双曲线中常见结论： 1、离心率e=a c =21）（a b 2、焦半径 3、通径及通径长a b 2 2 4、焦点到准线的距离c b 2，中心到准线的距离c a 2
8、双曲线λ=-2222b y a x (λ≠0)和122 22=-b y a x 有相同的渐近线和相同的离心率。 9、P 为双曲线上一点，则21F PF ?的面积为S= θsin b 2 121212线的离心率为e= α ββαsin sin sin -+） （
例（湖南卷）已知双曲线22a x －22 b y ＝1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，右准线与一条渐近线 交于点A ，△OAF 的面积为2 2 a （O 为原点），则两条渐近线的夹角为 （D ） A ．30o B ．45o C ．60o D ．90o 例双曲线）（0122≠=-m n n y m x 的离心率为2，则n m 的值为（ ） A ．3 B ． 3 1 C ．3或 3 1 D ．以上都不对
椭圆的几何性质 一、教学目标 (一)知识教学点 通过椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，能正确地画出椭圆的图形，并了解椭圆的一些实际应用． (二)能力训练点 通过对椭圆的几何性质的教学，培养学生分析问题和解决实际问题的能力． (三)学科渗透点 使学生掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解，这样才能解决随之而来的一些问题，如弦、最值问题等． 二、教材分析 1．重点：椭圆的几何性质及初步运用． (解决办法：引导学生利用方程研究曲线的性质，最后进行归纳小结．) 2．难点：椭圆离心率的概念的理解． (解决办法：先介绍椭圆离心率的定义，再分析离心率的大小对椭圆形状的影响，最后通过椭圆的第二定义讲清离心率e的几何意义．) 3．疑点：椭圆的几何性质是椭圆自身所具有的性质，与坐标系选择无关，即不随坐标系的改变而改变． (解决办法：利用方程分析椭圆性质之前就先给学生说明．) 三、活动设计 提问、讲解、阅读后重点讲解、再讲解、演板、讲解后归纳、小结． 四、教学过程 (一)复习提问 1．椭圆的定义是什么？
椭圆与双曲线的必背的经典结论 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径 的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 22 1x y a b +=上，则过0 P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ， 则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-，即0202y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是22 00002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆 22 22 1x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+.
椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论） 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个 端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是 00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形 的面积为122 tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ?=-， 即020 2y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的 两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支） 5. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b -=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点 弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b -=. 7. 双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双 曲线的焦点角形的面积为122 t 2 F PF S b co γ ?=. 8. 双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c 当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-. 当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =-- 9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相 应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ， A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 0202y a x b K K AB OM =?，即020 2y a x b K AB =。 12. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b -=-. 13. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b -=-.
