第37卷第4期
财经研究
V o l 37N o 4
2011年4月Journal of Finance and Eco no mics A pr 2011
城市化对房价的影响:线性还是非线性?
基于四种面板数据回归模型的实证分析
骆永民
(安徽工业大学经济学院,安徽马鞍山243032)
摘 要:文章从线性和非线性两个角度分析了中国城市化进程对房价的影响。通过对各省历年房价和城市化的核密度估计空间分布分析,发现城市化和房价之间存在明显的正相关性,并且各省份的城市化和房价水平存在 双峰 分布特征和空间相关性。这说明在分析城市化对房价的影响时应考虑可能的门限效应和空间溢出效应这两种非线性关系。据此,文章基于中国30个省份1998-2009年的面板数据,使用普通面板回归、空间面板回归、门限面板回归和平滑门限面板回归这四种模型进行分析发现,城市化水平对本地区和相邻地区的房价均具有显著的促进作用,且在经济增长水平较高、人力资本集聚的地区,城市化对房价的促进作用更加显著。
关键词:城市化;房价;线性;非线性;面板数据回归模型
中图分类号:F293 3 文献标识码:A 文章编号:1001 9952(2011)04 0135 10
收稿日期:2010 12 08
基金项目:教育部人文社会科学研究青年基金项目(10YJ C790186)
作者简介:骆永民(1981-),男,安徽蚌埠人,安徽工业大学经济学院副教授。
一、引 言
2011年新年伊始,政府相继出台了一系列抑制房价快速上涨的政策。其中影响较大的有以下几条:(1)二套房贷款首付比例不得低于60%,同时贷款利率不得低于基准利率的1 1倍;(2)上海和重庆从1月28日起开征个人住房房产税,与此同时财政部、国税总局、住建部相关负责人表示,条件成熟时将在全国范围内对个人拥有的住房征收房产税;(3)各直辖市、计划单列市、省会城市和房价过高、上涨过快的城市,在一定时期内要从严制定和执行住房限购措施;(4)各地要增加土地有效供应,落实保障性住房、棚户区改造住房和中小套型普通商品住房用地不低于住房建设用地供应总量70%的要求。总结上述政策,政府旨在通过提高利率、开征住房房产税、限购以及增加土地和保障性住房供应等政策抑制房价的快速上涨。从相关实证研究看,提高利率(黄忠华等,2008;况伟大,2010)、增加土地和保障房供应(况伟大,2005;温海珍等,
135
财经研究2011年第4期
2010)以及开征住房房产税(况伟大,2009;金成晓和马丽娟,2008;杜雪君等, 2009)应该能够起到抑制房价快速上涨的作用。但其中值得关注的是,相关的国家政策对外来务工人员和高校毕业生这两大城市化主力军的购房行为影响较小。加之近年来政府不断放宽对农村人口落户城镇的限制,可预见城市化在诸多影响房价变化的因素中可能会变得日益重要。于是,政府若想更好地控制房价,势必需要依照城市化发展趋势以及由此可能引发的房价变化进行更细致的制度设计。那么,探究城市化促进房价上涨的方式和作用的大小就显得格外重要,本文的研究正是基于此而展开。
目前明确以城市化对房价的影响为研究对象的实证分析有陈石清和朱玉林(2008)、任木荣和刘波(2009)等。其中,陈石清和朱玉林(2008)采用的是时序数据,故缺乏地区层面的信息且没有考虑其他影响房价的因素。而任木荣和刘波(2009)虽然使用了中国省级面板数据,但仅考虑了城市化对房价的影响,并未在回归模型中设计更多的解释变量。此外,上述两篇文献都是从线性关系出发研究两者之间的关系,未考虑可能存在的非线性关系。近年来,一些文献显示房价和其影响因素之间可能存在一定的空间相关性(主要指在距离较近的邻省间存在空间溢出效应)和门限效应(即当门限变量数值变化时,回归系数显著改变)这两种非线性关系。而了解这两种非线性关系的目的在于,各省可以根据空间关联的强弱、邻省的城市化和房价情况、本省门限变量的数值大小判断本省房价变化的可能趋向,进而根据自身的行政目标进行适宜的政策安排(如为控制房价对相关影响因素进行控制等),故具有极其重要的研究价值。
H olly等(2010、2011)基于美国和英国的数据,发现房价在空间层面存在显著的相关性。这提醒我们在分析房价的影响因素时,应当注意可能存在的空间相关性,故本文将采用空间面板回归模型对城市化和房价的关系进行再检验。Dekkers和V an der Straaten(2009)发现,如果住房附近有超过某一门限值的噪声源,则房价会下降得十分迅速。而Chen等(2010)则指出,随着房价高于门限值,房价对消费行为的影响会发生较大改变。结合上述文献很容易联想到中国不同地区的城市化对房价的影响是否也存在门限效应?最直观的一个猜测是,城市化对房价的影响在贫富省份之间未必一致。故而本文采用 门限面板回归 和 平滑门限面板回归 这两种分析门限效应的面板数据回归模型。为便于比较,文中还使用普通面板回归模型进行估计,故全文共使用了四种面板数据回归模型来分析城市化对房价的影响。
二、中国城市化促进房价上涨的原因及其时空特征
近年来,政府采取了一系列措施抑制房价快速上涨,重点加强了对 炒房 的抑制,但炒房者仍乐此不疲,并不断推高房价。但所有的投机最终都是以套现为目的的,而从事投机炒作的业主往往具有一定的财力和智力基础,不至于
136
盲目从事投机活动。那么,是什么信念在支撑投机者持续炒作呢?我们认为其中最关键的一点是基于这样的认识:中国城市化的快速发展必然带来对住房的刚性需求。在城市化过程中,还蕴含着这样一些推高房价的因素:其一,80后的新一代农民工普遍习惯了城市的生活,他们中的很多人不愿意回到农村,这会导致更高的住房需求;其二,改革开放后富裕起来的一部分农民进入城市购房置业,一定程度上挤压了住房供给的空间;其三,随着1999年以来的高校扩招,高等教育日益普及,其结果是大批毕业生涌入大中城市而不愿意回到农村或县城就业,于是造成了住房需求的快速膨胀;其四,新时代的教育、网络以及其他传媒强调个人价值的实现,无形中催生了文化上的浮躁和年轻人之间的恶性竞争,实现梦想的强烈愿望激励年轻人滞留于城市,从而促使房价上涨;其五,城市化的主力是正处于婚育年龄的70后和80后,其父辈一般享受了福利分房的优惠政策或身处农村,无房贷压力,故父辈的积蓄可提供给子女用于购房,这也会促使房价上涨;其六,城市化以不断向郊区扩张来实现,而郊区农村的城市化意味着要向失地农民提供大量的安置费用或住房,这会造成地价的快速上涨并进一步推高房价。基于上述分析,在城市化的洪流中,要
保持房价与其他商品价格一致的增长率是十分困难的。
图1 房屋平均价格的核密度图
下面我们观察城市化和房价变化的时空特征。图1和图2绘制了中国大陆30个省份(西藏数据不全,故没有考虑)1998-2009年偶数年份城市化和房屋价格的核密度(取M AT LAB6 0中默认标准核密度函数和最优窗宽)。其中,城市化水平用城镇户籍人口占总人口比重表示,数据来自 中国人口(和就业)统计年鉴 (1999-2010);房屋平均价格数据来自 中国固定资产投资统计年鉴 (1999)、 中国统计年鉴 (2000、2001)和 中国房地产统计年鉴 (2002-2010)。从图1可以看出,2000年以来核密度的波峰持续右偏且波及范围越来越广,这说明房屋平均价格在逐渐上涨且各地区房价差距在扩大。从图
137 骆永民:城市化对房价的影响:线性还是非线性?
