z =()1
2c
f z dz i
π? 2．留数的计算方法
若0z 是()f z 的孤立奇点，则()0Re [,]s f z z =1c -，其中1c -为()f z 在0z 的去心邻
域内洛朗展开式中10()z z --的系数。
1）可去奇点处的留数：若0z 是()f z 的可去奇点，则()0Re [,]s f z z =0 2）m 级极点处的留数
法则I 若0z 是()f z 的m 级极点，则
()0Re [,]s f z z =
()01
011lim [()](1)!m m m z z d z z f z m dz
--→-- 特别地，若0z 是()f z 的一级极点，则()0Re [,]s f z z =()0
0lim()z z z z f z →-
注：如果极点的实际级数比m 低，上述规则仍然有效。 法则II 设()()()
P z f z Q z =
，()(),P z Q z 在0z 解析，()00,P z ≠
()()000,0Q z Q z '=≠，则()
()()()000Re [
,]P z P z s z Q z Q z =' （十六）留数基本定理
设()f z 在区域D 内除有限个孤立奇点12,,n z z z 外处处解析，c 为D 内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，则()()12Re [,]n c
n f z dz i s f z z π∞
==∑?
说明：留数定理把求沿简单闭曲线积分的整体问题转化为求被积函数()f z 在c 内各孤立
奇点处留数的局部问题。
积分变换复习提纲
一、傅里叶变换的概念 ● [()]()()j wt F f t f t e dt F w +∞--∞
==?
● 11[()]()()2j t F F F e d f t ωωωωπ
+∞--∞
=
=?
二、几个常用函数的傅里叶变换 ● 1
[()]F e t j βω=
+ ● 1
[()]()F u t j πδωω
=
+ ● [()]1F t δ= ● [1]2()F πδω= 三、傅里叶变换的性质
● 位移性（时域）：00[()]jwt F f t t e --=[()]F f t ● 位移性（频域）：00
0[()]()()j w t w w w F e f t F w F w w =-==-
● 位移性推论：0001
[sin ()][()()]2F w t f t F w w F w w j
=
--+ ● 位移性推论：0001
[cos ()][()()]2
F w t f t F w w F w w =-++
● 微分性（时域）：[()]()()F f t jw F w '= （,()0t f t →+∞→），
()[()]()()n n F f t jw F w =，(1),()0n t f t -→+∞→
● 微分性（频域）：()()()[()],[()()]()n n F jt f t F w F jt f t F w '-=-= ● 相似性：1[()]()w
F f at F a a
=
(0)a ≠ 四、拉普拉斯变换的概念 ● 0
[()]()()st L f t f t e dt F s +∞-==?
五、几个常用函数的拉普拉斯变换
● 1
[]kt L e s k
=
-；
● 11
(1)；（1
(1)1,()(1)()2
m m m Γ=Γ=Γ+=Γ） ● 1
[()][1]L u t L s
==；
● [()]1L t δ=
● 22
22
[sin ],[cos ]k
s
L kt L kt s k s k ==
++ ● 22
2
2
[s ],
[]k
s
L hkt L chkt s k s k ==-- ● 设()()f t T f t +=，则0
1
[()]()1T Ts L f t f t dt e
-=-?。（()f t 是以T 为周期的周期函数） 六、拉普拉斯变换的性质
● 微分性（时域）：()()()2[]0,[()]()(0)(0)L f t sF s f L f t s F s sf f ''''=-=--
● 微分性（频域）：()(
)[()]L t f t F s '-=，()()()[()]n n L t f t F s -=
● 积分性（时域）：()()0
[]t
F s L f t dt s
=
?
● 积分性（频域）：()()[
]s
f t L F s ds t
∞
=?（收敛）
● 位移性（时域）：()()
[]at L e f t F s a =-
● 位移性（频域）：()()[]s L f t e F s ττ--=（0τ>,0,()0t f t <≡） ● 相似性：1[()]()s
L f at F a a
= (0)
a >
●
1212()*()()()f t f t f f t d τττ+∞
-∞
=-?
● 1212[()()]()()F f t f t F w F w *=? ● 12121
[()()]()()2F f t f t F w F w π
?=
* ● 1212[()()]()()L f t f t F s F s *=? 八、几个积分公式 ● ()()(0)f t t dt f δ+∞
-∞=?
● 00()()()f t t t dt f t δ+∞
-∞-=?
● 0
00()
[()]()f t dt L f t ds F s ds t
+∞∞∞==?
??14
●
()[()]
kt s k
f t e dt L f t +∞-==?
模拟试卷一
一.填空题
1.
=??
?
??+-7
11i i . 2. I=()的正向为其中0,sin >=-?a z c dz z e
z c
z
,则I= .
3.
z
1
tan 能否在R z <<0内展成Lraurent 级数？
4．其中c 为
2=
z 的正向：dz z z c
1
sin 2
?=
5. 已知()ω
ω
ωsin =F ，则
()t f =
二.选择题 1.
()()z z z f Re =在何处解析
(A) 0 (B)1 (C)2 (D)无 2.沿正向圆周的积分.
dz z z
z ?=-22
1
sin =
(A)2
1sin i π. (B) 0. (C)1sin i π. (D)以上都不对.
3．
()∑+∞
-∞
=--n n n
z 14
的收敛域为
(A) .
