立体几何高考题
1.（2011年高考浙江卷文科4)若直线l 不平行于平面a ，且l a ?，则
(A) a 内的所有直线与l 异面 (B) a 内不存在与l 平行的直线 (C) a 内存在唯一的直线与l 平行 (D) a 内的直线与l 都相交
2.（2011年高考全国卷文科12)已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成060，二面角的平面β截该球面得圆N ，若该球的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为 (A)7π (B)9π (c)11π (D)13π
3.（2011年高考江西卷文科9)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如右图所示，则该几何体的左视图为（ ）
4.. （2011年高考福建卷文科15)如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB =2，
点E 为AD 的中点，点F 在CD 上，若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于_____________. 5.（2011年高考全国卷文科15)已知正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11C D 的 中点，则异面直线AE 与BC 所成的角的余弦值为
6. （2011年高考山东卷文科19)如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，1D D ⊥平面ABCD ，底面
ABCD 是平行四边形，AB=2AD ，11AD=A B ，BAD=∠60°. （Ⅰ）证明：1AA BD ⊥； （Ⅱ）证明：11CC A BD ∥平面. 7．（2011年高考湖南卷文科19)
如图3，在圆锥PO 中，已知2,PO O = 的直径 2,,AB C AB D AC =∠ 点在上,且CAB=30为的中点．
（I ）证明：;AC POD ⊥平面
（II ）求直线OC 和平面PAC 所成角的正弦值．
8. (2011年高考天津卷文科17)
如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为平行四边形,45ADC ∠= ,AD=AC=1,O 为AC 的中点,PO ⊥平面ABCD,PO=2,M 为PD 的中点.
(Ⅰ)证明PB ∥平面ACM ; (Ⅱ)证明AD ⊥平面PAC; (Ⅲ)求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值.
9. （2011年高考福建卷文科20)
如图，四棱锥P-ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，点E 在线段AD 上，且CE ∥AB 。 （1） 求证：CE ⊥平面P AD ；
（11）若P A =AB =1，AD =3，CD =2，∠CDA =45°， 求四棱锥P-ABCD 的体积
10. （2011年高考湖北卷文科18)如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2， 侧棱长为32，点E 在侧棱1AA 上，点F 在侧棱1BB 上，且22,2AE BE ==.
(Ⅰ)求证：1CF C ⊥
(Ⅱ)求二面角1EE CF C --的大小. 11. （2011年高考全国新课标卷文科18)
如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，?=∠60DAB ，ABCD PD AD AB 底面⊥=,2， （1）证明：BD PA ⊥; (2) 设，
1==AD PD 求三棱锥D-PBC 锥的高.
12. （2011年高考浙江卷文科20)（本题满分14分）如图，在三棱锥P ABC -中，AB AC =，D 为
E
BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上.
（Ⅰ）证明：AP⊥BC；（Ⅱ）已知8
BC=，
PO=，3
AO=，2
4
--的大小
OD=.求二面角B AP C
13.（2011年高考全国卷文科20)
如图，四棱锥S ABCD
⊥，侧面SAB
AB CD,BC CD
-中，//
为等边三角形，2,1
====.
AB BC CD SD
（Ⅰ）证明：SD SAB
⊥平面;
（Ⅱ)求AB与平面SBC所成角的大小.
14.（2011年高考重庆卷文科20)如题（20）图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，
⊥====
,2,1
AB BC AC AD BC CD
（Ⅰ）求四面体ABCD的体积；
（Ⅱ）求二面角C-AB-D的平面角的正切
专题二上海
(01春)若有平面α与β，且l
β
α,
,
，则下列命题中的假命题为（）
α
,
=
P
⊥
l?
P
β
∈
α
（A）过点P且垂直于α的直线平行于β．（B）过点P且垂直于l的平面垂直于β．
（C）过点P且垂直于β的直线在α内．（D）过点P且垂直于l的直线在α内．
（01）已知a、b为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中的假命题是（）D
A. 若a∥b，则α∥β
B.若α⊥β，则a⊥b
C.若a、b相交，则α、β相交
D.若α、β相交，则a、b相交
(02春)下图表示一个正方体表面的一种展开图，图中四条线段AB 、CD 、EF 和GH 在原正方体中相互异面的有 对。3
(02)若正四棱锥的底面边长为cm 32,体积为34cm ，则它的侧面与底面所成的二面角的大小是
30
(03春)关于直线l b a ,,以及平面N M ,，下列命题中正确的是( ).
