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高考数学函数的基本性质

第二节函数的基本性质

高考试题

考点一函数的单调性

1.(2012年山东卷,理3)设a>0且a ≠1,则“函数f(x)=a x

在R 上是减函数”是“函数g(x)=(2-a)x 3

在R 上是增函数”的( )

(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件

(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件

解析:若函数f(x)=a x

在R 上为减函数,则有0

在R 上是增函数,则有2-a>0,所以a<2,

所以“函数f(x)=a x 在R 上为减函数”是“函数g(x)=(2-a)x 3

在R 上是增函数”的充分不必要条件.故选A. 答案:A

2.(2012年广东卷,理4)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( )

(A)y=ln(x+2) (C)y=(

(D)y=x+

解析:函数y=ln(x+2)在区间(0,+∞)上为增函数;函数(0,+∞)上为减函数;函数y=(12

在区间(0,+∞)上为减函数;函数y=x+1

在区间(0,+∞)上为先减后增函数.故选A. 答案:A

3.(2011年重庆卷,理5)下列区间中,函数f(x)=|ln(2-x)|,在其上为增函数的是( ) (A)(-∞,1] (B)[-1,

] (C)[0,

) (D)[1,2)

解析:法一由题知,f(x)=()()ln 2,12,

ln 2, 1.

x x x x ?--≤

由复合函数的单调性可知,函数f(x)在[1,2)递增,在(-∞,1)递减.故选D.

法二用图象法解决,将y=ln x 的图象关于y 轴对称得到y=ln(-x)的图象,再向右平移两个单位,得到y=ln(-(x-2))的图象,将得到的图象在x 轴下方的部分翻折上来,即得到f(x)=|ln(2-x)|的图象.由图象,选

项中f(x)是增函数的显然只有D. 答案:D

4.(2010年安徽卷,理9)动点A(x,y)在圆x 2

+y 2

=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12秒旋转一周.已知

时间t=0时,点A 的坐标是(12),则当0≤t ≤12时,动点A 的纵坐标y 关于t(单位:秒)的函数的单调递增区间是( ) (A)[0,1] (B)[1,7] (C)[7,12] (D)[0,1]和[7,12]

解析:如图所示,数形结合.由题意知T=12秒,则动点A 转过30°圆心角用时1秒,

又t=0时A(

12),∴∠AOD=60°, 由图形看出,由A 到B 与由C 到A 时,y 为t 的增函数, ∴所求单调增区间为[0,1]和[7,12].故选D.

答案:D

5.(2011年上海卷,理20)已知函数f(x)=a·2x+b·3x,其中常数a,b满足ab≠0.

(1)若ab>0,判断函数f(x)的单调性;

(2)若ab<0,求f(x+1)>f(x)时x的取值范围.

解:(1)当a>0,b>0时,任意x1,x2∈R,

令x1

f(x1)-f(x2)=a(12x-22x)+b(13x-23x),

∵12x<22x,a>0?a(12x-22x)<0,

3x<23x,b>0?b(13x-23x)<0,

∴f(x1)-f(x2)<0,函数f(x)在R上是增函数.

当a<0,b<0时,同理,函数f(x)在R上是减函数.

(2)f(x+1)-f(x)=a·2x+2b·3x>0,

当a<0,b>0时,(3

)x>-

,则x>log1.5(-

);

当a>0,b<0时,(3

)x <-

,则x

考点二函数的奇偶性

1.(2013年广东卷,理2)定义域为R的四个函数y=x3,y=2x,y=x2+1,y=2sin x中,奇函数的个数是( )

(A)4 (B)3 (C)2 (D)1

解析:因f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x),所以y=x3是奇函数,f(-x)=2sin (-x)=-2sin x=-f(x),

所以y=2sin x是奇函数,

由函数性质知y=2x是非奇非偶函数,y=x2+1是偶函数,所以奇函数的个数是2,故选C.

答案:C

2.(2011年广东卷,理4)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是( )

(A)f(x)+|g(x)|是偶函数(B)f(x)-|g(x)|是奇函数

(C)|f(x)|+g(x)是偶函数(D)|f(x)|-g(x)是奇函数

解析:设h(x)=f(x)+|g(x)|,

∴h(-x)=f(-x)+|g(-x)|=f(x)+|g(x)|=h(x).

所以h(x)是偶函数.故选A.

答案:A

3.(2013年山东卷,理3)已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=x2+1

,则f(-1)等于( )

(A)-2 (B)0 (C)1 (D)2

解析:因为x>0时,f(x)=x2+1 x ,

所以f(1)=1+1=2.

