正交试验结果的方差分析方法
计算公式和项目
试验指标的加和值=
,
试验指标的平均值和表4-13一样，第j列的
(1) I j”水平所对应的试验指标的数值之和
(2) II j——“ 2”水平所对应的试验指标的数值之和
(3)……
(4) k j——同一水平出现的次数。等于试验的次数除以第j列的水平数.
(5)I j/k j——“水平所对应的试验指标的平均”
(6)II j/k j——“2”水平所对应的试验指标的平均值
(7)……以上各项的计算方法，和“极差法”同，见4.1.7节
(8)偏差平方和
(4-1)
(9) f
j ——自由度.f
j
第j列的水平数－1.
(10）V
j
——方差.
Vj =S
j
/f
j
(4-2)
（11）V
e
——误差列的方差。
(4-3)
（12）F
j
——方差之比
(4-4)
（13）查F分布数值表（见附录6），做显著性检验。显著性检验结果的具体表示方法和第3章相同。
（14）总的偏差平方和
(4-5) （15）总的偏差平方和等于各列的偏差平方和之和。即
(4-6) 式中，m为正交表的列数。
若误差列由5个单列组成，则误差列的偏差平方和S e等于5个单列的偏差平方和之和,即：S e=S e1+S e2+S e3+S e4+S e5；也可用S e= S总－S’来计算，其中：S’为安排有因素或交互作用的各列的偏差平方和之和
应引出的结论。
和极差法相比，方差分析方法可以多引出一个结论：各列对试验指标的影响是否显著，在什么水平上显著。在数理统计上，这是一个很重要的问题。显著性检验强调试验误差在分析每列对指标影响中所起的作用。如果某列对指标的影响不显著，那么，讨论试验指标随它的变化趋势是毫无意义的。因为在某列对指标的影响不显著时，即使从表中的数据可以看出该列水平变化时，对应的试验指标的数值也在以某种“规律”发生变化，但那很可能是由于实验误差所致，将它作为客观规律是不可靠的。有了各列的显著性检验之后，最后应将影响不显著的交互作用列和原来的“误差列”合并起来，组成新的“误差列”，重新检验各列的显著性。
方差分析方法使用举例
例4-6为了提高猪发酵饲料的营养和猪爱吃的程度，选择了四个因素进行正交试验，其因素水平见表4-18。
表4-18例4-6的因素水平表
因素发酵温度/℃发酵时间/h 初始的PH值投曲量/ %
符号x1x2x3x4
水平
1 10 1
2 7 5
2 20 24 6 10
3 30 48 5
4 50 72 4
试验指标（y）为成品的总酸度。要求写出使用正交试验设计方法的全过程，用方差分析方法分析正交试验的结果。
解：
试验的目的：为改善猪发酵饲料的品质，寻找适宜的发酵条件。
试验指标（y）：成品的总酸度
因素水平表：见表4-18。
理论和经验都不知道有应该考虑的交互作用。
四个因素的水平数不完全相同，所以应选择混合水平正交表。因为3个因素是4
（43×26）正交表，见表4-19（a）
水平，1个因素是2水平，所以选L
16
表头设计：见表4-19（a）
表中数据的计算举例：（以第3列为例）
=y1+y6+y11+y16=6.36+5.39+8.03+16.54=36.32
I
3
II
=y2+y5+y12+y15=7.43+8.66+12.45+9.80=38.34
3
=y3+y8+y9+y14=10.36+19.53+12.08+10.77=52.74
III
3
IV
=y4+y7+y10+y13=11.56+15.50+13.13+13.49=53.68
3
k
=4
3
I
/k3=36.32/4=9.08
3
/k3=38.34/4=9.59
II
3
III
/k3=52.74/4=13.19
3
/k3=53.68/4=13.42
IV
3
极差D3=13.42－9.08=4.34
218.35
表4-19(a)使用正交表L
16
（43×26）的正交试验数据表
列号 1
x
12
x
2
3
x
3
4
e
5
e
6
e
7
e
8
e
9
x
4
总酸度/ %
y
试验号
1
1
(10) 1
(12)
1
(7)
1 1 1 1 1
1
(5)
6.36
2
1
(10) 2
(24)
2
(6)
1 1
2 2 2
2
(10)
7.43
3
1
(10) 3
(48)
3
(5)
2 2 1 1 2
2
(10)
10.36
4
1
(10) 4
(72)
4
(4)
2 2 2 2 1
1
(5)
11.56
5
2
(20) 1
(12)
2
(6)
2 2 1 2 1
2
(10)
8.66
6
2
(20) 2
(24)
1
(7)
2 2 2 1 2
1
(5)
5.39
7
2
(20) 3
(48)
4
(4)
1 1 1
2 2
1
(5)
15.50
