数值分析复习大纲
1、绪论
2、插值法
Lagrange插值：插值多项式的存在唯一性，Lagrange插值，插值余项。
逐次线性插值：Aitken逐次插值公式和Nevile 算法。
均差与Newton插值公式：均差的定义及其性质，Newton 插值公式及其余项。差分与等矩节点插值公式：差分的定义及其性质，Newton前插公式， Newton 后插公式
Hermite插值：函数值与导数值个数相等的情况下的插值多项式及插值余项。分段低次插值：分段线性插值，分段三次Hermite 插值。
三次样条插值：三次样条函数，三转角方程，三弯矩方程，三次样条插值的收敛性。
3、数值积分与数值微分
数值求积的基本思想：代数精度的概念，插值型的求积公式。
Newton -Cotes公式：Cotes系数，偶数阶求积公式的代数精度，几种降低求积公式的余项，复化求积法及其收敛性。
Romberg算法：梯形法的递推化，Romberg公式
Gauss公式：Gauss点，正交多项式，Grass-Legendre公式，Gauss公式的余项，Gauss公式的稳定性，带权的Gauss公式
4、常微分方程数值解法
Euler方法：Euler公式，后退的Euler公式，梯形公式，改进的Euler公式，Euler两步公式。
Runge-Kutta方法：Taylor级数法，Runge-Kutta方法的基本思想，二阶Runge-Kutta方法，三阶Runge-Kutta方法，四阶Runge-rutta方法，变步长的Runge-Kutta方法。
线性多步法：基于数值积分的构造方法，Adams显示公式，Adams隐式公式，Adams预测-校正系统，基于Taylor展开的构造方法，Milne公式，Hamming公式。
边值问题的数值解法：试射法，差分方程的建立，差分问题的可解性，差分方法的收敛性。
5、方程求根
根的搜索：逐步搜索法，二分法。
迭代法：迭代过程的收敛性，迭代公式的加工。
Newton法：Newton公式，Newtonn法的几何解释，Newton法的局部收敛性，Newton法应用举例，Newton下山法。
弦截法与抛物线法：弦截法，抛物线法。
代数方程求根：多项式求值的秦九韶算法，代数方程的NEWTON法，劈因子法。Grass消元法：Grass消元法，矩阵的三角分解，计算量
Grass主元素消去法：完全主元素消去法，列主元素消去法，Gauss-Jorden消去法。
Gauss消去法的变形：直接三角分解法，平方根法，追赶法。
向量和矩阵的范数：向量和矩阵的范数的定义及其性质。
特别声明：考试时需带计 算器作辅助计算 1．2015x *=是经四舍五入得到的近似值，则其相对误差* r e ≤-31 104 ?. 2. 01(),(), ,()n l x l x l x 是以01,, ,n x x x 为节点的拉格朗日插值基函数，则 3．设(0)1(1)3(2)4(3)2f =,f =,f =,f =，[0123]f =，，，1 3 - . 4. 利用Simpson 公式求?2 1 2dx x = 7.3 5. 设求积公式1 0()d (),(1)n k k k f x x A f x n ≈≥∑?=是Gauss 型求积公式，则3 n k k k A x == ∑1 .4 6. 数值微分公式(2)(2) ()i i i f x h f x h f x h +≈ --'的截断误差为 2().O h 7. 设1101A ?? = ??? ，则A 的谱半径()A ρ= 1 ，A 的条件数1cond ()A = 4. 8. 用牛顿下山法求解方程3 03 x x -=根的迭代公式是 2 13 3(1),3n n n n x x x x x λ+-=-- 下山条件是 1()().n n f x f x +< 9.对任意初始向量(0)x 及任意向量f ，线性方程组的迭代公式(1)()(0,1,2,)k k k +=+=x Bx f ，迭代序列()k x 收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是()1.ρ数值分析学期期末考试试题与答案(A)
期末考试试卷（A 卷） 2007学年第二学期 考试科目： 数值分析 考试时间：120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、判断题（每小题2分，共10分） 1. 用计算机求 1000 1000 1 1 n n =∑时，应按照n 从小到大的顺序相加。 （ ） 2. 为了减少误差,进行计算。 （ ） 3. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。 （ ） 4. 采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时，公式阶数越高，数值解越精确。（ ） 5. 用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有 关，与常数项无关。 （ ） 二、填空题（每空2分，共36分） 1. 已知数a 的有效数为0.01，则它的绝对误差限为________，相对误差限为_________. 2. 设1010021,5,1301A x -????????