第五章角动量角动量守恒定理
本章结构框图
学习指导
本章概念和内容是中学没有接触过的，是大学物理教学的重点和难点。许多同学容易将平动问题与转动问题中的概念和规律混淆，例如两种冲击摆问题。建议采用类比方法，对质量与转动惯量、动量与角动量、力与力矩、冲量与角冲量、平动动能和转动动能、运动学的线量和角量、动量定理和角动量定理、动量守恒和角动量守恒……一一加以比较。本章的重点是刚体定轴转动问题，注意定轴条件下，各种规律都应该用标量式表示。还请注意动量守恒在天体问题、粒子问题中的应用。
基本要求
1.理解质点、质点系、定轴刚体的角动量概念。
2.理解定轴刚体的转动惯量概念，会进行简单计算。
3.理解力矩的物理意义, 会进行简单计算。
4.掌握刚体定轴转动定律，熟练进行有关计算。
5.理解角冲量（冲量矩）概念，掌握质点、质点系、定轴刚体的角动量定理，
熟练进行有关计算。
6.掌握角动量守恒的条件，熟练应用角动量守恒定律求解有关问题。
内容提要
1.基本概念
刚体对定轴的转动惯量：是描述刚体绕定轴转动时，其转动惯性大小的物理量。定义为刚体上每个质元（质点、线元、面元、体积元）的质量与该质元到转轴距离平方之积的总和。即：
I的大小与刚体总质量、质量分布及转轴位置有关。
质点、质点系、定轴刚体的角动量：角动量也称动量矩，它量度物体的转动运动量，描述物体绕参考点（轴）旋转倾向的强弱。表5.1对质点、质点系、定轴刚体的角动量进行了比较。
表5.1质点、质点系和定轴刚体的角动量
力矩：力的作用点对参考点的位矢与力的矢积叫做力对该参考点的力矩（图5.1）：
即：
大小：（力×力臂）方向：垂直于决定的平面，其指向
由右手定则确定。
对于力矩的概念应该注意明确以下问题：
?区分力对参考点的力矩和力对定轴的力矩：力对某轴的力矩是力对轴上任意一点的力矩在该轴上的投影。例如：某力对x、y、z轴的力矩就是该力对原点
的力矩在三个坐标轴上的投影：
由上可知：力对参考点的力矩是矢量，而力对定轴的力矩是代数量。
?明确质点系内力矩的矢量和恒为零：由于内力总是成对出现，作用力和反作用力等大、反向、在同一直线上，所以对任何参考点内力矩的矢量和恒为零。当然，对任意轴，内力矩的代数和也恒为零。
?明确质点系的合外力矩不等于其外力矢量和的力矩：合外力矩为各外力对同一参考点的力矩的矢量和，即：。由于一般情况下，各外力的作
用点的位矢各不相同，所以不能先求合力，再求合力的力矩。但是存在特例：在求重力矩时，可以把系内各质点所受重力平移到质心C，先求出其合
力，再由得到重力的合力矩。
由此还可以得到：作用于系统的合外力为零时，合外力矩不一定为零（图5.2）；系统的合外力矩为零时，其合外力也不一定为零（图5.3）。
?明确有心力对其力心的力矩恒为零：力的作用线始终通过某定点的力称为有心力。该定点称为力心。显然，有心力对其力心的力臂为零。所以，有心力对其力心的力矩恒为零。
力矩的角冲量（冲量矩）：见表5.2
表5.2力矩的角冲量
2.基本规律
角动量定理：质点和质点系角动量定理的微分、积分形式如表5.3所示。请注意刚体定轴转动定律不过是质点系角动量定理在定轴方向上的分量式而已。
表5.3质点和质点系的角动量定理
角动量守恒定律：当质点系所受对某参考点（轴）的合外力矩为零时，质点系对该参考点（轴）的总角动量不随时间变化（表5.4）。角动量守恒定律反映了空间的旋转对称性（见第7章），是自然界普遍适用的基本定律之一，在生活、技术及科学研究中有非常广泛的应用。
表5.4 角动量守恒定律
重点与难点
1.重点
质点，质点系和定轴转动刚体的角动量定义。
刚体定轴转动定律及应用。
质点和质点系角动量定理及应用。
角动量守恒定律及应用
2.难点
①区别动量定理和角动量定理。
②区别动量守恒定律和角动量守恒定律的条件，并能综合运用。
③动量及动量定理、角动量及角动量定理是否与参考系的选择有关。
1.动量及动量定理，角动量与角动量定理是否与参考系选择有关？
质点动量，角动量，由于 v 和 r 都是相对量，与参考系的选择有关，所以，动量和角动量应与参考系的选择有关。
动量定理和角动量定理只适用于惯性系，对于非惯性系，该两定理不成立。
2.区别动量定理与角动量定理
动量定理表示质点或质点系的动量改变与质点或质点系所受的合力的时间累积-- 冲量相对应；角动量定理表示质点或质点系的角动量的改变与质点或质点系所受的外力矩的矢量和的时间累积 -- 角冲量相对应。两者是不同的概念。例如：有力作用下的质点系（太阳地球系统），地球在太阳引力作用下，动量不断发生变化，但角动量却始终不变，因引力通过力心（太阳），对力心的力矩始终为零。
3.动量和角动量守恒的条件质点或质点系所受合外力为零时，质点或质点系的动量将保持不变。质点或质点系对某一参考点或参考轴的合外力矩为零时，质点或质点系对该参考点或参考轴的角动量保持不变。在实际问题中要认真区别两个守恒定律成立的条件。许多情况下，系统对某一参考点的力矩矢量和为零时，系统所受外力不一定为零。即系统角动量守恒时，动量不一定守恒。反之，系统所受合外力为零时，合外力矩不一定为零，即系统动量守恒时，角动量不一定是守恒。（参看教材P.91【例2】）。
对质点系而言，内力总是成对出现，大小相等方向相反，作用在同一直线上，因此，内力的矢量和及内力对某一参考点或参考轴的力矩的矢量和始终为零，因此，内力不改变系统的总动量，内力矩不改变系统的角动量。
例1水分子的形状如图5-2所示。从光谱分析得知水分
子对 AA′轴的转动惯量是，对
BB′轴的转动惯量是。试由此数据和各原子的质量求出
氢和氧原子间的距离 d 和夹角。假设各原子都可当质点处理。
解：由图可得
此二式相加，可得
上二式相比，可得
例2一质量m = 2200kg 的汽车以的速度
沿一平直公路开行。求汽车对公路一侧距公路d= 50m 的一点的角动量是多大？对公路上任一点的角动量又是多大？
解：如图5-3所示，汽车对公路一侧距公路d= 50m的一点P1的角动量的大小为
汽车对公路上任一点P2的角动量的大小为
例3两个质量均为m 的质点，用一根长为2a、质量可忽略不计的轻杆相联，构成一个简单的质点组。如图5-4所示，两质点绕固定轴OZ以匀角速度转
动，轴线通过杆的中点O与杆的夹角为，求质点组对O点的角动量大小及方
向。
解: 设两质点A、B在图示的位置，它们对O点的角动量的大小相等、方向相同（与OA和m v组成的平面垂直）。
角动量的大小为
例4如图5-5所示，转轴平行的两飞轮Ⅰ和Ⅱ，半
径分别为R1、R2。对各自转轴的转动惯量分别为
J1、J2。Ⅰ轮转动的角速度为，Ⅱ轮不转动。
移动Ⅱ轮使两轮缘互相接触。两轴仍保持平行，由
于摩擦，两轮的转速会变化。问转动稳定后，两轮
的角速度各为多少？
辨析:首先分析系统所受的外力，再看这些外力对定轴的合外力矩是否为零，如果为零应用角动量守恒定律，否则应用角动量定理。
解：轮Ⅰ、轮Ⅱ接触时，轮Ⅰ受到重力m1g，轴给轮的力T1，以及摩擦力f 1，轮Ⅱ施加的正压力N1；轴Ⅱ受到重力m2g，轴给轮的力T2，以及摩擦力f2、轮
Ⅰ施加的正压力N2，以及外加力F。f
1和f
2
大小相等、方向相反，对轮Ⅰ和轮Ⅱ
组成的系统来说，f
1
和f2是一对内力，它们的力矩和不会改变系统的总角动量。轮Ⅰ、轮Ⅱ系统受到的外力T1、T2、m1g和m2g，它们对O1轴或者O2轴的合外
力矩皆不为零，这个系统对O
1
或者O2的角动量都不守恒。所以应对轮Ⅰ、轮Ⅱ分别运用角动量定理。
对Ⅰ轮，设顺时针转动为正向
（1）
对Ⅱ轮，设逆时针转动为正负
（2）
联立（1）、（2）两式可得
（3）
转动稳定时，两轮缘的线速度相等，即
（4）
联立（3）、（4）解得
