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主题:《结构力学-1》学习笔记学习时间:整学期《结构力学-1》学习笔记三——静桁架的计算教学内容:一、静定平面桁架的内力计算:结点法。
二、静定平面桁架的内力计算:截面法、结点法和截面法的联合应用。
难点:结点法和截面法的联合应用。
重点:用结点法和截面法计算桁架内力。
要求:灵活运用隔离体平衡条件,熟练掌握桁架的内力计算方法,了解静定结构的力学特性。
教学目的要求:1、掌握:平面静定桁架的内力计算。
2、熟悉:平面静定桁架的受力分析,求平面静定桁架指定杆件内力。
3、了解:静定空间桁架的计算。
概述一、桁架的特点对于大跨度的结构,通常可以采用桁架。
为了简化计算,选取既能反映结构的主要受力性能,而又便于计算的计算简图。
通常对实际桁架的计算简图采用下列假定:(1桁架的结点都是绝对光滑而无摩擦的铰结点。
(2各杆的轴线都是直线且在同一平面,并通过铰的中心。
(3荷载和支座反力都作用在结点上,并位于桁架的平面内。
符合上述假定的桁架成为理想平面桁架。
图1 桁架计算简图及二力杆受力图在桁架的计算简图中,各杆均用轴线表示,结点的小圆圈代表铰。
荷载P 和支座反力都作用在结点上。
由于CD杆处于平衡状态,故杆端所受二力大小相等,方向相反,作用线即为杆的轴线,这样的杆称为二力杆。
桁架的杆件均为二力杆,即杆只有轴力而无弯矩与剪力。
杆件应力分布比较均匀,可以充分发挥材料的作用。
二、桁架的分类桁架的杆件布置必须满足几何不变体系的组成规律,静定桁架根据几何构造的特点,可以分为三类:1. 简单桁架:从一个基础或一个基本铰接三角形开始,依次增加二元体,按这一规律组成的桁架称为简单桁架。
2. 联合桁架:由几个简单桁架联合组成几何不变的铰结体系,这类桁架称为联合桁架。
3. 复杂桁架:不属于前两类的静定桁架,称为复杂桁架。
静定平面桁架的计算一、结点法1. 结点法:截取桁架结点为隔离体,利用平面汇交力系的两个平衡条件计算各杆的未知力。
2. 适用范围:结点法最适用于计算简单桁架。
工程力学(天津大学)第11章答案第十一章 梁弯曲时的变形习 题11−1 用积分法求下列简支梁A 、B 截面的转角和跨中截面C 点的挠度。
解：（a ）取坐标系如图所示。
弯矩方程为：x lM M e=挠曲线近似微分方程为：x lM y EI e -=''积分一次和两次分别得：C x lMy EI e +-='22，（a ） D Cx x lM EIy e ++-=36 (b) 边界条件为：x =0时，y =0，x =l 时，y =0， 代入（a ）、(b)式，得：0,6==D l M C e梁的转角和挠度方程式分别为：)62(12l M x l M EI y e e +-='，)66(13lx M x l M EI y e e +-= 所以：EIl M y l EI M θEI l M θe C e B e A 16,3,62=-==（b ）取坐标系如图所示。
AC 段弯矩方程为：)20(11lx x lM M e≤≤=BC段弯矩方程为：)2(22l x lM x l M M e e≤≤-=两段的挠曲线近似微分方程及其积分分别为：((习题xAC 段：11x lM y EI e-='' 12112C x lM y EI e +-='， （a ） 1113116D x C x lM EIy e ++-= (b) BC 段：e eM x lM y EI +-=''22 22222C M x lM y EI e e ++-='， （c ） 22223226D x C x M x lM EIy e e +++-= (d) 边界条件为：x 1=0时，y 1=0，x 2=l 时，y 2=0， 变形连续条件为：2121212y y y y lx x '='===，时， 代入（a ）、(b)式、（c ）、(d)式,得：,8D 0,2411,2422121l MD l M C l M C