第五节 指数与指数函数
1．正整数指数函数
函数y ＝a x
(a ＞0，a ≠1，x ∈N ＋)，叫作正整数指数函数，其中x 是自变量，定义域是正整数集N ＋.
2．分数指数幂 (1)分数指数幂：
给定正实数a ，对于任意给定的整数m ，n (m ，n 互素)，存在唯一的正实数b ，使得b n
＝
a m ，我们把
b 叫作a 的m n 次幂，记作b ＝a m
n
.
(2)正分数指数幂：a m n
＝n
a m
(a ＞0，m 、n ∈N ＋，且n ＞1)． (3)负分数指数幂：a －m n
＝
1
a m n
＝
1
n
a m
(a ＞0，m 、n ∈N ＋，且n ＞1)．
(4)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义． 3．指数幂的运算性质
当a >0，b >0时，对任意实数m ，n ，都有： (1) a m a n ＝a m ＋n ；(2)(a m )n ＝a mn ；(3)(ab )n ＝a n b n .
y ＝a x
a ＞1 0＜a ＜1
图 像
定义域 R 值域
(0，＋∞) 性 质
(1)过定点(0,1)
(1)过定点(0,1) (2)当x ＞0时，y ＞1； x ＜0时，0＜y ＜1 (2)当x ＞0时，0＜y ＜1； x ＜0时，y ＞1 (3)在R 上是 增函数
(3)在R 上是 减函数
1.
n
a n＝a成立的条件是什么？
2．如图是指数函数(1)y＝a x，(2)y＝b x，(3)y＝c x，(4)y＝d x的图象，底数a，b，c，d 与1之间的大小关系如何？你能得到什么规律？
3．当a>0，且a≠1时，函数y＝a x，y＝a|x|，y＝|a x|，y＝?
?
??
?1
a
x之间有何关系？
1．化简[(－2)6]
1
2
－(－1)0的结果为( )
A．－9 B．－10 C．9 D．7
2．化简
4
16x8y4(x<0，y<0)得( )
A．2x2y B．2xy C．4x2y D．－2x2y
3．函数f(x)＝3x＋1的值域为( )
A．(－1，＋∞) B．(1，＋∞) C．(0,1) D．[1，＋∞)
4．当a＞0且a≠1时，函数f(x)＝a x－2－3的图象必过定点________．
5．若指数函数f(x)＝(a－2)x为减函数，则实数a的取值范围为________．
考点一指数幂的化简与求值
[例1] 化简：(1)
a3b2
3
ab2
a
1
4
b
1
2
4a－
1
3
b
1
3
(a＞0，b＞0)；
(2)
?
?
??
?
－
27
8
－
2
3
＋(0.002)－
1
2
－10(5－2)－1＋(2－3)0.
【方法规律】
指数幂的运算规律
指数式的化简求值问题，要注意与其他代数式的化简规则相结合，遇到同底数幂相乘或相除，可依据同底数幂的运算规则进行化简，一般情况下，宜化负指数为正指数，化根式为分数指数幂．对于化简结果，形式力求统一．
计算：(1) 3
a
9
2
a－3
÷
3
a－7
3
a13； (2)(0.027)－
1
3
－
?
?
??
?1
7
－2＋
?
?
??
?
2
7
9
1
2
－(2－1)0；
(3)已知m
1
2
＋m－
1
2
＝4，求
m
3
2
－m－
3
2
m
1
2
－m－
1
2
.
考点二指数函数的图象
[例2] (1)已知函数f(x)＝(x－a)·(x－b)(其中a>b)，若f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝a x＋b的图象是( )
A B C D
(2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．
【互动探究】
若将本例(2)中“|y|＝2x＋1”改为“y＝|2x－1|”，且与直线y＝b有两个公共点，求b 的取值范围．
解：
【方法规律】 指数函数图象的应用
(1)与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．
(2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．
1．若函数y ＝a x
＋b －1(a ＞0且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则a 、b 的取值范围分别是________．
2．若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x
－1|(a ＞0，a ≠1)的图象有两个公共点，则实数a 的取值范围为________．
高频考点
考点三 指数函数的性质及应用
1．高考常以选择题或填空题的形式考查指数函数的性质及应用，难度偏小，属中低档题． 2．高考对指数函数的性质的考查主要有以下几个命题角度： (1)比较指数式的大小； (2)解简单的指数方程或不等式； (3)求解指数型函数中参数的取值范围．
[例3] (1)(2012·天津高考)已知a ＝21.2
，b ＝? ??
