13 机械振动解答
13-1 有一弹簧振子，振幅A=2.0×10-2m ，周期T=1.0s ，初相?=3π/4。试写出它的运动方程，并做出x--t 图、v--t 图和a--t 图。
13-1
分析 弹簧振子的振动是简谐运动。振幅A 、初相?、角频率ω是简谐运动方程()?ω+=t A x cos 的三个特征量。求运动方程就
要设法确定这三个物理量。题中除A 、?已知外，
ω可通过关系式T
π
ω2=
确定。振子运动的速度和加速度的计算仍与质点运动学中的计算方法相同。 解 因T
π
ω2=，则运动方程
()??
?
??+=+=?π?ωt T t A t A x 2cos cos
根据题中给出的数据得
]75.0)2cos[()100.2(12ππ+?=--t s m x
振子的速度和加速度分别为 ]75.0)2sin[()104(/112πππ+??-==---t s s m dt dx v
πππ75.0)2cos[()108(/112222+??-==---t s s m dt x d a
x-t 、v-t 及a-t 图如图13-l 所示
13-2 若简谐运动方程为??
????
+=-4)20(cos )01.0(1ππt s m x ，求：（1）振幅、频率、角频率、周期和
初相；（2）t=2s 时的位移、速度和加速度。
13-2
分析 可采用比较法求解。 将已知的简谐运动方程与简谐运动方程的一般形式()?ω+=t A x cos 作比较，即可求得各特征量。 运用与上题相同的处理方法，写出位移、速度、加速度的表达式，代入t 值后，即可求得结果。
解 （l ）将]25.0)20cos[()10.0(1ππ+=-t s m x 与()?ω+=t A x cos 比较后可得：振幅A= 0.10 m ，角频率120-=s πω，初相π?25.0=，则周期 s T 1.0/2==ωπ，频率Hz T 10/1==ν。 （2）t= 2s 时的位移、速度、加速度分别为
m m x 21007.7)25.040cos()10.0(-?=+=ππ )25.040sin()2(/1πππ+?-==-s m dt dx v
)25.040cos()40(/2222πππ+?-==-s m dt x d a
13-3 设地球是一个半径为R 的均匀球体，密度ρ5.5×103kg ?m -3
。现假定沿直径凿一条隧道。
若有一质量为m 的质点在此隧道内做无摩擦运动。（1）证明此质点的运动是简谐振动；（2）计算其周期。
13-3
分析 证明方法与上题相似。 分析质点在隧道内运动时的受力特征即可。
证（l ）取图13-3所示坐标。 当质量为m 的质点位于x 处时，它受地球的引力为
2
x m
m G
F x -= 式中
G 为引力常量，m x 是以x 为半径的球体质量，即3/43x m x πρ=。令3/4Gm k πρ=，则质点受力
kx Gmx F -=-=3/4πρ 因此，质点作简谐运动。 （2）质点振动的周期为
s
G k m T 3
1007.5/3/2?===ρππ
13-4 如图所示，两个轻弹簧的劲度系数分别为k 1和k 2，物体在光滑斜面上振动。（1）证明其运动仍是简谐振动；（2）求系统的振动频率。
13-4
分析 从上两题的求解知道，要证明一个系统作简谐运动，首先要分析受力情况，然后看是否满足简谐运动的受力特征（或简谐运动微分方程）。 为此，建立如图13-4（b ）所示的坐标。 设系统平衡时物体所在位置为坐标原点O ，Ox 轴正向沿斜面向下，由受力分析可知，沿Ox 轴，物体受弹性力及重力分力的作用，其中弹性力是变力。 利用串联时各弹簧受力相等，分析物体在任一位置时受力与位移的关系，即可证得物体作简谐运动，并可求出频率ν。 证 设物体平衡时两弹簧伸长分别为x 1、x 2，则由物体受力平衡，有
2211sin x k x k mg ==θ
按图（b ）所取坐标，物体沿x 轴移动位移x 时，两弹簧又分别被拉伸'1x 和'2x ，即''21x x x +=。 则物体受力为
)'(sin )'(sin 111222x x k mg x x k mg F +-=+-=θθ 将式（1）代人式（2）得 ''2211x k x k F -=-=
由式（3）得2211/'/'k F x k F x -=-=、，而''21x x x +=，则得到
kx x k k k k F -=+-=)/(2121
式中)/(2121k k k k k +=为常数，则物体作简谐运动，振动频率
m k k k k m k /)/(21/212/2121+=
=
=π
π
π?ν
讨论（1）由本题的求证可知，斜面倾角θ对弹簧是否作简谐运动以及振动的频率均不产生影响。 事实上，无论弹簧水平放置、斜置还是竖直悬挂，物体均作简谐运动。 而且可以证明它们的频率相同，均由弹簧振子的固有性质决定，这就是称为固有频率的原因。 （2）如果振动系统如图13-4（c ）（弹簧并联）或如图13-4（d ）所示，也可通过物体在某一位置的受力分析得出其作简谐运动，且振动频率均为m k k /)(21
21+=
π
ν
读者可以一试。 通过这些例子可以知道，证明物体是否作简谐运动的思路是相同的
13-5 为了测得一物体得质量m ，将其挂在一弹簧上让其自由振动，测得振动频率Hz 0.11=ν。而将另一质量kg m 5.0'=的物体单独挂在该弹簧上时，测得振动频率Hz 0.22=ν。设振动均在弹簧的弹性限度内进行，求被测物体的质量。 13-5
分析 物体挂在弹簧上组成弹簧振子系统，其振动频率m k /21π
ν=，即m /1∝ν。采用比较
频率ν的方法可求出未知物体的质量。
解 由分析可知，m /1∝ν，则有m m /'/21=νν。 根据题中绘出的数据可得物体的质
量为
kg m m 0.2)/('212==νν