又f(x)为奇函数,

所以f(-1)=-f(1)=-2.故选A.

答案:A

4.(2011年安徽卷,理3)设f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=2x2-x,则f(1)等于( )

(A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3

解析:f(1)=-f(-1)=-[2(-1)2-(-1)]=-3.故选A.

答案:A

5.(2011年福建卷,理9)对于函数f(x)=asin x+bx+c(其中,a,b∈R,c∈Z),选取a,b,c的一组值计算f(1)和f(-1),所得出的正确结果一定不可能是( )

(A)4和6 (B)3和1

解析:令g(x)=asin x+bx,

则g(x)是奇函数,它有对称中心(0,0),

所以f(x)以(0,c)为对称中心,

即

()()

f f

=c∈Z,

即f(1)+f(-1)=2c是偶数.故选D.

答案:D

6.(2010年新课标全国卷,理8)设偶函数f(x)满足f(x)=x3-8(x≥0),则{x|f(x-2)>0}等于( )

(A){x|x<-2或x>4} (B){x|x<0或x>4}

(C){x|x<0或x>6} (D){x|x<-2或x>2}

解析:根据f(x)=x3-8(x≥0)可以画出如图(1)的图象,又因为f(x)为偶函数可得图(2),y=f(x)向右平移2个单位可得y=f(x-2)的图象,如图(3),由图(3)易知f(x-2)>0时,可得x<0或x>4,故选B.

答案:B

7.(2009年全国卷Ⅰ,理11)函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数,则( )

(A)f(x)是偶函数(B)f(x)是奇函数

(C)f(x)=f(x+2) (D)f(x+3)是奇函数

解析:∵f(x+1)与f(x-1)都是奇函数,

∴f(-x+1)=-f(x+1),f(-x-1)=-f(x-1),

∴函数f(x)关于点(1,0),及点(-1,0)对称,函数f(x)是周期T=2[1-(-1)]=4的周期函数.

∴f(-x-1+4)=-f(x-1+4),

即f(-x+3)=-f(x+3),

故f(x+3)是奇函数.故选D.

答案:D

8.(2012年上海卷,理9)已知y=f(x)+x2是奇函数,且f(1)=1.若g(x)=f(x)+2,则g(-1)= .

解析:设h(x)=f(x)+x2,据题意知,h(-x)+h(x)=0,

即f(-x)+f(x)=-2x2,

所以f(-1)+f(1)=-2,

又f(1)=1,所以f(-1)=-3,

因此g(-1)=f(-1)+2=-1.

答案:-1

9.(2011年浙江卷,理11)若函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数a= .

解析:法一∵f(x)=x2-|x+a|为偶函数,

∴f(-x)=f(x).

∴(-x)2-|-x+a|=x2-|x+a|对x∈R恒成立,

∴|a-x|=|a+x|对x∈R恒成立,∴a=0.

法二由于f(x)是偶函数,

所以必有f(-1)=f(1),

即1-|a-1|=1-|a+1|,

所以|a-1|=|a+1|,两边平方可求得a=0,即实数a=0.答案:0

考点三函数的周期性

1.(2011年大纲全国卷,理9)设f(x)是周期为2的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)=2x(1-x),则f(-5

)等

于( )

(A)-1

(B)-

(C)

(D)

解析:∵f(-5

)=f(-

+2)=f(-

)=-f(

) =-2×

×(1-

)

.故选A.

答案:A

2.(2011年山东卷,理10)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0≤x<2时,f(x)=x3-x,则函数y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为( )

(A)6 (B)7 (C)8 (D)9

解析:当x∈[0,2)时,令f(x)=x3-x=0,

即x(x2-1)=0,

∴x1=0,x2=1.

∵T=2,

∴f(0)=f(0+2)=f(0+4)=f(0+6)=0.

f(1)=f(1+2)=f(1+4)=0,

即在区间[0,6]上函数图象与x轴的交点共7个.故选B.

答案:B

3.(2012年重庆卷,理7)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且以2为周期,则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的( )

(A)既不充分也不必要的条件

(B)充分而不必要的条件

(C)必要而不充分的条件

(D)充要条件

解析:法一根据函数的性质,当f(x)在[0,1]上递增时,可得f(x)的图象如下:

由图象知f(x)在[0,1]上递增时,f(x)在[3,4]上递减,反之当f(x)在[3,4]上递减时,f(x)在[0,1]上递增.法二因f(x)在[0,1]递增,f(x) 是偶函数,故f(x)在[-1,0]上递减,任取x1、x2∈[-1,0]且x1

f(x1)>f(x2),又f(x)的周期是2,故f(x1+4)>f(x2+4)且x1+4,x2+4∈[3,4],所以f(x)在[3,4]上递减,同理可得,f(x)在[3,4]上递减时,f(x)在[-1,0]上递减,故f(x)在[0,1]上递增.