例5唱机的转盘绕过盘心的固定竖直轴转动，唱片放上后将受转盘的摩擦力作用随转盘移动。设唱片可以看成是半径为R的圆盘，唱片质量为m，唱片与转盘之间摩擦系数为μ，求唱片刚放上去时受到的摩擦力矩M f和唱片由放上去到具
。
有角速度所需的时间t
1
解：唱片之所以转动是因受到转盘施加的力矩的作用，也就是摩擦力矩，它是唱片的动力矩。
在唱片上选为半径为r，宽度为d r的圆环，如图5-6所示。它受的动力矩为
上式中，是唱片的密度。
整块唱片受的摩擦力矩为
视唱片为刚体，据转动定律
分离变量有
积分上式
例6如图5-7所示，两物体质量分别为m1和m2，定滑轮的质量为m，半径为r，可视作均匀圆盘。已知m2与桌面间的滑动摩擦系数为，求m1下落的加速度和
两段绳子中的张力各是多少？设绳子和滑轮间无相对滑动，滑动轴受的摩擦力忽略不计。
解：
对m1，由牛顿第二定律
对m2，由牛顿第二定律
对滑轮，用转动定律
又由运动学关系，设绳在滑轮上不打滑
联立解以上诸方程，可得
例7如图5-8所示。两个圆轮的半径分别为R1和R2，质量分别为M1和M2。二者都可视为均匀圆柱体而且同轴固结在一起，可以绕一水平固定轴自由转动。今在两轮上各绕以细绳，绳端分别挂上质量是m1和m2的两个物体。求在重力作用下，m2下落时轮的角加速度。
解：如图示，由牛顿第二定律
对m1：
对m2：
对整个轮，由转动定律
又由运动学关系
联立解以上诸式，即可得
例8 固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕其光滑的水平对称轴O O′转动，设大小圆柱体的半径分别为R和r，质量分别为 M和m，绕在两柱体上的细绳分别与物体m1和物体m2相连，m1和m2 分别挂在圆柱体的两侧，如图5-9（a）所示。设R = 0.20m，r = 0.10m，m = 4kg，M = 10kg，m1= m2= 2kg，且开始时m1、m2离地均为h = 2m，求：
（1）柱体转动时的角加速度；
（2）两侧细绳的张力；
（3）m
1
经多长时间着地？
（4）设m
1与地面作完全非弹性碰撞，m
1
着地后柱体
的转速如何变化？图5-9(a)
解：设a1、a2分别为m
1、m
2
的加速度，为柱体角加速度，方向如图5-9(b)
所示。
（1）m
1、m
2
的平动方程和柱体的
转动方程如下：
式中：
; ;
;
；
联立（1）、（2）、（3）式，解得角加速度为
代入数据后得
（2）由(1)式得
由(2)式得
（3）设m
1
着地时间为t，则
（4）m1着地后静止，这一侧绳子松开。柱体继续转动，因只受另一侧绳子拉力的阻力矩，柱体转速将减小，m2减速上升。
讨论:如果只求柱体转动的角加速度，可将柱体、m1、m2选做一个系统，系统受的合外力矩，则加速度
本题第二问还要求两侧细绳的张力，故采用本解法是必要的，即分别讨论柱体的转动、m1和m2的平动。
例9一轻绳绕过一质量可以不计且轴光滑的滑轮，质量皆为m 的甲、乙二人分别抓住绳的两端从同一高度静止开始加速上爬，如图5-10所示。
（1）二人是否同时达到顶点？以甲、乙二人为系统，在运动中系统的动量是否守恒？机械能是否守恒？系统对滑轮轴的角动量是否守恒？
（2）当甲相对绳的运动速度u是乙相对绳的速度2倍时，甲、乙二人的速度各是多少？
解：（1）甲、乙二人受力情况相同，皆受绳的张力T，重力mg，二人的运动相同，因为
所以二人的加速度相同，二人的速度为
因初速度v0 = 0，二人在任一时刻的速度相同，上升的高度相同，所以同时到达顶点。
以二人为系统，因二人是加速上升，所受合外力2(T-mg) > 0，故系统的动量不守恒。以人和地球为系统，张力T对系统做功，因而系统的机械能不守恒。显然人在上升中机械能在样加。但
甲、乙二人相对滑轮轴的合外力矩（M = TR -TR + mgR-mgR）等于零，系统对轴的角动量守恒。
（2）设甲的速度、乙的速度为，从解（1）知二人的速度相等，即，
这个结果也可用角动量守恒得到，因
故
设绳子的牵连速度为v0，设滑轮左侧绳子的v0向下，那么滑轮右侧的v0一定向上，根据速度合成定理
所以
则
讨论:由于人用力上爬时，人对绳子的拉力可能改变，因此绳对人的拉力也可能改变，但甲、乙二人受力情况总是相同，因此同一时刻甲、乙二人的加速度和速度皆相同，二人总是同时到达顶点。
例10哈雷慧星绕太阳运动的轨道是一个椭圆。它离太阳最近的距离是
，此时它的速率是。它离太阳最远时的速
率是，这时它离太阳的距离r2是多少？
解：慧星运行受的引力指向太阳，所以它对太阳的角动量守恒，它在走过离太阳最近或最远的地点时，速度的方向均与对太阳的径矢方向垂直，所以角动量守恒给出
由此得
例11太阳的热核燃料耗尽时，它将急速塌缩成半径等于地球半径的一颗白矮星。如果不计算质量散失，那时太阳的转动周期将变为多少？太阳和白矮星均按均匀球体计算，目前太阳的自转周期按26d计。
解：由太阳的自转角动量守恒可得
= 3.1(min)
例12一质量为M，半径为R，并以角速度旋转着的飞轮，某瞬时有一质量为m的碎片从飞轮飞出。假设碎片脱离圆盘时的瞬时速度方向正好竖直向上，如图5-11所示。求余下圆盘的角速度、角动量。
解：破裂瞬间，系统对转轴的合外力矩为零，系统角动量守恒
得
余下圆盘角速度不变。
余下圆盘的角动量
例13赤道上有一高楼，楼高h（图5-12）。由于地球自转，楼顶
和楼根对地心参考系都有线速度。
（1）证明：楼顶和楼根的线速度之差为，其中为地球自转角速度。（2）证明：一物体由楼顶自由下落时，由于地球自转的影响，着地点将在楼根
东侧约处。这就是落体偏东现象。计算h = 30m时，着地点偏东的距离。（此结果利用了物体下落时“水平”速度不变这一近似处理。实际上物体下落时应该是地球对自转轴的角动量保持不变。利用这一点，并取楼高对地球半
径之比的一级近似，则可得更有为准确的结果。）
证：
（1）楼顶的线速度为楼根的线速度为。二者之差
。
（2）将楼所在处的地面局部视为向东以速度平移，则落体下落时间为
而着地时偏东的距离为
以
代入上式可得
例14地球的自转轴与它绕太阳的轨道平面的垂线间的夹角是23.5o（图5-13）。由于太阳和月亮对地球的引力产生力矩，地球的自转轴绕轨道平面的垂线旋进，旋进一周需时间约26000a。已知地球绕自转轴的转动惯量为
。求地球自旋角动量矢量变化率的大小，即，并求太
阳和月亮对地球的合力矩多大？
解：
太阳和月亮对地球的合力矩的大小为
例15一个内壁光滑的圆环型细管，正绕竖直光滑固定轴OO′自由转动。管是刚性的，环半径为R。一质量为m的小球静止于管内最高点A处，如图5-14所示。由于微小扰动，小球向下滑动，试判决小球在管内下滑过程中，下列三种说法是否正确，并说明理由。
（a）地球、环管与小球系统的机械能不守恒。
（b）小球的动量不守恒。
（c）小球对OO′轴的角动量守恒。
辨析
（a）不正确。对小球、环管、地球系统，外力为零，外力的功当然为零，环管与小球间的正压力N和N′是一对非保守内力。在小球下滑过程中，小球受管壁的压力N（与管壁垂直）始终与小球相对管壁的速度方向（与管壁相切）垂直，所以这一对内力做功之和为零，而且与参考系的选择无关。系统中只有保守内力（重力）做功，系统的机械能守恒。
（b）正确。小球在下滑过程中始终受到管壁的压力和重力，而此二力的方向不同，所以合力不为零，使得小球的动量不断变化。
（c）不正确。小球在下滑过程中受重力和管壁的压力，重力和OO′轴平行，重力的轴向力矩恒为零，但管壁对小球的压力方向不通过OO′轴，对OO′轴有力矩，所以小球对OO′的角动量在变化，角动量不守恒。例如小球在位置A 对OO′轴的角动量为零，在B处小球有垂直于环半径的水平分速度，它对OO′轴的角动量不再是零，到达最低点C时，对OO′轴的角动量又等于零。
