傅里叶变换基础知识
1•傅里叶级数展开
式中：信号的幅值人和初相位n 分别为 1.1.4频谱的相关概念
（1）信号的频谱（三角频谱）：构成信号的各频率分量的集合， 表征信号的幅值和相位 随频率的变化关系，即信号的结构，是 A n
（或 A f ）和 n （或 n f ）的统称； （2） 信号的幅频谱：周期信号幅值 A n 随 （或f ）的变化关系， 用A n （或 A f ） 表示；
（3） 信号的相频谱：周期信号相位 n 随 （或f ）的变化关系， 用 n （或 n f ） 表示；
（4）
信号的频谱分析：对信号进行数学变换, 获得频谱的过程；
最简单有最常用的信号是 穷多个不同频率的谐波信旦 性叠加而成。 ■号, 谐波信号，一般周期信号利用傅里叶级数展开 成多个乃至无 即一般周期信号是由多个乃至无穷多个不同频率的谐波信号线 1.1周期信号的傅里叶级数 在有限区间上，任何周期信号 x （t ）只要满足狄利克雷（dirichlet ）条件，都可以展开成 傅里叶级数。 1.1.1狄利克雷（dirichlet ）条件 狄利克雷（dirichlet ）条件为： （1） 信号x （t ）在一个周期内只有有限个第一类间断点（当 点时，函数有左极限值和右极限值）；
（2） 信号x （t ）在一周期内只有有限个极大值和极小值； T 0/2
T /2x （t ）dt 应为有限值。
（3）信号在一个周期内是绝对可积分的，即 t 从左或右趋向于这个间断 1.1.2间断点 在非连续函数y f （x ）
中某点处X 。处有中断现象，那么， X 。就称为函数的不连续点。 （1） 第一类间断点（有限型间断点）： a. 可去间断点：函数在该点左极限、右极限存在且相等，但不等于该点函数值或函数 在该点无定义（X 。令分母为零时等情况）； b. 跳跃间断点：函数在该点左极限、右极限存在，但不相等（ 情况）。 （2） 第二类间断点：除第一类间断点的间断点。 1.1.3傅里叶级数三角函数表达式 傅里叶级数三角函数表达式为 y x / x 。在点x 0处等 x （t ） a 。 （a n cosn °t Q sinn °t ） n 1
式中：a 。为信号的常值分量；a n 为信号的余弦信号幅值； a 。、a .、b n 分别表示为： b n 为信号的正弦信号幅值。 式中：T 。为信号的周期； 。为信号的基频, 合并同频项也可表示为 即角频率, 0 2 /T 。， n 1,2,3…。 x （t ） a 。 A n cos （n o t
1
n
）
因此，傅里叶级数三角函数表达式
x(t) a 。 a n cos n °t b n sinn °t 可改写成 x(t)
x(t) a
。
a n j
b n e jn
2
a n j
b 2
jn o
t
C o
C n e jn
n 1
o t
e jn ot e jn
o t
e jn o
t
C n e jn ot
n 1
x(t)
C n e jn ot
o, 1, 2,
n
这就是周期信号的傅里叶复指数形式的表达式。
2 a n b n
T o 2 T o
T o /2
x(t)cos n o tdt
/2
代入C n
T/2x(t)sin n o tdt
T )/2
1 a n 2
jb n
在一般情况下C n 是复数，可以写成C n C nR
式中
jC nl
C
：I
由 C n C nR
jC nl
C n e j
,C n
C n 1 a n 2 1 2 1 2 jb n
a n
jb n 可表示为
a n a n
jb n jb n e j
e j
n
则 x(t)
n
C n e jn o, 1, 2,
变为 x(t) C o
n C n e jn
1
o t
C n e
1
jn
* C o
o
t
C o e j
n o
t
n
由此可见, C o e jnot
n
(5)
基频：0或f o ，各频率成分都是 0或f o 的整数倍；
(6) 基波：0或f o 对应的信号；
(7)
n 次谐波： n o (n 2,3,...)或 n f °(n 2,3,...)的倍频成分 A. cos (n °t n )或
A cos(2 nf o t
n
)；
1.1.5周期信号的傅里叶级数的复指数函数展开
根据欧拉公式e j t cos t jsin t( j
_
1)，贝V
周期信号用复指数形式展开，相当于在复平面内用一系列旋转矢量 来描述，但是，负频率的出现，仅仅是数学推导的结果，并无实际物理意义。
1.1.6傅里叶级数的复指数和三角函数展开关系
由 C n 2 an
jb n , C n C nR
jC nl C n e j n 可知:
C nR
nl
a n /2
b n /2
2
b n /2
A n /2
即双边频谱的幅值 C n 是单边频谱幅值A n 的一半。 由，C nR a n /2， C nl b n /2 可知：
n
arctan b n / a n
三角函数展开 表达式 复指数展开 表达式 常值分量 a 0 C 0 复指数常量 C °
a 。
余弦分量幅值 a n 2C nR 复数C n 的实部 C
nR
a
n
/ 2
正弦分量幅值
b n
2C N
复数C n 的虚部 C nl b n /2
振幅
A n 2|C n|
复数C n 的模
|Cn | A./2
相位
n arctan
b n 仏
相位
n
arctan
b n /a n
2傅里叶变换
出准周期函数之外的非周期信号称为一般周期信号， 也就是瞬态信号。瞬态信号具有瞬 变性，例如锤子敲击力的变化、 承载缆绳断裂的应力变化、 热电偶插入加热的液体中温度的 变化过程等信号均属于瞬态信号。瞬态信号是非周期信号，可以看作一个周期的周期信号， 即周期T 。因此，可以把瞬态信号看作周期趋于无穷大的周期信号。
2.1傅里叶变换
设有一周期信号xt ,则其在 T/2,T/2区间内的傅里叶级数的复指数形式的表达式 为 式中 当T o
时，积分区间
T/2,T/2
,;谱线间隔
°
2 /T °
d
离散频率n o
连续变量，所以变为
lim C n T x(t)e j t dt
T
该式积分后将是 的函数，且一般为复数，用
X j 或X 表示为
X j
x t e J (
dt
综合A
•.C R C 2表示为
C n
■■■■ an/2
Fouier Transform ，
FT )，
即X j 谱密度
为单位频宽上的谐波幅值， 或简称“频谱函数”
