关于布朗运动的理论
爱因斯坦
1905年12月
在我的论文《热的分子［运动］论所要求的[静］液体中悬浮粒子的运动》发表后不久，（耶那的）西登托普夫（Siedentopf）告诉我：他和别的一些物理学家——首先是（里昂的）古伊（Gouy ）教授先生一一通过直接的观测而得到这样的信念，认为所谓布朗运动是由液体分子的不规则的热运动所引起的。不仅是布朗运动的性质，而且粒子所经历路程的数量级，也都完全符合这个理论的结果。我不想在这里把那些可供我使用的稀少的实验资料去同这个理论的结果进行比较，而把这种比较让给那些丛实验方面掌握这个问题的人去做。
下面的论文是要对我的上述论文中某些论点作些补充。对悬浮粒子是球形的这种最简单的特殊情况，我们在这里不仅要推导出悬浮粒子的平移运动，而且还要推导出它们的旋转运动。我们还要进一步指明，要使那篇论文中所给出的结果保持正确，观测时间最短能短到怎样程度。
要推导这些结果，我们在这里要用一种此较一般的方法，这部分地是为了要说明布朗运动同热的分子［运动］论的基础有怎样的关系，部分地是为了能够通过统一的研究展开平动公式和转动公式。因此，假设α是一个处于温度平衡的物理体系的一个可量度的参数，并且假定这个体系对于α的每一个（可能的）值都是处在所谓随遇平衡中。，
按照把热同别种能量在原则上区别开的古典热力学，α不能自动改变；按照热的分子〔运动］论，却不然。下面我们要研究，按照后一理论所发生的这种改变必须遵循怎么样的定律。然后我们必须把这些定律用于下列特殊情况：——
1、 α是（不受重力的作用的）均匀液体中一个球形悬浮粒子的重心的 X 坐标。
2、α是确定一个球形粒子位置的旋转角，这个粒子是悬浮在液体中的，可绕直径转动。
§1、热力学平衡的一个情况
假设有一物理体系放在绝对温度为 T 的环境里，这个体系同周围环境有热交换，并且处干温度平衡状态中。这个体系因而也具有绝对温度T ，而且依据热的分子［运动］论，它可由状态变数p p n 1完全地确定下来。在所考查的这个特殊情况中，构成这一特殊体系的所有原子的坐标和速度分量可以被选来作为状态变数p p n 1。
对于状态变数p p n 1在偶然选定的一个时刻处于一个 n 重的
无限小区域（p p n d d 1）中的几率，下列方程成立——
（1） p p e n E RT N d d C dw 1-=
次处C 是一个常数，R 是气体方程的普适常数，N 是一个克分子中实际分子的数目，而E 是能量。假设α是这个体系的可以量度的参数，并且假设每一组值p p n 1都对应一个确定的α值，我们要用
αAd 来表示在偶然选定的一个时刻参数α的值处在α和ααd +之间的几率。于是
（2） ?-=ααd n E RT N p p e d d C Ad 1
只要右边的积分是遍及状态数值的一切组合，而这些状态变数的α值是处于α和ααd +之间的。
我们要限于这样的情况，从问题的性质立即可以明白，在这种情况中，α的一切（可能的）值的都具有同一几率（分布）；因此，那里的量A 同α无关。
现在设有第二个物理体系，它所不同于前面所考查的体系的，仅仅在于有一个只是同α有关，而具有势()αΦ的力作用在这体系上。如果E 是刚才所考查的体系的能量，那么现在所考查的这个体系的能量就是Φ+E ，由此我们得到一个类似于方程（1）的关系式：
()p p e n
E RT N d d C dW 1``Φ+-= 由此推导出，对于在一个偶然选定的时刻α的值处于α和ααd +之间的几率dW ,有一个类似于方程（2）的关系式：
（Ⅰ） ()α
αd A Ad C
C d d C dW e e p p e
RT N RT N n E RT N Φ-Φ-Φ+-===?```1 此处A`是同α无关的。
这个关系式是热的分子〔运动〕论所特有的，它同玻耳效曼在他研究气体理论时一再使用的指数定律完全相符。它解释了，当受到恒定的外力作用时，一个体系的参数，由于分子的不规则运动的结果，同那个对应于稳定平衡的值会有多大程度的出入。
§2 应用§1中所推得方程的实例
我们考查这样一个物体，它的重心能够沿着一条直线（一个坐标系的X 轴）运动。假设这个物体是被一种气体包围着，并且达到了热平衡和机械平衡。按照分子理论，由于分子碰憧不匀等，这个物体会以一种不规则的方式沿着直线作向后和向前运动，使得在这种运动中，直线上没有一个点是受到特殊看待的——假定在这条直线的方向上，除了分子的碰幢力以外，再没有别的力作用在这个物体上。重心的横坐标x 因而是这个体系的一个参数，它具有前面对参数α所假定的那些性质。
我们现在要引进一个在这条直线方向上作用于该物体的力Mx K -=。那么，按照分子理论，这个物体的重心又会进行一种并不远离0=x 这个点的不规则运动；可是按照古典热力学，它却必须静止在点0=x 上。按照分子理沦（公式（I )) ,
dx x A dW e M RT N 22`-=
等于在一个偶然选定的时刻坐标x 的值处于x 和dx x +之间的几率。由此，我们求出重心点0=x 的平衡距离——
NM RT dx x A dx x A e e x x
M RT N M RT N ==??∞+∞--∞+∞--222222`` 为了使x 2大到足以能够观测到，确立这个物体的平衡位置的力必须非常小。如果我们设观测的下限为104
2-=x 厘米；那么，对于
?=300T ，我们就得到105
.5-?≈M 。为了使这个物体所进行的振动在显微镜下可以观测，那么当伸长是1厘米时，作用在该物体上的力不可超过百万分之五达因。
我们还要把一种理论上的考查同已推导出来的方程联系起来。假设所讨论的物休带有一个分布在很小空间中的电荷，而且包围这个物体的气体是如此稀薄，以致这个物体作出的正弦振动由于周围气体的存在只有轻微的变动。此外这个物体向空间辐射电波，并且从周围空间的辐射中收到能量；因此它促成在辐射同气体之间的能量交换。我们能够推导出一个看来是适用于长波和高温的温度辐射的极限定律，只要我们提出这样的条件，使所考查的物体所发射的辐射平均起来正好同它吸收的辐射一样多。这样我们就得到下列对应于振动数ν的辐射密度ρν的公式：
T N R c 32
8νρ
πν= 此处c 表示光速。 对于小的频率和高的温度，普朗克先生提出的辐射公式就转换成这个公式。 N 这个量能够从这极限定律中的系数确定出来，这样我们就得到了普朗克关于基本常数的确定。我们以上述方式得到的并不是真正的辐射定律，而只是一个极限定律，这一事实的缘由，依我看来是在于我们物理概念的根本不完备性。
我们现在还要用公式（Ⅰ）来决定一个悬浮粒子必须小到怎样的程度才能使它不顾重力的作用而持久地悬浮着。对此我们不妨限于粒子的比重比液体大的情况，因为相反的情况是完全类似的。
如果υ是粒子的体积，ρ是它的密度，ρ0是液体的密度， g 是
重力加速度，而x 是从容器的底到一个点的竖直距离，那末方程（Ⅰ）就给出
dx dW e
gx RT N ）（常数ρρυ0--?= 由此我们可以看出，这些悬浮粒子是能够悬浮在液体中的，只要对于不是小到无法观察的x 值，
gx RT N ）（ρρυ0-
这个量没有太大的值——假定那些达到容器底的粒子不会因任何什么情况而被抓住在底面上。
§3 由热运动引起的参数α的变化
我们再回到§1中所讨论的一般情况，为此我们已经推导出方程（Ⅰ）。可是为了使表示方式和概念比较简单，我们现在要假定存在着很大数目（n ）的全同体系，它们都是那里所表征的那种类型；于是我们在这里要打交道的是数目，而不是几率。这时方程（Ⅰ）表示为：
在N 个体系中，有
（Ⅰa ） αααφd F d dn e RT N )(==Φ-
个体系的参数α的值在一偶然选定的时刻落在αααd +和之间。 我们要用这个关系来求由不规则的热过程所引起的参数α 的不规则变化的量值。为此目的，我们用符号来表示：在时间间隔t 内，在对应于势Φ的力同不规则的热过程的联合作用下，函数）（αF 不起
变化；这里的t 表示如此短的时间，以致单个体系的α 这个量的相应变化可以被着作是函数）（αF 的自变数的无限小变化。
如果我们在一条直线上，从一个确定的零点出发，划出一些数值上都等于α量的线段，那么每一个体系都在这条道线上对应于一个点
）（）（ααF ?是体系点）
（α在直线上的配置密度。在时间t 内，这种体系点在一个方向上通过道线上的一个任意点）（α0的数目，同相反方向上
通过的数目必定完全一样。
对应于势Φ的力所引起的α的变化的量值是
t B α?Φ?-=?1
此处B 是同α无关的，也就是说，α的变化速度同作用力成比例，而同参数的值无关。我们称因子B 为“体系关于α的迁移率”。
因此，如果有外力作用着，而量α不为分子的不规则的热过程所改变，那么在时间t 内，就有
)(010
αααtF B n ?=??? ???Φ?=?
