1．正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．2．正方形的性质
正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质：
①边的性质：对边平行，四条边都相等．
②角的性质：四个角都是直角．
③对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，?每条对角线平分一组对角．
【补充】如图，P为正方形ABCD对角线上一点，PE BC
⊥于F.
⊥于E，PF CD
求证：AP EF
=.
F E
P
D
C
B A
、
C
B
【例7】 如图，正方形ABCD 中，在AD 的延长线上取点E ，F ，使D E A D
=，DF BD =．连结BF 分别交CD ，
CE 于H ，G ．求证：GHD ?是等腰三角形．
《正方形的判定》的教学设计 教学目的：使学生掌握正方形的定义、性质和判定，会用正方形的概念和性质进行有关的论证和计算，理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的内在联系和区别，进一步加深对“特殊与一般的认识。 教学重点：正方形的定义． 教学难点：正方形与矩形、菱形间的关系． 教学方法：双边合作如：在教学时可播放转换动画使学生获得生动、形象的可视思维过程，从而掌握判定一个四边形是正方形的方法．为了活跃学生的思维，可以得出下列问题让学生思考： （1）对角线相等的菱形是正方形吗？为什么？ （2）对角线互相垂直的矩形是正方形吗？为什么？ （3）对角线垂直且相等的四边形是正方形吗？为什么？如果不是，应该加上什么条件？ （4）能说“四条边都相等的四边形是正方形”吗？为什么？ （5）说“四个角相等的四边形是正方形”，对吗？ 教学过程： 让学生将事先准备好的矩形纸片，按要求对折一下，裁出正方形纸片． 问：所得的图形是矩形吗？它与一般的矩形有什么不同？ 所得的图形是菱形吗？它与一般的菱形有什么不同？ 所得的图形在小学里学习时称它为什么图形？它有什么特点？ 由此得出正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． （一）新课 由正方形的定义可以得知：正方形是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形，因此正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质． 请同学们推断出正方形具有哪些性质？ 性质１、（１）正方形的四个角都是直角。 （２）正方形的四条边相等。 性质２、（１）正方形的两条对角线相等。 （２）正方形的两条对角线互相垂直平分。 （３）正方形的每条对角线平分一组对角。 例1 求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O． 求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形． 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AC=BD，AC⊥BD，AO=CO=BO=DO （正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分）． ∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形，并且△ABO≌△ BCO≌△CDO≌△DAO． 问：如何判定一个四边形是正方形呢？ 正方形的判定方法： 1.先判定四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形； 2.先判定四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形．
课题：正方形（性质） 授课人：冯光军 教学目标 知识目标： 了解正方形的有关概念，理解并掌握正方形的性质． 能力目标： 经历探索正方形有关性质、判定条件的过程，在观察中寻求新知，在探究中发展推理能力，逐步掌握说理的基本方法． 情感目标： 培养合情推理能力和探究习惯，体会平面几何的内在价值． 教学重点、难点、关键 重点：探索正方形的性质． 难点：掌握正方形的性质． 关键：把握正方形既是矩形又是菱形这一特性来学习本节课内容． 教学准备 教师准备：矩形纸片，活动的菱形框架． 学生准备：复习平行四边形、矩形、菱形性质，预习本节课内容． 学法解析 1．认知起点：已积累了几何中平行四边形、矩形、菱形等知识，?在取得一定的经验的基础上，认知正方形． 2．知识线索： 3．学习方式：采用自导自主学习的方法解决重点，突破难点． 教学过程 一、合作探究，导入新课 显示内容：举出生活中有关正方形例子，展示出正方形图片。 【活动方略】 教师活动：边展示图片，边提出下面的问题： 1．同学们观察的图片后，有什么联想？正方形四条边有什么关系？?四个角呢？ 2．正方形是矩形吗？是菱形吗？为什么？ 3．正方形具有哪些性质呢？ 学生活动：观察展示的正方形图片．进行联想．易知：1．?正方形四条边都相等（小学已学过）；正方形四个角都是直角（小学学过）． 实验活动：教师拿出矩形折叠．然后展开，让学生发现：只要矩形一组邻边相等，这样的特殊矩形是正方形；同样，教师拿出活动菱形框架，运动中让学生发现：只要菱形有一个内角为90°，这样的特殊菱形是正方形． 教师活动：组织学生联想正方形还具有哪些性质，板书画出一个正方形，如下图：
九年级·数学·上册·总第（）课时·授课时间：年月日 教学课题：§正方形的性质与判定（1）·课型：新授课 教学目标：（1）理解正方形的概念，了解它与菱形、矩形、平行四边形之间关系。 （2）经历正方形性质定理的探究过程，进一步发展合情推理能力。 （3）能够用综合法证明正方形的性质定理，进一步发展演绎推理能力。 教学重点：正方形性质的探究与证明； 教学难点：探究正方形的性质，并利用正方形的性质解决实际问题 二次备课 ` 教学流程 一、检 问题1：菱形的定义及其的性质： 问题2：矩形的定义及其性质： 问题3：小学学习的正方形与平行四边形有怎样的关系吗 二、学 问题4：有的平行四边形叫做正方 形。 · 问题5：正方形不但是特殊的平行四边形，还是特殊的、； 正方形具有以下性质： 从对称性看： 从边看： 从角看： 从对角线看： 问题7：请你完成正方形的性质定理的证明： % 正方形的性质定理1： 正方形的性质定理2： ）
