课题1：奇偶性
知识点：
【例】设f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)=x 2
+2x+a(a 为常数）则f （-1）= 【答案】-1【解析】因为f(x)是定义在R 上的奇函数，则f(0)=0；f(0)=a=0，所以f(x)=x 2
+2x ；所以f （-1）=（-1）2
+2（-1）=-1. 【例】设f(x)=lg(
a +x
-12
)是奇函数，则使f(x)<0的x 的取值范围是( ) A.(-1,0) B.(0,1) C.(-∞,0) D.（-1,1）
【答案】A 【解析】f(x)=lg(
a +x
-12
)是奇函数，且在x=0处有定义则f(0)=0，即f(0)=lg(
a +0
-12
)=0，则a=-1;f(x)<0,即 lg(a +x -12)<0得?????<--<±≠111201
x x
，解得-1 【例】已知函数法f(x)=x 214x -在[-a,a]上的最大值为M ，最小值为m,则M+m= 【答案】0【解析】因为f(x)=x 2 14x -=x 2-x 21=x 2--x 2；所以f(x)为奇函数，且定义域为R ，所以M+m=0. 【2012新课标1】已知函数f(x)=1sin )1x 22+++x x （.在R 上最大值为M ，最小值为m,则M+m= 【答案】2【解析】f(x)=1sin )1x 22+++x x （=1 sin 1x 2x 2 2++++x x =1+1sin x 22++x x ，令g(x)= 1sin x 22++x x ,则g(-x)=1--sin x 2-2++）（x x =1 sin x 2-2 ++x x =g(-x)，所以f(x)=奇函数+1，则M+m=2˙1=2 【例】已知函数f(x)=)31x 9ln(1 e 1 e 32x x x -++++在区间[-k,k]上的最大值为M ，最小值为m,则M+m= 【答案】4【解析】f(x)=)31x 9ln(1e 1e 32x x x -++++=)31x 9ln(1e 1-e 2e 22 x x x x -+++++ =2+)31x 9ln(1e 1-e 2 x x x -+++，令g(x)=)31x 9ln(1 e 1-e 2x x x -+++,由常见的奇偶函数结论知g(x)=奇+奇=奇。所以f(x)=奇函数+2，所以M+m= 2˙2=4 【例】函数f(x)=)1x a ln(22ax -++9,且f(-2)=4,则f(2)= 【答案】4【解析】f(x)=)1x a ln(22ax -++9,由常见的奇偶函数结论知f(x)=奇+9,所以f(-2)+f(2)=2˙9=18，所以f(2)=14. 【例】f(x)=x x x x x cos 22)4(sin 22 2++++π 的最大值为M ，最小值为m,则M+m= 【答案】2【解析】f(x)=x x x x x cos 22)4(sin 22 2++++π =x x x x x x cos 22cos sin 22++++=1+x x x x cos 2sin 2++，令g(x)=x x x x cos 2sin 2++,则g(-x)=）（）（）（x x x x -cos -2--sin 2 +=-x x x x cos 2sin 2++=-g(x)，所以g(x)为奇函数，所以f(x)=奇函数+1，则M+m= 2˙1=2 【例】定义在[-2010,2010]上的函数f(x)满足：对任意的1x ，2x ∈[-2010,2010]，有f(1x +2x )=f(1x )+f(2x )-2010，且（1x -2x ）[f(1x )-f(2x )]>0,若f(x)的最大值和最小值分别为M ，N ，则M+N 的值为（ ） A.2009 B.2010 C.4018 D.4020 【答案】D 【解析】因为（1x -2x ）[f(1x )-f(2x )]>0,所以f(x)为单增函数故M+N=f(2010)+f(-2010).令g(x)=f(x)-2010,g(1x +2x )=f(1x +2x )-2010，g(1x )=f(1x )-2010，g(2x )=f(2x )-2010;因为f(1x +2x )=f(1x )+f(2x )-2010，所以g(1x +2x )=g(1x )+g(2x )，则g(x)为奇函数，f(x)=g(x)+2010,所以f(x)=奇函数+2010，所以M+N=2˙2010=4020。 题型一：奇偶性的判断 【2017北京理】已知函数f （x ）=3x ﹣（ 3 1）x ，则f （x ）（ ） A ．是奇函数，且在R 上是增函数 B ．是偶函数，且在R 上是增函数 C ．是奇函数，且在R 上是减函数 D ．是偶函数，且在R 上是减函数 【答案】 A 【解析】解：f （x ）=3x ﹣（ 3 1）x =3x ﹣3﹣x ，∴f （﹣x ）=3﹣x ﹣3x =﹣f （x ）， 即函数f （x ）为奇函数，又由函数y=3x 为增函数，y=（3 1）x 为减函数，故函数f （x ）=3 x ﹣（3 1）x 为增函数， 【2015新课标1】——常见奇函数之①x n ②log a (bx+ 12 2b +x ) 若函数f （x ）=xln （x+2a x +）为偶函数．则a= ． 【答案】 1【解析】∵f （x ）=xln （x+2a x +）为偶函数，∴f （﹣x ）=f （x ）， ∴（﹣x ）ln （﹣x+2a x +）=xln （x+2a x +），∴﹣ln （﹣x+2a x +）=ln （x+2a x +）， ∴ln （﹣x+2a x +）+ln （x+2a x +）=0， ∴ ， ∴lna=0， ∴a=1． 【2015广东理】下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ） A.y=2 x 1+ B ．y=x+ x 1 C ．y=2x +x 21 D ．y=x+e x 【答案】 D 【解析】对于A ，y=2x 1+是偶函数，所以A 不正确； 对于B ，y=x+ x 1 函数是奇函数，所以B 不正确； 对于C ，y=2x +x 2 1是偶函数，所以C 不正确； 对于D ，不满足f （﹣x ）=f （x ）也不满足f （﹣x ）=﹣f （x ），所以函数既不是奇函数，也不是偶函数，所以D 正确 【2015湖南理】设函数f （x ）=ln （1+x ）﹣ln （1﹣x ），则f （x ）是（ ） A ．奇函数，且在（0，1）上是增函数 B ．奇函数，且在（0，1）上是减函数 C ．偶函数，且在（0，1）上是增函数 D ．偶函数，且在（0，1）上是减函数 【答案】 A 【解析】函数f （x ）=ln （1+x ）﹣ln （1﹣x ），函数的定义域为（﹣1，1）， 函数f （﹣x ）=ln （1﹣x ）﹣ln （1+x ）=﹣[ln （1+x ）﹣ln （1﹣x ）]=﹣f （x ），所以函数是奇函数．排除C ，D ，正确结果在A ，B ，只需判断特殊值的大小，即可推出选项，x=0时，f （0）=0；x= 21时，f （21）=ln （1+21）﹣ln （1﹣21）=ln3＞1，显然f （0）＜f （2 1 ），函数是增函数，所以B 错误，A 正确 【2012陕西理】2. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ） A ．1y x =+ B ．3 x y -= C ．1 y x = D ．||y x x = 【答案】D 【解析】选项中是奇函数的有B 、C 、D ，增函数有D. 【例】判断下列函数的奇偶性。 （1）f(x)=2 2) 1(lg 2---x x （2）f(x)=1x x -122-+ (3)f(x)= 2 43x -3x -+ (4)f(x)=(x-1) x -+1x 1 【解析】（1）函数的定义域是?? ???≠-->,022, 0x -12 x ?-1 f(x)=22)1(lg 2---x x =2 x -2)1(lg 2--x =-x ) 1(lg 2x -,f(-x)=-x ]-1[lg 2 --）（x =x )1(lg 2x -=-f(x),故f(x) 为奇函数。 （2）函数的定义域是?????≥-≥, 01x , 0x -122 ?x=±1,关于原点对称，此时f(x)=0,故函数既是奇函 数又是偶函数。 （3）函数的定义域是4-2 x >0，?-2 f(x)= 2 43x -3x --=- 2 4x x -,f(-x)=- 2 -4x -） （x -=-f(x)，故函数f(x)为奇函数。 （4）函数的定义域是??? ??≥-+≠,01x 1,0x -1x ?-1≤x<1，关于原点不对称，所以f(x)非奇非偶函数。 题型二：函数奇偶性的运算 【2014?新课标1-5】设函数f （x ），g （x ）的定义域都为R ，且f （x ）是奇函数，g （x ）是偶函数，则下列结论中正确的是（ ） A ．f （x ）g （x ）是偶函数 B ．|f （x ）|g （x ）是奇函数 C ．