具有“密度”的含义, 故把X
称为瞬态信号的"频
T
。
C
n
T 0
lim
2_
当T 0
时,
/T ° d
x t 称为
lim X j
离散频率n 2L X j 的傅里叶逆变换或反变换 (
dt 和 x
X j e j t d
」e jn
2
t
0 连续变量
e j t d
(In verse Fourier 构成了傅立叶变换对
求和 积分。则
Transform ， IFT )。
e j t d 可变为
式中：X j 称为信号x(t)的傅里叶积分变换或简称傅里叶变换( 是把非周期信号看成周期趋于无穷大的周期信号来处理的，显然
C n
X j lim C n T o
lim -
T o
f 0
f
代入得
FT
般地，使用 或
表示信号之间的傅立叶变换及其逆变换之间的关系。由于
IFT
2 f ，所以X j
这就避免了在傅里叶变换中出现 1/2的常数因子，使公式形式简化。 由式X jf x t e j2 ft dt 可知，非周期信号能够用傅里叶函数来表示， 。而周期信号
可由傅里叶级数来表示。 X jf x t e j2 "dt 是一般复数形式，可表示为
X Jf ReX Jf JImX Jf X Jf e j f 式中：ReX jf 为X jf 的实部；ImX jf 为X jf 的虚部；
X jf 为信号x t 的连续 幅频谱； jf 为信号x t 的连续相频谱。
[2 2
X jf { ReX jf Im X jf f arctan Im X jf / Re X jf
比较周期信号和非周期信号的频谱可知：首先，非周期信号幅值
|X jf I 随f 变化时连
续的，即为连续频谱，而周期信号的幅值 C n 随f 变化时离散的，即为离散频谱。其次，C n 的量纲和信号幅值的量纲一致，而 X jf 的量纲相当于C n / f ，为单位频宽上的幅值，即
为“频谱密度函数”。
2.2傅里叶变换的主要性质
一个信号可以进行时域描述和频域描述。
两种描述通过傅里叶变换来确立彼此一一对应
2.3几种典型信号
(1)举行窗函数
(2)单位脉冲函数( 函数)
(3)正、余弦信号
(4)一般周期信号
(5)周期单位脉冲序列
傅里叶变换基础知识 1. 傅里叶级数展开 最简单有最常用的信号是谐波信号，一般周期信号利用傅里叶级数展开成多个乃至无穷多个不同频率的谐波信号，即一般周期信号是由多个乃至无穷多个不同频率的谐波信号线性叠加而成。 1.1 周期信号的傅里叶级数 在有限区间上，任何周期信号()x t 只要满足狄利克雷（dirichlet ）条件，都可以展开成傅里叶级数。 1.1.1 狄利克雷（dirichlet ）条件 狄利克雷（dirichlet ）条件为： （1）信号()x t 在一个周期内只有有限个第一类间断点（当t 从左或右趋向于这个间断点时，函数有左极限值和右极限值）； （2）信号()x t 在一周期内只有有限个极大值和极小值； （3）信号在一个周期内是绝对可积分的，即00/2/2 ()dt T T x t -⎰ 应为有限值。 1.1.2 间断点 在非连续函数()y f x =中某点处0x 处有中断现象，那么，0x 就称为函数的不连续点。 （1）第一类间断点（有限型间断点）： a. 可去间断点：函数在该点左极限、右极限存在且相等，但不等于该点函数值或函数在该点无定义（0x 令分母为零时等情况）； b. 跳跃间断点：函数在该点左极限、右极限存在，但不相等（0/y x x =在点0x =处等情况）。 （2）第二类间断点：除第一类间断点的间断点。 1.1.3 傅里叶级数三角函数表达式 傅里叶级数三角函数表达式为 式中：0a 为信号的常值分量；n a 为信号的余弦信号幅值；n b 为信号的正弦信号幅值。 0a 、n a 、n b 分别表示为： 式中：0T 为信号的周期；0ω为信号的基频，即角频率，002/T ωπ=，1,2,3...n =。 合并同频项也可表示为 式中：信号的幅值n A 和初相位n θ分别为 1.1.4 频谱的相关概念 （1）信号的频谱（三角频谱）：构成信号的各频率分量的集合，表征信号的幅值和相位随频率的变化关系，即信号的结构，是n A ω-（或n A f -）和n θω-（或n f θ-）的统称； （2）信号的幅频谱：周期信号幅值n A 随ω（或f ）的变化关系，用n A ω-（或n A f -）表示； （3）信号的相频谱：周期信号相位n θ随ω（或f ）的变化关系，用n θω-（或n f θ-）表示； （4）信号的频谱分析：对信号进行数学变换，获得频谱的过程； （5）基频：0ω或0f ，各频率成分都是0ω或0f 的整数倍； （6）基波：0ω或0f 对应的信号；
第一章 复数与复变函数 本章知识点和基本要求 掌握复数的概念和它的各种表示方法及运算； 熟悉复平面、模与辐角的概念； 熟练掌握乘积与商的模、隶莫弗公式、方根运算公式； 了解区域的概念；理解复变函数的概念； 理解复变函数的极限和连续的概念。 一、填空题 1、若等式))(()75(i y i x i i -+=-成立，则=x ______, =y _______. 2、设(12)(35)13i x i y i ++-=-，则x = ，y = 3、若1231i z i i +=--，则z = 4、若(3)(25) 2i i z i +-= ，则Re z = 5、若4 21i z i i +=- +，则z = 6、设(2)(2)z i i =+-+，则arg z = 7复数1z i =-的三角表示式为 ，指数表示式为 。 8、复数i z 212--=的三角表示式为 _________________，指数表示式为 _________________. 9、设i z 21=,i z -=12，则)(21z z Arg = _ _____. 10、设4 i e 2z π=,则Rez=____________. Im()z = 。z = 11、.方程0273=+z 的根为_________________________________. 12、一曲线的复数方程是2z i -=，则此曲线的直角坐标方程为 。 13、方程3)Im(=-z i 表示的曲线是__________________________. 14、复变函数1 2 +-= z z w 的实部=),(y x u _________,虚部=),(y x v _________.