答案:D

4.(2013年江苏卷,1)函数y=3sin(2x+π

)的最小正周期为.

解析:T=2π

=π.

答案:π

5.(2012年江苏卷,10)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间[-1,1]上,f(x)=

1,10,

,01,

ax x

+-≤<

≤≤

其

中a,b∈R.若f(1

)=f（

）,则a+3b的值为.

解析:由题意f(1

)=f(

)=f(-

所以

a+1,

∴3

a+b=-1①

又f(-1)=f(1),∴b=-2a,②解①②得a=2,b=-4,

∴a+3b=-10.

答案:-10

6.(2010年重庆卷,理15)已知函数f(x)满足:f(1)=1

,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y∈R),则

f(2010)= .

解析:取x=1,y=0得f(0)=1 2 .

取x=n,y=1,有f(n)=f(n+1)+f(n-1),同理f(n+1)=f(n+2)+f(n),

联立得f(n+2)= -f(n-1) ,所以T=6 ,

故f(2010)=f(0)=1 2 .

答案:1

模拟试题

考点一函数的单调性

1.(2012辽宁协作体模拟)已知f(x)是定义在实数集R上的增函数,且f(1)=0,函数g(x)在(-∞,1]上为增函数,在[1,+∞)上为减函数,且g(4)=g(0)=0,则集合{x|f(x)g(x)≥0}等于( )

(A){x|x≤0或1≤x≤4} (B){x|0≤x≤4}

(C){x|x≤4} (D){x|0≤x≤1或x≥4}

解析:画出函数f(x)和g(x)的草图如图所示,

由图可知当f(x)g(x)≥0时,

x的取值范围是x≤0或1≤x≤4,

即{x|f(x)g(x)≥0}={x|x ≤0或1≤x ≤4}.故选A. 答案:A

2.(2013重庆高三(上)期末测试)“函数(0,+∞)上是增函数”的充分不必要条件是 a ∈ .

解析:(0,+∞)上是增函数,故需要2-a>0,即a<2,而要求充分不必要条件,则填集合(-∞,2)的一

个子集即可. 答案:(-∞,t)(t<2)

考点二函数的奇偶性

1.(2012广东佛山模拟)已知函数f(x)=()()120,210,x x x x -?-≥?

则该函数是( )

(A)偶函数,且单调递增 (B)偶函数,且单调递减 (C)奇函数,且单调递增

(D)奇函数,且单调递减

解析:当x>0时,f(x)=1-2-x

,这时-x<0,所以f(-x)=2-x

-1,于是f(-x)=-f(x);当x<0时,f(x)=2x

-1,这时-x>0,

所以f(-x)=1-2x ,于是也有f(-x)=-f(x).又f(0)=0,故函数f(x)是一个奇函数;又因为当x>0时,f(x)=1-2-x

单调递增,当x<0时,f(x)=2x

-1也单调递增,所以f(x)单调递增.故选C. 答案:C

2.(2011浙江省“百校联盟”交流联考卷)定义在R 上的奇函数f(x)满足:当x>0时,f(x)=2010x

+log 2010x,则在R 上方程f(x)=0的实根个数为( )

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

解析:因为f(x)是R 上的奇函数,所以f(0)=0.当x>0时,函数y=2010x

与函数y=-log 2010x 有一个交点,知2010x

+log 2010x=0有唯一的实根.由奇函数性质知,当x<0时,也有唯一一个根使f(x)=0,所以f(x)=0在R 上有3个实数根. 答案:C

考点三函数基本性质的综合应用

1.(2013浙江宁波高三第一学期期末)函数f(x)=15,0,51,0,x x x x -?-≥?

则该函数为( )

(A)单调递增函数,奇函数 (B)单调递增函数,偶函数

(C)单调递减函数,奇函数 (D)单调递减函数,偶函数

解析:当x>0时,-x<0,则f(-x)=5-x -1=-f(x);当x<0时,-x>0,则f(-x)=1-5x

=-f(x),又f(0)=0,所以函数f(x)为奇函数,易知函数在(0,+∞)递增,故函数在定义域内递增.故选A. 答案:A

2.(2012浙江台州模拟)函数y=f(x-1)为奇函数,y=f(x+1)为偶函数(定义域均为R).若0≤x<1时,f(x)=2x

,则f(10)= .