e e e==-==， 梁的转角和挠度方程式分别为：AC 段：)242(121l M x l M EI y e e +-='，)246(11311lx M x l M EI y e e +-= BC 段：)24112(12222l M x M x l M EI y e e e -+-='，)8241126(12222322l M lx M x M x l M EI y e e e e +-+-=所以：0,24,24===C eB e A y l EIM θEI l M θ11−2 用积分法求下列悬臂梁自由端截面的转角和挠度。
主题:《结构力学-1》学习笔记学习时间:整学期《结构力学-1》学习笔记四——虚功原理和结构位移的计算教学内容:一、结构位移,广义位移。
位移产生的原因。
位移计算的目的。
实功与虚功的概念。
二、虚功原理。
虚功方程的应用。
三、荷载作用下结构的位移计算。
四、图乘法及其应用。
五、静定结构温度变化时的位移计算。
静定结构支座移动时的位移计算。
六、线弹性结构的互等定理。
习题课。
难点:虚功原理;复杂图形的图乘;静定结构温度变化时的位移计算。
重点:虚功方程的应用。
结构位移计算的一般公式;荷载作用下静定结构的位移计算;温度变化时及支座移动时静定结构的位移计算方法。
要求:理解变形体系虚功原理的内容及其应用;针对不同结构选取相应的位移计算公式计算结构的位移;掌握静定结构在温度变化、支座移动影响下的位移计算方法,了解互等定理。
教学目的要求:1、掌握:结构位移,广义位移。
位移产生的原因。
位移计算的目的;熟练掌握在荷载作用下静定结构的位移计算方法;温度变化时及支座移动时静定结构的位移计算方法。
2、熟悉:实功与虚功的概念。
虚功原理。
虚功方程的应用;图乘法及其应用;图乘法及位移计算公式的应用。
3、了解:理解变形体系虚功原理的内容及其应用;剪切变形修正系数k的推导;线弹性结构的互等定理。
5.1 概述一、结构的位移变形:结构在荷载作用下产生应力和应变,因而将发生尺寸和形状的改变,这种改变称为变形。
位移:由于变形使得结构上各点的位置产生移动,亦即产生了位移。
图1图1所示桁架在荷载P 作用下,杆件产生轴力,因而引起杆件长度的改变,致使结构产生了移动。
除了荷载引起位移外,温度改变、支座移动、材料收缩和制造误差等因素,虽不一定使结构都产生应力和应变,但都将使结构产生位移。
位移有相对位移和绝对位移之分。
各种位移无论是线位移还是角位移,无论是绝对位移或是相对位移,都统称为广义位移。
二、计算结构位移的目的1. 验算结构的刚度2. 为超静定结构计算打下基础三、计算位移的有关假定1结构的材料服从虎克定律,即应力与应变成线性关系。
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主 题： 《理论力学》学习笔记内 容：《理论力学》学习笔记六——动力学基础教学目的、要求:掌握：动力学第二类基本问题的解法；平行轴定理；转轴公式理解：动力学基本定律了解：对初始条件的力学意义及其确定质点运动中的作用有清晰的认识教学内容：基本内容：牛顿定律；惯性参考系；质点运动微分方程，质点系的质心；刚体的转动惯量；转动惯量的平行轴定理重点：动力学基本定律难点：点的运动微分方程，平行轴定理基本要求 1．对质点动力学的基本概念（如惯性、质量等）和动力学基本定律要进一步理解其实质。
2．深刻理解力和加速度的关系，能正确地建立质点的运动微分方程，掌握第一类基本问题的解法。
3．掌握动力学第二类基本问题的解法，特别是当作用力分别为恒力、时间函数、位置函数和速度函数时，质点直线运动微分方程的积分求解法。
4．对初始条件的力学意义及其确定质点运动中的作用有清晰的认识5．牢记质心坐标公式，对转动惯量、惯性积的概念有清晰的理解，利用平行轴定理、转轴公式能熟练地计算刚体对任意轴的转动惯量、惯性积，并掌握准确判断中心惯量主轴的方法。