8
2
(20) 4
(72)
3
(5)
1 1
2 1 1
2
(10)
19.53
9
3
(30) 1
(12)
3
(5)
1 2 2 2 2
1
(5)
12.08
10
3
(30) 2
(24)
4
(4)
1 2 1 1 1
2
(10)
13.13
11
3
(30) 3
(48)
1
(7)
2 1 2 2 1
2
(10)
8.03
12 3 4 2
2 1 1 1 2
1
12.45
(30) (72) (6) (5)
13
4
(50) 1
(12)
4
(4)
2 1 2 1 2
2
(10)
13.49
14
4
(50) 2
(24)
3
(5)
2 1 1 2 1
1
(5)
10.77
15
4
(50) 3
(48)
2
(6)
1 2 2 1 1
1
(5)
9.80
16
4
(50) 4
(72)
1
(7)
1 2 1 2 2
2
(10)
16.54
表4-19(b) [上接表4-19(a)]
列号 1
x
12
x
2
3
x
3
4
e
5
e
6
e
7
e
8
e
9
x
4
名称
I j35.71 40.59 36.32 83.91 II j49.08 36.72 38.34 97.17
III j45.69 43.69 52.74
IV j50.60 60.08 53.68
k
j
4 4 4 8 8 8 8 8 8
I j/ k j 8.93 10.15 9.08 10.49 II j/ k j12.27 9.18 9.59 12.15 III j/
k
j
11.42 10.92 13.19
IV j /k j12.65 15.02 13.42
极差D j
3.72
③5.84
①
4.34
②
1.66
④
偏差平方和S j 33.57③79.19①
63.67
②
S
e
=
30.9
11.02
④
218.35
自由度
f
j
3 3 3 f e=5 1
方差V j11.19 26.40 21.22 V
e
=
6.18
11.02
方差比
F j
1.81 4.27 3.43 1.78
F 0。25 1.88 1.88 1.88 1.69 F 0.10 3.62 3.62 3.62 4.06 F 0.05 5.41 F 0.01
显著性 0* (0.25) 2* (0.10) 1*
(0.25)
1*
(0.25)
偏差平方和
=4(9.08－11.32)2+4(9.59－11.32)2+4(13.19－11.32)2+4(13.42－11.32)2 =63.67
自由度f 3=4－1=3
方差
S e = S 总－(S 1+S 2+ S 3+ S 9)=218.35－(33.57+79.19+63.67+11.02)=30.9 f e =(16-1)－(3+3+3+1)=5
查F 分布数据值表得：
F (α=0.01, f 1=3, f 2=5)=12.06> F 3 F (α=0.05, f 1=3, f 2=5)=5.41> F 3 F (α=0.10, f 1=3, f 2=5)=3.62> F 3 F (α=0.25, f 1=3, f 2=5)=1.88< F 3
所以，第3列对试验指标的影响在α=0.25水平上显著。
其它列的计算结果见表4-19(b)。
用方差分析方法分析正交试验结果，应该引出如下几点结论：
（1）关于显著性的结论
发酵时间（x2）对指标的影响在α=0.10水平上显著；初始的PH值（x3）和投曲量（x4）在α=0.25水平上显著；发酵温度(x1)在α=0.25水平上仍不显著。(2)试验指标随各因素的变化趋势：见图4-6
图4-6是用表4-18及表4-19（b）中的Ⅰj/k j, Ⅱj/k j, Ⅲj/k j, Ⅳj/k j值来标绘的。
（3）适宜的操作条件
在确定适宜操作条件时，对于F检验中α=0.25不显著的因素，如本例中的因素x
, 一方面因为图4-6 (a) 所示的“规律”不可靠，不能作为确定x1适宜水平1
的依据。另一方面，F检验不显著，F j太小，可能是因为V e太大，误差太大；也可能是因为V j太小，该因素对指标影响太小。所以，对于F检验不显著的因素，适宜的水平可以是任意的。如本例，可认为x1=（20~50）℃即可，不必非50℃
不可。所以在本例中为提高总酸度，适宜的操作条件为：x1=（20~50）℃，x2=72 h, x3=4, x4=10%。
（4）对所得结论及进一步研究方向的讨论。
① 由图4-6(d)可见，投曲量x4这个水平为试验范围的边上（最大值或最小值）所以x4增大，成品的总酸度也增大的结论尚需作进一步的研究。应研究投曲量大于10%时试验指标随投曲量的变化规律。