414
1
<- ()z f 的m 级极点,则 () ()z f z f '在点z =a 的留数是 . (A) m. (B) -2m. (C) -m. (D) 以上都不对. 三.计算题 1. ()iv u z f +=为解析函数，3 22333y xy y x x v u --+=-，求u 2．设函数 ()z f 与分别以z=a 为m 级与n 级极点，那么函数()()z g z f .在z=a 处极 点如何？ 3．求下列函数在指定点z 0处的Taylor 级数及其收敛半径。 ()1,1 02-==z z z f 4．求拉氏变换 ()t t f 6sin =（k 为实数） 5. 求方程t e y y y -=+'+''34满足条件()()100='=y y 的解. 四.证明题 1.利用e z 的Taylor 展式，证明不等式 z z z e z e e ≤-≤-11 2.若( )=?F ?()[]t f (a 为非零常数) 证明：?()[]?? ? ??=a F a at f ? 1 模拟试卷一答案 一.填空题 1. i 2. 0 3.否 4．1/6- 5. ()0.5,10, 10.25,1 t f t t t ? =>?? =?二.选择题 1. (D) 2. (A) 3．(A) 4. (C) 三.计算题 1. 233u x y y c =-+ 2．函数 ()()z g z f 在z=a 处极点为m+n 级 3．()()1 21 111n n f z n z R z ∞ -===+=∑ 4． 2 636s + 5. ()3371442 t t t y t e e te ---=-++. 模拟试卷二 一.填空题 1. C 为1=z 正向，则?c dz z = 2. ()()2 323lxy x i y nx my z f +++=为解析函数，则 l, m, n 分别 为 . 3.2Re ,0shz s z ?? =???? 4. 级数 ()∑ ∞ =-1 2 2n n n z .收敛半径为 5. δ-函数的筛选性质是 二.选择题 1． ()()1-=-t u e t f t ，则?()f t =???? (A) . ()1 1---s e s (B) () 1 1---s e s (C)2 ()1 1---s e s (D) 以上都不对 2．?()[]()ωF t f =，则?()()[]=-t f t 2 (A)()()ω? F F 2-' . (B)()()ω?F F 2-'-. (C) ( )()ω?F F i 2-'. (D) 以上都不对 3．C 为 3=z 的正向，() .210 3?-c z z dz (A) .1 (B)2 (C)0 (D) 以上都不对 4. 沿正向圆周的积分dz z z z ? =? ?? ? ?-2 2 2sin π = (A).0. (B).2 (C).2+i. (D). 以上都不对. 三.计算题 1. 求sin(3+4i). 2．计算()()?--c b z a z dz ,其中a 、b 为不在简单闭曲线c 上的复常数，a ≠b. 3．求函数 ()1,1 1 0=+-=z z z z f 在指定点z 0处的Taylor 级数及其收敛半径。 4．求拉氏变换()kt e t f =（k 为实数） 四.证明题 1.∑ ∞ =0 n n C 收敛，而 ∑∞ =0 n n C 发散，证明∑∞ =0 n n n z C 收敛半径为1 2.若? ()[]() s F t f =，(a 为正常数)证明：? ()[]?? ? ??=a s F a at f 1 模拟试卷二答案 一.填空题 1.2i π 2. 3,1l n m ==-= 3.1 4. 1 5. ()()()0t f t dt f δ+∞ -∞ =? - 二.选择题 1． (B) 2．(C) 3． (C) 4. (A) 三.计算题 1. 43432i i e e i -+-- 2．当a 、b 均在简单闭曲线c 之内或之外时 ( )()0,c dz z a z b =--? 当a 在c 之内, b 在c 之外时 ( )()2,dz i z a z b a b π=---? 当b 在c 之内, a 在c 之外时 ()()2,c dz i z a z b a b π-=---? 3．()()1 0111212n n n z z f z R z +∞=--?? ==-= ? +?? ∑. 4． 1s k - 模拟试卷三 一.填空题 1． z=0为()( ) 12 2 -=z e z z f 的 级零点, 2. ? ? ????-0,1Re 32z z s . 3. a,b,c 均为复数，问()bc c b a a 与一定相等吗？ . 4. 每个幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点吗？ 5. ?c z dz cos = . 二.选择题 1. 设u 和v 都是调和函数,如果v 是u 的共轭调和函数，那么v 的共轭调和函数为 . (A) u. (B)-u. (C)2u (D)以上都不对。 2．级数∑∞ =1n in n e . (A) . 发散. (B)条件收敛 (C)绝对收敛 (D)无法确定 3．C 为 2=z 的正向, 则() 22 9z c e dz z z =+? . (A) .1 (B)2 (C)9 1 2i π (D) 以上都不对 4．? ()[]()ωF t f =，则?()[]=-t f 1 . (A) ()ω ωi e F - (B) ()ω ωi e F -- (C) ()ωωi e F (D) 以上都不对 三.计算题 1.计算 ().0cos 45cos 21,201 =+++=??=θθθπd z dz z f z 证明从而 2．求在指定圆环域内的Laurent 级数 ()11,1 2>--=z z z z f . 3．利用留数计算定积分: ? +π θ θ20 cos 2d ． 4．求拉氏变换()kt te t f =（k 为实数）. 四.证明题 1.说明 Lnz Lnz 22=是否正确，为什么？ 2.利用卷积定理证明?()()s s F dt t f t =???????0 模拟试卷三答案 一.填空题 1． 4 2. 1 3. 不一定 4. 否 5. 0 二.选择题 1. (B) 2． (A) 3． (C) 4． (D) 三.计算题 1. ()1 0,2z dz f z z ===+? 2． ()()()()1120 1111n n n z f z n z z ∞+--=-==-+-∑. 3 ．2 3 π 4． () 2 1 s k - 模拟试卷四 一.填空题 1. 复数i i z -+= 11 三角表示形式 . 习题六 1. 求映射1 w z = 下，下列曲线的像. (1) 22x y ax += (0a ≠，为实数) 解：2222 11i=+i i x y w u v z x y x y x y ===-+++ 221 x x u x y ax a = ==+, 所以1w z =将22x y ax +=映成直线1u a =. (2) .y kx =(k 为实数) 解： 22221i x y w z x y x y = =-++ 22 2222 x y kx u v x y x y x y = =- =- +++ v ku =- 故1 w z = 将y kx =映成直线v ku =-. 