=-=-????????-???? 则1A =_____，2x =______，Ax ∞ =_____. 3. 已知5 3 ()245,f x x x x =+-则[1,1,0]f -= ,[3,2,1,1,2,3]f ---= . 4. 为使求积公式 1 1231 ()()(0)33 f x dx A f A f A f -≈- ++? 的代数精度尽量高，应使1A = ，2A = ，3A = ，此时公式具有 次的代数精度。 5. n 阶方阵A 的谱半径()A ρ与它的任意一种范数A 的关系是 . 6. 用迭代法解线性方程组AX B =时，使迭代公式(1) ()(0,1,2,)k k X MX N k +=+=产 生的向量序列{ }() k X 收敛的充分必要条件是 . 7. 使用消元法解线性方程组AX B =时，系数矩阵A 可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩
数值分析总复习提纲 数值分析课程学习的内容看上去比较庞杂，不同的教程也给出了不同的概括，但总的来说无非是误差分析与算法分析、基本计算与基本算法、数值计算与数值分析三个基本内容。在实际的分析计算中，所采用的方法也无非是递推与迭代、泰勒展开、待定系数法、基函数法等几个基本方法。 一、误差分析与算法分析 误差分析与算法设计包括这样几个方面： （一）误差计算 1、截断误差的计算 截断误差根据泰勒余项进行计算。 基本的问题是 (1)1 ()(01)(1)! n n f x x n θεθ++<<<+，已知ε求n 。 例1．1：计算e 的近似值，使其误差不超过10－6。 解：令f(x)=e x ,而f （k)(x)=e x ,f （k)(0)=e 0=1。由麦克劳林公式，可知 211(01)2!!(1)! n x x n x x e e x x n n θθ+=+++++<<+ 当x=1时，1 111(01)2! !(1)! e e n n θθ=+++ ++ <<+ 故3 (1)(1)!(1)! n e R n n θ=<++。 当n ＝9时，R n (1)<10－6，符合要求。此时， e≈2.718 285。 2、绝对误差、相对误差及误差限计算 绝对误差、相对误差和误差限的计算直接利用公式即可。 基本的计算公式是： ①e(x)＝x *－x ＝△x ＝dx ② *()()()ln r e x e x dx e x d x x x x ==== ③(())()()()e f x f x dx f x e x ''== ④(())(ln ())r e f x d f x = ⑤121212121122121122((,))(,)(,)(,)()(,)()x x x x e f x x f x x dx f x x dx f x x e x f x x e x ''''=+=+ ⑥121212((,)) ((,))(,) f x x f x x f x x εδ=
第一章典型例题 例3 ln2=0.…，精确到10－3的近似值是多少 解 精确到10－3＝，即绝对误差限是＝, 故至少要保留小数点后三位才可以。ln2 第二章典型例题 例1 用顺序消去法解线性方程组 ??? ??1 -=4+2+4=+2+31 -=4++2321 321321x x x x x x x x x 解 顺序消元 ?? ?? ??????---???→???????????---????→???????????--=-?+-?+-?+1717005.555.00141 25.025.105.555.001412142141231412]b A [)3()2/1()2/3(231312r r r r r r M 于是有同解方程组 ?? ? ??-==--=++17175.555.0142332321x x x x x x 回代得解 x 3=－1, x 2=1,x 1=1,原线性方程组的解为X ＝(1,1,－1)T 例2 取初始向量X (0)=(0,0,0)T ,用雅可比迭代法求解线性方程组 ??? ??5 =+2+23=++1=2-2+321 321321x x x x x x x x x 解 建立迭代格式 ???????+--=+--=++-=+++5223122) (2)(1)1(3 ) (3)(1)1(2 ) (3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x (k =1,2,3,…)
第1次迭代,k =0 X (0)＝0，得到X (1)＝(1,3,5)T 第2次迭代，k =1 ???????-=+?-?-=-=+--==+?+?-=3 532123 351515232)2(3) 2(2)2(1x x x X (2)＝(5,－3,－3)T 第3次迭代，k =2 ???????=+-?-?-==+---==+-?+-?-=1 5)3(2521 3)3(511)3(2)3(2)2(3) 3(2)3(1x x x X (3)＝(1,1,1)T 第4次迭代，k =3 ???????=+?-?-==+--==+?+?-=1 512121 311111212)2(3) 2(2)2(1x x x X (4)＝(1,1,1)T 例4 证明例2的线性方程组，雅可比迭代法收敛，而高斯－赛德尔迭代法发散。 证明 例2中线性方程组的系数矩阵为 A ＝?? ?? ? ?????-122111221 于是 D ＝?? ?? ??????100010001 D －1＝D ??????????=022001000L ~ ????? ?????-=000100220U ~ 雅可比迭代矩阵为