个体系点在负的方向上通过点（α0）。
进一步假设：一个体系的参数α在时间t 内由于不规则的热过程而经受的变化的值处于?和?+?d 之间的几率等于)(?ψ，此外)()(?-=?ψψ，而ψ是同α无关的。于是由于不规则的热过程，在时间t 内，在正方向上通过点（α0）的体系点，其数目是
???-=?∞=?=?d F n )()(002χα
如果我们置
)()(?=???∞?χψd
由于不规则的热过程而向负方向移动的体系点，其数目则是
???+=?∞d F n )()(003χα
关于函数F 的不变性的数学表示因而是
0321=-+-n n n
如果我们引进已经求得的关于n 1，n 2和n 3的表示式，并且记住?
是无限小的，或者)(?ψ只有对于?的无限小值才不等于零，那么经过简单的运算后，我们就得到
0)`(212000
=+???? ????=αααφααF t F B ）（ 这里 ??=???+∞∞-d )(2
2ψ 表示在时间t 内由不规则的热过程所引起的量α变化的平方的平均值。从这个关系式，考虑到方程（Ⅰa ）,我们得到： （Ⅱ） BTt N R ?=?
22 这里R 是气体方程的常数（10731.8?），N 是一个克分子实际分子的数目（大约为10256?），B 是“体系关于参数α的迁移率”，T 是
绝对温度，t 是由于不规则的热过程所引起的α的变化所经历的时间。
§4 把推导出的方程应用于布朗运动
我们现在借助方程（Ⅱ）首先来计算一个悬浮在液体中的球形物体在时间t 内在一定方向（坐标系的X 轴方向）上所经历的平均位移。为此目的，我们必须把相应的B 值代入那个方程。
如果有一个力K 作用在一个半径为P 的球上，而这个球是悬浮在摩擦系数为k 的液体中的，那么它就会以速度kP K π6/运动着。因此，我们可以置
kP B π61=
于是我们就得到——同前面应用的那篇论文相一致——悬浮在X 轴方向上的平均位移的值
k P N RT t x π312
=?
其次，我们讨论这样的情况，即所考查的球在液体中可以绕它的直径作无向位摩擦的自由转动，并且我们要去求，由于不规则的热过程，这个球在时间t 内的平均转动?2。
如果有动量矩D 作用在一个半径为P 的球上，这个球能够在摩擦系数为k 的液体中绕轴旋转，那么旋转的角度是
p k D 38πψ=
我们从而必须置
p k B 381π=
因此，我们得到 p k N RT t x 32
41π=?
因此，由分子运动所引起的旋转运动随着P 的增加而减少的程度要比平均运动快得多。
对于5.0=P 毫米以及17℃的水，这公式给出一秒钟内所经历的角平均大约是11弧度秒；在一小时内大约11弧度分。对于5.0=P 微米以及17℃的水，对于1=t 秒钟，我们得到大约100角度。
在一个自由浮动的悬浮粒子的情况下，有三个彼此独立的这种类型的旋转运动发生。 所推导出的这个关于?2的公式还可以用于别的情况。比如，要是用闭电路的电阻的倒数来代替 B ，那么这公式就表明在时间 t 内平均有多少电通过任何一个导体的横截面，这个关系式又是同那个关于长波长和高温的黑体辐射的极限定律有联系的。可是，既然我未能找到更多的可供实验验证的结果，所以在我看来，去讨论更多的特殊情况，那是无益的。
§5 关于?2公式有效的极限
很清楚，公式（Ⅱ）不能适用于任何任意短的时间。也就是说，由于热过程，α的平均变化速度
t N RTB t 122?=?
对干无限小的时间间隔 t 就变成了无限大，这显然是不可能的，因为要不然每个悬浮粒子都必须以无限大的瞬时速度在运动。这个缘由在于，在我们的展开中，我们无形中假定了：时间t 内的现象过程，必须被看作是同其紧接着的前面时间内的现象过程无关的事件。但是，所选取的时间 t 愈短，这个假定就愈难站得住脚。如果确实在时间0=z 时，变化速度的瞬时值是
βα0=dt
d
又如果在以后的某个时间间隔内，变化速度β不受不规则的热过程的影响，而β的变化仅仅取决于被动阻力（B 1），那么，对于dz d /β，这样的关系式会成立：——
B
dz d ββμ=- 这里，μ是由)2(2βμ应该对应于变化速度β的能量这一规定来定义的。因此，比如在悬浮的球的平移运动的情况下，)2(2
βμ就是球的动能连同被球带动的液体的动能。由积分得到 e
B Z μββ-=0 由这个结果，我们可以断定：公式（Ⅱ）只是对于那些比B μ大的时间间隔才能成立。
对于直径为1微米和密度1
ρ的小物体，在温室的水中，公式
=
（Ⅱ）的有效性的下限大约是107-秒；这个时间间隔的下限同小物体半径的平方按比例而增大。无论对于粒子的平移运动还是对于粒子的旋转运动，都同样成立。
布朗运动与伊藤引理的运用 一、引言 1827年英国植物学家布朗发现液体中悬浮的花粉粒具有无规则的运动，这种运动就是布朗运动。1900年，法国数学家巴舍利耶（）在其博士论文《投资理论》中，给出了布朗运动的数学描述，提出用算术布朗运动来模拟股票价格的变化。如果股票价格遵循算术布朗运动将意味着股票价格可能取负值，因此股票价格不遵循算术布朗运动，基于这个原因，萨缪尔森（）提出股票的收益率服从算术布朗运动的假设，即股票价格服从算术布朗运动。在柯朗研究所着名数学家的帮助下，萨缪尔森得到了欧式看涨期权的显式定价公式，但是该公式包含了一些个体的主观因素。1973年，布莱克（）和斯科尔斯（）发表了一篇名为《期权和公司负债定价》的论文，推导出了着名的Black-Scholes公式，即标准的欧式期权价格显式解，这个公式中的变量全是客观变量。哈佛大学教授莫顿（Merton）在《期权的理性定价理论》一文中提出了与Black-Scholes类似的期权定价模型，并做了一些重要推广，从此开创了金融学研究一个新的领域。 二、相关概念和公式推导 1、布朗运动介绍 布朗运动（Brownian Motion）是指悬浮在流体中的微粒受到流体分子与粒子的碰撞而发生的不停息的随机运动。然而真正用于描述布朗运动随机过程的定义是维纳（Winener）给出的，因此布朗运动又称为维纳过程。 （1）、标准布朗运动 设t?代表一个小的时间间隔长度，z ?代表变量z在t?时间内的变化，遵循标准布朗运动的z ?具有的两种特征： 特征1：z ?和t?的关系满足下式： z?= 其中，ε代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为的正态分布）中的一个随机值。 特征2：对于任何两个不同时间间隔t?，z ?的值相互独立。