13-6 在如图所示的装置中，一劲度系数为k 的弹簧，一端固定在墙上，另一端连接一质量为m 1的物体A ，置于光滑水平桌面上。现通过一质量为m 、半径为R 的定滑轮B （可视为匀质圆盘）用细绳连接另一质量为m 2的物体C ，设细绳不可伸长，且与滑轮间无相对滑动，求系统的振动角频率。
13-6
分析 这是一个由弹簧、物体A 、C 和滑轮B 组成的简谐运动系统。 求解系统的振动频率可采用两种方法。 （1）从受力分析着手。 如图13-6（b ）所示，设系统处于平衡状态时，与物体A 相连的弹簧一端所在位置为坐标原点O ，此时弹簧已伸长x 0，且g m kx 20=。 当弹簧沿Ox 轴正向从原点O 伸长x 时，分析物体A 、C 及滑轮B 的受力情况，并分别列出它们的动力学方程，可解得系统作简谐运动的微分方程。 （2）从系统机械能守恒着手。 列出系统机械能守恒方程，然后求得系统作简谐运动的微分方程。
解1 在图13-6（b ）的状态下，各物体受力如图13-6（c ）所示。 其中i x x k F )(0+-=。 考虑到绳子不可伸长，对物体A 、B 、C 分别列方程，有
22101)(dt x
d m x x k F T =+-
(1)
22222dt
x
d m F g m T =-
(2)
221221)(dt
x
d mR J R F F T T ==-α
(3) g m kx 20=
(4)
方程（3）中用到了R a mR J F F F F T T T T /2/''22211====α、及、、。 联立式（l ）-式（4）
可得
02
/2122=+++x m m m k
dt x d 则系统振动的角频率为
)2//(21m m m k ++=?
解2 取整个振动装置和地球为研究系统，因没有外力和非保守内力作功，系统机械能守恒。 设物体平衡时为初始状态，物体向右偏移距离X （此时速度为对v 、加速度为a ）为末状态，则由机械能守恒定律，有
2022221220)(2
1
21212121x x k J v m v m gx m kx +++++-=? 在列出上述方程时应注意势能（重力势能和弹性势能）零点的选取。 为运算方便，选初始状态下物体C 所在位置为重力势能零点；弹簧原长时为弹性势能的零点。 将上述方程对时间求导得
20212)(0x x k dt
dv
J dt dv v m dt dv v
m gv m +++++-=? 将02222//2/kx g m dt x d dt dv v R mR J ====和、、?代人上式，可得
02
/2122=+++x m m m k
dt x d 式（6）与式（5）相同，表明两种解法结果一致。
17-7 一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅A=2.0×10-2m,周期T=0.50s 。当t=0时，（1）物体在正方向端点；（2）物体在平衡位置向负方向运动；（3）物体在..x=1.0×10-2m 处，向负方向运动；（4）物体在..x= -1.0×10-2m 处，向正方向运动。求以上各种情况的运动方程。
13-7
分析 在振幅A 和周期T 已知的条件下，确定初相中是求解简谐运动方程的关键。初相的确定通常有两种方法。（1）解析法：由振动方程出发，根据初始条件，即t= 0时， x= x o 和0v v =来确定?值。 （2）旋转矢量法：如图 13-7（a ）所示，将质点P 在Ox 轴上振动的初始位置x 0和速度v 0的方向与旋转矢量图相对应来确定?。 旋转矢量法比较直观、方便，在分析中常采用。 解 由题给条件知 m A 2100.2-?=，14/2-==s T ππ?，而初相?可采用分析中的两种不同方法来求。
解析法：根据简谐运动方程()?ω+=t A x cos ，当 t ＝0时有?cos 0A x =，??sin 0A v -=。 当
（1）；，则时，01cos 110===??A x
（2）；
，取，因，则时，2
020cos 20220π
?π??=±=== v A x （3）；
，取，因，则时，3035.0cos 100.1303320π
?π??=±==?=- v m x （4）；，取，因，则时，3
403
5.0cos 100.1404420π
?ππ??=
±
=-=?-=- v m x 旋转矢量法：分别画出四个不同初始状态的旋转关量图，如图13-7（b ）所示，它们所对应的初相分别为01=?，2/1π?=，3/1π?=，3/41π?=。
振幅A 、角频率ω、初相?均确定后，则各相应状态下的运动方程为 （1）t s m x )4cos()100.2(12--?=π （2）]2
)4cos[()100.2(12ππ+?=--t s m x （3）]3
)4cos[()100.2(12ππ+?=--t s m x
(4）]3
4)4cos[()100.2(12π
π+?=--t s m x
13-8 有一弹簧，当其下端挂一质量为m 的物体时，伸长量为9.8×10-2m 。若使物体上下振动，且规定向下为正方向。（1）t=0时，物体在平衡位置上方8.0×10-2m 处，由静止开始向下运动，求运动方程。（2）t=0时，物体在平衡位置并以0.60m/s 的速度向上运动，求运动方程。
13-8
分析 求运动方程，也就是要确定振动的三个特征物理量A 、ω，和?。 其中振动的角频率是由弹簧振子系统的固有性质（振子质量m 及弹簧劲度系数k ）决定的，即m k /=ω，可根据物体受力平衡时弹簧的伸长来计算；振幅A 和初相?需要根据初始条件确定。
解 物体受力平衡时，弹性力F 与重力P 的大小相等，即F=mg 。 而此时弹簧的伸长量m l 2108.9-?=?。 则弹簧的劲度系数l mg l F k ?=?=//。 系统作简谐运动的角频率为
110//-=?==s l g m k ?