2. 下列区域在指定的映射下映成什么？ （1）Im()0, (1i)z w z >=+； 解： (1i)(i )()i(+)w x y x y x y =+?+=-+ ,. 20.u x y v x y u v y =-=+-=-< 所以Im()Re()w w >. 故(1i)w z =+?将Im()0,z >映成Im()Re()w w >. (2) Re(z )>0. 0 一、将下列复数用代数式、三角式、指数式表示出来。 (1) i 解：2 cos sin 2 2 i i e i ππ π ==+ (2) -1 解：1cos sin i e i πππ-==+ (3) 1+ 解：()/3122cos /3sin /3i e i πππ+==+ (4) 1cos sin i αα-+ 解： 2221cos sin 2sin 2sin cos 2sin (sin cos )2 2 2 2 22 2sin cos()sin()2sin 222222 i i i i i e παα α α α α α αααπαπαα?? - ??? -+=+=+? ?=-+-= ??? (5) 3z 解：()3333cos3sin3i z r e r i θθθ==+ (6) 1i e + 解：()1cos1sin1i i e ee e i +==+ (7) 11i i -+ 解：3/411cos3/4sin 3/411i i i i e i i i πππ--==-==+++ 二、计算下列数值 (1) 解： 1ar 21ar 21ar 2 b i ctg k a b i ctg a b i ctg a π?? + ??? = =??=??? (2) 解：6 2263634632 22i k i i i i e i e e e i πππππππ?? ??++ ? ??? ????+ ????=+????====-+? ??=-? (3) i i 解：( )2222i i k k i i e e ππππ???? +-+ ? ??? ?? == (4) 解：( ) 1/2222i i k k e e ππππ???? ++ ? ??? ?? == (5) cos5α 解：由于：()()5 5 2cos5i i e e ααα-+=， 而： ()()()() ()()()() 5 5 5 55 5 5 5 55 cos sin cos sin cos sin cos sin n n i n n n n i n n e i C i e i C i αααααααααα-=--==+==-=-∑∑ 所以： ()()()()()()()()()()() 5555055550 4 3 2 5 3 543251cos5cos sin cos sin 21 cos sin 112 5cos sin cos sin cos 5cos sin 10cos sin cos n n n n n n n n n n n C i i C i i C i ααααααααααααααααα --=--=?? =+-????=+-??=++=-+∑∑ (6) sin5α 解：由于：()() 5 5 2sin 5i i e e ααα--=， 所以： ()()()()()()()()()()() () 5555055550 5234 245552341sin 5cos sin cos sin 21 cos sin 1121 sin cos sin sin cos sin 10cos sin 5sin cos n n n n n n n n n n n C i i i C i i i C i C i i ααααααααααααααααα --=--=?? =--? ??? =--??=++=-+∑∑ (7) cos cos2cos n ααα+++L L 解： 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。 1．下列复数中，位于第Ⅱ象限的复数是 （ ） A ．1+i B ．1-i C ．-1+i D ．-1-i 2．当i i z -+= 11时，50 75100z z z ++的值等于 （ ） A ． i B ．-i C ．1 D ．-1 3．方程232= -+i z 所代表的曲线是 （ ） A ．中心为i 32-，半径为2的圆周 B ．中心为i 32+-，半径为2的圆周 C ．中心为i 32+-，半径为2的圆周 D ．中心为i 32-，半径为2的圆周 4．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数为 （ ） A ． 2 B ．i 31+ C ．i -3 D ．i +3 5．函数)(z f 在点z 可导是)(z f 在点z 解析的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．即非充分也非必要条件 6．设2 2)(y i x z f ?+=，则=+')1(i f （ ） A ． 2 B ．2 i C ．1 + i D ．2 + 2 i 7．设C 为正向圆周|z|=2，则 ()dz z z c ?-2 1cos （ ） A ．1sin - B ．sin1 C ．1sin 2i ?-π D ．1sin 2i ?π 8．设c 是t i z )1(+=，t 从1到2线段，则=? zdz c arg （ ） A ． 4π B ．4πi C ．4 π (1+ i ) D ．1 + i 9．幂级数∑ ∞ =+-1 n 22z )1n (n )2(在点z=41 处 （ ） A ．发散 B ．条件收敛 C ．绝对收敛 D ．不绝对收敛 10．幂级数n n z n ??? ??∑∞ =22sin 1 π的收敛半径R = （ ） 得分 评卷人 复查人 复变函数与积分变换试题（一） 一、填空（3分×10） 1．)31ln(i --的模 ，幅角 。 2．-8i 的三个单根分别为： ， ， 。 3．Ln z 在 的区域内连续。 4．z z f =)(的解极域为： 。 5．xyi y x z f 2)(22+-=的导数=')(z f 。 6．=?? ? ???0,sin Re 3z z s 。 7．指数函数的映照特点是： 。 8．幂函数的映照特点是： 。 9．若)(ωF =F [f (t )]，则)(t f = F )][(1ω-f 。 10．若f （t ）满足拉氏积分存在条件，则L [f (t )]= 。 二、(10分) 已知222 1 21),(y x y x v +-=，求函数),(y x u 使函数),(),()(y x iv y x u z f +=为 解析函数，且f (0)=0。 三、（10分）应用留数的相关定理计算 ?