??12－0.8，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关
系为( )
A ．c ＜b ＜a
B ．c ＜a ＜b
C ．b ＜a ＜c
D ．b ＜c ＜a
(2)(2014·宝鸡模拟)设偶函数f (x )满足f (x )＝2x
－4(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}＝( ) A ．{x |x ＜－2或x ＞4} B ．{x |x ＜0或x ＞4} C ．{x |x ＜0或x ＞6} D ．{x |x ＜－2或x ＞2}
(3)(2012·山东高考)若函数f (x )＝a x
(a >0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为
m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________.
指数函数的性质及应用问题的常见类型及解题策略
(1)比较大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法．
(2)简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．
(3)指数型函数中参数的取值范围问题．在解决涉及指数函数的单调性或最值问题时，应
注意对底数a 的分类讨论．
1．设a ＝40.8
，b ＝8
0.46
，c ＝? ??
??12－1.2
，则a ，b ，c 的大小关系为( )
A ．a ＞b ＞c
B ．b ＞a ＞c
C ．c ＞a ＞b
D ．c ＞b ＞a
2．若函数f (x )＝???
??
1
x ，x <0，
? ??
??13x
，x ≥0，则不等式－13≤f (x )≤1
3
的解集为( )
A ．[－1,2)∪[3，＋∞)
B ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
C.????
??32，＋∞ D ．(1， 3 ]∪[3，＋∞)
3．设a ＞0且a ≠1，函数y ＝a 2x
＋2a x
－1在[－1,1]上的最大值是14，则a 的值为________． —————————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————
1个关系——分数指数幂与根式的关系
根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算．
2个注意点——应用指数函数性质时应注意的两点
(1)指数函数y ＝a x
(a >0，a ≠1)的图象和性质跟a 的取值有关，要特别注意应分a >1与0 (2)对可化为a 2x ＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x ＋c ≥0(≤0)的指数方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的取值范围． 3个关键点——指数函数图象的画法 画指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，? ?? ??－1，1a . 前沿热点(三) 指数函数与不等式的交汇问题 1．高考对指数函数的考查多以指数与指数函数为载体，考查指数的运算和函数图象的应用，且常与函数性质、二次函数、方程、不等式等内容交汇命题． 2．解决此类问题的关键是根据已知(或构造)指数函数或指数型函数的图象或性质建立相关关系式求解． [典例] (2012·浙江高考)设a ＞0，b ＞0，( ) A ．若2a ＋2a ＝2b ＋3b ，则a ＞b B ．若2a ＋2a ＝2b ＋3b ，则a ＜b C ．若2a －2a ＝2b －3b ，则a ＞b D ．若2a －2a ＝2b －3b ，则a ＜b [解题指导] 分析题目选项的特点，可构造函数f (x )＝2x ＋2x ，然后利用其单调性解决． [解析] ∵a >0，b >0，∴2a ＋2a ＝2b ＋3b >2b ＋2b .令f (x )＝2x ＋2x (x >0)，则函数f (x )为单调增函数．∴a >b .[答案] A [名师点评] 解决本题的关键有以下两点： (1)通过放缩，将等式问题转化为不等式问题； (2)构造函数，并利用其单调性解决问题． 设函数f (x )＝32x －2×3x ＋a 2 －a －5，当0≤x ≤1时，f (x )＞0恒成立，则实数a 的取值范围是________． 解析：f (x )＝32x －2×3x ＋a 2－a －5＝(3x －1)2＋a 2－a －6，∵0≤x ≤1，∴1≤3x ≤3，∴函数f (x )＝32x －2×3x ＋a 2 －a －5在0≤x ≤1上是增函数，f (x )＞0恒成立?f (0)＞0，f (0)＝1－2＋a 2 －a －5＝a 2 －a －6＝(a －3)(a ＋2)＞0，∴a ＞3或a ＜－2. 答案：(－∞，－2)∪(3，＋∞) [全盘巩固] 1．化简 a 2 3·b －1－12·a －12 ·b 13 6 a · b 5 (a >0，b >0)的结果是( ) A ．a B ．ab C ．a 2 b D.1a 2．函数y ＝a x －a (a >0，且a ≠1)的图象可能是( ) A B C D 3．设函数f (x )＝x 2 －4x ＋3，g (x )＝3x －2，集合M ＝{x ∈R |f (g (x ))>0}，N ＝{x ∈R |g (x )<2}，则M ∩N 为( ) A ．