② 从图4-6（c）可见，初始PH值等于5时的总酸度和初始PH值等于4时的总酸度差不多。但和令PH=4相比较，令PH=5，比较容易实现。所以进一步研究的方向之一，是研究令PH=5的好处和问题。
③ 从图4-6（b）可见，发酵时间愈长，成品的总酸度愈大，所以进一步研究的方向之一，是研究为提高总酸度而增长发酵时间的优缺点。
例4-7为了提高某种产品的产量,寻求较好的工艺条件。考虑三个因素：反应温度、反应压力和溶液浓度。它们都取三个水平[见表4-20（a）]。
表4-20（a）例4-7的因素水平表
因素温度/℃压力/ kPa 浓度/%
符号（A）（B）（C）
水平
1 60 20 0.5
2 65 25 1.0
3 70 30 2.0
为考察3个因素间所有的两因素交互作用的影响，选正交表L
27
（313），依该表的表头设计表得到的表头设计如表4-20（b）所示。
表4-20（b）例4-7正交表表头设计
列号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
因素符号 A B (A×B)
1(A×B)
2
C (A×C)
1
(A×C)
2
(B×C)
1
e
1
e
2
(B×C)
2
e
3
e
4
可见，3水平两因素的交互作用占两列。试验结果见表4- 20（c）
试验结果的方差分析计算见表4-20（d）①
总的偏差平方和161.02
② 两个三水平因素的交互作用占两列，它的S、f、V如何计算？以交互作用B×C为例。B×C占第8和第11列。
偏差平方和S B
×C =S
8
+S
11
=0.09187465+0.08907423=0.18095
表4-20（c）正交表L
27
（313）的试验设计计算表
列号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 产量/T
因素符号A B
(A×
B)
1
(A×
B)
2
C
(A×
C)
1
(A×
C)
2
(B×
C)
1
e
1
e
2
(B×
C)
2
e
3
e
4
y
试验号
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1.30
2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 4.63
3 1 1 1 1 3 3 3 3 3 7.23
4 1 2 2 2 1 1 1 2 3 0.50
5 1 2 2 2 2 2 2 3 1 3.67
6 1 2 2 2 3 3 3 1 2 6.23
7 1 3 3 3 1 1 1 3 2 1.37
8 1 3 3 3 2 2 2 1 3 4.73
9 1 3 3 3 3 3 3 2 1 7.07
10 2 1 2 3 1 2 3 1 1 0.47
11 2 1 2 3 2 3 1 2 2 3.47
12 2 1 2 3 3 1 2 3 3 6.13
13 2 2 3 1 1 2 3 2 3 0.33
14 2 2 3 1 2 3 1 3 1 3.40
15 2 2 3 1 3 1 2 1 2 5.80
16 2 3 1 2 1 2 3 3 2 0.63
17 2 3 1 2 2 3 1 1 3 3.97
18 2 3 1 2 3 1 2 2 1 6.50
19 3 1 3 2 1 3 2 1 1 0.03
20 3 1 3 2 2 1 3 2 2 3.40
21 3 1 3 2 3 2 1 3 3 6.80
22 3 2 1 3 1 3 2 2 3 0.57
23 3 2 1 3 2 1 3 3 1 3.97
24 3 2 1 3 3 2 1 1 2 6.83
25 3 3 2 1 1 3 2 3 2 1.07
26 3 3 2 1 2 1 3 1 3 3.97
27 3 3 2 1 3 2 1 2 1 6.57
表4-20（d）方差分析计算表
列
号
1 2 3 4 5 6 7 8 11
9,10,1
2,13 因素
符号
A B
(A×B)
1
(A×B)
2
C
(A×C)
1
(A×C)2(B×C)1(B×C)2 e 项
目
I
j
36.73 33.46 35.63 34.30 6.27 32.94 34.21 33.33 32.98
II
j
30.70 31.30 32.08 31.73 35.21 34.66 33.13 33.04 33.43
III
j
33.21 35.88 32.93 34.61 59.16 33.04 33.30 34.27 34.23
k
j
9 9 9 9 9 9 9 9 9
I
j
/k
j
4.081
111
3.717
778
3.9588
89
3.8111
11
0.6966
667
3.6600
00