（1）设系统平衡时，物体所在处为坐标原点，向下为x 轴正向。 由初始条件t=0时，m x 210100.8-?=，010=v 可得振幅m v x A 2210102100.8)/(-?==+=?；应用旋转矢量法可确定
初相π?=1。[图 13-8（a ）]。 则运动方程为
])10cos[()100.8(121π+?=--t s m x
（2）t=0时，020=x ，1206.0-?=s m v ，同理可得m v x A 22202022100.6)/(-?=+=?，
2/2π?=；[图 13-8（b ）]。 则运动方程为
]5.0)10cos[()100.6(121π+?=--t s m x
13-9 某振动质点的x-t 曲线如图所示，试求：（1）运动方程；（2）点P 对应的相位；（3）到达点P 相应位置所需要的时间。
13-9
分析 由已知运动方程画振动曲线和由振动曲线求运动方程是振动中常见的两类问题。 本题就是要通过x-t 图线确定振动的三个特征量量A 、ω，和0?，从而写出运动方程。 曲线最大幅值即为振幅A ；而ω、0?通常可通过旋转矢量法或解析法解出，一般采用旋转矢量法比较方便 解 （1）质点振动振幅A ＝0.10 m 。 而由振动曲线可画出t=0和t=4s 时旋转矢量，如图13-9（b ）所示。 由图可见初相）或3/5(3/00π?π?=-=，而由()3
2
01π
π
ω+=-t t 得
124/5-=s πω，则运动方程为
??
?
???-??? ??=-3245cos )10.0(1ππt s m x （2）图14-9（a ）中点P 的位置是质点从A/2处运动到正向的端点处。 应的旋转矢量图如图 13- 10（C ）所示。 当初相取3/0π?-=时，点 P 的相位为
0)0(0=-+=p P t ω??（如果初相取3/50π?=，则点P
相应的相位应表示为πω??2)0(0=-+=p P t ）。 （3）由旋转关量图可得,3)0(πω=-p t 则s t p 6.1=
13-10 在一块平板下装有弹簧，平板上放一质量为1.0kg 的重物。现使平板沿竖直方向做上下简谐运动，周期为0.50s ，振幅为2.0×10-2m 。求：（1）平板到最低点时，重物对平板的作用力；（2）若频率不变，则平板以多大的振幅振动时，重物会跳离平板？（3）若振幅不变，则平板以多大的频率振动时，重物会跳离平板？
13-10
分析 按题意作示意图13-10。 物体在平衡位置附近随板作简谐运动，其间受重力P 和板支持力F N 作用，F N 是一个变力。 按牛顿定律，有
22dt
y
d m F mg F N =-=
（l ）
由于物体是随板一起作简谐运动，因而有)cos(222?ωω+-==t A dt
y
d a ，则式（l ）可改写为
)cos(2?ωω++=t mA mg F N
（2）
(1）根据板运动的位置，确定此刻振动的相位 ?ω+t ，由式（2）可求板与物体之间的作用力。
（2）由式（2）可知支持力F N 的值与振幅A 、角频率ω和相位?ω+t 有关。 在振动过程中，当π?ω=+t 时F N 最小。而重物恰好跳离平板的条件为F N =0，因此由式（2）可分别求出重物跳离平板所需的频率或振幅。
解 （l ）由分析可知，重物在最低点时，相位0=+?ωt ，物体受板的支持力为
N T
mA mg mA mg F N 96.12)2(22=+=+=πω
重物对木块的作用力'N F 与F N 大小相等，方向相反。
（2）当频率不变时，设振幅变为'A 。 根据分析中所述，将F N =0及π?ω=+t 代入分析中式（2），可得
m gT m mg A 2222102.64//-?==='πω
（3）当振幅不变时，设频率变为'ν。 同样将F N ＝0及代入分析中式（2），可得
Hz mA mg v 52.3/21
2=='=
'π
πω
13-11 一物体沿x 轴做简谐运动，振幅为0.06m ，周期为2.0s ，当t=0时位移为0.03m ，且向x 轴正方向运动。求：（1）t=0.5s 时，物体的位移、速度和加速度；（2）物体从x= -0.03m 处向x 轴负向运动开始，到平衡位置，至少需要多少时间？
13-11
分析 已知运动方程即可求物体的位移、速度、加速度。 因此，写出运动方程是本题的关键。 其方法可参见题13-7。 至于质点从x=-0.03 m 运动到 x ＝0处所需的最短时间，仍可采用解析法或旋转矢量法求解。
解 （1）由题意知A=0.06m 、1/2-==s T ππω由旋转矢量图13-11（a ）可确定初相则振动方程为
()
[]3
cos )06.0(1π
π-=-t s m x
当t=0.5s 时质点的位移、速度、加速度分别为
(
)2
222
21
1513.0)3
2cos()06.0(094.0)3
2
sin(
)06.0(052
.03
2
cos )06.0(----?-=-?-==?=-?-===-=s m s m x d a s m s m dt dx v m x ππ
πππππ
π
（2）质点从x=-0.03 m 运动到平衡位置的过程中，旋转关量从图 13-11（b ）中的位置M 转至位置N ，矢量转过的角度(即相位差）6/5π?=?。该过程所需时间为
s t 833.0=?=?ω?