(1，＋∞) B ．(0,1) C ．(－1,1) D ．(－∞，1) 4．设a ＝? ????3525，b ＝? ????2535，c ＝? ????252 5 ，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＞c ＞b B ．a ＞b ＞c C ．c ＞a ＞b D ．b ＞c ＞a 5．(2014·萍乡模拟)设函数f (x )＝????? ? ?? ??13x －8x ＜0， x 2＋x －1x ≥0，若f (a )＞1，则实数a 的 取值范围是( ) A ．(－2,1) B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) C ．(1，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) 6．(2014·瑞金模拟)设函数f (x )定义在实数集上，它的图象关于直线x ＝1对称，且当 x ≥1时，f (x )＝3x －1，则有( ) A ．f ? ????13＜f ? ????32＜f ? ????23 B ．f ? ????23＜f ? ????32＜f ? ????13 C ．f ? ????23＜f ? ????13＜f ? ????32 D ．f ? ????32＜f ? ????23＜f ? ?? ??13 7．若x ＞0，则(2x 14＋332)(2x 14－332)－4x －12(x －x 1 2)＝________. 8．已知0≤x ≤2，则y ＝4x －12 －3·2x ＋5的最大值为________． 9．(2014·徐州模拟)已知过点O 的直线与函数y ＝3x 的图象交于A ，B 两点，点A 在线段 OB 上，过A 作y 轴的平行线交函数y ＝9x 的图象于C 点，当BC 平行于x 轴时，点A 的横坐标 是________． 10．函数f (x )＝ 2＋x x －1的定义域为集合A ，关于x 的不等式? ?? ??122x ＞2－a －x (a ∈R )的解集为B ， 求使A ∩B ＝B 的实数a 的取值范围． 11．已知f (x )＝e x －e －x ，g (x )＝e x ＋e －x (e ＝2.718 28…)． (1)求[f (x )]2 －[g (x )]2 的值； (2)若f (x )f (y )＝4，g (x )g (y )＝8，求g x ＋y g x －y 的值． 12．设函数f (x )＝ka x －a －x (a ＞0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数． (1)若f (1)＞0，求不等式f (x 2 ＋2x )＋f (x －4)＞0的解集； (2)若f (1)＝32，且g (x )＝a 2x ＋a －2x －4f (x )，求g (x )在[1，＋∞)上的最小值． [冲击名校] 1．若存在负实数使得方程2x －a ＝ 1 x －1 成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．(0,2) D ．(0,1) 2．对于函数f (x )，如果存在函数g (x )＝ax ＋b (a ，b 为常数)，使得对于区间D 上的一切实数x 都有f (x )≤g (x )成立，则称函数g (x )为函数f (x )在区间D 上的一个“覆盖函数”，设 f (x )＝2x ， g (x )＝2x ，若函数g (x )为函数f (x )在区间[m ，n ]上的一个“覆盖函数”，则|m －n |的最大值为________． [高频滚动] 1．已知函数f (x )＝－x 2 ＋ax ＋b 2 －b ＋1(a ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋ x )成立，且当x ∈[－1,1]时，f (x )＞0恒成立，则b 的取值范围是( ) A ．(－1,0) B ．(2，＋∞) C ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) D ．(－∞，－1) 2．已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2 ＋4x －3.若存在实数a ，b ，使得f (a )＝g (b )，则 b 的取值范围为( ) A ．[2－2，2＋2] B ．(2－2，2＋2) C ．[1,3] D ．(1,3) keys 1D 2C. 3D 4A 5B 6B 7.－23. 8.5 2 9．log 32 10解：由2＋x x －1 ≥0，解得x ≤－2或x ＞1，于是A ＝(－∞，－2]∪(1，＋∞)， ??? ?122 x ＞2－a －x ??? ??122x ＞????12a ＋x ?2x ＜a ＋x ?x ＜a ，所以B ＝(－∞，a )． 因为A ∩B ＝B ，所以B ?A ，所以a ≤－2， 即a 的取值范围是(－∞，－2]． 11.解：(1)[f (x )]2 －[g (x )]2 ＝(e x －e －x )2－(e x ＋e －x )2 ＝(e 2x －2＋e －2x )－(e 2x ＋2＋e －2x )＝－4. (2)f (x )f (y )＝(e x －e －x )(e y －e －y )＝e x ＋y ＋e －x －y －e x －y －e －x ＋y ＝[e x ＋y ＋e －(x ＋y ) ]－[e x －y ＋e －(x －y ) ]＝g (x ＋y )－g (x －y )，即g (x ＋y )－g (x －y )＝4.