高中数学二级结论 1.任意的简单n 面体内切球半径为 表 S V 3(V 是简单n 面体的体积，表S 是简单n 面体的表面积) 2.在任意ABC △内，都有tan A +tan B +tan C =tan A ·tan B ·tan C 推论：在ABC △内，若tan A +tan B +tan C <0，则ABC △为钝角三角形 3.斜二测画法直观图面积为原图形面积的 4 2 倍 4.过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点 5.导数题常用放缩1+≥x e x 、1ln 11-≤≤-<- x x x x x 、)1(>>x ex e x 6.椭圆)0,0(122 22>>=+b a b y a x 的面积S 为πab S = 7.圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导 推论：①过圆2 22)()(r b y a x =-+-上任意一点),(00y x P 的切线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+-- ②过椭圆)0,0(122 22>>=+b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=+b yy a xx ③过双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=-b yy a xx 8.切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程 ①圆02 2 =++++F Ey Dx y x 的切点弦方程为02 20000=+++++ +F E y y D x x y y x x ②椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的切点弦方程为12020=+b y y a x x ③双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的切点弦方程为12020=-b y y a x x
双曲线 1.122PF PF a -= 2.标准方程22 221x y a b -= 3.11 1PF e d => 4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点. 6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切. 8．设P 为双曲线上一点，则△PF 1F 2的内切圆必切于与P 在同侧的顶点. 9．双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线 交双曲线于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22 221x y a b +=. 10．若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是 00221x x y y a b -=. 11．若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切 点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b -=. 12．AB 是双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴且过原点的弦，M 为AB 的 中点，则2 2OM AB b k k a ?=. 13．若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的方程是 22 00002222x x y y x y a b a b -=-. 14．若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是 22002222x x y y x y a b a b -=-. 15．若PQ 是双曲线22 221x y a b -=（b ＞a ＞0）上对中心张直角的弦，则 122222 121111(||,||)r OP r OQ r r a b +=-==. 16．若双曲线22 221x y a b -=（b ＞a ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为 1Ax By +=(0)AB ≠,则(1) 22 2211A B a b -=+ ;(2) L =