(A) 若M b M a //,//,则b a // (B) 若a b M a ⊥,//,则M b ⊥
(C) 若M b M a ??,,且b l a l ⊥⊥,,则M l ⊥ (D) 若N a M a //,⊥,则N M ⊥ D
(03) 在正四棱锥P —ABCD 中，若侧面与底面所成二面角的大小为60°，则异面直线PA 与BC 所成角的大小等于 .（结果用反三角函数值表示）arctg2 (03)在下列条件中，可判断平面α与β平行的是
（ ）
A ．α、β都垂直于平面r.
B ．α内存在不共线的三点到β的距离相等.
C ．l ，m 是α内两条直线，且l ∥β，m ∥β.
D ．l ，m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β. D
(04春)如图,在底面边长为2的正三棱锥V-ABC 中,E 是BC 的中点,若△VAE 的面积是4
1
,则侧棱
VA 与底面所成角的大小为 (结果用反三角函数表示) arctg 4
1
(04) 在下列关于直线l 、m 与平面α、β的命题中,真命题是( ) (A)若l ?β且α⊥β,则l ⊥α. (B) 若l ⊥β且α∥β,则l ⊥α. (C) 若l ⊥β且α⊥β,则l ∥α. (D) 若α∩β=m 且l ∥m,则l ∥α. B
(05春)已知直线n m l 、、及平面α，下列命题中的假命题是
（A ）若//l m ，//m n ，则//l n . （B ）若l α⊥，//n α，则l n ⊥.
（C ）若l m ⊥，//m n ，则l n ⊥. （D ）若//l α，//n α，则//l n .D
(05)有两个相同的直三棱柱,高为
a
2
,底面三角形的三边长分别为3a 、4a 、5a(a>0).用它们拼成一个三棱柱或四棱柱,在所有可能的情况中,全面积最小的是一个四棱柱,则a 的取值范围是 ．0 3 15 (06春)正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为 . 3 16 (06文)若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的 （ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件 A (06理)若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的 [答]（ ）A （A ）充分非必要条件；（B ）必要非充分条件；（C ）充要条件；（D ）非充分非必要条件． (07文) 如图，在直三棱柱111C B A A B C -中， 90=∠ACB ， 21=AA ，1==BC AC ，则异面直线B A 1与AC 所成角的 大小是 （结果用反三角函数值表示）． 6 6 arccos (07理)在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种． 已知αβ，是两个 相交平面，空间两条直线12l l ，在α上的射影是直线12s s ，，12l l ，在β上的射影是 直线12t t ，．用1s 与2s ，1t 与2t 的位置关系，写出一个总能确定1l 与2l 是异 面直线的充分条件： ．21//s s ，并且1t 与2t 相交（//1t 2t ，并且1s 与2s 相交） (01春) 用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器（如图），设容器的高为h 米，盖子边长为a 米． （1）求a 关于h 的函数解析式； （2）设容器的容积为V 立方米，则当h 为何值时，V 最大？求出V 的最大值． （求解本题时，不计容器的厚度 (01春) 在长方体1111D C B A ABCD -中，点E 、F 分别1BB 、1DD 上，且B A AE 1⊥，D A AF 1⊥。 （1）求证：AEF C A 平面⊥1； （2）若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角（或直角），则在空间中有定理：若两条直线分别垂直于两个平面，则这两条直线所成的角与这两个平面所成的角相等。 试根据上述定理，在4=AB ，3=AD ，51=AA 时，求平面AEF 与平面BD B D 11所成的角的大小。（用反三角函数值表示） (02春) 如图，三棱柱OAB-O 1A 1B 1，平面OBB 1O 1⊥平面OAB ，O 1OB=60°，∠AOB=90°，且OB= OO 1=2，OA=√3。 求：（１）二面角Ｏ１－ＡＢ－Ｏ大小； （２）异面直线Ａ１Ｂ与ＡＯ１所成角的大小。 （上述结果用反三角函数值表示） (03)已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，A 1A ⊥平面ABCD ，AB=4，AD=2.