3．在同一坐标系中（水平方向是 x 轴），函数 y= 和 y=kx +3 的图象大致是（ ） 重庆市梁平县九年级（下）期中模拟试卷
一．选择题（共 10 小题，满分 30 分）
1．若（m ﹣2）x |m |+mx ﹣1=0 是关于 x 的一元二次方程，则（ ）
A ．m=±2
B ．m=2
C ．m=﹣2
D ．m ≠±2
2．如图，四个几何体分别为长方体、圆柱体、球体和三棱柱，这四个几何体中有三个的某一种视图都是同一种几何图形，则另一个几何体是（ ）
高A ．长方途体 B ．课
圆柱体
堂C．球体
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整D ．三棱柱理
A ．
B ．
C ．
D ．
4．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有 40 个，除颜色外其他完全相同．小张通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色、黑色球的频率稳定在 15%和 45%，则口袋中白色球的个
数很可能是（ ） A ．6 B ．16
C ．18
D ．24
5．已 ，那么下列等式中，不成立的是（
）
A ．
B ．
C ．
D ．4x=3y
6．如图，A 、B 、C 、P 、Q 、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，如果△RPQ ∽△ABC ，那么点 R 应是甲、乙、丙、丁四点中的（ ） A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
7．有一块直角边 AB=3cm ，BC=4cm 的 Rt △ABC 的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（ ） A ． B ．
D ．
8．如图，已知点 C 是线段 AB 的黄金分割点，且 BC ＞AC ．若 S 1 表示以 BC 为边的正方形面积，S 2 表示长为 AB 、宽为 AC 的矩形面积，则 S 1 与 S 2 的大小关系为 （ ） A ．S 1＞S 2
B ．S 1=S 2
C ．S 1＜S 2
D ．不能确定 9．某药品经过两次降价，每
瓶零售价由 168 元降为 108 元，已知两次降价的百
分率相同，设每次降价的百分率为 x ，根据题意列方程得（ ） A ．168（1+x ）2=108 B ．168（1﹣x ）2=108 C ．168（1﹣2x ）=108
D ．168（1﹣x 2）=108
10．如图，在△ABC 与△ADE 中，∠BAC=∠D ，要使△ABC 与△ADE 相似，还需满足下列条件中的（ ）A ．
=
B ．
=
C ．
=
D ．
=
二．填空题（共 4 小题，满分 16 分，每小题 4 分）
11．关于 x 的方程 x 2﹣3x +m=0 有一个根是 1，则方程的另一个根是
．
12．如图，四边形 ABCD 与四边形 EFGH 位似，其位似中心为点 O ，且 = ， 则
高=
途．
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13．如图，四边形 ABCD 是菱形，∠DAB=50°，对角线 AC ，BD 相交于点 O ，DH ⊥AB 于 H ，连接 OH ，则∠DHO=
度．
14．如图，四边形 OABC 是矩形，四边形 ADEF 是正方形，点 A 、D 在 x 轴的负半轴上，点 C 在 y 轴的正半轴上，点 F 在 AB 上，点 B 、E 在反比例函数 （k 为常数，k ≠ 0）的图象上，正方形 ADEF 的面积为 4，且 BF=2AF ，则 k 值 为
．
三．解答题（共 2 小题，满分 18 分 ） 15．（12 分）解方程：x 2﹣4=﹣3x ﹣6．
16．（6 分）已知 y 是 x 的反比例函数，且点 A （3，5）在这个函数的图象上． （1）求 y 与 x 之间的函数关系式；
（2）当点 B （﹣5，m ）也在这个反比例函数的图象上时，求△AOB 的面积． 四．解答题（共 4 小题，满分 36 分）
17．（8 分）在长、宽都为 4m ，高为 3m 的房间的正中央的天花板上悬挂着一只白炽灯泡，为了集中光线，加上了灯罩（如图所示）．已知灯罩深 AN=8cm ，灯泡离地面 2m ，为了使光线恰好照在墙角 D 、E 处，灯罩的直径 BC 应为多少？ （结果保留两位小数
