1．第1题
设是n 阶齐次线性方程的线性无关的解, 其中是连续函数. 则
A. 的朗斯基行列式一定是正的;
B. 的朗斯基行列式一定是负的;
C. 的朗斯基行列式可有零点, 但不恒为零;
D. 的朗斯基行列式恒不为零.
A.A
B.B
C.C
D.D
您的答案：B
题目分数：2
此题得分：2.0
2．第2题
满足初始条件和方程组的解为
( ).
A. ;
B. ;
C.
; D. .
A..
B..
C..
D..
您的答案：B
题目分数：2
此题得分：2.0
3．第6题
下列四个微分方程中, 三阶常微分方程有( )个.
(i) , (ii) ,
(iii) , (iv) .
A.1
B.2
C.3
D.4
您的答案：C
题目分数：2
此题得分：2.0
4．第8题
是某个初值问题的唯一解，其中方程是, 则初始条件应该是( ).
A. ,
B. ,
C. ,
D. .
A.A
B.B
C.C
D.D
您的答案：A
题目分数：2
此题得分：2.0
5．第9题
可将一阶方程化为变量分离方程的变换为
A. ；
B. ；
C.
； D. .
A..
B..
C..
D..
您的答案：C
题目分数：2
此题得分：2.0
6．第15题
可将六阶方程化为二阶方程的变换是( ).
A.;
B.
; C.; D..
A..
B..
C..
D..
您的答案：B
题目分数：2
此题得分：2.0
7．第16题
设，及是连续函数，和是二阶变系数齐次线性方程
的两个线性无关的解, 则以常数变易公式
作为唯一解的初值问题是
A. B.
C. D.
A..
C..
D..
您的答案：B
题目分数：2
此题得分：2.0
8．第18题
设和是方程组的两个基解矩阵, 则
A. 存在某个常数方阵C使得, 其中;
B. 存在某个常数方阵C使得, 其中
;
C. 存在某个常数方阵C使得, 其中;
D. 存在某个常数方阵C使得, 其中.
A..
B..
C..
D..
您的答案：A
题目分数：2
此题得分：2.0
9．第20题
微分方程的一个解是( ).
A. ,
B. ,
C. ,
D. .
A..
B..
D..
您的答案：D
题目分数：2
此题得分：2.0
10．第22题
设有四个常微分方程：
(i) , (ii) ,
(iii) , (iv) .
A.线性方程有一个;
B.线性方程有两个;
C.线性方程有三个;
D.线性方程有四个.
您的答案：C
题目分数：2
此题得分：2.0
11．第23题
微分方程是( ).
A.n阶变系数非齐次线性常微分方程;
B.n阶变系数齐次线性常微分方程;
C.n阶常系数非齐次线性常微分方程;
D.n阶常系数齐次线性常微分方程.
您的答案：A
题目分数：2
此题得分：2.0
12．第24题
设有四个常微分方程：(i) , (ii) , (iii) , (iv) .
A.非线性方程有一个;
B.非线性方程有两个;
C.非线性方程有三个;
D.非线性方程有四个.
您的答案：B
题目分数：2
此题得分：2.0
13．第25题
是某个初值问题的唯一解，其中方程是, 则初始条件应该是( ).
A. ,
B. ,
C. ,
D. .
A..
B..
D..
您的答案：A
题目分数：2
此题得分：2.0
14．第29题
已知是某一三阶齐次线性方程的解, 则和
的伏朗斯基行列式( ).
A. ;
B. ;
C.
; D. .
A.A
B.B
C.C
D.D
您的答案：A
题目分数：2
此题得分：2.0
15．第30题
初值问题, 的第二次近似解可以写为( ).
＋
A. 6;
B. ;
C.
; D. +.
B..
C..
D..
您的答案：D
题目分数：2
此题得分：2.0
16．第5题
利用降阶法求解二阶方程的过程中, 下划线所指出的那些步骤中, 哪些是关键性的:
解答：这是不显含自变量的二阶方程, 因此可以用第二种降阶法。令(A), 则
.
代入到原方程中可将原方程化为如下的一阶方程:
(B).
这是一个变量分离型的方程. 如果, 可得是原方程的解,
故不妨假设(C), 因此可以约掉一个z, 分离变量后有:
,
两边积分可得:
,
又由, 代入上述方程, 再次分离变量(D)
,
在等式两边积分可得原方程的通解(E):
.
A..
B..
C..
D..
E..
您的答案：A,B,C,D,E
题目分数：5
此题得分：5.0
17．第11题
设有方程:, 以下步骤中正确的是:
A. 利用变量变换,
B. 由，有,
C. 代入原方程得到,
D. 整理后可得,
E. 分离变量得到.
A.A
B.B
C.C
D.D
E.E
您的答案：A,B,C,D,E
题目分数：5
此题得分：5.0
18．第12题
以下各个步骤中的哪些能够证明方程的任何两个解之差当x 趋向于正无穷大时趋向于零:
A. 原方程的任何两个解的差是对应齐次方程的解,
B. 对应齐次方程的特征根是,
C. 对应齐次方程的基本解组是,
D. =0, =0,
E. 原方程的任何两个解的差当x 趋向于正无穷大时趋向于零.
A..
B..
C..
D..
E..