传热学教学大纲 （04级后新教学计划） 课程名称：传热学课程编码： 英文名称：heat transfer 学时：24 学时学分：1.5学分 开课学期：第五学期 适用专业：机械类 课程类别：必修 课程性质：技术基础课 先修课程：高等数学、大学物理 教材：《传热学》张兴中编燕山大学校内印刷 一、课程的性质及任务： 本课程是机械类专业的主要专业技术基础课。 课程教学所要达到的目的是：1、了解热量传递的基本方式。2、掌握温度场、传热量的基本分析方法和计算方法。3、在实验技能方面比较熟练地掌握常用热工测试仪器的使用方法与基本热工参数的测试技术。 二、课程的基本内容： 1、绪论 传热学的任务；热量传递的三种基本形式：热传导、热对流、热辐射；传热过程。 2、导热理论和一维稳态导热 傅里叶定律及导热系数：介绍导热理论的基本概念、傅里叶定律及导热系数；导热微分方程及单值性条件：推导导热微分方程、介绍单值性条件。 几个典型的稳态导热问题：单层平壁的稳态导热、多层平壁的稳态导热、无限长圆筒壁的稳态导热、球壁的稳态导热、通过等截面棒的稳态导热的温度场及热流量计算方法以及各种肋片散热量的计算。 3、非稳态导热 非稳态导热过程的特点：介绍非稳态导热过程的特点及非稳态导热过程的三个阶段。 无限大平板的加热或冷却：应用分离变量法对无限大平板非稳态导热的温度场及热流量的计算。 半无限大物体的非稳态导热：介绍求解思想。 有限大物体的非稳态导热：介绍求解思想。 集总参数法：介绍基本思想及温度场、热流量的求解方法。 4、导热问题的数值解法 有限差分法的基本原理：一阶、二阶导数的向前、向后、中心差分公式。 稳态导热问题的差分表达式：二维问题内部节点的差分方程式、边界上节点的差分方程式。 非稳态导热问题的有限差分法：一维问题内部节点的差分方程式、边界上节点的差分方程式。 线性代数方程组的求解：直接法、迭代法。 计算机求解导热问题简介：二维稳态问题、一维非稳态问题。
数值分析期末考试复习题及其答案 1. 已知325413.0,325413* 2* 1==X X 都有6位有效数字，求绝对误差限。（4分） 解： 由已知可知,n=6 5.01021 ,0,6,10325413.0016*1=?= =-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 620* 21021,6,0,10325413.0-?=-=-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 2. 已知?????=001A 220 - ???? ?440求21,,A A A ∞ （6分） 解： {},88,4,1max 1==A 1分 {},66,6,1max ==∞A 1分 () A A A T max 2λ= 1分 ?????=001A A T 420 ?? ?? ? -420?????001 220 - ?????440=?????001 080 ???? ?3200 2分 {}3232,8,1max )(max ==A A T λ 1分 24322==A 3. 设3 2 )()(a x x f -= （6分） ① 写出f(x)=0解的Newton 迭代格式 ② 当a 为何值时，)(1k k x x ?=+ （k=0,1……）产生的序列{}k x 收敛于2 解： ①Newton 迭代格式为： x a x x x a x a x x a x x x f x f x x k k k k k k k k k k 665)(665)(6)()(')(2 2 32 1 += +=---=-=+? 3分
②时迭代收敛即当222,112 10)2(',665)('2<<-<-=-=a a x a x ?? 3分 4. 给定线性方程组Ax=b ，其中：? ??=1 3A ??? 22，??????-=13b 用迭代公式)()()()1(k k k Ax b x x -+=+α（k=0,1……）求解Ax=b ，问取什么实数α，可使迭代收 敛 （8分） 解： 所给迭代公式的迭代矩阵为?? ? --? ??--=-=ααααα21231A I B 2分 其特征方程为 0) 21(2)31(=----= -αλα ααλλB I 2分 即，解得αλαλ41,121-=-= 2分 要使其满足题意，须使1)(数值分析复习提纲