f （x ）|g （x ）|是奇函数 D ．|f （x ）g （x ）|是奇函数 【答案】C 【解析】∵f （x ）是奇函数，g （x ）是偶函数，∴|f （x ）|为偶函数，|g （x ）|为偶函数．再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得 f （x ）|g （x ）|为奇函数， 【2011广东理4】设函数()f x 和g(x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 （ ） A ．()f x +|g(x)|是偶函数 B ．()f x -|g(x)|是奇函数 C ．|()f x | +g(x)是偶函数 D ．|()f x |- g(x)是奇函数 【答案】A 【解析】因为 g(x )是R 上的奇函数,所以|g(x)|是R 上的偶函数,从而 ()f x +|g(x)|是偶函数. 题型三：利用奇偶性求解析式 （对于具有奇偶性的函数，若已知给定区间的解析式，求对称区间的解析式，通常将自变量转化到已知区间再利用奇偶性求解） 【例】f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)=x x e e 2 +，求f(x)的解析式。 【解析】设x<0，则-x>0。f(-x)=x x -2 e -e +）（=x x -2 e e +.因为f(x)是偶函数，所以 f(-x)=f(x),所以f(x)=x x -2e e +综上所述?????<+>+-0 ,0 ,)(f 22x e ex x e ex x x x 【例】f(x)是R 上的奇函数，当x>0时，f(x)=x-2 x ,求f(x)的解析式。 【解析】设x<0，则-x>0。f(-x)=(-x)-2-）（x =-x-2 x .因为f(x)是奇函数函数，所以f(-x)=-f(x),所以f(x)=x+2 x 综上所述?????<+>-0 ,0 ,x )(f 2 2x x x x x x 题型四：奇偶性与方程 【2014年湖南理3】已知分别)(x f ，)(x g 是定义在R 上的偶函数和奇函数，且 1)()(23++=-x x x g x f ，则=+)1()1(g f A. 3- B. 1- C. 1 D. 3 【答案】C 【解析】令1-=x 可得1)1()1()1()1(=+=---g f g f ，或者观察求得1)(2 +=x x f ， 3)(x x g -=，可求得1)1()1(=+g f ；其实本题可根据奇偶性列出两个方程组求出f(x)和 g(x)的解析式，这样想求什么都可以。 【2011年湖北理6】已知定义在R 上的奇函数()x f 和偶函数()x g 满足 ()()2+-=+-x x a a x g x f ()1,0≠>a a 且，若()a g =2，则()=2f A. 2 B. 415 C. 4 17 D. 2 a 【答案】B 【解析】由条件()()22222+-=+-a a g f ，()()22222+-=-+--a a g f ，即 ()()22222+-=+--a a g f ，由此解得()22=g ，()222--=a a f ， 所以2=a ，()4 152222 2= -=-f . 【2012上海理】已知y=f （x ）+x 2 是奇函数，且f （1）=1，若g （x ）=f （x ）+2，则g （﹣1）= ． 【答案】﹣1【解析】由题意，y=f （x ）+x 2 是奇函数，且f （1）=1， 所以f （1）+1+f （﹣1）+（﹣1）2 =0解得f （﹣1）=﹣3 所以g （﹣1）=f （﹣1）+2=﹣3+2=﹣1 故答案为﹣1 题型五：奇偶性与不等式 【2017新课标1理5】——利用奇偶性，单调性；把值域的不等式转换为自变量的不等式。 函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是（ ） A ．[2,2]- B ．[1,1]- C ．[0,4] D ．[1,3] 【答案】 D 【解析】由f (x )是奇函数，f (1)＝－1，得f (－1)＝1. 不等式可化为f (1)≤f (x －2)≤f (－1). 由f (x )在R 上单调减，得－1≤x －2≤1，解得1≤x ≤3. 【例】（1）设函数f(x)在定义域R 上是奇函数，若当x ∈(0,+∞)时，f(x)=lgx,则满足f(x)>0的x 的取值范围是 （2）设函数f(x)在定义域(-∞，0)?(0,+∞)上是偶函数，若当x ∈(0,+∞)时，f(x)=lgx,则满足f(x)>0的x 的取值范围是 【解析】（1）由题意可得x ∈(0,+∞)时，f(x)单调递增且f(1)=0,由f(x)>0得x>1；因为f(x)是奇函数，所以当x ∈(-∞，0)时，f(x)单调递增且f(-1)=0;且有f(0)=0，由f(x)>0得-1 （2）由题意可得x ∈(0,+∞)时，f(x)单调递增且f(1)=0,由f(x)>0得x>1；因为f(x)是偶函数，所以当x ∈(-∞，0)时，f(x)单调递减且f(-1)=0，由f(x)>0得 x<-1,综上所述x ∈( -∞，-1 )?(1,+∞)。 【例】已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上点掉递增，则满足f(2x-1) 1 )的x 的取值范围是（ ） A. （ 31，32）B.[31，32）C.（21，32）D.[21，3 2） 【答案】A 【解析】偶函数f(x)在区间[0,+∞)上点掉递增，要使f(2x-1) 3 1 )，只需3 1 1x 2< -，解不等式得到x ∈（31，32）。 【例】偶函数f(x)满足 f(x)=3 x -8(x ≥0），则}{ )2x (x >-f =（ ） A.}{4x 2x x >-<或 B.}{4x 0x x ><或 C.}{6x 0x x ><或 D .}{ 2x 2x x >-<或 【答案】B 【解析】由于f(2)=0，所以不等式f(x-2)>0等价于f(x-2)>f(2),而f(x)是偶函数，且在x ∈[0,+∞)上单调递增，所以。22x >-，解得}{ 4x 0x x ><或。 【例】设奇函数f(x)在(0,+∞)上为增函数，且f(1)=0,则不等式0) ()(f <--x x f x 的解集 为（ ） A.（-1,0）?(1,+∞) B.(-∞，-1)?(0,1) C.(-∞，-1)?(1,+∞) D.(-1，0)?(0,1) 【答案】D 【解析】因为f(x)为奇函数，所以f(-x)=-f(x),则 0) ()(f <--x x f x 化简为 0) (2f x 。①当x>0时，只需f(x ）<0，又f(x)在(0,+∞)上为增函数且f(1)=0，故x ∈(0,1);②当x<0时，只需f(x ）>0，又f(x)为奇函数，故f(x)在(-∞，0)上为增函数且f(-1)=0，故x ∈(-1,0)综上所述，x ∈(-1，0)?(0,1) 课题2：周期性和对称性知识点： 题型一：周期性 【2016山东（理）】已知函数f （x ）的定义域为R ．当x ＜0时，f （x ）=x 3 ﹣1；当﹣1≤x ≤1时，f （﹣x ）=﹣f （x ）；当x ＞21时，f （x+21）=f （x ﹣2 1 ）．则f （6）=（ ） A ．﹣2 B ．﹣1 C ．0 D ．2 【答案】 D 【解析】∵当x ＞ 21时，f （x+21）=f （x ﹣2 1 ）， ∴当x ＞ 2 1 时，f （x+1）=f （x ），即周期为1．∴f （6）=f （1）， ∵当﹣1≤x ≤1时，f （﹣x ）=﹣f （x ），∴f （1）=﹣f （﹣1）， ∵当x ＜0时，f （x ）=x 3 ﹣1，∴f （﹣1）=﹣2， ∴f （1）=﹣f （﹣1）=2， ∴f （6）=2． 【2016四川（理）】已知函数f （x ）是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时， f （x ）=4x ，则f （﹣2 5 ）+f （1）= ． 【答案】 ﹣2 【解析】∵f （x ）是定义在R 上周期为2的奇函数， ∴f （﹣ 25）=f （﹣2﹣21）=f （﹣21）=﹣f （2 1） ∵x ∈（0，1）时，f （x ）=4x ， ∴f （﹣2 5）=﹣2， ∵f （x ）是定义在R 上周期为2的奇函数， ∴f （﹣1）=f （1），f （﹣1）=﹣f （1）， ∴f （1）=0∴f （﹣ 2 5 ）+f （1）=﹣2． 【2016江苏（理）】设f （x ）是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1）上，f （x ）= ，其中a ∈R ，若f （﹣ 25）=f （2 9 ），则f （5a ）的值是 ． 