2可以看出,2000年以来核密度的波峰也持续右偏,波及范围有所缩小,这说明城市化平均水平在逐渐上升,但各地区的差距有所缩小。观察两图2008年的核密度可以发现,两图均呈现双峰特征,这说明无论是城市化还是房屋平均价格,均呈现 低水平 和 高水平 的两个 俱乐部 形态,每个 俱乐部 有自己独特的分布特征。这提醒我们在城市化对房价的影响中,可能存在 俱乐部 特征,即由于各地区某一特征的不同,相应的回归系数可能呈现出较大差距。而至于通过直观观测得到的结论是否成立,下文将采用门限面板回归模型和
平滑门限面板回归模型进行实证研究。
图2 城市化水平的核密度图
为进一步观察房屋价格和城市化水平的空间地理分布情况,我们分别绘制了历年城市化和房屋价格平均值在各省份的分布情况图,时间跨度为1998-2009年(图略)。可以发现,城市化水平较高的地区往往是房价较高的地区;同时,东北各省、东部沿海各省以及中部省份的城市化和房价往往较接近,即地理上接壤的省份,其房价和城市化水平具有相关性。这说明变量间可能存在空间相关性,如果要讨论两者的关系,则需要使用空间面板回归模型。
三、变量、数据和计量方法
(一)变量和数据。本文使用面板数据进行分析,时间跨度为1998-2009年,地域跨度为除西藏以外的中国大陆30个省份。根据本文的研究主题,解释变量为城市化水平cityl,被解释变量为房屋平均价格的对数lnhp 。本文还设计了另外一些国内研究尚不太关注的解释变量进入计量模型。
1 人力资本情况。Gio vanni 和M atsumoto(2010)发现,人力资本价值的增加和房价的上涨总是保持着正相关。基于这一考虑,本文使用各省份受高中以上教育人口占6岁以上人口比重作为人力资本的代理变量,记为hc,数
138 财经研究2011年第4期
骆永民:城市化对房价的影响:线性还是非线性?
据来源于 中国人口(和就业)统计年鉴 (1999-2010)。考察这一变量的另一用意在于探究城市化对房价的影响是否随其变化出现门限效应。
2 财政分权。Reback(2005)使用美国明尼苏达州的数据进行研究发现,地方公共服务和住房价格有着密切的关联。本文认为,中国各省份的房价也应受公共服务的影响,但公共服务涉及的变量很多,采用任何一个变量都难以反映出公共服务的全貌。而财政分权是提高地方公共服务效率(骆永民, 2008)和造成地方政府依赖 土地财政 的重要因素(梁若冰,2010),故而预期会对房价产生重要影响。其计算公式是:省级人均财政支出/(省级人均财政支出+中央人均财政支出),记为fd。方法来自乔宝云(2005)、温娇秀(2006)等文献,数据来源于 中国统计年鉴 (1999-2010)。
3 经济增长水平。当经济发展水平较高时,一个地区的商业和人口往往比较集中,房价自然也较高。本文以人均GDP的对数作为房价变化的一个解释变量,用以指代经济发展水平,记为lny,数据来自 中国统计年鉴 (1999-2010)。考察这一变量的另一用意在于将其视为门限变量。
4 就业人口占总人口比重。当就业人口比重较高时,从事劳动的青壮年人口较多,这会带来对住房的更高需求,于是会导致房价的上涨。这一变量记为w orker r,数据来自 中国人口(和就业)统计年鉴 (1999-2010)。
本文数据均以1998年不变价格计算,人均GDP采用各省GDP的年度平减指数进行折算,而后除以年底总人口数得到。房屋平均价格采用物价水平CPI进行折算。
(二)计量方法选择。本文同时采用普通面板回归模型、空间面板回归模型、门限面板回归模型以及平滑门限面板回归模型展开实证。
1.空间面板回归模型。空间面板回归模型考虑到了空间效应的存在,这包括空间自相关和空间差异性。空间自相关指一个地区的样本观测值与其他地区的观测值相关,故模型中需要增加空间滞后因变量作为解释变量。下文使用的普通面板回归模型是基于个体固定效应的空间面板滞后因变量回归模型(F SAR)。空间差异性指由空间单位的异质性而产生的空间效应在区域层面上的非均一性,主要体现于回归误差项的相关性。这说明模型的解释变量本身并未带来空间相关性,而它是由模型以外的一些因素造成。同样地,下文使用的模型是基于个体固定效应的空间误差自相关回归模型(F SEM)。
设sF为空间个体固定效应的N维列向量,即sF=( 1, 2, , N)T。每个观测值对应的空间个体固定效应列向量为 =I T sF,其中I T为元素全为1的T维列向量,T表示时间跨度。于是两种模型可以表述为(Elhorst,2003):
F-SAR:Y= (I T W N)Y+ +X + (1) F-SEM:Y= +X + , = (I T W N) + (2)其中,Y为被解释变量,X为N k的外生解释变量矩阵(可以包括常数项),
139
财经研究2011年第4期
为变量系数矩阵, 和 分别为空间自回归系数和空间自相关系数, 为服从正态分布的误差项。W N是空间权重矩阵(N为地区数,W N是N阶方阵)。本文的权重系数设定为相邻省份取1,不相邻省份取0(本文将广东和海南视为相邻省份),本文使用软件M atlab6 0编程实现该计量分析。
2 门限面板回归(PTR)与平滑门限面板回归(PST R)模型。目前,考虑门限效应的面板数据回归模型有门限面板回归模型(PTR,H ansen,1999、2000)和在此基础上进一步改进的平滑门限面板回归模型(PST R,Gonz lez 等,2005)。门限面板回归的基本设计理念是当作为门限变量的经济变量高于或低于门限值时,解释变量对被解释变量的作用是否会发生改变。门限面板回归模型可以表示为:
y it= i+ x it+ x it{ }+e it(3)公式中各个变量下标i为个体,t为时间。其中, i为第i个个体的个体固定效应,y it为被解释变量,x it为解释变量,x it{ }=x it I it( )。 是门限值,虚拟变量I it( )={q it }指q it 时,I=1,否则I=0,q it是门限变量(文中选择lny 和hc作为可能的门限变量)。 、 和 是待估计参数。当使用PSTR模型时,变量间关系不再发生 转折 ,而是平滑连续地变化到另一种状态。沿用(3)式,此时I it{ }变为I it(q it;r,c)=[1+exp(-r) m j=1(q it-c j)]-1,它是介于0和1之间的连续函数。其中,q it是转换变量(对应上述的门限变量),r为斜率系数(决定转换的速度),c为转换发生的位置参数(可以有m个,本文仅考虑1种情况)。总体而言,PT R分析解释变量的系数是否因门限变量变化而 跳跃 ,PST R分析解释变量的回归系数是否因门限变量变化而平滑、连续地变化。需特别指出的是,按照现有的估计方法,PT R模型可以设置受制于门限变量的解释变量,而其他解释变量可以独立于门限变量,即不受制于门限变量的解释变量可以以 x it的形式直接进入(3)式右端,其中 为参数向量;而目前PST R模型的估计方法中尚不设置独立于门限变量之外的解释变量,所有解释变量的系数向量均由 和 两部分组成。此外,在PT R模型中门限变量仍可以作为解释变量或被解释变量,但在PSTR模型中,转换变量一般不宜继续作为解释变量或被解释变量。为慎重起见,本文同时采用上述两种方法来分析可能的门限效应,使用STAT A10 0和M AT LA B6 0编程实现。
四、基于四种面板数据回归模型的计量分析
计量分析结果见表1。首先分析普通面板回归模型(F OP)的估计结果。从F检验和H ausman检验看,基于个体固定效应的模型是最佳选择,故空间计量模型、PT R模型以及PSTR模型均采用个体固定效应形式。
其次分析空间面板回归模型(F SAR和F SEM)的考察结果。从关于是否存在空间相关性的五种检验(LM err、LMsar、Lratio、M oran和Wald)中发
140
表1 基于四种面板数据回归模型的估计结果估计方法F O P F SA R F SEM PTR PT R PSTR
门限(转换)变量无无无lny hc lny
依存变量或参数无无无cityl cityl
cityl
cityl1
cityl20 391***
(3 92)
0 339***
(3 73)
-0 034
(-0 34)
0 261***
(2 52)
0 274***
(2 59)
0 440***