若B 1D ⊥BC ，直线 B 1D 与平面ABCD 所成的角等于30°，求平行六面体ABCD —A 1B 1 C 1 D 1的体积. (04春)如图,点P 为斜三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱BB 1上一点,PM ⊥BB 1交AA 1于点M,PN ⊥BB 1交CC 1于点N. (1) 求证：CC 1⊥MN;(6分) (2) 在任意△DEF 中有余弦定理： (04)某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为x 、y(单位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积8cm 2. 问x 、y 分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省? (05春)已知正三棱锥ABC P -的体积为372，侧面与底面所成的二面角的大小为 60. （1）证明：BC PA ⊥； （2）求底面中心O 到侧面的距离 (05理)已知直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中, AA 1=2底面ABCD 是直角梯形,∠A 为直角,AB ∥CD,AB=4,AD=2,DC=1,.求异面直线BC 1与DC 所成角的大小.(结果用反三角函数值表示) (06春)在长方体1111D C B A ABCD -中，已知DA=DC=4,DD 1=3,求异面直线A 1B 与B 1C 所成角的大小(结果用反三角函数表示). (06理)在四棱锥P －ABCD 中，底面是边长为2的菱形，∠DAB ＝60 ，对角线AC 与BD 相交于点O ，PO ⊥平面ABCD ，PB 与平面ABCD 所成的角为60 ． （1）求四棱锥P －ABCD 的体积； （2）若E 是PB 的中点，求异面直线DE 与PA 所成角的大小（结果用反三角函数值表示） (07春)如图，在棱长为2的正方体D C B A ABCD ''''-中，F E 、分别是B A ''和AB 的中点，求异面直线F A '与CE 所成角的大小 (结果用反三角函数值表示） (07文)在正四棱锥ABCD P -中，2=PA ，直线PA 与平面ABCD 所成的角为 60，求 正四棱锥ABCD P -的体积V ． (07理) 如图，在体积为1的直三棱柱111C B A ABC -中，1,90===∠BC AC ACB ．求直线B A 1与 平面C C BB 11所成角的大小（结果用反三角函数值表示）． （一）2011年山东理科： （11）右图是长和宽分别相等的两个矩形，给定下列三个命题： ①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图； ②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图； ③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如下图．其中真命题的个数是： （A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ）0 （19）（本小题满分12分） 在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形， 90ACB ∠=?，EA ⊥平面ABCD ，EF ∥AB ， 正（主）视图 俯视图 A B C D E F G M FG ∥BC ，EG ∥AC ,2AB EF =. （Ⅰ)若M 是线段AD 的中点，求证：GM ∥平面ABFE ； （Ⅱ）若2AC BC AE ==,求二面角A BF C --的大小． （二）2010年山东理科： （3）在空间，下列命题正确的是 （A ）平行直线的平行投影重合 （B ）平行于同一直线的两个平面平行 （C ）垂直于同一平面的两个平面平行 （D ）垂直于同一平面的两条直线平行 （19）（本小题满分12分） 如图，在五棱锥P —ABCDE 中，PA ⊥平面ABCDE ，AB ∥CD ，AC ∥ED ，AE ∥BC ， ∠ABC =45°，AB =22， BC =2AE =4，三角形PAB 是等腰三角形． （Ⅰ）求证：平面PCD ⊥平面PAC ； （Ⅱ）求直线PB 与平面PCD 所成角的大 （Ⅲ）求四棱锥P —ACDE 的体积． （三）2009年山东理科： 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （4）一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) （A ）223 π+ （B ）423π+ （C ）2323π+ （D ）23 43 π+ （5）已知αβ，表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线， 则“αβ⊥”是“m β⊥”的( ) （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 2 2 侧(左)视图 2 2 2 正(主)视图 俯视图 E D1C1 B1 A1 D （18）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．． ） 如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AB=4，BC=CD=2，1AA =2， 1,,E E F 分别是棱AD 、AA 1、AB 的中点。 （Ⅰ）证明：直线1EE ∥平面1FCC ； w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （Ⅱ）求二面角1B FC C -- 的余弦值。 （四）2008年山东理科： （6）右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ） (A) 9π （B ）10π (C) 11π (D) 12π (20)(本小题满分12分) 如图，已知四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ， 60ABC ∠=?，E ，F 分别是BC , PC 的中点. （Ⅰ）证明：AE ⊥PD ； （Ⅱ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为6 2 ，求二面角E —AF —C 的余弦值。 （五）2007年山东理科： 3、下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ） （A ）(1),(2) （B ）(1),(3) （C ）(1),(4) （D ）(2),(4) E A B C F E 1 A 1 B 1 C 1 D 1 D D P 19、（本小题满分12分）如图,在直四棱柱 1111ABCD A B C D -中,已知 122DC DD AD AB ===,AD DC ⊥,//AB DC 。 （Ⅰ）设E 是DC 的中点，求证：11//D E A BD 平面； （Ⅱ）求二面角11A BD C --的余弦值。 《立体几何》专题 练习题 1．如图正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别为D 1C 1和B 1C 1的中点， P 、Q 分别为A 1C 1与EF 、AC 与BD 的交点， （1）求证：D 、B 、F 、E 四点共面； （2）若A 1C 与面DBFE 交于点R ，求证：P 、Q 、R 三点共线 2．已知直线a 、b 异面,平面α过a 且平行于b ,平面β过b 且平行于a ,求证:α∥β． 3. 如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEFG 所截而得，其中4=AB ，1=BC 3=BE ,4=CF ,若如图所示建立空间直角坐标系． ①求EF 和点G 的坐标； ②求异面直线EF 与AD 所成的角； ③求点C 到截面AEFG 的距离． 4. 如图，三棱锥P —ABC 中， PC ⊥平面ABC ，PC=AC=2，AB=BC ，D 是PB 上一点，且CD ⊥平面PAB ． (I) 求证：AB ⊥平面PCB ； (II) 求异面直线AP 与BC 所成角的大小； P Q F E D 1C 1 B 1A 1 D C B A F E C B y Z x G D A （III ）求二面角C-PA-B 的余弦值． 5. 如图，直二面角D —AB —E 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE=EB ， F 为 CE 上的点，且BF ⊥平面ACE. (1)求证AE ⊥平面BCE ； (2)求二面角B —AC —E 的余弦值． 6. 已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，点M 在侧棱1BB 上. （Ⅰ）若P 为AC 的中点，M 为BB 1的中点，求证BP//平面AMC 1； （Ⅱ）若AM 与平面11AA CC 所成角为30ο，试求BM 的长. 7. 如图，在底面是矩形的四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AB ＝1，BC ＝2． （1）求证：平面PDC ⊥平面PAD ； （2）若E 是PD 的中点，求异面直线AE 与PC 所成角的余弦值； 8. 