3.8011
11
3.7033
33
3.6644
44
II
j
/
k
j
3.411
111
3.477
778
3.5644
44
3.5255
56
3.9122
22
3.8511
11
3.6811
11
3.6711
11
3.7144
44
III
j
/k
j
3.690
000
3.986
667
3.6588
89
3.8455
56
6.5733
33
3.6711
11
3.7000
00
3.8077
78
3.8033
33
S
j
2.038
941
1.166
608
0.7635
201
0.5553
843
155.86
95
0.2071
406
0.0749
4069
0.0918
7465
0.0890
7423 S
e
=0.344
5
S
A×B
=S3+S4=1.3
189
S
A×C
=S6+S7=0.282
081
S
B×C
=S8+S11=0.180
95
f
j
2 2
f
A×B
=f3+f4=2+2=4
2
f
A×C
=f6+f7=2+2=4
f
B×C
=f8+f11=2+2=
4
f
e
=8
V
j
1.019
5
0.583
30
V
A×B
=
=
0.3297260
77.935
V
A×C
=
=
0.070520
V
B×C
=
= 0.0453238
V
e
=0.0430
62
F
j
23.7 13.5 F A×B =7.66
1.81×
103
F
A×C
=1.64 F B×C=1.05 1.0
F
0.01
8.65 8.65 7.01 8.65 7.01
F
0.05
3.84
F
0.10
2.81
F
0.25
1.66 1.66
显著
性
4* 4* (A×B)：4* 4*
(A×C)：
0*(0.25)
(B×C )：
0*(0.25)
F
＇ 20.2 11.6 6.53 j
F＇
6.23 6.23 4.77
0.01
（显
4* 4* 4* 著
性)＇
第三节正交试验设计及其方差分析 在工农业生产和科学实验中，为改革旧工艺，寻求最优生产条件等，经常要做许多试验，而影响这些试验结果的因素很多，我们把含有两个以上因素的试验称为多因素试验.前两节讨论的单因素试验和双因素试验均属于全面试验（即每一个因素的各种水平的相互搭配都要进行试验），多因素试验由于要考虑的因素较多，当每个因素的水平数较大时，若进行全面试验，则试验次数将会更大.因此，对于多因素试验，存在一个如何安排好试验的问题.正交试验设计是研究和处理多因素试验的一种科学方法，它利用一套现存规格化的表——正交表，来安排试验，通过少量的试验，获得满意的试验结果. 1.正交试验设计的基本方法 正交试验设计包含两个内容：（1）怎样安排试验方案；（2）如何分析试验结果.先介绍正交表. 正交表是预先编制好的一种表格.比如表9-17即为正交表L4(23),其中字母L表示正交，它的3个数字有3种不同的含义： (1) L4（23）表的结构：有4行、3列，表中出现2个反映水平的数码1，2. 列数 ↓ L4 （23） ↑↑ 行数水平数 （2）L4（23）表的用法：做4次试验，最多可安排2水平的因素3个. 最多能安排的因素数 ↓ L4(23) ↑↑ 试验次数水平数 (3) L4（23）表的效率：3个2水平的因素.它的全面试验数为23=8次，使用正交表只需从8次试验中选出4次来做试验，效率是高的. L4(23) ↑↑ 实际试验数理论上的试验数 正交表的特点： （1）表中任一列，不同数字出现的次数相同.如正交表L4(23)中，数字1，2在每列中均出现2次. （2）表中任两列，其横向形成的有序数对出现的次数相同.如表L4（23）中任意两列，
正交实验 1． 选择正交表 根据上面的水平表，由于水平数2，所以要选用L n (2 )型正交表，本例中有3个因素，且考虑因素间的交互作用，所以要选一张5 m 的表，而L 8(27)是满足条件的最小L n (2m )型正交表。 2． 表头设计 3． 数据的填写与试验结果 4． 计算K1、K2、R 由于计算K1、K2、R ，数据量小，且数据所在列不规则，可以直接在要求和单元格里直接输入=单元格+单元格 的简单公式如下图 水平 (A)碱含量/% (B)操作温度/°C ?填料种类 1 5 40 甲 2 10 20 乙 试验号 A B A ×B C 空列 B ×C 空列 SO 2摩尔分率×100 1 2 3 4 5 6 7
同理用这个方法可以求得K2、R ，如下图 5． 计算离差平方和 利用Excel 内置函数SUMSQ （）该函数返回所选数的平方和，如计算A 2+B 2可以输入=SUMSQ(A,B)，可得到结果，与平时所用求和函数SUM （）类似。 由于n T K K n SS A 22 2)21(2-+= ；其中∑== n i i y T 1 =97，可用SUM 求得