一、焦点三角形周长 【知识讲解】 1、椭圆焦点三角形 直线l 过左焦点1F 与椭圆交于A 、B 两点，则2ABF ?的周长为a 4。 2、双曲线焦点三角形 直线l 过左焦点1F 与双曲线左支交于A 、B 两点，则a AB B F A F 422=-+。 【典型例题】 1.设椭圆19 252 2=+y x 的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是椭圆上任意一点，则21F PF ?的周长为（）。 2.过双曲线19 162 2=-y x 的左焦点1F 的弦AB 长为6，则2ABF ?的周长是（）。【变式训练】 1.已知1F 、2F 是椭圆112 162 2=+y x 的左右焦点，直线l 过点2F 与椭圆交于A 、B 两点，且7||=AB ，则1ABF ?的周长是（ ）。2.若1F 、2F 是双曲线18 2 2=-y x 的两个焦点，点P 在该双曲线上，且21F PF ?是等腰三角形，则21F PF ?的周长为（ ）。 二、通径公式 【知识讲解】
1、椭圆通径：过焦点且与长轴垂直的弦，通径长为a b 2 2。2、双曲线通径：过焦点且与实轴垂直的弦，通径长为a b 22。【典型例题】 1.设椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的左右焦点分别是21,F F ，P 是椭圆上的点，且满足212F F PF ⊥，?=∠3021F PF ，则椭圆的离心率为（ ）。2.过双曲线18 2 2=-y x 的右焦点作x 轴的垂线交双曲线于A ，B 两点，则|AB|=（）。【变式训练】 1.已知21,F F 是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，若2ABF ?为等边三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）。2.过双曲线18 2 2=-y x 的右焦点作x 轴的垂线交双曲线于A ，B 两点，若|AB|=16，则这样的直线有（）条。 三、焦半径公式 1、椭圆焦半径公式（1） 0201,ex a PF ex a PF -=+=，其中e 为离心率，0x 为P 点横坐标。 2、双曲线焦半径公式（1） |||,|0201ex a PF ex a PF -=+=，其中e 为离心率，0x 为P 点横坐标。 【典型例题】 1.已知椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的左右焦点分别是21,F F ，若椭圆上存在一点P 使得||23||21PF e PF =，则该椭圆离心率的取值范围是（）。 2.已知双曲线112 42 2=-y x 上一点M ，其横坐标为3，则M 到右焦点的距离是（）。 【变式训练】
双曲线中常见结论: 1、离心率e=a c =21）（a b 2、焦半径 3、通径及通径长a b 2 2 4、焦点到准线得距离c b 2,中心到准线得距离c a 2 12
8、双曲线λ=-2222b y a x (λ≠0)与122 22=-b y a x 有相同得渐近线与相同得离心率。 9、P 为双曲线上一点,则21F PF ?得面积为S=θ θ cos sin b -12
离心率为e= α ββαsin sin sin -+） （ 例(湖南卷)已知双曲线22a x －22 b y ＝1(a ＞0,b ＞0)得右焦点为F,右准线与一条渐近线交于点A, △OAF 得面积为2 2 a (O 为原点),则两条渐近线得夹角为 (D )
A.30o B.45o C.60o D.90o 例双曲线）（0122≠=-m n n y m x 得离心率为2,则n m 得值为( ) A.3 B. 3 1 C.3或 3 1 D.以上都不对 椭圆得几何性质 一、教学目标 (一)知识教学点 通过椭圆标准方程得讨论,使学生掌握椭圆得几何性质,能正确地画出椭圆得图形,并了解椭圆得一些实际应用. (二)能力训练点 通过对椭圆得几何性质得教学,培养学生分析问题与解决实际问题得能力. (三)学科渗透点 使学生掌握利用方程研究曲线性质得基本方法,加深对直角坐标系中曲线与方程得关系概念得理解,这样才能解决随之而来得一些问题,如弦、最值问题等. 二、教材分析 1.重点:椭圆得几何性质及初步运用. (解决办法:引导学生利用方程研究曲线得性质,最后进行归纳小结.) 2.难点:椭圆离心率得概念得理解. (解决办法:先介绍椭圆离心率得定义,再分析离心率得大小对椭圆形状得影 响,最后通过椭圆得第二定义讲清离心率e 得几何意义.) 3.疑点:椭圆得几何性质就是椭圆自身所具有得性质,与坐标系选择无关,即不 随坐标系得改变而改变. (解决办法:利用方程分析椭圆性质之前就先给学生说明.) 三、活动设计 提问、讲解、阅读后重点讲解、再讲解、演板、讲解后归纳、小结. 四、教学过程
椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直 径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切 点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和 A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-， 即0 20 2y a x b K AB -=。 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴 为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.