① 同理，由g (x )g (y )＝8，可得g (x ＋y )＋g (x －y )＝8.② 由①②解得g (x ＋y )＝6，g (x －y )＝2，故 g x ＋y g x －y ＝3. 12．解：∵f (x )是定义域为R 的奇函数，∴f (0)＝0，∴k －1＝0，∴k ＝1. 故f (x )＝a x －a －x . (1)∵f (1)＞0，∴a －1a ＞0，又a ＞0且a ≠1，∴a ＞1，而当a ＞1时，y ＝a x 和y ＝－a －x 在R 上均为增函 数，∴f (x )在R 上为增函数，原不等式化为：f (x 2＋2x )＞f (4－x )，∴x 2＋2x ＞4－x ，即x 2 ＋3x －4＞0，∴x ＞1或x ＜－4，∴不等式的解集为{x |x ＞1或x ＜－4}． (2)∵f (1)＝32，∴a －1a ＝32，即2a 2 －3a －2＝0，∴a ＝2或a ＝－12(舍去)， ∴g (x )＝22x ＋2 －2x －4(2x －2－x )＝(2x －2－x )2－4(2x －2－x )＋2. 令t ＝2x －2－x (x ≥1)，则t ＝h (x )在[1，＋∞)上为增函数(由(1)可知)， 即h (x )≥h (1)＝32.∴g (t )＝t 2－4t ＋2＝(t －2)2 －2，∴当t ＝2时，g (x )min ＝－2，此时x ＝log 2(1＋2)， 故当x ＝log 2(1＋2)时，g (x )有最小值－2. [冲击名校] 1． 解析：选C 在同一坐标系内分别作出函数y ＝1x －1 和y ＝2x －a 的图象，则由图知，当a ∈(0,2)时符合要求． 2．解析： 因为函数f(x)＝2x与g(x)＝2x的图象相交于点A(1，2)，B(2,4)，由图可知，[m，n]?[1,2]，故|m－n|max＝2－1＝1. 答案：1 [高频滚动] 1．解析：选C 由题意f(1－x)＝f(1＋x)，得f(x)图象的对称轴为x＝1，则a＝2.易知f(x)在(－∞，1)上单调递增，当x∈[－1,1]时，f(x)＞0，故只需f(－1)＝b2－b－2＞0，解得b＞2或b＜－1. 2．解析：选B 由题易知，函数f(x)的值域是(－1，＋∞)，要使得f(a)＝g(b)，必须使得－x2＋4x－3＞－1，即x2－4x＋2＜0，解得2－2＜x＜2＋ 2. 2．2 指数函数 突破思路 本节主要学习分数指数幂与指数函数． 1．理解有理数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算性质． 在初中我们学习了正整数指数幂的意义：一个数a 的n 次幂表示n 个a 相乘的积．正整数指数幂有五条运算性质： （1）a m a n ＝a m ＋ n ；（2）a m ÷a n ＝a m － n （a ≠0，m ＞n ）；（3）（a m ）n ＝a mn ； （4）（ab ）n ＝a n b n ；（5）（b a ）n ＝n n b a 若（b ≠0）． 另外规定了a 0＝1（a ≠0）、a － n ＝ n a 1 （n 为正整数，a ≠0），这样一来，原来的5条运算律可以归纳为（1）（3）（4）三条，同时将指数幂的概念扩大到了整数． 2．分数指数幂的引进是受根式的性质的启发． 从根式的基本性质mp np a ＝m n a （a ≥0，m 、n 、p ∈N*）， 我们知道a ≥0时，6a ＝a 3＝2 6a ，123a ＝a 4＝3 12a ．于是我们规定： （1）n m a ＝n m a （a ≥0，m 、n ∈N*）； （2）n m a －＝ n m a 1（a ＞0，m 、n ∈N*，n ＞1）； （3）零的正分数次幂是零，零的负分数次幂没有意义． 这样一来，我们就将指数幂的概念扩大到有理数指数幂了，有理数幂的运算性质归纳为： （1）a r a s ＝a r ＋ s ；（2）（a r ）s ＝a rs ； （3）（ab ）r ＝a r b r ，式中a ＞0，b ＞0，r 、s 为有理数． 3．理解指数函数的概念和意义．在指数函数的定义中限定了底数a ＞0且a ≠1，这主要是使函数的定义域为实数集，且具有单调性． （1）若a ＝0，当x ＞0时，a x ＝0；当x ≤0时，a x 没有意义； （2）若a ＜0，如y ＝（－2）x 对于x ＝ 21、4 3 等都是没有意义的； （3）若a ＝1，则函数为y ＝1x ＝1是一个常数函数，它的性质没有研究的必要，且不具有单调性． 2.1.1指数与指数幂的运算 （1）根式的概念 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次 当n 是偶数时，正数a 的正的n 负的n 次方根用符号表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根． n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数 时，0a ≥． n a =；当n a =；当n (0)|| (0) a a a a a ≥?==?-∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．② 正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0 的负分数指 数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质 ① (0,,) r s r s a a a a r s R +?