=--2||6)3)(1(z z z z dz 四、计算积分（5分×2） 1．?=-2 ||) 1(z z z dz 2．? -c i z z 3 )(cos C ：绕点i 一周正向任意简单闭曲线。 五、（10分）求函数) (1 )(i z z z f -= 在以下各圆环内的罗朗展式。 1．1||0<- 《全等三角形》压轴题训练 (1) 1.如图，在ABC ?中，,AD BC CE AB ⊥⊥,垂足分别为,,,D E AD CE 交于点,H EH 、3,4EB AE ===，则CH 的长是( ) A. 4 B. 5 C. 1 D. 2 2.如图，在Rt ABC ?中，90C ∠=?，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交边 ,AC AB 于点,M N ，再分别以,M N 为圆心，大于12 MN 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D ，若4,25CD AB ==，则ABD ?的面积为( ) A. 15 B. 30 C. 45 D. 60 3.如图，在Rt ABC ?中，90,12,6C AC BC ∠=?==，一条线段,,PQ AB P Q =两点分别在线段AC 和以点A 为端点且垂直于AC 的射线AX 上运动，要使ABC ?和QPA ?全等，则AP 的长为 . 4.如图，//,,,,2,3AD BC AB BC CD DE CD ED AD BC ⊥⊥===，则ADE ?的面积为 . 5. (1)观察推理:如图①，在ABC ?中，90,ACB AC BC ∠=?=,直线l 过点C ，点,A B 在直线l 的同侧，,BD l AE l ⊥⊥，垂足分别为,D E .求证:AEC CDB ???. (2)类比探究:如图②，在Rt ABC ?中，90,4ACB AC ∠=?=，将斜边AB 绕点A 逆时 针旋转90°至AB '，连接B C '，求AB C '?的面积. (3)拓展提升:如图③，在EBC ?中，60,3E ECB EC BC ∠=∠=?==，点O 在BC 上，且2OC =，动点P 从点E 沿射线EC 以每秒1个单位长度的速度运动，连接OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转120°得到线段OF .要使点F 恰好落在射线EB 上，求点P 运动的时间t . 6.【初步探索】 (1)如图①，在四边形ABCD 中，,90AB AD B ADC =∠=∠=?. ,E F 分别是,BC CD 上的点，且EF BE FD =+.探究图中,,BAE FAD EAF ∠∠∠之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法:延长FD 到点G ，使DG BE =.连接AG .先证明ABE ADG ???，再证AEF AGF ???，可得出结论，他的结论应是 . 【灵活运用】 (2)如图②，在四边形ABCD 中，,180AB AD B D =∠+∠=?. ,E F 分别是,BC CD 上的点，且EF BE FD =+，上述结论是否仍然成立?请说明理由. 【延伸拓展】 (3)如图③，在四边形ABCD 中，180,ABC ADC AB AD ∠+∠=?=.若点E 在CB 的延长线上，点F 在CD 的延长线上，仍然满足EF BE FD =+，请写出EAF ∠与DAB ∠的数量关系，并给出证明过程. 复变函数复习提纲 （一）复数的概念 1.复数的概念：z = X ? iy , X, y 是实数,x = Rez,y=lmz.r=_i. 中的幅角。 3）arg Z与arctan~y之间的关系如下: X y 当X 0, arg Z= arctan 丄； X y y -0,arg Z= arctan 二 ! X y y ：： O,arg Z= arctan -二 J X 4)三角表示：Z = Z(COS8 +isin0 ),其中日=argz；注：中间一定是“ +”号。 5)指数表示：Z = ZeF,其中V - arg z。 (二)复数的运算 1.加减法：若Z I=X I iy1, z2=X2 iy2,贝廿z1二z2= x1二x2i y1- y2 2.乘除法： 1)若z1 = x1 iy1, Z2 =X2 iy2,贝U 狂h[N×2 一y$2 i x2% x1y2 ； 乙_ X1+ i y_ (x1 十 i 和X—i y_ XX y*y y x；。X Z2 X2+ i% (对讪-X )i2y 2+2X222+ 2X22 2)若Z I=Iz I e i^,z2 =∣z2 e iθ ,则 Z1Z2 = ZIll Z2 e i(t1也； 3.乘幕与方根 1)若Z= Z(COS J isin * n (CoS n i Sinn )= n e i"。 2）幅角：在Z=O时，矢量与X轴正向的夹角, 记为Arg Z （多值函数）；主值arg Z 是位于（-理,二］注：两个复数不能比较大小 2.复数的表示 2)若 Z = IZ(COSB+isinT)=∣ze i ^,则 （三）复变函数 1?复变函 数： w = f z ,在几何上可以看作把 Z 平面上的一个点集 D 变到W 平面上的一个点集 G 的映射 . 2 ?复初等函数 1）指数函数：e z =e x cosy isiny ,在Z 平面处处可导，处处解析；且 注：e z 是以2二i 为周期的周期函数。（注意与实函数不同） 3）对数函数： LnZ=In z+i （argz + 2kιι） （k=0,±1,±2八）（多值函数）； 主值：In Z = Inz+iargz 。（单值函数） ?1 LnZ 的每一个主值分支In z 在除去原点及负实轴的 Z 平面内处处解析，且 Inz Z 注：负复数也有对数存在。 （与实函数不同） 3）乘幕与幕函数：a — e bLna （a = 0） ； Z b = e bLnZ （Zn 0） 注：在除去原点及负实轴的 Z 平面内处处解析，且 Z S -bz b j 。 Sin z,cos Z 在 Z 平面内解析，且 Sinz = cosz, CoSZ=-Sinz 注：有界性Sin z 兰1, cosz ≤1不再成立；（与实函数不同） Z ■ Z Z ■ Z ,,,, e -e e +e 4) 双曲函数 ShZ ,chz = 2 2 ShZ 奇函数，ChZ 是偶函数。ShZ I ChZ 在Z 平面内解析，且 ShZ =chz, ChZ i - ShZ O （四）解析函数的概念 1 ?复变函数的导数 1）点可导: f r fZ0；fZ 0 2）区域可导：f Z 在区域内点点可导。 2 ?解析函数的概念 1 f 日 +2kπ ..日 +2kπ ) Z n I cos ----------- 十 ISi n -------- I n n (k =0,12…n -1)(有n 个相异的值) 4）三角函数: iz -iz e -e Sin Z = 2i iz JZ . e +e , sin z , ,cos z ,tgz ,ctgz 2 cos z cosz Sin Z ?