您的答案：A,B,C,D,E
题目分数：5
此题得分：5.0
19．第13题
求解方程时, 以下的解题步骤中不能省略的有哪几步:
A. 因为,
B. 所以原方程是恰当方程;
C. 将方程中的重新分项组合,
D. 凑出全微分：,
E. 得到通解：.
A.A
B.B
C.C
D.D
E.E
您的答案：A,B,C,D,E
题目分数：5
此题得分：5.0
20．第14题
以下利用参数法求解一阶隐方程的过程中, 下划线所指出的那些步骤
中, 哪些是不能省略的:
解答：引入参数(A)，则原方程可以写为, 将此方程两边对x求导(B), 可得:
, 或(C).
这是一个关于p和x的方程, 且是未知函数p的导数可以解出的一阶常微分方程, 进而还是变量分离型方程. 因此我们将这个方程分离变量:
.(D)
两边积分并求出积分可以得到（C是任意常数）:
,
因此, 将此式和参数的表达式联立, 即得原方程的参数形式解: (E)
.
A..
B..
C..
D..
E..
您的答案：A,B,C,D,E
题目分数：5
此题得分：5.0
21．第19题
如下求解三阶常系数线性方程的过程中, 下划线所指出的部分哪些计算有错误或叙述有错误:
解答：(i) 先求对应齐方程的通解：对应齐方程的特征方程及特征根分别为
(A), , , .
故对应齐方程的通解为(B).
(ii) 因为有特征根非零(C), 故应设原方程的特解有形如, 这里a,b 是待定常数.
代入原方程可得
.
利用对应系数相等便得到代数方程组:
.
由此可解得(D), 故.
(iii) 原方程的通解可以表示为
(E).
A..
B..
C..
D..
E..
您的答案：A,B,C,D,E
题目分数：5
此题得分：5.0
22．第21题
试求方程组的基解矩阵，并求满足初始条件的解
其中, . 判断哪些步骤所得到的结果是正确的：
A. 齐次线性方程组的特征方程是,
B. 矩阵A 的特征根为, 对应的特征向量可分别取为, .
C. 原方程组基解矩阵可取为: .
D. 标准基解矩阵为=.
E. 原方程组满足所给初始条件的解为
A..
B..
C..
D..
E..
您的答案：A,B,C,D,E
题目分数：5
此题得分：5.0
23．第26题
设为方程（ A 为常数矩阵）的一个基解矩阵，试指出如下的断言中哪些是错误的:
A. 可以是也可以不是原方程组的解矩阵,
B. 因为不知道是否有, 故无法判断是否是原方程组的基解矩阵,
C. 存在奇异的常数矩阵C, 使得,
D. 取, 可得到.
E. .
A..
B..
C..
D..
E..
您的答案：A,B,C,D,E
题目分数：5
此题得分：5.0
24．第27题
以下是一阶微分方程的求解过程, 请说明下划线所指出那些步骤中, 哪些是可以省略的:
解答：记, 则(A),
注意到(B)，因此方程不是恰当方程(C). 可以计算
, 因而方程有只与x 有关的积分因子，并且该积分因子可以求出为：
.
将该积分因子乘在原方程的两端：(D),
分项组合为,
或可整理为(E), 最后得到原方程的通解
.
A.A
B.B
C.C
D.D
E.E
您的答案：A,B,C,D,E
题目分数：5
此题得分：5.0
25．第28题
请查出求解一阶线性微分方程的过程中有错误的步骤:
A. 先求解对应齐方程：，分离变量可得,
B. 两边积分求出积分可以得到（C是任意常数）：,
C. 再将常数C 变易为函数：.
D. 代入到原方程中可以得到：,
E. 原方程的通解（C 是任意常数）：.
A.A
B.B
C.C
D.D
E.E
您的答案：A,B,C,D,E
题目分数：5
此题得分：5.0
26．第3题
欧拉方程的一个基本解组为.
您的答案：正确
题目分数：4
此题得分：4.0
27．第4题
利用变换可将伯努利方程化为线性方程.
您的答案：错误
28．第7题
当用比较系数法求方程的一个特解时, 可将这个待定系数的特解设为.
您的答案：错误
29．第10题
对于初值问题可判定其解在的某邻域内存在且唯一, 理由
是在整个平面上连续并且关于y满足李普希茨条件.
您的答案：正确
30．第17题
平面上过点的曲线为, 该曲线上任一点处的切线与切点和原点的连线的夹角为, 则这个曲线应满足的常微分方程是, 初始条件为.