数值分析（英）复习提纲 考试以基本概念为主，书上以前布置的计算机题目都不作要求。 第一章Solving equations 1.1 THE BISECTION METHOD (a) 熟练掌握二分法; (b) 对于给定解的误差精度要求能够熟练计算所需二分法步数，参考书上28页内容。 习题5,6 1.2 FIXED-POINT ITERATION (a) 熟练掌握不动点迭代方法求方程的根；掌握不动点迭代方法的线性收敛性与收敛率; 此节书后习题不作要求。 1.4 NEWTON’S METHOD （a）熟练掌握方程求根的NEWTON’S METHOD：Example 1.11, 1.12, 1.13 （b）对于重根熟练掌握Theorem 1.12, Theorem 1.13 习题2,5,7 第二章Systems of Equations 2.2 THE LU FACTORIZATION （a）掌握矩阵LU分解方法； （b）会使用LU分解方法求线性方程组的解:Example 2.5, 2.6, 2.7 2.3 SOURCES OF ERROR 本节只要掌握矩阵范数的定义，参阅90页 2.4 THE PA = LU FACTORIZATION 熟练掌握2.4.2 Permutation matrices, 2.4.3 PA = LU factorization: Example 2.16, 2.17, 2.18 习题4 2.5 ITERATIVE METHODS 熟练掌握Jacobi Method，Gauss–Seidel Method. 习题2
第三章Interpolation 3.1 DATA AND INTERPOLATING FUNCTIONS： （a）熟练掌握Lagrange interpolation （b）熟练掌握Newton’s divided differences 习题1,2,5 3.2 INTERPOLATION ERROR 熟练掌握定理3.4, Example 3.8, 习题1,2,4 第四章Least Squares 4.1.1 Inconsistent systems of equations 熟练掌握Normal equations for least squares：Example 4.1, Example 4.2 习题1,2 第五章Numerical Differentiation and Integration 5.1 NUMERICAL DIFFERENTIATION 熟练掌握一阶导数的Two-point forward-difference formula，Three-point centered-difference formula 熟练掌握二阶导数的Three-point centered-difference formula for second derivative 习题1,2,5,8,9 5.2 NEWTON–COTES FORMULAS FOR NUMERICAL INTEGRATION 熟练掌握Composite Trapezoid Rule，Example 5.8，习题1 第六章Ordinary Differential Equations 6.1.1 Euler’s Method (a) 熟练掌握Euler方法（6.7）: Example6.2 习题5 6.2.2 The explicit Trapezoid Method 熟练掌握The explicit Trapezoid Method（6.29）：Example6.10 习题1
数值分析典型习题
特别声明：考试时需带计 算器作辅助计算 1．2015x *=是经四舍五入得到的近似值，则其相对误差* r e ≤ -31 104 ?. 2. 01(),(),,()n l x l x l x L 是以01,,,n x x x L 为节点的拉格朗日插值基函数，则 3．设(0)1(1)3(2)4(3)2f =,f =,f =,f =，[0123]f =，，，1 3 - . 4. 利用Simpson 公式求?2 1 2dx x = 7.3 5. 设求积公式1 0()d (),(1)n k k k f x x A f x n ≈≥∑?=是Gauss 型求积公式，则3 n k k k A x == ∑1 .4 6. 数值微分公式(2)(2) ()i i i f x h f x h f x h +≈ --'的截断误差为 2().O h 7. 设1101A ?? = ??? ，则A 的谱半径()A ρ= 1 ，A 的条件数1cond ()A = 4. 8. 用牛顿下山法求解方程3 03 x x -=根的迭代公式是 2 13 3(1),3n n n n x x x x x λ+-=-- 下山条件是 1()().n n f x f x +< 9.对任意初始向量(0)x 及任意向量f ，线性方程组的迭代公式(1)()(0,1,2,)k k k +=+=L x Bx f ，迭代序列()k x 收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是()1.ρ《板带轧机系统自动控制》 - 燕山大学教务在线