高考中解析几何有用的经典结论 一、椭 圆 1. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 2. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切 点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 3. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 4. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 5. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和 A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 6. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-， 即020 2y a x b K AB -=。 7. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是 22 00002222x x y y x y a b a b +=+. 8. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是 22002222x x y y x y a b a b +=+. 二、双曲线 1. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程 是00221x x y y a b -=. 2. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线
第二讲 双曲线中常用的结论及解法技巧 【知识要点】 一．双曲线三大定义 定义 1．到两定点距离之差的绝对值（小于两定点距离）为定值的点的轨迹是双曲线． 几何性质：双曲线上任一点到两焦点的距离之差的绝对值为定值． 定义 2．到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为定值（大于1）的点的轨迹是双曲线． 几何性质：双曲线上任一点到左（右）焦点的距离与到左（右）准线的距离之比为离心率e ． 定义 3．到两个定点的斜率之积为定值（大于0）的点的轨迹是双曲线． 几何性质：双曲线上任一点到左右（上下）两顶点的斜率之积为22 a b ． 二．双曲线经典结论汇总 1．AB 是双曲线()0,0122 22>>=-b a b y a x 的不平行于对称轴的弦，),(00y x M 为AB 的中点， 则22a b k k AB OM =?，即 0 20 2y a x b k AB =． 等价形式：21,A A 是双曲线()0,0122 22>>=-b a b y a x 上关于原点对称的任意两点，B 是双曲 线上其它任意一点，直线B A B A 21,的斜率存在，则22 21a b k k B A B A =?． 2．双曲线()0,0122 22>>=-b a b y a x 的左右焦点分别为21,F F ，点P 为双曲线上异于实轴端点 的任意一点θ=∠21PF F 则（1）2 122||||1cos b PF PF θ =-；（2）双曲线的焦点角形的面积为 2 tan 221θb S PF F = ?． 3．过双曲线()0,0122 22>>=-b a b y a x 上任一点),(00y x A 任意作两条倾斜角互补的直线交双 曲线于C B ,两点，则直线BC 有定向且0 20 2y a x b k BC -= （常数）． 4．P 为双曲线()0,0122 22>>=-b a b y a x 上任一点，21,F F 为二焦点，A 为双曲线内一定点， 则||||2||12PF PA a AF +≤-，当且仅当P F A ,,2三点共线且P 和2,F A 在y 轴同侧时，等号成立． 5．已知双曲线()0,0122 22>>=-b a b y a x ，O 为坐标原点，Q P ,为双曲线上两动点，且
四、焦点弦 【知识讲解】 1.1椭圆焦半径公式（2） 已知直线l 过左焦点1F 与椭圆交于B A ,两点，设α=∠21F AF ，则焦半径 αcos ||2?-=c a b AF ，αcos ||2?+=c a b BF ，22||1||1b a BF AF =+1.2椭圆焦点弦长公式：α 2222 cos 2||||||?-=+=c a ab BF AF AB ，最长焦点弦为长轴，最短焦点弦为通径。 2.1双曲线焦半径公式（2） 已知直线l 过左焦点1F 与双曲线交于B A ,两点，设α=∠21F AF ，则焦半径 αcos ||2?-=c a b AF ，αcos ||2?+=c a b BF ，22||1||1b a BF AF =+2.2双曲线焦点弦长公式：α 2222 cos 2||||||?-=+=c a ab BF AF AB 3焦点弦定理 已知焦点在x 轴上的椭圆或双曲线，经过其焦点F 的直线交曲线于B A ,两点，直线AB 的倾斜角为θ，FB AF λ=，则曲线的离心率满足等式：|1 1| |cos |+-=λλθe 【典型例题】1.已知椭圆13 42 2=+y x ，直线01:1=-+y x l ，01:2=++y x l 与椭圆分别交于B A ,和