≈1.414）
18．（8 分）现有一张演唱会的门票，小明与小华为了决定谁拿这张门票去看开幕式，小华设计了一种方案如下：如图，有 A 、B 两个转盘，其中转盘 A 被分成 3 等份，转盘 B 被分成 4 等份，并 在每一份内标上数字．两人同时分别转动其中一个转盘，转盘停止后（当指针指在边界线上时视为无效，重转），若将 A 转盘指针指向的数字记为 x ，B 转盘指针指向的数字记为 y ，从而确定点 P 的坐标为 P （x ，y ）．
（1）请用列表或画树状图的方法写出所有可能得到的点 P 的坐标； （2）小华提议，在（1）的基础上，若点 P 落在反比例函数 图象上则小明赢；否则，自己赢．你觉得小明的提议对双方公平吗？请说明理由．
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19．（10 分）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 、BD 交于点 O ，DE ∥AC ，CE ∥BD ，求证：CD=OE ． 20．（10 分）如图，在直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 O 与坐标原点重合，A 、
C 分别在坐标轴上，点 B 的坐标为（4，2），直线 y=﹣ x +3 交 AB ，BC 分别于
点 M ，N ，反比例函数 的图象经过点 M ，N ． （1）求反比例函数的解析式；
（2）若点 P 在 y 轴上，且△OPM 的面积与四边形 BMON 的面积相等，求点 P 的坐标． 五．填空题（共 5 小题，满分 20 分，每小题 4 分）
21．关于 x 的一元二次方程 x 2+（a 2﹣2a ）x +a ﹣1=0 的两个实数根互为相反数， 则 a 的值为 ．
22
．如图，四边形 ABCD 是菱形，AC=8，DB=6，DH ⊥AB 于点 H ，则 DH=
．
23．从﹣3，﹣1，0，1，3 这五个数中随机抽取一个数记为 a ，再从剩下的四个数中任意抽取一个数记为 b ，恰好使关于 x ，y 的二元一次方程有
整数解，且点（a ，b ）落在双曲
上的概率是
．
24．如图，在△AOB 中，∠AOB=90°，点 A 的坐标为，反比例 函数 的图象经过点
B ，则 k 的值为
．
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25．如图，在△ABC 中，D ，E 两点分别在边 BC ，AB 上，DE ∥AC ，过点 E 作 EF
∥DC ，交∠ACB 的平分线于点 F ，连结 DF ，若∠EDF=∠B ，且 BC=4，BD=1， 那么 EF 的长度是
．
六．解答题（共 3 小题，满分 10 分）
26．某公司经销某品牌运动鞋，年销售量为 10 万双，每双鞋按 250 元销售，可获利 25%，设每双鞋
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的成本价为 a 元． （1）试求 a 的值；
（2）为了扩大销售量，公司决定拿出一定量的资金做广告，根据市场调查，若每年投入广告费为 x （万元）时，产品的年销售量将是原销售量的 y 倍，且 y 与 x 之间的关系如图所示，可近似看作是抛物线的一部分．
①根据图象提供的信息，求 y 与 x 之间的函数关系式；
②求年利润 S （万元）与广告费 x （万元）之间的函数关系式，并请回答广告费x （万元）在什么范围内，公司获得的年利润 S （万元）随广告费的增大而增多？ （注：年利润 S=年销售总额﹣成本费﹣广告费）
27．（10 分）如图（1），P 为△ABC 所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点 P 叫做△ABC 的费马点．
（1）如果点 P 为锐角△ABC 的费马点，且∠ABC=60°． ①求证：△ABP ∽△BCP ； ②若 PA=3，PC=4，则 PB=
．
（2）已知锐角△ABC ，分别以 AB 、AC 为边向外作正△ABE 和正△ACD ，CE 和BD 相交于 P 点．如图（2） ①求∠CPD 的度数；
②求证：P 点为△ABC 的费马点．