三、讲 例1、如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE=CF。BE与DF有怎样的关系请说明理由。 ] 例2、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间有什么关系你能用一个图直观地表示它们之间的关系吗与同伴交流。 ~ 四、测 （一）练习检测 1．正方形既是矩形，也是；正方形的四条边都、四个角都是、对角线。 2.已知:一个正方形的边长为2cm，则这个正方形的对角线长为cm 3.见课本第21页的随堂练习 （二）归纳总结： （1）正方形的性质： 】 （2）正方形与平行四边形、矩形、菱形的关系： （三）课后作业 必做题：习题的1、2、3题
18.2.3正方形 第1课时正方形的性质 1．掌握正方形的概念、性质，并会用它们进行有关的论证和计算；(重点) 2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别．(难点) 一、情境导入 做一做：用一张长方形的纸片(如图所示)折出一个正方形．学生在动手中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系． 问题：什么样的四边形是正方形？ 二、合作探究 探究点一：正方形的性质 【类型一】特殊平行四边形的性质的综合 菱形，矩形，正方形都具有的性质是() A．对角线相等且互相平分 B．对角线相等且互相垂直平分 C．对角线互相平分 D．四条边相等，四个角相等 解析：选项A不正确，菱形的对角线不相等；选项B不正确，菱形的对角线不相等，矩形的对角线不互相垂直；选项C正确，三者均具有此性质；选项D不正确，矩形的四条边不相等，菱形的四个角不相等．故选C. 方法总结：正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的所有性质． 【类型二】利用正方形的性质解决线段的计算或证明问题 如图所示，正方形ABCD的边长为1，AC是对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC于
点F . (1)求证：BE ＝CF ； (2)求BE 的长． 解析：(1)由角平分线的性质可得到BE ＝EF ，再证明△CEF 为等腰直角三角形，即可证BE ＝CF ；(2)设BE ＝x ，在△CEF 中可表示出CE .由BC ＝1，可列出方程，即可求得BE . (1)证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴∠B ＝90°.∵EF ⊥AC ，∴∠EF A ＝90°.∵AE 平分∠BAC ，∴BE ＝EF .又∵AC 是正方形ABCD 的对角线，∴AC 平分∠BCD ，∴∠ACB ＝45°，∴∠FEC ＝∠FCE ＝45°，∴EF ＝FC ，∴BE ＝CF ； (2)解：设BE ＝x ，则EF ＝CF ＝x ，CE ＝1－x .在Rt △CEF 中，由勾股定理可得CE ＝2x .∴2x ＝1－x ，解得x ＝2－1，即BE 的长为2－1. 方法总结：正方形被每条对角线分成两个直角三角形，被两条对角线分成四个等腰直角三角形，因此正方形的计算问题可以转化到直角三角形和等腰直角三角形中去解决． 【类型三】 利用正方形的性质解决角的计算或证明问题 在正方形ABCD 中，点F 是边AB 上一点，连接DF ，点E 为DF 的中点．连接 BE 、CE 、AE . (1)求证：△AEB ≌△DEC ； (2)当EB ＝BC 时，求∠AFD 的度数． 解析：(1)根据“正方形的四条边都相等”可得AB ＝CD ，根据“正方形每一个角都是直角”可得∠BAD ＝∠ADC ＝90°，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得 AE ＝EF ＝DE ＝12 DF ，根据“等边对等角”可得∠EAD ＝∠EDA ，再得出∠BAE ＝∠CDE ，然后利用“SAS ”证明即可；(2)根据“全等三角形对应边相等”可得EB ＝EC ，再得出△BCE 是等边三角形．根据等边三角形的性质可得∠EBC ＝60°，然后求出∠ABE ＝30°.再根据“等腰三角形两底角相等”求出∠BAE ，然后根据“等边对等角”可得∠AFD ＝∠BAE . (1)证明：在正方形ABCD 中，AB ＝CD ，∠BAD ＝∠ADC ＝90°.∵点E 为DF 中点，∴AE ＝EF ＝DE ＝12 DF ，∴∠EAD ＝∠EDA .∵∠BAE ＝∠BAD －∠EAD ，∠CDE ＝∠ADC －∠EDA ，∴∠BAE ＝∠CDE .在△AEB 和△DEC 中，?????AB ＝CD ，∠BAE ＝∠CDE ，AE ＝DE ，
1.3正方形的性质与判定 第1课时正方形的性质 一、填空题 1、如图，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE＝BC，则∠ACE＝°. 2、如图，四边形ABDC是正方形，延长CD到点E ，使CE=CB ，则∠ AEC ＝ °. 3、如图，正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，AE平分∠DAC,则下列结论：①∠E= 22.5°；②∠AFC=112.5°；③∠ACE=135°；④AC=CE；⑤AD∶CE=1∶ 2. 其中正确的有个. 4、如图，等边△EDC在正方形ABCD内，连结EA、EB，则∠AEB＝°；∠ACE＝°. 5、已知正方形ABCD，以CD为边作等边△CDE，则∠AED的度数是°. 6、如图，四边形ABCD是正方形，E是边CD上一点，若△AFB经过逆时针旋转角θ（0°＜θ＜180°）后， 与△AED重合，则θ值为° 第6题图第7题图第8题图第9题图 7、已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE = 2，EC = 1，把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC 上的点F处，则F、C两点的距离为___________. 8、如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点 P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为 . 9、如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B'处，点A对应 点为A'，且C B'=3，则CN= ；AM的长是 . 10、正方形的面积是 3 1，则其对角线长是________. 11、如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是 . 第1题图第2题图第3题图第4题