13-12 两质点做通频率、同振幅的简谐运动。第一个质点的运动方程为)cos(
1??+=t A x ，当第一个质点自振动正方向回到平衡位置时，第二个质点恰在振动正方向的端点。试用旋转矢量图表示它们，并求第二个质点的运动方程及它们的相位差。
13-12
解 图13-12为两质点在特定时刻t 的旋转矢量图，OM 表示第一个质点振动的旋转矢量；ON 表示第二个质点振动的旋转矢量。 可见第一个质点振动的相位比第二个质点超前2/π
，即它们
的相位差2/?π?。第二个质点的运动方程应为
)2
cos(2π?ω-+=t A x
13-13 有一单摆，长为1.0m ，最大摆角为50，如图所示。（1）求摆的角频率和周期；（2）设开始时摆角最大，试写出此单摆的运动方程；（3）当摆角为30时的角速度和摆球的线速度时多少？ 13-13
分析 单摆在摆角较小时（05 θ）的摆动，其角量θ与时
间的关系可表示为简谐运动方程)cos(
max ?ωθθ+=t ，其中角频率ω仍由该系统的性质（重力加速度g 和绳长l ）决定，即l
g
=ω。初相?与摆角θ，质点的角速度与旋转矢量的
角速度（角频率）均是不同的物理概念，必须注意区分。 解 （1）单摆角频率及周期分别为
s T s l g 01.22;13.31====-ωπω
（2）由t=0时0max 5==θθ可得振动初相0=?，则以角量表示的简谐运动方程为
t s )13.3cos(361-=πθ
(3）摆角为30
时，有6.0)cos(max
==+θθ?ωt ，则这时质点的角速度为
1
max 2max max 218.08.0)
(cos 1)sin(--=-=+--=+-=s t t dt
d ωθ?ωωθ?ωωθθ
线速度的大小为
1218.0-?==s m dt d l v θ
讨论质点的线速度和角速度也可通过机械能守恒定律求解，但结果会有极微小的差别。 这是因为在导出简谐运动方程时曾取θθ≈sin ，所以，单摆的简谐运动方程仅在θ较小时成立。
13-14 为了测月球表面的重力加速度，宇航员将地面上的秒摆（周期为2.00s ）拿到月球上去，如测得周期为4.90s ，地球表面得重力加速度为9.80m/s 2，则月球表面得重力加速度是多少？ 13-14
解 由单摆的周期公式g l T π2=可知21g ∝，故有2
2
M E E M T T g g =，则月球的重力加
速度为
()22
63.1-?==s m g T T g E M E M
13-15 一均匀等边三角形薄板，质量为m ，高度为h ，如图所示。当其绕AB 边（与水平轴线重合）转动时，试证其做微小振动的周期为g h T 2/2π=。
13-15
分析 三角形薄板绕AB 轴的微振动是一复摆运动。 复摆振动周期为c mgl J T π2=，因此，只要知道复摆绕转轴的转动惯量J 和转轴到质心的距离C l ，其振动周期就可求得。 证 为了求三角形薄板绕AB 轴的转动惯量，按图13-15（b ）取坐标。 图中任取一距轴y 宽dy 的狭长质元，其质量dy ty y h s sdS dm ?-==30)(2ρρ，式中s ρ为薄板的面密度，
23h m S m s ==ρ。该质元对转轴的转动惯量dy y ty y h s dJ 230)(2??-=ρ，则三角形薄板对转
轴的转动惯量为
6)(332220
mh dy y y h s J h
=-?
=?ρ 又由质心定义可知，等边三角形薄板的质心至底边（转轴）的距离3h l c =。将J 和C l 的值代入公式c mgl J T π2=中，即可证得该复摆的周期为
g h T 22π=
13-16 有一密度均匀得金属T 字形细尺，如图所示。它由两根金属米尺组成。若它可绕通过点O 的垂直纸面的水平轴转动，求其做微小振动的周期。
13-16
解 T 字形尺的微小振动是复摆振动。 T 字形尺绕轴O 的转动惯量J 。 由两部分组成，其中尺OD 对该轴的转动惯量为
23
1
1ml J =
尺AB 对轴O 的转动惯量为J 2，根据平行轴定理可得
22212
13
1212ml ml ml J =+=
故有
2
112
172ml J J J O =
+= 图13-16中T 字形尺的质心C 至点O 的距离为
C l ，由质心定义可得l l c 75.0=。 则T 字形尺的振动周期为
s g l mgl J T c O 95.11817222===ππ
13-17 如图所示，一劲度系数为k 的轻弹簧，其下挂有一质量为m 1的空盘。现有一质量为m 2的物体从盘上方高为h 处自由落到盘中，并和盘粘在一起振动。问：（1）此时的振动周期与空盘作振动的周期有和不同？（2）此时的振幅为多大？
13-17 解（1）空盘作振动，周期
k M
T π
20=
m 物体与空盘一起作振动，周期为T
则
2T k M
m T >+=π
（2）如图示，m 物体由高度h 处自由落下，与盘粘在一起，此过程为非弹性碰撞，设碰撞的速度为v '，根据动量守恒
()v M m gh m '
+=2
m M gh m v +=
'2
设碰撞瞬时开始计时，平衡位置为坐标原点，则
t=0 ()120x x y --=
式中x1为m 物未落入盘时弹簧的伸长量，即mg=kx1 x2为重物落入盘后处于平衡位置时，弹簧的伸长量即
()2kx g m M =+
所以
()k mg k Mg k g M m y -
=??
?
???-+-=0 同时
m M gh m v v +=
'=0
220
2
ωv y A +
=
此时
M m k +=
ω
所以
()g M m kh k mg m M k gh m k g m A ++
=+??+=
2122222
()???? ??+=+?
?? ??-+-
=???
?
??-
=---M m g kh tg
M m k k mg gh m M m
tg y v tg 22110
1ωθ
因此系统的振动表达式为
()()??
??