您的答案：正确
第十二章 常微分方程 (A) 一、是非题 1．任意微分方程都有通解。( ) 2．微分方程的通解中包含了它所有的解。( ) 3．函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。( ) 4．函数x e x y ?=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。( ) 5．微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y += 2ln 2 1 (C 为任意常数)。( ) 6．y y sin ='是一阶线性微分方程。( ) 7．xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。( ) 8．052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。( ) 9． 221xy y x dx dy +++=是可分离变量的微分方程。( ) 二、填空题 1．在横线上填上方程的名称 ①()0ln 3=-?-xdy xdx y 是 。 ②()()022=-++dy y x y dx x xy 是 。 ③x y y dx dy x ln ?=是 。 ④x x y y x sin 2+='是 。 ⑤02=-'+''y y y 是 。 2．x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含 个独立常数。 3．x e y 2-=''的通解是 。 4．x x y cos 2sin -=''的通解是 。 5．124322+=+'+'''x y x y x y x 是 阶微分方程。 6．微分方程()06 ='-''?y y y 是 阶微分方程。 7．y 1 = 所满足的微分方程是 。
8．x y y 2='的通解为 。 9． 0=+x dy y dx 的通解为 。 10．()2511 2+=+-x x y dx dy ，其对应的齐次方程的通解为 。 11．方程()012=+-'y x y x 的通解为 。 12．3阶微分方程3x y ='''的通解为 。 三、选择题 1．微分方程()043 ='-'+''y y y x y xy 的阶数是( )。 A ．3 B ．4 C ．5 D ． 2 2．微分方程152=-''-'''x y x y 的通解中应含的独立常数的个数为( )。 A ．3 B ．5 C ．4 D ． 2 3．下列函数中，哪个是微分方程02=-xdx dy 的解( )。 A ．x y 2= B ．2x y = C ．x y 2-= D ． x y -= 4．微分方程3 23y y ='的一个特解是( )。 A ．13+=x y B ．()3 2+=x y C ．()2 C x y += D ． ()3 1x C y += 5．函数x y cos =是下列哪个微分方程的解( )。 A ．0=+'y y B ．02=+'y y C ．0=+y y n D ． x y y cos =+'' 6．x x e C e C y -+=21是方程0=-''y y 的( )，其中1C ，2C 为任意常数。 A ．通解 B ．特解 C ．是方程所有的解 D ． 上述都不对 7．y y ='满足2|0==x y 的特解是( )。 A ．1+=x e y B ．x e y 2= C ．2 2x e y ?= D ． x e y ?=3 8．微分方程x y y sin =+''的一个特解具有形式( )。 A ．x a y sin *= B ．x a y cos *?= C ．()x b x a x y cos sin *+= D ． x b x a y sin cos *+= 9．下列微分方程中，( )是二阶常系数齐次线性微分方程。
常微分方程知识点总结 常微分方程知识点你学得怎么样呢？下面是的常微分方程知识 点总结，欢迎大家阅读！ 微分方程的概念 方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的；在初等数学中 就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和数之间的关系找出来，列出包含一个数或几个数的一个或者多个方程式，然后取求方程的解。 但是在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的 问题。比如：物质在一定条件下的运动变化，要寻求它的运动、变化的规律；某个物体在重力作用下自由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律；火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求它飞行的轨道，等等。 物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系来描述的，因此，这类问题就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个函数。也就是说，凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值，而是要求一个或者几个的函数。 解这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本思想很相似， 也是要把研究的问题中已知函数和函数之间的关系找出来，从列出的包含函数的一个或几个方程中去求得函数的表达式。但是无论在方程
的形式、求解的具体方法、求出解的性质等方面，都和初等数学中的解方程有许多不同的地方。 在数学上，解这类方程，要用到微分和导数的知识。因此，凡是表示函数的导数以及自变量之间的关系的方程，就叫做微分方程。 微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家雅各布?贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。 常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常 有力的工具。 牛顿研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律。后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星 的位置。这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量。 微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命力的数学分支。
常微分方程练习试卷 一、 填空题。 1. 方程23 2 10d x x dt +=是 阶 （线性、非线性）微分方程. 2. 方程 ()x dy f xy y dx =经变换_______，可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程 3230d y y x dx --=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有 个. 4. 设常系数方程 x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x x y x e e xe =++，则此方程的系数α= ，β= ，γ= . 5. 朗斯基行列式 ()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t 在a x b ≤≤上线性相关的 条件. 6. 方程 22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 . 7. 已知 ()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的，则()A t = . 8. 方程组 20'05??=???? x x 的基解矩阵为 ． 9.可用变换 将伯努利方程 化为线性方程. 10 .是满足方程 251y y y y ''''''+++= 和初始条件 的唯一解. 11.方程 的待定特解可取 的形式: 12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是 二、 计算题 1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 2．求解方程13 dy x y dx x y +-=-+. 3. 求解方程 222()0d x dx x dt dt += 。 4．用比较系数法解方程. . 5．求方程 sin y y x '=+的通解. 6．验证微分方程 22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解.
