全等三角形模型
适用学科初中数学适用年级初中一年级
适用区域江苏课时时长（分钟）60
知识点全等三角形的性质、全等三角形的判定、直角三角形的全等的判定
教学目标熟练掌握三角形全等的判定定理，能够灵活运用这些定理进行推理和证明；能够从模型的观点去理解复杂的几何图形的推理。
教学重点熟练掌握三角形全等的判定定理
教学难点能够从模型的观点去理解复杂的几何图形的推理
教学过程
一、课堂导入
【问题】如图，你能感觉到哪两个三角形全等吗？
【思考】△ABD≌△ACE
二、复习预习
【问题】工人师傅常用角尺平分一个任意角，作法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON．移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合．则过角尺顶点P的射线OP便是∠AOB的角平分线，为什么？请你说明理由．
【解答】OP平分∠AOB
理由如下：
∵OM=ON，PM=PN，OP=OP
∴△MOP≌△NOP（SSS）
∴∠MOP=∠NOP
∴OP平分∠MON
（即OP是∠AOB的角平分线）
三、知识讲解
考点1
全等三角形性质：
全等三角形的对应边相等，对应角相等，对应边上的高、中线相等，对应角的平分线相等。
考点2
全等三角形的判定：
所有三角形SAS、ASA、AAS、SSS；直角三角形HL
四、例题精析
【例题1】
【题干】如图，正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且AE⊥BF，垂足为点G．求证：AE=BF．
【答案】证明：∵正方形ABCD，∴∠ABC=∠C=90°，AB=BC．
∵AE⊥BF，∴∠AGB=∠BAG+∠ABG=90°，
∵∠ABG+∠CBF=90°，∴∠BAG=∠CBF．
在△ABE和△BCF中，
BAE CBF AB CB
ABE BCF
∠=∠
?
?
=
?
?∠=∠
?
，
∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE=BF．
【解析】根据正方形的性质，可得∠ABC与∠C的关系，AB与BC的关系，根据两直线垂直，可得∠AGB的度数，根据直角三角形锐角的关系，可得∠ABG与∠BAG的关系，根据同角的余角相等，可得∠BAG与∠CBF的关系，根据ASA，可得△ABE≌△BCF，根据全等三角形的性质，可得答案．
【例题2】
【题干】如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF与BC交于点G．（1）求证：AE=CF；
（2）求证：AE⊥CF．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，AB=BC，
∵BE⊥BF，∴∠FBE=90°，
∵∠ABE+∠EBC=90°，∠CBF+∠EBC=90°，∴∠ABE=∠CBF，
在△AEB和△CFB中，
AB BC
ABE CBF BE BF
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
∴△AEB≌△CFB（SAS），∴AE=CF．（2）延长AE交BC于O，交CF于H，
∵△AEB≌△CFB，∴∠BAE=∠BCF，
∵∠ABC=90°，∴∠BAE+∠AOB=90°，
∵∠AOB=∠COH，∴∠BCF+∠COH=90°，∴∠CHO=90°，∴AE⊥CF
【解析】（1）利用△AEB≌△CFB来求证AE=CF．
（2）利用全等三角形对应角相等、对顶角相等、等量代换即可证明．
【例题3】
【题干】（2014?顺义区一模）已知：如图1，△MNQ中，MQ≠NQ．
（1）请你以MN为一边，在MN的同侧构造一个与△MNQ全等的三角形，画出图形，并简要说明构造的方法；（2）参考（1）中构造全等三角形的方法解决下面问题：
如图2，在四边形ABCD中，∠ACB+∠CAD=180°，∠B=∠D．求证：CD=AB．
【答案】：（1）如图1，以N 为圆心，以MQ 为半径画圆弧；以M 为圆心，以NQ 为半径画圆弧；两圆弧的交点即为所求．
主要根据“SSS”判定三角形的全等．
（2）如图3，
延长DA至E，使得AE=CB，连结CE．
∵∠ACB+∠CAD=180°，∠DAC DAC +∠EAC=180°∴∠BAC BCA =∠EAC
在△EAC和△BAC中，
AE CE
AC CA
EAC BCN
=
?
?
=
?
?∠=∠
?
∴△AECEAC≌△BCA （SAS），∴∠B=∠E，AB=CE
∵∠B=∠D，∴∠D=∠E，∴CD=CE，∴CD=AB．
【解析】（1）以点N为圆心，以MQ长度为半径画弧，以点M为圆心，以NQ长度为半径画弧，两弧交于一点F，则△MNF为所画三角形．
（2）延长DA至E，使得AE=CB，连结CE．证明△EAC≌△BCA，得：∠B =∠E，AB=CE，根据等量代换可以求得答案．
【例题4】
【题干】问题背景：
如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；
探索延伸：
如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=1
∠BAD，上述结论
2
是否仍然成立，并说明理由；
实际应用：
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．
【答案】问题背景：EF=BE+DF；
探索延伸：EF=BE+DF仍然成立．
证明如下：如图，延长FD到G，使DG=BE，连接AG，∵∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADG=180°，∴∠B=∠ADG，
在△ABE和△ADG中，
DG BE
B ADG
AB AD
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
，∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=1
2
∠BAD，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，
∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
AE AG
EAF GAF
AF AF
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
，∴△AEF≌△GAF（SAS），∴EF=FG，
∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；
实际应用：如图，连接EF，延长AE、BF相交于点C，
∵∠AOB=30°+90°+（90°-70°）=140°，∠EOF=70°，∴∠EOF=1
2
∠AOB，
又∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=（90°-30°）+（70°+50°）=180°，
∴符合探索延伸中的条件，∴结论EF=AE+BF成立，即EF=1.5×（60+80）=210海里．