布朗运动理论一百年 郝柏林 由爱因斯坦、斯莫鲁霍夫斯基（M.Smoluchowski）等人在20世纪初开始的布朗运动理论，在一百年间发展出内容丰富的众多学科分支，现在正在成为分析生物细胞内分子机器运作原理的有力工具。爱因斯坦1905年发表的5篇论文中，关于布朗运动的文章可能人们知道得最少，而实际上它被引用的次数却超过了狭义相对论。 1 我们从布朗运动本身开始回顾 英国植物学家罗伯特·布朗在1828年和1829年的《哲学》杂志上发表了两篇文章，描述自己在1827年夏天在显微镜下观察到花粉颗粒在液体中的不停顿的运动。他最初曾经以为是看到了生命运动，但后来确认这种运动对细小的有机和无机颗粒都存在，因而不是生命现象所致。布朗认为运动的原因在于这些颗粒包含着“活性分子”（active molecules），而与所处液体没有关系。 事实上，布朗并不是观察到这类运动的第一人。他在上述两篇文章里就曾提到了约十位前人，包括做过大量观察的制作显微镜的巧手列文胡克（Antonnie von Leeuwenhock）。 2 爱因斯坦的扩散长度公式 爱因斯坦在1901—1905年期间致力于博士论文研究。他1905年发表的头一篇文章——“分子大小的新测定”就基于其博士论文。爱因斯坦考察了液体中悬浮粒子对渗透压的贡献，把流体力学方法和扩散理论结合起来，建议了测量分子尺寸和阿佛伽德罗常数的新办法。这样的研究同布朗运动发生关系是很自然的。然而，他1905年5月撰写的第二篇论文的题目并没有提及布朗运动。这篇题为《热的分子运动论所要求的静止液体中悬浮小粒子的运动》的文章，一开始就说：“可能，这里所讨论
的运动就是所谓的布朗分子运动；可是，关于后者我所能得到唯一的资料是如此的不准确，以致在这个问题上我无法形成判断。” 爱因斯坦确实建立了布朗运动的分子理论，并且开启了借助随机过程描述自然现象的数理科学发展方向。 我们不在此重复爱因斯坦当年对扩散系数D的推导，直接从熟知的（一维）扩散方程出发： 假定在t?=0时刻粒子位于x=0处，即ρ（x，0）=δ（x），扩散方程的解是： 即粒子的密度遵从高斯分布。对于固定的时刻t，x和x2的平均值分别是： 〈x〉=0，〈x2〉=2Dt 于是得到扩散长度的公式： 这里出现了著名的爱因斯坦的1/2指数。
关于布朗运动的理论 爱因斯坦 1905年12月 在我的论文《热的分子［运动］论所要求的[静］液体中悬浮粒子的运动》发表后不久，（耶那的）西登托普夫（Siedentopf）告诉我：他和别的一些物理学家——首先是（里昂的）古伊（Gouy ）教授先生一一通过直接的观测而得到这样的信念，认为所谓布朗运动是由液体分子的不规则的热运动所引起的。不仅是布朗运动的性质，而且粒子所经历路程的数量级，也都完全符合这个理论的结果。我不想在这里把那些可供我使用的稀少的实验资料去同这个理论的结果进行比较，而把这种比较让给那些丛实验方面掌握这个问题的人去做。 下面的论文是要对我的上述论文中某些论点作些补充。对悬浮粒子是球形的这种最简单的特殊情况，我们在这里不仅要推导出悬浮粒子的平移运动，而且还要推导出它们的旋转运动。我们还要进一步指明，要使那篇论文中所给出的结果保持正确，观测时间最短能短到怎样程度。 要推导这些结果，我们在这里要用一种此较一般的方法，这部分地是为了要说明布朗运动同热的分子［运动］论的基础有怎样的关系，部分地是为了能够通过统一的研究展开平动公式和转动公式。因此，假设α是一个处于温度平衡的物理体系的一个可量度的参数，并且假定这个体系对于α的每一个（可能的）值都是处在所谓随遇平衡中。，
按照把热同别种能量在原则上区别开的古典热力学，α不能自动改变；按照热的分子〔运动］论，却不然。下面我们要研究，按照后一理论所发生的这种改变必须遵循怎么样的定律。然后我们必须把这些定律用于下列特殊情况：—— 1、 α是（不受重力的作用的）均匀液体中一个球形悬浮粒子的重心的 X 坐标。 2、α是确定一个球形粒子位置的旋转角，这个粒子是悬浮在液体中的，可绕直径转动。 §1、热力学平衡的一个情况 假设有一物理体系放在绝对温度为 T 的环境里，这个体系同周围环境有热交换，并且处干温度平衡状态中。这个体系因而也具有绝对温度T ，而且依据热的分子［运动］论，它可由状态变数p p n 1完全地确定下来。在所考查的这个特殊情况中，构成这一特殊体系的所有原子的坐标和速度分量可以被选来作为状态变数p p n 1。 对于状态变数p p n 1在偶然选定的一个时刻处于一个 n 重的 无限小区域（p p n d d 1）中的几率，下列方程成立—— （1） p p e n E RT N d d C dw 1-= 次处C 是一个常数，R 是气体方程的普适常数，N 是一个克分子中实际分子的数目，而E 是能量。假设α是这个体系的可以量度的参数，并且假设每一组值p p n 1都对应一个确定的α值，我们要用 αAd 来表示在偶然选定的一个时刻参数α的值处在α和ααd +之间的几率。于是
1、引言 布朗运动的数学模型就是维纳过程。布朗运动就是指悬浮粒子受到碰撞一直在做着不规则的运动。我们现在用)(t W 来表示运动中一个微小粒子从时刻0=t 到时刻0>t 的位移的横坐标，并令0)0(=W 。根据Einstein 的理论，我们可以知道微粒之所以做这种运动，是因为在每一瞬间，粒子都会受到其他粒子对它的冲撞，而每次冲撞时粒子所受到的瞬时冲力的大小和方向都不同，又粒子的冲撞是永不停息的，所以粒子一直在做着无规则的运动。故粒子在时间段],(t s 上的位移，我们可把它看成是多个小位移的总和。我们根据中心极限定理，假设位移)()(s W t W -服从正态分布，那么在不相重叠的时间段内，粒子碰撞时受到的冲力的方向和大小都可认为是互不影响的，这就说明位移)(t W 具有独立的增量。此时微粒在某一个时段上位移的概率分布，我们便能认为其仅仅与这一时间段的区间长度有关，而与初始时刻没有关系，也就是说)(t W 具有平稳增量。 2.维纳过程 2.1独立增量过程 维纳过程是典型的随机过程，属于所谓的独立增量过程，在随机过程的理论和应用中起着很重要的作用。现在我们就来介绍独立增量过程。 定义：}0),({≥t t X 是二阶矩过程， 那么我们就称t s s X t X <≤-0),()(为随机过程在区间],(t s 上的增量。 若对任意的n )(+∈N n 和任意的n t t t <<<≤Λ100，n 个增量 )()(,),()(),()(11201----n n t X t X t X t X t X t X Λ 是相互独立的，那么我们就称}0),({≥t t X 为独立增量过程。 我们可以证明出在0)0(=X 的条件下，独立增量过程的有限维分布函数族可由增量)0(),()(t s s X t X <≤-的分布所确定。 如果对R h ∈和)()(,0h s X h t X h t h s +-++<+≤与)()(s X t X -的分布是相同的，我们就称增量具有平稳性。那么这个时候，增量)()(s X t X -的分布函数只与时间差)0(t s s t <≤-有关，而与t 和s 无关(令s h -=便可得出)。值得注意的是，我们称独立增量过程是齐次的，此时的增量具有平稳性。