复变函数与积分变换?期末试题（A ）答案及评分标准 ?复变函数与积分变换?期末试题（A ） 一．填空题（每小题3分，共计15分） 1． 2 3 1i -的幅角是（ 2,1,0,23±±=+-k k ππ）；2. )1(i Ln +-的主值是 （ i 4 32ln 21π + ） ；3. 211)(z z f +=，=)0() 5(f （ 0 ）； 4．0=z 是 4sin z z z -的（一级）极点；5． z z f 1 )(=，=∞]),([Re z f s （-1）； 二．选择题（每小题3分，共计15分） 1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（ B ）； （A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(； （C ） y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(. 2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ D ），则0d )(=?C z z f ． （A ） 23-z ； （B ）2)1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； （D ）2 )2(3 -z . 3．如果级数∑∞ =1 n n n z c 在 2=z 点收敛，则级数在（ C ） （A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛； （C ）i z +=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散． ４．下列结论正确的是( B ) （A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析； (B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析， 则 0)(=? C dz z f （C ）如果 0)(=? C dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析； （D ）函数 ),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是 ),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是（ D ）． (A) 的可去奇点；为z 1 sin ∞ (B) 的本性奇点；为z sin ∞ (C) ;1sin 1 的孤立奇点为 z ∞ (D) .sin 1的孤立奇点为z ∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分） （1）设)()(2 2 2 2 y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a （2）．计算 ? -C z z z z e d ) 1(2 其中C 是正向圆周：2=z ； （3）计算?=++33 42215 d )2()1(z z z z z （4）函数3 2 32) (sin )3()2)(1()(z z z z z z f π-+-=在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级. 四、（本题14分）将函数) 1(1 )(2 -= z z z f 在以下区域内展开成罗朗级数； （1）110<- 复变函数与积分变换期末试题附有答案 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】 复变函数与积分变换期末试题 一．填空题（每小题3分，共计15分） 1．231i - 2.)1(i Ln +-的主值是（ ）；3. 211)(z z f +=，=)0()5(f （ 0 ），4．0=z 是 4sin z z z -的（ 一级 ）极点；5． z z f 1)(=，=∞]),([Re z f s （-1 ）； 二．选择题（每题3分，共15分） 1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（ ）； （A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(； （C ）y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(. 2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ ），则0d )(=?C z z f ． （A ） 23-z ； （B ）2 )1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； 3．如果级数∑∞=1n n n z c 在2=z 点收敛，则级数在 （A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛； （C ）i z +=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散． ４．下列结论正确的是( ) （A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析； （C ）如果0)(=?C dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析； （D ）函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、 ),(y x v 在该区域内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是（ ）． (A) 的可去奇点；为z 1sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞ (C) ;1sin 1 的孤立奇点为z ∞三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分） （1）．设)()(2 222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a 解：因为)(z f 解析，由C-R 条件 ,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c 给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。 . 《全等三角形》压轴题训练 (1) 1. 