(4 48)
0 484***
(4 69)
-0 966***
(-3 04)
1 803***
(3 14)
lny 0 512***0 437***0 522*** 0 457***0 483*** (11 63)(8 02)(9 95)(10 05)(10 84)
f d 0 491*0 504**1 011***0 807***0 494*1 767***-1 754***
(1 88)(2 13)(4 15)(3 00)(1 91)(5 41)(-2 72)
workerr0 212***0 190***0 257**0 136*0 228***-0 824*2 990***
(2 48)(2 44)(2 21)(1 59)(2 70)(-1 94)(4 90)
hc 0 426***0 423***0 601***0 569***0 387**-1 516*3 463*** (2 53)(2 77)(4 47)(3 36)(2 31)(-1 95)(2 94)
或 0 126**0 645***
(2 08)(15 80)
门限值及其95%置信区间
9 9500 151 [9 82,9 95][0 136,0 190]
位置参数c9 1757
斜率参数r1 3510 R20 84280 95300 96610 84950 8470
F统计值31 45***
Hausman检验值14 96***
Bootst rap/LM
检验p值
0 0000 0000 000
A IC-3 48
BIC-3 38
LM err110 343***
LM sar519 972***
Lrat i o111 389***
M oran10 844***
Wald851 799***
注:括号中为t检验值,***、**和*分别表示在1%、5%和10%的显著性水平上显著; Boo tstrap或L M检验考察是否存在门限效应(或平滑门限效应)。
现,本文数据适用于空间面板回归模型。从拟合优度看,空间面板回归优于普通面板回归。A nselin和Rey(1991)利用蒙特卡罗实验方法证明,如果LMsar (或LMerr)比LM err(或Lmsar)统计量更显著,那么恰当的模型是F SAR模型(或F SEM模型)。于是两类空间面板回归模型中更适宜采用F SAR模型。根据F SAR的估计结果,所有解释变量均对房价有显著的促进作用,但除fd的系数外其他所有系数均普遍低于普通面板回归模型。这是由空间相关性所致。这里空间自回归系数 十分显著,说明本地区城市化水平对相邻地区的房价具有一定的促进作用,该作用为0 043(0 339 0 126)。由于大多数省份具有2个以上的邻省,普通面板回归模型因忽略了空间相关性而低估了城市化水平对房价的影响。城市化对房价之所以存在空间溢出效应,主要原因在于地理位置上的临近造成邻省间房价具有相互拉动的效应。
再分析门限面板回归模型(PT R)的估计结果。本文将所有变量均作为门限变量进行了测试,发现人均GDP对数lny和人力资本hc存在显著的门
141
骆永民:城市化对房价的影响:线性还是非线性?
限效应特征。从拟合优度看,这两个PTR 模型均优于普通面板回归模型。当lny 高于9 950(即人均GDP 超过20952元)时,城市化关于房价的弹性从0 261增加到0 440。当hc 高于0 151时,城市化关于房价的弹性从0 274增加到0 484。两个PT R 模型说明,在经济发展水平较高、人力资本集聚的地区,城市化对房价的促进作用会更大。出现这一情况的原因在于,经济发展水平较高和人力资本集聚的地区,商业竞争和人才竞争更加激烈,对商业用房和住宅用房的需求会更加旺盛。
最后分析平滑门限面板回归模型(PSTR)的估计结果。通过对比估计结果中LM 检验、AIC 、BIC 以及RSS(回归平方和)的数值大小,本文最终选择lny 作为转换变量。各个变量的系数分为两部分:一是确定的部分 ,二是 乘以转换函数I it (q it ;r,c)。第二部分参数在lny 等于9 1757(即人均GDP 为9660元)附近开始 平滑转换 ,其转换幅度和速度可用r=1 351来体现。本文使用图5绘制了各解释变量系数随lny 变化的情况。从各变量的系数变化看,城市化水平、就业人员比例和人力资本对房价的促进作用随着经济增长水平的提高逐渐从小于0上升到大于0。从城市化的系数看,当lny 逐渐靠近最大值时,系数逐渐上升到接近0 75的位置。财政分权的系数则随着经济增长水平的提高而逐渐降低,但其始终大于0。这说明经济发达省份的财政分权对房价的影响已经十分微弱,而城市化水平、就业人员比例和人力资本在发达
省份对房价的促进作用较落后省份更为明显。
图5 PSTR 模型中解释变量的系数变化情况
综上分析,城市化对房价具有显著的促进作用,同时具有空间溢出效应和门限效应,而门限效应是随着经济增长水平和人力资本水平的提高而出现的。也就是说,城市化对房价的促进作用存在显著的非线性特征。另外,当仅考虑线性关系时,经济增长水平对房价的影响最大,但当考虑非线性关系时,财政分权的影响却最大。这说明不考虑空间溢出效应和门限效应时,经济增长水平对房价的促进作用被明显高估,而财政分权对房价的影响却被低估。在四种模型中,城市化以及其他解释变量对房价的影响均十分显著,并且系数在不同模型中的数值大小也比较接近(除PST R 模型的系数逐渐变化而难以直接辨识外),故可以认为本文的计量分析具有稳健性。
142 财经研究2011年第4期
骆永民:城市化对房价的影响:线性还是非线性?
五、结 论
现有研究在讨论城市化对房价的影响时一般仅考虑了简单的线性关系,而忽略了可能存在的非线性关系。通过对中国各地区历年城市化和房价的核密度估计和地理分布分析,本文发现城市化和房价存在明显的正相关性,并且各省份的城市化和房价水平存在 双峰 分布特征和空间相关性。这说明分析城市化对房价的影响时应考虑可能存在的空间溢出效应和门限效应这两种非线性关系。基于此,基于中国30个省份1998-2009年的面板数据,本文采用空间面板回归模型估算可能存在的空间溢出效应,使用门限面板回归模型(PTR)和平滑门限面板回归模型(PSTR)估计可能存在的门限效应。为验证上述三种模型是否具有优越性,本文还使用普通面板回归模型进行分析以便于对照。
估计结果表明,城市化对房价的影响具有显著的空间溢出效应和门限效应,即表现出明显的非线性特征。空间面板回归模型的估计结果证实,本地区城市化水平提高1%,本地区和相邻地区房价会上涨0 339%和0 043%。这表明对那些邻省较多且邻省城市化水平较高的省份而言,控制房价快速上涨的难度较大,可考虑更严格的利率、限购和房产税政策。门限面板回归模型和平滑门限面板回归模型证实,在经济增长水平较高、人力资本集聚的地区,城市化会对房价产生更强的影响,在经济发展水平最高的地区,城市化水平提升1%,房价会上涨0 75%。基于这种门限效应,在经济发展水平较高和人力资本集聚的地区,控制城市人口可以有效控制房价的快速上涨。于是,如果将控制房价作为政府工作的重要目标,那么加快城市化进程的工作则需要重点在经济发展水平不高、人力资本不够集聚的地区开展。
主要参考文献:
[1]陈石清,朱玉林.中国城市化水平与房地产价格的实证分析[J].经济问题,2008,(1):47-49.
[2]杜雪君,黄忠华,吴次芳.房地产价格、地方公共支出与房地产税负关系研究 理论
分析与基于中国数据的实证检验[J].数量经济技术经济研究,2009,(1):109-119. [3]黄忠华,吴次芳,杜雪君.中国房价、利率与宏观经济互动实证研究[J].中国土地科学,
2008,(7):38-44.
[4]金成晓,马丽娟.征收物业税对住房价格影响的动态计量分析[J].经济科学,2008,(6):
100-112.
[5]况伟大.利率对房价的影响[J].世界经济,2010,(4):134-145.
[6]况伟大.住房特性、物业税与房价[J].经济研究,2009,(4):151-160.
[7]梁若冰.财政分权下的晋升激励、部门利益与土地违法[J].经济学(季刊),2009,(1):
283-306.
[8]骆永民.财政分权对地方政府效率影响的空间面板数据分析[J].商业经济与管理,
2008,(10):75-80.