其中，P=T2/n可在单元格B24中输入“=B23*B23/8”求得。 而SS A的计算可在B20单元格中输入“=SUMSQ(B16:B17)/4-$B$24”； 其中$代表绝对引用。复制公式到C20,D20,E20,F20,G20,G20,可得到各自的离散和。6．方差分析 下图为所填写好的方差分析表： 差异源SS df MS F 显著性 A 6.125 1 6.125 B 136.125 1 136.125 14.91781 * C 3.125 1 3.125 A×B 171.125 1 171.125 18.75342 * B×C 105.125 1 105.125 11.52055 * 误差e 27.25 2 13.625 误差e△36.5 4 9.125 (1,4) 7.708647421 F 0.05 F (1,4) 21.19768958 0.01 其中Ａ，Ｂ，Ｃ的自由度是为m(水平数)-1，A×B，B×C的自由度为dfＡ×df B, df B× df C 误差e是空列SS之和，自由度也是空列个数之和。 误差e△是合并Ａ，Ｂ两因素离散平方和后的结果，因为SS A,SS B都小于误差项e，故将其并入误差e△中去。 对于显著性水平α=0.05,0.01,的F0.05(1,4)，与F0.01(1,4)，可通过函数FINV()求得。7．主次顺序分析 从离散和可以直接看出主次顺序：A×B ， B ，B×C 由于存在交互项的影响较在，故应该在通过因子的搭配来确定最优方案。
第十一章正交设计试验资料的方差分析 在实际工作中，常常需要同时考察3个或3个以上的试验因素，若进行全面试验，则试验的规模将很大，往往因试验条件的限制而难于实施。 正交设计是安排多因素试验、寻求最优水平组合的一种高效率试验设计方法。 第一节、正交设计原理和方法 (一) 正交设计的基本概念 正交设计是利用正交表来安排多因素试验、分析试验结果的一种设计方法。它从多因素试验的全部水平组合中挑选部分有代表性的水平组合进行试验，通过对这部分试验结果的分析了解全面试验的情况，找出最优水平组合。 例如，研究氮、磷、钾肥施用量对某小麦品种产量的影响： A因素是氮肥施用量，设A1、A2、A3 3个水平； B因素是磷肥施用量，设B1、B2、B3 3个水平； C因素是钾肥施用量，设C1、C2、C3 3个水平。 这是一个3因素每个因素3水平的试验，各因素的水平之间全部可能的组合有27种。 如果进行全面试验，可以分析各因素的效应，交互作用，也可选出最优水平组合。 但全面试验包含的水平组合数较多，工作量大，由于受试验场地、经费等限制而难于实施。 如果试验的主要目的是寻求最优水平组合，则可利用正交设计来安排试验。 正交设计的基本特点是：用部分试验来代替全面试验，通过对部分试验结果的分析，了解全面试验的情况。 正交试验是用部分试验来代替全面试验，它不可能像全面试验那样对各因素效应、交互作用一一分析；当交互作用存在时，有可能出现交互作用的混杂。 如对于上述3因素每个因素3水平试验，若不考虑交互作用，可利用正交表L9(34)安排，试验方案仅包含9个水平组合，就能反映试验方案包含27个水平组合的全面试验的情况，找出最佳的生产条件。 一、正交设计的基本原理 表11-1 33试验的全面试验方案
第十一章正交设计试验资料得方差分析 在实际工作中，常常需要同时考察3个或3个以上得试验因素,若进行全面试验，则试验得规模将很大,往往因试验条件得限制而难于实施。 正交设计就是安排多因素试验、寻求最优水平组合得一种高效率试验设计方法. 第一节、正交设计原理与方法 (一）正交设计得基本概念 正交设计就是利用正交表来安排多因素试验、分析试验结果得一种设计方法。它从多因素试验得全部水平组合中挑选部分有代表性得水平组合进行试验，通过对这部分试验结果得分析了解全面试验得情况，找出最优水平组合. 例如，研究氮、磷、钾肥施用量对某小麦品种产量得影响: Ａ因素就是氮肥施用量,设A１、Ａ2、A3 3个水平; B因素就是磷肥施用量，设B1、B2、B3 3个水平; C因素就是钾肥施用量，设C1、C2、C3 3个水平。 这就是一个3因素每个因素3水平得试验,各因素得水平之间全部可能得组合有2７种。 如果进行全面试验，可以分析各因素得效应，交互作用,也可选出最优水平组合。 但全面试验包含得水平组合数较多，工作量大，由于受试验场地、经费等限制而难于实施。 如果试验得主要目得就是寻求最优水平组合，则可利用正交设计来安排试验. 正交设计得基本特点就是:用部分试验来代替全面试验,通过对部分试验结果得分析，了解全面试验得情况。 正交试验就是用部分试验来代替全面试验,它不可能像全面试验那样对各因素效应、交互作用一一分析；当交互作用存在时,有可能出现交互作用得混杂。 如对于上述３因素每个因素3水平试验，若不考虑交互作用,可利用正交表Ｌ９(34）安排,试验方案仅包含9个水平组合，就能反映试验方案包含2７个水平组合得全面试验得情况，找出最佳得生产条件。 一、正交设计得基本原理 表１1－1 ３３试验得全面试验方案