【答案】 ﹣ 5 2 【解析】f （x ）是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1）上，f （x ）= ， ∴f （﹣ 25）=f （﹣21）=﹣2 1 +a ， f （ 29）=f （21）=|52﹣21|=101， ∴a=5 3， ∴f （5a ）=f （3）=f （﹣1）=﹣1+53=﹣5 2 ， 【2014?四川理】设f （x ）是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[﹣1，1）时，f （x ）= ，则f （ 2 3 ）= ． 【答案】 1【解析】∵f （x ）是定义在R 上的周期为2的函数， ∴ =1． 【2012江苏省理】设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[11]-， 上， 0111()201 x x ax f x bx x <+-?? =+??+?≤≤≤， ，，，其中a b ∈R ， ．若1322f f ???? = ? ????? ， 则3a b +的值为 ． 【答案】10-。 【解析】∵()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，∴()()11f f -=，即2 1= 2 b a +-+①。 又∵311=1222f f a ???? =--+ ? ????? ， 1322f f ???? = ? ????? ， ∴1 4 1= 23 b a +-+②。 联立①②，解得，=2. =4a b -。∴3=10a b +-。 【2012山东理】定义在R 上的函数f （x ）满足f （x+6）=f （x ），当﹣3≤x ＜﹣1时，f （x ）=﹣（x+2）2 ，当﹣1≤x ＜3时，f （x ）=x ．则f （1）+f （2）+f （3）+…+f （2012）=（ ） A ．335 B ．338 C ．1678 D ．2012 【答案】B 【解析】∵f （x+6）=f （x ）， ∴f （x ）是以6为周期的函数， 又当﹣1≤x ＜3时，f （x ）=x ， ∴f （1）+f （2）=1+2=3，f （﹣1）=﹣1=f （5），f （0）=0=f （6）； 当﹣3≤x ＜﹣1时，f （x ）=﹣（x+2）2 ， ∴f （3）=f （﹣3）=﹣（﹣3+2）2 =﹣1， f （4）=f （﹣2）=﹣（﹣2+2）2=0， ∴f （1）+f （2）+f （3）+f （4）+f （5）+f （6）=1+2﹣1+0+（﹣1）+0=1， ∴f （1）+f （2）+f （3）+…+f （2012） =[f （1）+f （2）+f （3）+…+f （2010）]+f （2011）+f （2012） =335×1+f （1）+f （2）=338． 【2009湘潭一中月考】定义在R 上的函数f(x)满足f(x)=-f （x+2 3 ) ,f(-2)=f(-1)=-1,f(0)= 2,则f(1)+f(2)+f(3)+˙˙˙+f(2008)+f(2009)= 【答案】-2 【解析】根据f(x)=-f(x+ 23) ,可知f(x)的周期T=2X 2 3 =3，于是f(1)+f(2)+f(3)+˙˙˙+f(2008)+f(2009)=669[f(1)+f(2)+f(3)]+f(1)+f(2)=669[f(-2)+f(-1)+f(0)]+f(-2)+f(-1)=669X0-1-1=-2 【例】函数f(x)对任意实数x 满足f(x+2)=-f(x),若f(1)=-5,则f(f(5))等于 【答案】5 【解析】根据f(x+2)=-f(x),可知f(x)的周期T=2X2=4，因为f(1)=-5, f(5)=f(1+4)=f(1）=-5，于是f(f(5))=f(-5)=f(-1-4)=f(-1),而f(-1)=-f(-1+2)=-f(1)=5. 【例】定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则f （-25)，f （11)，f （80)的大小顺序为 【答案】f （-25） 【解析】根据f(x-4)=-f(x) ,可知f(x)的周期T=2X4=8，又因f （x ）为奇函数，故f （-25）=f （-1-8X3）=f(-1)=-f （1）,f （11）=f （3+8）=f(3)，又f （3）=-f(3-4)=-f （-1）=f （1）,f （80）=f （ 8X10）=f （0）；因为f （x ）在区间[0,2]上是增函数,故f （1）>f （0）=0，则-f （1）<0,综上所述f （-25） 【例】定义在R 上的函数f(x)满足f(x)˙f(x+2)=13,f(1)=2,则f(99)= 【答案】 2 13 【解析】根据f(x)˙f(x+2)=13,可知f(x)的周期T=2X2=4，因为f(1)=2,所以 f(99)=f(3+4X24)=f(3），又因 f(3)˙f(1)=13，则 f(3) = 213，故f(99) =2 13。 【例】定义在R 上的函数f(x)满足f(x+1)=) (f 1) (f -1x x +,若f(2)=1,则f(2009)= 【答案】0 【解析】根据f(x+1)= ) (f 1) (f -1x x + ,可知f(x)的周期T=2X1=2，于是f(2009)=f(1+2X1004)=f （1），又因 f(2)=f(1+1)=) 1(f 1) 1(f -1+=1 ，则 f(1) =0，故f(2009)=f （1）=0. 【2009山东理10】定义在R 上的函数f(x )满足f(x)= ? ??>---≤-0),2()1(0 ),1(log 2x x f x f x x ，则f （2009） 的值为 ( ) A.-1 B. 0 C.1 D. 2 【答案】C 【解析】:由已知得2(1)log 21f -==,(0)0f =,(1)(0)(1)1f f f =--=-, (2)(1)(0)1f f f =-=-,(3)(2)(1)1(1)0f f f =-=---=, (4)(3)(2)0(1)1f f f =-=--=,(5)(4)(3)1f f f =-=,(6)(5)(4)0f f f =-=, 所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f （2009）= f （5）=1. 【例】定义在R 上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x+1)-f(x),且f （1）=lg3-lg2,f （2）=lg3+lg5,则f(2010) 【答案】-1 【解析】根据f(x+2)=f(x+1)-f(x)① ,令x=x+1,则f(x+3)=f(x+2)-f(x+1)②，①+③可得f(x+3)=-f （x ）,则周期T=2X3=6， f （2010）=f （0+6X335）=f （0），又因f （2）=f （1）-f （0），所以f （0）=f （1）-f （2）=lg3-lg2-lg3-lg5=-lg2X5=-1，即 f （2010）=-1. 【2010重庆理15】已知函数)(x f 满足：1 (1)4 f =，4()()()()f x f y f x y f x y =++-（,x y R ∈），则=)2010(f __________. 【答案】 2 1 【解析】取x=1， y=0，得2 1)0(= f ， 法一：通过计算)........4(),3(),2(f f f ，寻得周期为6 法二：取x=n ，y=1，有f(n)=f(n+1)+f(n-1)，同理f(n+1)=f(n+2)+f(n) 联立得f(n+2)= —f(n-1) ，所以T=6 ，故()()1 201002 f f ==。 【例】已知函数y=f （x ）满足f （1）=，f （x+y ）+f （x-y ） 题型二：对称性 【例】设函数y=f(x)(x ∈R)的图像关于x=0及直线x=1对称，且x ∈[0,1]时，f(x)=x 2 ，则 f(-23 )= ( ) A. 21 B.41 C.43 D.4 9 【答案】B 【解析】函数的图像关于x=0及直线x=1对称，由函数的对称性和周期性结论知f(x)为周期函数，且周期T=2（1-0）=2，所以f(- 23)=f(21)=4 1 。 【2009全国1理10】f(x)的定义域为R ，若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数，则（ ） A.f(x)是偶函数 B.f(x)是奇函数 C.f(x)=f(x+2) D.f(x+3)是奇函数 【答案】D 【解析】因为f(x+1)是奇函数，所以f(-x+1)=-f(x+1)，f(x)关于（1,0）对称；因为f(x-1)是奇函数，所以f(-x-1)=-f(x-1)，f(x)关于（-1,0）对称；由函数的对称性和周期性结论知f(x)为周期函数，且周期T=2[1-（-1）]=4，则f(x+3)=f(x-1)，所以f(x+3)是奇函数。 