《板带轧机系统自动控制》 建设规划（2011-2016） 1、课程概况 我校轧钢专业人才培养以服务于全国钢铁工业为中心，目标是培养具有扎实专业知识、具备工艺技术、科学研究、组织管理能力、能够解决冶金工程领域实际问题的应用及应用研究型高级工程技术人才。 我校机械设计及理论学科（含轧钢专业）为国家级优秀重点学科，其轧钢实验中心为河北省重点实验室。本学科具有近50年的本科办学经验，20多年的硕士、博士研究生的培养经验，教学与科研紧密结合地方经济发展需求，具有钢铁冶金方向特色优势，在国内占有重要地位。 建国初期，我校在当时隶属于哈尔滨工业大学时就引进了多名前苏联专家开始轧钢专业的建设。作为轧钢专业的基础课，随之开设了以板厚板形自动控制为主要内容的板带轧机系统自动控制课程，至今已有近50年历史。自1958年建校以后，开始由自主培养的教师承担此课程的教学任务。 我校轧机研究所在板形板厚控制研究方向具有较高的研究水平，在国内具有重大影响，为本课程的教学奠定了良好的基础。近五年，本科研方向上承担了多项国家自然科学基金和河北省自然科学基金课题，以及20余项企业合作技术课题，取得了较大成果。 本课程组共有教师8人，平均年龄37岁。学历结构：博士6人（75%），硕士2人（25%）。职称结构：教授3人（37.5%），副教授1人（12.5%），讲师2人（25%），实验师2人（25%）。年龄结构：平均年龄37岁。40岁以上2人（25%），30岁以上6人（75%）。讲课教师6人（75%），实践教师2人（25%）。 课程负责人刘宏民老师，博士，教授，博士生导师，于1982年毕业于东北重型机械学院（燕山大学前身），1988年3月在东北重型机械学院获得博士学位。研究方向：板带轧机设计及板形控制技术。获国家科技进步二等奖1项，省部级一等奖6项，省部级二等奖3项，发表论文100余篇，出版专著2部。全国“五一”劳动奖章获得者，国家百千万人才工程人选，河北省省管优秀专家，燕赵学者。 2、存在的主要问题 （1）教学内容
数值计算方法复习提纲 第一章 数值计算中的误差分析 1．了解误差及其主要来源，误差估计； 2．了解误差(绝对误差、相对误差)和有效数字的概念及其关系； 3．掌握算法及其稳定性，设计算法遵循的原则。 1、 误差的来源 模型误差 观测误差 截断误差 舍入误差 2误差与有效数字 绝对误差 E （x ）=x-x * 绝对误差限ε εε+≤≤-**x x x 相对误差 ***/)(/)()(x x x x x x x E r -≈-= 有效数字 m n a a a x 10.....021*?±= 若 n m x x -?≤ -102 1 *，称*x 有n 位有效数字。 有效数字与误差关系 （1） m 一定时，有效数字n 越多，绝对误差限越小； （2） *x 有n 位有效数字，则相对误差限为)1(1 1021 )(--?≤ n r a x E 。 选择算法应遵循的原则 1、 选用数值稳定的算法，控制误差传播；
例 ?= 10 1dx e x e I x n n e I nI I n n 11101 - =-=- △!n x n =△x 0 2、 简化计算步骤，减少运算次数； 3、 避免两个相近数相减，和接近零的数作分母； 避免 第二章 线性方程组的数值解法 1．了解Gauss 消元法、主元消元法基本思想及算法； 2．掌握矩阵的三角分解，并利用三角分解求解方程组； （Doolittle 分解；Crout 分解；Cholesky 分解；追赶法） 3．掌握迭代法的基本思想，Jacobi 迭代法与Gauss-Seidel 迭代法； 4．掌握向量与矩阵的范数及其性质,迭代法的收敛性及其判定 。 本章主要解决线性方程组求解问题，假设n 行n 列线性方程组有唯一解，如何得到其解 ?? ??? ? ?=+++=+++=+++n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a (22112222212111212111) 两类方法，第一是直接解法，得到其精确解； 第二是迭代解法，得到其近似解。
第一章典型例题 例3…，精确到10－3的近似值是多少？ 解 精确到10－3＝，即绝对误差限是?＝, 故至少要保留小数点后三位才 可以。ln2? 第二章典型例题 例1 用顺序消去法解线性方程组 解 顺序消元 于是有同解方程组 回代得解 x 3=－1, x 2=1,x 1=1,原线性方程组的解为X ＝(1,1,－1)T 例2 取初始向量X (0)=(0,0,0)T ,用雅可比迭代法求解线性方程组 解 建立迭代格式 ??? ????+--=+--=++-=+++5223122)(2)(1)1(3) (3)(1)1(2 )(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x (k =1,2,3,…) 第1次迭代,k =0 X (0)＝0，得到X (1)＝(1,3,5)T 第2次迭代，k =1 X (2)＝(5,－3,－3)T 第3次迭代，k =2 X (3)＝(1,1,1)T 第4次迭代，k =3
X (4)＝(1,1,1)T 例4 证明例2的线性方程组，雅可比迭代法收敛，而高斯－赛德尔迭 代法发散。 证明 例2中线性方程组的系数矩阵为 A ＝?? ?? ? ?????-122111221 于是 D ＝?? ?? ??????100010001 D －1 ＝D ?? ?? ? ?????=022001000L ~ ?? ?? ? ?????-=000100220U ~ 雅可比迭代矩阵为 B 0＝?? ?? ? ?????--=??????????-??????????-=+--022101220022101220100010001)U ~L ~(D 1 得到矩阵B 0的特征根03,2,1=λ，根据迭代基本定理4，雅可比迭代法收敛。 高斯－赛德尔迭代矩阵为 G ＝－U ~ )L ~D (1-+ ＝－?? ?? ??????----=??????????-??????????---=??????????-??????????-2003202200001002201200110010001002201220110011 解得特征根为?1=0，?2,3=2。由迭代基本定理4知，高斯－赛德尔迭代发散。 例5 填空选择题： 1. 用高斯列主元消去法解线性方程组 作第1次消元后的第2，3个方程分别为 。