引 言力系的简化与合成、力系的平衡条件的研究则是静力学的两个主要任务；不考虑运动状态发生变化的原因，只从几何的观点来论述物体的机械运动，这是运动学的任务。
牛顿定律来自实践，它的正确性已经得到了实践的证明。
对于解决自然界和工程技术中的大多数问题来说，牛顿定律是很有效的，这是一个方面；另一方面，正因为它是来自实践，它的适用范围自然受到实践条件的限制。
当时实验、观测的机械运动都是宏观的物体，运动速度远小于光的速度（光速c = 3×108 m/s）的情形，因此，牛顿定律的适用范围受到了两个方面的限制；（1）不适于微观物体。
对于原子（质量约为10–27㎏的数量级）、比原子还小的基本粒子的运动，要用量子力学去分析研究；（2）运动速度不能太大。
当运动速度可以与光速相比较时，时间、空间与运动的相互关系，即相对性效应就明显地显示出来了，对于这种情形的机械运动，则要用相对论力学去分析研究。
⼯程⼒学（天津⼤学）第10章答案教学内容⼯程⼒学（天津⼤学）第10 章答案习题10-1—⼯字型钢梁，在跨中作⽤集中⼒F，已知l = 6m, F = 20kN，⼯字钢的型号为20a,求梁中的最⼤正应⼒解：梁内的最⼤弯矩发⽣在跨中M max 30kN.m3查表知20a⼯字钢W z 237cm则3max M max 30 106126.6 106Pa 126.6MPaW z 237 10 610- 2⼀矩形截⾯简⽀梁，受均布荷载作⽤，梁的长度为l，截⾯⾼度为h,宽度为b,材料的弹性模量为E，试求梁下边缘的总伸长。
解：梁的弯矩⽅程为Mx -qlx -qx22 21则曲率⽅程为M x 1 1qlx12qxx EI z EI z 22梁下边缘的线应变xh 2h1qlx1 2 qxx2EI Z22下边缘伸长为llx dxql3002El z222Ebh2解：各种截⾯梁横截⾯上的正应⼒都是沿⾼度线性分布的。
中性轴侧产⽣拉应⼒，另⼀侧产⽣压应⼒。
10 3已知梁在外⼒作⽤下发⽣平⾯弯曲，当截⾯为下列形状时，试分别画出正应⼒沿横截⾯⾼度的分布规律。
M II I I HIi■■10-4 —对称T形截⾯的外伸梁，梁上作⽤均布荷载，梁的尺⼨如图所⽰，已知qmill m⼁i II HL__L J ___ JI =1.5m, q = 8KN/m，求梁中横截⾯上的最⼤拉应⼒和最⼤压应⼒。
A解:1、设截⾯的形⼼到下边缘距离为y1则有y1 4 8 4 10 4 107.33cm4 8 10 4则形⼼到上边缘距离y2 12 7.33于是截⾯对中性轴的惯性距为I z ⾍4 812 3.3322、作梁的弯矩图C4.67cm10 43121010cm「4cmJ—k-4cm4 2.6728cm864.0cm4设最⼤正弯矩所在截⾯为D,最⼤负弯矩所在截⾯为E，则在D截⾯M Dt,maxy1IzM Dc,maxIz在E截⾯上t,maxc,maxM EL864.01081.778 103 4.67 10 2864.01081.0103 4.671021864.010811.0103 7.33102’9.61y21.778 103 7.33 102864.0 1015.08 106Pa106Pa所以梁内t,max15.08MPa9.61MPa5.40 106Pa 5.40MPa15.08MPa，c,max 9.61MPa106Pa 8.48MPa10- 5 ⼀矩形截⾯简⽀梁，跨中作⽤集中⼒F ，已知l=4m ，的许⽤应⼒［(J=10Mpa ，求梁能承受的最⼤荷载 F max 。
工程力学是工程学的基础学科，它研究物体在受力作用下的平衡和运动。
以下是一些工程力学的基本概念和笔记，供参考：第一章：力和力的分析1.1 力的定义力是一种导致物体产生运动或形状变化的作用。
1.2 力的特征力的大小（标量）力的方向（矢量）力的点对点作用1.3 力的单位国际单位制中，力的单位是牛顿（N），1N等于1千克米/秒²。
第二章：力的分解和合成2.1 力的分解将一力分解成两个或多个分力，便于分析和计算。
2.2 力的合成将多个力合成为一个等效的单一力。