D C ,，则||||CD AB +的值为（）。 2.已知椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的离心率为23，过右焦点F 且斜率为k )0(>k 的直线与椭圆交于B A ,两点。若3=，则k 的值为（ ）。 【变式训练】1.已知双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的右焦点为F ，过F 且斜率为3的直线交双曲线于B A ,两点，若4=，则双曲线的离心率为（）。 2.设椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的右焦点为F ，过点F 的直线l 与椭圆相交于B A ,两点，直线l 的倾斜角为?60，FB AF 2=。 （1）求椭圆的离心率； （2）如果4 15||=AB ，求椭圆的方程。五、椭圆的第三定义 【知识讲解】 1.B A ,为椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 上关于原点对称的两点，椭圆上任意一点P （不同于B A ,两点）与椭圆上B A ,两点连线的斜率之积为定值：22 a b -。
双曲线二级结论大全 1.122PF PF a -= 2.标准方程22 221x y a b -= 3.11 1PF e d => 4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点. 6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切. 8．设P 为双曲线上一点，则△PF 1F 2的内切圆必切于与P 在同侧的顶点. 9．双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交双曲线于P 1、 P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22 221x y a b +=. 10．若000(,)P x y 在双曲线22 22 1x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b -=. 11．若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则 切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b -=. 12．AB 是双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴且过原点的弦，M 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=. 13．若000(,)P x y 在双曲线22 2 21x y a b -=（a ＞0,b ＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的方程是22 00002222x x y y x y a b a b -=-. 14．若000(,)P x y 在双曲线 22 22 1x y a b -=（a ＞0,b ＞0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002 222x x y y x y a b a b -=-. 15．若PQ 是双曲线22 221x y a b -=（b ＞ a ＞0）上对中心张直角的弦，则 122222121111(||,||)r OP r OQ r r a b +=-==. 16．若双曲线22 221x y a b -=（b ＞a ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为1Ax By +=(0)AB ≠,则(1) 22 2211A B a b -=+ ;(2) 2222||L a A b B =-. 17．给定双曲线1C ：22 2 2 22 b x a y a b -=（a ＞b ＞0）, 2C ：22 2 2 2 2 22 2 ()a b b x a y ab a b +-=-,则(i)对1C 上任意
椭圆与双曲线的必背的经典结论 案场各岗位服务流程 销售大厅服务岗： 1、销售大厅服务岗岗位职责： 1)为来访客户提供全程的休息区域及饮品; 2)保持销售区域台面整洁; 3)及时补足销售大厅物资,如糖果或杂志等; 4)收集客户意见、建议及现场问题点； 2、销售大厅服务岗工作及服务流程 阶段工作及服务流程 班前阶段1）自检仪容仪表以饱满的精神面貌进入工作区域 2）检查使用工具及销售大厅物资情况，异常情况及时登记并报告上级。 班中工作程序服务 流程 行为 规范 迎接 指引 递阅 资料 上饮品 （糕点） 添加茶水工作1）眼神关注客人，当客人距3米距离侯客迎询问客户送客户
注意事项 15度鞠躬微笑问候：“您好！欢迎光临！”2）在客人前方1-2米距离领位，指引请客人向休息区，在客人入座后问客人对座位是否满意：“您好！请问坐这儿可以吗？”得到同意后为客人拉椅入座“好的，请入座！” 3）若客人无置业顾问陪同，可询问：请问您有专属的置业顾问吗？，为客人取阅项目资料，并礼貌的告知请客人稍等，置业顾问会很快过来介绍，同时请置业顾问关注该客人； 4）问候的起始语应为“先生-小姐-女士早上好，这里是XX销售中心，这边请”5）问候时间段为8:30-11:30 早上好11:30-14:30 中午好 14:30-18:00下午好 6）关注客人物品，如物品较多，则主动询问是否需要帮助（如拾到物品须两名人员在场方能打开，提示客人注意贵重物品）； 7）在满座位的情况下，须先向客人致