运用刚体定轴转动定律解题
转动定律描述刚体定轴转动中的瞬时关系，常常用来求解角加速度，一般步骤为：
1)隔离物体：即明确研究对象。
2)具体分析：分析所选定的定轴刚体的受力情况和运动情况，画出受
力图。
3)选定坐标：在惯性系中建立一维坐标，即在转轴上选择正方向。
4)建立方程：用转动定律列出定轴刚体的运动微分方程
。
5)要特别注意方程中的力矩、转动惯量必须对同一轴而言。还要注意
此方程是标量式，式中各量均为代数量，与所选正方向同向的力矩和角
速度为正，反之为负。
6)求解讨论：求解方程，理解和讨论结果的物理意义。
请注意常常与转动定律相联系的综合性问题：
与刚体定轴转动或质点圆周运动的运动学问题相联系。
刚体定轴转动与质点平动相联系（例如滑轮两边悬挂物体）。处理
方法仍然是隔离法，对定轴刚体用转动定律列方程，对平动质点用牛顿
第二定律列方程，二者之间用角量与线量的关系联系起来，求解方程组。
运用角动量定理或角动量守恒定律解题
因为对定轴转动的刚体，其总动量往往并无实际意义（例如定轴转动滑轮的总动量为零），所以只能用角动量对其整体机械运动量进行量度。在力矩持续作用一段时间的问题中，则用角动量定理取代平动问题中的动量定理。对于平动质点和定轴刚体组成的系统，既可以对于系统整体运用角动量定理，也可以分别对平动质点运用动量定理，对定轴刚体运用角动量定理，再用力矩表达式将二者联系起来。运用角动量定理或角动量守恒定律解题的一般步骤与运用动量定理或动量守恒定律求解平动问题类似，只不过用角量取代相应的线量：
1.选系统：即确定研究对象。
2.建坐标:选取惯性系，确定参考点或转轴。
3.选过程：即选取一定的时间间隔，确定系统的初、末态。对于综合
性问题，可以划分为几个互相衔接的阶段处理。
4.算力矩：画出对所选定的参考点或转轴力矩不为零的外力，无须分析
系统内力和对参考点或转轴力矩为零的外力。
5.列方程：如果不满足角动量守恒条件，运用角动量定理列方程：
对固定点：
对定轴：
如果满足角动量守恒条件，运用角动量守恒定律列方程：
对固定点：
对定轴：
6.求解并讨论：求解方程，理解和讨论结果的物理意义。
请特别注意：
请注意在某一过程中角动量守恒，不仅指该过程始、末状态的角动
量相等，而且要求整个过程中任意两个瞬间系统角动量的大小、方向都不变。所以，角动量守恒条件是系统所受的合外力矩为零，而不是合外力矩的角冲量为零。
请注意方程中的力矩、角动量均应该对同一参考点或转轴而言。在
对固定点的方程中要注意其矢量性，在对定轴的方程中要注意其正、负号。
请特别注意区分系统动量守恒和角动量守恒的条件。例如，区分图
5.4中的两种不同的冲击摆：在图5.4（a）中，m、M系统的动量及对O
的角动量均守恒。而在图5.4（b）中，轴O对系统的约束力不能忽略，但该约束力对O轴的力矩为零，所以，系统所受合外力不为零，系统总动量不守恒；系统所受对O轴的合外力矩为零，对O轴的角动量守恒。
图5.4 两种冲击摆
动量守恒定律·典型例题解析 【例1】 如图52－1所示，在光滑的水平面上，质量为m 1的小球以速度v 1追逐质量为m 2，速度为v 2的小球，追及并发生相碰后速度分别为v 1′和v 2′，将两个小球作为系统，试根据牛顿运动定律推导出动量守恒定律． 解析：在两球相互作用过程中，根据牛顿第二定律，对小球1有：F ＝＝，对有′＝＝．由牛顿第三定律得＝m a m m F m a m F 1112222????v t v t 12 －F ′，所以F ·Δt ＝－F ′·Δt ，m 1Δv 1＝－m 2Δv 2，即m 1( v 1′－v 1)＝－m 2(v 2′－v 2)，整理后得：m 1v 1＋m 2v 2＝m 1v 1′＋ m 2v 2′，这表明以两小球为系统，系统所受的合外力为零时，系统的总动量守恒． 点拨：动量守恒定律和牛顿运动定律是一致的，当系统内受力情况不明，或相互作用力为变力时，用牛顿运动定律求解很繁杂，而动量定理只管发生相互作用前、后的状态，不必过问相互作用的细节，因而避免了直接运用牛顿运动定律解题的困难，使问题简化． 【例2】 把一支枪水平地固定在光滑水平面上的小车上，当枪发射出一颗子弹时，下列说法正确的是 [ ] A ．枪和子弹组成的系统动量守恒 B ．枪和车组成的系统动量守恒 C ．子弹、枪、小车这三者组成的系统动量守恒 D ．子弹的动量变化与枪和车的动量变化相同 解析：正确答案为C 点拨：在发射子弹时，子弹与枪之间，枪与车之间都存在相互作用力，所以将枪和子弹作为系统，或枪和车作为系统，系统所受的合外力均不为零，系统的动量不守恒，当将三者作为系统时，系统所受的合外力为零，系统的动量守恒，这时子弹的动量变化与枪和车的动量变化大小相等，方向相反．可见，系统的动量是否守恒，与系统的选取直接相关． 【例3】 如图52－2所示，设车厢的长度为l ，质量为M ，静止于光滑的水平面上，车厢内有一质量为m 的物体以初速度v 0向右运动，与车厢壁来
一、系统、内力和外力┄┄┄┄┄┄┄┄① 1．系统：相互作用的两个(或多个)物体组成的一个整体。 2．内力：系统内部物体间的相互作用力。 3．外力：系统以外的物体对系统内部的物体的作用力。 [说明] 1．系统是由相互作用、相互关联的多个物体组成的整体。 2．组成系统的各物体之间的力是内力，将系统看作一个整体，系统之外的物体对这个整体的作用力是外力。 ①[填一填]如图，公路上有三辆车发生了追尾事故，如果把前面两辆车看作一个系统，则前面两辆车之间的撞击力是________，最后一辆车对前面两辆车的撞击力是________(均填“内力”或“外力”)。 答案：内力外力 二、动量守恒定律┄┄┄┄┄┄┄┄② 1．内容：如果一个系统不受外力，或者所受外力的矢量和为0，这个系统的总动量保持不变。 2．表达式：对两个物体组成的系统，常写成： p1＋p2＝或m1v1＋m2v2＝。 3．适用条件：系统不受外力或者所受外力的矢量和为0。 4．动量守恒定律的普适性 动量守恒定律是一个独立的实验规律，它适用于目前为止物理学研究的一切领域。 [注意] 1．系统动量是否守恒要看研究的系统是否受外力的作用。
2．动量守恒是系统内各物体动量的矢量和保持不变，而不是系统内各物体的动量不变。 ②[判一判] 1．一个系统初、末状态动量大小相等，即动量守恒(×) 2．两个做匀速直线运动的物体发生碰撞，两个物体组成的系统动量守恒(√) 3．系统动量守恒也就是系统的动量变化量为零(√) 1.对动量守恒定律条件的理解 (1)系统不受外力作用，这是一种理想化的情形，如宇宙中两星球的碰撞，微观粒子间的碰撞都可视为这种情形。 (2)系统受外力作用，但所受合外力为零。像光滑水平面上两物体的碰撞就是这种情形。 (3)系统受外力作用，但当系统所受的外力远远小于系统内各物体间的内力时，系统的总动量近似守恒。例如，抛出去的手榴弹在空中爆炸的瞬间，弹片所受火药爆炸时的内力远大于其重力，重力可以忽略不计，系统的动量近似守恒。 (4)系统受外力作用，所受的合外力不为零，但在某一方向上合外力为零，则系统在该方向上动量守恒。 2．关于内力和外力的两点提醒 (1)系统内物体间的相互作用力称为内力，内力会改变系统内单个物体的动量，但不会改变系统的总动量。 (2)系统的动量是否守恒，与系统的选取有关。分析问题时，要注意分清研究的系统，系统的内力和外力，这是正确判断系统动量是否守恒的关键。 [典型例题] 例 1.[多选]如图所示，光滑水平面上两小车中间夹一压缩了的轻弹簧，两手分别按住小车，使它们静止，对两车及弹簧组成的系统，下列说法中正确的是() A．两手同时放开后，系统总动量始终为零