[9]任木荣,刘波.房价与城市化的关系 基于省际面板数据的实证分析[J].南方经济,
143
财经研究2011年第4期
2009,(2):41-49.
[10]温海珍,吕雪梦,张凌.房价与地价的内生性及其互动影响 基于联立方程模型的
实证分析[J].财贸经济,2010,(2):124-129.
[11]Chen N K,Chen S S,Cho u Y H.H ouse prices,collat eral constraint,and the asy mmetric
effect on co nsumption[J].Journal o f H ousing Economics,2010,19(1):26-37.
[12]D ekkers J E C,V an der Str aaten J W.M onetar y v aluatio n of a ircr aft noise:A hedo nic
analy sis around Amster dam air po rt[J].Ecolo g ical Economics,2009,68(11):2850-2858.
[13]H o lly S,P esar an M H,Yamag ata T.T he spatial and tempor al diffusion o f house pr ices
in the U K[J].Jo ur na l of U rban Economics,2011,69(1):2-23.
[14]H olly S,P esar an M H,Y amagata T A.Spat io tempo ral mo del o f house pr ices in the
U SA[J].Jo urnal o f Eco no met rics,2010,158(1):160-173.
The Effect of Urbanization on House Prices:
Linear or Nonlinear?
Empirical Study Based on Four Panel
Data Regression M odels
LU O Y ong min
(School o f Eco nomics,A nhui Univers ity of T echnology,M aanshan243032,China)
Abstract:This paper analyzes the effect of ur banization on house prices fro m the linear and nonlinear angles.Based on kernel density estimation and spatial distribution analysis o f urbanization and house prices,it finds that urbanization significantly and positiv ely corr elates w ith house prices and pro v incial ur banization and ho use prices are featured by distinct bimo dal distr i bution and spatial autocor relation,w hich illustrates the consideration of tw o possible nonlinear relatio nship,namely thr esho ld effect and spatial spillov er effect,w hen analyzing the impact o f urbanization on house pr ices.Thus, based on the panel data of30pr ovinces fro m1998to2009and four m odels, namely ordinary panel regr ession,spatial panel reg ression,panel threshold regression and panel sm ooth threshold regression,this paper finds that the urbanization level has sig nificant positive im pact o n ho use prices in local and adjacent regions,and the impact w ill be m ore sig nificant in regions w ith hig her lev el of eco no mic grow th and the concentration of human capital.
Key words:urbanizatio n;house price;linear ity;nonlinear ity;panel data regression mo del(责任编辑 许 柏)
144
SPSS—非线性回归(模型表达式)案例解析 2011-11-16 10:56 由简单到复杂，人生有下坡就必有上坡，有低潮就必有高潮的迭起，随着SPSS 的深入学习，已经逐渐开始走向复杂，今天跟大家交流一下，SPSS非线性回归，希望大家能够指点一二！ 非线性回归过程是用来建立因变量与一组自变量之间的非线性关系，它不像线性模型那样有众多的假设条件，可以在自变量和因变量之间建立任何形式的模型非线性，能够通过变量转换成为线性模型——称之为本质线性模型，转换后的模型，用线性回归的方式处理转换后的模型，有的非线性模型并不能够通过变量转换为线性模型，我们称之为：本质非线性模型 还是以“销售量”和“广告费用”这个样本为例，进行研究，前面已经研究得出：“二次曲线模型”比“线性模型”能够更好的拟合“销售量随着广告费用的增加而呈现的趋势变化”，那么“二次曲线”会不会是最佳模型呢？ 答案是否定的，因为“非线性模型”能够更好的拟合“销售量随着广告费用的增加而呈现的变化趋势” 下面我们开始研究： 第一步：非线性模型那么多，我们应该选择“哪一个模型呢？” 1：绘制图形，根据图形的变化趋势结合自己的经验判断，选择合适的模型 点击“图形”—图表构建程序—进入如下所示界面：
点击确定按钮，得到如下结果：
放眼望去, 图形的变化趋势，其实是一条曲线，这条曲线更倾向于"S" 型曲线，我们来验证一下，看“二次曲线”和“S曲线”相比，两者哪一个的拟合度更高！ 点击“分析—回归—曲线估计——进入如下界面
在“模型”选项中，勾选”二次项“和”S" 两个模型，点击确定，得到如下结果： 通过“二次”和“S “ 两个模型的对比，可以看出S 模型的拟合度明显高于
第十讲经典面板数据模型 一、面板数据（panel data） 一维数据: 时间序列数据(cross section data)：变量在时间维度上的数据截面数据(time series data)：变量在截面空间维度上的数据)。 二维数据: 面板数据(同时在时间和截面空间上取得的，也称时间序列截面数据（time series and cross section data）或混合数据（pool data）。 面板数据=截面数据+时间序列数据。
面板数据用双下标变量表示。例如 y i t, i = 1, 2, …, N; t = 1, 2, …, T N表示面板数据中含有N个个体。T表示时间序列的最大长度。若固定t不变，y i ., ( i = 1, 2, …, N)是随机变量在横截面上的N个数据；若固定i不变，y. t, (t = 1, 2, …, T)是纵剖面上的一个时间序列（个体）。 平衡面板数据（balanced panel data）。 非平衡面板数据（unbalanced panel data）。 例1998-2002年中国东北、华北、华东15个省级地区的居民家庭人均消费（不变价格）和人均收入数据见表1。人均消费和收入两个面板数据都是平衡面板数据，各有15个个体。
表1.中国部分省级地区的居民数据（不变价格，元）
二、面板数据模型及其作用 1.经典面板数据模型 建立在古典假定基础上的线性面板数据模型. 2.非经典面板数据模型 (1)非平稳时间序列问题的面板数据模型(面板数据协整模型) (2)非线性面板数据模型(如面板数据logit模型, 面板数据计数模型模型) (3)其他模型(如面板数据分位数回归模型) 3.面板数据模型作用 （1）描述个体行为差异。
常见非线性回归模型 1.简非线性模型简介 非线性回归模型在经济学研究中有着广泛的应用。有一些非线性回归模型可以通 过直接代换或间接代换转化为线性回归模型,但也有一些非线性回归模型却无 法通过代换转化为线性回归模型。 柯布—道格拉斯生产函数模型 y AKL 其中L和K分别是劳力投入和资金投入, y是产出。由于误差项是可加的, 从而也不能通过代换转化为线性回归模型。 对于联立方程模型,只要其中有一个方程是不能通过代换转化为线性,那么这个联立方程模型就是非线性的。 单方程非线性回归模型的一般形式为 y f(x1,x2, ,xk; 1, 2, , p) 2.可化为线性回归的曲线回归 在实际问题当中，有许多回归模型的被解释变量y与解释变量x之间的关系都不是线性的，其中一些回归模型通过对自变量或因变量的函数变换可以转化为