28．菱形 ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，对角线 AC 与BD 的交点 E 恰好在 y 轴上，过点 D 和 BC 的中点 H 的直线交 AC 于点 F ，线段 DE ，CD 的长是方程 x 2﹣9x +18=0 的两根，请解答下列问题：
（1）求点 D 的坐标；
（2）若反比例函数 （k ≠0）的图象经过点 H ，则 k=
；
（3）点 Q 在直线 BD 上，在直线 DH 上是否存在点 P ，使以点 F ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
高
途课堂整理 参考答案
一．选择题 1．
【解答】解：∵（m ﹣2）x |m |+mx ﹣1=0 是关于 x 的一元二次方程， ∴
，
解得 m=﹣2． 故选：C ． 2．
【解答】解：长方体、圆柱体、三棱体为柱体，它们的主视图都是矩形；球的三种视图都是圆形．
∴
即 ，
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故选：C ． 3．
【解答】解：A 、由函数 的图象可知 k ＞0 与 y=kx +3 的图象 k ＞0 一致，故 A 选项正确；
B 、因为 y=kx +3 的图象交 y 轴于正半轴，故 B 选项错误；
C 、因为 y=kx +3 的图象交 y 轴于正半轴，故 C 选项错误；
D 、由函数 的图象可知 k ＞0 与 y=kx +3 的图象 k ＜0 矛盾，故 D 选项错误．故选：A ． 4．
【解答】解：∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在 15%和 45%， ∴摸到白球的频率为 1﹣15%﹣45%=40%，
故口袋中白色球的个数可能是 40×40%=16 个． 故选：B ． 5．
【解答】解：A 、，
∴=，此选项正确，不合题意； B 、，
∴=﹣，此选项错误，符合题意； C 、，
∴
=，此选项正确，不合题意；
D 、∵
，
∴4x=3y ，此选项正确，不合题意； 故选：B ． 6．
【解答】解：∵△RPQ ∽△ABC ，
， ∴△RPQ 的高为 6． 故点 R 应是甲、乙、丙、丁四点中的乙处． 故选：B ． 7．
【解答】解：如图，过点 B 作 BP ⊥AC ，垂足为 P ，BP 交 DE 于 Q ． ∵S △ABC = AB?BC= AC?BP ， ∴BP= = = ． ∵ DE ∥AC ，
∴∠BDE=∠A ，∠BED=∠C ， ∴△BDE ∽△BAC ， ∴
．
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高途
设 DE=x ，则有： ， 解得 ，
故选：D ． 8．
【解答】解：∵C 是线段 AB 的黄金分割点，且 BC ＞AC ， ∴BC 2=AC?AB ，
∵S 1 表示以 BC 为边的正方形面积，S 2 表示长为 AB 、宽为 AC 的矩形面积， ∴S 1=BC 2，S 2=AC?AB ， ∴S 1=S 2． 故选：B ． 9．
【解答】解：设每次降价的百分率为 x ，根据题意得： 168（1﹣x ）2=108． 故选：B ． 10． 【解答】解
，
∴△ABC ∽△ADE ． 故选：C ． 二．填空题 11．
【解答】解：设方程的另一根为 x ， ∵关于 x 的方程 x 2﹣3x +m=0 有一个根是 1， ∴1+x=3， 解得，x=2； 故答案 x=2． 12．
【解答】解：∵四边形 ABCD 与四边形 EFGH 位似，其位似中心为点 O ，且 = ， ∴
=，
则 =
= ．故答案为： ．
课堂整理
13．
【解答】解：∵四边形ABCD 是菱形，
∴OD=OB，∠COD=90°，
∵DH⊥AB，
∴OH=BD=OB，
∴∠OHB=∠OBH，又∵AB∥CD，
∴∠OBH=∠ODC，
在Rt△COD 中，∠ODC+∠DCO=90°，在Rt△DHB 中，
∠DHO+∠OHB=90°，
∴∠DHO=∠DCO==25°，
故答案为：25．
14．
【解答】解：∵正方形ADEF 的面积为4，
∴正方形ADEF 的边长为2，
∴BF=2AF=4，AB=AF+BF=2+4=6．
设B 点坐标为（t，6），则E 点坐标（t﹣2，2），
高∵点B、E途在反比例函数课y= 的图象上，堂整理∴k=6t=2（t﹣2），
解得t=﹣1，k=﹣6．故答案为﹣6．
三．解答题
15．
【解答】解：x2﹣4=﹣3x﹣6，