人力资源形考任务三 1、基本工资的计量形式有(A )。 A、定额工资与提成工资 B、岗位工资与技能工资 C、计时工资与计件工资 D、基本工资与辅助工资 2、下列特点的企业哪个适宜采取计时工资( B)。 A、依靠体力劳动与手工操作进行生产 B、产品数量主要取决于机械设备的性能 C、自动化.机械化程度较低 D、劳动成果容易用数量衡量 3、下列特点的组织与工种哪个适宜采取岗位工资制(A )。 A、同一岗位技能要求差别小 B、生产专业化.自动化程度低 C、不同岗位之间劳动差别小 D、同一岗位技能要求差别大 4、可变型岗位工资制的岗内工资标准等级的划分依据就是(D )。 A、劳动责任大小 B、劳动条件好坏 C、劳动贡献大小 D、工龄或技术熟练程度 5、为了使同一技能而实际劳动贡献不同的员工各得其所,可让技能工资与下列哪些类型的工资结合起来
A、结构工资 B、浮动工资 C、岗位工资 D、奖金 6、由若干个工资部分组合而成的工资形式称(C )。 A、绩效工资制 B、岗位工资制 C、结构工资制 D、技能工资制 7、下列奖金哪些属于长期奖金( A)。 A、员工持股计划 B、合理化建议奖 C、成本奖 D、超额奖 8、在贯彻按劳取酬原则时,需要以哪种劳动为主要依据,同时考虑哪几种劳动来进行分配( C)。 A、潜在劳动;物化劳动与流动劳动 B、物化劳动;流动劳动与固定劳动 C、物化劳动;潜在劳动与流动劳动 D、流动劳动;物化劳动与潜在劳动 9、工作评价就是指通过确定岗位的什么来划分岗位等级及相应工资的方法(A )。 A、劳动价值 B、劳动条件
D、劳动差别 10、各种字词的联想测验技术属于哪种心理测的方法？( D)。 A、仪器测量法 B、纸笔测验 C、量表法 D、投射测验 11、根据劳动的复杂程度.繁重与精确程度与责任大小来划分等级,根据等级规定工资标准。这就是一种什么工资制度？(D ) A、多元化工资制度 B、结构工资制 C、职务等级工资制 D、技术等级工资制 12、我国的社会保险制度体系主要包括(A ).医疗保险.失业保险.工伤保险.生育保险等内容。 A、养老保险 B、就业保险 C、生活保障 13、失业保险基金的筹集主要有以下三个原则: .无偿性原则.固定性原则。( B) A、强迫原则 B、强制性原则 C、强行原则 14、中国劳动安全卫生工作的基本原则就是:(1)安全第一,预防为主;(2)保护员工在劳动过程中的安全与健康;(3) 。(A )
常微分方程第三版答案 Document serial number【KK89K-LLS98YT-SS8CB-SSUT-SST108】
习题 1． dx dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解： y dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2 x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2 x . 2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y 2dx=-(x+1)dy 2 y dy dy=-1 1+x dx 两边积分: - y 1 =-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y= | )1(|ln 1 +x c 3．dx dy =y x xy y 321++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+31 x x + y y 21+dy=31 x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1 +dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0也是原方程的解。
5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为： dx dy =-y x y x +- 令 x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -112++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x y . 6. x dx dy -y+22y x -=0 解：原方程为： dx dy =x y +x x | |-2)(1x y - 则令 x y =u dx dy =u+ x dx du 2 11u - du=sgnx x 1 dx arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为： tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny= x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32 +=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2 e x 3 2 e x 3-3e 2 y -=c.
= + ?x = + ?x = + ?x 常微分方程的大致知识点 （一）初等积分法 1、线素场与等倾线 2、可分离变量方程 3、齐次方程（一般含有 x 或 y 的项） y x 4、一阶线性非齐次方程 常数变易法，或 y = e ? a ( x )dx [? b (x )e -? a ( x )dx dx + C ] 5、伯努力方程 令 z = y 1-n ，则 dz = (1 - n ) y -n dy ，可将伯努力方程化成一阶线性非齐次或一阶线性齐次 dx 6、全微分方程 若?M ?y 若 ?M ?y dx = ?N ，则u (x , y ) = C ，（留意书上公式） ?x ≠ ?N ，则找积分因子，（留意书上公式） ?x f (x f ( y , （二）毕卡序列 x y 1 y 0 0 x f (x , y 0 )dx ， y 2 y 0 0 x f (x , y 1 )dx ， y 3 y 0 0 f (x , y 2 )dx ，其余类推 （三）常系数方程 1、常系数齐次L (D ) y = 0 方法：特征方程 7、可降阶的二阶微分方程 d 2 y = , dy ) ，令 dy = d 2 y p ,则 = dy dx 2 d 2 y = dx dy ) ，令 dx dy = p ,则 dx 2 d 2 y dx = p dp dx 2 dx dx dx 2 dy 8、正交轨线族