正交试验结果的方差分析方法 计算公式和项目 试验指标的加和值= , 试验指标的平均值和表4-13一样，第j列的 (1) I j”水平所对应的试验指标的数值之和 (2) II j——“ 2”水平所对应的试验指标的数值之和 (3)…… (4) k j——同一水平出现的次数。等于试验的次数除以第j列的水平数. (5)I j/k j——“水平所对应的试验指标的平均” (6)II j/k j——“2”水平所对应的试验指标的平均值 (7)……以上各项的计算方法，和“极差法”同，见4.1.7节 (8)偏差平方和 (4-1) (9) f j ——自由度.f j 第j列的水平数－1. (10）V j ——方差. Vj =S j /f j (4-2) （11）V e ——误差列的方差。 (4-3) （12）F j ——方差之比 (4-4)
（13）查F分布数值表（见附录6），做显著性检验。显著性检验结果的具体表示方法和第3章相同。 （14）总的偏差平方和 (4-5) （15）总的偏差平方和等于各列的偏差平方和之和。即 (4-6) 式中，m为正交表的列数。 若误差列由5个单列组成，则误差列的偏差平方和S e等于5个单列的偏差平方和之和,即：S e=S e1+S e2+S e3+S e4+S e5；也可用S e= S总－S’来计算，其中：S’为安排有因素或交互作用的各列的偏差平方和之和 应引出的结论。 和极差法相比，方差分析方法可以多引出一个结论：各列对试验指标的影响是否显著，在什么水平上显著。在数理统计上，这是一个很重要的问题。显著性检验强调试验误差在分析每列对指标影响中所起的作用。如果某列对指标的影响不显著，那么，讨论试验指标随它的变化趋势是毫无意义的。因为在某列对指标的影响不显著时，即使从表中的数据可以看出该列水平变化时，对应的试验指标的数值也在以某种“规律”发生变化，但那很可能是由于实验误差所致，将它作为客观规律是不可靠的。有了各列的显著性检验之后，最后应将影响不显著的交互作用列和原来的“误差列”合并起来，组成新的“误差列”，重新检验各列的显著性。 方差分析方法使用举例 例4-6为了提高猪发酵饲料的营养和猪爱吃的程度，选择了四个因素进行正交试验，其因素水平见表4-18。 表4-18例4-6的因素水平表 因素发酵温度/℃发酵时间/h 初始的PH值投曲量/ % 符号x1x2x3x4 水平 1 10 1 2 7 5 2 20 24 6 10 3 30 48 5
正交试验方差分析(通 俗易懂)
第十一章正交设计试验资料的方差分析 在实际工作中，常常需要同时考察 3个或3个以上的试验因素，若进行全面试验，则试验的规模将很大，往往因试验条件的限制而难于实施。 正交设计是安排多因素试验、寻求最优水平组合的一种高效率试验设计方法。 第一节、正交设计原理和方法 (一) 正交设计的基本概念 正交设计是利用正交表来安排多因素试验、分析试验结果的一种设计方法。它从多因素试验的全部水平组合中挑选部分有代表性的水平组合进行试验，通过对这部分试验结果的分析了解全面试验的情况，找出最优水平组合。例如，研究氮、磷、钾肥施用量对某小麦品种产量的影响： A因素是氮肥施用量，设A1、A2、A3 3个水平； B因素是磷肥施用量，设B1、B2、B3 3个水平； C因素是钾肥施用量，设C1、C2、C3 3个水平。 这是一个3因素每个因素3水平的试验，各因素的水平之间全部可能的组合有27种。 如果进行全面试验，可以分析各因素的效应，交互作用，也可选出最优水平组合。 但全面试验包含的水平组合数较多，工作量大，由于受试验场地、经费等限制而难于实施。 如果试验的主要目的是寻求最优水平组合，则可利用正交设计来安排试验。
正交设计的基本特点是：用部分试验来代替全面试验，通过对部分试验结果的分析，了解全面试验的情况。 正交试验是用部分试验来代替全面试验，它不可能像全面试验那样对各因素效应、交互作用一一分析；当交互作用存在时，有可能出现交互作用的混杂。如对于上述3因素每个因素3水平试验，若不考虑交互作用，可利用正交表 L9(34)安排，试验方案仅包含9个水平组合，就能反映试验方案包含27个水平组合的全面试验的情况，找出最佳的生产条件。 一、正交设计的基本原理 表11-1 33试验的全面试验方案