1．3正方形的性质与判定 第1课时正方形的性质 1．了解正方形的有关概念，理解并掌握正方形的性质定理；(重点) 2．会利用正方形的性质进行相关的计算和证明．(难点) 一、情景导入 如图(1)所示，把可以活动的矩形框架ABCD的BC边平行移动，使矩形的邻边AD，DC相等，观察这时矩形ABCD的形状． 如图(2)所示，把可以活动的菱形框架ABCD的∠A变为直角，观察这时菱形ABCD的形状． 图(1)中图形的变化可判断矩形ABCD→特殊的四边形是什么四边形？图(2)中图形变化可判断菱形ABCD→特殊的四边形是什么四边形？经过观察，你发现既是矩形又是菱形的图形是什么四边形？ 引入正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形． 注意：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，即：有一组邻边相等的矩形是正方形或有一个角是直角的菱形是正方形． 二、合作探究 探究点一：正方形的性质 如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC 与BD相交于点O，AO＝2，求正方形的周长与面积．
解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，OA＝OD＝2. 在Rt△AOD中，由勾股定理，得 AD ＝OA2＋OD2＝22＋22＝8. ∴正方形的周长为4AD＝48＝82，面积为AD2＝(8)2＝8. 方法总结：结合勾股定理，充分利用正方形的四边相等、四角相等、对角线相等且互相垂直平分的性质，是解决与正方形有关的题目的关键． 探究点二：正方形的性质的应用 【类型一】利用正方形的性质求角度 四边形ABCD是正方形，△ADE是等边三角形，求∠BEC的大小． 解析：等边△ADE可以在正方形的内部，也可以在正方形的外部，因此本题分两种情况． 解：当等边△ADE在正方形ABCD外部时，如图①，AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°. ∴∠AEB＝15°. 同理可得∠DEC＝15°. ∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°； 当等边△ADE在正方形ABCD内部时，如图②，AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°，∴∠AEB＝75°. 同理可得∠DEC＝75°. ∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°. 综上所述，∠BEC的大小为30°或150°. 易错提醒：因为等边△ADE与正方形ABCD有一条公共边，所以边相等．本题分两种情况：等边△ADE在正方形的外部或在正方形的内部． 【类型二】利用正方形的性质求线段长 如图，正方形ABCD的边长为1cm，AC 为对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的长． 解析：线段BE是Rt△ABE的一边，但
正方形的定义性质判定 执笔：陈振华课型：新课审稿：八年级数学组 教学目标：理解正方形的定义，掌握正方形的性质和判定方法 预习导航 一、理解定义 1、如何将长方形纸片折叠后得到正方形图形，折一折 2 由上面的操作可给正方形定义为______________的矩形叫正方形 3、如何将顶点不固定的棱形变为正方形 因此，我们还可以把_____________的棱形叫正方形 二、找性质 1、因为正方形是特殊的矩形，所以它具有矩形的性质，对边_________，四角都 是__________，对角线_______________ 2、因为正方形是特殊的棱形，所以它具有棱形的性质，四边_____，对角线___ ___且_________ 讲例与探究 探究一、（1）求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成了四个全等的等腰直角三角形 （2）若边长为a，求BO的长 D 探究二、 边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30度到正方形AB 1C 1 D 1 的位置，则图 中阴影部分的面积是
1、求证：对角线互相垂直的矩形是正方形 2、在边长为12cm 的正方形纸片ABCD 的BC 边上有一点P ，已知PB ＝5cm ，如果将纸折起，使点A 落在点P 上，试求折痕的长度。 3、设P 是正方形ABCD 内的一点，满足PA ∶PB ∶PC ＝1∶2∶3，求∠APB ． 4、 ABCD 为正方形，MN ∥AB 且MN 分别交OA 、OB 于M 、N ， 求证：BM ＝CN 。
2、如图，正方形ABCD 中，△BEC 为等边三角形，求∠EAD 的度数 3、四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 上任一点，∠AEF=90°，且EF 交正方形的外角的平分线CF 于点F ，求证：AE=AF 1．如图(5)，在AB 上取一点C ，以AC 、BC 为正方形 的一边在同一侧作正方形AEDC 和BCFG 连结AF 、BD 延长BD 交AF 于H 。 试猜想AF 与BD 的关系并证明 B A