解析:依题意得f(-x-1)=-f(x-1), f(-x+1)=f(x+1),

所以f(x+4)=-f(x),f(x+8)=f(x), 故函数周期为8.

f(10)=f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=1. 答案:1

综合检测

1.(2013重庆一中第一次摸底)已知定义在R 上的函数f(x)满足f(1)=1,f(x+2)=()

f x 对任意x ∈R 恒成立,则f(2011)等于( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 解析:由f(x+2)=

()1f x ,得f(-1+2)=()

1f -,

即f(1)f(-1)=1, 而f(1)=1,故f(-1)=1, 且f(x+4)=

()

2f x +=f(x), ∴f(2011)=f(503×4-1)=f(-1)=1.故选A.

答案:A

2.(2012茂名二模)已知减函数f(x)的定义域是R,m,n ∈R,如果不等式f(m)-f(n)>f(-m)-f(-n)成立,那么在下列给出的四个不等式中,正确的是( ) (A)m+n<0 (B)m+n>0

(C)m-n<0 (D)m-n>0

解析:将f(m)-f(n)>f(-m)-f(-n)变形为f(m)+f(-n)>f(-m)+f(n),当mf(n)且f(-n)>f(-m),反之亦成立.故选C. 答案:C

3.(2012琼海一模)已知定义在R 上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=a x

-a -x

+2(a>0且a ≠1),若g(2)=a,则f(2)等于( ) (A)2 (B)

174 (C)154

(D)a 2

解析:由题意得

f(-x)+g(-x)=g(x)-f(x)=a -x

-a x

+2,

联立f(x)+g(x)=a x -a -x

+2,

求解得g(x)=2,f(x)=a x

-a -x

故a=2,f(2)=22-2-2

=4-14=15

.故选C. 答案:C

高三数学二轮复习教学案一体化：函数的性质及应用(2)

专题1 函数的性质及应用（2）高考趋势 1.函数历来是高中数学最重要的内容，不仅适合单独命题，而且可以综合运用于其它内容．函数是中学数学的最重要内容，它既是工具，又是方法和思想．在江苏高考文理共用卷中，函数小题（不含三角函数）占较大的比重，其中江苏08年为3题，07年为4题． 2.函数的图像往往融合于其他问题中，而此时函数的图像有助于找出解决问题的方向、粗略估计函数的一些性质。另外，函数的图像本事也是解决问题的一种方法。这些高考时常出现。图像的变换则是认识函数之间关系的一个载体，这在高考中也常出现。通过不同途径了解、洞察所涉及到的函数的性质。在定义域、值域、解析式、图象、单调性、奇偶性、周期性等方面进行考察。在上述性质中，知道信息越多，则解决问题越容易。考点展示 1. “龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点…用S 1、S 2 分别表示乌龟和兔子所行的路程，t 为时间，则下图与故事情节相吻合的是 B 2. 函数x y 1=的图像向左平移2个单位所得到的函数图像的解析式是 21 +=x y 3. 函数 )(x f 的图像与函数2)1(2---=x y 的图像关于 x 轴对称，则函数 )(x f 的解析式是 2)1(2+-x 4. 方程22 3x x -+=的实数解的个数为 2 5. 函数)1(x f y +=的图像与)1(x f y -=的图像关于 x=0 对称函数图象对称问题是函数部分的一个重要问题，大致有两类：一类是同一个函数图象自身的对称性；一类是两个不同函数之间的对称性。定理1 若函数y=f(x) 对定义域中任意x 均有f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图象关于直线2 a b x += 对称。定理2 函数()y f a x ω=+与函数()y f a x ω=-的图象关于直线2b a x ω -=对称特殊地，函数y=f(a+x)与函数y=f(b-x)的图象关于直线2 b a x -= 对称。 6. 函数2 1()2 f x x x =-+定义域为[]n m ,，值域为[]n m 2,2，m n <，则m n += -2 样题剖析例1. 已知R 上的奇函数)(x f 在),0[+∞上是单调递增函数，且2)3(=f ,若函数)(x f 的图像向右平移1个单位后得到函数)(x g 的图像，试解不等式： 02 )(2 )(>+-x g x g ),4()2,(+∞--∞ 变式：若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且f (2)=0，则使得f (x )<0的x 的取值范围是（-2，2）．例2. 已知函数x b b ax x f 22242)(-+-=，R b a a x x g ∈---=,,)(1)(2 其中（1）当b=0时，若)(x f 在),2[+∞上单调递增，求a 的取值范围；1≥a （2）求满足下列条件的所有实数对),(b a ：当a 为整数时，存在0x ，使得)(0x f 是)(x f 的最大值， )(0x g 是)(x g 的最小值。（2224b b a -+=2)1(5--=b ，502≤