8.3.2 考虑交互作用的三水平正交试验的方差分析（因学时有限和正交表太大L27(313)，不讲解！只讲解二水平情况，因为二水平会，三水平自然也会！） 例8-4 运动发酵单细胞菌是一种酒精生产菌。为了确定其发酵培养基的最佳配方，进行了四因素三水平正交试验，试验指标为酒精浓度（g/ml）。表8-12给出了因素水平表，要求考察交互作用A×B、A×C和A×D。查附表7可得，本试验应选用L27(313)正交表，表头设计应按照“L27(313)二列间的交互作用表”进行。本例只考虑一级交互作用（p=1），所以每个三水平交互作用应占(m-1)P=(3-1)1=2列，即A ×B、A×C，和A×D在L27(313)正交表中各占二列。 表8-12 因素水平表 表头设计时应避免混杂，试验方案及试验结果见表8-13。 由交互作用表可知，将因素A、B安排在第1、2列之后，第3、4列为A×B交互作用列；再将C安排在第5列后，A×C交互作用在第6、7列；最后将D安排在第9列，则A×D交互作用类落在第8、10列（当然也可将D安排在第8列，则第9、10列为A×D交互作用列）。 表8-13 试验方案及结果分析 L27(313)
一、计算（计算过程省略） 1.计算各列各水平的K ij 值(K 1j ,K 2j ,K 3j )和K 2 ij (K 21j ,K 22j ,K 23j ) 各列各水平对应的试验数据之和K 1j ,K 2j ,K 3j ,及其平方和K 21j , K 22j , K 23j ,列于表8-13中,例如 K 1A = ∑=9 1 i i X =0.20+0.50*2+1.50+1.10+1.20*2+1.60*2=9.40=K 11 ， K 2 11= 88.36 K 2A =∑=9 1i i X =0.40+0.50+……+6.15=33.05= K 21 ， K 221=1092.30 K 3A =∑=9 1 i i X =0.40+0.30+……+2.80=25.80= K 31 ， K 231 =665.64 表示A ×B 的有两列,即第3,4列,计算后可知 K 13 =32.75, K 23 =17.90; K 33 =17.60 K 14 =26.40; K 24 =24.55, K 34 =17.30 2.计算各列的偏差平方和(S j )及其自由度(f j ) 由式(8-4),可知: S j =CT Q n T K r j m i ij -=-∑=2 2 11 r=n/m=27/3=9; CT=T 2/n=1/27×68.252=172.52
实验设计与分析课程论文 题目利用SPSS 软件进行方差分析和正交试验设计 学院 专业 年级 学号 姓名 2012年6月29日
一、SPSS 简介 SPSS 是世界上最早的统计分析软件，1984年SPSS 总部首先推出了世界上第一个统计分析软件微机版本SPSS/PC+，开创了SPSS 微机系列产品的开发方向，极大地扩充了它的应用范围，并使其能很快地应用于自然科学、技术科学、社会科学的各个领域，世界上许多有影响的报刊杂志纷纷就SPSS 的自动统计绘图、数据的深入分析、使用方便、功能齐全等方面给予了高度的评价与称赞。 SPSS 的基本功能包括数据管理、统计分析、图表分析、输出管理等等。SPSS 统计分析过程包括描述性统计、均值比较、一般线性模型、相关分析、回归分析、对数线性模型、聚类分析、数据简化、生存分析、时间序列分析、多重响应等几大类，每类中又分好几个统计过程，比如回归分析中又分线性回归分析、曲线估计、Logistic 回归、Probit 回归、加权估计、两阶段最小二乘法、非线性回归等多个统计过程，而且每个过程中又允许用户选择不同的方法及参数。SPSS 也有专门的绘图系统，可以根据数据绘制各种图形。SPSS 的分析结果清晰、直观、易学易用，而且可以直接读取EXCEL 及DBF 数据文件，现已推广到多种各种操作系统的计算机上，它和SAS 、BMDP 并称为国际上最有影响的三大统计软件。 SPSS 输出结果虽然漂亮，但不能为WORD 等常用文字处理软件直接打开，只能采用拷贝、粘贴的方式加以交互。这可以说是SPSS 软件的缺陷。 二、方差分析 例如 某高原研究组将籍贯相同、年龄相同、身高体重接近的30名新战士随机分为三组，甲组为对照组，按常规训练，乙组为锻炼组，每天除常规训练外，接受中速长跑与健身操锻炼，丙组为药物组，除常规训练外，服用抗疲劳药物，一月后测定第一秒用力肺活量(L)，结果见表。试比较三组第一秒用力肺活量有无差别。对照组为组一，锻炼组为组二，药物组为组三。 第一步：打开 SPSS 软件 表1 三组战士的第一秒用力肺活量(L) 对照组 锻炼组 药物组 合计 3.25 3.66 3.44 3.32 3.64 3.62 3.29 3.48 3.48 3.34 3.64 3.36 3.16 3.48 3.52 3.64 3.20 3.60 3.60 3.62 3.32 3.28 3.56 3.44 3.52 3.44 3.16 3.26 3.82 3.28