????+++++=
-m M g kh t M m k g m M kh k mg y 2tg cos 211
13-18 一氢原子在分子中的振动可视为简谐运动，已知氢原子的质量m=1.68×10-27
kg ，振动频率Hz 14104.1?=ν，振幅A=1.0×10-11m ，试计算：（1）此氢原子的最大速度；（2）与此振动相联系的能量。
13-18
解 （1）简谐运动系统中振子运动的速度)sin(?ωω+-=t A v 故氢原子振动的最大速度为
13max 1028.62-??===s m vA A v πω
（2）氢原子的振动能量 J mv E 20max 21031.32/-?==
13-19 试证明：（1）在一个周期中，简谐运动的动能和势能对时间的平均值都等于kA 2/4；（2）在一个周期中，简谐运动的动能和势能对位置的平均值分别等于kA 2/3和kA 2/6。
13-19
证（1）简谐运动的动能和势能分别为
)(sin 2
12
2?ω+=t kA E k )(cos 2
122
?ω+=
t kA E p 则在一个周期中，动能与势能对时间的平均值分别为
4/)(sin 2
11202
2kA dt t kA T E T
k =+=?
?ω
4/)(cos 2
1120
22
kA dt t kA T
E T
p =+=
?
?ω （2）因简谐运动势能2/2kx E p =，则势能在一个周期中对位置的平均值为
2
26
12121kA dx kx A E A A p ==
?-
则动能在一个周期中对位置的平均值为 23
1
kA E E E E E p p k =-=-=
13-20 有两个同方向同频率的简谐运动，其合振动的振幅为0.20m ，和振动的相位与第一个振动的相位差为6/π，第一个振动的振幅为0.173m 。求第二个振动的振幅及两振动的相位差。
13-20
解 采用旋转矢量合成图求解。 如图13-20所示，取第一个振动的旋转矢量A 1沿Ox 轴，即令其初相为零；按题意，合振动的旋转矢量A 与A 1之间的夹角6/π?=。根据矢量合成，可得第二个振动的旋转矢量的大小（即振幅）为
m A A A A A 01.0cos 2122
12=-+=?
由于A 1、A 2、A 的量值恰好满足勾股定理，故A 1与A 2垂直，即第二个振动与第一个振动的相位差为 2
πθ=
13-21 将频率为348Hz 的标准音叉振动和一个待测频率的音叉振动合成，测得拍频为3.0Hz 。若在待测频率音叉的一端上加上一小块物体，则拍频将减小，求待测频率的固有频率。 13-21
分析 这是利用拍现象来测定振动频率的一种方法。 在频率1ν和拍频数12ννν-=?已知的情况下，待测频率2ν可取两个值，即ννν?±=12。式中ν?前正、负号的选取应根据待测音叉系
统质量改变时，拍频数变化的情况来决定。 解 根据分析可知，待测频率的可能值为
Hz )3348(12±=?±=ννν 因振动系统的固有频率m
k
π
ν21
=
，即质量m 增加时，频率ν减小。 从题意知，当待测音叉质量增加时拍频减少，即12νν-变小。 因此，在满足2ν与ν?均变小的情况下，式中只能取正号，故待测频率
Hz 35112=?+=ννν
13-22 示波管得电子束受到两个互相垂直得电场得作用。电子在两个方向上得位移分别为
t A x ?cos =和)cos(
φ?+=t A y 。求在0=φ 、030=φ和090=φ 各种情况下，电子在荧光屏上得轨迹方程。 13-22
解 这是两个振动方向互相垂直的同频率简谐运动的合成问题。 合振动的轨迹方程为
???=?-+2212
22212sin /cos 2//A A xy A y A x
式中A 1、A 2为两振动的振幅，??为两个振动的初相差。 本题中A 1=A 2=A ，??=?，故有
??2222sin cos 2A xy y x =-+
（1）当00=?时，有x=y,轨迹为一直线方程。
（2）当030=?时，有4/3222A xy y x =-+,轨迹为椭圆方程。 （3）当090=?时，有222A y x =+轨迹为圆方程。
13-23 一物体悬挂在弹簧下做阻尼振动，开始时其振幅为0.12m ，经144s 后振幅减为0.06m 。问：（1）阻尼系数是多少？（2）如振幅减至0.03m ，需再经历多长时间？ 13-23
分析 在小阻尼条件下，阻尼振动方程为)cos(
00?ωδ+=-t e A x t ，其振幅t e A A δ-=0是随时间变化的，其中δ为阻尼系数（通常规为常量）。 利用上述公式即可求解。 解 (1)根据分析，由阻尼震动振幅t e A A δ-=0得
131
1
01081.4ln --?==
s t A A δ （2）两不同时刻的振幅比21
0021t e
A e A A A t δδ--=，则振幅由A 1改变为A 2所经历的时间
s A A t t t 144ln 2
112==
-=?δ
13-24 一质量为2.5kg 得物体与一劲度系数为1250N/m -1
得弹簧连接作阻尼振动，阻力系数为50.0kg/s -1
。求阻尼振动得角频率。
13-24
分析 阻尼振动的角频率ω与无阻尼时系统的固有角频率0ω及阻尼系数δ有关，有
220δωω-=。在振动系统的固有角频率0ω和阻尼系数δ均可确定的情况下，阻尼振动角频率
即可求出。
解 系统的固有角频率m k =0ω，阻尼系数m C 2=δ，则阻尼振动角频率为
1222020)2()(-=-=-=s m C m k δωω
大学物理-机械振动习题-含答案