x2+3x+2=0，
（x+2）（x+1）=0，x+2=0，x+1=0，
x1=﹣2，x2=﹣1．
16．
【解答】解：（1）设反比例函数解析式为y=，
将点A（3，5）代入解析式得．
（2）将点B（﹣5，m）代入得=﹣3，则B 点坐标为（﹣5，
﹣3），
，
解得，
则所有可能的结果共有 12 种；
设 AB 的解析式为 y=kx +b ，
将 A （3，5），B （﹣5，﹣3）代入 y=kx +b 得，
， 函数解析式为 x +1， D 点坐标为（0，1），
S △ABO =S △ADO +S △BDO =×1×3+=×1×5=4．
高途课堂整理
四．解答题 17．
【解答】解：如图，光线恰好照在墙角 D 、E 处，AN=0.08m ，AM=2m ， 由于房间的地面为边长为 4m 的正方形，则 m ， ∵BC ∥DE ， ∴△ABC ∽△ADB ， ∴
=
，
=
，
∴BC ≈0.23（m ）．
答：灯罩的直径 BC 约为 0.23m ． 18．
【解答】解：（1）列表得： 高2 途（2，1课） （2，2堂）
（2，3整）
（2，4理
）
（2）∵若 P 在函数 上，则 P 为（1，4），（2，2），（4，1）共 3 个， ∴P （小明赢 ，P （小华赢 ，
∵
，
∴不公平． 19．
【解答】证明：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴∠DOC=90°， ∵DE ∥AC ，CE ∥BD ，
1 2 3 4 1
（1，1） （1，2）
（1，3）
（1，4）
4
（4，1）
（4，2 ）
（4，3）
（4，4）
∴四边形CODE 是矩形，
∴CD=OE．
20．
【解答】解：（1）∵B（4，2），四边形OABC 是矩形，∴OA=BC=2，
将y=2 代入x+3 得：x=2，
∴M（2，2），
将x=4 代入x+3 得：y=1，
∴N（4，1），
把M 的坐标代入y= 得：k=4，高途课∴反比例函数的解析式是；
（2）由题意可得：
S 四边形BMON=S 矩形OABC﹣S△AOM﹣S△CON
在 Rt △AOB 中，AB= = 5，
∵S 菱形ABCD = ?AC?BD ，
堂整理
=4×2﹣×2×2﹣×4×1 =4；
∵△OPM 的面积与四边形 BMON 的面积相等， ∴OP ×AM=4， ∵AM=2， ∴OP=4，
∴点 P 的坐标是（0，4）或（0，﹣4）． 五．填空题 21．
【解答】解：
∵方程 x 2+（a 2﹣2a ）x +a ﹣1=0 的两个实数根互为相反数， ∴a 2﹣2a=0，解得 a=0 或 a=2，
当 a=2 时，方程为 x 2+1=0，该方程无实数根，舍去， ∴a=0， 故答案为：0． 22．
【解答】解：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴OA=OC=4，OB=OD=3，AC ⊥BD ，
高S 菱形ABCD =D 途
H ?A B ，
高途课堂整理
课堂整理
∴DH?5= ?6?8， ∴DH=． 故答案
．
23．
【解答】解：从﹣3，﹣1，0，1，3 这五个数中随机抽取一个数记为 a ，再从剩下的四个数中任意抽取一个数记为 b ，则（a ，b ）的所有可能性是： （﹣3，﹣1）、（﹣3，0）、（﹣3，1）、（﹣3，3）、 （﹣1，﹣3）、（﹣1，0）、（﹣1，1）、（﹣1，3）、 （0，﹣3）、（0，﹣1）、（0，1）、（0，3）、 （1，﹣3）、（1，﹣1）、（1，0）、（1，3）、 （3，﹣3）、（3，﹣1）、（3，0）、（3，1），
将上面所有的可能性分别代入关于 x ，y 的二元一次方程有整数解， 且点（a ，b ）落在双
曲线
上的是：（﹣3，1），（﹣1，3），（3，﹣1），
故恰好使关于 x ，y 的二元一次方程组 有整数解，且点（a ，b ）落在双 曲上的概率是
， 故答案为
．
24．
【解答】解：过点 A 作 AC ⊥x 轴，过点 B 作 BD ⊥x 轴，垂足分别为 C 、D ，则∠ OCA=∠BDO=90°， ∴∠DBO +∠BOD=90°， ∵∠AOB=90°， ∴∠AOC +∠BOD=90°， ∴∠DBO=∠AOC ，
∴△DBO ∽△COA ，
∴ =
=
， ∵点 A 的坐标为（4，2）， ∴AC=2，OC=4， ∴AO==2
，
∴
=
=
即 BD=8，DO=4， ∴B （﹣4，8），
∵反比例函数 的图象经过点 B ，