正交试验设计实例分析 正交试验设计是使用正交表来安排多因素、多水平试表验，并采用统计学方法分析实验结果的一种实验设计方法［１］。对于多因素、多水平的问题，人们一般希望通过若干次的实验找出各因素的主次关系和最优搭配条件，用正交表合理地安排实验，可以省时、省力、省钱，同时又能得到基本满意的实验效果。因此，这种方法在改进产品质量、优化工艺条件及研发新产品等诸多方面广泛应用。但是，很多研究人员在使用该方法时，有些细节往往容易被忽视。作者以姜黄素的提取为例具体阐述这一方法的使用和注意事项。 1.实例： 姜黄素是姜黄中的主要活性成分，在优化其提取工艺时，首先应确定正交试验需要考察的因素和水平。尤本明等［２］考察了三个因素，因素A（作为溶媒的乙醇浓度）、因素 B（溶媒的量）、因素C（渗漉速度），每个因素取三个水平。试验设计时，一般还应考虑各因素间的交互作用，也就是因素之间的联合作用，这点不可忽视。根据以往经验可知，本例中因素之间的交互作用可以忽略，故采用 L９（３４）正交表来安排试验（见表１）。该表共有４列，将因素 A 、B 、C 分别安排在正交表的第２、３、４列上，第１列为空白列。在试验前，各因素及水平在正交表中的位置必须交待清楚，以确定各次试验的条件，避免不必要的错误。 1 正交试验设计与结果 2 .直观分析法： 表１中的 K１、K２、K３分别表示在各因素各水平下姜黄素提取量的总和，K分别表示在各因素各水平下姜黄素提取量的平均值。由于有时会遇到各因素水平数不等的情况，因此，一般用提取量的平均值大小来反映同一个因素的各个不同水平对试验结果（提取量）影响的大小，并以此确定该因素应取的最佳水平。用同一因素各水平下平均提取量的极差R（极差＝平均提取量
第8章正交试验设计的方差分析 前面我们讨论了如何安排正交试验以及用极差分析法(即直观分析法)对试验结果进行计算分析.极差分析法简单明了，通俗易懂，计算工作量少，便于普及推广.但这种方法不能把试验中由于试验条件的改变引起的数据波动，同试验误差引起的数据波动区分开来.也就是说，不能区分因素各水平对应的试验结果间的差异，究竟是由于因素水平不同引起的，还是由于试验误差引起的，即不知道试验的精度.同时，对影响试验结果的各个因素的重要程度，既不能给出精确的定量估计，也不能提供一个标准，用来判断所考察的因素的作用是否显著. 为了弥补极差分析法的不足，对试验结果的分析可采用方差分析法. 8.1 正交试验方差分析的基本步骤 在第2章中我们已经介绍过，方差分析的基本思想是将数据的总偏差平方和(S T)分解为因素的偏差平方和(S A、S B)和误差的偏差平方和(S e)，然后将偏差平方和除以相对应的自由度(f)得到方差(V A、V B)，最后利用因素方差与误差方差之比(V A/V e，V B/V e)，作F检验，即可判断因素的作用是否显著.正交试验设计的方差分析也是按这样的步骤进行的，所不同的是这是考虑的是多因素试验的方差分析，而第2章中只考虑单因素和双因素试验的方差分析. 一、计算 1.偏差平方和与自由度的计算
方差分析的关键是偏差平方和的分解，现在以最简单的L 4(23)正交表上安排的试验为例来说明(见表8-1，板书).不考虑哪些因素安排在哪些列上(即表头设计时)，设试验结果为x 1、x ２、x 3和x 4. 总的偏差平方和: 4 )(2 4 1 221 212 _T x n T x x x S i i n i i n i i T - =- =-=∑∑∑=== T=∑=n i i x 1 =(x 21+x 22+x 23+x 24)-4 1 (x 4321x x x +++)2 整理后可得 43 = (24232221x x x x +++) 2 1 - (434232413121x x x x x x x x x x x x +++++) 第1列各水平偏差平方和为 S 1=22 _ 21_ 2 _11_ )(2)(x K x K -+- =2[221211)4 2()42( T K T K -+-] =2[T K T K T K T K 2111222122114 1 41164164--+++] =22 2121141)(21T K K -+ )(211141 K K x T i i +==∑= =24321243221)(41])()[(21x x x x x x x x +++-+++ =)(2 1)(414321423241312 42322 21x x x x x x x x x x x x x x x x --+++-+++ 表8-1 L 4(23)正交表及计算表