主讲：叶良国 课题：正方形的性质与判定（1） 课型：新授课 教学目标： 1．了解正方形概念，理解并掌握正方形的性质和判定方法，通过由一般到特殊的研究方法，分析平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念及性质之间的区别与联系．并形成文本信息与图形信息相互转化的能力． 2．在观察、操作、推理、归纳等探索明正方形的性质和判定定理过程中，发展合情推理能力，进一步培养自己的说理习惯与能力 3．培养学生勇于探索、团结协作交流的精神．激发学生学习的积极性与主动性． 教学重难点： 重点：探索正方形的性质与判定。 难点：掌握正方形的性质和判定的应用方法。 关键：把握正方形既是矩形又是菱形这一特性来学习本节内容教学过程 教学过程： 一、回忆童年，情境引入 想一想：什么是矩形？是菱形？ 做一做：大家小时候都做过风车吗？在准备材料的时候我们往往会先折一张正方形的纸片，大家来做一做用一张长方形的纸片折出一个正方形． 设计意图：学生在动手中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系． 猜一猜：什么样的平行四边形是正方形？ 正方形定义：有一组邻边相等 ．．．．．叫做正方形． ．．．．．．．的平行四边形 ．．．．．．并且有一个角是直角 看一看：几何画板演示动画 设计意图：从学生的生活实际出发，从制作、动画中，提出问题，创设情境，激发学生强烈的好奇心和求知欲。 我们这节课就来研究正方形．板书课题【正方形的性质与判定】
二、实践探究，交流新知 师：其定义包括了两层意：⑴有一组邻边相等的平行四边形（菱形）⑵有一个角是直角的平行四边形（矩形），所以说正方形既是菱形又是矩形． 平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系？你能用一个图直观地表示它们之间的关系吗？与同伴交流． 生：画图展示 设计意图：锻炼学生文本信息图形化的能力．构建他们之间的逻辑关系；重建学生的认知结构． 师：正方形都具有什么性质呢？ 生：由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．所以它应该具备菱形和矩形的所有性质．（多媒体补充显示性质）正方形性质 ①正方形的四个角都是直角，四条边都相等． ②正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分． 师：同学们从正方形定义中能尝试口述这两个命题的证明过程吗？ 生：学生独立完成，并相互交流 师：正方形有几条对称轴？ 生：思考或者画图验证 师：什么样的矩形是正方形？什么样的菱形是正方形？（多媒体演示） 设计意图：通过分析让学生感受到正方形与矩形和菱形、平行四边形的紧密联系，明确正方形的判定。 生：回答正方形判定（多媒体补充显示判定） 正方形的判定 ①有一组邻边相等的矩形是正方形． ②有一个角是直角的菱形是正方形．
科目数学课题正方形及其性质 学习 目标 熟练掌握正方形的定义及边、角、对角线的性质。 知道正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别。 3、应用正方形的性质进行相关计算、证明。 课前准备： 温故：1、矩形的性质是什么？ 2、菱形的性质是什么？ 二、初步探究 1、同学们观察下列一组图片、你发现了那些几何图形： 2、动手操作：制作一张正方形纸片，通过折叠并观察，回答下列问题. 问：它是轴对称图形吗？有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？有什么数量关系？ 3、图中有哪些相等的线段？③图中有哪些相等的角？（组内交流、互相指出来） 4、正方形性质：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形．正方形具的性质，同时又具有的性质． 总结：正方形的性质： 正方形边的性质： 正方形角的性质： 正方形对角线的性质： 结论：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 正方形的性质：正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形、菱形.所以它具有这些图形的所有性质. 正方形是轴对称图形，有四条对称轴. 四条边相等、四个角是直角、对角线相等并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角. 三、对应练习 1）正方形的边长为4cm，则周长为（），面积为（），对角线长为（）；2））正方形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，AC=4 cm,则正方形的边长为（），周长为（），面积为（）
3）在正方形ABCD中，AB=12 cm，对角线AC、BD相交于O，OA= ,AC= 。 4） 1、正方形具有而矩形不一定具有的性质是( ) A、四个角相等 B、对角线互相垂直平分 C、对角互补 D、对角线相等. 5）、正方形具有而菱形不一定具有的性质（） A、四条边相等 B对角线互相垂直平分 C对角线平分一组对角 D对角线相等. 6）、正方形对角线长6，则它的面积为_________ ,周长为________． 7）、顺次连接正方形各边中点的小正方形的面积是原正方形面积的（） A．1/2 B．1/3 C．1/4 D．1/ 5 四：范例讲解：1、（课本P21例一）学生自己阅读课本内容、注意证明过程的书写2、如图，分别以△ABC的边AB,AC为一边向外画正方形AEDB和正方形ACFG，连接CE,BG.求证：BG=CE 五：小结 六：课时作业
八年级下数学导学稿 18.2.3正方形的定义和性质 、学习目标 1. 掌握正方形的概念，理解它具有矩形和菱形一切性质，并会应用它们计算和证明。 2. 掌握正方形、矩形和菱形间的概念、性质的区别和联系。 3. 学会用正方形的性质解决一些问题，进一步发展学生的推理能力。 二、 学习重点、难点 1 ?学习重点：正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的性质的联系. 2 ?学习难点：正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质的灵活运用. 三、 学习过程 （一）知识回顾 1 ?做一做：用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方形. 学生在动手做中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系?问题：什么样的四边形是正方 形？ 2. 分别说说平行四边形、矩形、菱形的定义和性质。 （二） 自主学习 （1） . 正方形有什么特点？它是矩形吗？它是菱形吗? （2） . 正方形和矩形、菱形相比有什么特殊的地方 （3） . 正方形如何定义？它有什么性质？ （4） . 命题的证明包括几个步骤？ （三） 创设情景一 创设情景二 （四）正方形的定义 四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系用图如何表达 （五）正方形有什么性质？ 它是特殊的平行四边形、特殊的矩形、特殊的菱形 由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形. 所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质. 1个僮