07角动量守恒定律 一、选择题 1.刚体角动量守恒的充分必要条件是 [ B ] (A) 刚体不受外力矩的作用. (B) 刚体所受合外力矩为零. (C) 刚体所受的合外力和合外力矩均为零. (D) 刚体的转动惯量和角速度均保持不变 2.有一半径为R 的水平圆转台,可绕通过其中心的竖直固定光滑轴转动, 转动惯量为J , 开始时转台以匀角速度ω 0转动,此时有一质量为m 的人站在转台中心,随后人沿半径向外跑去,当人到达转台边缘时, 转台的角速度为 [ A ] (A) J ω 0/(J +mR 2 ) . (B) J ω 0/[(J +m )R 2]. (C) J ω 0/(mR 2) . (D) ω 0. 3.如图7.1所示,一静止的均匀细棒,长为L 、质量为M , 可绕通过棒的端点且垂直于棒长的光滑固定轴O 在水平面内转动, 转动惯量为ML 2/3.一质量为m 、速率为v 的子弹在水平面内沿与棒垂直的方向射入并穿出棒的自由端,设穿过棒后子弹的速率为v /2,则此时棒 的角速度应为 [ B ] (A) mv/(ML ) . (B) 3mv/(2ML ). (C) 5mv/(3ML ). (D) 7mv/(4ML ). 二、填空题 1. 在XOY 平面内的三个质点,质量分别为m 1 = 1kg, m 2 = 2kg,和 m 3 = 3kg,位置坐标(以米为单位)分别为m 1 (－3,－2)、m 2 (－2,1)和m 3 (1,2),则这三个质点构成的质点组对Z 轴的转动惯量I z = 238m kg ?. 2.质量均为70kg 的两滑冰运动员，以6.5s m /等速反向滑行，滑行路线的垂直距离为10m 。当彼此交错时，各抓住10m 长绳子的两端，然后相对旋转。则各自对中心的角动量=L 122275-??s m kg ，当各自收绳到绳长为5m 时，各自速率为=v s m /13。 3.一飞轮以角速度ω 0绕轴旋转, 飞轮对轴的转动惯量为J 1;另一静止飞轮突然被同轴地啮合到转动的飞轮上,该飞轮对轴的转动惯量为前者的二倍,啮合后整个 系统的角速度ω =03 1 ω. v /2 图7.1
动量定理与动量守恒定律·典型例题解析 【例1】 在光滑的水平面上有一质量为2m 的盒子，盒子中间有一质量为m 的物体，如图55－1所示．物体与盒底间的动摩擦因数为μ现给物体以水平速度v 0向右运动，当它刚好与盒子右壁相碰时，速度减为 v 02 ，物体与盒子右壁相碰后即粘在右壁上，求： (1)物体在盒内滑行的时间； (2)物体与盒子右壁相碰过程中对盒子的冲量． 解析：(1)对物体在盒内滑行的时间内应用动量定理得：－μmgt ＝ m mv t 0·－，＝v v g 0022 (2)物体与盒子右壁相碰前及相碰过程中系统的总动量都守恒，设碰 撞前瞬时盒子的速度为，则：＝＋＝＋．解得＝，＝．所以碰撞过程中物体给盒子的冲量由动量定理得＝－＝，方向向右． v mv m v 22mv (m 2m)v v v I 2mv 2mv mv /61001212210v v 0043 点拨：分清不同的物理过程所遵循的相应物理规律是解题的关键． 【例2】 如图55－2所示，质量均为M 的小车A 、B ，B 车上 挂有质量为的金属球，球相对车静止，若两车以相等的速率M 4 C C B 1.8m/s 在光滑的水平面上相向运动，相碰后连在一起，则碰撞刚结束时小车的速度多大？C 球摆到最高点时C 球的速度多大？ 解析：两车相碰过程由于作用时间很短，C 球没有参与两车在水平方向的相互作用．对两车组成的系统，由动量守恒定律得(以向左为正)：Mv －Mv ＝
2Mv 1两车相碰后速度v 1＝0，这时C 球的速度仍为v ，向左，接着C 球向左上方摆动与两车发生相互作用，到达最高点时和两车 具有共同的速度，对和两车组成的系统，水平方向动量守恒，＝＋＋，解得＝＝，方向向左．v C v (M M )v v v 0.2m /s 222M M 4419 点拨：两车相碰的过程，由于作用时间很短，可认为各物都没有发生位移，因而C 球的悬线不偏离竖直方向，不可能跟B 车发生水平方向的相互作用．在C 球上摆的过程中，作用时间较长，悬线偏离竖直方向，与两车发生相互作用使两车在水平方向的动量改变，这时只有将C 球和两车作为系统，水平方向的总动量才守恒． 【例3】 如图55－3所示，质量为m 的人站在质量为M 的小车的右端，处于静止状态．已知车的长度为L ，则当人走到小车的左端时，小车将沿光滑的水平面向右移动多少距离？ 点拨：将人和车作为系统，动量守恒，设车向右移动的距离为s ，则人向左移动的距离为L －s ，取向右为正方向，根据动量守恒定律可得M ·s －m(L －s)＝0，从而可解得s ．注意在用位移表示动量守恒时，各位移都是相对地面的，并在选定正方向后位移有正、负之分． 参考答案 例例跟踪反馈．．．；；．×·3 m M +m L 4 M +m M H [] 1 C 2h 300v 49.110N s 04M m M 【例4】 如图55－4所示，气球的质量为M 离地的高度为H ，在气球下方有一质量为m 的人拉住系在气球上不计质量的软绳，人和气球恰悬浮在空中处于静止状态，现人沿软绳下滑到达地面时软绳的下端恰离开地面，求软绳的长度．
高中物理动量守恒定律基础练习题及解析 一、高考物理精讲专题动量守恒定律 1．如图所示，小明站在静止在光滑水平面上的小车上用力向右推静止的木箱，木箱最终以速度v 向右匀速运动．已知木箱的质量为m ，人与车的总质量为2m ，木箱运动一段时间后与竖直墙壁发生无机械能损失的碰撞，反弹回来后被小明接住．求： (1)推出木箱后小明和小车一起运动的速度v 1的大小； (2)小明接住木箱后三者一起运动的速度v 2的大小． 【答案】①2v ；②23 v 【解析】 试题分析：①取向左为正方向，由动量守恒定律有：0=2mv 1-mv 得12v v = ②小明接木箱的过程中动量守恒，有mv+2mv 1=（m+2m ）v 2 解得223 v v = 考点：动量守恒定律 2．如图所示，质量为M =2kg 的小车静止在光滑的水平地面上，其AB 部分为半径R =0.3m 的光滑 1 4 圆孤，BC 部分水平粗糙，BC 长为L =0.6m 。一可看做质点的小物块从A 点由静止释放，滑到C 点刚好相对小车停止。已知小物块质量m =1kg ，取g =10m/s 2。求： （1）小物块与小车BC 部分间的动摩擦因数； （2）小物块从A 滑到C 的过程中，小车获得的最大速度。 【答案】（1）0.5（2）1m/s 【解析】 【详解】 解：(1) 小物块滑到C 点的过程中，系统水平方向动量守恒则有：()0M m v += 所以滑到C 点时小物块与小车速度都为0 由能量守恒得： mgR mgL μ= 解得：0.5R L μ= =