【例】函数f(x)的定义域为R ，若f(x+2)+f(2-x)=0，且f(x-1)=-f(-x-1) ，则f(x ）的最小正周期为（ ） A.2 B.3 C.4 D.6 【答案】D 【解析】因为f(x+2)+f(2-x)=0，所以f(x+2)=-f(2-x)，则f(x ）关于（2，0） 函数之周期性与对称性的理解 首先请大家辨析一下这几个等式关系： 2 )2()()62 )2()(5) 2()()4)2)()30 )2()(20 )2()(1=++=+-++-=+==++=+-+x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f ）（）） 以上6个等式，其中1）、4）、5）是在讲对称性，2）、3）、6）是在讲述周期性。 在教学过程中，我们发现很多学生到高三了还无法自如地辨析，其实大家只需记住六字口诀就能加以辨析： “同周期、异对称” 1）、4）、5）中x 的系数相同，即为周期，2）、3）、6）中x 的系数相异，即为对称，这样我们就能迅速辨析哪些是在讲周期，哪些是对称。 那具体周期为多少？具体关于什么对称呢？这又是大家一个容易混淆的点。 一、下面先讲对称问题的理解，以1）为例： 0)2()(=+-+x f x f 我们要从本质上理解这个等式：令第一个括号里的1x x =，22x x =+-，则满足221=+x x ， 即横坐标的和为2，那就意味着两个横坐标的中点为1=x 。同样的，令1)(y x f =，2)2(y x f =+-，则满足021=+y y ，即这两个点的纵坐标和为零，那就意味着纵坐标互为相反数。那么如果现在我换种方式描述，我说两个点),(),(2211y x y x 与，满足221=+x x ，021=+y y ，那 我们就可以在平面直角坐标系中把这两个点的对称关系画出来了。由图1我们可以很直观的看出来这两个点关于（1,0）中心对称，这两个点都在y=f(x)上，从而整个 函数关于（1,0）中心对称。 同样的，我们分析4），2121,2y y x x ==+，在图像上表示对称关系如下：A 、B 两点关于 ( 函数对称性、周期性和奇偶性 关岭民中数学组 (一)、同一函数的函数的奇偶性与对称性：（奇偶性是一种特殊的对称性） 1、奇偶性:（1） 奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(=-+x f x f （2）偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式 )()(x f x f =- 2、奇偶性的拓展 : 同一函数的对称性 （1）函数的轴对称： 函数)(x f y =关于a x =对称?)()(x a f x a f -=+ > )()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=- 若写成：)()(x b f x a f -=+，则函数)(x f y =关于直线 2 2)()(b a x b x a x +=-++= 对称 证明：设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知， )2()(111x a f x f y -==，即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点 ),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。得证。 说明：关于a x =对称要求横坐标之和为2a ，纵坐标相等。 ∵1111(,)(,)a x y a x y +-与 关于x a =对称，∴函数)(x f y =关于a x =对称 ?)()(x a f x a f -=+ ∵1111(,)(2,)x y a x y -与关于x a =对称，∴函数)(x f y =关于a x =对称 ?)2()(x a f x f -= ∵1111(,)(2,)x y a x y -+与关于x a =对称，∴函数)(x f y =关于a x =对称 ?)2()(x a f x f +=- （2）函数的点对称： · 函数)(x f y =关于点),(b a 对称?b x a f x a f 2)()(=-++ b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+- 高中函数对称性总结 新课标高中数学教材上就函数的性质着重讲解了单调性、奇偶性、周期性，但在考试测验甚至高考中不乏对函数对称性、连续性、凹凸性的考查。尤其是对称性，因为教材上对它有零散的介绍，例如二次函数的对称轴，反比例函数的对称性，三角函数的对称性，因而考查的频率一直比较高。以笔者的经验看，这方面一直是教学的难点，尤其是抽象函数的对称性判断。所以这里我对高中阶段所涉及的函数对称性知识做一个粗略的总结。 一、对称性的概念及常见函数的对称性 1、对称性的概念 ①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。 ②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。 2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值） ①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。 ②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。 ③二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为x=-b/(2a)。 ④反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，y=x与y=-x均为它的对称轴。 ⑤指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。 ⑥对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。 ⑦幂函数：显然幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y轴；而其他的幂函数不具备对称性。 ⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0）是它的对称中心，x=kπ+π/2是它的对称轴。 ⑨正弦型函数：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x，就是它的对称轴；需要注意的是如果图像向上 函数的对称性、奇偶性和周期性的综合运用 一．函数的对称性 的图象自身对称 1、轴对称 对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 称. . 推论1 . 推论2 . 2、中心对称 对于函数f(x)的定义域内任意一个x， . . . . 小结: 轴对称与中心对称的区别 轴对称：f(a+x)= f(b-x)中，自变量系数互为相反数（内反），函数值相等(差为零)； 中心对称：f(a+x)= - f(b-x)+2c中，自变量系数互为相反数（内反），函数值和为定值.（二）两个函数的图象相互对称 1； 特别地，函数y＝f(a＋x)与y＝f(a－x)关于直线x=0(y轴)轴对称； y轴对称； 求对称轴方法：令a+x=b-x,得 2、函数y＝f(a＋x)+c与y＝－f(b－x)+d 特别地，函数y＝f(a＋x)与y＝－f(a－x)关于点（0,0）（原点）中心对称. . 求对称中心方法：横坐标令a+x=b-x,得 二．函数的奇偶性 1. 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x) （f(x) －f(－x)＝0），那么 函数f(x)叫做偶函数．偶函数的图象关于y轴（x=0）对称． 推论：若y＝f(x＋a)为偶函数，则f(x＋a)＝f(－x＋a)，即y＝f(x)的图像关于直线x＝a轴对称. 2. 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x) （f(x) +f(－x)＝0），那么 函数f(x)叫做奇函数．奇函数的图象关于原点(0,0)对称. 推论：若y＝f(x＋a)为奇函数，则f(－x＋a)＝－f(a＋x)，即y＝f(x) 的图像关于点（a，0）中心对称. 三．函数的周期性 1. 定义：对于定义域内的任意一个，都存在非零常数，使得 函数对称性、周期性和奇偶性规律 一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身) 1、 周期性：对于函数 )(x f y =，如果存在一个不为零的常数 T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有 )()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周 期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。 