初二数学春季班（教师版）
多边形是四边形章节第一节的内容，主要讲解的是多边形的内角和及外角和与边数之间的关系，比较基础，题目相对较简单．平行四边形是特殊的四边形的基础内容，奠定了特殊的四边形的基础，题型比较灵活，综合性也比较强，是综合证明题及计算题的理论依据，为进一步学习特殊的平行四边形打好基础．
1、由平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次联结所组成的封闭图形叫做多边形．
2、组成多边形的每一条线段叫做多边形的边；相邻的两条线段的公共端点叫做多边形的
顶点．
3、多边形相邻两边所在的射线组成的角叫做多边形的内角．
4、联结多边形的两个不相邻顶点的线段，叫做多边形的对角线．
5、对于一个多边形，画出它的任意一边所在的直线，如果其余各边都在这条直线的一侧，那么这个多边形叫做凸多边形；否则叫做凹多边形．
6、多边形内角和定理：n边形的内角和等于(2)180
n-??．
7、由多边形的一个内角的一边和另一边的反向延长线组成的角，叫做多边形的外角．
8、对多边形的每一个内角，从与它相邻的两个外角中取一个，这样取得的所有外角的和，叫做多边形的外角和．
9、多边形的外角和等于360°．
多边形及平行四边形的性质内容分析
知识结构
模块一：多边形
知识精讲
【例1】 （1）从五边形的一个顶点出发，可画出__________条对角线；
（2）从一个多边形内的一点出发，分别联结各个顶点，可得出6个三角形，这个多 边形共有__________条对角线． 【难度】★
【答案】（1）2；（2）20．
【解析】（1）多边形的一个顶点可以画()3n -条对角线，所以是5-3=2条．
（2）由题意知，一个多边形可以切割成()2n -个三角形，则()2n -=6，由多边形的对角线条数公式
()32
n n -，可知这个多边形共有
()883202
?-=条对角线．
【总结】考察多边形对角线的概念及条数公式．
【例2】 四边形的内角和为（ ）
A ．90°
B ．180°
C ．360°
D ．720° 【难度】★ 【答案】C
【解析】四边形可以分割成两个三角形，所以内角和是360°．也可以通过多边形内角和 定理来计算：()1802n -． 【总结】考察多边形的内角和定理．
【例3】 一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7 【难度】★ 【答案】C
【解析】多边形内角和定理是：()1802n -，所以720°=()1802n -，解得6n =． 【总结】考察多边形的内角和定理的应用．
例题解析
【例4】 如果一个四边形的四个内角的度数之比为1:2:3:4，那么这个四边形的最大内角的
度数是__________． 【难度】★ 【答案】144°．
【解析】四边形的内角和为360°，由题意可设四个内角度数分别为,2,3,4x x x x ，列方 程234360x x x x +++=，解得：36x =，所以最大内角4144x =． 【总结】考查多边形的内角和定理的应用．
【例5】 已知一个多边形的内角和是外角和的8倍，且这个多边形的每个内角都相等，求
这个多边形的边数与每个内角的度数． 【难度】★★
【答案】边数是18，每个内角的度数为160°．
【解析】因为多边形的外角都是360°，所以这个多边形的内角和为360°×8=2880°，
又因为多边形的内角和公式是()1802n -，所以()1802n -=2880°，解得：18n =． 因为每个内角都相等，所以每个内角度数为2880°÷18=160°. 【总结】考察多边形内角和外角的应用．
【例6】 一个多边形除了一个内角外，其余各内角的和为2750°，这个内角是多少度? 这个多边形有几条边? 【难度】★★ 【答案】18
【解析】设有n 条边，则内角和为()1802n -．因为多边形每个内角度数都大于0°小于
180°．所以()
275018022750180n -+，解此不等式地17.27
18.27n ，n 为边
数只能取正整数，所以18n =． 【总结】考察多边形内角和的应用．
【例7】 某人从点A 出发，沿直线前进100米后向左转30°，在沿着直线前进100米，又 向左转，...，照这样下去，他第一次回到出发点A 时，一共走了多少米． 【难度】★★ 【答案】1200米．
【解析】由题意知A 回到出发点时，所走轨迹是一个正多边形，由多边形的外交和是360°， 所以360°÷30°=12次，所以共走了12个100米，一共走了12×100=1200米． 【总结】考察多边形外角和的应用．
【例8】 在四边形ABCD 中，∠A =80°，∠B 和∠C 的外角分别为105°和32°，求∠D 的度数． 【难度】★★ 【答案】57°
【解析】多边形外角和为360°，由题意知∠A 的外角为180°-80°=100°，所以∠D 的 外角为360°-100°-105°-32°=123°，对应的∠D=180°-123°=57°． 【总结】考察多边形外角和的应用．
【例9】 设一个凸多边形，除去一个内角以外，其他内角的和为2570°，则该内角为
（ ）
A 、 40°
B 、90°
C 、120°
D 、130° 【难度】★★ 【答案】D
【解析】设有n 条边，则内角和为()1802n -．因为多边形每个内角度数都大于0°小于
180°．所以()257018022570180n <-<+，解此不等式地16.2717.27n ，
n 为边数只能取正整数，所以17n =,
所以这个内角为()()1802-2570180172-2570130n -=?-=． 【总结】考察多边形内角和的应用．
【例10】 一个凸n 边形的内角中，恰好有4个钝角，则n 的最大值是（ ） A 、5 B 、6 C 、7 D 、8 【难度】★★★ 【答案】C
【解析】因为多边形的内角和是180°的倍数，所以内角中有4个钝角，就会有()4n -
个直角或者锐角，可知内角和一定小于4×180°+()490n -?， 即()1802n -< 4×180°+()490n -?，解得：8n <，最大值是7． 【总结】考察多边形内角和的应用．
【例11】 已知，一个多边形的内角和与一个外角的差为1560°，求这个多边形的边数和
这个外角的度数． 【难度】★★★ 【答案】11，60°．
【解析】多边形的内角和为()1802n -，则这个外角为()18021560n --，由于每一个外
角都大于0°且小于180°，所以()018021560180n <--<，解得10.711.7n <<， 所以11n =，这个外角的度数为()()18021560180112156060n --=?--=． 【总结】考察多边形内外角和的应用．
【例12】 已知凸n 边形12n A A A ???（n ＞4）的所有内角都是15°的整数倍，且
123285A A A ∠+∠+∠=?，那么n =__________．
【难度】★★★ 【答案】10
【解析】多边形的内角和为()1802n -，其余共()3n -个内角和为()1802-285n -，
可知()18022850n -->是15°的倍数也是()3n -的倍数， ()()1802285
1803105
105718015123
3
33n n n n n n ----?
?==-
=- ?----?
