高一数学《用二分法求方程的近似解》教学设计
设计: 章瑞禄福建省福安市第八中学
点评: 苏文新安溪一中
一、概述
本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学1必修本（A版）》的第三章3.1.2用二分法求方程的近似解．本节课要求学生根据具体的函数图象能够借助计算机或信息技术工具计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系；它既是本册书中的重点内容，又是对函数知识的拓展，既体现了函数在解方程中的重要应用，同时又为高中数学中函数与方程思想、数形结合思想、二分法的算法思想打下了基础，因此决定了它的重要地位．
点评：点明教学内容来自的版本、模块与章节，较全面地阐述本节内容与前后知识的联系及地位。
二、教学目标分析
1.知识与技能：
理解二分法的概念，了解二分法是求方程近似解的常用方法，掌握运用二分法求简单方程近似解的方法。
2.过程与方法：
通过价格竞猜与线路维修体会二分法的思想；
通过学生的自主探究，借助计算器用二分法求方程的近似解，体现逼近思想，为学习算法做准备；
体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法。
3.情感、态度与价值观
在具体的问题情境中感受无限逼近的过程，感受精确与近似的相对统一
点评：教学目标确定准确、明确、可操作性强。如通过价格竞猜与线路维修体会二分法的思想等。
三、学习者特征分析
本节课的学习者特征分析主要是根据教师平时对学生的了解而做出的：
学生是福建省福安市第八中学高一年级学生.福安八中是一所农村普通完中，学生学习基础较弱.
学生在学习本节课内容之前已学习了函数的零点，理解方程的根与函数零点之间的关系，有一定的数形结合思想能力，但是对于求函数零点所在区间，只是比较熟悉求二次函数的零点，对于高次方程和超越方程对应函数零点的寻求会有困难。在教学过程中，为学生创设熟悉的问题情境，体会二分法的思想，。多处启发学生，让学生概括二分法思想和归纳二分法的步骤。
点评：章老师对学习者特征分析切合实际，学生是普通完中的学生，基础较弱，指出了以具备的知识与能力及存在的困
难。
四、教学策略选择与设计
先行组织者策略：通过商品价格竞猜和线路检查体会二分法的思想与方法。
启发式方法：通过分步提问，启发得出用二分法求方程近似解的步骤，体会逼近思想和算法思想，分散难点。
讨论式：学生自主探究用二分法求方程的近似解；通过讨论交流总结用二分法求方程近似解的步骤。
点评：章老师运用先行者策略，通过情境设置激发学生学习兴趣，调动学生的学习积极性，学生从中体会了二分法思想。
再通过启发式教学，分步提问细化了难点，考虑了学生的实际水平。
五、教学资源与工具设计
（1）教师自制的多媒体课件和手机一款
（2）上课环境是多媒体教室环境
（3）学生手中的高中数学必修1教材和计算器
六、教学过程
一．创设情景，引入新课
师：（手拿一款手机）中央电视台第二频道幸运52大家有看吧！我来当一回李永，如果让你来猜这件商品的价格，你如何猜？生1：先初步估算一个价格，如果高了再每隔十元降低报价。
生2：这样太慢了，先初步估算一个价格，如果高了每隔100元降低报价。如果低了，每50元上涨；如果再高了，每隔20元降低报价；如果低了，每隔10元上升报价……
生3：先初步估算一个价格，如果高了，再报一个价格；如果低了，就报两个价格和的一半；如果高了，再把报的低价与一半价相加再求其半，报出价格；如果低了，就把刚刚报出的价格与前面的价格结合起来取其和的半价……
师：2008年10月4日下午5时，台风“海高斯”在广东吴川市的大山江镇登陆，次日该市某山区发现从水库闸房到防台指挥部的用电线路某一处发生了故障，这是一条10km长的线路，每隔50m有一根电线杆，维修工人需爬上电线杆测试，问如何快速找到被毁坏的电线杆？
生：（齐答）按照生3那样来检测。
二、讲解新课
师：那我们能否采用这种逐步逼近的方法来解一些数学问题呢？
（多媒体）能否求函数f（x）＝lnx+2x-6的零点？
①师生共同探讨交流，引出借助函数f(x)= lnx+2x-6的图象，能够缩小零点所在区间，并根据f(2)<0,f(3)>0,可得出零点所在区间(2,3)；
②引发学生思考，如何进一步有效缩小零点所在的区间；
③共同探讨各种方法，引导学生探寻出通过不断对分区间，有助于问题的解决；
④引发学生思考在有效缩小零点所在区间时，到什么时候才能达到所要求的精确度。
学生简述上述求函数零点近似值的过程。
（通过自己的语言表达，有助于学生对概念的理解）
（思考，解决。问题激励，语言激励）
（生推导，师欣赏，鼓励学生，生口答，得出）
第一步：取区间(2，3)的中点2.5，用计算器算得f(2.5)≈－0.084.因为f(2.5)·f(3)＜0，所以零点在区间(2.5，3)
内.
第二步：取区间(2.5，3)的中点2.75，用计算器算得f (2.75)≈0.512. 因为
f(2.5)·f (2.75)＜0，所以零点在区间(2.5，2.75)内.