2、 对称性定义（略），请用图形来理解。 3、 对称性： 我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式 )()(x f x f =- 奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式 0)()(=-+x f x f 上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称?)()(x a f x a f -=+ )()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=- 简证：设点),(11y x 在 )(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==， 即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。得证。 若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线2 2)()(b a x b x a x +=-++= 对称 （2）函数 )(x f y =关于点),(b a 对称?b x a f x a f 2)()(=-++ b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+- 简证：设点),(11y x 在 )(x f y =上，即) (11x f y =，通过 b x f x a f 2)()2(=+-可知， b x f x a f 2)()2(11=+-，所以 1 112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点 )2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。得 证。 若写成：c x b f x a f =-++)()(，函数)(x f y =关于点)2 ,2( c b a + 对称 （3）函数 )(x f y =关于点b y =对称:假设函数关于b y =对称，即关于任一个x 值，都有两个 y 值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于b y =对称。但在曲线c(x,y)=0，则 有可能会出现关于 b y =对称，比如圆04),(22=-+=y x y x c 它会关于y=0对称。 4、 周期性： （1）函数 )(x f y =满足如下关系系，则T x f 2)(的周期为 A 、 )()(x f T x f -=+ B 、) (1 )()(1)(x f T x f x f T x f - =+= +或 C 、 )(1)(1)2(x f x f T x f -+=+或) (1) (1)2(x f x f T x f +-=+（等式右边加负号亦成立） 函数の对称性和周期性 一、几个重要の结论 （一）函数图象本身の对称性（自身对称） 1、函数 )(x f y =满足 )()(x T f x T f -=+（T 为常数）の充要条件是 )(x f y =の图象关于直线 T x =对称。 2、函数 )(x f y =满足 )2()(x T f x f -=（T 为常数）の充要条件是 )(x f y =の图象关于直线 T x =对称。 3、函数 )(x f y =满足 )()(x b f x a f -=+の充要条件是 )(x f y =图象关于直线 22)()(b a x b x a x +=-++=对称。特殊地，如果a=0,b=0,则其关于x=0即关于y 轴对称，此时)()(x b f x a f -=+变为f(x)=f(-x),其实就是偶函数。 4、如果函数 )(x f y =满足 )()(11x T f x T f -=+且 )()(22x T f x T f -=+，（ 1T 和 2T 是不相等の常数），则 )(x f y =是以为 )(212T T -为周期の周期函数。 5、如果偶函数 )(x f y =满足 )()(x T f x T f -=+（ 0≠T ），则函数 )(x f y =是以2T 为周期の周期性函数。 6、如果奇函数 )(x f y =满足 )()(x T f x T f -=+（ 0≠T ），则函数 )(x f y =是以4T 为周期の周期性函数。 我当初の总结是：函数对称包涵两种：一是点对称，而是线对称，比如偶函数属于线对称，奇函数属于点对称，奇偶函数对称都是关于0.即偶函数关于x=0对称，奇函数关于（0,0）对称。那么如果一个函数是双重对称，那么该函数就是周期函数，那么什么叫多重对称呢？且看下面列子你就明白了： 1， 若函数关于两条线x=a 和x=b 对称（这就叫双重对称），那么该函数一定是周 期函数，且周期为2|b-a|。 2， 若函数关于两个点（a,0）和（b,0）(注都是x 轴上の点)，那么该函数一定是 周期函数，且周期为2|b-a|。 3， 若函数关于一点（a,0）和一条线x=b 对称，那么该函数一定是周期函数，且 周期为4|b-a|。 就是说同类对称为2倍，异类对称为4倍。 结合上面4，5,6条你还会发现这种双重性质，4条为周期周期为2倍，5条为线（偶函数）周期为2倍。（仅仅这里不符合异类为4倍，我再三确认后没错），6条为点（奇函数）周期为4倍。 （注意：上面指の是一个函数） （二）两个函数の图象对称性（相互对称） 1、曲线 )(x f y =与 )(x f y -=关于X 轴对称。（这是两条不同曲线） 2、曲线 )(x f y =与 )(x f y -=关于Y 轴对称。 3、曲线 )(x f y =与 )2(x a f y -=关于直线 a x =对称。 4、曲线 0),(=y x f 关于直线 b x =对称曲线为 0)2,(=-y b x f 。 函数的奇偶性与周期性 一、填空题 1．已知函数f(x)＝1＋m ex －1是奇函数，则m 的值为________． 解析：∵f(－x)＝－f(x)，即f(－x)＋f(x)＝0，∴1＋m e －x －1＋1＋m ex －1＝0， ∴2－ mex ex －1＋m ex －1＝0，∴2＋m ex －1 (1－ex)＝0，∴2－m ＝0，∴m ＝2. 答案：2 2．设f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f(x)＝2x －3，则f(－2)＝________. 解析：设x ＜0，则－x ＞0，f(－x)＝2－x －3＝－f(x)，故f(x)＝3－2－x ，所以f(－2)＝3 －22＝－1. 答案：－1 3．已知函数f(x)＝a －12x ＋1，若f(x)为奇函数，则a ＝________. 解析：解法一：∵f(x)为奇函数，定义域为R ，∴f(0)＝0?a －120＋1＝0?a ＝1 2. 经检验，当a ＝1 2 时，f(x)为奇函数． 解法二：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即a －1 2－x ＋1＝－????a －12x ＋1. ∴2a ＝ 12x ＋1＋2x 1＋2x ＝1，∴a ＝1 2. 答案：1 2 4．若f(x)＝ax2＋bx ＋3a ＋b 是定义在[a －1,2a]上的偶函数，则a ＝________，b ＝ ________. 解析：由a －1＝－2a 及f(－x)＝f(x)，可得a ＝1 3，b ＝0. 答案：13 5．设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]．若当x ∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式 f(x)＜0的解集是________． 解析：由奇函数的定义画出函数y=f(x)，x ∈[-5,5]的图象．由图象可知f(x)＜0的解集 为：{x|-2＜x ＜0或2＜x ＜5}． 答案：{x|-2＜x ＜0或2＜x ＜5} 专题二：函数的周期性和对称性 【高考地位】 函数的周期性和对称性是函数的两个基本性质。在高中数学中，研究一个函数，首看定义域、值域，然后就要研究对称性（中心对称、轴对称），并且在高考中也经常考查函数的对称性和周期性，以及它们之间的联系。因此，我们应该掌握一些简单常见的几类函数的周期性与对称性的基本方法。 【方法点评】 一、函数的周期性求法 使用情景：几类特殊函数类型 解题模板：第一步 合理利用已知函数关系并进行适当地变形； 第二步 准确求出函数的周期性； 第三步 运用函数的周期性求解实际问题. 例1 (1) 函数)(x f 对于任意实数x 满足条件) (1 )2(x f x f = +，若5)1(-=f ，则=))5((f f （ ） A ．