《信号与系统》基础知识学习指导 第一章 信号与系统的基本概念 1．单位冲激信号的脉冲幅度为 ，脉冲强度为 ，持续时间为 。 2．单位抽样序列 （是/不是）奇异函数。 3．离散信号两个序号之间的序列值为 （零/无定义）。 4．虚指数序列的低频位置位于π的 倍附近，高频位置位于π的 倍附近。 5．虚指数序列的谐波个数为 （有限/无限）多个。 6．线性系统的三个性质为 、 和 。 7．系统的输出是由输入引起的，它的输出不能领先于输入，这种性质称为 。 8．若系统输入有界输出也有界，则系统满足 性。 9．系统输入输出关系为)()(t y t x →，若其满足)()(00t t y t t x -→-，则其具有 性。 10．积分t t t t t d )1()835(2 426?---+++δ的结果为 。 11．普通函数)(t x 与)(0t t -δ的乘积为 。 第二章 连续时间系统的时域分析 1．连续时间系统的时域数学模型为 。 2．系统的微分方程的齐次解为系统的 响应，特解为系统的 响应。 3．系统的单位冲激响应和阶跃响应都属于系统的 （零输入/零状态/全）响应。 4．单位冲激响应是单位阶跃响应的 （微分/积分）。 5．因果的LTI 系统的单位冲激响应)(t h 应满足的条件是 。 6．稳定的LTI 系统的单位冲激响应)(t h 应满足的条件是 。 7．系统的单位冲击响应)(t h 与输入)(t x 的卷积)()(t h t x *代表系统的 响应。 8．两个子系统)(1t h 和)(2t h 串联组成的系统的单位冲激响应为 。 9．两个子系统)(1t h 和)(2t h 并联组成的系统的单位冲激响应为 。 10．普通函数)(t x 与)(0t t -δ的卷积为 。 11．恒等系统的单位冲激响应为 。 12．积分系统的单位冲激响应为 。 13．微分系统的单位冲激响应为 。 第三章 离散时间系统的时域分析 1．离散时间系统的时域数学模型为 。 2．系统的单位抽样响应和阶跃响应都属于系统的 （零输入/零状态/全）响应。 3．因果的LTI 系统的单位抽样响应][n h 应满足的条件是 。 4．稳定的LTI 系统的单位抽样响应][n h 应满足的条件是 。 5．系统的单位抽样响应][n h 与输入][n x 的卷积和][][n h n x *代表系统的 响应。 6．两个子系统][1n h 和][2n h 串联组成的系统的单位冲激响应为 。 7．两个子系统][1n h 和][2n h 并联组成的系统的单位冲激响应为 。 8．若]3[][],2[][-=-=n n h n n x δδ，则][][n h n x *为 。 第四章 连续时间傅立叶变换 1．偶对称的周期信号的傅里叶级数中只包含直流项和 项。 2．奇对称的周期信号的傅里叶级数中只包含 项。 3．偶半波对称的周期信号的傅里叶级数中只包含 次谐波。 4．奇半波对称的周期信号的傅里叶级数中只包含 次谐波。
《复变函数与积分变换》课程教学大纲 一、课程性质和教学目标（在人才培养中的地位与性质及主要内容，指明学生需掌握知识与能力及其应达到的水平） 课程性质：《复变函数与积分变换》的理论和方法广泛应用于电气工程、通讯工程、自动化等相关学科，并且已经成为解决众多理论和实际问题的强有力工具，成为了电气工程及其自动化专业一门重要的基础理论课程，而高等数学的是它的必须的先修课程。对于本专业而言，是学习《自动控制原理》、《现代控制理论》、《线性系统理论》、《信号与系统》等许多相关课程的必须先修课程之一。 教学目标：通过本课程的讲授和学习，使学生在学习高等数学的基础上，系统的掌握《复变函数与积分变换》中必要的基础理论和常用的计算方法，培养学生比较熟练的运算能力，能比较熟练运用复变函数、积分变换的方法来有效地比较系统地解决一些问题。并且逐步培养能够建立比较复杂系统数学模型的能力，在此基础上，进一步地提升分析问题、解决问题的水平和能力。并为后续的专业基础课程、专业课程的学习，以及将来从事教学、科研及其它实际工作打下必要相当水准的理论知识基础。 本课程的具体教学目标如下： 1.熟练掌握复数与复变函数、解析函数、复变函数积分、复级数、留数、傅里叶变换和拉普拉斯变换的基本概念、基本理论、基本方法和某些相关的应用，为进一步学习打下坚实的理论基础。 2.大致了解理想典型电子线性器件的时域和频域的数学模型，为后续课程比较复杂的线性电气系统或者比较复杂的线性力学系统的数学模型的建立、分析和控制做好理论、学识上准备。 3.基本理解时滞环节的频域表达形式，并且与上述的线性系统有机结合，构建相对更加复杂的非线性系统的数学模型，为以后专业课上对此非线性系统的数学模型的分析、控制做好基础的准备。为以后解决实际复杂工程问题做好知识上的储备。 教学目标与毕业要求的对应关系：
信号与系统授课教案 第一章绪论（8-10课时） 本章是信号与系统课程的总论，包括信号与系统课程概述和一些基本概念，简单来说就是要讲清楚什么是信号、什么是系统、以及信号与系统之间是什么关系的问题。主要内容包括：信号与系统课程概述、信号与系统课程的主要内容、信号的定义及常见信号介绍以及信号的运算、系统的定义与分类以及系统的分析方法介绍等。 本章内容是全书内容的浓缩、是基础、是引言，所以非常重要。 一、主要知识点如下： 1、信号与系统课程概述 主要包括：（1）信号与系统课程的产生与发展 （2）信号与系统课程与其他课程的联系 （3）信号与系统的应用领域 2、信号的定义与分类、信号的运算 主要包括：（1）信号的定义与分类 （2）信号的运算 3、系统的定义、分类及分析方法 主要包括：（1）系统的定义及分类 （2）线性时不变系统四大特性及判断方法 二、本章知识重难点分析 1、信号的定义及分类是重点，其中关于周期信号的定义及信号周期的计算是难点，同样关于连续时间信号与离散时间信号的定义与区别也是难点。 2、几种特殊信号的定义是本课程的重点内容，包括单位阶跃信号、单位冲激信号的定义与运算。其中单位阶跃信号与单位冲激信号的定义与性质是难点。 3、信号的运算也是本章知识的重点内容，特别是信号直流分量与交流分量、信号奇分量与偶分量等的分解运算，信号的尺度、位移、反折运算等。 4、系统的定义及分类是重点 5、线性时不变系统的定义及四大特性，其中四大特性（微积分、时不变、线性、因果性）的定义与判断是难点，特别是线性性是非常重要的内容。