第三章：平衡3.1 平衡的条件物体在受到一组外力作用下，如果合力为零且合力矩（力矩的合成）也为零，则物体处于平衡状态。
3.2 平衡的类型静平衡：物体保持静止。
动平衡：物体以恒定速度运动，但不改变其状态。
第四章：杆件和结构4.1 杆件的力分析应力：单位截面上的内部力。
应变：物体单位长度上的变形。
4.2 杆件的弹性变形需要考虑杆件的材料特性和截面形状。
第五章：摩擦力5.1 静摩擦力静摩擦力的大小受到两个物体之间的正压力和静摩擦系数的影响。
5.2 动摩擦力动摩擦力通常小于或等于静摩擦力，它的大小取决于动摩擦系数。
第六章：质点的运动6.1 运动的描述位置、位移、速度和加速度等描述物体运动的参数。
6.2 牛顿的三大运动定律第一定律：惯性定律第二定律：力的作用导致加速度第三定律：作用与反作用第七章：工程结构的分析7.1 杆件和梁的内力分析利用平衡条件和截面平衡来分析结构内力。
7.2 支持反力分析利用平衡方程来计算支持反力。
这些笔记覆盖了工程力学的基本概念和主要内容。
工程力学是工程学的重要基础，它对于设计和分析各种工程结构和系统都具有重要意义。
主 题： 《工程力学》学习笔记 内 容：
《工程力学》学习笔记四
——应力与强度
一、截面的几何性质 1、静矩和形心1
（1）静矩和形心的基本公式
⎪⎩⎪⎨
⎧==⎰⎰A
y A
z A z S A y S d d 静矩是对一定的轴而言的，同一截面对不同轴的静矩是不同的。
静矩的数值可正，可负，也可以为零，单位为m 3或mm 3。
（2）组合截面的静矩和形心的计算公式
由几个简单图形组合而成的截面，例如工字形、T 字形等截面，称为组合截面。
组合截面的静矩，可应用合力矩定理，即整个组合截面对某轴的静矩就等于组成它的各简单截面对该轴静矩的代数和。
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
==∑∑==n
i ci i z n i ci i y y
A S z A S 11
计算组合截面形心坐标的公式为
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪⎪
⎨⎧
==∑∑∑∑====n i i n
i ci
i c n i i n i ci i c A z A z A y A y 111
1
2、惯性矩2
（1）惯性矩I 的基本公式
⎪⎩⎪⎨⎧==⎰⎰A
y A
z A z I A y I d d 2
2 （2）极惯性矩的基本公式
整个截面对坐标原点的极惯性矩定义为
⎰=A
A I d 2ρρ
z y I I I +=ρ
因此惯性矩、极惯性矩具有以下特点：
① 截面对任一对正交坐标轴的惯性矩之和，恒等于该截面对坐标原点的极惯性
矩。
② 惯性矩、极惯性矩均为二次矩，单位常取m 4或mm 4，惯性矩、极惯性矩永远为正。
③ 惯性矩总是对某个轴来讲的。
对于不同的轴，惯性矩的数值也不相同。
在梁的正应力计算中，惯性矩通常是对中性轴而言的。
（3）简单截面的惯性矩 ①矩形截面的惯性矩。
12
d d 3
2
/2/2
2
bh y b y A y I h h A z =
==⎰⎰- 12
d d 32/2/2
2h b y b z A z I b b A y =
==⎰⎰- ②圆形截面的惯性矩。
4464
1
41D R I z ππ==
（4）惯性矩的平行移轴公式
⎪⎩⎪⎨⎧+=+=A
b I I A
a I I y y z z 2
121 3、截面抵抗矩（抗弯截面模量）1
截面抵抗矩W 定义为：
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧=
=max max z I W y I W y y z z 若截面是高为h ，宽为b 的矩形，则
6
21222
3bh h bh h I W z z =
== 若截面是直径为d 的圆形，则
32
26423
4d d d d I W z z ππ===
若截面是外径为D 、内径为d 的空心圆形，则