?， 可知31n -=或者37n -=，又n ＞4，所以10n =． 【总结】考察多边形内外角和的应用．
1、 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．平行四边形用符号“”表示，
如：ABCD ． 2、平行四边形性质定理
①如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等． 简述为：平行四边形的对边相等．
②如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等． 简述为：平行四边形的对角相等．
③如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分． 简述为：平行四边形的两条对角线互相平分．
④平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点． ⑤推论：夹在两条平行线间的平行线段相等．
【例13】 在平行四边形ABCD 中，若∠A 的度数比∠B 大20°，则∠B 的度数为__________，
∠C 的度数为__________．
【难度】★
【答案】80°，100°．
【解析】因为是平行四边形，所以180A B ∠+∠=，又-20A B ∠∠=，
解得80100B A ∠=∠=；．因为平行四边形的对角相等，所以100C ∠=． 【总结】考察平行四边形的内角和及内角的性质．
模块二：平行四边形的概念及性质
知识精讲
例题解析
【例14】 在ABCD 中，E 在BC 上，AB =BE ，∠AEB =70°，求平行四边形ABCD 各内角
的度数．
【难度】★
【答案】40140B D BAD BCD ∠=∠=∠=∠=；．
【解析】由题知，在?BAE 中，70BEA BAE ∠=∠=，所以40B D ∠==∠， 180
40140
B A D B
C
D ∠=∠=-=． 【总结】考察平行四边形的内角度数相关知识点．
【例15】 如果ABCD 的周长是50cm ，AB 比BC 短3cm ，那么CD 、DA 分别是多少． 【难度】★
【答案】1411DA cm CD cm ==，．
【解析】平行四边形的对边平行且相等，所以50225AB BC cm +=÷=，又-3BC AB cm =， 解得1411.BC cm AB cm ==，又因为,AB CD BC AD ==,所以14,11DA cm CD cm ==． 【总结】考察平行四边形的边的相关知识点．
【例16】 如图，在△ABC 中，AB =AC =8，D 是底边BC 上一点，DE //AC ，DF //AB ，
求四边形AEDF 的周长． 【难度】★ 【答案】16
【解析】由题意知DE //AC ，所以C EDB ∠=∠,又因为C B ∠=∠ 所以B EDB ∠=∠，得EB=ED ．同理可得FD=FC ，
所以四边形AEDF 的周长=AE +ED +DF+AF =AE +EB +CF +AF =AB +AC =8+8=16．
【总结】考察平行四边形的边的平行性质的应用．
【例17】 如图，已知平行四边形ABCD 中，∠ABC 的平分线交AD 于点E ，且AE =2，DE =1，
则平行四边形ABCD 的周长等于__________．
【难度】★ 【答案】10
【解析】由题知ABE CBE ∠=∠．因为AD//BC ，
所以AEB CBE ∠=∠，得ABE AEB ∠=∠，即AE =AB =2．
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
F
因为AD=AE+ED =2+1=3，
所以平行四边形ABCD 的周长等于=2×（AB +AD ）=2×（2+3）=10． 【总结】考察平行四边形的综合应用．
【例18】 如图，ABCD 的周长为60cm ，对角线AC 、BD 相交于点O ，已知△BOC 的周
长比△AOB 的周长多8cm ，求ABCD 各边的长． 【难度】★
【答案】AB =CD =11cm ，BC =AD =19cm ． 【解析】由题知8BOC AOB C C ??-=，且OA =OC ，
即BO +OC +BC -(BO +OA +AB )=BC-AB =8，
又因为2×(AB +BC )=60，所以得BC +AB =30，BC -AB =8， 所以AB =CD =11cm ，BC =AD =19cm ． 【总结】考察平行四边形的性质的综合应用．
【例19】 平行四边形的一角平分线分对边为3和4两部分，这个平行四边形的周长为
________．
【难度】★★ 【答案】20或22．
【解析】如图由题意可分两种情况：1、AE=3，ED =4，
由题知ABE CBE ∠=∠．因为AD//BC ，所以AEB CBE ∠=∠，得ABE AEB ∠=∠， 即AE =AB=3，因为AD=AE+ED =3+4=7，
所以这个平行四边形的周长为2×(AB +AD )=2×(3+7)=20； 2、AE =4，ED =3，同理可求这个平行四边形的周长为22； 故该平行四边形的周长为20或22．
【总结】考察平行四边形的性质及等腰三角形的综合应用．
A
B
C
D
O
A
B
C
D E
【例20】 如图，在ABCD 中，AE ⊥BC 、AF
⊥CD ，垂足分别为E 、F ，若∠ B =50°， 求∠F AE 的度数． 【难度】★★ 【答案】50゜．
【解析】因为平行四边形的对角相等，所以50B D ∠=∠=．
因为平形四边形的邻角互补，所以18050130BAD ∠=-=． 在直角三角形BAE 中，40BAE ∠=，同理40DAF ∠=， 所以130404050FAE ∠=--=．
【总结】考察平行四边形的性质及直角三角形的性质的综合应用．
【例21】 平面直角坐标系中，ABCD 的对角线交点在坐标原点，若A 点的坐标为(4，3)，
B 点的坐标为(-2，2)，求点
C 、
D 的坐标及ABCD 的周长．
【难度】★★
【答案】C （-4，-3）；D （2，-2）；
【解析】因为平行四边形的对角线相互平分，所以可知C 点的坐标为（-4，-3），
D 点的坐标为（2，-2）．由两点间的距离公式可得AB
CB =
所以ABCD 的周长=2×
【总结】考察平行四边形的性质的在平面直角坐标系中的运用．
【例22】 在平面直角坐标系内，平行四边形ABCD 的边AB //x 轴，B 、D 均在y 轴上，又
知道A 、D 在直线y =2x -1上，且B 点坐标(0，1)，求A 、C 、D 的坐标及ABCD
S
． 【难度】★★
【答案】A (1 ，1)；C (-1 ，-1)；D (0 ，-1)；ABCD
S =2．
【解析】由题意知A 的纵坐标与B 相同，
把y =1代入y =2x -1中,可得A 的横坐标为1，
所以A 的坐标为A (1 ，1)，D 为y =2x -1与y 所以D 为（0，-1）．因为AB //CD 且AB =CD ， 所以C 的坐标为（-1，-1）．
从而可求CD=1，BD=2，且BD ⊥CD ，所以ABCD
S
=122CD BD ?=?=．
【总结】考察平行四边形的性质在平面直角坐标系中的应用．
B
【例23】 如图，已知ABCD 的面积为24，求阴影部分的面积．
【难度】★★ 【答案】12．
【解析】因为平行四边形是中心对称图形，可知每一个小阴 影三角形都有一个小空白三角形与之完全重合． 所以阴影部分的面积是24．
【总结】考察平行四边形的中心对称性的运用．
【例24】 已知在ABCD 中，M 是AD 的中点，AD =2AB ，求∠BMC 的度数． 【难度】★★ 【答案】90°．
【解析】由题知AM=AB=CD=MD ，设2ABC D ∠=∠=Φ．
则可得ABM MBC AMB ∠=∠=∠=Φ，在三角形DMC 中，DM=DC ，2D ∠=Φ， 可得90DMC ∠=-Φ，所以()
180-1809090BMC AMB DMC ∠=∠-∠=-Φ--Φ=． 【总结】考察平行四边形的性质的综合应用．
【例25】 如图所示，平行四边形ABCD 中，G 、H 是对角线BD 上两点，DG =BH ，DF =BE ． 求证：∠GEH =∠GFH ． 【难度】★★ 【答案】见解析．
【解析】在DFG ?与BHE ?中，
因为DG =BH ，DF =BE ，CDB DBA ∠=∠，所以DFG ??BHE ?，
所以GF=EH ，DGF BHE ∠=∠．从而FGH GHE ∠=∠，所以GF//EH ． 又因为GF=EH ，所以四边形GEHF 为平行四边形，从而∠GEH=∠GFH ． 【总结】考察平行四边形的性质的应用．
A
B
C
D
E F G
H
【例26】 如图所示，在平行四边形ABCD 中，DE ⊥AB 于点E ，BM =MC =DC ． 求证：∠EMC =3∠BEM ． 【难度】★★ 【答案】见解析．
【解析】延长EM 交DC 于F 点，易证()BEM CMF AAS ???，
则MF=ME ，即M 为EF 中点． 设BEM ?∠=，则F BEM ?∠=∠=，
在直角?FED 中，ME=MF=MD ，得CDM F ?∠=∠=， 所以2EMD F MDC ?∠=∠+∠=，又因为CM=CD ， 所以MDC CMD ?∠=∠=，
综上，233EMC CMD EMD BEM ???∠=∠+∠=+==∠． 【总结】考察平行四边形的性质及角的和差的综合应用．
【例27】 如图所示，在平行四边形ABCD 中，直线FH 与AB 、CD 相交，过点A 、D 、C 、 B 向直线FH 作垂线，垂足分别为点G 、F 、E 、H ，求证：AG DF CE BH -=-． 【难度】★★★ 【答案】见解析．
【解析】过A 点做AM ⊥DF ，易证四边形AMFG 为矩形，
则AG=MF ，所以AG-DF=MF-DF=-DM ． 同理过C 点做CN ⊥BH ，可证CE=HN ， CE-BH=HN-BH=-BN ．
因为BH//AG ，所以GAB HBA ∠=∠， 可知90HBA BAM GAB BAM ∠+∠=∠+∠=， 又180DAB ABC ∠+∠=，
所以()1809090DAM HBC DAB ABC MAB HBA ∠+∠=∠+∠-∠+∠=-=． 可得90DAM HBC ∠+∠=，从而得DAM BCN ∠=∠(同角的余角相等)． 在?ADM 和?CNB 中，AD=BC ，90AMD CNB ∠=∠=?，
又DAM BCN ∠=∠得()AMD CNB AAS ???，可得DM=BN ，从而-DM=-BN ， 再得CE-BH=AG-DF ．
【总结】考察平行四边形的性质的应用．
B
C
D
E
M
A
B C
D
E
F G
H
【例28】 如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD = 60°，AE 平分∠BAD 交CD 于E ，BF
平分∠ABC 交CD 于F ，又AE 与BF 交于O ，已知OB =OE =1．试求平行四边形ABCD 的面积．
【难度】★★★ 【答案】
【解析】因为AE 、BF 分别平分BAD ∠和ABC ∠，
又BAD ∠+ABC ∠=180°，所以AOB ∠=90°．
在直角?AOB 中，∠BAO=1
2∠BAD = 30°，OB =1，得OA
连接BE ，可求得?BAE 的面积
=(
111122AE OB ??=??=，
所以平行四边形ABCD 的面积=2×BAE S ?