? ? dy 单的实根, ， y = C e 1x + C e 2 x 1 2 1 2 单的复根1, 2 = ± i ， y = e x (C cos x + C 2 sin x ) 重的实根 = = ， y = (C + C x )e x 1 2 1 2 重的复根1, 2 = ± i ，3, 4 = ± i ， y = e x [(C + C 2 x ) c os x + (C 3 + C 4 x ) sin x ] 2、常系数非齐次L (D ) y = 方法：三部曲。 f (x ) 第一步求L (D ) y = 0 的通解Y 第二步求L (D ) y = f (x ) 的特解 y * 第三步求L (D ) y = f (x ) 的通解 y = Y + y * 如何求 y * ？ 当 f (x ) = P m (x )e x 时， y * = x k Q (x )e x 当 f (x ) = P m (x )e ux cos vx + Q (x )e ux sin vx 时， y * = x k e ux (R (x ) cos vx + S m (x ) sin vx ) 当 f (x ) 是一般形式时， y * = ? x W (x ,) f ()d ，其中 W(.)是郎斯基行列式 x 0 W () （四）常系数方程组 方法：三部曲。 第一步求 dX dt = A (t ) X 的通解， Φ(t )C 。利用特征方程 A - I = 0 ，并分情况讨论。 第二步求 dX dt 第三步求 dX dt = A (t ) X + f (t ) 的特解， Φ(t )?Φ-1 (s ) f (s )ds ，（定积分与不定积分等价） = A (t ) X + f (t ) 的通解， Φ(t )C + Φ(t )?Φ-1 (s ) f (s )ds （五）奇点与极限环 ? dx = ax + b y dt ? ? = cx + dy 1、分析方程组? dt 的奇点的性质，用特征方程： A - I = 0 特征方程的根有 3 种情况：相异实根、相异复根、相同实根。第一种情况：相异实根，1 ≠ 2 1 1 m m m
2005——2006学年第二学期 常微分方程课程试卷（B） 一、填空题（每空2 分，共16分）。 1．李普希滋条件是初值问题存在唯一解的充分条件． 2. 一阶微分方程的一个特解的图像是二 维空间上的一条曲线． 3．线性齐次微分方程组Y A Y ) ( d d x x =的一个基本解组的个数不能多于n个，其中R ∈ x，n R Y∈． 4．二阶线性齐次微分方程的两个解) ( 1 x y? =,) ( 2 x y? =成为其基本解组的充要条件是线性无关． 5．方程2 sin() y xy y '' =+的通解是 6．变量可分离方程()()()()0= +dy y q x p dx y N x M的积分因子是()() x P y N 1 7．性齐次微分方程组的解组) ( , ), ( ), ( 2 1 x x x n Y Y Y 为基本解组的充分必要条件是它们的朗斯基行列式0 ) (≠ x W． 8．方程540 y y y ''' ++=的基本解组是x x e e4 ,- - 二、选择题（每小题3 分，共15分）。 9．两个不同的线性齐次微分方程组（ D ）的基本解组． (A) 一定有相同(B) 可能有相同 (C) 一定有相似(D) 没有相同 10．方程组 ? ? ? ?? ? ? + = + = y x t y y x t x 4 3 d d 2 d d 的奇点)0,0(的类型是（D ）． （A）稳定焦点（B）不稳定焦点（C）鞍点（D）不稳定结点11．方程x(y2－1)d x+y(x2－1)d y=0的所有常数解是（ C ）． (A) 1± = x(B)1± = y
(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x 12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）． （A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间 （C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间 13．方程4d d +-=x y x y （ A ）奇解． (A) 无 (B) 有一个 (C) 有两个 (D) 可能有 三、计算题（每小题8分，共48分） 。 14．求方程 x y x y x y tan d d +=的通解 解：令x y u =，则u x u y '+='， u x u x tan d d = 当0tan ≠u 时，等号两边积分 1d tan d C x x u u +=?? C x u ln ln sin ln += 0≠C Cx x y =sin 15．求方程0d d )1(2=+--y x x y x 的通解 解：积分因子21)(x x =μ， 则 0d 1d 122=+--y x x x y x 为全微分方程．取10=x ，00=y ，于是通积分为 1012 2d d 1C y x x y x y x =+--?? 即 C x x x y =++1 16．求方程2221)(x y x y y + '-'=的通解 解:令 p y ='，得到2 2 2x xp p y +-= （*） ，两端同时关于求导，
人力资源管理形考 任务一答案 一．选择题 1：认为人力资源是具有劳动能力的全部人口的观点属于（成年人口观）。 2：具有耗性特征的资源是（人力资源）。 3：人力资源管理与人事管理的主要区别体现在（观念上）。 4:以“任务管理”为主要容的泰勒的“科学管理原理”，是在哪种人性假设基础上提出来的？（经济人）。 5：“社会人”人性理论假设的基础是什么？（霍桑试验）。 6:以人性为核心的人本管理的主体是何种基本要素？（职工） 7:期望激励理论属于哪种类型的激励理论？（过程型激励理论） 8:某企业对10名新招来的员工进行上岗前培训，从讲课到实习一共花了5000元费用，请问这笔费用应从人力资源成本的哪个项目中列支？（开发成本） 9:预测由未来工作岗位的性质与要求所决定的人员素质和技能的类型，这是制定人力资源规划时哪一个步骤？（预测未来的人力资源需求） 10:从现实的应用形态来看，下面哪个方面不是人力资源所应包含的容？（思想）11：把“员工视为活动主体．公司主人”是哪一种人力资源管理模式？（以人为中心．理性化团队管理） 12：每个员工都明确企业发展目标，团结协作，努力实现企业目标；反映了“以人为中心．理性化团队管理”模式的什么特点？（开放式的悦纳表现） 13：下面哪一项不是人本管理的基本要素？（产品） 14：与员工同甘共苦．同舟共济，反映了人本管理哪方面的基本容？（培育和发挥团队精神） 15：明确目标责任，使其竞争，是进行人本管理的哪种运行机制？（压力机制）16：通过检查人力资源目标的实现程度，来提供关于人力资源计划系统的反馈信息。这是人力资源规划系统的哪项活动？（控制与评价） 17：马斯洛提出的需要层次理论属于哪种类型的激励理论？（容性激励理论）18：工作分析中方法分析常用的方法是（问题分析）。 19：管理人员定员的方法是（职责定员法）。 20：依据个体的经验判断，把所有待评价的职务依序排列，由此确定每种工作的价值的方法是（排序法）。 二、案例分析 答案：该案例中，贾厂长只是根据惯例主观地采取了迟到不罚款，而对早退罚
常微分方程的大致知识点Last revision on 21 December 2020