()
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-==4
3441322642D d D D d D D I W z z ππ
4、截面回转半径（惯性半径）
已知截面的惯性矩I 和截面面积A ，回转半径可按下式计算：
A
I i y y =
， A
I i z
z =
二、应力与强度 1、应力的概念1
内力在截面上的某点处分布集度，称为该点的应力。
应力是一矢量，通常把应力分解成垂直于截面的分量 σ和相切与截面的分量τ。
σ称为正应力，τ称为剪应
力。
在国际单位制中，应力的单位是帕斯卡，以Pa （帕）表示，1Pa=1N/m 2。
2、轴向正应力
σ=N /A 3、弯曲正应力1
纯弯曲时横截面上正应力的计算公式：
z
I My
=
σ 最大正应力max σ发生于弯矩最大的横截面上矩中性轴最远处。
z
z W M I y M max max max max
=σ
4、弯曲切应力 （1）矩形截面梁
横截面上任意点处的切应力：
b
I QS z z *
=τ
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=
2242y h I Q z
τ 矩形截面梁横截面上的切应力大小沿截面高度方向按二次抛物线规律变化，且在
横截面的上、下边缘处（2
h
y ±= ）的切应力为零， 在中性轴上（0=y ）的切
应力值最大。
A
Q
23max =
τ （2）工字形截面梁
工字形截面梁由腹板和翼缘组成。
横截面上的切应力主要分布于腹板上；翼缘部分的切应力分布比较复杂，数值很小，可以忽略。
5、圆形截面梁的最大切应力
圆形截面上最大切应力仍在中性轴上各点处。
A
Q
34max =τ
6、扭转切应力1
（1）圆轴扭转时横截面上任意点的切应力公式：
P
I T ρ
τρ=
在圆截面边缘上，ρ的最大值为R ，则最大切应力为
n
P W T
I TR =
=
max τ ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=*22
422212y h b y h y y h b S z
式中n W 仅与截面的几何尺寸有关，称为抗扭截面模量。
若截面是直径为d 的圆形，则
16
23
d d I W P n π=
= 若截面是外径为D ，内径为d 的空心圆形，则
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-==4
31162D d D D I W P n π
（2）矩形截面杆纯扭转时的应力
非圆截面杆的扭转可分为纯扭转和约束扭转。
若各截面翘曲的程度相同，相邻截面的翘曲是自由的，此时横截面上只有剪应力而没有正应力，这种扭转称为纯扭转。
若各截面的翘曲受到限制，横截面上不仅有剪应力，而且还有正应力，这种扭转称为约束扭转。
矩形截面杆纯扭转时，横截面周边各点处的切应力平行于周边且与扭矩方向一致，在对称轴上，各点的剪应力垂直于对称轴，其他各点的剪应力是斜向的，角点及形心处的剪应力为零，最大剪应力max τ发生在长边中点处，短边中点处有较大的切应力1τ。
三、强度条件1
1、许用应力与安全系数
材料丧失其正常工作能力时的应力值，称为危险应力或极限应力u σ。
保证构件安全工作的最大应力值，称为许用应力[]σ。
常将材料的极限应力u σ除以大于1的安全系数n 作为其许用应力[]σ。
塑性材料 []s
s
n σσ= 脆性材料 []b
b
n σσ=
式中s n 和b n 分别为塑性材料和脆性材料的安全系数。
2、杆件的强度计算
（1）拉（压）杆的正应力强度条件为
[]σσ≤=A
N
max max
（2）梁弯曲的正应力强度条件为
[]σσ≤=z
W M
max max
（3）梁弯曲的切应力强度条件为
b
I S V z z *max
max max =
τ≤ [τ]
（4）圆轴扭转时切应力强度条件为
T max []τ
τ≤
=
n
W。