=1+． 【总结】考察平行四边形的性质的综合应用．
【例29】 在□ABCD 中，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 的延长线于点F ．
（1）在图1中证明CE ＝CF ；
（2）若∠ABC ＝90°，G 是EF 的中点（如图2），求∠BDG 的度数． 【难度】★★★
【答案】（1）见解析；（2）45°．
【解析】（1）因为AE 平分∠BAD ，所以∠BAE=∠BEA ．
又因为AB//CD ，所以∠F =∠BAE =∠BEA=∠CEF ,从而得CE=CF ；
（2）连接BG 、CG ．由（1）可知CE=CF ,且BE=BA=DC 又∠ECF=90°． 因为G 是EF 的中点，CG=EG,∠F=∠FEC=45°，从而∠GCD=∠GEB =135°． 综上，可得()BEG DCG SAS ???，可得GB=GD ，∠DGC=∠BGE ， 所以90°=∠BGD=∠DGA+∠BGE=∠DGA+∠DGC ， 从而知?GBD 是等腰直角三角形，所以∠BDG=45°． 【总结】考察平行四边形的性质的综合应用．
A
B
C
D
E
F
O
【习题1】 如果一个凸多边形的每一个内角都等于140°，那么，这个多边形共有多少条
对角线?
【难度】★ 【答案】27
【解析】由题意知共有360°÷（180°-140°）=9条边，
根据多边形的对角线条数公式()()
39932722n n -?-==条．
【总结】考察多边形的基本知识的应用．
【习题2】 两个凸多边形，它们的边长之和为12，对角线的条数之和为19，那么这两个
多边形的边数分别是_________和_________．
【难度】★ 【答案】5，7
【解析】设这两个凸多边形的边数分别为x 条和y 条，可列方程x +y =12，
192)3(2)3(=-+-y y x x ，解得：1212
55
77x x y y ==????
==??． 所以这两个多边形的边数分别是5和7． 【总结】考察多边形的基础知识的应用．
【习题3】 若一个多边形的内角和是它外角和的3倍，求这个多边形的边数． 【难度】★ 【答案】8
【解析】由题可知该多边形的内角和为360°×3=1080°()1802n =-，解得8n =． 【总结】考察多边形的内外角和的应用．
随堂检测
【习题4】 如图， ABCD 中，AF ∶FC ＝1∶2，S △ADF ＝6cm 2，则ABCD
S 的值为________．
【难度】★ 【答案】36cm 2．
【解析】?AFD 与?CFD 同高，所以面积比等于底之比 AF :FC =1:2，所以22612DFC S cm ?=?=， 则261218DAC S cm ?=+=，所以2=218=36ABCD
S
cm ?．
【总结】考察平行四边边形的性质的应用．
【习题5】 如图，ABCD 中，BE ⊥CD ，BF ⊥AD ，垂足分别为E 、F ，若CE ＝2，DF ＝1，
∠EBF ＝60°，则ABCD 的面积为________．
【难度】★★
【答案】
【解析】因为360-D DFB DEB EBF ∠=∠-∠-∠=360°-90°-90°-60°=120°，
所以180********A D ∠=-∠=-=，又60A C ∠=∠=，在直角?BEC 中，
60C ∠=，EC =2，可得BC=4，BE =AD=BC =4，所以AF=AD-DF =4-1=3． 在在直角?AFB 中，60A ∠=，AF =3，可得AB =6．
综上平行四边形的面积为6? 【总结】考察平行四边形的性质的应用．
【习题6】 如图，□ABCD 的对角线相交于点O ，且AD ≠CD ，过点O 作OM ⊥AC ，交AD
于点M ，若△CDM 周长为a ，那么□ABCD 的周长为 ________．
【难度】★★ 【答案】2a ．
【解析】由平行四边形的性质可知OA=OC ，又MO=MO ，
MOA MOC ∠=∠，所以?MOA ??MOC ，所以MA=MC ．
所以?CMD 的周长=a =CM+DM+CD=AM+DM+CD=AD+CD ， 所以平行四边形的周长=()2AD 2CD a +=．
【总结】考察平行四边形的对角线互相平分的性质的应用．
M
【习题7】 在平面直角坐标系内，平行四边形ABCD 的边AB //y 轴，
B 、D 均在x 轴上，又知道A 、D 在直线y =2x +1上，且B 点 坐标(1，0)，求A 、
C 、
D 的坐标及ABCD
S 和ABCD
C
．
【难度】★★
【答案】A (1，3)；C (12-，-3)；D (1
2-，0)；ABCD S
=
9
2
； A B C D
C
=6+
【解析】由题可知A 的横坐标为1，代入y =2x +1可得A 的纵坐标为3，所以A (1，3)．
因为D 为y =2x +1与x 轴的交点，所以可得D (1
2
-，0)．因为ABCD 为平行四边形，
CD=AB =3，所以C (12-，3)．所以ABCD S =19
3122
AB BD ???=?+= ???，
AD =
则ABCD
C
=(
)2236AB AD ?
+=?+=+ ?． 【总结】考察平行四边形的性质的综合应用．
【习题8】 如图所示，小华从M 点出发，沿直线前进10米后，向左转20°，再沿直线前
进10米后，又向左转20°少米？
【难度】★★ 【答案】180米
【解析】多边形的外角和为360°，每个外角为20°，可知共有360°÷20°=18条边， 多边形的周长为18×10=180米． 【总结】考察多边形的外角的应用．
【习题9】 如图，已知M 是 ABCD 边AB 的中点，CM 交BD 于点E ，且DE =2BE ，则图
中阴影部分面积与 ABCD 的面积之比为（ ）
A ． 16
B ．14
C ．13
D ．512
【难度】★★ 【答案】C
【解析】设?BEM 的面积为x ，因为DE=2BE ，所以?DEM 的面积为2x ．
在梯形MBCD 中，2DEM CBE S S x ??==，同理可知24DCE BCE S S x ??==． 则1
62
DCB BCE DCE S S S x ???=+==
平行四边形ABCD 的面积，可知平行四边形的面积是 12x ，阴影部分的面积是224x x x +=，所以阴影部分面积与 ABCD 的面积之比为 41
123
x x =，选C ． 【总结】考察平行四边形有关的面积的综合应用．
【习题10】 如图，已知ABCD 是平行四边形，E 在AC 上，AE ＝2EC ，F 在AB 上，
BF ＝2AF ，如果△BEF 的面积为22cm ，则□ABCD 的面积是________． 【难度】★★ 【答案】92cm ．
【解析】?BEF 和?AEF 的面积之比等于BF:AF =2:1，
所以2221AEF BEF S S ??=÷=÷=2cm ． ?BEA 和?BEC 的面积之比等于AE:EC=2:1，所以2(21)2 1.5BEC BEA S S ??=÷=+÷=， 从而得21.53 4.5ABC EBC ABE S S S cm ???=+=+=， 从而得平行四边形的面积=222 4.59ABC S cm ?=?=． 【总结】考察平行四边形有关的面积的综合应用．
【习题11】 如图，□ABCD 中，∠ABC ＝75°，AF ⊥BC 于F ，AF 交BD 于E ，若DE ＝2AB ，
则∠AED 的大小是（ ） A ．60° B ． 65° C ．70° D ．75°
【难度】★★ 【答案】B
【解析】作DE 的中点M ，连结AM
设∠ADB =Φ=∠DBC ,则∠ABD =75°-Φ，取DE 中点M ，连接AM ．
可知∠DAF =∠AFC =90°．在直角三角形ADE 中，MA =1
2DE =AB ，
所以∠AEB =∠ABD =75°-Φ，又因为∠AEB =∠ADM +∠DAM =Φ+Φ=2Φ, 所以2Φ=75°-Φ，解得：Φ=25°，所以∠AED =90°-∠ADM =90°-25°=65°． 【总结】考察平行四边形的性质的综合应用．
【习题12】 如图，在□ABCD 中，E 为AD 上一点，F 为AB 上一点，且BE ＝DF ，BE
B
B
与DF 交于点G ，求证：∠BGC ＝∠DGC ． 【难度】★★★ 【答案】见解析
【解析】作CM ⊥BE 、CN ⊥DF ，垂足分别为M 、N 连接CF 、CE ． 由题意知CFD CBE S S ??==1
2
平行四边形的面积， 即11
22
BE CM DF CN ??=??，因为BE=DF ，所以CM=CN ， 在∠DGB 中，CM=CN ，可知CG 是∠DGB 的角平分线，即∠BGC ＝∠DGC ． 【总结】考察平行四边的性质与角平分线性质的综合应用．
【习题13】 如图，在凸五边形ABCDE 中，已知AB ∥CE ，BC ∥AD ，BE ∥CD ，DE ∥AC ，
求证：AE ∥BD ． 【难度】★★★ 【答案】见解析
【解析】因为BC//AD ，所以ABD ACD S S ??=．
因为AC//DE ，所以ACD ACE S S ??=．因为AB//CE ，所以ACE BCE S S ??=因为CD//BE ，所以BCE BDE S S ??=，所以ABD EBD S S ??=，所以AE//BD ． 【总结】考察同底等高的两个三角形面积相等的综合运用．
【作业1】 若一个多边形的内角和是外角和的5倍，则这个多边形的边数是（ ） A ．9 B ．10
C ．11
D ．12
【难度】★ 【答案】D
【解析】由题知这个多边形的内角为180°×（2n -）=360°×5，12n =． 【总结】考察多边形的基础知识．
课后作业
α
110°
106°
78°
【作业2】 如果一个凸多边形的每一个内角都等于120°，那么这个多边形共有多少条对角线？ 【难度】★ 【答案】9条．