布朗运动理论一百年1 布朗运动理论一百年 郝柏林 由爱因斯坦、斯莫鲁霍夫斯基（M.Smoluchowski）等人在20世纪初开始的布朗运动理论，在一百年间发展出内容丰富的众多学科分支，现在正在成为分析生物细胞内分子机器运作原理的有力工具。爱因斯坦1905年发表的5篇论文中，关于布朗运动的文章可能人们知道得最少，而实际上它被引用的次数却超过了狭义相对论。 1 我们从布朗运动本身开始回顾 英国植物学家罗伯特·布朗在1828年和1829年的《哲学》杂志上发表了两篇文章，描述自己在1927年夏天在显微镜下观察到花粉颗粒在液体中的不停顿的运动。他最初曾经以为是看到了生命运动，但后来确认这种运动对细小的有机和无机颗粒都存在，因而不是生命现象所致。布朗认为运动的原因在于这些颗粒包含着“活性分子”（active molecules），而与所处液体没有关系。 事实上，布朗并不是观察到这类运动的第一人。他在上述两篇文章里就曾提到了约十位前人，包括做过大量观察的制作显微镜的巧手列文胡克（Antonnie von Leeuwenhock）。
2 科学前沿与未来 2 爱因斯坦的扩散长度公式 爱因斯坦在1901—1905年期间致力于博士论文研究。他1905年发表的头一篇文章——“分子大小的新测定”就基于其博士论文。爱因斯坦考察了液体中悬浮粒子对渗透压的贡献，把流体力学方法和扩散理论结合起来，建议了测量分子尺寸和阿佛伽德罗常数的新办法。这样的研究同布朗运动发生关系是很自然的。然而，他1905年5月撰写的第二篇论文的题目并没有提及布朗运动。这篇题为《热的分子运动论所要求的静止液体中悬浮小粒子的运动》的文章，一开始就说：“可能，这里所讨论的运动就是所谓的布朗分子运动；可是，关于后者我所能得到唯一的资料是如此的不准确，以致在这个问题上我无法形成判断。” 爱因斯坦确实建立了布朗运动的分子理论，并且开启了借助随机过程描述自然现象的数理科学发展方向。 我们不在此重复爱因斯坦当年对扩散系数D 的推导，直接从熟知的（一维）扩散方程出发： 22D t x ρρ??=?? 假定在t =0时刻粒子位于x =0处，即ρ（x ，0）=δ（x ），扩散方程的解是： ()241,4πx Dt x t e Dt ρ-= 即粒子的密度遵从高斯分布。对于固定的时刻t ，x 和x 2的平均值分别是： 〈x 〉=0，〈x 2〉=2Dt 于是得到扩散长度的公式： 这里出现了著名的爱因斯坦的1/2指数。
布朗运动 定义 悬浮微粒不停地做无规则运动的现象叫做布朗运动 例如，在显微镜下观察悬浮在水中的藤黄粉、花粉微粒，或在无风情形观察空气中的烟粒、尘埃时都会看到这种运动。温度越高，运动越激烈。它是1827年植物学家R.布朗首先发现的。作布朗运动的粒子非常微小，直径约1~10纳米，在周围液体或气体分子的碰撞下，产生一种涨落不定的净作用力，导致微粒的布朗运动。如果布朗粒子相互碰撞的机会很少，可以看成是巨大分子组成的理想气体，则在重力场中达到热平衡后，其数密度按高度的分布应遵循玻耳兹曼分布。J.B.佩兰的实验证实了这一点，并由此相当精确地测定了阿伏伽德罗常量及一系列与微粒有关的数据。1905年A.爱因斯坦根据扩散方程建立了布朗运动的统计理论。布朗运动的发现、实验研究和理论分析间接地证实了分子的无规则热运动，对于气体动理论的建立以及确认物质结构的原子性具有重要意义，并且推动统计物理学特别是涨落理论的发展。由于布朗运动代表一种随机涨落现象，它的理论对于仪表测量精度限制的研究以及高倍放大电讯电路中背景噪声的研究等有广泛应用。 这是1826年英国植物学家布朗（1773-1858）用显微镜观察悬浮在水中的花粉时发现的。后来把悬浮微粒的这种运动叫做布朗运动。不只是花粉和小炭粒，对于液体中各种不同的悬浮微粒，都可以观察到布朗运动[1]。 那么，布朗运动是怎么产生的呢？在显微镜下看起来连成一片的液体，实际上是由许许多多分子组成的。液体分子不停地做无规则的运动，不断地抓高年级微粒。悬浮的微粒足够小时，受到的来自各个方向的液体分子的撞击作用是不平衡的。在某一瞬间，微粒在另一个方向受到的撞击作用强，致使微粒又向其它方向运动。这样，就引起了微粒的无规则的布朗运动。 1827年，苏格兰植物学家R·布朗发现水中的花粉及其它悬浮的微小颗粒不停地作不规则的曲线运动，称为布朗运动。人们长期都不知道其中的原理。50年后，J·德耳索提出这些微小颗粒是受到周围分子的不平衡的碰撞而导致的运动。后来得到爱因斯坦的研究的证明。布朗运动也就成为分子运动论和统计力学发展的基础。 悬浮在液体或气体中的微粒(线度~10－3mm)表现出的永不停止的无规则运动，如墨汁稀释后碳粒在水中的无规则运动，藤黄颗粒在水中的无规则运动……。而且温度越高，微粒的布朗运动越剧烈。布朗运动代表了一种随机涨落现象，它不仅反映了周围流体内部分子运动的无规则性，关于它的理论在其他许多领域也有重要应用，如对测量仪表测量精度限度的研究、对高倍放大的电讯电路中背景噪声的研究等等。 布朗运动的发现与研究 19世纪中对布朗运动的研究 布朗的发现是一个新奇的现象，它的原因是什么？人们是迷惑不解的。在布朗之后，这一问题一再被提出，为此有许多学者进行过长期的研究。一些早期的研究者简单地把它归结为热或电等外界因素引起的。最早隐约指向合理解释的是维纳(1826——1896)，1863年他提出布朗运动起源于分子的振动，他还公布了首次对微粒速度与粒度关系的观察结果。不过他的分子模型还不是现代的模型，他看到的实际上是微粒的位移，并不是振动。
布朗运动与伊藤引理的运用 唐雨辰3112352013 统计2107 一、引言 1827年英国植物学家布朗发现液体中悬浮的花粉粒具有无规则的运动，这种运动就是布朗运动。1900年，法国数学家巴舍利耶（L.Bachelier）在其博士论文《投资理论》中，给出了布朗运动的数学描述，提出用算术布朗运动来模拟股票价格的变化。如果股票价格遵循算术布朗运动将意味着股票价格可能取负值，因此股票价格不遵循算术布朗运动，基于这个原因，萨缪尔森（P.A.Samuelson）提出股票的收益率服从算术布朗运动的假设，即股票价格服从算术布朗运动。在柯朗研究所著名数学家H.P.McKean的帮助下，萨缪尔森得到了欧式看涨期权的显式定价公式，但是该公式包含了一些个体的主观因素。1973年，布莱克（F.Black）和斯科尔斯（M.Scholes）发表了一篇名为《期权和公司负债定价》的论文，推导出了著名的Black-Scholes公式，即标准的欧式期权价格显式解，这个公式中的变量全是客观变量。哈佛大学教授莫顿（Merton）在《期权的理性定价理论》一文中提出了与Black-Scholes类似的期权定价模型，并做了一些重要推广，从此开创了金融学研究一个新的领域。 二、相关概念和公式推导 1、布朗运动介绍 布朗运动（Brownian Motion）是指悬浮在流体中的微粒受到流体分子与粒子的碰撞而发生的不停息的随机运动。然而真正用于描述布朗运动随机过程的定