已知：在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB = a ，AA 1 = 2a . D 是侧棱BB 1的中点. 求证： （Ⅰ）求证：平面ADC 1⊥平面ACC 1A 1； （Ⅱ）求平面ADC 1与平面ABC 所成二面角的余弦值． P A B C D E 9. 已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，且60DAB ∠= ，1AD AA =F 为 棱1BB 的中点，M 为线段1AC 的中点． （Ⅰ）求证：直线MF //平面ABCD ； （Ⅱ）求证：直线MF ⊥平面11ACC A ； （Ⅲ）求平面1AFC 与平面ABCD 所成二面角的大小 10. 棱长是1的正方体，P 、Q 分别是棱AB 、CC 1上的内分点，满足 21 ==QC CQ PB AP . （1）求证：A 1P ⊥平面AQD ； （2）求直线PQ 与平面AQD 所成角的正弦值. 11. 如图,长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， E 、F 分别是线段B 1D 1、A 1B 上的点， 且D 1E=2EB 1,BF=2FA 1． （1）求证:EF ∥AC 1； （2）若EF 是两异面直线B 1D 1、A 1B 的公垂线段,求证该长方体为正方体． 12. 如图，在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2 1 AB ，点E 、M 分别为A 1B 、C 1C 的中点，过点A 1，B ，M 三点的平面A 1BMN 交C 1D 1于点N. （Ⅰ）求证：EM ∥平面A 1B 1C 1D 1； （Ⅱ）求二面角B —A 1N —B 1的正切值. D C A B D 1 C 1 A 1 B 1 E F Q P D 1 C 1 A 1 B 1 D C A B 立体几何高考题答案全解 上海历年高考题汇总 (01春) 解（1）设'h 为正四棱锥的斜高 由已知??? ????=+=?+,'h a 41h ,2a 'h 214a 2222 解得)0(1 12 >+= h h a （2）)0() 1(3312 2>+==h h h ha V 易得) h 1h (31V += 因为2121=?≥+ h h h h ，所以6 1≤V 等式当且仅当h h 1 = ，即1=h 时取得。 故当1=h 米时，V 有最大值，V 的最大值为6 1 立方米． (01春) 。 证（1）因为B A CB 1平面⊥，所C A 1在平面B A 1上的射影为B A 1 由B A AE AE B A 11,平面?⊥，得AE C A ⊥1， 同理可证AF C A ⊥1 因为AE C A AF C A ⊥⊥11, 所以AEF C A 平面⊥1 解（2）过A 作BD 的垂线交CD 于G ， 因为AG D D ⊥1，所以BD B D AG 11平面⊥ 设AG 与C A 1所成的角为α，则α即为平面AEF 与平面BD B D 11所成的角． 由已知，计算得4 9= DG ． 如图建立直角坐标系，则得点(0,0,0)A ， )0,3,4(),5,0,0(),0,3,49 (1C A G ， }5,3,4{},0,3,4 9 {1-==C A AG ， 因为AG 与C A 1所成的角为α 所以252 12||||cos 11=??= αC A AG C A AG 25 2 12arccos =α 由定理知，平面AEF 与平面CEF 所成角的大小为25 2 12arccos (02春) [解] （1）取OB 的中点D ，连结O 1D ，则O 1D ⊥OB 。 ∵平面OBB 1O 1⊥平面OAB ， ∴O 1D ⊥平 面OAB 过D 作AB 的 ∴∠DEO 1 垂线，垂足为E ，连结O 1E ，则O 1E ⊥AB 。 为二面角O 1-AB-O 的平面角。 由题设得O 1D=√3， ∴DE=DBsin ∠OBA=√21/7. ∵在Rt △O 1DE 中，tg ∠DEO 1=√7, ∴∠DEO 1=arctg√7.即二面角O 1-AB-O 的大小为arctg√7. (2)以O 点为原点，分别以OA 、OB 所在直线为x 、y 轴、过O 点且与平面AOB 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则 O （0，0，0），O1（0，1，√3），A （√3，0，0），A1（√3，1，√3），B （0，2，0）。 设异面直线A 1B 与AO 1所成角为α， (02)如图，在直三棱柱'''O B A ABO -中，4'=OO ， 90,3,4=∠==AOB OB OA ，D 是线段''B A 的中点，P 是侧棱'BB 上的一点，若BD OP ⊥，求OP 与底面AOB 所成角的大小。