【解析】由题意知共有360°÷（180°-120°）=6条边，根据多边形的对角线条数公式
()()3663922n n -?-==条．
【总结】考察多边形的基础知识．
【作业3】 如右图中的α∠的度数为__________． 【难度】★ 【答案】106°
【解析】由题知()
10678180110360α∠+++-=．α∠=106°． 【总结】考察多边形的内角的应用．
【作业4】 如图，ABFE 和CDEF 是完全相同的两个平行四边形，图中和△AOE 面积相同
的三角形（△AOE 除外）有________个． 【难度】★★ 【答案】5
【解析】由平行四边形的性质知AOE COF AOF COE DOE BOF S S S S S S ??????=====
【总结】考察平行四边形的面积综合应用．
【作业5】 已知某平行四边形的周长为80mm ，它被两条对角线分成四个三角形，其中相 邻两个三角形的周长差为12mm ，求这个平行四边形一组邻边的长． 【难度】★★
【答案】26mm ，14mm ．
【解析】由题知8BOC AOB C C ??-=，且OA =OC ，
即BO +OC +BC -(BO +OA +AB )=BC-AB =12mm ．
又因为2×(AB+BC)=80mm ，所以得BC+AB =40mm ，BC-AB=12mm ， 所以AB =CD =26mm ，BC =AD =14mm ．
【总结】考察平行四边形的对角线互相平分的综合应用．
A B
C
D E F
O
【作业6】 如图所示，平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O ，AC =a +b ，BD =a +c ， AB =m ，求m 的取值范围． 【难度】★★
【答案】22
b c b c
m a -+<<+
． 【解析】过C 作DB 的平行线交AB 的延长线于G ，可知四边形CDBG 为平行四边形． 可知CD =AB =BG ，BD=CG ，在?ACG 中，AC+CG>AG=2AB ， AC-CG 即2a b a c m +++>，()-2a b a c m ++<，得22b c b c m a -+<<+ ． 【总结】考察平行四边形的性质的综合应用 【作业7】 若凸多边形的n 个内角与某个外角之和为1350°，求n 的值 ． 【难度】★★ 【答案】9 【解析】设这个外角为Φ(0180<Φ<)，由题知()135018021710-180n n Φ=--=， 则01710-180180n <<，得8.59.5n <<，所以n =9． 【总结】考察多边形内外角的综合应用． 【作业8】 已知：AB ∥EF ∥GH ，BE =GC ．求证：AB =EF +GH ． 【难度】★★ 【答案】见解析. 【解析】过B 点做BO//AF ,交FE 的延长线于O ． 可知四边形ABOF 为平行四边形，所以AB=FO ， ∠ABO=∠FEG=∠HGC=∠BEO ，∠A=∠GHC=∠O ． 在?BEO 和?GHC 中，∠BEO=∠HGC ，BE=GC ，∠GHC=∠O ， 所以?BEO ??GHC ，则EO=HG ，所以AB=FO=FE+EO=FE+GH ． 【总结】考察平行四边形的性质与全等的综合应用． A B C D O A B C F E H G 第5关 多边形与平行四边形（讲义部分） 知识点1 多边形的概念和性质 多边形：在平面内，若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭的图形叫做多边形. 正多边形：多边形中，如果各条边都相等，各个内角都相等，这样的多边形叫做正多边形. 定理1：n 边形的内角和等于2180n -?（）（n 为不小于3的整数）.外角和等于360（n 为不小于3的整数）. 题型1 多边形内角和 【例1】一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720?，那么原多边形的边数为( ) A ．5 B ．5或6 C ．5或7 D ．5或6或7 【解答】解：如图， 剪切的三种情况：①不经过顶点剪，则比原来边数多1， ②只过一个顶点剪，则和原来边数相等， ③按照顶点连线剪，则比原来的边数少1， 设内角和为720?的多边形的边数是n ，则(2)180720n -=， 解得：6n =． 则原多边形的边数为5或6或7． 故选：D ． 【点评】本题考查了多边形的内角和定理，理解分三种情况是关键． 【例2】一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180?，求这个多边形的边数和内角和． 【解答】解：设这个多边形的边数为n ， 根据题意，得(2)1803360180n -??=??-?， 解得7n =． 所以这个多边形的内角和为：(72)180900-?=?． 【点评】本题考查多边形的内角和与外角和定理，任意多边形的外角和都是360?，与边数无关． 【例3】已知一个正多边形相邻的内角比外角大140?． （1）求这个正多边形的内角与外角的度数； （2）直接写出这个正多边形的边数． 【解答】解：（1）设正多边形的外角为x ?，则内角为(180)x -?，由题意，得 180140x x --=．解得20x =． ∴正多边形的内角为160?，外角为20?． （2）这个正多边形的边数为：3602018?÷?=． 【点评】本题考查多边形的内角和，解题的关键是熟练运用多边形的内角和公式，本题属于基础 题型． 《多边形》 本节课是在学生获得三角形、正方形、长方形等简单几何图形的知识基础上，进一步探索一般的多边形。 学生在探索过程中体验从简单到复杂，从特殊到一般的转化思想方法及类比的思想方法，感受数学探究活动的魅力。在教材的编排上本节课的教学内容起着承上启下的作用，从三角形的内角和到多边形的内角和，再将内角和公式应用于平面镶嵌， 知识环环相扣，层层递进。 【知识与能力目标】 观察大量的图片，认识一些简单的几何图形，了解多边形、正多边形 及其内角、对角线等数学概念。 【过程与方法目标】 经历由实物找出几何图形，由几何图形联想或设计实物的形状，丰富学生对几何图形的感性认识。 【情感态度价值观目标】 了解类比这种重要的数学思想方法，体验生活中处处有数学的道理。 【教学重点】 了解多边形、正多边形、内角、外角、对角线等数学概念以及凸凹多边形的辨别。 【教学难点】 对正多边形的正确理解以及凸凹多边形的辨别。 PPT课件，学案、三角板 一、情境导入 看下面的图片，你能从中找出由一些线段围成的图形吗？ 二、多边形及有关概念 这些图形有什么特点？由几条线段组成；它们不在同一条直线上；首尾顺次相接。这种在平面内，由一些不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。 多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形……这就是说，一个多边形由几条线段组成，就叫做几边形，三角形是最简单的多边形。 与三角形类似地，多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，如下图中的∠A、∠B、∠C、∠D、∠E是五边形ABCDE的五个内角。多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。如下图中的∠1是五边形ABCDE的一个外角。 连接多边形的不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。 四边形有几条对角线？五边形有几条对角线？画图看看。 你能猜想n边形有多少条对角线吗？说说你的想法。n边形有2 1 n（n-3）条对角线。 11.3多边形及其内角和练习题 一、选择题 1、n边形所有对角线的条数有（） A. B. C. D. 2、一个四边形，截一刀后得到的新多边形的内角和将（） A．增加180°B．减少180° C．不变 D．以上三种情况都有可能 3、如果一个多边形的边数变为原来的2倍后，其内角和增加了1260°，则这个多边形的边数为（） A．7 B．8 C．9 D．10 4、一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为（） A． 5 B． 5或6 C． 5或7 D． 5或6或7 8、多边形的每个内角都等于150°，则从此多边形的一个顶点出发可引的对角线有 A.8条 B.9条 C.10条 D.11条 9、一个多边形有14条对角线，那么这个多边形有（）条边 A.6 B.7 C.8 D.9 10、一个正多边形的外角与它相邻的内角之比为1：4，那么这个多边形的边数为--（） A．8 B．9 C．10 D．12 三、简答题 1、如果一个多边形的内角与外角和的差是1440°，那么这个多边形是几边形？ 2.一个多边形的内角和比它的外角的和的2倍还大180°，求这个多边形的边数 3、在四边形ABCD 中，∠D =60°，∠B 比∠A 大20°，∠C 是∠A 的2倍，求∠A ，∠B ，∠C 的大小． 4.如图12，在△ABC 中，∠A=40°，D 是BC 延长线上一点，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于E ，求∠E 的度数． 5.如图9，在△ABC 中，D 为BC 上一点，∠BAD=∠ABC ，∠ADC=∠ACD ，若∠BAC=63°，试求∠DAC 、∠ADC 的度数． 6.