义是维纳（Winener ）给出的，因此布朗运动又称为维纳过程。 （1）、标准布朗运动 设t ?代表一个小的时间间隔长度，z ?代表变量z 在t ?时间内的变化，遵循标准布朗运动的z ?具有的两种特征： 特征1：z ?和t ?的关系满足下式： z ?= (2.1) 其中，ε代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1.0的正态分布）中的一个随机值。 特征2：对于任何两个不同时间间隔t ?，z ?的值相互独立。 从特征1可知，z ?本身也具有正态分布特征，其均值为0为t ?。 从特征2可知，标准布朗运动符合马尔可夫过程，因此是马尔可夫过程的一种特殊形式。 现在我们来考察遵循标准布朗运动的变量z 在一段较长时间T 中的变化情形。我们用z （T ）-z （0）表示变量z 在T 中的变化量，它可被看作是在N 个长度为t ?的小时间间隔中z 的变化总量，其中/N T t =?，因此， 1()(0)N i z T z ε=-=∑ (2.2) 其中(1,2,)i i N ε= 是标准正态分布的随机抽样值。从特征2可知，i ε是相互独立的，因此z （T ）-z （0）也具有正太分布特征，其均值为0，方差为N t T ?=， 由此我们可以发现两个特征：○ 1在任意长度的时间间隔T 中，遵循标准布朗 运动的变量的变化值服从均值为0，○ 2对于相互独立的正态分布，方差具有可加性，而标准差不具有可加性。 当0t ?→时，我们就可以得到极限的标准布朗运动： dz = （2.3） （2）、普通布朗运动
金融市场布朗运动研究的发展与状况 马金龙1,2马非特2 （1．中国科学院广州地球化学研究所，广东广州，510640, 2. 长沙非线性特别动力工作室，湖南长沙，410013） 摘要：布朗运动的理论构筑了主流金融经济学（数理金融学）的完整体系；分数布朗运动为在复杂系统科学体系下揭示金融市场价格波动的规律创造了契机；而基于复杂系统科学的有限尺度布朗运动进行金融市场交易价格波动投机指明了方向。 关键词：金融市场，布朗运动，分形，分数布朗运动，有限尺度布朗运动 1 布朗运动及其在金融市场的应用 1.1 布朗运动 布朗运动指的是一种无相关性的随机行走，满足统计自相似性,即具有随机分形的特征，但其时间函数(运动轨迹)却是自仿射的。具有以下主要特性：粒子的运动由平移及其转移所构成，显得非常没规则而且其轨迹几乎是处处没有切线；粒子之移动显然互不相关，甚至于当粒子互相接近至比其直径小的距离时也是如此；粒子越小或液体粘性越低或温度越高时，粒子的运动越活泼；粒子的成分及密度对其运动没有影响；粒子的运动永不停止。 原始意义的布朗运动 (Brownian motion，BM)是Robert Brown于1827年提出，系指液体中悬浮微粒的无规则运动, 直至1877年才由J. 德耳索作出了正确的定性分析：布朗粒子的运动，实际上是由于受到周围液体分子的不平衡碰撞所引起的。1905年，A. 爱因斯坦对这种“无规则运动”作了物理分析，成为布朗运动的动力论的先驱，并首次提出了布朗运动的数学模型。1908年，P. 朗之万在研究布朗运动的涨落现象时, 给出了物理学中第一个随机微分方程。1923年，诺伯特丒维纳 (Norbert Wiener)提出了在布朗运动空间上定义测度与积分，从而形成了Wiener空间的概念，并对布朗运动作出了严格的数学定义，根据这一定义，布朗运动是一种独立增量过程，是一个具有连续时间参数和连续状态空间的随机过程(Stochastic Process)。它是这样的随机过程中最简单，最重要的特例。因而维纳过程是马尔科夫过程(Markov process)的一种特殊形式，而马尔科夫过程又是一种特殊类型的随机过程。数学界也常把布朗运动称为维纳过程(Wiener Process)。不久，Paul Levy及后来的研究者将布朗运动发展成目前的巨构，如稳定的Levy分布。20世纪40年代，日本数学家伊藤清(Ito Kiyosi)发展了维纳的研究成果，建立了带有布朗运动干扰项B(t)的随机微分方程。1990年,彭实戈－E. 巴赫杜(Pardoux)进一步提出了一大类可解的倒向随机微分方程，并给出方程解的一般形式，它可看成是Black-Scholes公式的一般化。总之，如今布朗运动在理论上与应用上已与帕松过程 (Poisson process) 构成了两种最基本的随机过程。
金融市场的布朗运动和分数布朗运动(马金龙) [转帖2005.08.27 00:49:37] 1 布朗运动及其在金融市场的应用 1.1 布朗运动 布朗运动指的是一种无相关性的随机行走，满足统计自相似性,即具有随机分形的特征，但其时间函数(运动轨迹)却是自仿射的。具有以下主要特性：粒子的运动由平移及其转移所构成，显得非常没规则而且其轨迹几乎是处处没有切线；粒子之移动显然互不相关，甚至于当粒子互相接近至比其直径小的距离时也是如此；粒子越小或液体粘性越低或温度越高时，粒子的运动越活泼；粒子的成分及密度对其运动没有影响；粒子的运动永不停止。 原始意义的布朗运动(Brownian motion，BM)是Robert Brown于1827年提出，系指液体中悬浮微粒的无规则运动, 直至1877年才由J. 德耳索作出了正确的定性分析：布朗粒子的运动，实际上是由于受到周围液体分子的不平衡碰撞所引起的。1905年，A. 爱因斯坦对这种“无规则运动”作了物理分析，成为布朗运动的动力论的先驱，并首次提出了布朗运动的数学模型。1908年，P. 朗之万在研究布朗运动的涨落现象时, 给出了物理学中第一个随机微分方程。1923年，诺伯特?维纳(Norbert Wiener)提出了在布朗运动空间上定义测度与积分，从而形成了Wiener空间的概念，并对布朗运动作出了严格的数学定义，根据这一定义，布朗运动是一种独立增量过程，是一个具有连续时间参数和连续状态空间的随机过程(Stochastic Process)。它是这样的随机过程中最简单，最重要的特例。因而维纳过程是马尔科夫过程(Markov process)的一种特殊形式，而马尔科夫过程又是一种特殊类型的随机过程。数学界也常把布朗运动称为维纳过程(Wiener Process)。不久，Paul Levy及后来的研究者将布朗运动发展成目前的巨构，如稳定的Levy分布。20世纪40年代，日本数学家伊藤清(Ito Kiyosi)发展了维纳的研究成果，建立了带有布朗运动干扰项B(t)的随机微分方程。1990年,彭实戈－E. 巴赫杜(Pardoux)进一步提出了一大类可解的倒向随机微分方程，并给出方程解的一般形式，它可看成是Black-Scholes公式的一般化。总之，如今布朗运动在理论上与应用上已与帕松过程(Poisson process) 构成了两种最基本的随机过程。 