如图，在 ABC 中， AD BC,CE AB , 垂足分别为 D, E, AD ,CE 交于点 H , EH 、 EB 3,AE 4，则 CH 的长是 ( ) A.4 B.5 C.1 D.2 2. 如图，在 Rt ABC 中， C 90 ，以顶点 A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交边 AC, AB 于点 M , N ，再分别以 M , N 为圆心， 大于 1 MN 长为半径画弧， 两弧交于点 P ， 2 作射线 AP 交边 BC 于点 D ，若 CD 4, AB 25 ，则 ABD 的面积为 ( ) A. 15 B. 30 C. 45 D. 60 3. 如图，在 Rt ABC 中， C 90 ,AC 12, BC 6 ，一条线段 PQ AB, P, Q 两点分 别在线段 AC 和以点 A 为端点且垂直于 AC 的射线 AX 上运动，要使 ABC 和 QPA 全 等，则 AP 的长为 . 4. 如图， AD // BC, AB BC, CD ，则 ADE 的面 积 DE, CD ED, AD 2, BC 3 为 . 5. (1) 观察推理 : 如图①， 在 ABC 中， ACB 90 , AC BC , 直线 l 过点 C ，点 A, B 在 直线 l 的同侧， BD l , AE l ，垂足分别 为 D,E . 求证: AECCDB . (2) 类比探究 : 如图②，在 Rt ABC 中， ACB 90 ,AC 4 ，将斜边 AB 绕点 A 逆时 . . 针旋转 90°至 AB ，连接 B C ，求AB C 的面积 . (3) 拓展提升 : 如图③，在EBC中， E ECB 60 ,EC BC 3，点 O 在 BC 上， 且 OC 2 ，动点 P 从点 E 沿射线 EC 以每秒 1 个单位长度的速度运动，连接 OP ，将线 段 OP 绕点 O 逆时针旋转 120°得到线段 OF . 要使点 F 恰好落在射线EB 上，求点 P 运 动的时间 t . 6. 【初步探索】 (1) 如图①，在四边形 ABCD 中， AB AD , B ADC 90 . E, F 分别是 BC , CD 上的点，且 EF BE FD . 探究图中BAE , FAD , EAF 之间的数量关系. 小王同学 探究此问题的方法 :延长 FD 到点 G ，使 DG BE . 连接 AG. 先证明ABE ADG ， 再证AEF AGF ，可得出结论，他的结论应是. 【灵活运用】 (2) 如图②，在四边形ABCD 中， AB AD, B D 180 . E, F 分别是 BC, CD 上 的点，且 EF BE FD ，上述结论是否仍然成立?请说明理由 . 【延伸拓展】 (3) 如图③，在四边形ABCD 中，ABC ADC 180 , AB AD . 若点 E 在 CB 的延 长线上，点 F 在 CD 的延长线上，仍然满足 EF BE FD ，请写出 EAF 与 DAB 的数量关系， 并给出证明过程 . 复变函数复习提纲 (一)复数的概念 1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.2 1i =-. 注：两个复数不能比较大小. 2.复数的表示 1 ）模：z = 2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ- 中的幅角。 3）()arg z 与arctan y x 之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x =； 当0,arg arctan 0,0,arg arctan y y z x x y y z x ππ? ≥=+?? B A O D C E 图8 济南初中数学压轴 --------姜姜老师 北师大版七年级下三角形综合题归类 一、 双等边三角形模型 1. （1）如图7，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角 形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ．求∠AEB 的大小； （2）如图8，ΔOAB 固定不动，保持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点O 旋转（ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠），求∠AEB 的大小. 同类变式： 如图a ，△ABC 和△CEF 是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C ，连接AF 和BE. (1)线段AF 和BE 有怎样的大小关系?请证明你的结论； (2)将图a 中的△CEF 绕点C 旋转一定的角度，得到图b ，(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由； (3)若将图a 中的△ABC 绕点C 旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形c(草图即可)，(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由. 图c 3. 如图9，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，,M N 分别为,EB CD 的中点，易证： CD BE =，△AMN 是等边三角形． （1）当把△ADE 绕A 点旋转到图10的位置时，CD BE =是否仍然成立？若成立,请证明；若不成立，请说 明理由； （2）当△ADE 绕A 点旋转到图11的位置时，△AMN 是否还是等边三角形？若是，请给出证明，若不是， 请说明理由． 图9 图10 图11 C B O D 图7 A E 同类变式：已知，如图①所示，在ABC △和ADE △中，AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠，且点B A D ，，在一条直线上，连接BE CD M N ，，，分别为BE CD ，的中点． （1）求证：①BE CD =；②AN AM =； （2）在图①的基础上，将ADE △绕点A 按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立. （3）将图中正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转（0°＜∠BAE ＜180°），设△ABE 的面积 为1S ，△ADG 的面积为2S ，判断1S 与2S 的大小关系，并给予证明． 5.