=>∈ ② ()(0,,) r s rs a a a r s R =>∈ ③ ()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 2.1.2指数函数及其性质 指数函数练习 1．下列各式中成立的一项 （ ） A ．71 7 7)(m n m n = B ．31243)3(-=- C ．4 343 3)(y x y x +=+ D ． 33 39= 2．化简)3 1 ()3)((65 61 3 12 12 13 2b a b a b a ÷-的结果 （ ） A ．a 6 B ．a - C ．a 9- D ．2 9a 3．设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ，则下列等式中不正确的是 （ ） A ．f (x +y )=f(x )·f (y ) B ．) () (y f x f y x f =-） （ C ．)()] ([)(Q n x f nx f n ∈= D ．)()]([· )]([)(+∈=N n y f x f xy f n n n 4．函数2 10 ) 2()5(--+-=x x y （ ） A ．}2,5|{≠≠x x x B ．}2|{>x x C ．}5|{>x x D ．}552|{>< 指数函数 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N * ． 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。 当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，???<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3） s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>． （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函 数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 2 注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出： （1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [ （2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =； 指数函数·例题解析 指数函数及其图形 基本题： 【1】下列五个数中，何者为最小？(A) 23 1(B)2)8 1 (－(C) 41 2- (D)21 )21((E) 831 －。 [解答]：(E) 【详解】： ∵ (81)－2＝(2－3)－2＝26；(2 1)21 ＝22 1 －；831 －＝(23)31 －＝2－1 ∵ 26 ＞23 1 ＞2 4 1－ ＞2 2 1－ ＞2－1 ∴ 最小的是2－1 ＝8 3 1－ 【2】a ＞0，a ≠1，且4 3 2a a a ＝a x ，则x 之值为(A)61(B)485(C)31(D)21(E)32。 [解答]：(A) 【详解】： 3 2 a a ＝( 3 2a a )2 1＝(a 3 1)2 1＝a 6 1 a x ＝(a 2 1 )4 1．(a 6 1)4 1＝a 24 181＋＝a 24 4＝a 6 1 ∵ a ≠0，1，－1?∴ x ＝6 1 【3】6332 32 32－．－．＋值为(A)1(B)2－3(C)2＋3(D)0 (E)2 3 1＋。 [解答]：(A) 【详解】： 6 332 32 32－．－．＋=()( ) ()()2 12 16 1311 323 23232-?+=-?++ =()()[] 132322 1=-?+ 【4】化简22341062329－＋－－＝ 。 [解答]：2＋1 【详解】： 原式＝)12(41062329－＋－－＝82662329＋－－ ＝)24(62329＋－－＝1821129－－＝)29(29－－ ＝223＋ ＝12＋ 【5】化简求值： (1)[(4 1 )6．64]－4．(32)－3＝ 。 (2)(16 81)－0.25 ．21 )94(－．(0.25)－1.5＝ 。 [解答]：(1) 512(2) 8 【6】指数函数f 1 (x)＝a x ，f 2 (x)＝b x ，f 3 (x)＝c x ，f 4 (x)＝d x 的图形如图，请由大 而小写出 a ， b ， c ， d 的大小顺序： 。 [解答]：c ＞d ＞a ＞b 【详解】： ∵ f 1，f 2的图形是递减的 ∴ 0＜a ＜1，0＜b ＜1 令x ＝1，得a 1＞b 1?1＞a ＞b 又f 3，f 4的图形是递增的 ∴ c ＞1，d ＞1 令x ＝1，得c 1＞d 1?c ＞d ＞1 故c ＞d ＞1＞a ＞b 【7】比较大小：(1) 260，330，620由小而大排列为 。 (2)36433 9 27，，由小而大排列为 。 [解答]：(1) 330＜620＜260(2)43627 33 9＜＜ 【详解】： (1) 因]64)2(2[]36)6(6[]27)3(3[101066010102201010330==<==<== (2) 因]3327[ ]3333 33[ ]339[4 34343 23 43 136 2626====?