6、线性时不变系统的分析方法是本章的重点 7、系统的描述方法，框图与方程，框图与方程之间的关系与转换方法，其中框图与方程之间的转换关系是难点。 三、本章知识点课时安排 1、信号与系统课程概述（2课时） 2、信号的定义与分类、信号的运算（3课时） 3、系统的定义、分类及分析方法（3课时） 第二章连续时间系统的时域分析（6-8课时）LTI连续系统的时域分析过程可以理解为建立并求解线性微分方程，因其分析过程涉及的函数变量均为时间t，故称为时域分析法。该方法的特点是：直观，物理概念清楚，是学习各种变换域分析法的基础。 本章知识的前期预备知识为高等数学的线性微分方程的求解，后续内容是连续时间系统的频域分析——傅里叶变换，连续时间系统的复频域分析——拉氏变换。因此，本章是知识的学习非常重要。 一、主要知识点如下： 1.经典法求解微分方程 主要包括：（1）微分方程的建立 （2）微分方程的经典法求解 2.零输入响应和零状态响应 主要包括：（1）零输入响应 （2）零状态响应 3.卷积积分及其性质 主要包括：（1）卷积积分的定义 （2）卷积积分的计算 （3）卷积积分的性质 二、本章内容重难点分析 难点1：微分方程的建立 难点在于有电路定理推导并建立微分方程，这一部分内容属于电路理论的基
数字信号处理和图像处理的基础理论数字信号处理和图像处理是现代科技领域中不可或缺的一部分。这两个领域涉及到信号和图像的数字化、传输、处理等很多方面，具有广泛的应用价值。为了更好地掌握数字信号处理和图像处理 的相关知识，必须学好其基础理论。 数字信号处理的基础理论 1. 数字信号基础知识 数字信号处理是将连续信号变成离散信号，进而进行数字信号 变换和数字信号处理。为了掌握数字信号处理，必须先了解数字 信号的基础知识。数字信号可以看作一组在时间和振幅上都是离 散的量，由数字来描述。数字信号可以用离散时间函数或离散序 列来描述。离散时间函数由数字样本值的序列表示，序列在时间 或者样品量上都是离散的。 2. 离散傅里叶变换（DFT）
离散傅里叶变换是数字信号处理中最基础的一种变换，它可以 将一个离散信号，比如说一个时域离散信号转换成其傅里叶变换，也就是一个复数频域离散信号。DFT变换的确切数学含义是将一 个 N 个采样点的离散时间函数转换成 N 个离散复频率的函数。对 于时域离散信号，DFT变换的结果是它的离散傅里叶变换，它的 频谱是由 N 个离散的复频率组成，也就是说，N点 DFT可以把 N 个采样点的信号转变为 N 个频率分量，每个频率分量有一个幅度 和一个相位。 3. 离散余弦变换（DCT） 离散余弦变换比傅里叶变换更加适合数字信号处理中的很多应用，如压缩、降噪、滤波等。DCT可以将一组实数信号变换成一 组实数信号，因此它特别适用于数字信号压缩中的说白了就是压 缩视频的编码处理过程，这样的好处是可以去除信号中的高频噪声，从而使整个信号更加平滑。 图像处理的基础理论 1. 图像基础知识
离散傅里叶变换基础知识 离散傅里叶变换基础知识 傅里叶是一位法国数学家，他发现任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数做为基函数来表示，也就是我们数学上面学到的傅里叶级数，设一个周期函数f(t)，其周期为T，则其角频率为w0=2π T ，则该函数可以展开为一系列三角函数的累加： f(t)=a0+a1cosw0t+b1sinw0t+a2cos2w0t+b2sinw2t+? =a0 2 +∑a n cosnw0t+b n sinnw0t ∞ n=1 其中，上式中的各个系数： a0=2 T ∫f(t)dt T2 T2 a n=2 T ∫f(t)cosnw0tdt T2 T2 b n=2 T
∫f(t)sinnw0tdt T2 T2 但这个形式不太好用，因为正弦和余弦项是分开的，我们要考虑把他们两个整合起来，这样对每一个频率nw0我们就可以得到一个系数项（比如上式的a n或者b n），这其实就是该频率对应的幅值。然后我们以频率为X轴，以其对应的幅值为Y轴，就可以得到该函数在频域里面的图像了。对于周期函数，其频域里面的图像是不连续的，只在w=0,±w0,±2w0…才有图像。 那么我们该如何将上面的正弦项和余弦项整合到一块呢？答案是欧拉公式。下面就是鼎鼎大名的欧拉公式： e iwt=coswt+isinwt 换个表达方式： coswt=1 2 (e iwt+e?iwt) sinwt=1 2i (e iwt?e?iwt) 将上面的公式代入傅里叶级数中： f(t)=a0+a1cosw0t+b1sinw0t+a2cos2w0t+b2sinw2t+? =a0 2 +∑a n cosnw0t+b n sinnw0t ∞ n=1 =a0 2 +∑{a n e inw0t+e?inw0t
信号与系统知识点总结 在现代科学和工程领域中，信号与系统是重要的基础理论。它涉及到从电子通信、音频处理到图像识别等许多领域的技术和应用。本文将对信号与系统的若干关键概念和知识点进行总结与概括。 一、信号的分类和性质 信号可以被分为连续时间信号和离散时间信号两类。连续时间信号是在定义域上连续存在的信号，它可以用连续的函数描述。离散时间信号是在定义域上只取有限或无限多个离散点的信号，它可以用序列来表示。 信号还可以根据其能量和功率来分类。能量信号是其能量有限的信号，如脉冲信号；功率信号是其功率有限的信号，如正弦信号。这个概念对于信号在通信中的传输和处理具有重要意义。 二、线性时不变系统 线性时不变系统（简称LTI系统）是信号与系统领域中最为重要的概念之一。它的特点是输出与输入之间存在线性关系且不随时间发生变化。 LTI系统的性质可以由其冲激响应来描述。冲激响应是当输入信号为单位冲激函数时，LTI系统的输出。通过对冲激响应进行线性叠加和时间平移，可以得到系统对任意输入信号的响应。 三、卷积运算
卷积运算是在信号与系统中常用的一种数学运算方法。它可以将两 个信号进行融合和混合，得到新的信号。 连续时间信号的卷积可以通过函数乘积和积分运算得到。离散时间 信号的卷积可以通过序列元素的加权和得到。 卷积运算在信号的滤波和频域分析中扮演着重要的角色。例如，通 过卷积可以实现低通滤波和高通滤波，以及信号的快速傅里叶变换。 四、傅里叶变换 傅里叶变换是将一个信号从时域变换到频域的数学工具。它可以将 信号表示为一系列复数的和，从而揭示信号的频率分量和功率分布。 连续时间信号的傅里叶变换可以通过积分运算得到，离散时间信号 的傅里叶变换可以通过离散的和运算得到。 傅里叶变换在信号压缩、频谱分析和滤波等方面有广泛应用。例如，通过傅里叶变换可以将音频信号从时域转换为频域，实现音频的压缩 和编码。 五、采样定理与信号重构 在实际应用中，信号往往是以离散时间形式进行采样和处理的。采 样定理规定了对连续时间信号进行采样的条件，以保证信号的原始信 息不丢失。 根据采样定理，信号的采样频率应至少是信号最高频率的两倍，才 能将信号完全还原。