结论:由于(2，3) (2.5，3) (2.5，2.75)，所以零点所在的范围确实越来越小了.如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小(见下表和图)
因为|2.5390625-2.53125|< 0.01在区间（2.53125,2.5390625）内任何点的值与精确值的误差都不超过0.01，所以区间内任何值以及区间端点的值都可表示此函数零点的近似解，所以此函数零点的近似解为x=2.53125
揭示二分法的定义。
上述求函数零点近似值的方法叫做二分法，那么二分法的基本思想是什么？
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法
二分法求方程近似解的步骤探索
（1）求函数f(x)的零点近似值第一步应做什么？（确定区间[a,b]，使f(a)f(b)<0）
（2）为了缩小零点所在区间的范围，接下来应做什么？（求区间的中点c，并计算f(c)的值）
（3）若f(c)=0说明什么？若f(a)·f(c)<0或f(c)·f(b)<0 ，则分别说明什么？
（若f(c)=0 ，则c就是函数的零点；若f(a)·f(c)<0 ，则零点x0∈(a,c)；若f(c)·f(b)<0 ，则零点x0∈(c,b).）
用二分法求函数零点近似值的基本步骤：
确定区间[a,b]，使f(a)·f(b)<0 ，给定精度ε；
2. 求区间(a,b)的中点c
3. 计算f(c)：
（1）若f(c)=0，则c就是函数的零点；
（2）若f(a)·f(c)<0 ，则令b=c，此时零点x0∈(a,c)；
（3）若f(c)·f(b)<0 ，则令a=c，此时零点x0∈(c,b).
4. 判断是否达到精确度ε：若|a-b|<ε，则得到零点近似值a（或b）；
否则重复步骤2～4．
例题剖析
例1：利用计算器，用二分法求方程2x＋3x＝7的近似解（精确度0.1）
分析思考:原方程的近似解和哪个函数的零点是等价的?
解:原方程即2x＋3x＝7 ,令f（x）＝2x＋3x －7,用计算器作出函数的对应值表与图象（如下):
观察上图和表格,可知f(1)·f(2)<0,说明在区间(1,2)内有零点x0.取区间(1,2)的中点x1=1.5,用计算器可得f(1.5)≈0.33.因为
f(1)·f(1.5)<0,所以x0∈(1,1.5),再取(1,1.5)的中点x2=1.25,用计算器求得
f(1.25)≈-0.87,因此f(1.25)·f(1.5)<0,所以x0∈(1.25,1.5),同理可得x0∈(1.375,1.5),
x0∈(1.375,1.4375),
由|1.375-1.4375|=0.0625<0.1, 所以原方程精确度为0.1的近似解为1.4375.
（多媒体）练习：
1.下列函数图像与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是( )
2.函数f(x)=x3-2x2+3x-6在区间[-2,4]上的零点必定在( )内，其中f(1.75)<0
(A) [-2,1] (B) [2.5,4]
(C) [1,1.75] (D) [1.75,2.5]
3.P91，练习2
点评：本环节是对本课进行评价，很好考查学生的学习情况，并将学生学习的评价融入到各个教学活动过程中。
三、课堂小结
师：通过本节课的学习，你学习了哪些知识与方法？你有哪些收获？
（生总结，并可以互相交流讨论，师投影显示本课重点知识）
四、布置作业
第92页习题3.1A组3、4、5
教学流程图如下：
A B C
点评：通过创设情境，激发学生学习兴趣，调动学生的学习积极性，学生从中体会了二分法思想，使学生在兴趣盎然中突破了难点。考虑了学生的实际水平，再通过启发式教学，分步提问细化了难点。通过示例与练习，巩固深化了重点知识，很好完成教学任务。
七、教学评价设计
本节课从以下几个方面进行评价：
1.评价内容：课堂表现评价、学习效果评价（课堂学习效果评价+作业）、小组合作评价
2.评价方式：自评、小组评、教师评相结合；定量评价与定性评价和反思相结合
学生自我评价：是指学生学习过程中对自己的表现给予肯定，也是一种自信心的表露。
小组评价：是指小组间的互相评价，具有促进小组合作的作用。
教师评价：这里是指教师根据学生的综合表现，以及小组完成的作品进行一个全面的评价，提高学生的自信心和积极性。1.课堂表现评价表
学生课堂表现评价量表
2.本评价分为定性评价部分和定量评价部分
3.定量评价部分总分为100分，最后取值为教师评、同学评和自评分数按比例取均值
4.定性评价部分分为“我这样评价自己”、“伙伴眼里的我”和“老师的话”，都是针对被评者作概括性描述和建议，以帮助被评学生的改进与提高。
2.自我评价表：
上完本次课，你有什么感受？收获了哪些？你觉得自己还可以做那些改进？比如在小组合作方面，比如在课堂参与方面，比如在练习方面……？
[教师根据学生反思深度给分]
点评：本环节是对本课进行评价，很好考查学生的学习情况，并将学生学习的评价融入到各个教学活动过程中
6.课后作业
第92页习题3.1A组3、4、5
八、帮助和总结
二分法的思想和用二分法求方程的近似解是本节课的重点也是难点，我用模仿CCTV2幸运52的物价竞猜和线路检查，让学生体会二分法的思想和解决问题的方法，帮助学生突破难点。为了进一步分化用二分法求方程近似解这个难点，我采用分步提问的方法。为了深化和巩固新知，我布置了练习和课后作业。