===＜＜ 【8】方程式的实根个数：(1)方程式(2 1 )x ＝x ＋1的实根共有 个。 (2)方程式x 2＝2x 的实根共有 个。 [解答]：(1) 1(2) 3 【详解】： (1)绘出?????+==1 )21(x y y x 图形，找交点数 (2) 绘出???==x y x y 22图形，找交点数 （一）整数指数幂 1．整数指数幂概念： 43 421Λa n n a a a a 个???= )(* ∈N n ()0 10a a =≠ ()10,n n a a n N a -* = ≠∈ 2．整数指数幂的运算性质：（1）(),m n m n a a a m n Z +?=∈ （2）() (),n m mn a a m n Z =∈ （3）()()n n n ab a b n Z =?∈ 其中m n m n m n a a a a a --÷=?=， ()1n n n n n n a a a b a b b b --??=?=?= ??? ． 3．a 的n 次方根的概念 一般地，如果一个数的n 次方等于a ( )* ∈>N n n ,1，那么这个数叫做a 的n 次方根， 即： 若a x n =，则x 叫做a 的n 次方根， ()* ∈>N n n ,1 例如：27的3次方根3273=， 27-的3次方根3273-=-， 32的5次方根2325=， 32-的5次方根2325-=-． 说明：①若n 是奇数，则a 的n 次方根记作n a ； 若0>a 则0>n a ，若o a <则0 指数函数与对数函数总结 一、[知识要点]： 1. 指数函数y＝a x与对数函数y＝a log x的比较： 定义图象 定义 域 值域 性质 奇 偶 性 单 调 性 过定 点 值的分布最值 y＝a x （a>0且a≠1）叫指数函数 a>1 （－ ∞，＋ ∞） （0， ＋∞） 非 奇 非 偶 增 函 数（0， 1） 即a0 ＝1 x>0时 y>1； 0 3. 几个注意点 （1）函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x （a>0，a ≠1）互为反函数，从概念、图象、性质去理解它们的区别和联系；（2）比较几个数的大小是对数函数性质应用的常见题型。在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正负；正数通常可再与1比较分出大于1还是小于1，然后在各类中间两两相比较；（3）在给定条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用。研究指数、对数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制。 【典型例题】 例1. （1）下图是指数函数（1）y ＝a x ，（2）y ＝b x ，（3）y ＝c x ，（4）y ＝d x 的图象，则a 、b 、c 、d 与1 A. a ＜b ＜1＜c ＜d B. b ＜a ＜1＜d ＜c C. 1＜a ＜b ＜c ＜d D. a ＜b ＜1＜d ＜c 剖析：可先分两类，即（3）（4）的底数一定大于1，（1）（2）的底数小于1，然后再从（3）（4）中比较c 、d 的大小，从（1）（2）中比较a 、b 的大小。 解法一：当指数函数底数大于1时，图象上升，且底数越大，图象向上越靠近于y 轴；当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近于x 轴.得b ＜a ＜1＜d ＜c 。故选B 。 解法二：令x ＝1，由图知c 1＞d 1＞a 1＞b 1，∴b ＜a ＜1＜d ＜c 。 例2. 已知2x x +2 ≤（41 ）x －2，求函数 y ＝2x －2－x 的值域。 解：∵2x x +2 ≤2－2（x －2），∴x 2＋x ≤4－2x ， 即x 2＋3x －4≤0，得－4≤x ≤1。 又∵y ＝2x －2－x 是［－4，1］上的增函数， ∴2－4－24≤y ≤2－2－1。 故所求函数y 的值域是［－16255，23 ］。 例3. 要使函数y ＝1＋2x ＋4x a 在x ∈（－∞，1）上y ＞0恒成立，求a 的取值范围。 解：由题意，得1＋2x ＋4x a ＞0在x ∈（－∞，1）上恒成立， 即 a ＞－x x 421+在x ∈（－∞，1）上恒成立。 又∵－x x 421+＝－（21）2x －（21 ）x ＝－［（21）x ＋21］2＋41 ， 当 x ∈（－∞，1）时值域为（－∞，－43 ）， 第五节指数与指数函数 【最新考纲】 1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.2.了解指数函数模型的实际背景．3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为 2，3，10， 1 2 ， 1 3 的指数函数的图象.4.体会指数函数是一类重要的函数模型． 1．根式的性质 (1)( n a)n＝a． (2)当n为奇数时， n a n＝a． (3)当n为偶数时， n a n＝|a|＝ ?? ? ??a （a≥0） －a （a＜0） . (4)负数的偶次方根无意义． (5)零的任何次方根都等于零． 2．