1.2 布朗运动在金融市场的应用 将布朗运动与股票价格行为联系在一起，进而建立起维纳过程的数学模型是本世纪的一项具有重要意义的金融创新，在现代金融数学中占有重要地位。迄今，普遍的观点仍认为，股票市场是随机波动的，随机波动是股票市场最根本的特性，是股票市场的常态。 1900年法国的巴施利叶（Louis Bachelier）在博士论文《投机理论》中将股票价格的涨跌也看作是一种随机运动，所得到的方程与描述布朗粒子运动的方程非常相似。第一次给予布朗运动以严格的数学描述。但由此得到的股票价格可能取负值，显然与实际不符。遗憾的是，他的工作在当时并未引起重视，直到半个世纪后人们才发现其工作的重要性，从而开创了理论金融经济学新时代。Markowiz(1952)发表投资组合选择理论；Arrow和Denreu(1954)提出一般经济均衡存在定理；Roberts和Osborne(1959)把随机数游走和布朗运动的概念带入股市研究；以及稍后的Sharpe(1964)和Linther(1965)、Mossin(1966)等的资本资产定价模型(CAPM)；Samuelson和Fama(1970)的有效市场理论(EMH)；Fischer Black和Scholes(1973)
1．下列关于布朗运动的叙述，正确的是() A．固体小颗粒做布朗运动是由于固体小颗粒内部的分子运动引起的 B．液体的温度越低，悬浮小颗粒的运动越缓慢，当液体的温度降到零摄氏度时，固体小颗粒的运动就会停止 C．被冻结在冰块中的小炭粒，不能做布朗运动是因为冰中的水分子不运动 D．固体小颗粒做布朗运动是由于液体分子对小颗粒的碰撞引起的 解析：选D.固体小颗粒的布朗运动是由于液体分子的无规则运动引起的，故A错误，D正确；温度越低，小颗粒的运动由于液体分子的运动减慢而减慢，但即使降到零摄氏度，液体分子还是在运动的，布朗运动是不会停止的，故B项错误；被冻结在冰块中的小炭粒不能做布朗运动是因为受力平衡，而不是由于水分子不运动(水分子不可能停止运动，因为热运动是永不停息的)，故C项错误． 2．(2011年高考四川理综卷)气体能够充满密闭容器，说明气体分子除相互碰撞的短暂时间外() A．气体分子可以做布朗运动 B．气体分子的动能都一样大 C．相互作用力十分微弱，气体分子可以自由运动 D．相互作用力十分微弱，气体分子间的距离都一样大 解析：选C.布朗运动是指悬浮颗粒因受分子作用力不平衡而引起的悬浮颗粒的无规则运动，选项A错误；气体分子因不断相互碰撞其动能瞬息万变，因此才引入了分子的平均动能，选项B错误；气体分子不停地做无规则热运动，其分子间的距离大于10r0，因此气体分子间除相互碰撞的短暂时间外，相互作用力十分微弱，分子的运动是相对自由的，可以充满所能达到的整个空间，故选项C正确；气体分子在不停地做无规则运动，分子间距离不断变化，故选项D错误． 3．做布朗运动实验，得到某个观测记录如图1－3－3.图中记录的是() 图1－3－3 A．分子无规则运动的情况 B．某个微粒做布朗运动的轨迹 C．某个微粒做布朗运动的速度—时间图线 D．按等时间间隔依次记录的某个运动微粒位置的连线 解析：选D.图中的折线记录的是某个做布朗运动的微粒按相等时间间隔依次记录的位置连线，不是分子无规则运动的情况，也不是微粒做布朗运动的轨迹，更不是微粒运动的v t 图线，故D对，A、B、C错． 4．我们知道分子热运动的速率是比较大的，常温下能达几百米/秒．将香水瓶盖打开后，离瓶较远的人，为什么不能立刻闻到香味呢？ 解析：分子热运动的速率虽然比较大，但分子之间的碰撞是很频繁的，由于频繁的碰撞使得分子的运动不再是匀速直线运动，香水分子从瓶子到鼻孔走过了一段曲折的路程，况且引起人的嗅觉需要一定量的分子，故将香水瓶盖打开后，离得较远的人不能立刻闻到香味．答案：见解析
布朗运动 在显微镜下看起来连成一片的液体，实际上是由许许多多分子组成的。液体分子不停地做无规则的运动，不断地随机撞击悬浮微粒。悬浮的微粒足够小时，受到的来自各个方向的液体分子的撞击作用是不平衡的。在某一瞬间，微粒在另一个方向受到的撞击作用强，致使微粒又向其它方向运动。这样，就引起了微粒的无规则的布朗运动。 1定义 悬浮微粒永不停息地做无规则运动的现象叫做布朗运动 例如，在显微镜下观察悬浮在水中的藤黄粉、花粉微粒，或在无风情形观察空气中的烟粒、尘埃时都会看到这种运动。温度越高，运动越激烈。它是1827年植物学家R.布朗最先用显微镜观察悬浮在水中花粉的运动而发现的。作布朗运动 的粒子非常微小，直径约1~10微米，在周围液体或气体分子的碰撞下，产生一种涨落不定的净作用力，导致微粒的布朗运动。如果布朗粒子相互碰撞的机会很少，可以看成是巨大分子组成的理想气体，则在重力场中达到热平衡后，其数密度按高度的分布应遵循玻耳兹曼分布。J.B.佩兰的实验证实了这一点，并由此相当精确地测定了阿伏伽德罗常量及一系列与微粒有关的数据。1905年A.爱因斯坦根据扩散方程建立了布朗运动的统计理论。布朗运动的发现、实验研究和理论分析间接地证实了分子的无规则热运动，对于气体动理论的建立以及确认物质结构的原子性具有重要意义，并且推动统计物理学特别是涨落理论的发展。由于布朗运动代表一种随机涨落现象，它的理论对于仪表测量精度限制的研究以及高倍放大电讯电路中背景噪声的研究等有广泛应用。 这是1826年英国植物学家布朗（1773-1858）用显微镜观察悬浮在水中的花粉时发现的。后来把悬浮微粒的这种运动叫做布朗运动。不只是花粉和小炭粒，对于液体中各种不同的悬浮微粒，都可以观察到布朗运动。布朗运动可在气体和液体中进行。 2特点 无规则 每个液体分子对小颗粒撞击时给颗粒一定的瞬时冲力，由于分子运动的无规则性，每一瞬间，每个分子撞击时对小颗粒的冲力大小、方向都不相同，合力大小、方向随时改变，因而布朗运动是无规则的。 永不停歇
浅谈布朗运动 吉林大学 物理学院
浅谈布朗运动 摘要: 布朗运动作为具有连续时间参数和连续状态空间的一个随机过程,是一个最基本、最简单同时又是最重要的随机过程。本文对应用随机过程中的布朗运动理论进行了介绍，对布朗运动的背景，定义，性质及应用进行了阐述。 关键词: 布朗运动的定义;布朗运动的性质;布朗运动的应用 一、 概述 1827年,英国植物学家布朗(Robert Brown)发现浸没在液体中的花粉颗粒做无规则的运动,此现象后被命名为布朗运动.爱因斯坦(Albert Einstein)于1905年解释了布朗运动的原因,认为花粉粒子受到周围介质分子撞击的不均匀性造成了布朗运动.1918年,维纳(Wiener)在他的博士论文中给出了布朗运动的简明数学公式和一些相关的结论。 如今,布朗运动的模型及其推广形式在许多领域得到了广泛的应用,如经济学中, 布朗运动的理论可以对股票权定价等问题加以描述. 从数学角度来看,布朗运动是一个随机过程。具体的说,是连续时间、连续状态空间的马尔科夫过程。 二、 布朗运动的定义 随机过程}0t t {X ≥），（如果满足： 1、00X =）（ . 2、}0t t {X ≥），（有独立的平稳增量. 3、对每个 t > 0，）（t X 服从正态分布) t 2,0N(σ