ｍatlaｂ实现信号的傅立叶变换 一、设计目的 １．熟悉和掌握ｍａｔlａb的基本使用方法，能够熟练运用matlab。 ﻩ2.巩固信号与系统中的傅立叶变换内容，加深对这部分内容的理解。 二、设计任务 ﻩ1.掌握matlａb的基本操作。 ２.利用ｍatlab实现典型非周期信号的傅立叶变换，画出信号的时域图和频域图。 3.利用ｍatlab实现傅立叶变换的基本性质。 三、设计原理 １．matlab简介 MＡTLAB是MathWorｋs公司推出的一套高性能的数值计算和可视化软件,经过多年大量的、坚持不懈的改进，现在ＭATＬAB已经更新至7.x版。ＭATLＡB集数值分析、矩阵运算、信号处理和图形显示于一体,构成了一个方便的、界面友好的用户环境。在这个环境下，对所要求解的问题,用户只需简单地列出数学表达式,其结果便以人们十分熟悉的数值或图形方式显示出来。 MATLAB可用来解决实际的工程和数学问题,其典型应用有:通用的数值计算,算法设计,各种学科(如自动控制、数字信号处理、统计信号处理)等领域的专门问题求解。MATLAB语言易学易用,不要求用户有高深的数学和程序语言知识，不需要用户深刻了解算法及编程技巧。MＡTLＡB既是一种编程环境，又是一种程序设计语言。这种语言与C、FORTRAＮ等语言一样,有其内定的规则,但MAＴLAB的规则更接近数学表示。使用更为简便，可使用户大大节约设计时间，提高设计质量。 2.mａtlab2013b基本界面介绍 matlａb2013b主界面窗口基本分为五个部分： 1）主菜单界面 在此界面我们只需要用到新建命令文件和对程序进行间断调试的功能 ２）文件查看窗口，双击可快速打开文件
《信号与系统》基础知识要点 第一章 信号与系统 1、周期信号的判断 （1）连续信号 思路：两个周期信号()x t 和()y t 的周期分别为1T 和2T ，如果 11 22 T N T N =为有理数（不可约），则所其和信号()()x t y t +为周期信号，且周期为1T 和2T 的最小公倍数，即2112T N T N T ==。 （2）离散信号 思路：离散余弦信号0cos n ω（或0sin n ω）不一定是周期的，当 ① 2π ω为整数时，周期0 2N π ω= ； ② 1 2 2N N π ω= 为有理数（不可约）时，周期1N N =； ③ 2π ω为无理数时，为非周期序列 注意：和信号周期的判断同连续信号的情况。 2、能量信号与功率信号的判断 （1）定义 连续信号 离散信号 信号能量： 2 |()| k E f k ∞ =-∞ = ∑ 信号功率： def 2 22 1lim ()d T T T P f t t T →∞- =⎰ /2 2/2 1lim |()|N N k N P f k N →∞=-=∑ （2）判断方法 能量信号： P=0E <∞， 功率信号： P E=<∞∞， （3）一般规律 ①一般周期信号为功率信号； ②时限信号(仅在有限时间区间不为零的非周期信号)为能量信号； ③还有一些非周期信号，也是非能量信号。 ⎰∞∞ -=t t f E d )(2 def
例如：ε(t )是功率信号； t ε(t )为非功率非能量信号; 3、典型信号 ① 指数信号： ()at f t Ke =，a ∈R ② 正弦信号： ()sin()f t K t ωθ=+ 4、信号的基本运算 1) 两信号的相加和相乘 2) 信号的时间变化 a) 反转: ()()f t f t →- b) 平移: 0()()f t f t t →± c) 尺度变换: ()()f t f at → 3) 信号的微分和积分 注意：带跳变点的分段信号的导数，必含有冲激函数，其跳变幅度就是冲激函数的强度。正跳变对应着正冲激；负跳变对应着负冲激。 5、阶跃函数和冲激函数 （1）单位阶跃信号 t
傅里叶变换通俗理解 傅里叶变换是一种广为使用的数学技术，它已经成为多个领域的工程和科学技术的基础。在近百年来，傅里叶变换一直致力于探索数学与物理，以及自然界的结构和规律。它不仅在科学技术方面有着重要的应用，还在艺术、建筑、计算机科学和更多其他领域都有广泛的应用。但是，很多人发现傅里叶变换有点难以理解和掌握，这就是本文要讨论的重点所在。 第二段： 傅里叶变换的定义非常简单：它是一种将一个函数的时间变量转换为频率变量的变换，以便更加清楚地描述函数的特性。换句话说，傅里叶变换能够将那些奇怪的函数，例如振动函数，转换成一系列更容易理解的元素，例如低频率和高频率波。另外，傅里叶变换也为许多复杂的数学问题提供了一种解决方法，如飞行器设计，声学表面以及许多其他应用。 第三段： 傅里叶变换的实现是通过一种叫做傅里叶级数的数学工具，其中系数代表了函数的频率分量和相位分量。傅里叶级数可以用来计算函数的不同频率组成，这也反映了它们在某一点函数上出现的次数。此外，傅里叶级数也被用来表示次要函数，它们可以用来提供函数的周围曲线的更多细节。 第四段： 傅里叶变换的实际应用可以说是多种多样的，它依赖于给定的
数学问题。以，傅里叶变换可以用来求解各种微分方程，像波动方程，光纤传输，模拟电路，数字信号处理，数据压缩，图像处理等等。例如，在声学中，傅里叶变换可以用来研究声波，分析音乐乐器的音调，甚至研究语言特征。此外，它也可以用于地形模型，气象学，石油勘探以及医学影像处理。 第五段： 更重要的是，傅里叶变换的原理和应用也让它成为一种重要的基础知识，可以帮助学生更好地理解许多计算机科学中涉及的数学基础知识，以及微积分，概率论和统计学，这些都是计算机科学体系中不可或缺的基础。 第六段： 总而言之，傅里叶变换是一个重要的数学工具，它有着广泛的应用，从现代科技到计算机科学，以及许多其他不同的学科。在这篇文章中，我们试图通过一种通俗的方式来帮助有兴趣的读者理解傅里叶变换。
信号与系统知识点整理 信号与系统是电子、通信、自动化等领域中的基础课程之一，主要研 究信号的产生、传输、处理和分析等内容。下面是信号与系统的知识点整理。 1.信号的分类： -连续信号：在时间和幅度上都是连续的信号，如声音、电压波形等。 -离散信号：在时间上是离散的信号，如数字音频、数字图像等。 -周期信号：在一定时间周期内重复出现的信号，如正弦信号、方波等。 -非周期信号：在一定时间段内不重复出现的信号，如脉冲信号、矩 形波等。 2.基本信号： -阶跃信号：在其中一时刻突然跃变的信号。 -冲击信号：在其中一时刻瞬间出现并消失的信号。 -正弦信号：以正弦函数表示的周期信号。 -方波信号：由高电平和低电平构成的周期信号。 3.系统的分类： -时不变系统：输出不随时间变化而变化的系统。 -线性系统：满足叠加性质的系统。 -因果系统：输出仅依赖于当前和过去的输入的系统。