t （s ） v （m.s -1） 12m v m v o 1.3题图 第三章 机械振动 一、选择题 1． 质点作简谐振动，距平衡位置2。0cm 时， 加速度a=4.0cm 2 /s ,则该质点从一端运动到另一端的时间为（ C ） A:1.2s B: 2.4s C:2.2s D:4.4s 解： s T t T x a x a 2.2422,2 222,22===∴== ===ππ ω πωω 2．一个弹簧振子振幅为2 210m -?, 当0t =时振子在2 1.010m x -=?处，且向 正方向运动，则振子的振动方 程是：[ A ] A ：2 210cos()m 3 x t πω-=?-； B ：2 210cos()m 6x t π ω-=?-； C ：2 210cos()m 3 x t π ω-=?+ ； D ： 2210cos()m 6 x t π ω-=?+； 解：由旋转矢量可以得出振动的出现初相为：3 π- 3．用余弦函数描述一简 谐振动，若其速度与时间（v —t ）关系曲线 如图示，则振动的初相位为：[ A ] 1.2题图 x y o
A ：6π； B ：3π； C ：2 π ； D ：23π； E ：56π 解：振动速度为：max sin()v v t ω?=-+ 0t =时，01sin 2?=，所以06π?=或0 56 π ?= 由知1.3图，0t =时，速度的大小 是在增加，由旋转矢量图知，旋转矢量在第一象限内，对应质点的运动是由正最大位移向平衡位置运动，速度是逐渐增加的，旋转矢量在第二象限内，对应质点的运动是由平衡位置向负最大位移运动，速度是逐渐减小的，所以只有0 6 π?=是符合条件的。 4．某人欲测钟摆摆长，将钟摆摆锤上移1毫米，测得此钟每分快0。1秒，则此钟摆的摆长为（ B ） A:15cm B:30cm C:45cm D:60cm 解：单摆周期 ,2g l T π=两侧分别对T ， 和l 求导，有： cm mm T dT dl l l dl T dT 3060) 1.0(21 21,21=-?-==∴= 二、填空题 1．有一放置在水平面上的弹簧振子。振幅 A = 2.0×10－2m 周期 T = 0.50s , 3 4 6 5 2 1 x /1 2题图 x y
题图 第三章 机械振动 一、选择题 1． 质点作简谐振动，距平衡位置2。0cm 时，加速度a=4.0cm 2 /s ,则该质点从一端运动到另一端的时间为（ C ） A: B: C: D: 解： s T t T x a x a 2.242 2,2 222,22===∴==== =ππ ωπ ωω 2．一个弹簧振子振幅为2210m -?,当0t =时振子在21.010m x -=?处，且向正方向运 动，则振子的振动方程是：[ A ] A ：2210cos()m 3 x t π ω-=?-； B ：2 210cos()m 6 x t π ω-=?-； C ：2210cos()m 3 x t π ω-=?+ ； D ：2210cos()m 6 x t π ω-=?+ ； 解：由旋转矢量可以得出振动的出现初相为：3 π- 3．用余弦函数描述一简谐振动，若其速度与时间（v —t ）关系曲线如图示，则振动的初相位为：[ A ] A ：6π； B ：3π； C ：2 π ； D ：23π； E ：56 π 解：振动速度为：max 0sin()v v t ω?=-+ 0t =时，01sin 2?= ，所以06π?=或056 π?= 由知图，0t =时，速度的大小是在增加，由旋转矢量图知， 旋转矢量在第一象限内，对应质点的运动是由正最大位移向平衡位置运动，速度是逐渐增加的，旋转矢量在第二象限内，对 应质点的运动是由平衡位置向负最大位移运动，速度是逐渐减小的，所以只有06 π ?= 是符 合条件的。 4．某人欲测钟摆摆长，将钟摆摆锤上移1毫米，测得此钟每分快0。1秒，则此钟摆的摆长为（ B ） A:15cm B:30cm C:45cm D:60cm 解：单摆周期 ,2g l T π =两侧分别对T ，和l 求导，有： cm mm T dT dl l l dl T dT 3060) 1.0(21 21,21=-?-= =∴=
机械振动机械波 一、选择题 1．对一个作简谐振动的物体，下面哪种说法是正确的 （A ）物体处在运动正方向的端点时，速度和加速度都达到最大值； （B ）物体位于平衡位置且向负方向运动时，速度和加速度都为零； （C ）物体位于平衡位置且向正方向运动时，速度最大，加速度为零； （D ）物体处在负方向的端点时，速度最大，加速度为零。 2．质点作简谐振动，振动方程为)cos(φω+=t A x ，当时间2/T t =（T 为周期）时，质点的速度为 （A ）φωsin A v -=； （B ）φωsin A v =； （C ）φωcos A v -=； （D ）φωcos A v =。 3．一物体作简谐振动，振动方程为??? ? ? +=4cos πωt A x 。在4T t =（T 为周期）时刻，物 体的加速度为 （A ）2221ωA - ； （B ）2221 ωA ； （C ）232 1 ωA - ； （D ）2321ωA 。 4．已知两个简谐振动曲线如图所示，1x 的位相比2x 的位相 （A ）落后2π； （B ）超前2π ； （C ）落后π； （D ）超前π。 5．一质点沿x 轴作简谐振动，振动方程为?? ? ?? +?=-ππ312cos 10 42 t x （SI ）。从0=t 时刻 起，到质点位置在cm x 2-=处，且向x 轴正方向运动的最短时间间隔为 第题图