已知：如图，ABC △是等边三角形，过AB 边上的点D 作DG BC ∥，交AC 于点G ，在GD 的延长线上取点E ，使DE DB =，连接AE CD ，． （1）求证：AGE DAC △≌△； （2）过点E 作EF DC ∥，交BC 于点F ，请你连接AF ，并判断AEF △是怎样的三角形，试证明你的结论． C G A E D B F 二、 垂直模型（该模型在基础题和综合题中均为重点考察内容） 考点1：利用垂直证明角相等 1. 如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D ． 求证：（1）AE ＝CD ； （2）若AC ＝12 cm ，求BD 的长． 命题方式：独立命题 佛山科学技术学院2010—2011学年第1学期 《复变函数与积分变换》课程期末考试试题A答案 专业、班级：机械工程与自动化1、2、3班姓名：学号： 题号一二三四五六七八九十十一十二总成绩得分 1)题目一：下面正确的是（ ）B A B C D 1122122212||||z z z z z z z z =+1122||||||z z z z =112221||||z z z i z z z =+111||z i z =+2)题目二：函数的可导性为（ C ）2()||f z z =A 处处可导 B 处处不可导 C 在z=0处可导 D 无法确定3)题目三：如果在区域D 内，则F (z )是f (z )的（A ）。'()()F z f z =A 原函数 B 反函数 C 像函数 D 原像函数4)题目四：设在简单正向曲线C 及其所围的区域D 内出处解析且,()f z 0z D ∈那么与积分相关的概念是：（B ）01()2c f z dz i z z π-?A 留数 B 柯西公式 C 线积分 D 泰勒级数5)题目五：是级数的：（ 01()()n n n S z c z z ∞==-∑000()...()...k c k c c z z c z z +-++-+C ）A 和 B 部分函数 C 和函数 D 调和函数6)题目六：0是的：(C) sin z z -A 孤立奇点 B 本性奇点 C 零点 D 原点7)题目七：级数：（C ）0 cos 2n n in ∞=∑A 绝对收敛 B 条件收敛 C 发散 D 既不收敛又不发散、管路敷设技术通过管线敷设技术，不仅可以解决吊顶层配置不规范问题，而且可保障各类管路习题到位。在管路敷设过程中，要加强看护关于管路高中资料试卷连接管口处理高中资料试卷弯扁度固定盒位置保护层防腐跨接地线弯曲半径标高等，要求技术交底。管线敷设技术中包含线槽、管架等多项方式，为解决高中语文电气课件中管壁薄、接口不严等问题，合理利用管线敷设技术。线缆敷设原则：在分线盒处，当不同电压回路交叉时，应采用金属隔板进行隔开处理；同一线槽内，强电回路须同时切断习题电源，线缆敷设完毕，要进行检查和检测处理。、电气课件中调试对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料试卷相互作用与相互关系，根据生产工艺高中资料试卷要求，对电气设备进行空载与带负荷下高中资料试卷调控试验；对设备进行调整使其在正常工况下与过度工作下都可以正常工作；对于继电保护进行整核对定值，审核与校对图纸，编写复杂设备与装置高中资料试卷调试方案，编写重要设备高中资料试卷试验方案以及系统启动方案；对整套启动过程中高中资料试卷电气设备进行调试工作并且进行过关运行高中资料试卷技术指导。对于调试过程中高中资料试卷技术问题，作为调试人员，需要在事前掌握图纸资料、设备制造厂家出具高中资料试卷试验报告与相关技术资料，并且了解现场设备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。、电气设备调试高中资料试卷技术电力保护装置调试技术，电力保护高中资料试卷配置技术是指机组在进行继电保护高中资料试卷总体配置时，需要在最大限度内来确保机组高中资料试卷安全，并且尽可能地缩小故障高中资料试卷破坏范围，或者对某些异常高中资料试卷工况进行自动处理，尤其要避免错误高中资料试卷保护装置动作，并且拒绝动作，来避免不必要高中资料试卷突然停机。因此，电力高中资料试卷保护装置调试技术，要求电力保护装置做到准确灵活。对于差动保护装置高中资料试卷调试技术是指发电机一变压器组在发生内部故障时，需要进行外部电源高中资料试卷切除从而采用高中资料试卷主要保护装置。 复变函数与积分变换期末试题 一．填空题（每小题3分，共计15分） 1． 2 3 1i -的幅角是（ 2,1,0,23±±=+-k k ππ）；2. )1(i Ln +-的主值是 （ i 4 32ln 21π + ）；3. 211)(z z f +=，=)0() 5(f （ 0 ），4．0=z 是 4sin z z z -的（ 一级 ）极点；5． z z f 1 )(=，=∞]),([Re z f s （-1 ）； 二．选择题（每题3分，共15分） 1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（ ）； （A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(； （C ） y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(. 2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ ），则0d )(=?C z z f ． （A ） 23-z ； （B ）2)1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； （D ）2 ) 2(3 -z . 3．如果级数∑∞ =1 n n n z c 在2=z 点收敛，则级数在 （A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛； （C ）i z +=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散． ４．下列结论正确的是( ) （A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析； (B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则 0)(=? C dz z f （C ）如果 0)(=? C dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析； （D ）函数 ),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是 ),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是（ ）． (A) 的可去奇点；为z 1 sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞ (C) ;1sin 1 的孤立奇点为 z ∞(D) .sin 1的孤立奇点为z ∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分） （1）．