线性关系，利用线性回归求解未知参数，并作回归诊断。如下列模型。 （1）y 0 1e x （2）y 0 1x2x2p x p （3）y ae bx (4)y=alnx+b 对于（1）式，只需令x e x即可化为y对x是线性的形式y01x，需要指出的是，新引进的自变量只能依赖于原始变量，而不能与未知参数有关。 对于（2）式，可以令x1=x,x2=x2,?,x p=x p,于是得到y关于x1,x2,?, x p 的线性表达式y 0 1x12x2 pxp 对与（3）式，对等式两边同时去自然数对数，得lnylnabx ,令 y lny, 0 lna, 1 b，于是得到y关于x的一元线性回归模型： y 0 1x。 乘性误差项模型和加性误差项模型所得的结果有一定差异，其中乘性误差项模型认为yt本身是异方差的，而lnyt是等方差的。加性误差项模型认为yt是等 方差的。从统计性质看两者的差异，前者淡化了y t值大的项（近期数据）的作用， 强化了y t值小的项（早期数据）的作用，对早起数据拟合得效果较好，而后者则 对近期数据拟合得效果较好。 影响模型拟合效果的统计性质主要是异方差、自相关和共线性这三个方面。 异方差可以同构选择乘性误差项模型和加性误差项模型解决，必要时还可以使用 加权最小二乘。
第四节 非线形回归模型 一、 可线性化模型 在非线性回归模型中，有一些模型经过适当的变量变换或函数变换就可以转化成线性回归模型，从而将非线性回归模型的参数估计问题转化成线性回归模型的参数估计，称这类模型为可线性化模型。在计量经济分析中经常使用的可线性化模型有对数线性模型、半对数线性模型、倒数线性模型、多项式线性模型、成长曲线模型等。 1．倒数模型 我们把形如: u x b b y ++=110；u x b b y ++=1110 （3.4.1） 的模型称为倒数(又称为双曲线函数)模型。 设：x x 1*=，y y 1*=，即进行变量的倒数变换，就可以将其转化成线性回归模型。 倒数变换模型有一个明显的特征：随着x 的无限扩大，y 将趋于极限值0b (或0/1b )，即有一个渐进下限或上限。有些经济现象(如平均固定成本曲线、商品的成长曲线、恩格尔曲线、菲利普斯曲线等)恰好有类似的变动规律，因此可以由倒数变换模型进行描述。 2．对数模型 模型形式： u x b b y ++=ln ln 10 （3.4.2） (该模型是将u b e Ax y 1=两边取对数，做恒等变换的另一种形式，其中A b ln 0=)。 上式lny 对参数0b 和1b 是线性的，而且变量的对数形式也是线性的。因此，我们将以上模型称为双对数(double-log)模型或称为对数一线性(log-liner)模型。 令：x x y y ln ,ln **==代入模型将其转化为线性回归模型： u x b b y ++=*10* （3.4.3） 变换后的模型不仅参数是线性的，而且通过变换后的变量间也是线性的。 模型特点：斜率1b 度量了y 关于x 的弹性：
第37卷第4期 财经研究 V o l 37N o 4 2011年4月Journal of Finance and Eco no mics A pr 2011 城市化对房价的影响:线性还是非线性? 基于四种面板数据回归模型的实证分析 骆永民 (安徽工业大学经济学院,安徽马鞍山243032) 摘 要:文章从线性和非线性两个角度分析了中国城市化进程对房价的影响。通过对各省历年房价和城市化的核密度估计空间分布分析,发现城市化和房价之间存在明显的正相关性,并且各省份的城市化和房价水平存在 双峰 分布特征和空间相关性。这说明在分析城市化对房价的影响时应考虑可能的门限效应和空间溢出效应这两种非线性关系。据此,文章基于中国30个省份1998-2009年的面板数据,使用普通面板回归、空间面板回归、门限面板回归和平滑门限面板回归这四种模型进行分析发现,城市化水平对本地区和相邻地区的房价均具有显著的促进作用,且在经济增长水平较高、人力资本集聚的地区,城市化对房价的促进作用更加显著。 关键词:城市化;房价;线性;非线性;面板数据回归模型 中图分类号:F293 3 文献标识码:A 文章编号:1001 9952(2011)04 0135 10 收稿日期:2010 12 08 基金项目:教育部人文社会科学研究青年基金项目(10YJ C790186) 作者简介:骆永民(1981-),男,安徽蚌埠人,安徽工业大学经济学院副教授。 一、引 言 2011年新年伊始,政府相继出台了一系列抑制房价快速上涨的政策。其中影响较大的有以下几条:(1)二套房贷款首付比例不得低于60%,同时贷款利率不得低于基准利率的1 1倍;(2)上海和重庆从1月28日起开征个人住房房产税,与此同时财政部、国税总局、住建部相关负责人表示,条件成熟时将在全国范围内对个人拥有的住房征收房产税;(3)各直辖市、计划单列市、省会城市和房价过高、上涨过快的城市,在一定时期内要从严制定和执行住房限购措施;(4)各地要增加土地有效供应,落实保障性住房、棚户区改造住房和中小套型普通商品住房用地不低于住房建设用地供应总量70%的要求。总结上述政策,政府旨在通过提高利率、开征住房房产税、限购以及增加土地和保障性住房供应等政策抑制房价的快速上涨。从相关实证研究看,提高利率(黄忠华等,2008;况伟大,2010)、增加土地和保障房供应(况伟大,2005;温海珍等, 135
非线性回归分析 回归分析中，当研究的因果关系只涉及因变量和一个自变量时，叫做一元回归分析；当研究的因果关系涉及因变量和两个或两个以上自变量时，叫做多元回归分析。此外，回归分析中，又依据描述自变量与因变量之间因果关系的函数表达式是线性的还是非线性的，分为线性回归分析和非线性回归分析。通常线性回归分析法是最基本的分析方法，遇到非线性回归问题可以借助数学手段化为线性回归问题处理 两个现象变量之间的相关关系并非线性关系，而呈现某种非线性的曲线关系，如：双曲线、二次曲线、三次曲线、幂函数曲线、指数函数曲线(Gompertz)、S型曲线(Logistic) 对数曲线、指数曲线等，以这些变量之间的曲线相关关系，拟合相应的回归曲线，建立非线性回归方程，进行回归分析称为非线性回归分析 常见非线性规划曲线 1.双曲线1b a y x =+ 2.二次曲线 3.三次曲线 4.幂函数曲线 5.指数函数曲线(Gompertz) 6.倒指数曲线y=a / e b x其中a>0， 7.S型曲线(Logistic) 1 e x y a b-= + 8.对数曲线y=a+b log x,x>0 9.指数曲线y=a e bx其中参数a>0 1．回归： （1）确定回归系数的命令 [beta，r，J]=nlinfit（x,y,’model’,beta0） （2）非线性回归命令：nlintool（x，y，’model’, beta0，alpha） 2．预测和预测误差估计： [Y，DELTA]=nlpredci（’model’, x，beta，r，J） 求nlinfit 或lintool所得的回归函数在x处的预测值Y及预测值的显著性水平为1-alpha的置信区间Y，DELTA. 例2 观测物体降落的距离s与时间t的关系，得到数据如下表，求s 2 解： 1. 对将要拟合的非线性模型y=a/ e b x，建立M文件volum.m如下：
第二讲 面板数据线性回归模型估计、检验和应用 第一节 单因素误差面板数据线性回归模型 对于面板数据y i 和X i ，称 it it it y αε′=++X βit i it u εξ=+ 1,,; 1,,i N t T =="" 为单因素误差面板数据线性回归模型，其中，i ξ表示不可观测的个体特殊效应，it u 表示剩余的随机扰动。 案例：Grunfeld(1958)建立了下面的投资方程： 12it it it it I F C αββε=+++ 这里，I it 表示对第i 个企业在t 年的实际总投资，F it 表示企业的实际价值（即公开出售的股份），C it 表示资本存量的实际价值。案例中的数据是来源于10个大型的美国制造业公司1935-1954共20年的面板数据。 在EViews6中设定面板数据（GRUNFELD.wf1） Eviews6 中建立面板数据 EViews 中建立单因素固定效应模型
1.1 混合回归模型 1 面板数据混合回归模型 假设1 ε ~ N (0, σ2I NT ) 对于面板数据y i 和X i ，无约束的线性回归模型是 y i = Z i δi + εi i =1, 2, … , N (4.1) 其中' i y = ( y i 1, … , y iT )，Z i = [ ιT , X i ]并且X i 是T×K 的，' i δ是1×(K +1)的，εi 是T×1的。 注意：各个体的回归系数δi 是不同的。 如果面板数据可混合，则得到有约束模型 y = Z δ + ε (4.2) 其中Z ′ = (' 1Z ,' 2Z , … ,'N Z )，u ′ = ('1ε,'2ε, … ,' N ε)。 2 混合回归模型的估计 当满足可混合回归假设时， ()1''?Z Z Z Y ?=δ 在假设1下，对于Grunfeld 数据，基于EViews6建立的混合回归模型 3 面板数据的可混合性检验 假设检验原理：基于OLS/ML 估计，对约束条件的检验。 （1） 面板数据可混合的检验 推断面板数据可混合的零假设是： 1 H ：对于所有的i 都有δi = δ. 检验约束条件的统计量是Chow 检验的F 统计量