（A ）s 8/1； （B ）s 4/1； （C ）s 2/1； （D ）s 3/1。 6．一个质点作简谐振动，振幅为 A ，在起始时刻质点的位移为2/A ，且向x 轴的正方向运 动，代表此简谐振动的旋转矢量图为 7．一个简谐振动的振动曲线如图所示。此振动的周期为 （A ）s 12； （B ）s 10； （C ）s 14； （D ）s 11。 8．一简谐振动在某一瞬时处于平衡位置，此时它的能量是 （A ）动能为零，势能最大； （B ）动能为零，机械能为零； （C ）动能最大，势能最大； （D ）动能最大，势能为零。 9．一个弹簧振子做简谐振动，已知此振子势能的最大值为1600J 。当振子处于最大位移的1/4时，此时的动能大小为 （A ）250J ； （B ）750J ； （C ）1500J ； （D ） 1000J 。 10．当质点以频率ν作简谐振动时，它的动能的变化频率为 （A ）ν； （B ）ν2 ； （C ）ν4； （D ） 2 ν。 11．一质点作简谐振动，已知振动周期为T ，则其振动动能变化的周期是 （A ）T ／4； （B ）T/2； （C ）T ； （D ）2T 。 x （A ） （B ）（C ） （D ） )s 2 1 -
大学物理单元测试 （机械振动与机械波） 姓名： 班级： 学号： 一、选择题 （25分） 1 一质点作周期为T 的简谐运动，质点由平衡位置正方向运动到最大位移一半处所需的最短时间为（ D ） (A ）T/2 （B ）T/4 (C)T/8 （D ）T/12 2 一弹簧振子作简谐振动，当其偏离平衡位置的位移的大小为振幅的1/4时，其动能为振动总能量的（ E ） (A ）7/16 (B ）9/16 (C ）11/16 (D ）13/16 (E ）15/16 3 一质点作简谐运动，其振动方程为 )3 2cos( 24.0π π + =t x m, 试用旋转矢量法求出质点由初始状态运动到 x =-0.12 m,v <0的状态所经过的最短时间。 （C ） （A ）0.24s （B ） 3 1 （C ）3 2 （D ）2 1 4 一平面简谐波的波动方程为：)(2cos λνπx t A y - =，在ν 1 = t 时刻，4 31λ= x 与 4 2λ = x 两处质点速度之比：（ B ） （A ）1 （B ）-1 （C ）3 （D ）1/3 5 一平面简谐机械波在弹性介质中传播,下述各结论哪个正确？（ D ） (A)介质质元的振动动能增大时，其弹性势能减小，总机械能守恒. (B)介质质元的振动动能和弹性势能都作周期性变化，但两者相位不相同 (C)介质质元的振动动能和弹性势能的相位在任一时刻都相同，但两者数值不同. (D)介质质元在其平衡位置处弹性势能最大. 二、填空题（25分） 1 一弹簧振子，弹簧的劲度系数为0.3 2 N/m ，重物的质量为0.02 kg ，则这个系统的固有频率为____0.64 Hz ____，相应的振动周期为___0.5π s______． 2 两个简谐振动曲线如图所示，两个简谐振动的频率之比 ν1：ν2 = _2:1__ __，加速度最大值之比a 1m ：a 2m = __4:1____，初始速率之比 v 10 ：v 20 = _2:1__ ___.
《大学物理学》机械振动自主学习材料 一、选择题 9-1．一个质点作简谐运动，振幅为A ，在起始时质点的位移为2 A - ，且向x 轴正方向运动， 代表此简谐运动的旋转矢量为（ ） 【旋转矢量转法判断初相位的方法必须掌握】 9-2．已知某简谐运动的振动曲线如图所示，则此简谐运动的运动方程（x 的单位为cm ，t 的单位为s ）为（ ） （A ）22 2cos()3 3x t ππ=-； （B ）2 22cos()33x t ππ=+ ； （C ）4 22cos()33x t ππ=-； （D ）4 22cos()33 x t ππ=+ 。 【考虑在1秒时间内旋转矢量转过 3 ππ+，有43 πω= 】 9-3．两个同周期简谐运动的振动曲线如图所示， 1x 的相位比2x 的相位（ ） （A ）落后 2 π ； （B ）超前 2 π ； （C ）落后π； （D ）超前π。 【显然1x 的振动曲线在2x 曲线的前面，超前了1/4周期，即超前/2π】 9-4．当质点以频率ν作简谐运动时，它的动能变化的频率为（ ） （A ）2 ν ； （B ）ν； （C ）2ν； （D ）4ν。 【考虑到动能的表达式为2 2 2 11sin () 2 2 k E m v kA t ω?= = +，出现平方项】 9-5．图中是两个简谐振动的曲线，若这两个简谐振动可 叠加，则合成的余弦振动的初相位为（ ） （A ）32 π； （B ）2π ； （C ）π； （D ）0。 【由图可见，两个简谐振动同频率，相位相差π，所以，则合成的余弦振动的振幅应该是大减小，初相位是大的那一个】 9--1．一物体悬挂在一质量可忽略的弹簧下端，使物体略有位移， 测得其振动周期为T ，然后将弹簧分割为两半，并联地悬挂同 一物体，再使物体略有位移，测得其振动周期为'T ，则 '/T T 为（ ） ()A ()B () C ()D ) s 1 -2 -
九、机械振动 一、知识网络 二、画龙点睛 概念 1、机械振动 (1)平衡位置：物体振动时的中心位置，振动物体未开始振动时相对于参考系静止的位置，或沿振动方向所受合力等于零时所处的位置叫平衡位置。 (2)机械振动：物体在平衡位置附近所做的往复运动，叫做机械振动，通常简称为振动。 (3)振动特点：振动是一种往复运动，具有周期性和重复性 2、简谐运动 (1)弹簧振子：一个轻质弹簧联接一个质点，弹簧的另一端固定，就构成了一个弹簧振子。 (2)振动形成的原因 ①回复力：振动物体受到的总能使振动物体回到平衡位置，且始终指向平衡位置的力，叫回复力。 振动物体的平衡位置也可说成是振动物体振动时受到的回复力为零的位置。