设)()(2 2 2 2 y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求 .,,,d c b a 解：因为)(z f 解析，由C-R 条件 中考专题-------三角形 一．选择题（共3小题） 1．（2014?山西）如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（） ． a2a2a2a2 AC= EC= EP=PC=a =a×a= = 2．（2014?武汉模拟）如图∠A=∠ABC=∠C=45°，E、F分别是AB、BC的中点，则下列结论，①EF⊥BD， ②EF=BD，③∠ADC=∠BEF+∠BFE，④AD=DC，其中正确的是（） EF=AC EF=AC 3．（2013?河北模拟）四边形ABCD中，AC和BD交于点E，若AC平分∠DAB，且AB=AE，AC=AD，有以下四个命题：①AC⊥BD；②BC=DE；③∠DBC=∠DAB；④AB=BE=AE．其中命题一定成立的是（） DAC= 二．填空题（共6小题） 4．（2015?泰安一模）如图，将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的 …如此继续下去，结果如下表，则a n=3n+1（用含n的代数式表示）． 5．（2013?宜兴市一模）如图，在△ABC中，AC=BC＞AB，点P为△ABC所在平面内一点，且点P与△ABC 的任意两个顶点构成△PAB，△PBC，△PAC均是等腰三角形，则满足上述条件的所有点P的个数为6个． 6．（2013?齐齐哈尔模拟）如图，△ABC是边长为1的等边三角形，取BC的中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的面积记为S1，取BE的中点E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF．得到四边形E1D1FF1， 它的面积记作S2，照此规律，则S2012=． 的面积是，求出 =××× ×××=×××××××××…××（）AB 习题六 1. 求映射1w z = 下，下列曲线的像. (1) 22x y ax += (0a ≠，为实数) 解：2 2 2 2 11i=+i i x y w u v z x y x y x y == = - +++ 2 2 1x x u x y ax a = == +, 所以1w z = 将22x y ax +=映成直线1u a =. (2) .y kx =(k 为实数) 解： 2 2 2 2 1i x y w z x y x y = =- ++ 2 22 2 2 2 x y kx u v x y x y x y = =- =- +++ v ku =- 故1w z = 将y kx =映成直线v ku =-. 2. 下列区域在指定的映射下映成什么？ （1）Im()0, (1i)z w z >=+； 解： (1i)(i )()i(+)w x y x y x y =+?+=-+ ,. 20.u x y v x y u v y =-=+-=-< 所以Im()Re()w w >. 故(1i)w z =+?将Im()0,z >映成Im()Re()w w >. (2) Re(z )>0. 0 复变函数与积分变换公 式 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】 复变函数复习提纲 (一)复数的概念 1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：两个复数不能比较大小. 2.复数的表示 1 ）模：z = 2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值 ()arg z 是位于(,]ππ- 中的幅角。 3）()arg z 与arctan y x 之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x =； 当0,arg arctan 0,0,arg arctan y y z x x y y z x ππ? ≥=+?? 2 1 F D E C A B 1、(2011学年度九年级第二学期普陀区期终调研)如图，四边形ABCD 中，BC AD //，点 E 在CB 的延长线上，联结DE ，交AB 于点 F ，联结DB ，AFD DBE ∠=∠，且2DE BE CE =?. (1) 求证：DBE CDE ∠=∠； （2）当BD 平分ABC ∠时，求证：四边形ABCD 是菱形. 答案：（1）证明：∵CE BE DE ?=2， ∴ DE BE CE DE = ． …………………………………………（2分） ∵E E ∠=∠， …………………………………………（1分） ∴DBE ?∽CDE ?．……………………………………… （1分） ∴CDE DBE ∠=∠． ……………………………………………（1分） （2） ∵CDE DBE ∠=∠， 又∵AFD DBE ∠=∠， ∴=∠CDE AFD ∠．………………………………………………（1分） ∴DC AB //． ………………………………………………（1分） 又∵BC AD //， ∴四边形ABCD 是平行四边形 ………………………………………（1分） ∵BC AD //， ∴1∠=∠ADB ． ……………………………………………（1分） ∵DB 平分ABC ∠， ∴21∠=∠． …………………………………………（1分） ∴2∠=∠ADB ． ∴AD AB =． ……………………………………………（1分） ∴四边形ABCD 是菱形． ……………………………………………………（1分） 2、（2010?山东省泰安市）如图，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，E 是AC 边上一点，且满足AD=AB ，∠ADE=∠C （1）求证：∠AED=∠ADC ，∠DEC=∠B ； （2）求证：AB 2=AE·AC 2．（本小题满分8分） 证明：（1）在△ADE 和△ACD 中 ∵∠ADE=∠C ，∠DAE=∠DAE ∴∠AED=180°—∠DAE —∠ADE ∠ADC=180°—∠ADE —∠C ∴∠AED=∠ADC （2分） ∵∠AED+∠DEC=180° ∠ADB+∠ADC=180° ∴∠DEC=∠ADB 又∵AB=AD ∴∠ADB=∠B ∴∠DEC=∠B （4分） （2）在△ADE 和△ACD 中 由（1）知∠ADE=∠C ，∠DAE=∠DAE ∴△ADE ∽△ACD （5分） ∴ AD AC AE AD 即AD 2=AE·AC （7分） 又AB=AD ∴AB 2=AE·AC （8分） 3.复变函数与积分变换习题答案
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