学生分组讨论，得出正方形的性质 （六）、例习题分析 例1 （教材P111的例4）求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形. 已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC BD相交于点0 （如图）. 求证：△ ABO △ BCO △ CDO △ DAO 是全等的等腰直角三角形. 例2 （补充）已知：如图，正方形ABCD中,对角线的交点为O, E是OB上的一点，DGLAE于G, DG 交OA于F. 求证：OE=OF 分析：要证明OE=OF只需证明厶AEO^^ DFO由于正方形的对角线垂直平分且相等，可以得到/ AOE= / DOF=90°, AO=DO再由同角或等角的余角相等可以得到/ EAO2 FDQ根据ASA可以得到这两个三角形 全等，故结论可得. 证明：???四边形ABCD是正方形， ???/ AOE M DOF=90 , AO=D（正方形的对角线垂直平分且相等）. 又DGL AE ?- / EAO# AEO N EDG￡AEO=90 . / EAO# FDO ?△ AEO ◎△ DFO ?OE=OF . 四、尝试练习 1、正方形具有而矩形不定具有的性质是() A 、四个角相等? B 、对角线互相垂直平分 C、对角互补? D 、对角线相等? ) 2、正方形具有而菱形不 A 、四条边相等? 定具有的性质（ B 、对角线互相垂直平分? C 、对角线平分一组对角? D 、对角线相等? 3. 一个正方形的面积等于8，则其对角线的长为________ D U
A D C B F E M 图3 A N M F E D C B 备课教师备课年级八年级下册课型新授课 备课内容正方形学生 学习目标 1．知道正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算 2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别 教学重点正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系 教学难点正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用 教学准备多媒体课件、矩形纸片、菱形学具 教学过程： 题组训练一 1.请同学们口述平行四边形、矩形、菱形的定义和它们的特殊性质。 平行四边形矩形菱形定义 边 角 对角线
图3
1、探究正方形的性质：（用符号语言填写） 正方形是特殊的平行四边形，既是矩形，又是___________ 边：______________________________________________ 角：________________________________________________ 对角线：_______________________________对称性：_________________________ 2、例：在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在AB ，AD 上，且BE ＝AF ，连接CE ，BF 相交于点G 。求证：BF ⊥CE 设计意图：课前学习微视频认识正方形，让学生用类比的方法从边、角、对角线三个角度总结正方形的性质，用文字语言叙述并用几何语言表示。在此基础上观察正方形是不是轴对称图形，并思考对称轴的条数。小组讨论的过程中教师要给与指导，并且重点关注学生能否用几何语言准确表示正方形的性质。教学中渗透转化思想，让学生理解几何语言、文字语言、图形语言三者之间的关系。 合作探究 精讲点拨 课堂升华 E 、 F 、M 、N 是正方形ABCD 四边上的点，AE=BF=CM=DN ，求证：四边形EFMN 是正方形。 设计意图： 练习题设置简单，基础，让学生进一步了解正方形的性质，并熟悉正方形常用的判定方法，教师重点关注学生的思维过程，对学生的答案及时评价，给学生充分的肯定和鼓励。同时注意总结应用的知识点及帮助学生完善思维过程。 B A D C 图1 O A N M F E D C B
教学目标: 佃.2.3正方形 1 ?掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算. 2?理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别，通过正方形与平行四边形、矩 形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力. 教学重点、难 点 1 ?教学重点：正方形定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系. 2?教学难点：正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用. 教 学过程： 第一时段：课前 预习提纲： 1 、阅读教材，思考本节课的重点知识有哪些? 2 、完成课后的基础性练习； 3 、在课本上标出自己不理解或不明白的地 方。 第二时段：课中 一、有趣的导入 1做一做：用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方形. 学生在动手做中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系. 问题：什么样的四边形是正方形? 正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 指出：正方形是在平行四边形这个大前提下定义的，其定义包括了两层意: （1）有一组邻边相等的平行四边形（菱形） （2）有一个角是直角的平行四边形（矩形）正方形 2.［问题】正方形有什么性质？ 由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形. 、矩|形 \ I 正方形 所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质. 、知识的输入
