主 题： 《工程力学》学习笔记 内 容：
《工程力学》学习笔记四
——应力与强度
一、截面的几何性质 1、静矩和形心1
（1）静矩和形心的基本公式
⎪⎩⎪⎨
⎧==⎰⎰A
y A
z A z S A y S d d 静矩是对一定的轴而言的，同一截面对不同轴的静矩是不同的。静矩的数值可正，可负，也可以为零，单位为m 3或mm 3
。 （2）组合截面的静矩和形心的计算公式
由几个简单图形组合而成的截面，例如工字形、T 字形等截面，称为组合截面。组合截面的静矩，可应用合力矩定理，即整个组合截面对某轴的静矩就等于组成它的各简单截面对该轴静矩的代数和。
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
==∑∑==n
i ci i z n i ci i y y
A S z A S 11
计算组合截面形心坐标的公式为
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪⎪
⎨⎧
==∑∑∑∑====n i i n
i ci
i c n i i n i ci i c A z A z A y A y 111
1
2、惯性矩2
（1）惯性矩I 的基本公式
⎪⎩⎪⎨⎧==⎰⎰A
y A
z A z I A y I d d 2
2 （2）极惯性矩的基本公式
整个截面对坐标原点的极惯性矩定义为
⎰=A
A I d 2ρρ
z y I I I +=ρ
因此惯性矩、极惯性矩具有以下特点：
① 截面对任一对正交坐标轴的惯性矩之和，恒等于该截面对坐标原点的极惯性
矩。
② 惯性矩、极惯性矩均为二次矩，单位常取m 4或mm 4，惯性矩、极惯性矩永远为正。
③ 惯性矩总是对某个轴来讲的。对于不同的轴，惯性矩的数值也不相同。在梁的正应力计算中，惯性矩通常是对中性轴而言的。 （3）简单截面的惯性矩 ①矩形截面的惯性矩。
12
d d 3
2
/2/2
2
bh y b y A y I h h A z =
==⎰⎰- 12
d d 32/2/2
2h b y b z A z I b b A y =
==⎰⎰- ②圆形截面的惯性矩。
4464
1
41D R I z ππ==
（4）惯性矩的平行移轴公式
⎪⎩⎪⎨⎧+=+=A
b I I A
a I I y y z z 2
121 3、截面抵抗矩（抗弯截面模量）1
截面抵抗矩W 定义为：
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧=
=max max z I W y I W y y z z 若截面是高为h ，宽为b 的矩形，则
6
21222
3bh h bh h I W z z =
== 若截面是直径为d 的圆形，则
32
26423
4d d d d I W z z ππ===
若截面是外径为D 、内径为d 的空心圆形，则
()
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-==4
3441322642D d D D d D D I W z z ππ
4、截面回转半径（惯性半径）
已知截面的惯性矩I 和截面面积A ，回转半径可按下式计算：
A
I i y y =
， A
I i z
z =
二、应力与强度 1、应力的概念1
内力在截面上的某点处分布集度，称为该点的应力。应力是一矢量，通常把应力分解成垂直于截面的分量 σ和相切与截面的分量τ。 σ称为正应力，τ称为剪应
力。在国际单位制中，应力的单位是帕斯卡，以Pa （帕）表示，1Pa=1N/m 2。 2、轴向正应力
σ=N /A 3、弯曲正应力1
纯弯曲时横截面上正应力的计算公式：
z
I My
=
σ 最大正应力max σ发生于弯矩最大的横截面上矩中性轴最远处。
z
z W M I y M max max max max
=σ
4、弯曲切应力 （1）矩形截面梁
横截面上任意点处的切应力：
b
I QS z z *
=τ
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=
2242y h I Q z
τ 矩形截面梁横截面上的切应力大小沿截面高度方向按二次抛物线规律变化，且在
横截面的上、下边缘处（2
h
y ±= ）的切应力为零， 在中性轴上（0=y ）的切
应力值最大。
A
Q
23max =
τ （2）工字形截面梁
工字形截面梁由腹板和翼缘组成。横截面上的切应力主要分布于腹板上；翼缘部分的切应力分布比较复杂，数值很小，可以忽略。 5、圆形截面梁的最大切应力
圆形截面上最大切应力仍在中性轴上各点处。
A
Q
34max =τ
6、扭转切应力1
（1）圆轴扭转时横截面上任意点的切应力公式：
P
I T ρ
τρ=
在圆截面边缘上，ρ的最大值为R ，则最大切应力为
n
P W T
I TR =
=
max τ ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=*22
422212y h b y h y y h b S z