5- B ．5 C ．51 D ．5 1- 【答案】D 考点：函数的周期性． (2) 已知()x f 在R 上是奇函数，且满足()()x f x f -=+5，当()5,0∈x 时，()x x x f -=2 ，则()=2016f （ ） A 、-12 B 、-16 C 、-20 D 、0 【答案】A 试题分析：因为()()5f x f x +=-，所以()()()105f x f x f x +=-+=，()f x 的周期为10，因此 ()()()()20164416412f f f =-=-=--=-，故选A ． 考点：1、函数的奇偶性；2、函数的解析式及单调性． 【点评】(1)函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值．(2)求函数周期的方法 【变式演练1】已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=-，(3)()f x f x -=，则(2019)f =（ ） A ．3- B ．0 C ．1 D ．3 【答案】B 高一数学第四讲 函数的奇偶性 一、知识要点： 1、函数奇偶性定义： 如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数； 如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。 如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )既不是奇函数也不是偶函数 如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。 2、函数奇偶性的判定方法：定义法、图像法 （1）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ①首先确定函数的定义域是否关于原点对称；②确定f (－x )与f (x )的关系；③作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数； 若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。 ①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称。 (2) 利用图像判断函数奇偶性的方法： 图像关于原点对称的函数为奇函数，图像关于y 轴对称的函数为偶函数， （3）简单性质： 设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上： 奇+奇=奇，奇?奇=偶，偶+偶=偶，偶?偶=偶，奇?偶=奇 二、基础练习： 1. f (x ),g (x )是定义在R 上的函数，h (x )=f (x )+g (x )，则f (x )，g (x )均为偶函数,h (x )一定为偶函数吗？ 反之是否成立？ 2.已知函数y =f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列函数中是奇函数的是 ①y =f (|x |); ②y =f (-x ); ③y =x ·f (x ); ④y =f (x )+x . 3.设函数若函数2 ()(2)(1)3f x k x k x =-+-+是偶函数，则)(x f 的递减区间是 4.已知y =f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )=x 2 -2x ，则在x<0上f (x )的表达式为 5. 设f (x )是R 上的偶函数，且在(0,+∞)上是减函数，若x 1＜0,且x 1+x 2＞0,则 f (x 1)与f (-x 2)的大小关系是 三、例题精讲： 题型1： 函数奇偶性的判定 例1. 判断下列函数的奇偶性： ① x x x x f -+-=11)1()(,②y =,③22 (0)()(0) x x x f x x x x ?+??④2 211)(x x x f --= 变式：设函数f （x ）在（－∞，+∞）内有定义，下列函数： ① y =－|f （x ）|； ②y =xf （x 2）； ③y =－f （－x ）； ④y =f （x ）－f （－x ）。 必为奇函数的有_ __（要求填写正确答案的序号） 课题1：奇偶性 知识点： 【例】设f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)=x 2 +2x+a(a 为常数）则f （-1）= 【答案】-1【解析】因为f(x)是定义在R 上的奇函数，则f(0)=0；f(0)=a=0，所以f(x)=x 2 +2x ；所以f （-1）=（-1）2 +2（-1）=-1. 【例】设f(x)=lg( a +x -12 )是奇函数，则使f(x)<0的x 的取值范围是( ) A.(-1,0) B.(0,1) C.(-∞,0) D.（-1,1） 【答案】A 【解析】f(x)=lg( a +x -12 )是奇函数，且在x=0处有定义则f(0)=0，即f(0)=lg( a +0 -12 )=0，则a=-1;f(x)<0,即 lg(a +x -12)<0得?????<--<±≠111201 x x ，解得-1 7.函数的周期性和对称性 题型1:函数周期性与对称性 例1:函数f x 对于任意实数x 满足条件1 2f x f x ，若15,f 则 5f f _____________ 例2:设函数()y f x 对任意实数t 都有()(2)f t f t ,若当1x 时,24y x ,则当1x 时,___________. y 例3:设函数()f x 定义在实数集上，它的图像关于直线 1x 对称，且当1x ≥时，()31x f x ，则1 32,,323f f f 的大小关系是____________ 例4: 已知函数)(x f 和)(x g 的图象关于原点对称，且 x x x f 2)(2⑴求函数)(x g 的解析式；⑵设() 0()()0f x x h x g x x ,作出()h x 的图象,并写出它的的单调区间. 周 期 性 定义 设y = f(x ),x I,若存在非零常数T,使得对任意x I,都有f(x +T)=f(x ), 则称f(x )是周期函数,T 是其一个周期. 性质10定义性质可转化求值; 20图象性质:呈周期性变化; 30 nT (n ∈N*)也是f(x )的周期. 判定 10定义法(叠代求周期); 20图象法:图象是否呈周期性变化. 对 称 性 类型直线对称(函数满足()()f a x f a x ,则其图像关于直线x a 对称) 点对称(函数满足()()2f m x f m x n ,则其图像关于点(,)m n 对称) 特殊奇(偶)函数图象关于原点(y 轴对称); 〖练习〗 1.函数f x 对于任意实数x 满足条件1)(2x f x f ，若15,f 则5f __________ 2.在R 上定义的函数 x f 是奇函数，且x f x f 2，若x f 在区间2,1是减函数，则函数x f 在区间2,3上是_____(增/减)函数，区间4,3上是________(增/减)函数. 3.把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题： 若函数x x f 2log 3)(的图象与)(x g 的图象关于____对称，则函数)(x g =______（注：填上你认为可以成为真命题的一件情形即可，不必考虑所有可能的情形） 题型2:函数性质的综合应用 例1:若()f x 在定义域1,1内是减函数,又当,1,1a b 且0a b 时都有 ()()0 f a f b . (1)判断()f x 的奇偶性; (2)求不等式2(1)(1)0f m f m 的解集. 例2:已知定义在2,2上的偶函数()f x 在区间0,2上单调递增，则满足(21)f x ＜ ()f x 的x 取值范围是_________. 对称性与周期性 函数对称性、周期性的判断 1. 函数()y f x =有()()f a x f b x +=-（若等式两端的两自变量相加为常数，如 ()()a x b x a b ++-=+），则()f x 的图像关于2 a b x += 轴对称；当a b =时，若()() (()(2))f a x f a x f x f a x +=-=-或，则()f x 关于x a =轴对称； 2. 函数()y f x =有()()f x a f x b +=-（若等式两端的两自变量相减为常数，如 ()()x a x b a b +--=+），则()f x 是周期函数，其周期T a b =+；当a b =时，若()()f x a f x a +=-，则()f x 是周期函数，其周期2T a =； 3. 函数()y f x =的图像关于点(,)P a b 对称?