（结果用反三角函数值表示） [解法一] 如图,以O 点为原点建立空间直角坐标系 由题意，有)4,2,2 3 (),0,0,3(D B 设),0,3(z P ，则 },0,3{},4,2,2 3{z OP BD =-= 因为OP BD ⊥ 042 9 =+-=?z OP BD 89=z 因为⊥'BB 平面AOB POB ∴是OP 与底面AOB 所成的角 8 3 8 3 arctg POB POB tg =∠∴= ∠ [解法二]取''B O 中点E ，连结DE 、BE ，则 ⊥ DE 平面''O OBB BE ∴是BD 在平面''O OBB 内的射影。 又因为BD OP ⊥ 由三垂线定理的逆定理，得BE OP ⊥ 在矩形''O OBB 中，易得E BB Rt OBP Rt '~?? ,''BB OB E B BP =∴得8 9=BP （以下同解法一） z O’ A’ D B’ P O A y B x O’ A’ E D B’ P O A B O’ A’ D B’ P O A B (03)已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，A 1A ⊥平面ABCD ，AB=4，AD=2.若B 1D ⊥BC ，直线B 1D 与平面ABCD 所成的角等于30°，求平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的体积. [解]连结BD ，因为B 1B ⊥平面ABCD ，B 1D ⊥BC ，所以BC ⊥BD. 在△BCD 中，BC=2，CD=4，所以BD=32. 又因为直线B 1D 与平面ABCD 所成的角等于30°，所以 ∠B 1DB=30°，于是BB 1= 3 1BD=2. 05春）故平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的体积为S ABCD ·BB 1=38. (04春） （1）证明：BC PA ⊥；AD （2）求底面中心O 到侧面的距离 [证明]（1）取BC 边的中点D ，连接、PD ， 则BC AD ⊥，BC PD ⊥，故⊥BC 平面APD . …… 4分 ∴ BC PA ⊥. …… 6分 [解]（2）如图， 由（1）可知平面⊥PBC 平面APD ，则PDA ∠是侧面与底面所成二面角的平面角. 是点O 到侧面的距 过点O 作E PD OE ,⊥为垂足，则OE 就离. …… 9分 设OE 为h ，由题意可知点O 在AD 上， ∴ 60=∠PDO ，h OP 2=. h BC h OD 4,3 2=∴= , …… 11分 ∴ 2234)4(43 h h S ABC ==?， ∵ 3 23 3823431372h h h =??=，∴ 3=h . 即底面中心O 到侧面的距离为3. 则cosθ= CD BC CD BC ??11= 17173,θ= arccos 17 17 3. 异面直线BC 1与DC 所成角的大小为arccos 17 17 3 (06春)在长方体1111D C B A ABCD -中，已知DA=DC=4,DD 1=3,求异面直线A 1B 与B 1C 所成角的大小(结果用反三角函数表示). [解法一]连接A 1D ∵A 1D ∥B 1C, ∴∠BA 1D 是异面直线A 1B 与B 1C 所成的角 ……4分 连接BD,在△A 1DB 中,AB=A 1D=5,BD=42 ……6分 cos ∠BA 1D=D A B A BD D A B A 112 21212??-+ = 5 52322525??-+=259 ……10分 ∴异面直线A 1B 与B 1C 所成角的大小为arccos 25 9 ……12分 [解法二]以D 为坐标原点,DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系. ……2分 则A 1(4,0,3) 、B(4,4,0) 、B 1(4,4,3) 、C(0,4,0), 得B A 1=(0,4,-3),C B 1=( -4,0,-3) ……6分 设B A 1与C B 1的夹角为θ, cosθ= C B B A C B B A 1111??