1.3非线性回归问题, 知识目标：通过典型案例的探究，进一步学习非线性回归模型的回归分析。 能力目标：会将非线性回归模型通过降次和换元的方法转化成线性化回归模型。 情感目标：体会数学知识变化无穷的魅力。 教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用. 教学重点：通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型，了解在解决实际问题的 过程中寻找更好的模型的方法. 教学难点：了解常用函数的图象特点，选择不同的模型建模，并通过比较相关指数对不同的模型进行比较. 教学方式：合作探究 教学过程： 一、复习准备： 对于非线性回归问题,并且没有给出经验公式,这时我们可以画出已知数据的散点图,把它与必修模块《数学1》中学过的各种函数（幂函数、指数函数、对数函数等）的图象作比较,挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数,然后采用适当的变量代换,把问题转化为线性回归问题,使其得到解决. 二、讲授新课： 1. 探究非线性回归方程的确定： 1. 给出例1：一只红铃虫的产卵数y 和温度x 有关，现收集了7组观测数据列于下表中，试建立y 与x 之间的/y 个 2. 讨论：观察右图中的散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，即两个变量不呈线性相关关系，所以不能直接用线性回归方程来建立两个变量之间的关系. ① 如果散点图中的点分布在一个直线状带形区域，可以选线性回归模型来建模；如果散点图中的点分布在一个曲线状带形区域，就需选择非线性回归模型来建模. ② 根据已有的函数知识，可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线y =2C 1e x C 的周围（其中12,c c 是待定的参数），故可用指数函数模型来拟合这两个变量. ③ 在上式两边取对数，得21ln ln y c x c =+，再令ln z y =，则21ln z c x c =+，可以用线性回归方程来拟合. ④ 利用计算器算得 3.843,0.272a b =-=，z 与x 间的线性回归方程为 0.272 3.843z x =-，因此红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为0.272 3.843x y e -=. ⑤ 利用回归方程探究非线性回归问题，可按“作散点图→建模→确定方程”这三个步骤进行. 其关键在于如何通过适当的变换，将非线性回归问题转化成线性回归问题. 三、合作探究 例 2.：炼钢厂出钢时所用的盛钢水的钢包,在使用过程中,由于钢液及炉渣对包衬耐火材料的侵蚀,使其容积不断增大,请根据表格中的数据找出使用次数 x 与增大的容积y 之间的关系.
第三讲 面板数据线性回归模型估计、检验和应用 单因素误差面板数据线性回归模型 对于面板数据y i 和X i ，称 it it it y u α′=++X βit i it u v μ=+ 1,,;1,,i N t T =="" 为单因素误差面板数据线性回归模型，其中，i μ表示不可观测的个体特殊效应，it v 表示剩余的随机扰动。 案例：Grunfeld(1958)建立了下面的投资方程： 12it it it it I F C u αββ=+++ 这里，I it 表示对第i 个企业在t 年的实际总投资，F it 表示企业的实际价值（即公开出售的股份），C it 表示资本存量的实际价值。案例中的数据是来源于10个大型的美国制造业公司1935-1954共20年的面板数据。 在Stata 中设定面板数据（GRUNFELD.dta ） . xtset FN YR panel variable: FN (strongly balanced) time variable: YR, 1935 to 1954 delta: 1 unit 混合回归模型 假设1 u ~ N (0, σ2I NT ) 对于面板数据y i 和X i ，无约束的线性回归模型是 y i = Z i δi + u i i =1, 2, … , N (4.1) 其中'i y = ( y i 1, … , y iT )，Z i = [ ιT , X i ]并且X i 是T×K 的，'i δ是1×(K +1)的，u i 是T×1的。 注意：各个体的回归系数δi 是不同的。 如果面板数据可混合，则得到有约束模型 y = Z δ + u (4.2) 其中Z ′ = ('1Z ,'2Z , … ,'N Z )，u ′ = ('1u ,'2u , … ,' N u )。 在假设1下，对于Grunfeld 数据，建立的混合回归模型 Stata 命令：. regress I F C
2020年高中数学选修2-3《回归分析的初步应用--探究非线性回归模型》教案精编 版
回归分析的初步应用（教案） ——探究非线性回归模型 佛山市第三中学张云雁 一、教材分析 1. 教材的地位与作用： “回归分析的初步应用”是人民教育出版社A版《数学选修2-3》统计案例一章的内容，是《必修3》“线性回归分析”的延伸。根据高中课程标准，这里准备安排4个课时，本次说课的内容为第3课时。 虽然线性回归分析具有广泛的应用，但是大量实际问题的两个变量不一定都呈线性相关关系，所以有必要探究如何建立非线性回归模型，进行更有效的数据处理。 2. 教学重点、难点： 教学重点：探究用线性回归模型研究非线性回归模型。 教学难点：如何选择不同的模型建模，以及如何将非线性回归模型转化为线性回归模型。 二、学情分析 教学对象是高二的学生，通过前面的学习，具有一定的线性回归分析、相关指数和残差分析的知识，这为探究非线性模型奠定了良好的基础，但由于学生较少接触数学建模的思想，思路不够开阔，为模型间的转化带来了一定的困难。 三、教学目标 知识与技能目标：能根据散点图的特点选择回归模型，通过函数变换，借助线性回归模型研究非线性回归模型。 过程与方法目标：经历非线性回归模型的探索过程，掌握建立非线性模型的基本步骤，体会统计方法的特点。
情感、态度与价值观：以探究问题为中心，感受研究非线性回归模型的必要意义，体验数学的文化内涵，形成学习数学的积极态度。 四、教学方法 1. 教法分析 主要采用“引导发现，合作探究”的教学方法，通过组织学生观察、分析、计算、交流、归纳，让学生在探究学习的过程中经历知识形成的全过程。 利用多媒体辅助教学，优化了教学过程，大大提高了课堂教学效率。 2.学法分析 重点指导学生通过观察思考、类比联想，形成“自主探究、合作交流”的学习形式，培养学生从“学会知识”到“会学知识”。 五、教学过程 （一）知识回顾 首先以07年广东的一道高考题引入新课： 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对照数据： （1）请画出上表数据的散点图； （2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程?y bx a =+； （3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？ 师：回忆并叙述建立线性回归模型的基本步骤？ 生：选取变量、画散点图、选择模型、估计参数、分析与预测。 [设计意图]：为建立非线性回归模型作准备。
实验三多元线性回归模型和非线性回归模型 【实验目的】 掌握建立多元线性回归模型和非线性回归模型，以及比较、筛选模型的方法。【实验内容】 建立我国国有独立核算工业企业生产函数。 根据生产函数理论，生产函数的基本形式为：(,,,) Y f t L Kε =。其中，L、K 分别为生产过程中投入的劳动与资金，时间变量t反映技术进步的影响。表3.1列出了我国1978-1994年期间国有独立核算工业企业的有关统计资料；其中产出Y为工业总产值（可比价），L、K分别为年末职工人数和固定资产净值（可比价）。 表3.1 我国国有独立核算工业企业统计资料 年份时间t 工业总产值 Y（亿元） 职工人数 L（万人） 固定资产 K（亿元） 1978 1 3289.18 3139 2225.70 1979 2 3581.26 3208 2376.34 1980 3 3782.17 3334 2522.81 1981 4 3877.86 3488 2700.90 1982 5 4151.25 3582 2902.19 1983 6 4541.05 3632 3141.76 1984 7 4946.11 3669 3350.95 1985 8 5586.14 3815 3835.79 1986 9 5931.36 3955 4302.25 1987 10 6601.60 4086 4786.05 1988 11 7434.06 4229 5251.90 1989 12 7721.01 4273 5808.71 1990 13 7949.55 4364 6365.79 1991 14 8634.80 4472 7071.35 1992 15 9705.52 4521 7757.25 1993 16 10261.65 4498 8628.77 1994 17 10928.66 4545 9374.34 【实验步骤】 一、建立多元线性回归模型 （一）建立包括时间变量的三元线性回归模型； 在命令窗口依次键入以下命令即可： ⒈建立工作文件：CREATE A 1978 1994