-稳定系统：有界的输入产生有界的输出的系统。 4.线性时不变系统的特性： -线性性质：满足叠加性质。 -时不变性：系统的输出只取决于输入信号的当前和过去的值。 -冲激响应：线性时不变系统对单位冲激信号的响应。 5.离散时间系统的表示： -差分方程：用差分方程表示离散时间系统。 -传输函数：用传输函数表示系统的输入和输出之间的关系。 6.离散时间信号的分析： -Z变换：将离散时间信号从时域变换到Z域的方法。 -序列的频率表示：幅度谱、相位谱和角频率。 7.连续时间系统的表示： -微分方程：用微分方程表示连续时间系统。 -传递函数：用传递函数表示系统的输入和输出之间的关系。 8.连续时间信号的分析： -傅里叶级数：将连续时间周期信号分解成一系列正弦和余弦函数的和。 -傅里叶变换：将连续时间非周期信号从时域变换到频域。 9.信号处理的应用：
适用标准文案 重新到尾完全理解傅里叶变换算法、上 序言 第一部分、DFT 第一章、傅立叶变换的由来 第二章、实数形式失散傅立叶变换（Real DFT ） 重新到尾完全理解傅里叶变换算法、下 第三章、复数 第四章、复数形式失散傅立叶变换 /************************************************************************************* **************/ 这一片的傅里叶变换算法，解说透辟，希望对大家会有所帮助。感谢原作者们（July 、dznlong ）的精心编写。 /************************************************************************************* *************/ 序言： “对于傅立叶变换，不论是书籍还是在网上能够很简单找到对于傅立叶变换的描绘，可是大
都是些弄虚作假的文章，太甚抽象，尽是一些让人看了就望而却步的公式的排列，让人很难能够从感性上获得理解” ---dznlong， 那么，究竟什么是傅里叶变换算法列?傅里叶变换所波及到的公式详细有多复杂列? 傅里叶变换（ Fourier transform）是一种线性的积分变换。因其基本思想第一由法国学者 傅里叶系统地提出，因此以其名字来命名以示纪念。 哦，傅里叶变换本来就是一种变换而已，不过这类变换是从时间变换为频次的变化。这下，你就知道了，傅里叶就是一种变换，一种什么变换列?就是一种从时间到频次的变化或其相 互转变。 ok ，我们再来整体认识下傅里叶变换，让各位对其有个整体大体的印象，也趁便看看傅里 叶变换所波及到的公式，终究有多复杂： 以下就是傅里叶变换的 4 种变体（摘自，维基百科） 连续傅里叶变换 一般状况下，若“傅里叶变换”一词不加任何限制语，则指的是“连续傅里叶变换”。连 续傅里叶变换将平方可积的函数 f （t ）表示成复指数函数的积分或级数形式。
傅里叶变换的基础知识 傅里叶变换是一项基础的数学工具，广泛应用于物理学、工程学、计算机科学、信号处理等领域。本文将介绍傅里叶变换的基 本概念，其中包括连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。 1. 连续傅里叶变换 在介绍傅里叶变换之前，我们需要先了解两个概念：周期函数 和Fourier 级数。周期函数是指在一定区间内具有重复特征的函数，而 Fourier 级数是将一个周期函数表示为正弦和余弦函数的和。 傅里叶变换是将一个函数表示为一系列不同频率的正弦和余弦 函数的和，可以理解为是将 Fourier 级数推广到了一般的非周期函 数上。具体来说，若一个函数 f(x) 满足某些条件，那么它可以被 表示为如下形式： F(ω) = ∫ f(x) e^(-iωx) dx 其中，F(ω) 是函数 f(x) 的傅里叶变换，ω 表示角频率，即单位 时间内变化的弧度数。
从公式可以看出，傅里叶变换将函数 f(x) 转化成一个复数F(ω)，表示了该函数在不同频率下的振幅和相位信息。特别地，若函数 f(x) 是实函数且满足对称性条件，那么它的傅里叶变换F(ω) 是一 个实函数。 2. 离散傅里叶变换 连续傅里叶变换适用于连续信号的处理，但在实际应用中，我 们往往处理的是数字信号，即离散信号。为了将连续傅里叶变换 推广到离散信号上，人们发明了离散傅里叶变换。 离散傅里叶变换的定义如下： F_k = ∑_{n=0}^{N-1} f_n e^{(-i2πkn)/N} 其中，f_n 表示离散信号在第 n 个采样点处的取值，N 表示采 样点数量，k 表示在 K 点处的频率。
离散傅里叶变换是计算机领域中常用的算法，广泛应用于音频、图像等信号处理领域。它可以将复杂的信号分解成一组频率，从 而实现信号的压缩、降噪等处理操作。 需要注意的是，离散傅里叶变换对于周期信号是有局限性的， 因为在离散信号中，我们无法表示无穷长的周期函数，因此在处 理周期信号时，我们需要采用其他方法。 3. 傅里叶变换的应用 傅里叶变换广泛应用于多个领域，下面简要介绍几个应用场景： (1) 信号处理：傅里叶变换可以将一个信号分解成它的频率成分，从而实现信号降噪、信号压缩等处理操作。 (2) 通信领域：傅里叶变换可以用于频域信号分析、频谱分析 等操作，能够帮助工程师优化通信系统的设计和运行。 (3) 图像处理：傅里叶变换可以将一个图像转换为频域上的函数，从而实现图像平滑化、边缘检测等处理操作。
808信号与系统考研大纲 信号与系统是电子信息类专业中的重要基础课程之一，也是考研 的必考内容之一。作为信号与系统的考生，我们需要全面掌握相关知识，将其灵活运用于实际问题的解决当中。 首先，我们来了解一下信号与系统的基本概念。信号是随时间或 空间变化的物理量，可以是连续的或离散的。系统是对信号进行处理 的过程，可以是线性或非线性的。信号与系统的研究内容包括信号的 表示与描述、信号的运算与变换、系统的特性与性能等方面。 在信号与系统的学习过程中，我们要学习信号的分类与性质。信 号可以分为连续时间信号和离散时间信号。连续时间信号是在连续时 间上定义的信号，通常用函数来表示，如正弦信号、方波信号等。离 散时间信号是在离散时间上定义的信号，通常用数列来表示，如单位 样值序列、脉冲序列等。我们需要学会对不同类型的信号进行表示、 分析和处理。 此外，我们还要学习信号的运算与变换。在信号的运算中，我们 需要掌握信号的加法、乘法、积分和微分等运算方法。在信号的变换中，我们需要学习傅里叶变换、拉普拉斯变换、z变换等方法，这些变换可以将信号从一个域转换到另一个域，方便信号的分析与处理。 系统是对信号进行处理的过程，我们需要学习系统的特性与性能。系统的特性包括线性性、时不变性、因果性、稳定性等。线性系统具 有叠加性质，时不变系统的响应不随时间变化。因果系统的输出仅依