= 25 9 ……10分 ∴异面直线A 1B 与B 1C 所成角的大小为arccos 25 9 (06文)在直三棱柱ABC ABC -中，90,1ABC AB BC ∠=== . （1）求异面直线11B C 与AC 所成的角的大小； （2）若1A C 与平面ABC S 所成角为45 ，求三棱锥1A ABC -的体积 解：(1) ∵BC ∥B 1C 1, ∴∠ACB 为异面直线B 1C 1与AC 所成角(或它的补角) ∵∠ABC=90°, AB=BC=1, ∴∠ACB=45°, ∴异面直线B 1C 1与AC 所成角为45°. (2) ∵AA 1⊥平面ABC, ∠ACA 1是A 1C 与平面ABC 所成的角, ∠ACA =45°. ∵∠ABC=90°, AB=BC=1, AC=2, ∴AA 1=2. ∴三棱锥A 1-ABC 的体积V= 3 1 S △ABC ×AA 1=26. (06理)在四棱锥P －ABCD 中，底面是边长为2的菱形，∠DAB ＝60 ，对角线AC 与BD 相交于点O ，PO ⊥平面ABCD ，PB 与平面ABCD 所成的角为60 ． （1）求四棱锥P －ABCD 的体积； （2）若E 是PB 的中点，求异面直线DE 与PA 所成角的大小（结果用反三角函数值表示） [解]（1）在四棱锥P-ABCD 中,由PO ⊥平面ABCD, 得 ∠PBO 是PB 与平面ABCD 所成的角, ∠PBO=60°. 在 Rt △AOB 中BO=ABsin30°=1, 由 PO ⊥BO, P A C D E 于是,PO=BOtg60°=3,而底面菱形的面积为23. ∴四棱锥P-ABCD 的体积V=3 1 ×23×3=2. （2）解法一：以O 为坐标原点,射线OB 、OC 、 OP 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立 空间直角坐标系. 在Rt △AOB 中OA=3,于是,点A 、B 、 D 、P 的坐标分别是A(0,－3,0), B (1,0,0), D (－1,0,0), P (0,0, 3). E 是PB 的中点,则E( 21,0,23) 于是DE =(2 3,0, 23),AP =(0, 3,3). 设AP 与DE 的夹角为θ,有cosθ=42334 3 4923 =+?+,θ=arccos 42, ∴异面直线DE 与PA 所成角的大小是arccos 4 2 ； 解法二：取AB 的中点F,连接EF 、DF. 由E 是PB 的中点,得EF ∥PA ， ∴∠FED 是异面直线DE 与PA 所成 角(或它的补角)， 在Rt △AOB 中AO=ABcos30°=3=OP ， 于是, 在等腰Rt △POA 中， PA=6，则EF= 2 6. 在正△ABD 和正△PBD 中,DE=DF=3， cos ∠FED=34621=DE EF =4 2 ∴异面直线DE 与PA 所成角的大小是arccos 4 2 . (07春)如图，在棱长为2的正方体D C B A ABCD ''''-中，F E 、分别是B A ''和AB 的中点，求异面直线F A '与CE 所成角的大小 (结果用反三角函数值表示） [解法一] 如图建立空间直角坐标系. …… 2分 由题意可知)0,1,2(),2,1,2(),0,2,0(),2,0,2(F E C A '. )2,1,2(),2,1,0(-=-='∴CE F A . …… 6分 设直线F A '与CE 所成角为θ，则 3 5 3 55cos = ?= ?'?'= CE F A CE F A θ. …… 10分 3 5arccos =∴θ， 即异面直线F A '与CE 所成角的大小为3 5 arccos . …… 12分 [解法二] 连接EB ， …… 2分 BF E A //' ，且BF E A ='，FBE A '∴是平行四边形，则EB F A //'， ∴ 异面直线F A '与CE 所成的角就是CE 与EB 所成的角. …… 6分 由⊥CB 平面A B AB ''，得BE CB ⊥. 在Rt △CEB 中，5,2==BE CB ，则 5 5 2tan = ∠CEB ， …… 10分 ∴ 5 5 2arctan =∠CEB . ∴ 异面直线F A '与CE 所成角的大小为5 5 2arctan . (07文)在正四棱锥ABCD P -中，2=PA ，直线PA 与平面ABCD 所成的角为 60，求 正四棱锥ABCD P -的体积V ． 解：作⊥PO 平面ABCD ，垂足为O ．连接AO ，O 是 正方形ABCD 的中心，PAO ∠是直线PA 与平面 ABCD 所成的角． PAO ∠＝ 60，2=PA ．∴ 3=PO ． 1=AO ，2= AB ， 1123 32333 ABCD V PO S ∴==??= ． 17．解： 由题意，得3 cos 5B B =，为锐角，5 4sin =B ， 102 74π3sin )πsin(sin =?? ? ??-=--=B C B A ， 由正弦定理得 7 10 = c ， ∴ 1 11048sin 22 2 757 S ac B ==?? ?= ． (07理) 如图，在体积为1的直三棱柱111C B A ABC -中，1, 90===∠BC AC ACB ．求直线B A 1与平面 P B C A D
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