非线性回归问题 两个变量不呈线性关系，不能直接利用线性回归方程建立两个变量的关系，可以通过变换的方法转化为线性回归模型。分析非线性回归问题的具体做法是： （1）若问题中已给出经验公式，这时可以将变量x 进行置换（换元），将变量的非线性关系转化为线性关系，将问题化为线性回归分析问题来解决． （2）若问题中没有给出经验公式，需要我们画出已知数据的散点图，通过与各种已知函数（如指数函数、对数函数、幂函数等）的图象作比较，选择一种与这些散点拟合得最好的函数，然后采用适当的变量置换，将问题化为线性回归分析问题来解决． 下面举例说明非线性回归分析问题的解法． 例1 在彩色显影中，由经验可知：形成染料光学密度y 与析出银的光学密度x 由公式 e b x y A =（b <0）表示，现测得实验数据如下： 试求对的回归方程． 分析：该例是一个非线性回归分析问题，由于题目中已给定了要求的曲线为e b x y A =（b <0）类型，我们只要通过所给的11对样本数据求出A 和b ，即可确定x 与y 的相关关系的曲线方程． 解：由题意可知，对于给定的公式e b x y A =（b <0）两边取自然对数，得ln ln b y A x =+． 与线性回归方程对照可以看出，只要取1 u x = ，ln v y =，ln a A =，就有v a bu =+，这是v 对u 的线性回归直线方程，对此我们再套用相关性检验，求回归系数b 和a ． 题目中所给数据由变量置换1 u = ，ln v y =变为如表所示的数据： 由于｜r ｜=0.998>0.602，可知u 与v 具有很强的线性相关关系． 再求得0.146b =-$，$0.548a =， ∴v =$0.5480.146u -，把u 和v 置换回来可得$0.146 ln 0.548y x =-， ∴$ 0.146 0.1460.1460.5480.548 e 1.73x x x y e e e - - - ===g ， ∴回归曲线方程为$ 0.146 1.73e x y - =． 点评：解决本题的思路是通过适当的变量置换把非线性回归方程转化为线性回归方程，然后再套用线性回归分析的解题步骤． 例2 为了研究某种细菌随时间x 变化的繁殖个数，收集数据如下：
第4章非线性回归模型的线性化（1）多项式函数模型 （2）双曲线函数模型 （3）对数函数模型 （4）生长曲线(logistic) 模型 （比教材中的模型复杂些） （5）指数函数模型 （6）幂函数模型 （7）不可线性化的非线性回归模型估计方法（不要求掌握）
第4章非线性回归模型的线性化 有时候变量之间的关系是非线性的。虽然其形式是非线性的，但可以通过适当的变换，转化为线性模型，然后利用线性回归模型的估计与检验方法进行处理。称此类模型为可线性化的非线性模型。 以下非线性回归模型是无法用最小二乘法估计参数的。可采用非线性方法进行估计。估计过程非常复杂和困难，计算机的出现大大方便了非线性回归模型的估计。专用软件使这种计算变得非常容易。但本章不是介绍这类模型的估计。 y t = α0 + α11β x+ u t t y t = α0t x e1α+ u t 下面介绍几种典型的可以做线性化处理的非线性模型。
(1)多项式函数模型(1) （第2版教材第111页）（第3版教材第90页） 一种多项式方程的表达形式是 y t = b 0+b 1 x t + b 2 x t 2+ b 3 x t 3+ u t 令x t 1 = x t ，x t 2 = x t 2，x t 3 = x t 3，上式变为 y t = b 0+b 1 x t 1+ b 2 x t 2+ b 3 x t 3+ u t 这是一个三元线性回归模型。如经济学中的 总成本与产品产量曲线与左图相似。 (b 1>0, b 2>0, b 3>0) (b 1<0, b 2>0, b 3<0)
(1)多项式函数模型(1) 例4.1：总成本与产品产量的关系（课本91页） y t= b0+b1 x t+ b2 x t2+ b3 x t3+ u t （第2版教材第112页） （第3版教材第91页）
h 第十讲经典面板数据模型 一、面板数据（panel data） 一维数据: 时间序列数据(cross section data)：变量在时间维度上的数据 截面数据(time series data)：变量在截面空间维度上的数据)。 二维数据: h
h 面板数据(同时在时间和截面空间上取得的，也称时间序列截面数据（time series and cross section data）或混合数据（pool data）。 面板数据=截面数据+时间序列数据。 面板数据用双下标变量表示。例如 y i t, i = 1, 2, …, N; t = 1, 2, …, T N表示面板数据中含有N个个体。T表示时间序列的最大长度。若固定t不变，y i ., ( i = 1, 2, …, N)是随机变量在横截面上的N个数据；若固定i不变，y. t, (t = 1, 2, …, T)是纵剖面 h
h 上的 h
h 一个时间序列（个体）。 平衡面板数据（balanced panel data）。 非平衡面板数据（unbalanced panel data）。 例1998-2002年中国东北、华北、华东15个省级地区的居民家庭人均消费（不变价格）和人均收入数据见表1。人均消费和收入两个面板数据都是平衡面板数据，各有15个个体。 表1.中国部分省级地区的居民数据（不变价格，元） h
h AH（安徽）3777 3990 4204 4495 4784 4770 5179 5257 5641 6093 BJ（北京）6807 7454 8206 8654 10473 8273 9128 10000 11230 12692 FJ（福建）5197 5315 5523 6094 6665 6505 6922 7279 8423 9236 HB（河北）3897 4104 4362 4457 5120 5167 5469 5678 5955 6747 HLJ（黑龙江）3290 3597 3891 4159 4494 4251 4747 4998 5383 6144 JL（吉林）3478 3736 4078 4282 4999 4241 4571 4878 5272 6292 JS（江苏）4919 5077 5318 5489 6091 6054 6624 6793 7317 8244 JX（江西）3234 3532 3613 3914 4545 4209 4788 5088 5534 6329 h
常见非线性回归模型 1、简非线性模型简介 非线性回归模型在经济学研究中有着广泛的应用。有一些非线性回归模型可以通过直接代换或间接代换转化为线性回归模型, 但也有一些非线性回归模型却无法通过代换转化为线性回归模型。 柯布—道格拉斯生产函数模型 εβα+=L AK y 其中 L 与 K 分别就是劳力投入与资金投入, y 就是产出。由于误差项就是可加的, 从而也不能通过代换转化为线性回归模型。 对于联立方程模型, 只要其中有一个方程就是不能通过代换转化为线性, 那么这个联立方程模型就就是非线性的。 单方程非线性回归模型的一般形式为 εβββ+=),,,;,,,(2121p k x x x f y ΛΛ 2、可化为线性回归的曲线回归 在实际问题当中,有许多回归模型的被解释变量y 与解释变量x 之间的关系都不就是线性的,其中一些回归模型通过对自变量或因变量的函数变换可以转化为
线性关系,利用线性回归求解未知参数,并作回归诊断。如下列模型。 (1)εββ++=x e y 10 (2)εββββ+++++=p p x x x y Λ2210 (3)ε+=bx ae y (4)y=alnx+b 对于(1)式,只需令x e x ='即可化为y 对x '就是线性的形式εββ+'+=x y 10,需要指出的就是,新引进的自变量只能依赖于原始变量,而不能与未知参数有关。 对于(2)式,可以令1x =x ,2x =2x ,…, p x =p x ,于就是得到y 关于1x ,2x ,…, p x 的线性表达式εββββ+++++=p p x x x y Λ22110 对与(3)式,对等式两边同时去自然数对数,得ε++=bx a y ln ln ,令 y y ln =',a ln 0=β,b =1β,于就是得到y '关于x 的一元线性回归模型: εββ++='x y 10。 乘性误差项模型与加性误差项模型所得的结果有一定差异,其中乘性误差项模型认为t y 本身就是异方差的,而t y ln 就是等方差的。加性误差项模型认为t y 就是等方差的。从统计性质瞧两者的差异,前者淡化了t y 值大的项(近期数据)的作用,强化了t y 值小的项(早期数据)的作用,对早起数据拟合得效果较好,而后者则对近期数据拟合得效果较好。 影响模型拟合效果的统计性质主要就是异方差、自相关与共线性这三个方面。异方差可以同构选择乘性误差项模型与加性误差项模型解决,必要时还可以使用加权最小二乘。