赖于当前和过去的输入。稳定系统的输出有界。此外，我们还需要学 习系统的频率响应、传递函数等性能指标，以评估系统对不同频率信 号的处理程度。 最后，我们还要学习信号与系统的应用。信号与系统的应用广泛，涉及通信、控制、图像处理、音频处理等领域。在通信领域中，我们 可以利用信号与系统的知识进行编码、调制、解调等操作，实现信息 传输。在控制领域中，我们可以利用信号与系统的知识进行系统建模 与控制器设计，实现系统的稳定与优化。 综上所述，信号与系统是掌握电子信息类专业知识的重要基础， 也是考研的必考内容。在学习中，我们要全面掌握信号与系统的基本 概念、分类与性质，学会信号的运算与变换方法，了解系统的特性与 性能指标，并能将所学知识应用于实际问题的解决当中。通过不断的 学习和练习，相信我们一定能在信号与系统考试中取得好成绩。加油！
电学量测量知识点总结 一、电压的测量 电压是电学中的基本参数，它代表了电路中的电势差。电压的测量是电学量测中的重点之一。通常使用示波器、万用表等仪器进行电压的测量。 1. 示波器的使用 示波器是一种广泛应用于电子领域的仪器，它可以用来观察和测量电压信号的变化。示波器的原理是通过对电压信号进行采样、放大、显示，从而可以观察到电压信号的波形。在示波器的屏幕上可以清晰地看到电压信号的幅值、频率、相位等参数。 2. 万用表的使用 万用表是一种常用的电子仪器，它可以同时测量电压、电流、电阻等多个参数。在测量电压时，可以将万用表的测量档位调至电压档位，然后将测量引线连接到待测电路中，即可读出电压的数值。 二、电流的测量 电流是电路中流动的电荷数量，它可以表示电路中的某一部分所消耗的电能。电流的测量是电学量测中的重要内容，通常使用电流表、示波器等仪器进行测量。 1. 电流表的使用 电流表是专门用来测量电流的仪器，它可以直接连接在电路中，读出电路中的电流数值。在使用电流表进行测量时，需要注意电流表的量程、接线方式，以及电路中的电流方向等因素。 2. 示波器的使用 示波器在测量电流时也可以发挥作用，它可以通过电流互感器或者电流探头对电流进行采样和显示。通过示波器可以清晰地观察到电流的波形、频率、幅值等参数。 三、电阻的测量 电阻是电路中的一个重要参数，它可以影响电路的性能和工作状态。电阻的测量通常使用欧姆表或者万用表进行。 1. 欧姆表的使用 欧姆表是专门用来测量电阻的仪器，它可以直接连接在待测电阻上，读出电阻的数值。在使用欧姆表进行测量时，需要注意欧姆表的测量范围、接线方式等因素。 2. 万用表的使用
第1章 信号与系统的基本概念 1.1引言 系统是一个广泛使用的概念，指由多个元件组成的相互作用、相互依存的整体。我们学习过“电路分析原理”的课程，电路是典型的系统，由电阻、电容、电感和电源等元件组成。我们还熟悉汽车在路面运动的过程，汽车、路面、空气组成一个力学系统。更为复杂一些的系统如电力系统，它包括若干发电厂、变电站、输电网和电力用户等，大的电网可以跨越数千公里。 我们在观察、分析和描述一个系统时，总要借助于对系统中一些元件状态的观测和分析。例如，在分析一个电路时，会计算或测量电路中一些位置的电压和电流随时间的变化；在分析一个汽车的运动时，会计算或观测驱动力、阻力、位置、速度和加速度等状态变量随时间的变化。系统状态变量随时间变化的关系称为信号，包含了系统变化的信息。 很多实际系统的状态变量是非电的，我们经常使用各种各样的传感器，把非电的状态变量转换为电的变量，得到便于测量的电信号。 隐去不同信号所代表的具体物理意义，信号就可以抽象为函数，即变量随时间变化的关系。信号用函数表示，可以是数学表达式，或是波形，或是数据列表。在本课程中，信号和函数的表述经常不加区分。 信号和系统分析的最基本的任务是获得信号的特点和系统的特性。系统的分析和描述借助于建立系统输入信号和输出信号之间关系，因此信号分析和系统分析是密切相关的。 系统的特性千变万化，其中最重要的区别是线性和非线性、时不变和时变。这些区别导致分析方法的重要差别。本课程的容限于线性时不变系统。 我们最熟悉的信号和系统分析方法是时域分析，即分析信号随时间变化的波形。例如，对于一个电压测量系统，要判断测量的准确度，可以直接分析比较被测的电压波形)(in t v （测量系统输入信号）和测量得到的波形)(out t v （测量系统输出信号），观察它们之间的相似程度。为了充分地和规地描述测量系统的特性，经常给系统输入一个阶跃电压信号，得到系统的阶跃响应，图1-1是典型的波形，通过阶跃响应的电压上升时间（电压从10％上升至90％的时间）和过冲（百分比）等特征量，表述测量系统的特性，上升时间和过冲越小，系统特性越好。其中电压上升时间反映了系统的响应速度，小的上升时间对应快的响应速度。如果被测电压快速变化，而测量系统的响应特性相对较慢，则必然产生较大的测量误差。 信号与系统分析的另一种方法是频域分析。信号频域分析的基本原理是把信号分解为不同频率三角信号的叠加，观察信号所包含的各频率分量的幅值和相位，得到信号的频谱特性。图1-2是从时域和频域观察一个周期矩形波信号的示意图，由此可以看到信号频域和时域的关系。系统的频域分析是观察系统对不同频率激励信号的响应，得到系统的频率响应特性。频域分析的重要优点包括：（1）对信号变化的快慢和系统的响应速度给出定量的描述。例如，当我们要用一个示波器观察一个信号时，需要了解信号的频谱特性和示波器的模拟带宽，当示波器的模拟带宽能够覆盖被测信号的频率围时，可以保证测量的准确。（2）
目录 第6章傅里叶光学基础 §6.1数学基础知识和傅里叶变换的基本概念 (2) §6.2光波的傅里叶分析 (8) §6.3平面波角谱理论 (14) §6.4透镜的傅里叶变换 (18) §6.5阿贝成像原理 (1) §6.6光全息术 (1)
第6章傅里叶光学基础 傅里叶变换是现代科学技术研究中的十分重要的数学工具，在信息科学技术领域（例如电子，通信，自动控制，生物医学）中有着广泛的用途。特别是在现代光学研究中，由于傅里叶分析（频谱分析）方法的引入，逐渐形成了现代光学的一个重要分支----傅里叶光学。 尽管傅里叶光学采用了和经典光学完全不同的思想方法和解析方法，即空间频谱的分析方法，但是其物理内容和所研究的对象仍然是有关光波的传播、分解与叠加（干涉，衍射，偏振）和光学系统成像的规律，只不过，由于傅里叶分析方法的引入，使得对上述现象的本质和内在规律有了更为深入的了解。并且，在激光和光电子技术的推动下，开辟了许多新的应用领域。 §6.1数学基础知识和傅里叶变换的基本概念为了能够较深入地理解和掌握傅里叶光学的解析方法和思想方法，以便熟练地应用这种新的分析方法来研究各种具体的光学过程及现象，本节将集中介绍与傅里叶光学有关的数学基础知识和物理概念。 在现代光学中，常用各种非初等函数和特殊函数来描述光场的分布。因此，熟悉这些函数的定义和性质，对于分析问题和解决问题具有十分重要的意义。 6.1.1 一些常用函数 一些常用函数及其在光学中的应用如下：