贵州师范大学硕士研究生入学考试大纲（复试） (科目名称：数值分析） 一、考查目标 本《考试大纲适用于贵州师范大学数学科学学院数学专业硕士研究生入学考试复试。数值分析是高等院校数学与应用数学、信息与计算科学等理工科专业的一门专业核心必修课程。它是一门内容丰富，研究方法深刻，有自身理论体系的课程。其研究对象是解决各种数学问题的数值计算程序、方法与相关理论。 1、考试目的 测试考生对数值计算方法的基本原理和基本方法的掌握，以及对数值分析的理解及基本应用能力。考生应该掌握拉格朗日插值方法、数值积分、数值微分、方程求根、线性代数方程组的数值解法，并有应用这些方法解决和分析数值计算中常见问题的基本能力。 《数值分析》是我校数学科学学院招收全日制硕士研究生而设置的具有选拔性质的复试科目，其目的是考察学生是否具备本学科计算数学专业硕士研究生学习所要求的水平，为我校数学科学学院择优选拔硕士研究生提供依据。 2、考试的基本要求 要求学生了解和掌握这门课程所涉及的各种常用的数值计算公式、数值方法的构造原理及适用范围，为今后用计算机去有效地解决实际问题打下基础。 （1）掌握算法的基本原理和思想，包括算法的构造、算法处理的技巧、误差分析、收敛性和稳定性等基本理论。 （2）掌握误差与有效数字定义、函数插值与逼近的方法、积分与微分的数值计算方法、线性方程组的数值解法、非线性方程根的求解方法。 （3）掌握各种算法的理论分析；了解主要算法的设计思路。 二、考试形式与试卷结构 （一）试卷成绩及考试时间 本试卷满分为100分。考试时间为180分钟。 （二）答题方式 闭卷，笔试；所有题目全部为必答题。 （三）试卷内容 数值计算中的误差、拉格朗日插值方法、数值积分、数值微分、方程求根、线
数值分析典型例题 例1 对下列各数写出具有5位有效数字的近似值。236.478, 0.00234711, 9.000024, 9.0000343 10?. 解：按照定义，以上各数具有5位有效数字的近似值分别为：236.478， 0.0023471， 9.0000， 9.0000310?。 注意: *x =9.000024的5位有效数字是9.0000而不是9，因为9 是1位有效数字。 例2 指出下列各数具有几位有效数字。2.0004， -0.00200， -9000， 9310?， 23 10-?。 解：按照定义，以上各数的有效数字位数分别为5， 3， 4，1，1 例3 已测得某物体行程* s 的近似值s=800m ，所需时间* s 的近似值为t=35s ，若已知m s s s t t 5.0||,05.0||**≤-≤-，试求平均速度v 的绝对误差和相对误差限。 解：因为t s v /=，所以)()(1)()()(2t e t s s e t t e t v s e s v v e -=??+??≈ 从 而 05.00469.035 800 5.0351|)(||||)(|1|)(|22≤≈+?≤+≤t e t s s e t v e 同样v v e v e r )()(≈)()()()(t e s e t e v t t v s e v s s v r r r -=??+??= 所以00205.035 05 .08005.0|)(||)(||)(|≈+≤+≤t e s e v e r r r 因此绝对误差限和相对误差限分别为0.05和0.00205。 例4试建立积分20,,1,05 =+=n dx x x I n n 的递推关系，并研究它的误差 传递。 解：151 --= n n I n I ……………………………………………..…...(1) 5ln 6ln 0-=I ，计算出0I 后可通过（1）依次递推计算出1I ,…,20I 。 但是计算0I 时有误差0e ，由此计算出的1I ,…,20I 也有误差，由（1）可 知近似值之间的递推关系为 151 --= n n I n I ……………………………………………….…..(2) （1）-（2）可得 01)5(5e e e n n n -=-=-，由0I 计算n I 时误差被放大了n 5倍。所以（1）不稳 定。 （1） 可以改写为 n I I n n 51 511+ -=- ……………………………………… （3） 如果能先求出20I ，则依次可以求出19I ,…,0I ，计算20I 时有误差，这样根据（3）计算19I ,…,0I 就有误差，误差传播为 n n n e e ?? ? ??-=-511 ，误差依次减少。 例5 用二分法求解方程012)(23=+--=x x x x f 在区间[0,1]内的1个实根，要求有3为有效数字。 解：因为0)1()0( 数值分析2006 — 2007学年第学期考试 课程名称：计算方法 A 卷 考试方式：开卷[] 闭卷[V ] 半开卷[] IV 类 充要条件是a 满足 二、（18分）已知函数表如下 1?