常微分方程的大致知识点 （一）初等积分法 1、线素场与等倾线 2、可分离变量方程 3、齐次方程（一般含有x y y x 或的项） 4、一阶线性非齐次方程 常数变易法，或])([)()(?+??=-C dx e x b e y dx x a dx x a 5、伯努力方程 令n y z -=1，则dx dy y n dx dz n --=)1(，可将伯努力方程化成一阶线性非齐次或一阶线性齐次 6、全微分方程 若x N y M ??=??，则C y x u =),(，（留意书上公式） 若 x N y M ??≠??，则找积分因子，（留意书上公式） 7、可降阶的二阶微分方程 ),(22dx dy x f dx y d =，令dx dy dx y d p dx dy ==22,则 ),(22dx dy y f dx y d =，令dy dp p dx y d p dx dy ==22,则 8、正交轨线族 （二）毕卡序列 ?+=x x dx y x f y y 0),(001，?+=x x dx y x f y y 0),(102，?+=x x dx y x f y y 0),(203，其余类推 （三）常系数方程 1、常系数齐次0)(=y D L 方法：特征方程 单的实根21,λλ，x x e C e C y 2121λλ+= 单的复根i βαλ±=2,1，)sin cos (21x C x C e y x ββα+= 重的实根λλλ==21，x e x C C y λ)(21+= 重的复根i βαλ±=2,1，i βαλ±=4,3，]sin )(cos )[(4321x x C C x x C C e y x ββα+++=
常微分方程试题 一、填空题(每小题3分，共39分) 1.常微分方程中的自变量个数是________. 2.路程函数S(t)的加速度是常数a，则此路程函数S(t)的一般形式是________. 3.微分方程=g( )中g(u)为u的连续函数，作变量变换________，方程可化为变 量分离方程. 4.微分方程F(x,y′)=0中令P=y′,若x、P平面上的曲线F(x,P)=0的参数形式 为x= (t),P=ψ(t),t为参数，则方程参数形式的通解为________. 5.方程=(x+1)3的通解为________. 6.如果函数f(x,y)连续，y= (x)是方程=f(x,y)的定义于区间x0≤x≤x0+h上，满 足初始条件 (x0)=y0的解.则y= (x)是积分方程________定义于x0≤x≤x0+h 上的连续解. 7.方程=x2+xy，满足初始条件y(0)=0的第二次近似解是________. 8.方程+a1(t) +…+a n-1(t) +a n(t)x=0 中a i(t) i=1,2,…，n是〔a,b〕上的连续函数，又x1(t),x2(t),…，x n(t)为方程n 个线性无关的解，则其伏朗斯基行列式W(t) 应具有的性质是：________. 9.常系数线性方程x(4)(t)-2x″(t)+x(t)=0的通解为________. 10.设A(t)是区间a≤t≤b上的连续n×n矩阵，x1(t),x2(t),…，x n(t)是方程组 x′=A(t)x的n个线性无关的解向量.则方程组的任一解向量x(t)均可表示为：x(t)=________的形式. 11.初值问题(t)+2x″(t)-tx′(t)+3x(t)=e-t,x(1)=1,x′(1)=2,x″(1)=3 可化为与之 等价的一阶方程组________. 12.如果A是3×3的常数矩阵，-2为A的三重特征值，则方程组x′=Ax的基 解矩阵exp A t=________. 13.方程组 的奇点类型是________. 二、计算题(共45分) 1.(6分)解方程 = . 2.(6分)解方程 x″(t)+ =0. 3.(6分)解方程 (y-1-xy)dx+xdy=0. 4.(6分)解方程
《人力资源管理》形考2答案一．选择题（请在列出的备选答案中选出正确答案）（40分） 题目1 影响招聘的内部因素是（C ）。 选择一项： A. 法律的监控 B. 劳动力市场条件 C. 企事业组织形象 题目2 招聘中运用评价中心技术频率最高的是（A ）。 选择一项： A. 公文处理 B. 案例分析 C. 管理游戏 题目3 甑选程序中不包括的是（C ）。 选择一项： A. 职位安排 B. 填写申请表 C. 寻找候选人 题目4 企业对新录用的员工进行集中的培训，这种方式叫做（A ）。 选择一项： A. 岗前培训
B. 离岗培训 C. 在岗培训 D. 业余自学 题目5 在培训中，先由教师综合介绍一些基本概念与原理，然后围绕某一专题进行讨论的培训方式，是（D ）。 选择一项： A. 讲授法 B. 角色扮演法 C. 案例分析法 D. 研讨法 题目6 岗位培训成本应属于下列哪种成本？（C ） 选择一项： A. 使用成本 B. 获得成本 C. 开发成本 D. 保障成本 题目7 让被试根据一个或一组图形或文字材料讲述一个完整故事的测评方法被称为（B ）。 选择一项： A. 个案分析技术 B. 联想技术 C. 构成技术
D. 表现技术 题目8 检验测量结果稳定性和一致性程度的指标被称为（A ）。 选择一项： A. 效度 B. 误差 C. 常模 D. 信度 题目9 让秘书起草一份文件这是一种（D ）。 选择一项： A. 任务 B. 职业 C. 职位 D. 职务 题目10 为使分配公正合理，必须对每一职务在企业中的相对价值．贡献和地位，进行客观．准确．数量化的评估并加以排序。这是职务分析的哪一项主要内容？（D ） 选择一项： A. 绩效评估 B. 职务评价 C. 人力资源规划的制定 D. 人员的选拔与使用 题目11
习题 1 求方程dx dy =x+y 2通过点(0,0)的第三次近似解； 解： 取0)(0=x ? 20020012 1)()(x xdx dx y x y x x x ==++=??? 522200210220 121])21([])([)(x x dx x x dx x x y x x x +=+=++=???? dx x x x y x x ])20 121([)(252003+++=?? = 118524400 1160120121x x x x +++ 2 求方程dx dy =x-y 2通过点(1,0)的第三次近似解； 解： 令0)(0=x ? 则 20020012 1)()(x xdx dx y x y x x x ==-+=??? 522200210220 121])21([])([)(x x dx x x dx x x y x x x -=-=-+=???? dx x x x y x x ])20 121([)(252003--+=?? =118524400 1160120121x x x x -+- 3 题 求初值问题： ?????=-=0 )1(2y x dx dy R ：1+x ≤1，y ≤1 的解的存在区间，并求解第二次近似解，给出在解的存在空间的误差估计； 解： 因为 M=max{22y x -}=4 则h=min(a,M b )=4 1 则解的存在区间为0x x -=)1(--x =1+x ≤4 1 令 )(0X ψ=0 ; )(1x ψ=y 0+?-x x x 0)0(2dx=31x 3+31;