如图7，已知△ABC 中，BD 是∠ABC 的角平分线，DE ∥BC ，交AB 于E ，∠A ＝60°，∠C=80°，求：△BDE 各内角的度数． A B C D E 图 A B C D 图9 A E B C D 图7 初二数学春季班（学生版） 多边形是四边形章节第一节的内容，主要讲解的是多边形的内角和及外角和与边数之间的关系，比较基础，题目相对较简单．平行四边形是特殊的四边形的基础内容，奠定了特殊的四边形的基础，题型比较灵活，综合性也比较强，是综合证明题及计算题的理论依据，为进一步学习特殊的平行四边形打好基础． 1、由平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次联结所组成的封闭图形叫做多边形． 2、组成多边形的每一条线段叫做多边形的边；相邻的两条线段的公共端点叫做多边形的 顶点． 3、多边形相邻两边所在的射线组成的角叫做多边形的内角． 4、联结多边形的两个不相邻顶点的线段，叫做多边形的对角线． 5、对于一个多边形，画出它的任意一边所在的直线，如果其余各边都在这条直线的一侧，那么这个多边形叫做凸多边形；否则叫做凹多边形． 6、多边形内角和定理：n边形的内角和等于(2)180 n-??． 7、由多边形的一个内角的一边和另一边的反向延长线组成的角，叫做多边形的外角． 8、对多边形的每一个内角，从与它相邻的两个外角中取一个，这样取得的所有外角的和，叫做多边形的外角和． 9、多边形的外角和等于360°． 多边形及平行四边形的性质内容分析 知识结构 模块一：多边形 知识精讲 例题解析 【例1】（1）从五边形的一个顶点出发，可画出__________条对角线； （2）从一个多边形内的一点出发，分别联结各个顶点，可得出6个三角形，这个多边形共有__________条对角线． 【难度】★ 【答案】 【解析】 【例2】四边形的内角和为（） A．90°B．180°C．360°D．720° 【难度】★ 【答案】 【解析】 【例3】一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是（）A．4 B．5 C．6 D．7 【难度】★ 【答案】 【解析】 【例4】如果一个四边形的四个内角的度数之比为1:2:3:4，那么这个四边形的最大内角的度数是__________． 【难度】★ 【答案】 【解析】 多边形与平行四边形 【教学目标】 1、知识与技能 通过对平行四边形的回顾与思考，使学生梳理所学的知识，系统地复习平行四边形的定义、性质、判定方法。 2、过程与方法 正确理解平行四边形起的承上启下的作用，它与等腰三角形、等边三角形以及勾股定理之间的联系以及它与特殊平行四边形的联系与区别，在反思和交流过程中，逐渐建立知识体系。 3、情感、态度与价值观 引导学生独立思考，通过归纳、概括、实践等系统数学活动，感受获得成功的体验，形成科学的学习习惯。 教学重点：平行四边形的性质与判定的定理的理解与应用。 教学难点：平行四边形的性质与判定的应用判定的综合运用。 教学方法：指导—自主教学，教学手段是使信息技术与数学学科深度整合，打造高效的课堂 教学模式：以题代纲，梳理知识-----变式训练，查漏补缺 -----综合训练，总结规律-----合作练习，提高效率。 教具准备：三角板、多媒体、自制课件、自制教具。 教学过程：一、以题代纲，梳理知识 （一）开门见山，直奔主题 同学们，今天我们一起来复习《平行四边形性质与判定》的相关知识，先请同学们迅速地完成下面几道的基础练习，请看大屏幕。 基础练习1、在平行四边形ABCD中，AD=3，AB=2，平行四边形的周长是（） A.10 B.6 C.5 D.4 2.如图: 在 ABCD中,∠B = 110° 延长AD至F，延长CD至E，连结 E F，则∠ E ＋∠ F＝（） A、110° B、30° C、50° D、70° D F E A B C 3、在 中，对角线AC 、BD 相交于O 点，AC=10,BD=8，则 AD 的取值范围是( ) （A ）ＡＤ＞１ （B ）ＡＤ＜９ （C ）１＜ＡＤ＜９ （D ）ＡＤ＞０ 4.下例不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是（ ） A 、AB=CD AD=BC B 、AB=CD AB ∥CD C 、AB=C D AD ∥BC D 、AB ∥CD AD ∥BC 5.如图DE 是 ?ABC 的中位线，若BC 的长为3cm,则 ＤＥ的长（ ） （A ）2ｃｍ （B ）1.5 ｃｍ （C ）1.2ｃｍ （D ）1ｃｍ 【例1】 如图所示，已知 ABCD 的周长为30cm ，AE ⊥BC 于E 点， AF ⊥CD 于F 点，且AE=2cm,AF=3cm ，，求S ABCD . 变式：如图所示，已知 ABCD 的周长为30cm ，AE ⊥BC 于E 点，AF ⊥CD 于F 点，且AE= AF=2:3 ，∠C=120°,求S A B E C D B C D A 《多边形的内角和》说课稿 各位评委、各位老师： 大家好！我说课的内容是《多边形的内角和》。下面，我从以下几个方面对本节课的教学设计进行说明。 一、教材分析 1、教材的地位和作用 本节课作为第三节，起着承上启下的作用。在内容上，从三角形的内角和到多边形的内角和，再将内角和公式应用于平面镶嵌，环环相扣，层层递进，这样编排易于激发学生的学习兴趣，很适合学生的认知特点。通过这节课的学习，可以培养学生探索与归纳能力，体会从简单到复杂，从特殊到一般和转化等重要的思想方法。 2、教学重点和难点 重点：多边形的内角和与外角和 难点：探索多边形内角和时，如何把多边形转化成三角形。 二、教学目标分析 1、知识与技能：掌握多边形的内角和与外角和，进一步了解转化的数学思想。 2、数学思考：能感受数学思考过程的条理性，发展能力推理和语言表达能力，并体会从特殊到一般的认识问题的方法。 3、解决问题：让学生尝试从不同的角度寻求解决问题的方法，并能有效地解决问题。 4、情感态度：让学生体验猜想得到证实的成就感，在解题中感受生活中数学的存在，体验数学充满探索和创造。 三、教法和学法分析 本节课借鉴了美国教育家杜威的“在做中学”的理论和叶圣陶先生所倡导的“解放学生的手，解放学生的大脑，解放学生的时间”的思想，我确定如下教法和学法： 1、教学方法的设计 我采用了探究式教学方法，整个探究学习的过程充满了师生之间，生生之间的交流和互动，体现了教师是教学活动的组织者、引导者、合作者，学生才是学习的主体。 2、活动的开展 利用学生的好奇心设疑、解疑，组织活泼互动、有效的教学活动，鼓励学生积极参与，大胆猜想，使学生在自主探索和合作交流中理解和掌握本节课的内容。 3、现代教育技术的应用 我利用课件辅助教学，适时呈现问题情景，以丰富学生的感性认识，增强直观效果，提高课堂效率。 四、教学过程分析 1、本节教学将按以下六个流程展开 2、教学过程 多边形与平行四边形教案 一、教学内容分析 【地位及其作用】 多边形与平行四边形是初中阶段几何学习的基础核心内容之一，是学生在掌握平行线，三角形，全等三角形等有关知识，且具备初步的观察、操作等能力的基础上出现的，与后边的特殊平行四边形有着密切的联系.通过本节的学习使学生清楚地理解多边形与平行四边形的概念、基本的计算公式，并掌握它们的性质与判断，进一步培养学生的合情推理能力，发展学生的逻辑思维能力，促进学生基本数学思想和素养的形成有较好的促进作用. 【教学设计理念】 运用现代信息技术，使用微视频、几何画板、平板等多媒体，结合初三中考数学第一轮复习的教学要求，更好体现发展学生数学核心素养的理念，本节课采用了对多边形与平行四边形的知识点、考点的进行归纳形成思维导图，在教学过程中放手让学生在数学活动中经历、感受、归纳，使知识点结合考点形成清晰的导图．通过变式训练，分类讨论等促进学生思维方法及数学素养的多维化提升。 【复习目标】 1.知识与技能： ①通过微课学习，梳理多边形与平行四边形的知识结构框架； ②了解多边形的有关概念，掌握多边形的内角和公式与外角和，并会进行有关的计算与证明； ③掌握平行四边形的概念及有关性质和判定，并能进行计算和证明． 2．过程与方法： ①通过预习与画思维导图等环节，让学生感悟归纳整理知识点的方法与重要性． ②通过变式训练，进一步体会“数形结合”、“分类讨论”． 3．情感与态度：在学习过程中体验数的数学思想，在数学活动中让学生学会独立思考、与人合作，培养学生学数学的兴趣与自信心．在问题解决中培养学生深入探究的意识． 【教学重点】多边形的有关概念及平行四边形的性质和判定． 【教学难点】平行四边形的性质和判定的灵活运用． 初二数学春季班（教师版） 多边形是四边形章节第一节的内容，主要讲解的是多边形的内角和及外角和与边数之间的关系，比较基础，题目相对较简单．平行四边形是特殊的四边形的基础内容，奠定了特殊的四边形的基础，题型比较灵活，综合性也比较强，是综合证明题及计算题的理论依据，为进一步学习特殊的平行四边形打好基础． 1、由平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次联结所组成的封闭图形叫做多边形． 2、组成多边形的每一条线段叫做多边形的边；相邻的两条线段的公共端点叫做多边形的 顶点． 3、多边形相邻两边所在的射线组成的角叫做多边形的内角． 4、联结多边形的两个不相邻顶点的线段，叫做多边形的对角线． 5、对于一个多边形，画出它的任意一边所在的直线，如果其余各边都在这条直线的一侧，那么这个多边形叫做凸多边形；否则叫做凹多边形． 6、多边形内角和定理：n边形的内角和等于(2)180 n-??． 7、由多边形的一个内角的一边和另一边的反向延长线组成的角，叫做多边形的外角． 8、对多边形的每一个内角，从与它相邻的两个外角中取一个，这样取得的所有外角的和，叫做多边形的外角和． 9、多边形的外角和等于360°． 