(2)小物块滑到B 位置时速度最大，设为1v ，此时小车获得的速度也最大，设为2v 由动量守恒得 ：12mv Mv = 由能量守恒得 ：221211 22 mgR mv Mv =+ 联立解得： 21/ v m s = 3．两个质量分别为0.3A m kg =、0.1B m kg =的小滑块A 、B 和一根轻质短弹簧，弹簧的一端与小滑块A 粘连，另一端与小滑块B 接触而不粘连.现使小滑块A 和B 之间夹着被压缩的轻质弹簧，处于锁定状态，一起以速度03/v m s =在水平面上做匀速直线运动，如题8图所示.一段时间后，突然解除锁定（解除锁定没有机械能损失），两滑块仍沿水平面做直线运动，两滑块在水平面分离后，小滑块B 冲上斜面的高度为 1.5h m =.斜面倾角 o 37θ=，小滑块与斜面间的动摩擦因数为0.15μ=，水平面与斜面圆滑连接.重力加速度g 取210/m s .求：（提示：o sin 370.6=，o cos370.8=） （1）A 、B 滑块分离时，B 滑块的速度大小. （2）解除锁定前弹簧的弹性势能. 【答案】（1）6/B v m s = （2）0.6P E J = 【解析】 试题分析：（1）设分离时A 、B 的速度分别为A v 、B v ， 小滑块B 冲上斜面轨道过程中，由动能定理有：2 cos 1sin 2 B B B B m gh m gh m v θμθ+?= ① （3分） 代入已知数据解得：6/B v m s = ② （2分） （2）由动量守恒定律得：0()A B A A B B m m v m v m v +=+ ③ （3分） 解得：2/A v m s = （2分） 由能量守恒得： 222 0111()222 A B P A A B B m m v E m v m v ++=+ ④ （4分） 解得：0.6P E J = ⑤ （2分） 考点：本题考查了动能定理、动量守恒定律、能量守恒定律. 4．如图所示，光滑水平面上有两辆车，甲车上面有发射装置，甲车连同发射装置质量M 1＝1 kg ，车上另有一个质量为m ＝0.2 kg 的小球，甲车静止在水平面上，乙车以v 0＝8 m/s
目录 摘要 (1) Abstract (1) 1 引言 (1) 2 惯性系中质点系角动量定理 (1) 2.1惯性系中角动量定理的推导 (1) 2.2在惯性系中角动量表达式的一点讨论 (2) 2.3惯性系中质点对轴的角动量定理 (3) 2.4刚体定轴转动时对转轴的角动量 (3) 3 非惯性系中的角动量定理 (4) 4 应用 (5) 4.1质点系质心系的角动量定理在刚体定轴转动中的应用 (5) 4.2刚体做定轴转动时对轴上任一点的角动量定理和应用 (5) 5 结论 (6) 参考文献 (7)
对质点系角动量定理的讨论 摘 要：通过对质点系角动量定理推导以及讨论其在具，体问题中的应用，并且结合其在惯性系、非惯性系以及质心系的情况下的公式和它们之间的联系，明确了解了角动量定理在解决力学相关问题的重要性，从而为解决相关力学问题提供帮助。 关键词：质点系；角动量；参考点；轴；质心 Discussion on the Theorem of Angular Momentum of Particle Abstract : Through to discuss of the particle system and angular moment theorem andits specific problems, and to combinate with the application in the inertial system, noninertial system under the conditions of the heart and the quality of the formula and the relationship between them, we understanded the angular momentum in solving problems which related to the mechanical theorems and its importance clearly , and proved a lot of help to solve the related mechanical problems. Key W ords : Particle; Angular momentum; Reference points; Axis; centroid. 1引言 角动量定理在质点系中的应用在力学相关问题中非常重要，本论文主要是通过上学期对质点系角动量在惯。性系，非惯性系，以及质心系内的研究与讨论，总结出的一些公式和规律，为掌握解决问题方法提供方便。 2惯性系中质点系角动量定理 2.1惯性系中角动量定理的推导 质点系内各质点对参考点O 的角动量的矢量和看作质点系对O 点的角动量，设由n 个质点组成的质点系，在惯性参考系中，各质点的速度分别用1v ，2v ……i v …n v 表示，相对于参考点O 的位置矢量分别为1r ，2r ……i r …n r ，质量分别为1m ， 2m ……i m ……n m 将质点系的角动量记作L 。则
第3单元 角动量守恒定律 序号 学号 姓名 专业、班级 一 选择题 [ A ]1．已知地球的质量为m ，太阳的质量为M ，地心与日心的距离为R ，引力常数为G ，则地球绕太阳作圆周运动的角动量为 (A) GMR m (B) R GMm (C) R G Mm (D) R GMm 2 [ C ]2． 关于刚体对轴的转动惯量，下列说法中正确的是 (A) 只取决于刚体的质量，与质量的空间分布和轴的位置无关。 (B) 取决于刚体的质量和质量的空间分布，与轴的位置无关。 (C) 取决于刚体的质量、质量的空间分布和轴的位置 (D) 只取决于转轴的位置、与刚体的质量和质量的空间分布无关。 [ E ]3. 如图所示，有一个小块物体，置于一个光滑的水平桌面上，有一绳其一端连结此物体，另一端穿过桌面中心的小孔，该物体原以角速度ω在距孔为R 的圆周上转动，今将 绳从小孔缓慢往下拉，则物体 动能不变，动量改变。 动量不变，动能改变。 角动量不变，动量不变。 角动量改变，动量改变。 角动量不变，动能、动量都改变。 [ A ]4．均匀细棒OA 可绕通过其一端O 而与棒垂直的水平固定光滑轴转动，如图所示。今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆动到竖直位置的过程中，下述说法哪一种是正 确的? (A) 角速度从小到大，角加速度从大到小 ; (B) 角速度从小到大，角加速度从小到大 ; (C) 角速度从大到小，角加速度从大到小 ; (D) 角速度从大到小，角加速度从小到大 。 [ B ]5．两个均质圆盘A 和B 密度分别为A ρ和B ρ，若A ρ>B ρ，但两圆盘质量与厚度相
同，如两盘对通过盘心垂直于盘面轴的转动惯量各为A J 和B J ，则 (A) A J >B J (B) B J >A J (C) A J ＝B J (D) A J 、B J 哪个大，不能确定 [ A ]6．有两个力作用在一个有固定转轴的刚体上： (1) 这两个力都平行于轴作用时，它们对轴的合力矩一定是零； (2) 这两个力都垂直于轴作用时，它们对轴的合力矩一定是零； (3) 当这两个力的合力为零时，它们对轴的合力矩也一定是零； (4) 当这两个力对轴的合力矩为零时，它们的合力也一定是零。 在上述说法中： (A) 只有(1)是正确的。 (B) (1)、(2)正确，(3)、(4)错误。 (C) (1)、(2)、(3)都正确，(4)错误。 (D) (1)、(2)、(3)、(4)都正确。 [ C ]7．一圆盘正绕垂直于盘面的水平光滑固定轴O 转动，如图射来两个质量相同、速度大小相同，方向相反并在一条直线上的子弹，子弹射入圆盘并且留在盘内，则子弹射入后的瞬间，圆盘的角速度ω (A) 增大 (B) 不变 (C) 减小 (D) 不能确定 二 填空题 1.质量为m 的质点以速度 v 沿一直线运动，则它对直线上任一点的角动量为 ___0_ 。 2.飞轮作匀减速转动，在5s 内角速度由40πrad·s 1 -减到10πrad·s 1 -，则飞轮在这5s 内总共转过了___62.5_____圈，飞轮再经_______1.67S_____ 的时间才能停止转动。 3． 一长为l 、质量可以忽略的直杆，两端分别固定有质量为2m 和m 的小球，杆可绕通过其中心O 且与杆垂直的水平光滑固定轴在铅直平面内转动。 开始杆与水平方向成某一角度θ，处于静止状态，如图所示。释放后，杆绕O 轴转动，则当杆转到水平位置时，该系统所受的合外力矩的大小M = mgl 21 ，此时该系统角加速度的大小β= l g 32 。 4．可绕水平轴转动的飞轮，直径为1.0m ，一条绳子绕在飞轮的外周边缘上，如果从静 止开始作匀角加速运动且在4s 内绳被展开10m ，则飞轮的角加速度为2 /5.2s rad 。 ５．决定刚体转动惯量的因素是 ___刚体的质量____ __；__刚体的质量分布____