)(2x ψ =y 0+])3131([2132?-+-x x x dx=31x 3-9x -184x -637x +4211 又 y y x f ??),(2≤=L 则：误差估计为：)()(2x x ψ-ψ≤32 2 )12(*h L M +=2411 4 题 讨论方程：31 23y dx dy =在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件， 并求通过点（0，0）的一切解； 解：因为y y x f ??),(=3221-y 在y 0≠上存在且连续； 而312 3y 在y 0φσ≥上连续 由 3123y dx dy =有：y =（x+c ）23 又 因为y(0)=0 所以：y =x 2 3 另外 y=0也是方程的解； 故 方程的解为：y =?????≥00023πx x x 或 y=0; 6题 证明格朗瓦耳不等式： 设K 为非负整数，f(t)和g(t)为区间βα≤≤t 上的连续非负函数，
习题1.2 1．dx dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2x . 2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y 1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=|)1(|ln 1 +x c 3．dx dy =y x xy y 321++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+31x x + y y 21+dy=31x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1+dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0也是原方程的解。 5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为：
dx dy =- y x y x +- 令x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -1 12++u u du=x 1 dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x y . 6. x dx dy -y+22y x -=0 解：原方程为： dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令x y =u dx dy =u+ x dx du 211u - du=sgnx x 1 dx arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32+=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2e x 3 2 e x 3-3e 2y -=c. 9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为： dx dy =x y ln x y 令 x y =u ,则dx dy =u+ x dx du
常微分方程 1. xy dx dy 2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得 。 故它的特解为代入得 把即两边同时积分得：e e x x y c y x x c y c y xdx dy y 2 2 ,11,0,ln ,21 2 =====+== ,0)1(.22 =++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得： 。 故特解是 时，代入式子得。当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当x y c y x y x c y c y x y dy dx x y ++=====++=+=+≠=+- 1ln 11 ,11,001ln 1 ,11ln 0,1112 3 y xy dx dy x y 32 1++ = 解：原式可化为：
x x y x x y x y x y y x y c c c c x dx x dy y y x y dx dy 2 2 2 2 2 2 2 2 322 32)1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2 1 1 1,0111=++ =++ ≠++-=+ +=+≠+?+=+） 故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然 .0;0;ln ,ln ,ln ln 0 110000 )1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：
10ln 1ln ln 1ln 1,0 ln 0 )ln (ln :931:8. cos ln sin ln 0 7ln sgn arcsin ln sgn arcsin 1 sgn 11,)1(,,,6ln )1ln(2 11 11,11,,,0 )()(:5332 2 22 2 22 2 22 2 c dx dy dx dy x y cy u d u u dx x x y u dx x y dy x y ydx dy y x x c dy y y y y dx dy c x y tgxdx ctgydy ctgxdy tgydx c x x x y c x x u dx x x du x dx du dx du x u dx dy ux y u x y y dx dy x c x arctgu dx x du u u u dx du x u dx du x u dx dy ux y u x y x y x y dx dy dx x y dy x y e e e e e e e e x y u u x y x u u x y x y y x x x +===+=+-===-?-=--+-=-=+-===-=+?=+?=?=--=+===-+=+-=++ =++-++=++===+-==-++-+-- 两边积分解：变量分离：。 代回原变量得：则有：令解：方程可变为：解：变量分离，得 两边积分得：解：变量分离，得：：也是方程的解。 另外，代回原来变量，得两边积分得：分离变量得：则原方程化为： 解：令：。两边积分得：变量分离，得：则令解：