设 f(0) = 0, f (1) =16 , f( 2) =46，则 f [0,1]= ,f[0,1,2]二 2 ?设 AJ <2 -3 -1 ，则X ，A := A 1 1 j — 3 ?计算积分 xdx ，取4位有效数字。用梯形公式求得的近似值为 "0.5 （辛普森）公式求得的近似值为 ，用 Spsn 4?设f （x ）二xe x -3，求方程f （x ） =0近似根的牛顿迭代公式是 ，它的收 敛阶是 5 ?要使求积公式 1 1 [f (x)dx 拓一(0) + A , f (x 1)具有2次代数精度，则 捲= _________________ , 0 4 6 ?求解线性方程组 x 1 ax 2 = 4 , 12_3 （其中a 为实数）的高斯一赛德尔迭代格式收敛的 10 11 12 13 In x 2.3026 2.3979 2.4849 2.5649 三、(20分)构造如下插值型求积公式，确定其中的待定系数，使其代数精度尽可能高, 并指出所得公式的代数精度。 2 f (x)dx ： A o f (0) A f (1) A2f(2) o X 2 4 6 8 y 2 11 28 40 五、（14分）为求方程X ’ -X 2 -1 =0在X o =1.5附近的一个根，将方程改写为下列等价 形式，并建立相应的迭代公式: 试问上述两种迭代公式在 x 0 =1.5附近都收敛吗？为什么？说明理由。 （1）X =1 ?丄，迭代公式 X 1 X k 1 = 1 - X k （2） X 2二1 ，迭代公式 X —1 2 （X k ）； X k 1 全日制硕士生“数值分析”教学内容与基本要求 一、教学重点内容及其要求 （一）引论 1、误差的基本概念 理解截断误差、舍入误差、绝对（相对）误差和误差限、有效数字、算法的数值稳定性等基本概念。 2、数值算法设计若干原则 掌握数值计算中应遵循的几个原则：简化计算步骤以节省计算量（秦九韶算法），减少有效数字的损失选择数值稳定的算（避免相近数相减），法。 重点：算法构造（如多项式计算）、数值稳定性判断（舍入误差的分析） （二）插值方法 1、插值问题的提法 理解插值问题的基本概念、插值多项式的存在唯一性。 2、Lagrange插值 熟悉Lagrange插值公式（线性插值、抛物插值、n次Lagrange插值），掌握其余项表达式（及各种插值余项表达式形式上的规律性）。 3、Newton插值 熟悉Newton插值公式，了解其余项公式，会利用均差表和均差的性质计算均差。 4、Hermite插值 掌握两点三次Hermite插值及其余项表达式，会利用承袭性方法构造非标准Hermite插值。 5、分段线性插值 知道Runge现象，了解分段插值的概念，掌握分段线性插值（分段表达式）。 6、三次样条函数与三次样条插值概念 了解三次样条函数与三次样条插值的定义。 重点：多项式插值问题（唯一性保证、构造、误差余项估计） （三）曲线拟合与函数逼近 1、正交多项式 掌握函数正交和正交多项式的概念（函数内积、2-范数、权函数，正交函数序列，正交多项式），了解Legendre多项式（授课时，将其放在课高斯型数值积分这部分介绍）。 2、曲线拟合的最小二乘法 熟练掌握曲线拟合最小二乘法的原理和解法（只要求线性最小二乘拟合），会求超定方程组的最小二乘解（见教材P103）。 3、连续函数的最佳平方逼近 了解最佳平方逼近函数的概念，掌握最佳平方逼近多项式的求法（从法方程出发）。 重点：最小二乘拟合法方程的推导、求解；拟合与插值问题的异同。 （项目管理）项目方案燕山大学教务在线 燕山大学 大学生创新性实验计划项目 项目方案 项目名称：基于动态心电图特征提取的 心脏疾病预测技术 项目来源：（√）国家级（）校级 项目编号： 负责人：赵永科 联系电话： 所在院系：信息科学与工程学院电子与通 信工程系 专业年级：07级电子信息工程 指导教师：李英伟 课题性质、来源：√独立课题□导师的子课题□其他 项目起止时间：2009-10到2010-10 2010年3月1日 一、概述 本项目以FPGA为核心，设计了前级导联模拟放大电路、AD转换与信号采集电路、TFT彩屏显示电路等一套具有体积小、功耗低、运算速度快等特点的硬件平台。 二、原理框图 三、模块详述 1.前级导联 由于心脏电兴奋传导系统所产生的电压时幅值及空间方向都随时间变化的向量，所以从体表电极检测出的心电图将随电极位置不同而各异。为了完整记录心脏的电活动状况，常用水平和垂直方向的十二种不同导联做记录，称为标准十二导联，即I、II、III、aVR、aVL、aVF、V1、V2、V3、V4、V5、V6导联。为记录十二导联心电图，在测量时须在人体上安放10个电极，分别为：右手电极RA；左手电极LA；右腿电极RL；左腿电极LL；胸部6个电极C1~C6。根据国家标准，由这些电极可以合成标准12导联心电图：（式中，VR、VL、VF和Vi(i=1~6)表示右臂、左臂、左腿和胸壁的电位。） （1）标准肢体导联： 导联I=VL-VR； 导联II=VF-VR； 导联III=VF-VL； （2）加压单极肢体导联： aVR=VR-(VL+VF)/2; aVL=VL-(VR+VF)/2; aVF=VF-(VR+VL)/2; （3）胸导联： 数值分析期末试题 一、填空题（20102=?分） （1)设??? ? ? ??? ??---=28 3 012 251A ，则=∞ A ______13_______。 （2)对于方程组?? ?=-=-3 4101522121x x x x ，Jacobi 迭代法的迭代矩阵是=J B ?? ? ? ??05.25.20。 （3)3*x 的相对误差约是*x 的相对误差的 3 1倍。 （4）求方程)(x f x =根的牛顿迭代公式是) ('1)(1n n n n n x f x f x x x +-- =+。 （5）设1)(3 -+=x x x f ，则差商=]3,2,1,0[f 1 。 （6）设n n ?矩阵G 的特征值是n λλλ,,,21 ，则矩阵G 的谱半径=)(G ρi n i λ≤≤1max 。 （7）已知?? ? ? ??=1021 A ，则条件数=∞ )(A Cond 9 （8）为了提高数值计算精度，当正数x 充分大时,应将)1ln(2 -- x x 改写为 )1ln(2 ++ -x x 。 （9）n 个求积节点的插值型求积公式的代数精确度至少为1-n 次。 （10）拟合三点))(,(11x f x ，))(,(22x f x ，))(,(33x f x 的水平直线是)(3 1 3 1 ∑== i i x f y 。 二、（10分）证明：方程组? ?? ??=-+=++=+-1 211 2321321321x x x x x x x x x 使用Jacobi 迭代法求解不收敛性。 证明：Jacobi 迭代法的迭代矩阵为 ???? ? ?????---=05 .05 .01015.05.00J B J B 的特征多项式为 习题二 1. 已知，求的二次值多项式。 2. 令求的一次插值多项式，并估计插值误差。解：；，介于x和0,1决定的区间；，当时 3. 给出函数的数表，分别用线性插值与二次插值求的近似值，并估计截断误差。0.54667, 0.000470 ；0.54714，0.000029 4. 设，试利用拉格朗日余项定理写出以为节点的三次插值多项式。 5. 已知，求及的值。1，0 6. 根据如下函数值表求四次牛顿插值多项式，并用其计算和的近似值。， 7. 已知函数的如下函数值表，解答下列问题（1）试列出相应的差分表；（2）分别写出牛顿向前插值公式和牛顿向后插值公式。 解：向前插值公式向后插值公式 8. 下表为概率积分的数据表，试问：1）时，积分2）为何值时, 积分？。 9. 利用在各点的数据（取五位有效数字），求方程在0.3和0.4之间的根的近似值。0.3376489 10. 依据表10中数据，求三次埃尔米特插值多项式。 11.依据数表11中数据，利用基函数方法，构造四次埃尔米特插值多项式。 13. 将区间分成n等分，求在上的分段三次埃尔米特插值多项式, 并估计截断误差。 14、给定的数值表 用线性插值与二次插值计算In 0.54的近似值并估计误差限 解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值，并应用误差估计。线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值 误差限，因，故 二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值 误差限，故 15、在-4< x W4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近 似值，要使误差不超过，函数表的步长h应取多少？ 解：用误差估计式， 数值分析教案 土建学院 工程力学系 2014年2月 一、课程基本信息 1、课程英文名称：Numerical Analysis 2、课程类别：专业基础课程 3、课程学时：总学时32 4、学分：2 5、先修课程：《高等数学》、《线性代数》、《C 语言》 6、适用专业：工程力学 二、课程的目的与任务： 数值分析是工程力学专业的重要理论基础课程，是现代数学的一个重要分支。其主要任务是介绍进行科学计算的理论方法，即在计算机上对来自科学研究和工程实际中的数学问题进行数值计算和分析的理论和方法。通过本课程的学习，不仅使学生初步掌握数值分析的基本理论知识，而且使学生具备一定的科学计算的能力、分析问题和解决问题的能力，为学习后继课程以及将来从事科学计算、计算机应用和科学研究等工作奠定必要的数学基础。 三、课程的基本要求： 1．掌握数值分析的常用的基本的数值计算方法 2．掌握数值分析的基本理论、分析方法和原理 3．能利用计算机解决科学和工程中的某些数值计算应用问题，增强学生综合运用知识的能力 4．了解科学计算的发展方向和应用前景 四、教学内容、要求及学时分配： (一) 理论教学： 引论（2学时） 第一讲（1-2节） 1．教学内容： 数值分析(计算方法)这门课程的形成背景及主要研究内容、研究方法、主要特点；算法的有关概念及要求；误差的来源、意义、及其有关概念。数值计算中应注意的一些问题。 2．重点难点： 算法设计及其表达法；误差的基本概念。数值计算中应注意的一些问题。3．教学目标： 了解数值分析的基本概念；掌握误差的基本概念：误差、相对误差、误差限、相对误差限、有效数字；理解有效数字与误差的关系。学会选用相对较好的数值计算方法。数值分析期末试卷
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