待； 阶段工作及服务流程 班中工作程序工作 要求 注意 事项 饮料（糕点服务） 1）在所有饮料（糕点）服务中必须使用 托盘； 2）所有饮料服务均已“对不起，打扰一 下，请问您需要什么饮品”为起始； 3）服务方向：从客人的右面服务； 4）当客人的饮料杯中只剩三分之一时， 必须询问客人是否需要再添一杯，在二 次服务中特别注意瓶口绝对不可以与 客人使用的杯子接触； 5）在客人再次需要饮料时必须更换杯 子； 下班程 序1）检查使用的工具及销售案场物资情况，异常情况及时记录并报告上级领导； 2）填写物资领用申请表并整理客户意见；3）参加班后总结会； 4）积极配合销售人员的接待工作，如果下班
专题十三 相关知识点、公式的拓展 1、立方差（和）公式 ))((2 2 3 3 b ab a b a b a +-+=+； ))((2 2 3 3 b ab a b a b a ++-=-； 2、中线定理（阿波罗尼斯定理）：)(22 2 2 2 CD AD AC AB +=+ 3、中垂三角形：两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”，如图，△ABC 为中垂三角形，则AB 2+AC 2＝5BC 2 4、角平分线性质：△ABC 中，若AD 平分∠BAC ，则 DC BD AC AB = 5、三角形张角定理： 如图，在△ABC 为中，D 为BC 边的一点，连接AD ，设AD ＝l ，∠BAD ＝α，∠CAD ＝β，则一定有 ()c b l β αβαsin sin sin + =+ 推导：∵S △ABC ＝S △ABD +S △ACD ∴ ()βαβαsin 2 1 sin 21sin 21bl cl bc +=+ 两边同时除以lbc 21，得：()c b l β αβαsin sin sin + =+ 推论1：（角平分线张角定理）当α＝β时，?? ? ??+= c b l 1121cos α 推论2：（角平分线面积问题）()ααtan sin 2 1 2l c b AD S ABC ≥+=? 6、角平分线之斯库顿定理： 如图，AD ，是△ABC 的角平分线，则BC BD AC AB AD ..2 -=(就其所处图中的位置关系而言，可记忆为：中方＝上积—下积) A D C B A D C B A D C B E A D C B
推导：作△ABC 的外接圆，延长AD 交圆于E ，连接BE ，如图 ∵∠E ＝∠C 、∠1＝∠2 ∴△ABE ∽△ADC ∴ AC AE AD AB = ，即AC AB AE AD ..= ∴AC AB DE AD AD .).(=+ ∴AC AB DE AD AD ..2 =+ 由相交弦定理得：BD ·DC ＝AD ·DE ∴AD 2+BD ·DC ＝AB ·AC 注意：角平分线张角定理强调的是角度，斯库顿定理强调的是长度，斯库顿定理可以绕过求张角而直接求出三角形的各边长，通常和内角平分线定理合在一起出考题. 7、倍角三角形： A B c a a b 2)(2=?+= B C a b b c 2)(2=?+= C A b c c a 2)(2=?+= 8．若G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC → ＝0. 9．若直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，则向量(A ，B )与直线l 垂直，向量(－B ，A )与直线l 平行． A D C B A D C B E
双曲线中常见结论: 1 离心率e=C= '1 +(b)2 a . a 2、焦半径 3、通径及通径长 b 2 2 4、焦点到准线的距离—，中心到准线的距离— c c
2 2 2 2 8、双曲线笃一驚=、（入工0）和笃_笃 /有相同的渐近线和相同的离心率。 a2b2a2b2 也PF F2的面积为S=b2 sin8
1 - cosO 的离心率为sin （一：」宀） 9、P为双曲线上一点，则
2 2 例双曲线 ?丄 =1(mn = 0的离心率为2,则m 的值为( m n n 1 1 A. 3 B . C. 3 或 3 3 2 2 例（湖南卷）已知双曲线 § —与=1 （a >0, b >0）的右焦点为F ,右准线与一条渐近线 a 2 b 2 2 交于点A ,A OAF 的面积为 —（0为原点），则两条渐近线的夹角为 2 (D ) A. 30o B . 450 C. 600 D. 900 ） D.以上都不对
椭圆的几何性质 一、教学目标 （一）知识教学点 通过椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，能正确地画出椭圆的图形，并了解椭圆的一些实际应用． （二）能力训练点 通过对椭圆的几何性质的教学，培养学生分析问题和解决实际问题的能力． （三）学科渗透点 使学生掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解，这样才能解决随之而来的一些问题，如弦、最值问题等． 二、教材分析1．重点：椭圆的几何性质及初步运用． （解决办法：引导学生利用方程研究曲线的性质，最后进行归纳小结．） 2．难点：椭圆离心率的概念的理解． （解决办法：先介绍椭圆离心率的定义，再分析离心率的大小对椭圆形状的影响，最后通过椭圆的第二定义讲清离心率e的几何意义.） 3．疑点：椭圆的几何性质是椭圆自身所具有的性质，与坐标系选择无关，即不随坐标系的改变而改变． （解决办法：利用方程分析椭圆性质之前就先给学生说明．） 三、活动设计 提问、讲解、阅读后重点讲解、再讲解、演板、讲解后归纳、小结． 四、教学过程 （一）复习提问 1．椭圆的定义是什么？ 2 ?椭圆的标准方程是什么? 学生口述，教师板书.