6.1.2 傅里叶级数的定义 一个周期性函数()g x ，周期为T ，它满足狄里赫利条件（函数在一个周期内只有有限个极值点和第一类不连续点），则()g x 可以展开为三角傅里叶级数 0122()cos sin 2n n n a nx nx g x a b T T ππ∞=⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ∑ (6-1) 其中傅里叶系数 /2 0/22 ()T T a g x dx T -=⎰ /2/222()cos T n T nx a g x dx T T π-⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰ /2/222()sin T n T nx b g x dx T T π-⎛⎫= ⎪⎝⎭ ⎰ 应用欧拉公式，可将傅里叶级数展开式(6-1)改写为 011212()()exp ()exp 222n n n n n a nx nx g x a jb j a jb j T T ππ∞=⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ∑ (6-2) 令002a c =，1()2n n n c a jb =-，*1()2 n n n n c c a jb -==+ 于是，式(6-1)的傅里叶级数可以表示为复指数函数的形式 ()exp 2n n n g x c j x T π∞ =-∞⎛⎫= ⎪⎝⎭∑ (6-3) 其中傅里叶系数为 /2/211()()exp 22T n n n T n c a jb g x j x dx T T π-⎛⎫=-=- ⎪⎝ ⎭⎰ (6-4) 将周期T 的倒数1T 称为函数()g x 的基频，表示为1T μ∆=，而n n T μμ==∆称为()g x 的谐频，或简称为频率。如果()g x 是时间函数，则μ代表时间频率；如果()g x 是空间函数，则μ代表空间频率。式(6-1) 或式(6-3)表明，周期函数()g x 可以分解为一系列频率为μ，复振幅为n c 的谐波。反之，若将各个谐波线性叠加，则可以 精确地综合出原函数()g x 。
数字信号处理知识点总结
《数字信号处理》辅导 一、离散时间信号和系统的时域分析 （一） 离散时间信号 （1）基本概念 信号：信号传递信息的函数也是独立变量的函数，这个变量可以是时间、空间位置等。 连续信号：在某个时间区间，除有限间断点外所有瞬时均有确定值。 模拟信号：是连续信号的特例。时间和幅度均连续。 离散信号：时间上不连续，幅度连续。常见离散信号——序列。 数字信号：幅度量化，时间和幅度均不连续。 （2）基本序列（课本第7——10页） 1）单位脉冲序列 1,0 ()0,0 n n n δ=⎧=⎨ ≠⎩ 2）单位阶跃序列 1,0 ()0,0n u n n ≥⎧=⎨≤⎩ 3）矩形序列 1,01 ()0,0,N n N R n n n N ≤≤-⎧=⎨<≥⎩ 4）实指数序列 ()n a u n 5）正弦序列 0()sin()x n A n ωθ=+ 6）复指数序列 ()j n n x n e e ωσ= （3）周期序列 1）定义：对于序列()x n ，若存在正整数N 使()(),x n x n N n =+-∞<<∞ 则称()x n 为周期序列，记为()x n ，N 为其周期。 注意正弦周期序列周期性的判定（课本第10页） 2）周期序列的表示方法： a.主值区间表示法 b.模N 表示法 3）周期延拓 设()x n 为N 点非周期序列，以周期序列L 对作()x n 无限次移位相加，即可得到周期序列()x n ，即 ()()i x n x n iL ∞ =-∞ = -∑ 当L N ≥时，()()() N x n x n R n = 当L N <时， ()()() N x n x n R n ≠ （4）序列的分解
第八章小波分析及应用 8.1 引言 把函数分解成一系列简单基函数的表示，无论是在理论上，还是实际应用中都有重要意义。 1822年法国数学家傅里叶(J. Fourier 1768-1830)发表的研究热传导理论的“热的力学分析”，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数理论的基础[1]。傅里叶级数理论研究的是把函数在三角函数系下的展开，使得对信号和系统的研究归结为对简单的三角函数的研究。傅里叶级数与傅里叶变换共同组成了平常所说的傅里叶分析[2]。傅里叶级数用于分析周期性的函数或分布，理论分析时经常假定周期是，定义如式(8.1-1)、(8.1-2) ()()π2,02 L x f ∈∀，()∑∞ -∞ == k ikx k e c x f (8.1-1) 其中 ()dx e x f c ikx k -⎰=π π20 21 (8.1-2) 然而，被分析函数的性质并不能完整地由傅里叶系数来刻划，这里有一个例子来说明[3]：从任一个平方可和的函数)(x f 出发，为了得到一个连续函数)(x g ，只需或者增大f(x)的傅里叶系数的模，或者保持它不变并适当地改变系数的位相。因此，不可能仅根据傅里叶系数大小的阶就预知函数的性质（如大小、正则性）。 傅里叶变换的定义如式(8.1-3)、(8.1-4) ()()dx e x f F x j ωω⎰∞ ∞ -= (8.1-3) ()()ωωπ ωd e F x f x j -∞∞-⎰= 21 (8.1-4) 通过引入广义函数或分布的概念，可获得奇异函数（如冲击函数）的傅里叶变换的存在。对于时域的常量函数，在频域将表现为冲击函数，表明具有很好的频域局部化性质。由式(8.1-3)可知，为了得到()ωF ，必须有关于f(x)的过去和未来的所有知识，而且f(x)在时域局部值的变化会扩散到整个频域，也就是()ωF 的任意有限区域的信息都不足以确定任意小区域的f(x)。在时域，哈尔(Haar)基是一组具有最好的时域分辨能力的正交基，它在时域上是完全局部化的，但在频域的局部化却很不好，这是由于哈尔系的两个缺点：缺乏正则性与缺乏振动性。研究者们希望寻找关于空间变量（或时间变量）与频域变量都同时好的希尔伯特(Hilbert)基，R. Balian 认为：“在通讯理论中，人们对于在完全给定的时间内，把一个振动信号表示成由其中每一个都拥有足够确定的位置与有一个频率的小波的叠加这件事感兴趣。事实上，有用的信息常常同时被发射信号的频率与信号的时间结构（如音乐）所传递。当把一个信号表达成时间的函数时，其中的频谱表现并不好；相反地，信号的傅里分析却显示不了信号每一分量发射信号的瞬时与持续时间。一个适当的表示应结合这两者互补描述的优点，并用一个离散的刻划来表示，以适应通讯理论[3]。”