第二讲建模基本步骤和非线性回归分析 建模基本步骤 用一个例子来讲解建模的基本步骤和软件的基本操作。 例：下表是1950—1987年间美国机动车汽油消费量和影响消费量的变量数值。各变量表示：QMG—机动车汽油消费量，CAR—汽车保有量，PMG—汽油价格，POP—人口数，RGNP—按1982年美元计算的国民生产总值，PGNP—GNP 指数（1982年为100）。以汽油消费量为因变量，其他为自变量，建立回归模型。 年份汽油消费量 （QMG) 汽车保有量 (CAR) 汽油价格 (PMG) 人口数 (POP) 国民生产总值 (RGNP) GNP指数 （PGNP) 1950 40617285 49195212 0.272 152271 1090.4 26.1 1951 43896887 51948796 0.276 154878 1179.2 27.9 1952 46428148 53301329 0.287 157553 1226.1 28.3 1953 49374047 56313281 0.29 160184 1282.1 28.5 1954 51107135 58622547 0.291 163026 1252.1 29 1955 54333255 62688792 0.299 165931 1356.7 29.3 1956 56022406 65153810 0.31 168903 1383.5 30.3 1957 57415622 67124904 0.304 171984 1410.2 31.4 1958 59154330 68296594 0.305 174882 1384.7 32.1 1959 61596548 71354420 0.311 177830 1481 32.6 1960 62811854 73868682 0.308 180671 1517.2 33.2 1961 63978489 75958215 0.306 183691 1547.9 33.6 1962 62531373 79173329 0.304 186538 1647.9 34 1963 64779104 82713717 0.304 189242 1711.6 34.5 1964 67663848 86301207 0.312 191889 1806.9 35 1965 70337126 90360721 0.321 194303 1918.5 35.7 1966 73638812 93962030 0.332 196560 2048.9 36.6 1967 76139326 96930949 0.337 198712 2100.3 37.8 1968 80772657 101039113 0.348 200706 2195.4 39.4 1969 85416084 103562018 0.357 202677 2260.7 41.2 1970 88684050 106807629 0.364 205052 2250.7 43.4 1971 92194620 111297459 0.361 207661 2332 45.6 1972 95348904 117051638 0.388 209896 2465.5 47.5 1973 99804600 123811741 0.524 211909 2602.8 50.2 1974 100212210 127951254 0.572 213854 2564.2 55.1 1975 102327750 130918918 0.595 215973 2530.9 60.4 1976 106972740 136333934 0.631 218035 2680.5 63.5 1977 110023410 141523197 0.657 220239 2822.4 67.3 1978 113625960 146484336 0.678 222585 3115.2 72.2 1979 107831220 149422205 0.857 225055 3192.4 78.6 1980 100856070 153357876 1.191 227757 3187.8 85.7
徐索菲
?基本原理介绍 ?面板数据的定义 ?面板数据模型分类 ?面板数据模型设定检验?面板数据的单位根检验?面板数据的协整检验 ?面板数据建模案例分析?Eviews操作演示
会用Eviews做一般的面板数据分析!
面板数据的定义 ? “面板数据”一词指的是一部分家庭、国家或企业等在一段时期内的观测值所构成的集合。这样的数据可以通过在一段时期内对一些家庭或个体进行跟踪调查来获得。 ?面板数据也称作时间序列与截面混合数据。 ? 面板数据用双下标变量表示。例如：Y i t 、X i t ? 面板数据可以分为微观面板和宏观面板两大类： ?微观面板：个体数N 较大，时期数T 较小?宏观面板：有适度规模的N ，时期数T 较大 1,2, ,;i N =1,2,,t T =
表1 1996-2002年中国东北、华北、华东15个省级地区的居民家庭人均消费数据（不变价格） 地区人均消费1996199719981999200020012002 CP-AH（安徽）3282.4663646.1503777.4103989.5814203.5554495.1744784.364 CP-BJ（北京）5133.9786203.0486807.4517453.7578206.2718654.43310473.12 CP-FJ（福建）4011.7754853.4415197.0415314.5215522.7626094.3366665.005 CP-HB（河北）3197.3393868.3193896.7784104.2814361.5554457.4635120.485 CP-HLJ（黑龙江）2904.6873077.9893289.9903596.8393890.5804159.0874493.535 CP-JL（吉林）2833.3213286.4323477.5603736.4084077.9614281.5604998.874 CP-JS（江苏）3712.2604457.7884918.9445076.9105317.8625488.8296091.331 CP-JX（江西）2714.1243136.8733234.4653531.7753612.7223914.0804544.775 CP-LN（辽宁）3237.2753608.0603918.1674046.5824360.4204654.4205402.063 CP-NMG（内蒙古）2572.3422901.7223127.6333475.9423877.3454170.5964850.180 CP-SD（山东）3440.6843930.5744168.9744546.8785011.9765159.5385635.770 CP-SH（上海）6193.3336634.1836866.4108125.8038651.8939336.10010411.94 CP-SX（山西）2813.3363131.6293314.0973507.0083793.9084131.2734787.561 CP-TJ（天津）4293.2205047.6725498.5035916.6136145.6226904.3687220.843 CP-ZJ（浙江）5342.2346002.0826236.6406600.7496950.7137968.3278792.210
非线性回归问题, 知识目标：通过典型案例的探究，进一步学习非线性回归模型的回归分析。 能力目标：会将非线性回归模型通过降次和换元的方法转化成线性化回归模型。 情感目标：体会数学知识变化无穷的魅力。 教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用. 教学重点：通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型，了解在解决实际问题的 过程中寻找更好的模型的方法. 教学难点：了解常用函数的图象特点，选择不同的模型建模，并通过比较相关指数对不同的模型进行比较. 教学方式：合作探究 教学过程： 一、复习准备： 对于非线性回归问题,并且没有给出经验公式,这时我们可以画出已知数据的散点图,把它与必修模块《数学1》中学过的各种函数（幂函数、指数函数、对数函数等）的图象作比较,挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数,然后采用适当的变量代换,把问题转化为线性回归问题,使其得到解决. 二、讲授新课： 1. 探究非线性回归方程的确定： 1. 给出例1：一只红铃虫的产卵数y 和温度x 有关，现收集了7组观测数据列于下表中，试建立y 与x 之间 2. 讨论：观察右图中的散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，即两个变量不呈线性相关关系，所以不能直接用线性回归方程来建立两个变量之间的关系. ① 如果散点图中的点分布在一个直线状带形区域，可以选线性回归模型来建模；如果散点图中的点分布在一个曲线状带形区域，就需选择非线性回归模型来建模. ② 根据已有的函数知识，可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线y =2C 1e x C 的周围（其中12,c c 是待定的参数），故可用指数函数模型来拟合这两个变量. ③ 在上式两边取对数，得21ln ln y c x c =+ ，再令ln z y =，则21ln z c x c =+， 可以用线性回归方程来拟合. ④ 利用计算器算得 3.843,0.272a b =-=，z 与x 间的线性回归方程为0.272 3.843z x =-$，因此红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为$0.272 3.843x y e -=. ⑤ 利用回归方程探究非线性回归问题，可按“作散点图→建模→确定方程”这三个步骤进行. 其关键在于如何通过适当的变换，将非线性回归问题转化成线性回归问题. 三、合作探究 例 2.：炼钢厂出钢时所用的盛钢水的钢包,在使用过程中,由于钢液及炉渣对包衬耐火材料的侵蚀,使其容积不断增大,请根据表格中的数据找出使用次数x 与增大的容积y 之间的关系.