常微分方程解题方法总结 来源：文都教育 复习过半， 课本上的知识点相信大部分考生已经学习过一遍 . 接下来， 如何将零散的知 识点有机地结合起来， 而不容易遗忘是大多数考生面临的问题 . 为了加强记忆， 使知识自成 体系，建议将知识点进行分类系统总结 . 著名数学家华罗庚的读书方法值得借鉴， 他强调读 书要“由薄到厚、由厚到薄”，对同学们的复习尤为重要 . 以常微分方程为例， 本部分内容涉及可分离变量、 一阶齐次、 一阶非齐次、 全微分方程、 高阶线性微分方程等内容， 在看完这部分内容会发现要掌握的解题方法太多， 遇到具体的题 目不知该如何下手， 这种情况往往是因为没有很好地总结和归纳解题方法 . 下面以表格的形 式将常微分方程中的解题方法加以总结，一目了然，便于记忆和查询 . 常微分方程 通解公式或解法 ( 名称、形式 ) 当 g( y) 0 时，得到 dy f (x)dx ， g( y) 可分离变量的方程 dy f ( x) g( y) 两边积分即可得到结果； dx 当 g( 0 ) 0 时，则 y( x) 0 也是方程的 解 . 解法：令 u y xdu udx ，代入 ，则 dy 齐次微分方程 dy g( y ) x dx x u g (u) 化为可分离变量方程 得到 x du dx 一 阶 线 性 微 分 方 程 P ( x)dx P ( x) dx dy Q(x) y ( e Q( x)dx C )e P( x) y dx
伯努利方程 解法：令 u y1 n，有 du (1 n) y n dy ， dy P( x) y Q( x) y n（n≠0,1）代入得到du (1 n) P(x)u (1 n)Q(x) dx dx 求解特征方程：2 pq 三种情况： 二阶常系数齐次线性微分方程 y p x y q x y0 二阶常系数非齐次线性微分方程 y p x y q x y f ( x) (1)两个不等实根：1, 2 通解： y c1 e 1x c2 e 2x (2) 两个相等实根：1 2 通解： y c1 c2 x e x (3) 一对共轭复根：i , 通解： y e x c1 cos x c2 sin x 通解为 y p x y q x y 0 的通解与 y p x y q x y f ( x) 的特解之和. 常见的 f (x) 有两种情况： x （ 1）f ( x)e P m ( x) 若不是特征方程的根，令特解 y Q m ( x)e x；若是特征方程的单根，令特 解 y xQ m ( x)e x；若是特征方程的重根， 令特解 y*x2Q m (x)e x； （2）f (x) e x[ P m ( x) cos x p n ( x)sin x]
常微分方程计算题 2.指出下列方程中的阶数，是线性方程还是非线性方程，并说明理由； （1） t 2 2 2dt u d +t dt du +( t 2 -1)u=0 （2） dx dy =x 2+y 2 ; （3）dx dy + 2 x y =0 3.求曲线族y=C 1e x +C 2x e x 所满足的微分方程 4．验证函数y= C 1e x 2+ C 2e x 2-是微分方程y `` -4y=0的解，进一步验证它是通解。 5.试用一阶微分方程形式不变性求解方程dx dy =2x 6.什么叫积分一个微分方程 7．什么是求解常微分方程的初等积分法 8．分离变量一阶方程的特征是什么 9．求下列方程的通解 （1） y ` ＝sinx （2） x 2 y 2 y ` +1=y （3） tgx dx dy =1+y （4） dx dy =exp(2x-y) （5） dx dy =21y 2- （6） x 2 ydx=(1- y 2 +x-2 x 2 y 2 )dx （7）( x 2 +1)( y 2 -1)dx+xydy=0 10.叙述齐次函数的定义 11．试给出一阶方程y ` ＝f(x,y)或p(x,y)dx+ q(x,y)dy=0为齐次方程的特征。说明二
个方程的关系。 12．求解齐次方程通常用什么初等变换，新旧函数导数关系如何 13．求解下列方程 dx dy ＝2 22y x xy - 14．求解下列方程 （1）（x+2y ）dx —xdy=0 (2) dx dy =x y +y x 2 15. dx dy =22y x xy + 16(x 2 +y 2 )dx —2xydy=0 17. dx dy =5 242+---y x x y 18―――――19 20―――――――27
常微分方程 2.1 1. xy dx dy 2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得 。 故它的特解为代入得 把即两边同时积分得：e e x x y c y x x c y c y xdx dy y 2 2 ,11,0,ln ,21 2 =====+== ,0)1(.22 =++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得： 。 故特解是 时，代入式子得。当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当x y c y x y x c y c y x y dy dx x y ++=====++=+=+≠=+- 1ln 11 ,11,001ln 1 ,11ln 0,1112 3 y xy dx dy x y 32 1++ = 解：原式可化为： x x y x x y x y x y y x y c c c c x dx x dy y y x y dx dy 2 2 2 2 22 2 2 3 22 3 2 )1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2 1 1 1,0111=++ =++ ≠++-=+ +=+≠+ ? + =+） 故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然 .0;0;ln ,ln ,ln ln 0 110000 )1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：
10ln 1ln ln 1ln 1,0 ln 0 )ln (ln :931:8. cos ln sin ln 0 7ln sgn arcsin ln sgn arcsin 1 sgn 11,)1(,,,6ln )1ln(2 11 11,11,,,0 )()(:5332 2 22 2 22 2 22 2 c dx dy dx dy x y cy u d u u dx x x y u dx x y dy x y ydx dy y x x c dy y y y y dx dy c x y tgxdx ctgydy ctgxdy tgydx c x x x y c x x u dx x x du x dx du dx du x u dx dy ux y u x y y dx dy x c x arctgu dx x du u u u dx du x u dx du x u dx dy ux y u x y x y x y dx dy dx x y dy x y e e e e e e e e x y u u x y x u u x y x y y x x x +===+=+-===-?-=--+-=-=+-===-=+?=+?=?=--=+===-+=+-=++ =++-++=++===+-==-++-+-- 两边积分解：变量分离：。 代回原变量得：则有：令解：方程可变为：解：变量分离，得 两边积分得：解：变量分离，得：：也是方程的解。 另外，代回原来变量，得两边积分得：分离变量得：则原方程化为： 解：令：。两边积分得：变量分离，得：则令解：