()(2)2 (()=2(2))f x f a x b f x b f a x +-=--或；函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称? ()=(2) f x f a x --( ()=())f a x f a x +--或； 4. 奇函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称?()y f x =是周期函数，且2T a =是函数的一个周期；偶函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称?()y f x =是周期函数，且4T a =是函数的一个周期； 5. 奇函数()y f x =的图像关于直线x a =对称?()y f x =是周期函数，且4T a =是函数的一个周期；偶函数()y f x =的图像关于直线x a =对称?()y f x =是周期函数，且2T a =是函数的一个周期； 6. 函数()y f x =的图像关于点(,0)M a 和点(,0)N b 对称?函数()y f x =是周期函数，且 2()T a b =-是函数的一个周期； 7. 函数()y f x =的图像关于直线x a =和直线x b =对称?函数()y f x =是周期函数，且 2()T a b =-是函数的一个周期。 函数的奇偶性 【学习目标】 1.理解函数的奇偶性定义； 2.会利用图象和定义判断函数的奇偶性； 3.掌握利用函数性质在解决有关综合问题方面的应用. 【要点梳理】 要点一、函数的奇偶性概念及判断步骤 1．函数奇偶性的概念 偶函数：若对于定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数. 奇函数：若对于定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数. 要点诠释： （1）奇偶性是整体性质； （2）x 在定义域中，那么-x 在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的； （3）f(-x)=f(x)的等价形式为：()()()0,1(()0)() f x f x f x f x f x ---==≠， f(-x)=-f(x)的等价形式为：()()()01(()0)()f x f x f x f x f x -+-==-≠， ； （4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0； （5）若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=0. 2.奇偶函数的图象与性质 （1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. （2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于y 轴对称；反之，如果一个函数的图像关于y 轴对称，则这个函数是偶函数. 3.用定义判断函数奇偶性的步骤 （1）求函数()f x 的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步； （2）结合函数()f x 的定义域，化简函数()f x 的解析式； （3）求()f x -，可根据()f x -与()f x 之间的关系，判断函数()f x 的奇偶性. 若()f x -=-()f x ，则()f x 是奇函数； 若()f x -=()f x ，则()f x 是偶函数； 若()f x -()f x ≠±，则()f x 既不是奇函数，也不是偶函数； 若()f x -()f x =且()f x -=-()f x ，则()f x 既是奇函数，又是偶函数 高中数学中的对称性与周期性 一、函数对称性、周期性的判断 1. 函数()y f x =有()()f a x f b x +=-（若等式两端的两自变量相加为常数，如 ()()a x b x a b ++-=+），则()f x 的图像关于2 a b x += 轴对称；当a b =时，若()() (()(2))f a x f a x f x f a x +=-=-或，则()f x 关于x a =轴对称； 2. 函数()y f x =有()()f x a f x b +=-（若等式两端的两自变量相减为常数，如 ()()x a x b a b +--=+），则()f x 是周期函数，其周期T a b =+；当a b =时，若()()f x a f x a +=-，则()f x 是周期函数，其周期2T a =； 3. 函数()y f x =的图像关于点(,)P a b 对称?()(2)2 (()=2(2))f x f a x b f x b f a x +-=--或；函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称? ()=(2) f x f a x --( ()=())f a x f a x +--或； 4. 奇函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称?()y f x =是周期函数，且2T a =是函数的一个周期；偶函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称?()y f x =是周期函数，且4T a =是函数的一个周期； 5. 奇函数()y f x =的图像关于直线x a =对称?()y f x =是周期函数，且4T a =是函数的一个周期；偶函数()y f x =的图像关于直线x a =对称?()y f x =是周期函数，且2T a =是函数的一个周期； 6. 函数()y f x =的图像关于点(,0)M a 和点(,0)N b 对称?函数()y f x =是周期函数，且 2()T a b =-是函数的一个周期； 7. 7函数()y f x =的图像关于直线x a =和直线x b =对称?函数()y f x =是周期函数，且 2()T a b =-是函数的一个周期。 二、关于点对称 (1) 点关于点的对称点问题 若点A 11(,)x y , B 22(,)x y , 则线段AB 中点M 的坐标是( 1212 ,22 x x y y ++)；据此可以解求点与点的中心对称，即求点M 00(,)x y 关于点P (,)a b 的对称点' M 的坐标(,)x y ，利用中点坐标公式可得 00, 22 x x y y a b ++= =，解算的' M 的坐标为00(2, 2)a x b y --。 函数对称性与周期性几个重要结论 一、几个重要的结论 （一）函数图象本身的对称性（自身对称） 1、函数 )(x f y =满足 )()(x T f x T f -=+（T 为常数）的充要条件是 )(x f y =的图象关于直线 T x =对称。 2、函数 )(x f y =满足 )2()(x T f x f -=（T 为常数）的充要条件是 )(x f y =的图象关于直线 T x =对称。 3、函数 )(x f y =满足 )()(x b f x a f -=+的充要条件是 )(x f y =图象关于直线 22)()(b a x b x a x += -++= 对称。 4、如果函数 )(x f y =满足 )()(11x T f x T f -=+且 )()(22x T f x T f -=+，（ 1T 和 2T 是不相等的常数），则 )(x f y =是以为 )(212T T -为周期的周期函数。 5、如果奇函数 )(x f y =满足 )()(x T f x T f -=+（ 0≠T ），则函数 )(x f y =是以4T 为周期的周期性函数。 6、如果偶函数 )(x f y =满足 )()(x T f x T f -=+（ 0≠T ），则函数 )(x f y =是以2T 为周期的周期性函数。 （二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 1、曲线 )(x f y =与 )(x f y -=关于X 轴对称。 2、曲线 )(x f y =与 )(x f y -=关于Y 轴对称。 3、曲线 )(x f y =与 )2(x a f y -=关于直线 a x =对称。 4、曲线 0),(=y x f 关于直线 b x =对称曲线为 0)2,(=-y b x f 。 5、曲线 0),(=y x f 关于直线 0=++c y x 对称曲线为 0),(=----c x c y f 。 6、曲线 0),(=y x f 关于直线 0=+-c y x 对称曲线为 0),(=+-c x c y f 。 7、曲线 0),(=y x f 关于点 ),(b a P 对称曲线为 0)2,2(=--y b x a f 。 