第四节 角动量守恒定律 一、角动量 1. 质点对定点的角动量 （1）v m r p r L ?=?= (力矩：F r M ?=) （2）说明：r 指质点相对于固定点O 的位置矢量；指质点的动量；v 指质点的速度 （3）大小：=L αsin rmv ， （4）方向：（右手法则）v r ?向 （5）单位：12-s kgm （6）量纲：12-T ML 2. 刚体对定轴的角动量 （将刚体分解为质点组）∑∑=???==????=???=ωI w r m L L w r m v r m L i i i oz i i i i i i 22 ω I L = 此式对质点也适用 3. 角动量定理： （1） 公式：dt dL dt I d dt d I I M ====)(ωωβ 或dL dt M =? （2）文字表述：刚体对某一给定转轴或点的角动量对时间的变化率等于刚体所受到的对同一转轴或点的和外力矩的大小。 （3）说明：dt M ?称冲量矩，表示力矩的时间积累效果，单位：牛·米·秒 若何外力矩M=0,则L=IW=恒量 4. 转动定律的普遍形式 dt dI dt d I dt L d M ωω +== 二、角动量守恒 1、角动量守恒的条件：质点所受相对于参考点的力矩的矢量和等于零；在有心 力作用下，质点相对于力心的角动量守恒。 2、应用：
例1：花样滑冰运动员的“旋”动作，当运动员旋转时伸臂时转动惯量较大，转速较慢；收臂时转动惯量减小，转速加快；再如：跳水运动员的“团身--展体”动作，当运动员跳水时团身，转动惯量较小，转速较快；在入水前展体，转动惯量增大，转速降低，垂直入水。 3、习题： 1．质点做直线运动时，其角动量( )（填一定或不一定）为零。 答案: 不一定 2．一质点做直线运动，在直线外任选一点O为参考点，若该质点做匀速直线运动，则它相对于点O的角动量( )常量；若该质点做匀加速直线运动，则它相对于点O的角动量( )常量，角动量的变化率( )常量。（三空均填是或不是）答案: 是; 不是; 是。 3．一质点做匀速圆周运动，在运动过程中，质点的动量( )，质点相对于圆心的角动量( )。（两空均填守恒或不守恒） 答案：不守恒；守恒。 4．一颗人造地球卫星的近地点高度为h 1 ,速率为υ 1 ，远地点高度为h 2, 已知地 球半径为R.求卫星在远地点时的速率υ 2.. 解：因为卫星所受地球引力的作用线通过地球中心，所以卫星对地球中心的角动量守恒。 根据角动量守恒定律得 r 1 mυ 1 = r 2 mυ 2 且r 1=R+ h 1 r 2 =R+ h 2 解得υ 2 =（R+ h 1 /R+ h 2 ）υ 1
目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Key Words (1) 引言 (1) 1惯性系中质点系角动量定理 (1) 1.1惯性系中角动量定理的推导 (1) 1.2在惯性系中角动量表达式的一点讨论 (2) 1.3惯性系中质点对轴的角动量定理 (3) 1.4刚体定轴转动时对转轴的角动量 (4) 2非惯性系中的角动量定理 (5) 3应用 (6) 3.1质点系质心系的角动量定理在刚体定轴转动中的应用 (6) 3.2刚体做定轴转动时对轴上任一点的角动量定理和应用 (7) 结束语： (8) 参考文献： (8)
对质点系角动量定理的讨论 姓名：杜晨阳 学号：20095040038 单位：物理电子工程学院 专业：物理学 指导老师：贾老师 职称：副教授 摘 要：通过对质点系角动量定理推导以及讨论其在具体问题中的应用，并且结合其在惯性系、非惯性系以及质心系的情况下的公式和它们之间的联系，明确了解了角动量定理在解决力学相关问题的重要性，从而为解决相关力学问题提供帮助。 关键词：质点系；角动量；参考点；轴；质心 To express theorem of angular momentu Abstract: Through to discusse of the particle system and angular momenttheorem andits specific problems, and to combinate with the application in the inertial system, noninertial system under the conditions of the heart and the quality of the formula and the relationship between them,we understanded the angular momentum in solving problems which related to the mechanical theorems and its importance clearly,and proved a lot of help to solve the related mechanical problems. Key Words : Particle, Angular momentum, Reference points, Axis, centroid. 引言 角动量定理在质点系中的应用在力学相关问题中非常重要，本论文主要是通过上学期对质点系角动量在惯性系，非惯性系，以及质心系内的研究与讨论，总结出的一些公式和规律，为掌握解决问题方法提供方便。 1惯性系中质点系角动量定理 1.1惯性系中角动量定理的推导 质点系内各质点对参考点O 的角动量的矢量和看作质点系对O 点的角动量，设 由n 个质点组成的质点系，在惯性参考系中，各质点的速度分别用1v ，2v ……i v …n v
第5.2节 质点系的角动量定理及角动量守恒定律 5.2.1离心调速器模型如图所示．由转轴上方向下看，质量为m 的小球在水平面内绕AB 逆时针作匀速圆周运动，当角速度为ω时，杆张开α角．杆长为l ．杆与转轴在B 点相交．求(1)作用在小球上的各力对A 点、B 点及AB 轴的力矩．(2)小球在图示位置对A 点、B 点及AB 轴的角动量．杆质量不计 解：（本题中A 点的位置不明确，A 点应与两小球同 高度） 以A 点为坐标原点建立坐标系，x 轴向右，y 轴向上，z 轴垂直于纸面向外。 左侧小球： 受力：j mg W ?-= ，)?cos ?(sin j i T T αα+= 位失：相对于A 点：i l r A ?sin α-= 相对于B 点：T T l j i l r B -=+-=)?cos ?(sin αα 速度：小球绕y 轴作匀速圆周运动，速率为：αωωsin l r v == 在图中所示位置：k l k v v ?sin ?αω== 重力矩： ?)?(?)?(?sin )?()?cos ?(sin ?sin )?()?sin (=?=?==-?+-=?==-?-=?=j j j j k mgl j mg j i l W r k mgl j mg i l W r B A AB B B A A ττταααταατ 拉力T 的力矩： 0?)?(?)?(0 ?2sin ?cos sin )?cos ?(sin )?sin (2 1=?=?==?-=?=-=-=+?-=?=j j j j T T T l T r k lT k lT j i T i l T r B A AB B B A A τττταααααατ 角动量： j m l j j L j j L L m l m l L j i m l k m l j i l v m r L j m l k m l i l v m r L B A AB B B B A A ?sin ?)?(?)?(sin sin sin cos ||) ?sin ?sin cos (?sin )?cos ?(sin ?sin ?sin )?sin (222 42222222αωαωαααωαααωαωαααωαωα=?=?==+=+-=?+-=?==?-=?=