∴k 的值为﹣4×8=﹣32．故答案为﹣32
25．
【解答】解：延长EF 交AC 于M．设EF=m．高∵EF∥DC途，
∴∠BDE=∠FED，
∵∠EDF=∠EBD，
∴△EDF∽△DBE，
∴ED2=BD?EF，
∴ED=，
∵EM∥BC，
∴∠MFC=∠FCB，
∵∠MCF=∠FCD，
∴∠MFC=∠MCF，
∴MC=FM，
∵DE∥CM，EM∥CD，
课堂整理
∴四边形EMCD 是平行四边形，
∴CM=DE=FM=，EM=CD=3，
∴x+=3，
解得x= 或（舍弃），
∴EF= ，
故答案．
六．解答题
26．
高途．课堂整理【解答】解：（1）a（1+25%）=250，解得a=200（元）．
（2）①依题意，设y 与x 之间的函数关系式为：y=ax2+bx+1
解得a=﹣0.01，b=0.2
故y=﹣0.01x2+0.2x+1
②S=（﹣0.01x2+0.2x+1）×[10×（250﹣200）]﹣x S=﹣5x2+99x+500
当x=9.9 万元时，S 最大．
故当0＜x＜9.9 时，公司获得的年利润随广告费的增大而增多．注：0＜x≤9.9，
0≤x≤9.9 均可．
27．
【解答】（1）证明：①∵∠PAB+∠PBA=180°﹣∠APB=60°，∠PBC+∠PBA=∠ABC=60°，∴∠PAB=∠PBC，又
∵∠APB=∠BPC=120°，
∴△ABP∽△BCP，
②解：∵△ABP∽△BCP，
∴=，
∴PB2=PA?PC=12，
∴PB=2；
故答案为；
（2）解：①∵△ABE 与△ACD 都为等边三角形，
∴∠BAE=∠CAD=60°，AE=AB，AC=AD，
∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，在△ACE 和△ABD
中，
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高途
，
∴△ACE ≌△ABD （SAS ）， ∴∠1=∠2， ∵∠3 =∠4，
∴∠CPD=∠6=∠5=60°； ②证明：∵△ADF ∽△CFP ， ∴AF?PF=DF?CP ，
∵∠AFP=∠CFD ，
∴△AFP ∽△CDF ．
∴∠APF=∠ACD=60°，
∴∠APC=∠CPD +∠APF=120°， ∴∠BPC=120°，
∴∠APB=360° ﹣∠BPC ﹣∠APC=120°， ∴P 点为△ABC 的费马点． 28．
【解答】解：（1）x 2﹣9x +18=0， （x ﹣3）（x ﹣6）=0， x=3 或 6， ∵CD ＞DE ，
∴CD=6，DE=3， ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ，AE=EC=
=3
，
∴∠DCA=30°，∠EDC=60°， Rt △DEM 中，∠DEM=30°， ∴DM=DE=， ∵OM ⊥AB ，
∴S 菱形AC?BD=CD?OM ， ∴
， ∴D （﹣ ，3
）；
∴B （，0），C （， 3
课），
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（2）∵OB=DM= ，CM=6﹣ = ， ∵H 是 BC 的中点， ∴H （3，），
∴k=3×
=； 故答案为
；
（3）①∵DC=BC ，∠DCB=60°， ∴△DCB 是等边三角形， ∵H 是 BC 的中点， ∴DH ⊥BC ，
∴当 Q 与 B 重合时，如图 1，四边形 CFQP 是平行四边形， ∵FC=FB ，
∴∠FCB=∠FBC=30°，
∴∠ABF=∠ABC ﹣∠CBF=120°﹣30°=90°， ∴AB ⊥BF ，CP ⊥AB ，
Rt △ABF 中，∠FAB=30°，AB=6， ∴FB=2=CP ， ∴P （， ）；
②如图 2，∵四边形 QPFC 是平行四边形， ∴CQ ∥PH ， 由①知：PH ⊥BC ， ∴CQ ⊥BC ，
Rt △QBC 中，BC=6，∠QBC=60°， ∴∠BQC=30°， ∴CQ=6
， 连接 QA ， ∵AE=EC ，QE ⊥AC ， ∴QA=QC=6
，
∴∠QAC=∠QCA=60°，∠ CAB=30°， ∴∠QAB=90°， ∴Q （﹣，6
），
由①知：F （，2
），
由 F 到 C 的平移规律可得 P 到 Q 的平移规律，则 P （﹣﹣3，6
﹣ ），即 P
（﹣
，5
）；
③如图 3，四边形 CQFP 是平行四边形，