多边形及平行四边形的性质内容分析 知识结构 模块一：多边形 知识精讲 【例1】 （1）从五边形的一个顶点出发，可画出__________条对角线； （2）从一个多边形内的一点出发，分别联结各个顶点，可得出6个三角形，这个多 边形共有__________条对角线． 【难度】★ 【答案】（1）2；（2）20． 【解析】（1）多边形的一个顶点可以画()3n -条对角线，所以是5-3=2条． （2）由题意知，一个多边形可以切割成()2n -个三角形，则()2n -=6，由多边形的对角线条数公式 ()32 n n -，可知这个多边形共有 ()883202 ?-=条对角线． 【总结】考察多边形对角线的概念及条数公式． 【例2】 四边形的内角和为（ ） A ．90° B ．180° C ．360° D ．720° 【难度】★ 【答案】C 【解析】四边形可以分割成两个三角形，所以内角和是360°．也可以通过多边形内角和 定理来计算：()1802n -． 【总结】考察多边形的内角和定理． 【例3】 一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 【难度】★ 【答案】C 【解析】多边形内角和定理是：()1802n -，所以720°=()1802n -，解得6n =． 【总结】考察多边形的内角和定理的应用． 例题解析 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ A B C D 第3题 第7题 11.3.1 多边形 一、选择题 1.下列图形中，是正多边形的是（ ） A.直角三角形 B.等腰三角形 C.长方形 D.正方形 2.九边形的对角线有（ ） A.25条 B.31条 C.27条 D.30条 3. 如图，下面四边形的表示方法：①四边形ABCD ；②四边形ACBD ；③四边形ABDC ；④四边形ADCB ．其中正确的有（ ） A ．1种 B ．2种 C ．3种 D ．4种 4. 四边形没有稳定性，当四边形形状改变时，发生变化的是（ ） A ．四边形的边长 B ．四边形的周长 C ．四边形的某些角的大小 D ．四边形的内角和 5.下列图中不是凸多边形的是（ ） 6．（2006?柳州）把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是（） A．六边形B．五边形C．四边形D．三角形 7．如图，木工师傅从边长为90cm的正三角形木板上锯出一正六边形木块，那么正六边形木板的边长为 （） A．34cm B．32cm C．30cm D．28cm 8．下列图形中具有稳定性的有（） A．正方形B．长方形C．梯形D．直角三角形 二、填空题 9．以线段a=7，b=8，c=9，d=11为边作四边形，可作_________个. 10．把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是_________边形. 11．在平面内，由一些线段________________相接组成的_____________叫做多边形。 12．多边形_________组成的角叫做多边形的内角。 13．多边形的边与它的的邻边的__________组成的角叫做多边形的外角。 14．连接多边形_________的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。 15．_________都相等，_________都相等的多边形叫做正多边形。 16．在四边形ABCD中，AC⊥BD，AC=6cm，BD=10cm，则四边形ABCD的面积等于_________． 17．将一个正方形截去一个角，则其边数_________． 18．如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是_________． 多边形和内角和 练习题 温故而知新： 1.多边形 多边形的内角和：n边形内角和等于＿(n-2)·180°＿＿ 多边形的外角和：任意多边形外角和等于＿＿360°＿ 多边形的对角线：凸n边形共有＿1 (3) 2 n n-＿条对角线。 2.平面镶嵌 定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）问题. 说明：正三角形、正方形和正六边形可以镶嵌平面图案，正五边形不能镶嵌平面图案. 多边形的对角线 例 1 今年暑假，佳一学校安排全校师生的假期社会实践活动，将每班分成三个组，每组派1名教师作为指导教师，为了加强同学间的联系，学校要求该班每两人之间（包括指导教师）每周至少通一次电话，现知该校七（1）班共有50名学生，那么该班师生之间每周至少要通几次电话？为了解决这一问题，小明把该班师生人数n与每周至少通话次数s之间的关系用下列模型表示，如图。 解析: 师生53人看作是53边形的53个顶点，n边形的对角线条数公式为：1 (3) 2 n n-。 答案： 解：将七（1）班师生53人看作是53边形的53个顶点，由多边形对角线条数公式1 (3) 2 n n-得 1 ??-= 53(533)1325 2 所以1325+53=1378次。 答：该班每周师生之间至少要通1378次电话 小结：（1）建立数学模型是解决实际问题的基本方法；（2）n边形的对角线的条数公式是 1 (3) n n- 2 多边形的内角和与外角和 例2 已知一个多边形的外角和等于内角和的1/3，求这个多边形的边数。 解析： 多边形的外角和为360°，根据多边形的内角和及外角和列方程. 答案： 解：设这个多边形的边数为n，根据题意，得 1 n-?= (2)180360 3 解得 n=8 答：这个多边形的边数是8. 小结： 利用方程求解是解决此类问题的一般方法。 例3 如图，小陈从O点出发，前进5米后向右转20°，再前进5米后又向右转20°，……这样一直走下去，他第一次回到出发点O时一共走了（） A.60米 B.100米 C.90米 D.120米 解析： 根据多边形的外角和求出这个多边形的边数。 答案： 11．3 多边形及其内角和 基础过关作业 1．四边形ABCD中，如果∠A+∠C+∠D=280°，则∠B的度数是（） A．80° B．90° C．170° D．20° 2．一个多边形的内角和等于1080°，这个多边形的边数是（） A．9 B．8 C．7 D．6 3．内角和等于外角和2倍的多边形是（） A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形4．六边形的内角和等于_______度． 5．正十边形的每一个内角的度数等于______，每一个外角的度数等于_______． 6．如图，你能数出多少个不同的四边形？ 7．四边形的四个内角可以都是锐角吗？可以都是钝角吗？可以都是直角吗？?为什么？ 8．求下列图形中x的值： 综合创新作业 9．（综合题）已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，?DF平分∠ADC．BE与DF有怎样的位置关系？为什么？ 10．（应用题）有10个城市进行篮球比赛，每个城市均派3个代表队参加比赛，规定同一城市间代表队不进行比赛，其他代表队都要比赛一场，问按此规定，?所有代表队要打多少场比赛？ 11．（创新题）如图，以五边形的每个顶点为圆心，以1为半径画圆，求圆与五边形重合的面积． 12．（1）（2005年，南通）已知一个多边形的内角和为540°，则这个多边形为（） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 （2）（2005年，福建泉州）五边形的内角和等于_______度． 13．（易错题）一个多边形的每一个顶点处取一个外角，这些外角中最多有钝角（? ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 培优作业 14．（探究题） （1）四边形有几条对角线？ 五边形有几条对角线？ 六边形有几条对角线？ …… 猜想并探索： n边形有几条对角线？ 4.4多边形与平行四边形 易错清单 1.平行四边形的性质. 【例1】(2014·湖南益阳)如图,平行四边形ABCD中,E,F是对角线BD上的两点,如果添加一个条件使△ABE≌△CDF,则添加的条件不能是(). A. AE=CF B. BE=FD C. BF=DE D. ∠1=∠2 【解析】 A.当AE=CF无法得出△ABE≌△CDF,故此选项符合题意; B. 当BE=FD, ∵平行四边形ABCD, ∴AB=CD,∠ABE=∠CDF. 在△ABE和△CDF中, ∴△ABE≌△CDF(SAS),故此选项错误; C. 当BF=ED, ∴BE=DF. ∵平行四边形ABCD, ∴AB=CD,∠ABE=∠CDF. 在△ABE和△CDF中, ∴△ABE≌△CDF(SAS),故此选项错误; D. 当∠1=∠2, ∵平行四边形ABCD, ∴AB=CD,∠ABE=∠CDF. 在△ABE和△CDF中, ∴△ABE≌△CDF(ASA),故此选项错误; 【答案】 A 【误区纠错】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定等知识,熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键.注意平行四边形对角线互相平分. 2.平行四边形的判定. 【例2】(2014·云南)如图,在平行四边形ABCD中,∠C=60°,M,N分别是AD,BC的中点,BC=2CD. (1)求证四边形MNCD是平行四边形; (2)求证BD=MN. 