《大学物理》作业 No.4 角动量守恒定律 一、选择题 1.已知地球的质量为m，太阳的质量为M，地心与日心的距离为R，引力常数为G，则地球绕太阳作圆周运动的角动量为 [ ](A) (B) (C) (D) 2.均匀细棒OA可绕通过其一端O而与棒垂直的水平固定光滑轴转动，如图所示。今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆动到竖直位置的过程中，下述说法哪一种是正确的? [ ](A) 角速度从小到大，角加速度从大到小 ; (B) 角速度从小到大，角加速度从小到大 ; (C) 角速度从大到小，角加速度从大到小 ; (D) 角速度从大到小，角加速度从小到大。 3. 两个均质圆盘A和B密度分别为和，若>，但两圆盘质量与厚度相同，如两盘对通过盘心垂直于盘面轴的转动惯量各为和，则 [ ](A) > (B) > (C) ＝ (D) 、哪个大，不能确定 4.有两个力作用在一个有固定转轴的刚体上： (1) 这两个力都平行于轴作用时，它们对轴的合力矩一定是零； (2) 这两个力都垂直于轴作用时，它们对轴的合力矩可能是零； (3) 当这两个力的合力为零时，它们对轴的合力矩也一定是零； (4) 当这两个力对轴的合力矩为零时，它们的合力也一定是零。 在上述说法中： [ ](A) 只有(1)是正确的。 (B) (1)、(2)正确，(3)、(4)错误。 (C) (1)、(2)、(3)都正确，(4)错误。 (D) (1)、(2)、(3)、(4)都正确。 5.关于力矩有以下几种说法： (1) 对某个定轴而言，内力矩不会改变刚体的角动量。 (2) 作用力和反作用力对同一轴的力矩之和必为零。 (3) 质量相等、形状和大小不同的两个物体，在相同力矩的作用下，它 们的角加速度一定相等。 在上述说法中，
角动量定理及角动量守恒定律 一、力对点的力矩： 如图所示，定义力F 对O 点的力矩为： F r M ?= 大小为： θsin Fr M ＝ 力矩的方向：力矩是矢量，其方向可用右手螺旋法则来判断：把右手拇指伸直，其余四指弯曲，弯曲的方向由矢径通过小于1800的角度转向力的方向时，拇指指向的方向就是力矩的方向。 二、力对转轴的力矩： 力对O 点的力矩在通过O 点的轴上的投影称为力对转轴的力矩。 1）力与轴平行，则0=M ； 2）刚体所受的外力F 在垂直于转轴的平面内，转轴和力的作用线之 间的距离d 称为力对转轴的力臂。力的大小与力臂的乘积，称为力F 对 转轴的力矩，用M 表示。力矩的大小为： Fd M ＝ 或： θsin Fr M ＝ 其中θ是F 与r 的夹角。 3）若力F 不在垂直与转轴的平面内，则可把该力分解为两个力，一 个与转轴平行的分力1F ，一个在垂直与转轴平面内的分力2F ，只有分力2F 才对刚体的转动状态有影响。 对于定轴转动，力矩M 的方向只有两个，沿转轴方向或沿转轴方向反方向，可以化为标量形式，用正负表示其方向。 三、合力矩对于每个分力的力矩之和。 合力 ∑=i F F 合外力矩 ∑∑∑=?=?=?i i i M F r F r F r M ＝ 即 ∑i M M ＝ 四、质点的角动量定理及角动量守恒定律 在讨论质点运动时，我们用动量来描述机械运动的状态，并讨论了在机械运动过程中所遵循的动量守恒定律。同样，在讨论质点相对于空间某一定点的运动时，我们也可以用角动量来描述物体的运动状态。角动量是一个很重要的概念，在转动问题中，它所起的作用和(线)动量所起的作用相类似。 在研究力对质点作用时，考虑力对时间的累积作用引出动量定理，从而得到动量守恒定律；考虑力对空间的累积作用时，引出动能定理，从而得到机械能守恒定律和能量守恒定律。至于力矩对时间的累积作用，可得出角动量定理和角动量守恒定律；而力矩对空间的累积作用，则可得出刚体的转动动能定理，这是下一节的内容。本节主要讨论的是绕定轴转动的刚体的角动量定理和角动量守恒定律，在这之前先讨论质点对给定点的角动量定理和角动量守恒定律。 下面将从力矩对时间的累积作用，引入的角动量的概念，讨论质点和刚体的角动量和角动量守恒定律。 1．质点的角动量（Angular Momentum ）——描述转动特征的物理量 1）概念 一质量为m 的质点，以速度v 运动，相对于坐标原点O 的位置矢量
第五节-角动量角动量 守恒定理
第五章角动量角动量守恒定理 本章结构框图 学习指导 本章概念和内容是中学没有接触过的，是大学物理教学的重点和难点。许多同学容易将平动问题与转动问题中的概念和规律混淆，例如两种冲击摆问题。建议采用类比方法，对质量与转动惯量、动量与角动量、力与力矩、冲量与角冲量、平动动能和转动动能、运动学的线量和角量、动量定理和角动量定理、动量守恒和角动量守恒……一一加以比较。本章的重点是刚体定轴转动问题，注意定轴条件下，各种规律都应该用标量式表示。还请注意动量守恒在天体问题、粒子问题中的应用。 基本要求 1.理解质点、质点系、定轴刚体的角动量概念。 2.理解定轴刚体的转动惯量概念，会进行简单计算。 3.理解力矩的物理意义, 会进行简单计算。
4.掌握刚体定轴转动定律，熟练进行有关计算。 5.理解角冲量（冲量矩）概念，掌握质点、质点系、定轴刚体的角动量定 理，熟练进行有关计算。 6.掌握角动量守恒的条件，熟练应用角动量守恒定律求解有关问题。 内容提要 1.基本概念 刚体对定轴的转动惯量：是描述刚体绕定轴转动时，其转动惯性大小的物理量。定义为刚体上每个质元（质点、线元、面元、体积元）的质量与该质元到转轴距离平方之积的总和。即： I的大小与刚体总质量、质量分布及转轴位置有关。 质点、质点系、定轴刚体的角动量：角动量也称动量矩，它量度物体的转动运动量，描述物体绕参考点（轴）旋转倾向的强弱。表5.1对质点、质点系、定轴刚体的角动量进行了比较。 表5.1质点、质点系和定轴刚体的角动量
力矩：力的作用点对参考点的位矢与力的矢积叫做力对该参考点的力矩（图5.1）： 即： 大小：（力×力臂）方向：垂直于决定的平面，其指向由右手定则确定。
角动量守恒定理及其应用