例 1 （教材P111的例4）求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直 角三角形. 已知：四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC 、BD 相交于点0 （如图）. 求证：△ ABO 、△ BCO 、△ CDO 、△ DAO 是全等的等腰直角三角形. 证明：??? 四边形ABCD 是正方形， AC=BD , AC 丄 BD , AO=CO=BO=DO （正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分） . ??? △ ABO 、△ BCO 、△ CDO 、△ DAO 都是等腰直角三角形， 并且 △ ABO BCO ^A CDODAO . 例2 （补充）已知：如图，正方形 ABCD 中，对角线的交点为 O , E 是OB 上 的一点，DG 丄AE 于G , DG 交OA 于F .求证：OE=OF . 分析：要证明 OE=OF ，只需证明△ AEO DFO ,由于正方形的对角线垂直 平分且相等，可以得到/ AOE= / DOF=90 , AO=DO ,再由同角或等角的余角相等可以得到 / EAO= / FDO ，根据ASA 可以得到这两个三角形全等，故结论可得. 三、智慧的点拨 例3 （补充）已知：如图，四边形 ABCD 是正方形，分别过点 A 、C 两点作 l i // I 2,作BM 丄X 于M , DN 丄h 于N ，直线 MB 、DN 分别交I ?于Q 、P 点. 求证：四边形 PQMN 是正方形. 分析：由已知可以证出四边形 PQMN 是矩形，再证△ ABM DAN ，证 四、练习的有效 1. __________________ 正方形的四条边 ________ —__，四个角 — ，两条对角线 2. 下列说法是否正确，并说明理由. ① 对角线相等的菱形是正方形； （） ② 对角线互相垂直的矩形是正方形； （） ③ 对角线垂直且相等的四边形是正方形； （） ④ 四条边都相等的四边形是正方形； （） ⑤ 四个角相等的四边形是正方形 .（） 1. 已知：如图，四边形 ABCD 为正方形，E 、F 分别 为CD 、CB 延长线上的点，且 DE = BF .求证：/ AFE = Z AEF . 4.如图，E 为正方形 ABCD 内一点，且△ EBC 是等边三角形，求/ EAD 与/ ECD 的度数. 五、输出的彰显 出AM=DN ，用同样的方法证 AN=DP .即可证出 MN=NP .从而得出结论. C B /1 D
第十八章 平行四边形 18.2.3 正方形 第1课时 正方形的性质 学习目标：1.理解正方形的概念； 2. 探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和 区别； 3. 会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题. 重点：探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别. 难点：会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题. 一、知识回顾 1.你还记得长方形有哪些性质吗？ 2.菱形的性质又有哪些？ 一、要点探究 探究点1：正方形的性质 想一想 1.矩形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么发现？ 2.菱形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么发现？ 要点归纳：正方形定义：有一组邻边_____并且有一个角是_____的__________叫正方形. 想一想 正方形是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有.那你能说出正方形的性质吗？ 1.正方形的四个角都是_________,四条边_________. 2.正方形的对角线________且互相______________. 证一证 已知：如图,四边形ABCD 是正方形. 求证：正方形ABCD 四边相等,四个角都是直角. 证明：∵四边形ABCD 是正方形. ∴∠A=____°, AB_____AC. 又∵正方形是平行四边形. 课堂探究 自主学习 教学备注 学生在课前完成自主学习部分 配套PPT 讲授 1.情景引入 （见幻灯片3） 2.探究点1新知讲授 （见幻灯片4-19） 邻边_____ 一个角是_____
∴∠A___∠B___∠C___∠D =____°, AB___BC___CD___AD. 已知：如图,四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于点O. 求证：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD. 证明：∵正方形ABCD是矩形, ∴AO___BO___CO___DO. ∵正方形ABCD是菱形. ∴AC___BD. 想一想请同学们拿出准备好的正方形纸片,折一折,观察并思考.正方形是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴有几条? 要点归纳：平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系： 正方形的性质：1.正方形的四个角都是直角,四条边相等. 2.正方形的对角线相等且互相垂直平分. 典例精析 例1如图，在正方形ABCD中，ΔBEC是等边三角形. 求证：∠EAD＝∠EDA＝15°. D A B C E 变式题1 四边形ABCD是正方形,以正方形ABCD的一边作等边△ADE,求∠BEC的大小．教学备注 2.探究点1新知讲授 （见幻灯片4-19）