【解析】(1)根据平行四边形的性质,可得AD与BC的关系,根据MD与NC的关系,可得证明结论; (2)根据根据等边三角形的判定与性质,可得∠DNC的度数,根据三角形外角的性质,可得∠DBC的度数,根据正切函数,可得答案. 【答案】(1)∵ABCD是平行四边形, ∴AD=BC,AD∥BC. ∵M,N分别是AD,BC的中点, ∴MD=NC,MD∥NC. ∴四边形MNCD是平行四边形. (2)如图,连接ND, ∵四边形MNCD是平行四边形, ∴MN=DC. ∵N是BC的中点, B F A C E D D C B A H B A C F E D 第九章 多边形测试题 一、精心选一选:（每题3分，共30分） 1、下列三条线段不能构成三角形的是( ) A ．4cm 、2cm 、5cm B ．3cm 、3cm 、5cm C ．2cm 、4cm 、3cm D ．2cm 、2cm 、6cm 2、下列说法正确的个数是( ) ①钝角三角形有两条在三角形内部; ②三角形三条高至多有两条不在三角形内部; ③三角形三条高的交点不在三角形内部，就在三角形外部; ④钝角三角形三内角的平分线的交点一定不在三角形内部. A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 3、（n+1）边形的内角和比n 边形的内角和大（ ） A 、180° B 、360° C 、180n D 、360n 4、如图，则∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F=（ ） A 、180° B 、360° C 、540° D 、720° 5、如果三角形最大内角是60°，则这个三角形是( ) A 、等腰三角形 B 、等边三角形 C 、不等边三角形 D 、不能确定 6、具备下列条件的三角形中，不是直角三角形的是( ) A 、∠A+∠B=∠C B 、∠A=∠B= 1 2 ∠C C 、∠A=90°－∠B D 、∠A －∠B=90° 7 、现有正三角形、正十边形与第三种正多边形能铺平整的地面，则第三种正多边形是( ) A ．正十二边形 B ．正十三边形 C ．正十四边形 D ．正十五边形 8、在正方形ABCD 所在的平面内找点P ，使△PAB ，△PBC ，△PCD ，△PAD 均为等腰三角形，这样的点P 有（ ）个 A 、1 B 、4 C 、5 D 、9 9、a 、b 、c 是三角形的三边长，化简a b c b a c c a b --+--+--后等于( ) A ．3b a c +- B ．a b c ++ C ．333a b c ++ D ．a b c +- 10、如图，至少去掉( )个点，才能使留下的任何三个点 都不能组成一个正三角形( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 二、填空题（每题3分，共30分） 1、4条线段的长度分别为2，3, 4，5，任选3条线段可以组成 个三角形。 2、用正三角形和正四边形作平面镶嵌，在一个顶点周围，可以有 个在三角形和 个正四边形。 3、如图（1），∠1=65°，∠2=85°，∠3=60°，∠4=40°，那么∠5的度数是 。 4、如图（2），已知ΔABC 中，AB=AC ，∠B=40°，AD ⊥BC ，E 是CD 的中点，则图中的钝角三角形有 ；锐角三角形有 ；直角三角形有 。 5、若三角形的三边c b a ,,分别是cm c cm x b cm a 6,)1(,3=-==,则 x 应满足的取值范围是 。 6、已知ΔABC 是等腰三角形，若它的两边长分别为8㎝和3㎝，则它的周长为 ；若它的两边长分别为8㎝和5㎝，则它的周长为 ；若它的周长为18㎝，其中一边的长为4㎝，则另外两边的长分别是 。 7、过m 边形的顶点能作7条对角线，n 边形没有对角线，k 边形有k 条对角线，则(m-k)n =___. 8、如图（3），在四边形ABCD 中，∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，∠7=∠8， 则∠E+∠F= 。 9、一个三角形的三条高的交点恰好是该三角形的一个顶点，则该三角形的形状是______. 10、一个多边形除去一个内角后，其余各内角的和为2780°，则除去的这个内角的度数为________. 三、解答题 1、（10）已知在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，周长为cm 16，AC 边上的中线BD 把ABC ?分成周长差为4cm 的两个三角形，求ABC ?各边的长。 3、（10）如图，已知：D 为ABC ?内一点，说明：AB+AC ＞BD+CD 。 图3 6 5 4 321 7 B F A 8C E D 图2 E D C B A ┐ 5 4 3 2 1 图1 多边形与平行四边形 考点扫描 1、多边形与正多边形的概念、内角和、外角和、性质。 2、平面图形的镶嵌及镶嵌设计。 3、平行四边形的概念与性质，平行四边形判定。 一、选择题 1、下列正多边形中，能够铺满地面的正多边形有 （ ） ①正六边形；②正方形；③正五边形；④正三角形； A 1种 B 2种 C 3种 D 4种 2、小明用两根同样长的竹棒做对角线，制作四边形的风筝，则该风筝的形状一定是 （ ） A 矩形 B 正方形 C 等腰梯形 D 无法确定 3、若四边形四角度数之比为1：2：2：3，则此四边形为 （ ） A ． 梯形 B 正方形 C 直角梯形 D 平行四边形 4、（2007乐山）如图，在平面四边形ABCD 中，CE AB ⊥，E 为垂足．如果125A =o ∠，则BCE =∠（ ）B Ａ．55o Ｂ．35o Ｃ．25o Ｄ．30o 5、（2005年天津市）如图，在ABCD 中，EF ∥AB ，GH ∥AD ，EF 与GH 交于点O ，则该图中的平行四边形的个数共有（ ） A ．7个 B ．8个 C ．9个 D ．11个 6、（2007浙江金华）国家级历史文化名城——金华，风光秀丽，花木葱茏．某广场上一个形状是平行四边形的花坛（如图），分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花．如果有AB EF DC ∥∥，BC GH AD ∥∥，那么下列说法中错误的是（ ）C A ．红花、绿花种植面积一定相等 B ．紫花、橙花种植面积一定相等 C ．红花、蓝花种植面积一定相等 D ．蓝花、黄花种植面积一定相等 7、（2007山东日照）如图，在周长为20cm 的□ABCD 中，AB ≠AD ，AC 、BD 相交于点O ，O E ⊥BD 交AD 于E ，则△ABE 的周长为（ ）D (A)4cm (B)6cm (C)8cm (D)10cm 8、（2005年山东省）如图，在ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 、F?是对角线AC 上的两点，A E B C D 4题图 黄 蓝 紫 橙 红 绿 A G E D H C F B 第6题 5题图 A B C D O E 7题图 8题图 9题图 §11.3.1多边形 教学目标 1．了解多边形及有关概念，理解正多边形及其有关概念． 2．区别凸多边形与凹多边形． 重点难点 1．重点： （1）了解多边形及其有关概念，理解正多边形及其有关概念． （2）区别凸多边形和凹多边形． 2．难点： 多边形定义的准确理解． 教学过程 一、新课讲授 投影：图形见课本P19图11.3一l． 你能从投影里找出几个由一些线段围成的图形吗？ 上面三图中让同学边看、边议． 在同学议论的基础上，老师给以总结，这些线段围成的图形有何特性？ （1）它们在同一平面内． （2）它们是由不在同一条直线上的几条线段首尾顺次相接组成的． 这些图形中有三角形、四边形、五边形、六边形、八边形，那么什么叫做多边形呢？ 提问：三角形的定义． 你能仿照三角形的定义给多边形定义吗？ 1．在平面内，由一些线段首位顺次相接组成的图形叫做多边形． 如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形叫做n边形．（一个多边形由几条线段组成，就叫做几边形．） 2．多边形的边、顶点、内角和外角． 多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角． 3．多边形的对角线 连接多边形的不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． 让学生画出五边形的所有对角线． 4．凸多边形与凹多边形 看投影：图形见课本P19．11．3—6． 在图（1）中，画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形，这样的多边形称为凸多边形；而图（2）就不满足上述凸多边形的特征，因为我们画BD所在直线，整个多边形不都在这条直线的同一侧，我们称它为凹多边形，今后我们在习题、练习中提到的多边形都是凸多边形． 5．正多边形 由正方形的特征出发，得出正多边形的概念． 多边形的内角和与平行四边形的性质 1．多边形及其内角和与外角和 (1)多边形的概念 ①定义:在同一平面内不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的几何图形叫多边形． ②多边形的边:所相连的线段叫做多边形的边． ③多边形的角:①内角-------多边形相邻两边所组成的角叫多边形内角；②多边形的外角------多边形的一边与相邻边延长线组成的角叫做多边形的外角. ④多边形的对角线:多边形不相邻的两个点的连线组成的线段叫做多边形的对角线． n 边形从一个顶点可以引 条对角线.