角动量守恒定理及其应用 摘要:角动量这一概念是经典物理学里面的重要组成部分，角动量的研究主要是对于物体的转动方面，并且可以延伸到量子力学以、原子物理及天体物理等方面。角动量这一概念范畴系统的介绍的力矩、角速度、角加速度的概念，并且统筹的联系到质点系、质心系、对称性等概念。 关键词:角动量；力矩；角动量守恒；矢量；转动；应用 Angular momentum conservation theorems and their application Abstract:Angular momentum to the concept of classical physics there is an important component of angular momentum of research mainly for the rotation, and may extend to the quantum mechanics and physical and in the astrophysical. angular momentum in the categorical system of the present moment, the angular velocity, the concepts of angular acceleration and co-ordination of the particle, the quality of heart, symmetry, and concepts. Key words:Angular momentum;Torque; Conservation of angular momentum; Vector; Turn; application. 引言 在研究物体运动时,人们经常可以遇到质点或质点系绕某一定点或轴线运动的 情况。例如太阳系中行星绕太阳的公转、月球绕地球的运转、物体绕某一定轴的转动等,在这类运动中,运动物体速度的大小和方向都在不断变化,因而其动量也在不 断变化。在行星绕日运动中,行星受指向太阳的向心力作用,其运动满足角动量守恒。我们很难用动量和动量守恒定律揭示这类运动的规律,但是引入角动量和角动量守 恒定律后,则可较为简单地描述这类运动。 角动量可从另一侧面反映物体运动的规律。事实上,角动量不但能描述宏观物体的运动,而且在近代物理理论中,角动量对于表征状态也必不可少。角动量守恒定律在经典物理学、运动生物学、航空航天技术等领域中的应用非常广泛。角动量在20
免费学习资料及资源网 木木家园（https://www.doczj.com/doc/3f11066840.html, ） 大学生综合资料网 第三章 角动量守恒定律 序号 学号 姓名 专业、班级 一 选择题 [ C ]1． 关于刚体对轴的转动惯量，下列说法中正确的是 (A) 只取决于刚体的质量，与质量的空间分布和轴的位置无关。 (B) 取决于刚体的质量和质量的空间分布，与轴的位置无关。 (C) 取决于刚体的质量、质量的空间分布和轴的位置 (D) 只取决于转轴的位置、与刚体的质量和质量的空间分布无关。 [ B ]２．均匀细棒OA 可绕通过其一端O 而与棒垂直的水平固定光滑轴转动，如图所示。今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆动到竖直位置的过程中，下述说法哪一种是正确的? (A) 角速度从小到大，角加速度从大到小 ; (B) 角速度从小到大，角加速度从小到大 ; (C) 角速度从大到小，角加速度从大到小 ; (D) 角速度从大到小，角加速度从小到大 。 [ B ]３．两个均质圆盘A 和B 密度分别为A ρ和B ρ，若A ρ>B ρ，但两圆盘质量与厚度相同，如两盘对通过盘心垂直于盘面轴的转动惯量各为A J 和B J ，则 (A) A J >B J (B) B J >A J (C) A J ＝B J (D) A J 、B J 哪个大，不能确定 [ A ]４．有两个力作用在一个有固定转轴的刚体上： (1) 这两个力都平行于轴作用时，它们对轴的合力矩一定是零； (2) 这两个力都垂直于轴作用时，它们对轴的合力矩一定是零； (3) 当这两个力的合力为零时，它们对轴的合力矩也一定是零； (4) 当这两个力对轴的合力矩为零时，它们的合力也一定是零。 在上述说法中： (A) 只有(1)是正确的。 (B) (1)、(2)正确，(3)、(4)错误。 (C) (1)、(2)、(3)都正确，(4)错误。 (D) (1)、(2)、(3)、(4)都正确。 [ A ]5．关于力矩有以下几种说法： (1) 对某个定轴而言，刚体的角动量的改变与内力矩有关。 (2) 作用力和反作用力对同一轴的力矩之和必为零。 (3) 质量相等、形状和大小不同的两个物体，在相同力矩的作用下，它们的角加速度一定相等。 在上述说法中， (A) 只有(2)是正确的； (B) (1)、(2)是正确的； (C) (2)、(3)是正确的； (D) (1)、(2)、(3)都是正确的。 [ C ]6．一圆盘正绕垂直于盘面的水平光滑固定轴O 转动，如图射来两个质量相同、速度大小相同，方向相反并在一条直线上的子弹，子弹射入圆盘并且留在盘内，则子弹射入后的瞬间，圆盘的角速度ω (A) 增大 (B) 不变 (C) 减小 (D) 不能确定 [ E ]7. 如图所示，有一个小块物体，置于一个光滑的水平桌面上，有一绳其一端连结此物体，另一端穿过桌面中心的小孔，该物体原以角速度 ω在距孔为R 的圆周上转动，今将绳从小孔缓慢往下拉，则物体 (A) 动能不变，动量改变。 (B) 动量不变，动能改变。 (C) 角动量不变，动量不变。 (D) 角动量改变，动量改变。 (E) 角动量不变，动能、动量都改变。 [ A ]8．已知地球的质量为m ，太阳的质量为M ，地心与日心的距离为R ，引力常数为G ，则地球绕太阳作圆周运动的角动量为 (A) GMR m (B) R GMm (C) R G Mm (D) R GMm 2 二 填空题 1.质量为m 的质点以速度 v 沿一直线运动，则它对直线上任一点的角动量为 ___0_。 2.飞轮作匀减速转动，在5s 内角速度由40πrad·s 1 -减到10πrad·s 1 -，则飞轮在这5s 内总共 转过了___62.5_____圈，飞轮再经_______1.67S_____的时间才能停止转动。 3． 一长为l 、质量可以忽略的直杆，两端分别固定有质量为2 m 和m 的小球，杆可绕通过其中心
第六章角动量 内容： §6－1 力矩（4课时） §6－2 质点的角动量定理及角动量守恒定律（4课时） 要求： １.熟练掌握力对点的力矩。 ２.理解对点的角动量定理及角动量守恒定律。 重点与难点： 角动量守恒定律。 作业： P219 1，2，3，4， P220 5，6，，
第六章 角动量 §6－1 力矩 一、力对点的力矩： 如图所示，定义力F 对O 点的力矩为： F r M ?= 大小为： θs i n Fr M ＝ 力矩的方向：力矩是矢量，其方向可用右手螺旋 法则来判断：把右手拇指伸直，其余四指弯曲，弯曲 的方向由矢径通过小于1800的角度转向力的方向 时，拇指指向的方向就是力矩的方向。 二、力对转轴的力矩： 力对O 点的力矩在通过O 点的轴上的投影称为力对转轴的力矩。 1）力与轴平行，则0=M ； 2）刚体所受的外力F 在垂直于转轴的平面内，转轴和力的作用线之间的距离d 称为力对转轴的力臂。力的大小与力臂的乘积，称为力F 对转轴的力矩，用M 表示。力矩的大小为： Fd M ＝ 或： θs i n Fr M ＝ 其中θ是F 与r 的夹角。 3）若力F 不在垂直与转轴的平面内，则可把该力分解为两个力，一个与转轴平行的分力1F ，一个在垂直与转轴平面内的分力2F ，只有分力2F 才对刚体的转动状态有影响。 对于定轴转动，力矩M 的方向只有两个，沿转轴方向或沿转轴方 向反方向，可以化为标量形式，用正负表示其方向。 三、合力矩对于每个分力的力矩之和。 合力 ∑=i F F 合外力矩 ∑∑∑=?=?=?i i i M F r F r F r M ＝ 即 ∑i M M ＝ 四、单位： m N ? 注意：力矩的单位和功的单位不是一回事，力矩的单位不能写成焦耳。 （1）与转动垂直但通过转轴的力对转动不产生力矩； （2）与转轴平行的力对转轴不产生力矩；