22.3正方形的性质习题解答 一、选择题（共13小题） 1、如图，△ABC是一个等腰直角三角形，DEFG是其内接正方形，H是正方形的对角线交点；那么，由图中的线段所构成的三角形中相互全等的三角形的对数为（） A、12 B、13 C、26 D、30 2、（2006?大兴安岭）如图所示，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE=DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④S△AOB=S四边形DEOF中，错误的有（） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 3、如图，在正方形ABCD中，AB=4，E为CD上一动点，AE交BD于F，过F作FH⊥AE于H，过H作GH⊥BD于G，下列有四个结论：①AF=FH，②∠HAE=45°，③BD=2FG，④△CEH的周长为定值，其中正确的结论有（） A、①②③ B、①②④ C、①③④ D、①②③④ 4、一个围棋盘由18×18个边长为1的正方形小方格组成，一块边长为1.5的正方形卡片放在棋盘上，被这块卡片覆盖了一部分或全部的小方格共有n个，则n的最大值是（） A、4 B、6 C、10 D、12 5、如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是（） A、75° B、60° C、54° D、67.5° 6、在平面直角坐标系中，称横、纵坐标均为整数的点为整点，如下图所示的正方形内（包括边界）整点的个数是
（） A、13 B、21 C、17 D、25 7、在同一平面上，正方形ABCD的四个顶点到直线l的距离只取四个值，其中一个值是另一个值的3倍，这样的直线l可以有（） A、4条 B、8条 C、12条 D、16条 8、如图，正方形ABCD的边长为1，E为AD中点，P为CE中点，F为BP中点，则F到BD的距离等于（） A、B、 C、D、 9、搬进新居后，小杰自己动手用彩塑纸做了一个如图所示的正方形的挂式小饰品ABCD，彩线BD、AN、CM将正方形ABCD分成六部分，其中M是AB的中点，N是BC的中点，AN与CM交于O点．已知正方形ABCD的面积为576cm2，则被分隔开的△CON的面积为（） A、96cm2 B、48cm2 C、24cm2 D、以上都不对 10、如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，在BD上截取BE=BC，连接CE，点P是CE上任意一点，PM⊥BD于M，PN⊥BC于N，若正方形ABCD的边长为1，则PM+PN=（）
18.2.3 正方形 第1课时正方形的性质 一、填空题 1、如图，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE＝BC，则∠ACE＝°. 2、如图，四边形ABDC是正方形，延长CD到点E，使CE=CB，则∠AEC＝°. 3、如图，正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，AE平分∠DAC,则下列结论：①∠E= 22.5°；②∠AFC=112.5°；③∠ACE=135°；④AC=CE；⑤AD∶CE=1∶ 2. 其中正确 的有个. 4、如图，等边△EDC在正方形ABCD内，连结EA、EB，则∠AEB＝ °；∠ACE ＝ °. 5、已知正方形ABCD，以CD为边作等边△CDE，则∠AED的度数是°. 6、如图，四边形 ABCD是正方形，E 是边CD 上一点，若△AFB经过逆时针旋转角θ（0°＜θ＜180°）后，与△AED重合，则θ值为° 第6题图第7题图第8题图第9题图 7、已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE = 2，EC = 1，把线段AE绕点A旋转，使点E 落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为___________. 8、如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角 线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为 . 9、如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B' 处，点A对应点为A'，且C B'=3，则CN= ；AM的长是 . 10、正方形的面积是 3 1，则其对角线长是________. 11、如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是 . 第1题图第2题图第3题图第4题 第11题图第12题图第13题图第14题图
正方形的性质与判定优 秀教案 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】
课题：1．3．1正方形的性质与判定 课型：新授课年级：九年级 教学目标： 1．理解正方形的概念，通过由一般到特殊的研究方法，分析平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念及性质之间的区别与联系．并形成文本信息与图形信息相互转化的能力． 2．在观察、操作、推理、归纳等探索明正方形的性质定理过程中，发展合情推理能力，进一步培养自己的说理习惯与能力 3．培养学生勇于探索、团结协作交流的精神．激发学生学习的积极性与主动性． 教学重、难点： 重点：理解正方形的定义和性质． 难点：选择适当的方法解决有关正方形的问题． 教学过程： 一、回忆童年，情境引入 师：大家小时候都做过风车吗？在准备材料的时候我们往往会先折一张正方形的纸片，大家再来做一做用一张长方形的纸片折出一个正方形． 学生在动手中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系． 师：结合菱形和矩形的定义想一想什么样的四边形是正方形？ 学生思考回答