则称}0t t {X ≥），（为布朗运动，也称维纳过程。 常记为B(t),T ≥0或W(t), T ≥0。 如果1=σ，称之为标准布朗运动，标准布朗 运动的定义是一个随机函数()()X t t T ∈，它是维纳 随机函数。 皮兰1908的布朗运动实验 三、布朗运动的性质 1、它是高斯随机函数。 2、它是马尔科夫随机函数。它的转移概率密度是： {}(,)()()f t s y x P X t y X s x y ?--=≤=?21/22 2()2()exp 2()y x t s t s πσσ-??-??=--????-?? 可以看出它对空间和时间都是均匀的。 3、如()(0)X t t ≤是标准布朗运动，则下列各个随机函数也是标准布朗运动。 （1）、2 1( )(/)X t c Xtc = （c ＞0为常数，t ≥0） （2）、2()()()X t Xt h Xh =+- （h ＞0为常数，t ≥0） （3）、1 3()(0)()0 (0) tX t t X t t -?> =? =? 4、标准布朗运动的协方差函数2 (,)min(,)C s t s t σ=。 5、标准布朗运动非均方可微。 由于布朗运动()X t 是维纳随机函数，而后者按照定义应有 2 2 [()()] W t s W t h σ+-=。因而令()()X t W t =后，必有：2 2 ()()X t h X t h h σ+-?? = ? ?? ，
布朗运动 科技名词定义 中文名称：布朗运动 英文名称：Brownian motion 定义：悬浮在流体中的微粒受到流体分子与粒子的碰撞而发生的不停息的随机运动。 所属学科：大气科学（一级学科）；大气物理学（二级学科） 本内容由全国科学技术名词审定委员会审定公布 布朗运动 在显微镜下看起来连成一片的液体，实际上是由许许多多分子组成的。液体分子不停地做无规则的运动，不断地随机撞击悬浮微粒。悬浮的微粒足够小时，受到的来自各个方向的液体分子的撞击作用是不平衡的。在某一瞬间，微粒在另一个方向受到的撞击作用强，致使微粒又向其它方向运动。这样，就引起了微粒的无规则的布朗运动。 目录
热力学平衡 数学中的布朗运动 金融数学中的布朗运动 展开 编辑本段定义 悬浮微粒永不停息地做无规则运动的现象叫做布朗运动 例如，在显微镜下观察悬浮在水中的藤黄粉、花粉微粒，或在无风情形观察空气中的烟粒、尘埃时都会看到这种运动。温度越高，运动越激烈。它是1827年植物学家R.布朗首先发现的。作布朗运动的粒子非常微小，直径约1~10微米，在周围液体或气体分子的碰撞下，产生一种涨落不定的净作用力，导致微粒的布朗运动。如果布朗粒子相互碰撞的机会很少，可以看成是巨大分子组成的理想气体，则在重力场中达到热平衡后，其数密度按高度的分布应遵循玻耳兹曼分布。J.B.佩兰的实验证实了这一点，并由此相当精确地测定了阿伏伽德罗常量及一系列与微粒有关的数据。1905年A.爱因斯坦根据扩散方程建立了布朗运动的统计理论。布朗运动的发现、实验研究和理论分析间接地证实了分子的无规则热运动，对于气体动理论的建立以及确认物质结构的原子性具有重要意义，并且推动统计物理学特别是涨落理论的发展。由于布朗运动代表一种随机涨落现象，它的理论对于仪表测量精度限制的研究以及高倍放大电讯电路中背景噪声的研究等有广泛应用。 这是1826年英国植物学家布朗（1773-1858）用显微镜观察悬浮在水中的花粉时发现的。后来把悬浮微粒的这种运动叫做布朗运动。不只是花粉和小炭粒，对于液体中各种不同的悬浮微粒，都可以观察到布朗运动[1]。 编辑本段产生原因 那么，布朗运动是怎么产生的呢？ 1827年，苏格兰植物学家R·布朗发现水中的花粉及其它悬浮的微小颗粒不停地作不规则的曲线运动，称为布朗运动。人们长期都不知道其中的原理。50年后，J·德耳索提出这些微小颗粒是受到周围分子的不平衡的碰撞而导致的运动。后来得到爱因斯坦的研究的证明。布朗运动也就成为分子运动论和统计力学发展的基础。 悬浮在液体或气体中的微粒(线度~10－3mm)表现出的永不停止的无规则运动，如墨汁稀释后碳粒在水中的无规则运动，藤黄颗粒在水中的无规则运动……。而且温度越高，微粒的布朗运动越剧烈。布朗运动代表了一种随机涨落现象，它不仅反映了周围流体内部分子运动的无规则性，关于
第38卷第10期2008年5月数学的实践与认识M A THEM A TICS IN PRAC TICE AND THEO RY V o l.38 No.10 M a y, 2008 维纳和布朗运动 杨 静1, 唐 泉2 (1.北京联合大学基础部,北京 100101) (2.咸阳师范学院数学系,陕西咸阳 712000) 摘要: 布朗运动,作为一种特殊的随机过程,在随机过程理论处于一个中心地位.布朗运动理论在其他许 多领域也有重要应用.在布朗运动理论的发展和完善过程中,布朗,爱因斯坦和维纳等人都作出了重要贡献. 通过解读原始文献,考察了维纳建立布朗运动数学理论的过程.揭示了维纳在布朗运动的数学理论严格化 进程中的重要作用. 关键词: 维纳;布朗运动;随机过程 0 引 言 收稿日期:2007-09-26基金项目:国家自然科学基金资助项目(10671053) 1827年,英国植物学家布朗(R.Brow n,1773～1858)用显微镜观察悬浮在水中的花粉时,发现了水中的花粉及其它悬浮的微小颗粒不停地作不规则的折线运动.事实上在布朗之前,已经有人报告了这种现象.但由于布朗第一个系统而深入地研究了这一现象,因此这种现象被称作布朗运动.在布朗之后很长一段时间内,人们都不知道布朗运动发生的原理.直到19世纪70年代,才有一些学者对布朗运动作出了定性分析,他们指出,这些微小颗粒的运动是受到周围分子的不平衡的碰撞而导致的.1905年,爱因斯坦(A.Einstein,1879～1955)发表了关于布朗运动的数学描述,他把布朗粒子视为理想气体巨分子系统.1908年,佩兰(J .Perrin ,1870～1942)用一系列出色的实验,证明了布朗粒子作为一种巨分子系统的热学性质.爱因斯坦和佩兰等物理学家关于布朗运动的文章,深深影响了维纳的早期工作.1923年,维纳(N.Wiener,1894～1964)给出了布朗运动的严格的数学理论,并作出了一系列工作,极大地促进了布朗运动数学理论的发展.本文旨在考察维纳建立布朗运动数学理论的过程. 1 维纳的生平和学术背景 维纳1894年11月26日生于美国密苏里州的哥伦比亚.他的父亲列奥维纳出生于俄国,18岁时移居美国.列奥维纳通过刻苦自学,成为哈佛大学斯拉夫语教授.列奥维纳对儿子寄予厚望,希望他在学术上有所成就. 维纳是一个名符其实的神童,他的父亲很早就发现了儿子的天赋,并坚信借助于环境进行教育的重要性,他从一开始学习就实施严格的教育计划.维纳三岁半开始读书,生物学和天文学的初级科学读物就成了他在科学方面的启蒙书籍.从此,他兴致勃勃,埋首于五花八门的科学读本.七岁时,开始深入物理学和生物学的领域,甚至超出了他父亲的知识范围.从