有理指数幂 (1)分数指数幂 ①正分数指数幂：a m n＝ n a m(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)； ②负分数指数幂：a－ m n＝ 1 a m n ＝ 1 n a m (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)； ③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指幂没有意义． (2)有理数指数幂的运算性质： ①a r·a s＝a r＋s(a＞0，r、s∈Q)； ②(a r)s＝a rs(a＞0，r、s∈Q)； ③(ab)r＝a r b r(a＞0，b＞0，r∈Q)． 3．指数函数的图象与性质 图象 a＞1 0＜a＜1 定义域R 值域(0，＋∞) 性质 过定点(0，1) 当x＞0时，y＞1； 当x＜0时，0＜y＜1 当x＞0时，0＜y＜1； 当x＜0时，y＞1 在R上是增函数在R上是减函数 1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1) 4 （－4）4＝－4.( ) (2)(－1)24＝(－1)1 2＝－1.( ) (3)函数y ＝2x －1是指数函数．( ) (4)函数y ＝ax 2＋1(a ＞1)的值域是(0，＋∞)．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 2．化简[(－2)6]1 2－(－1)0结果为( ) A ．－9 B ．7 C ．－10 D ．9 解析：[(－2)6]12－(－1)0＝(26)1 2－1＝8－1＝7. 答案：B 3．已知函数f(x)＝4＋a x －1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是( ) A. (1，5) B ．(1，4) C ．(0，4) D ．(4，0) 解析：由a 0＝1知，当x －1＝0，即x ＝1时，f(1)＝5，即图象必过定点(1，5)． 答案：A 4．(2016·唐山一模)函数f(x)＝2－x －2的定义域是________． 解析：由题意可得：2－x －2≥0，∴2－x ≥2，∴－x ≥1，∴x ≤－1，即函数的定义域为(－∞，－1]． §3.指数函数图像和性质 一、教材分析 教材的地位和作用 函数是高中数学学习的重点和难点，函数的思想贯穿于整个高中数学之中。本节课是学生在已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上，进一步研究指数函数，以及指数函数的图象与性质。一方面可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，同时也为今后进一步熟悉函数的性质和作用，研究对数函数以及等比数列的性质打下坚实的基础。因此，本节课的内容十分重要，它对知识起到了承上启下的作用。 重难点分析 教学重点：指数函数的图像、性质及其简单运用 教学难点：指数函数图象和性质的发现过程，及指数函数图像与底的关系。 二、教学目标分析 知识目标：理解指数函数的定义，掌握指数函数的图像、性质及其简单应用能力目标：通过教学培养学生观察、分析、归纳等思维能力，体会数形结合和分类讨论思想以及从特殊到一般等学习数学的方法，增强识图用图的能力情感目标：通过学习，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，构建和谐的课堂氛围，培养学生勇于提问，善于探索的思维品质。 三、教法学法分析 教法分析 采用梳理—探究—训练的教学方法，充分利用多媒体辅助教学，通过学生的互动探究，教师点拨，启发学生主动观察、主动思考、动手操作、自主探究来达到对知识的发现和接受 学法分析 学生思维活跃，求知欲强，但在思维习惯上还有待教师引导；从学生原有知识和能力出发，在教师的带领下创设疑问，通过合作交流，共同探索，逐步解决问题。 四、教学过程分析 1.创设情景，形成概念 2.发现问题，探究新知 3.深入探究，加深理解 4.强化训练，巩固双基 5.小结归纳，拓展深化 6.布置作业，升华提高 指数与指数函数 一、指数 （一）n 次方根： 1的3次方根是( ) A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．以上都不对 2、若4 a －2＋(a －4)0有意义，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≥2 B ．a ≥2且a ≠4 C ．a ≠2 D ．a ≠4 （二）、 n 为奇数，a a n n = n 为偶数,?? ?<-≥==0 ,0 ,a a a a a a n n 1．下列各式正确的是( ) ＝－3 ＝a ＝2 D ．a 0＝1 2、.(a －b )2＋5 (a －b )5的值是( ) A ．0 B ．2(a －b ) C ．0或2(a －b ) D ．a －b 3、若xy ≠0，那么等式 4x 2y 2＝－2xy y 成立的条件是( ) A ．x >0，y >0 B ．x >0，y <0 C ．x <0，y >0 D ．x <0，y <0 4、求下列式子 (1)．33 4433)32()23()8(---+- (2)223223--+ （三）、分数指数幂 1、求值 4 3 52 13 2811621258- --?? ? ????? ??；；； 243 的结果为 A 、5 B 、5 C 、－5 D 、－5 3、把下列根式写成分数指数幂的形式： （1）32ab （2）()42 a - （3） 3432x x x （四）、实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3） s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>． 