双曲线中常见结论： 1、离心率e=a c =2 1）（a b 2、焦半径 3、通径及通径长a b 2 2 4、焦点到准线的距离c b 2，中心到准线的距离c a 2 5、焦点到渐近线的距离为b ，垂足恰好在准线上。
6、P为双曲线上任一点，三角形PF 1F 2 的内切圆圆心在直线x=a或x=-a上。 7、P为双曲线上任一点，以PF 1 直径的圆和x2+y2=a2相切。
8、双曲线λ=-2222b y a x (λ≠0)和122 22=-b y a x 有相同的渐近线和相同的离心 率。 9、P 为双曲线上一点，则21F PF ?的面积为S= θ sin b 2 10、F 1，F 2是双曲线的两个焦点，P 为双曲线上任一点，∠PF 1F 2=α ，∠PF 1F 2=β。则双曲线的离心率为e=α ββαsin sin sin -+） （ 设PF 1=m ，PF 2=n 。 则 ） （βααβαβ+=--==sin c sin sin n m sin n sin m 2 α ββαβααβsin sin sin e sin c sin sin a -+=?+=-） （）（22
例（湖南卷）已知双曲线22a x －22 b y ＝1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，右准 线与一条渐近线交于点A ，△OAF 的面积为2 2 a （O 为原点），则两条渐近线 的夹角为 （D ） A ．30o B ．45o C ．60o D ．90o 例双曲线）（0122≠=-m n n y m x 的离心率为2，则n m 的值为（ ） A ．3 B ．3 1 C ．3或3 1 D ．以上都不对
圆锥曲线部分二级结论的应用 一、单选题 1．已知抛物线2 :4 C y x =，点()() 2,0,4,0, D E M是抛物线C异于原点O的动点，连接ME并延长交抛物线C于点N，连接, MD ND并分别延长交拋物线C于点,P Q，连接PQ，若直线, MN PQ的斜率存在且分别为 12 ,k k，则2 1 k k =（） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 2．如图，设椭圆 22 22 :1 x y E a b +=（0 a b >>）的右顶点为A，右焦点为F，B为椭圆E在第二象限上的点，直线BO交椭圆E于点C，若直线BF平分线段AC于M，则椭圆E的离心率是（） A. 1 2 B. 1 3 C. 2 3 D. 1 4 3．已知 12 F F 、是双曲线 22 22 1(0,0) x y a b a b -=>>的左右焦点，以 12 F F为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M，与双曲线交于点N，且M N 、均在第一象限，当直 线 1 // MF ON时，双曲线的离心率为e，若函数()22 2, f x x x x =+-，则() f e=（）A. 1 B. 3 C. 2 D. 5 4．已知椭圆和双曲线有共同焦点 12 , F F，P是它们的一个交点，且 123 F PF π ∠=，记 椭圆和双曲线的离心率分别为 12 ,e e，则 12 1 e e 的最大值是（）
A. B. C. 2 D. 3 5．已知抛物线2 :4C x y =，直线:1l y =-， ,PA PB 为抛物线C 的两条切线，切点分别为,A B ，则“点P 在l 上”是“PA PB ⊥”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6．已知,A B 分别为双曲线22 22:1x y C a b -=（0a >， 0b >）的左、右顶点，点P 为 双曲线C 在第一象限图形上的任意一点，点O 为坐标原点，若双曲线C 的离心率为2， ,,PA PB PO 的斜率分别为123,,k k k ，则123k k k 的取值范围为（ ） A. 0, 9? ?? B. ( C. ( D. ()0,8 7．设抛物线2 2y x =的焦点为F ，过点) M 的直线与抛物线相交于,A B 两点， 与抛物线的准线相较于点C ， 2BF =，则BCF ?与ACF ?的面积之 BCF ACF S S ??=（ ） A. 23 B. 45 C. 47 D. 12 8．设双曲线C 的中心为点O ，若直线1l 和2l 相交于点O ，直线1l 交双曲线于11A B 、，直线2l 交双曲线于22A B 、，且使1122A B A B =则称1l 和2l 为“WW 直线对”.现有所成的角为60°的“WW 直线对”只有2对，且在右支上存在一点P ，使122PF PF =，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ） A. ()1,2 B. [ )3,9 C. 3,32?? ??? D. (]2,3 9．设点P 为双曲线22 221x y a b -=（0a >， 0b >）上一点， 12,F F 分别是左右焦点， I 是12PF F ?的内心，若1IPF ?， 2IPF ?， 12IF F ?的面积123,,S S S 满足