把n 边形分成 个三角形.n 边形对角线条数为 . (2)多边形的内角和与外角和 ①多边形的内角和:多边形的内角和为 ． ②多边形外角和:多边形的外角和为 ． (3)正多边形: ①正多边形:各边相等,每个内角相等的多边形叫做正多边形． ②正n 边形的每个内角度数为 ，每个外角的度数为 ． 2．平行四边形 (1)平行四边的概念 ①定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． ②平行四边形对边、邻边、对角、邻角、对角线等概念． ③平行四边形的表示 (2)性质： ①边：对边 ；对边 ． ②角：对角 ；邻角 ；四个角之和 ． 推论：夹在两条平行线间的平行线段 ． ③对角线：平行四边形的对角线 ． (3)两条平行线的距离 (1)平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上的点到另一条直线的距离叫做这两条平行线之间的距离；平行线间的距离处处 ． (2)平行四边形的高：在平行四边形中，从一条边上的任意一点，向对边画垂线，这点与垂足间的距离(或从这点到对边垂线段的长，或者说这条边和对边的距离)，叫做以这条边为底的平行四边形的高．这里所说的“底”是相对高而言的． (3)平行四边形的面积：等于它的底和高的积，即ABCD S ＝a·h ．（其中a 可以是平行四边形的任何一边，h 必须是a 边与其对边的距离，即对应的高）． 3．平面镶嵌 (1)用地板铺地,用瓷砖贴墙.都要求砖与砖严丝合缝,不应空隙,把地面或墙面全部覆盖,从数学角度看,这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖,通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)的问题． (2)平面镶嵌的条件 ①用同一种正多边形镶嵌平面的条件是:当正多边形的一个内角的正整数倍是360时.这种正多边形可以覆盖平面. 只有正三角形,正方形,正六边形能镶嵌成一个平面图形． ②用两种边长相等的正多边形镶嵌平面的条件是设两钟正多边形的内角分别为α，β，当mα+nβ=360中的mn 有正整数解时，这两种正多边形可以覆盖平面． 正三角形和正方形或正三角形和正六边形或正三角形和正六边形能覆盖平面． ③在一般的多边形中,只有三角形和四边形可以覆盖平面． 方法与技能 【例1】(1)已知一个多边形的每个内角都相等,且一个内角等于它相邻外角的9倍.求这个多边形的边数. (2)一个多边形有14条对角线,求它的内角和与边数 (3)已知一个多边形的每一个外角都等于72°,求这个多边形的内角和. 课题：11.3.1多边形 教学目标： 了解多边形及有关概念，理解正多边形及其有关概念． 重点： 多边形及有关概念． 难点： 多边形对角线的应用. 教学流程： 一、情境引入 问题：你能从图中想象出几个由一些线段围成的图形吗？ 答案： 二、探究1 定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.如： 四边形，五边形，六边形，八边形 练习1： 1.下列图形中是多边形的有( ) A．1个B．2个C．3个D．4个 答案：C 2.把一个多边形纸片剪去其中一个角，剩下的部分是一个四边形，则原多边形不可能是( ) A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形 答案：D 三、探究2 定义：多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角.多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 归纳1：n边形的一个顶点能引出(n－3)条对角线，把这个多边形分成(n－2)个三角形 追问：你能画出其它的对角线吗？ 答案： 归纳2：n边形的对角线总条数为 (3) 2 n n . 练习2： 1.下列标注的角中是五边形ABCDE的外角的是( ) A.∠1 B.∠2 C.∠3 D.∠4 答案：C 2.如图，画出六边形ABCDEF的所有对角线． (1)从一个顶点可以作____条对角线； (2)六边形一共有____条对角线． 答案：3，9 四、探究3 想一想：下面的多边形有什么不同呢？ 定义：整个多边形都在任何一边所在直线的同一侧，这样的多边形叫做凸多边形.整个多边形不都在某一边所在直线的同一侧，这样的多边形叫做凹多边形. 问题：观察下面的多边形，它们的边、角各有什么特点？ 定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形． 练习3： 1.下列图形中，是正多边形的是( ) 多边形与平行四边形中考考点分析 多边形与平行四边形 多边形的内外角和 1.正八边形的每个内角为（ ） A ．120° B ．135° C ．140° D ．144° 2.一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是 A ． 4 B ． 5 C ． 6 D ． 7 3.四边形的内角和为 A 180? B 360? C 540? D 720? 4.四边形的外角和为__________. 5.如图，已知矩形ABCD ，一条直线将该矩形 ABCD 分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为 M 和 N ，则 M + N 不可能是（ ） A . 3600 B . 5400 C. 7200 D . 6300 6.若凸n 边形的内角和为1260°，则从一个顶点出发引的 对角线条数是____ 基本概念辨析 7.四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，给出 C B D 第10 下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB=CD，AD=BC；③AO=CO，BO=DO；④AB∥CD，AD=BC．其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有A．1组B．2组C．3组D．4组 8.如图（二）所示，ABCD中，对角线AC，BD相交于点 O，且AB≠AD，则下列式子不正确的是（） A.AC⊥BD B.AB＝CD C. BO=OD D.∠BAD=∠BCD 9.如图，在平行四边形ABCD中(AB≠BC)，直线EF经过其对角线的交点O,且分别交AD、BC于点M、N，交BA、DC的延长线于点E、F，下列结论： ①AO=BO；②OE=OF；③△EAM∽△EBN；④△EAO≌△CNO，其中正确的是 A. ①② B. ②③ C. ②④ D.③④ 新人教版八年级上册：多边形及其内角和形成性练习 ____年级___班 姓名__________ _________年____月___日 星期____ 一、选择题 1.四边形ABCD 中，如果∠A+∠C+∠D=280°，则∠B 的度数是（ ） A ．80° B ．90° C ．170° D ．20° 2.一个多边形的内角和等于1080°，这个多边形的边数是（ ） A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 3．内角和等于外角和2倍的多边形是（ ） A ．五边形 B ．六边形 C ．七边形 D ．八边形 4．过多边形的一个顶点可以作7条对角线，则此多边形的内角和是外角和的( ) A.4倍 B. 5倍 C. 6倍 D. 3倍 5.一个多边形的外角中,钝角的个数不可能是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.四边形中,如果有一组对角都是直角,那么另一组对角可能( ) A.都是钝角 B.都是锐角 C.是一个锐角、一个钝角 D.是一个锐角、一个直角 7.若一个多边形共有十四条对角线,则它是( ) A.六边形 B.七边形 C.八边形 D.九边形 8.若一个多边形除了一个内角外,其余各内角之和为2570°,则这个内角的度数为( ) A.90° B.105° C.130° D.120° 9.在四边形ABCD 中，∠A 、∠B 、∠C 、∠D 的度数之比为2∶3∶4∶3，则∠D 的外角等于 （ ） A.60° B.75° C.90° D.120 10.从凸n 边形的一个顶点引出的所有对角线把这个凸n 边形分成了m 个小三角 形，若m 等于这个凸n 边形对角线条数的9 4，那么此n 边形的内角和为( ) A.360° B. 720° C. 900° D. 1080° 二、 填空题 11.每个内角都为144°的多边形为_________边形. 12.已知一个多边形的每一个外角都相等,一个内角与一个外角的度数之比9:2,则这个多边形的边数为_________. 13.一个多边形截去一个角（?不过顶点）后，所形成的一个多边形的内角和是2520°，那么原多边形的边数是__________. 14.若正n 边形的一个内角与正2n 边形的一个内角的和等于270° ，则n 为_____________. 15.如图，每个圆的圆心都在五边形的顶点上，半径都为1，则阴影 部分的面积是_____________. 16.如图，在六边形ABCDEF 中，AF//CD ，AB//DE ，且 ∠A=120°， ∠B=80°，则∠C 的度数是__________，∠D 的度数是_______． 三、解答题 17.探究：(1)如图①∠1+∠2与∠B+∠C 有什么关系？为什么？初二数学多边形与平行四边形知识点大全
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