1．对于a >0，b ≠0，m 、n ∈N *，以下运算中正确的是( ) 指数函数知识点汇总 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 指数函数 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N * ． 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。 当n 是奇数时， a a n n =，当n 是偶数时， ? ? ?<≥-==)0()0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m ) 1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3） s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>． （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数 )1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自 变量，函数的定义域为R ． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 2、指数函数的图象和性质 a >1 0 指数函数与对数函数总结 一、 [知识要点]： x a log x 定义 图象 定义域 值域 性质 奇偶性 单 调 性 过定 点 值的分布 最值 y ＝a x （a>0且a ≠1） 叫指数函数 a>1 （－∞，＋ ∞） （0，＋∞） 非奇 非偶 增 函数 （0，1） 即a 0 ＝1 x>0时y>1；0 指数函数讲义经典整理（含答案） 一、同步知识梳理 知识点1：指数函数 函数 (01)x y a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R 知识点2：指数函数的图像和性质 知识点3：指数函数的底数与图像的关系 指数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系 如 图所示，则01c d a b <<<<<， 在y 轴右侧，图像从下到上相应的底数也由小变大， 在y 轴左侧，图像从上到下相应的底数也由小变大 即无论在y 轴左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大 在第一象限内，“底大图高” 知识点4：指数式、指数函数的理解 ① 分数指数幂与根式或以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算 ② 根式的运算、变形、求值、化简及等式证明在数学中占有重要的地位，是研究方程、不等式和函数的基础，应引起重视 ③ 在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中，要注意运用方程的观点处理问题，通过解方程或方程组来求值 ④ 在理解指数函数的概念时，应抓住定义的“形式”，像 1 2 2 23,,3,21x x x y y x y y -=?===- 等 函数均不符合形式 () 01x y a a a =>≠且，因此，它们都不是指数函数 ⑤ 画指数函数x y a =的图像，应抓住三个关键点： ()()11,,0,1,1, a a ?? - ?? ? 二、同步题型分析 题型1：指数函数的定义、解析式、定义域和值域 例1：已知函数 ，且 ． （1）求m 的值； （2）判定f （x ）的奇偶性； （3）判断f （x ）在（0，+∞）上的单调性，并给予证明． 考点： 指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数单调性的判断与证明． 专题： 计算题． 分析： （1）欲求m 的值，只须根据f （4）=的值，当x=4时代入f （x ）解一个指数方程即可； （2）求出函数的定义域x|x≠0}，利用奇偶性的定义判断f （x ）与f （﹣x ）的关系，即可得到答案； （3）利用单调性的定义证明即可．任取0＜x1＜x2，只要证明f （x1）＞f （x2），即可． 解答： 解：（1）因为 ，所以 ，所以m=1． （2）因为f （x ）的定义域为{x|x≠0}，又， 所以f （x ）是奇函数． （3）任 取 x1 ＞ x2 ＞ ， 则 ， 因为x1＞x2＞0，所以，所以f （x1）＞f （x2）， 《指数函数比较大小》专题 2014年（）月（）日班级：姓名 每道错题做三遍。第一遍：讲评时；第二遍：一周后；第三遍：考试前。 【类型一】比较大小 1.比较下列各组数中两个值的大小： (1) 30.8，30.7；(2) 0.75－0.1，0.750.1；(3) 1.012.7，1.013.5；(4) 0.993.3，0.994.5. 2. (1)已知3x≥30.5，求实数x的取值范围；(2)已知0.2x<25，求实数x的取值范围． 3．已知下列不等式，比较m、n的大小． (1)2m<2n； (2)0.2m>0.2n； (3)a ma n(a>1)．指数函数
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