正方形定义：有一组邻边相等．．．．．．并且有一个角是直角．．．．．．．的平行四边形．．．．．叫做正方形． 其定义包括了两层意：⑴有一组邻边相等的平行四边形（菱形）⑵有一个角是直角的平行四边形（矩形） 所以说正方形既是菱形又是矩形． （几何画板演示动画） 我们这节课就来深入了解正方形． 【板书课题1．3．1正方形的性质与判定】 设计意图：从学生的生活实际出发，创设情境，提出问题，激发学生强烈的好奇心和求知欲．学生经历了将实际问题抽象为数学问题的建模过程． 二、实践探究，交流新知 师：正方形都具有什么性质呢？ 生：由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．所以它应该具备菱形和矩形的所有性质． 设计意图：通过分析让学生感受到正方形与矩形和菱形、平行四边形的紧密联系；同时，把思维兴奋点集中到要研究的正方形上来，为下面学习新知识创造了良好开端． 师：你能详细说一说吗？ 生：正方形的四个角都是直角，四条边都相等．正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分． （多媒体显示）
正方形的性质与判定（二）教学目标： 知识与技能： 1.掌握正方形的判定定理，并能综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题。 2.发现决定中点四边形形状的因素，熟练运用特殊四边形的判定及性质对中点四边形进行判断，并能对自己的猜想进行证明，进一步发展学生演绎推理的能力。 3.使学生进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用。 过程与方法： 1.经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，掌握正方形的判定定理，发现决定中点四边形形状的因素，并能综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题。 2.通过凸四边形的中点四边形的探求过程，以及引申至凹四边形的中点四边形的探求过程，引导学生体会证明过程中所运用的由一般到特殊再到一般的归纳、类比、转化的思想方法等，培养积极探索、勇于创新的精神，以及推陈出新的创新能力。 情感与态度： 通过师生互动、合作交流以及多媒体软件的使用，进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力，并使学生发现数学中蕴涵的美，激发学生学习的自觉性、积极性，提高学习数学的兴趣。 教学过程 本节课设计了六个教学环节： 第一环节：情景引入；第二环节：运用巩固；第三环节：猜想结论，分组验证；第四环节：学以致用；第五环节：课堂小结；第六环节：布置作业。 第一环节：情景引入 活动内容： 问题：将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开，怎样 剪才能剪出一个正方形？
（学生动手折叠、思考、剪切） 活动目的： 因为正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，把折痕作对角线，这时只需剪一个等腰直角三角形，打开即是正方形，因此只要保证剪口线与折痕成45°角即可。 活动的注意事项： 部分学生在动手操作时，会剪出菱形，教师要引导学生思考：正方形是特殊的矩形和菱形，因此想得到一个正方形，可以在矩形的基础上强化边的条件得到，也可以在菱形的基础上强化角的条件得到，而折痕是正方形的对角线，所以本环节要从对角线的角度考虑，即对角线要垂直相等且平分，学生很自然的会想到需要剪一个等腰直角三角形，因此只要保证剪口线与折痕成45°角即可，本节课的第一个教学难点迎刃而解。 本环节中教师可以鼓励操作快的学生帮助有困难的学生，请同学到讲台前讲解自己的做法和判断依据，顺势引导学生总结出正方形的判定定理： 1.对角线相等的菱形是正方形。 2.对角线垂直的矩形是正方形。 3.有一个角是直角的菱形是正方形。 教师可以课件展示下面的框架图，复习巩固平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系。 此框架图给出了正方形的判别条件，先判定一个四边形是平行四边形，再判定这个平行四边形是矩形，然后再判定这个矩形是菱形；或者先判定一个四边形
3.正方形的性质与判定 第一课时 知能演练提升 ZHINENG YANLIAN TISHENG 能力提升 1. 如图,直线a经过正方形ABCD的顶点A,分别过顶点B,D作DE⊥a于点E,BF⊥a于点F.若 DE=4,BF=3,则CD的长为() A.4 B.5 C.6 D.7 2. 如图,四边形OABC是正方形,边长为6,点A,C分别在x轴、y轴的正半轴上,点D在OA上,且点D 的坐标为(2,0),P是OB上一动点,则PA+PD的最小值为() A.2 B. C.4 D.6 3.
把边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB'C'D',边BC与D'C'交于点O,则四边形ABOD'的周长是() A.6 B.6 C.3 D.3+3 4. 如图,点B的坐标为(4,4),作BA⊥x轴,BC⊥y轴,垂足分别为A,C,点D为线段OA的中点,点P从点A 出发,在线段AB,BC上沿A→B→C运动,当OP=CD时,点P的坐标为. 5. 如图,在正方形ABCD中,G是BC边上任意一点,连接AG,DE⊥AG于点E,BF∥DE交AG于点F,探究线段AF,BF,EF三者之间的数量关系,并说明理由.
6. 如图,在正方形ABCD中,E,F是对角线BD上两点,且∠EAF=45°,将△ADF绕点A顺时针旋转90°后,得到△ABQ,连接EQ,求证: (1)EA是∠QED的平分线; (2)EF2=BE2+DF2. 7.
如图,四边形ABCD是边长为a的正方形,G,E分别是边AB,BC的中点,∠AEF=90°,且EF交正方形外角的平分线CF于点F. (1)求证:∠BAE=∠FEC; (2)求证:△AGE≌△ECF; (3)求△AEF的面积. 创新应用 8.(1)如图①,以△ABC的边AB,AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG,连接EG,试判断△ABC与△AEG面积之间的关系,并说明理由. (2)园林小路,曲径通幽,如图②,小路由白色的正方形大理石和黑色的三角形大理石铺成.已知小路中间的所有正方形的面积之和是a m2,内圈的所有三角形的面积之和是b m2,求这条小路的占地面积.