气溶胶灭火剂的性能（3） 作者： 三、气溶胶的动力学性质 1．气溶胶粒子的力学问题 一般而言，气溶胶粒子受到以下三种力的作用： （1）外力：如重力、电场力或离心力等； （2）周围介质的作用力：如气体介质对粒子运动的阻力，流体作为连续介质所形成的流体动力，流体中个别分子对粒子无规则撞击的热动力等； （3）粒子间相互作用的势力：如范德华力、库仑力等； 气溶胶粒子的力学现象虽然形形色色，若从基本过程考虑，大体有三类： （1）粒子在重力作用下的沉降过程和外力作用下的沉淀过程或扬起过程； （2）粒子之间在三种力联合作用下的碰并过程； （3）粒子上的物质与传热过程。 气溶胶粒子体系是一个多粒子体系，因此气溶胶粒子沉降等力学现象在大多数情况下是多粒子相互作用而产生的力学现象。多粒子力学即使在低雷诺数（Re）条件下也很难求解，为此在研究过程中总是把气溶胶粒子简化为一个孤粒子力学问题，同时又假定粒子形状为球形。因此，目前对气溶胶粒子的动力学研究仍较多地局限于球形粒子范围内。 2．气溶胶的动力学 气溶胶的动力学特性主要表现在三个方面：布朗运动、扩散、沉降与沉降平衡。其中最主要的是布朗运动，它是后两个特性的基础。另外，气溶胶还具有碰并和凝并的特点。（1）布朗运动 1827年，英国植物学家布朗（Brown）在显微镜下观察到悬浮于水中的花粉粒子处于不停息的，无规则的运动状态。以后发现凡是线度小于4×10-6m的粒子，在分散介质中皆呈现这种运动，由于这种现象是由布朗首先发现的故称为布朗运动。 气溶胶微粒的无规则热运动，是由于分散介质中气体分子的无规则热运动造成的。悬浮于气体中的微粒，处在气体分子的包围之中，气体分子一直处于不停的热运动状态，它们从四面八方连续不断地撞击着这些微粒。如果这些微粒相当大，则某一瞬间气体分子从各个方面对粒子的撞击可以彼此抵消，粒子便不会发生位移；若这些微粒较小时，则此种撞击便会不平衡，这意味着在某一瞬间，微粒从某一方向得到的冲量要多一些，因而会向某一方面发生位移，而在另一时刻，又从另一方向得到较多的冲量，因而又使其向另一方向运动，这样我们便能观察到微粒在不停地如图3-1所示的连续的、不断的、不规则的折线运动，由此可见，布朗运动是分子热运动的必然结果，是胶体粒子的热运动。 1905年爱因斯坦用几率的概念和分子运动论的观点，创立了布郎运动的理论，并推导出爱因斯坦——布朗平均位移公式： X=（RTt/3NAπrη）1/2 式中：X——t时间间隔内粒子的平均位移； r——微粒的半径； η——分散介质的粘度系数； T——温度； R——摩尔气体常数； NA——阿佛加德罗常数。 由上式可知，当其它条件一定时，微粒的平均位移与其粒径的平方根呈反比，这就是说粒径越小，微粒的布朗运动越剧烈。
证明液体、气体分子做杂乱无章运动的最著名的实验，是英国植物学家布朗发现的布朗运动。 1827年，布朗把藤黄粉放入水中，然后取出一滴这种悬浮液放在显微镜下观察，他奇怪地发现，藤黄的小颗粒在水中像着了魔似的不停运动，而且每个颗粒的运动方向和速度大小都改变得很快，好像在跳一种乱七八糟的舞蹈。就是把藤黄粉的悬浮液密闭起来，不管白天黑夜，夏天冬天，随时都可以看到布朗运动，无论观察多长时间，这种运动也不会停止。在空气中同样可以观察到布朗运动，悬浮在空气里的微粒（如尘埃），也在跳着一种杂乱无章的舞蹈。 发生布朗运动的原因是组成液体或者气体的分子本性好动。比如在常温常压下，空气分子的平均速度是500m/s，在1秒钟里，每个分子要和其他分子相撞500亿次。好动又毫无规律的分子从四面八方撞击着悬浮的小颗粒，综合起来，有时这个方向大些，有时那个方向大些，结果小颗粒就被迫做起忽前忽后、时左时右的无规则运动来了。 你倒一杯热水和一杯冷水，然后向每个杯里滴进一滴红墨水，热水杯里的红墨水要比冷水杯里的扩散得快些。这说明温度高，分子运动的速度大，并且随着物体温度的增高而增大，因此分子的运动也做热运动。热传导是固体中热传递的主要方式。在气体或液体中，热传导过程往往和对流同时发生。各种物质都能够传导热，但是不同物质的传热本领不同。善于传热的物质叫做热的良导体，不善于传热的物质叫做热的不良导体。各种金属都是热的良导体，其中最善于传热的是银，其次是铜和铝。瓷、纸、木头、玻璃、皮革都是热的不良导体。最不善于传热的是羊毛、羽毛、毛皮、棉花、石棉、软木和其他松软的物质。液体中，除了水银以外，都不善于传热，气体比液体更不善于传热。 义悬浮微粒不停地做无规则运动的现象叫做布朗运动 例如，在显微镜下观察悬浮在水中的藤黄粉、花粉微粒，或在无风情形观察空气中的烟粒、尘埃时都会看到这种运动。温度越高，运动越激烈。它是1827年植物学家R.布朗首先发现的。作布朗运动的粒子非常微小，直径约1~10纳米，在周围液体或气体分子的碰撞下，产生一种涨落不定的净作用力，导致微粒的布朗运动。如果布朗粒子相互碰撞的机会很少，可以看成是巨大分子组成的理想气体，则在重力场中达到热平衡后，其数密度按高度的分布应遵循玻耳兹曼分布。J.B.佩兰的实验证实了这一点，并由此相当精确地测定了阿伏伽德罗常量及一系列与微粒有关的数据。1905年A.爱因斯坦根据扩散方程建立了布朗运动的统计理论。布朗运动的发现、实验研究和理论分析间接地证实了分子的无规则热运动，对于气体动理论的建立以及确认物质结构的原子性具有重要意义，并且推动统计物理学特别是涨落理论的发展。由于布朗运动代表一种随机涨落现象，它的理论对于仪表测量精度限制的研究以及高倍放大电讯电路中背景噪声的研究等有广泛应用。 这是1826年英国植物学家布朗（1773-1858）用显微镜观察悬浮在水中的花粉时发现的。后来把悬浮微粒的这种运动叫做布朗运动。不只是花粉和小炭粒，对于液体中各种不同的悬浮微粒，都可以观察到布朗运动[1]。 那么，布朗运动是怎么产生的呢？在显微镜下看起来连成一片的液体，实际上是由许许多多分子组成的。液体分子不停地做无规则的运动，不断地抓高年级微粒。悬浮的微粒足够小时，受到的来自各个方向的液体分子的撞击作用是不平衡的。在某一瞬间，微粒在另一个方向受到的撞击作用强，致使微粒又向其它方向运动。这样，就引起了微粒的无规则的布朗运动。 1827年，苏格兰植物学家R·布朗发现水中的花粉及其它悬浮的微小颗粒不停地作不规则的曲线运动，称为布朗运动。人们长期都不知道其中的原理。50年后，J·德耳索提出这些微小颗粒是受到周围分子的不平衡的碰撞而导致的运动。后来得到爱因斯坦的研究的证明。布朗运动也就成为分子运动论和统计力学发展的基础。