二、试试看，练练笔 1、定义在实数集上的奇函数 )(x f 恒满足 )1()1(x f x f -=+，且 )0,1(-∈x 时, 51 2)(+ =x x f ,则 =)20(log 2f ________。 2、已知函数 )(x f y =满足 0)2()(=-+x f x f ，则 )(x f y =图象关于__________对 1.3.2 奇偶性 整体设计 教学分析 本节讨论函数的奇偶性是描述函数整体性质的.教材沿用了处理函数单调性的方法，即先给出几个特殊函数的图象，让学生通过图象直观获得函数奇偶性的认识，然后利用表格探究数量变化特征，通过代数运算，验证发现的数量特征对定义域中的“任意”值都成立，最后在这个基础上建立了奇（偶）函数的概念.因此教学时，充分利用信息技术创设教学情景，会使数与形的结合更加自然. 值得注意的问题：对于奇函数，教材在给出的表格中留出大部分空格，旨在让学生自己动手计算填写数据，仿照偶函数概念建立的过程，独立地去经历发现、猜想与证明的全过程，从而建立奇函数的概念.教学时，可以通过具体例子引导学生认识，并不是所有的函数都具有奇偶性，如函数y=x与y=2x1既不是奇函数也不是偶函数，可以通过图象看出也可以用定义去说明. 三维目标 1.理解函数的奇偶性及其几何意义，培养学生观察、抽象的能力，以及从特殊到一般的概括、归纳问题的能力. 2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质，掌握判断函数的奇偶性的方法，渗透数形结合的数学思想. 重点难点 教学重点:函数的奇偶性及其几何意义. 教学难点:判断函数的奇偶性的方法与格式. 安排 1 教学过程 导入新课 思路1.同学们，我们生活在美的世界中，有过许多对美的感受，请大家想一下有哪些美呢？（学生回答可能有和谐美、自然美、对称美……）今天，我们就来讨论对称美，请大家想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢？（学生举例，再在屏幕上给出一组图片：喜字、蝴蝶、建筑物、麦当劳的标志）生活中的美引入我们的数学领域中，它又是怎样的情况呢？下面， 我们以麦当劳的标志为例，给它适当地建立直角坐标系，那么大家发现了什么特点呢？（学生发现：图象关于y 轴对称.）数学中对称的形式也很多，这节课我们就同学们谈到的与y 轴对称的函数展开研究. 思路2.结合轴对称与中心对称图形的定义，请同学们观察图形，说出函数y=x 2和y=x 3的图象各有怎样的对称性？引出课题：函数的奇偶性. 推进新课 新知探究 提出问题 ①如图1-3-21所示，观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性. 图1-3-21 ②那么如何利用函数的解析式描述函数的图象关于y 轴对称呢？填写表1和表2，你发现这两个函数的解析式具有什么共同特征？ x 3 2 1 0 1 2 3 f(x)=x 2 表1 x 3 2 1 0 1 2 3 f(x)=|x| 表2 ③请给出偶函数的定义？ ④偶函数的图象有什么特征？ ⑤函数f(x)=x 2,x ∈［1,2］是偶函数吗？ ⑥偶函数的定义域有什么特征？ ⑦观察函数f(x)=x 和f(x)= x 1 的图象，类比偶函数的推导过程，给出奇函数的定义和性质？ 活动：教师从以下几点引导学生: ①观察图象的对称性. 第三章不等式 定义：用不等号将两个解析式连结起来所成的式子。 3-1 不等式的最基本性质 ①对称性：如果x＞y，那么y＜x；如果y＜x，那么x＞y； ②传递性：如果x＞y，y＞z；那么x＞z； ③加法性质；如果x＞y，而z为任意实数，那么x＋z＞y ＋z； ④乘法性质：如果x＞y，z＞0，那么xz＞yz；如果x＞y，z＜0，那么xz＜yz;（符号法则） 3-2 不等式的同解原理 ①不等式F（x）＜ G（x）与不等式 G（x）＞F（x）同解。 ②如果不等式F（x）＜ G（x）的定义域被解析式H（ x ）的定义域所包含，那么不等式 F（x）＜G（x）与不等式F （x）＋H（x）＜G（x）＋H（x）同解。 ③如果不等式F（x）＜G（x）的定义域被解析式H（x）的定义域所包含，并且H（x）＞0，那么不等式F(x)＜G（x）与不等式H（x）F（x）＜H（ x ）G（x）同解；如果H（x）＜0，那么不等式F（x）＜G（x）与不等式H (x)F（x）＞H（x）G（x）同解。 ④不等式F （x ）G （x ）＞0与不等式0)x (G 0)x (F >>或0 )x (G 0 )x (F <<同解 不等式解集表示方式 F(x)>0的解集为x 大于大的或x 小于小的 F(x)<0的解集为x 大于小的或x 小于大的 3-3 重要不等式 3-3-1 均值不等式 1、调和平均数： )a 1...a 1a 1(n H n 21n +++= 2、几何平均数： n 1 n 21n ) a ...a a (G = 3、算术平均数： n ) a a a (A n 21n +++= 4、平方平均数： n ) a ...a a (Q 2 n 2221n +++= 这四种平均数满足Hn ≤Gn ≤An ≤Qn a1、a2、… 、an ∈R +，当且仅当a1=a2= … =an 时取“=”号 3-3-1-1均值不等式的变形 (1)对正实数a,b ，有2a b b a 22 ≥+ (当且仅当a=b 时 取“=”号) 函数的周期性与对称性 1、函数的周期性 若a 是非零常数，若对于函数y ＝f(x)定义域内的任一变量x 点有下列条件之一成立，则函数y ＝f(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。 ①f(x＋a)＝f(x －a) ②f(x＋a)＝－f(x) ③f(x＋a)＝1/f(x) ④f(x＋a)＝－1/f(x) 2、函数的对称性与周期性 性质5 若函数y ＝f(x)同时关于直线x ＝a 与x ＝b 轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T ＝2|a －b| 性质6、若函数y ＝f(x)同时关于点（a ，0）与点（b ，0）中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T ＝2|a －b| 性质7、若函数y ＝f(x)既关于点（a ，0）中心对称，又关于直线x ＝b 轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T ＝4|a －b| 3.函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称） 若()()f x a f x b +=±+，则()f x 具有周期性；若()()f a x f b x +=±-，则()f x 具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。 1、)()(x b f x a f -=+ ?)(x f y =图象关于直线2 2)()(b a x b x a x += -++= 对称 推论1：)()(x a f x a f -=+ ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论2、)2()(x a f x f -= ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论3、)2()(x a f x f +=- ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称 2、c x b f x a f 2)()(=-++ ?)(x f y =的图象关于点),2 ( c b a +对称 推论1、 b x a f x a f 2)()(=-++ ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 例题分析： 1．设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，)()2(x f x f -=+，当10≤≤x 时，x x f =)(，则 )5.47(f 等于 ( ) （A ）0.5 （B ）5.0- （C ）1.5 （D ）5.1- 2、（山东）已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足(2)()f x f x +=-，则(6)f 的值为（ ） A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 3．设)(x f 是定义在R 上的奇函数，(1)2,(1)(6),f f x f x =+=+求(10).f 4．函数)(x f 对于任意实数x 满足条件1 (2)() f x f x += ，若(1)5f =-，则[(5)]f f =___周期性与对称性
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