②形成原因：振子离开平衡位置后，回复力的作用使振了回到平衡位置，振子的惯性使振子离开平衡位置；系统的阻力足够小。 (4)简谐运动的力学特征 ①简谐运动：物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动，叫做简谐运动。 ②动力学特征：回复力F与位移x之间的关系为 F＝－kx 式中F为回复力，x为偏离平衡位置的位移，k是常数。简谐运动的动力学特征是判断物体是否为简谐运动的依据。 ③简谐运动的运动学特征 a＝－k m x 加速度的大小与振动物体相对平衡位置的位移成正比，方向始终与位移方向相反，总指向平衡位置。 简谐运动加速度的大小和方向都在变化，是一种变加速运动。简谐运动的运动学特征也可用来判断物体是否为简谐运动。 例题：试证明在竖直方向的弹簧振子做的也是简谐振运动。 证明：设O为振子的平衡位置，向下方向为正方向，此时弹簧形变量为ｘ0，根据胡克定律得 ｘ0＝mg/k 当振子向下偏离平衡位置ｘ时，回复力为 F＝mg－ｋ(ｘ＋ｘ0) 则Ｆ＝－kx 所以此振动为简谐运动。 3、振幅、周期和频率 ⑴振幅 ①物理意义：振幅是描述振动强弱的物理量。 ②定义：振动物体离开平衡位置的最大距离，叫做振动的振幅。 ③单位：在国际单位制中，振幅的单位是米(m)。
机械振动分析与应用习题 第一部分问答题 1．一简谐振动，振幅为0.20cm，周期为0.15s，求最大速度和加速度。 2．一加速度计指示结构谐振在80HZ时具有最大加速度50g，求振动的振幅。 3．一简谐振动，频率为10Hz，最大速度为4.57m/s，求谐振动的振幅、周期、最大加速度。 4．阻尼对系统的自由振动有何影响？若仪器表头可等效为具有黏性阻尼的单自由度系统，欲使其在受扰动后尽快回零，最有效的办法是什么？ 5．什么是振动？研究振动的目的是什么？简述振动理论分析的一般过程。 6．何为隔振？一般分为哪几类？有何区别？试用力法写出系统的传递率，画出力传递率的曲线草图，分析其有何指导意义。 第二部分计算题 1．求图2-1所示两系统的等效刚度。 图2-1 图2-2 图2-3 2．如图2-2所示，均匀刚性杆质量为m，长度为l，距左端O为l0处有一支点，求O点等效质量。3．如图2-3所示系统，求轴1的等效转动惯量。 图2-4 图2-5 图2-6 图2-7 4．一个飞轮其内侧支承在刀刃上摆动，如图2-4所示。现测得振荡周期为1.2s，飞轮质量为35kg，求飞轮绕中心的转动惯量。(注：飞轮外径100mm，R＝150mm。) 5．质量为0.5kg的重物悬挂在细弹簧上，伸长为8mm，求系统的固有频率。 6．质量为m1的重物悬挂在刚度为k的弹簧上并处于静平衡位置；另一质量为m2的重物从高度为h处自由降落到m l上而无弹跳，如图2-5所示，求其后的运动。 7．一质量为m、转动惯量为J的圆柱体作自由纯滚动，但圆心有一弹簧k约束，如图2-6所示，求振动的固有频率。 8．一薄长条板被弯成半圆形，如图2-7所示，让它在平面上摇摆，求它的摇摆周期。
一、选择题： 1．3001：把单摆摆球从平衡位置向位移正方向拉开，使摆线与竖直方向成一微小角度 θ ，然后由静止放手任其振动，从放手时开始计时。若用余弦函数表示其运动方程，则该单 摆振动的初相为 (A) π (B) π/2 (C) 0 (D) θ 2．3002：两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同。第一个质点的振动方程为x 1 = A cos(ωt + α)。当第一个质点从相对于其平衡位置的正位移处回到平衡位置时，第二个质点正在最大正位移处。则第二个质点的振动方程为： (A) )π21cos(2++=αωt A x (B) ) π21 cos(2-+=αωt A x (C) ) π23 cos(2-+=αωt A x (D) )cos(2π++=αωt A x 3．3007：一质量为m 的物体挂在劲度系数为k 的轻弹簧下面，振动角频率为ω。若把此弹簧分割成二等份，将物体m 挂在分割后的一根弹簧上，则振动角频率是 (A) 2 ω (B) ω2 (C) 2/ω (D) ω /2 (B) 4．3396：一质点作简谐振动。其运动速度与时间的曲线如图所示。若质点的振动规律用余弦函数描述，则其初相应为 (A) π/6 (B) 5π/6 (C) -5π/6 (D) -π/6 (E) -2π/3 5．3552：一个弹簧振子和一个单摆（只考虑小幅度摆动），在地面上的固有振动周期分别为T 1和T 2。将它们拿到月球上去，相应的周期分别为1T '和2T '。则有 (A) 11T T >'且22T T >' (B) 11T T <'且22T T <' (C) 11T T ='且22T T =' (D) 11T T ='且22T T >' 6．5178：一质点沿x 轴作简谐振动，振动方程为 ) 31 2cos(1042π+π?=-t x (SI)。从t = 0时刻起，到质点位置在x = -2 cm 处，且向x 轴正方向运动的最短时间间隔为 (A) s 81 (B) s 61 (C) s 41 (D) s 31 (E) s 21 7．5179：一弹簧振子，重物的质量为m ，弹簧的劲度系数为k ，该振子作振幅为A 的简谐振动。当重物通过平衡位置且向规定的正方向运动时，开始计时。则其振动方程为： (A) )21/(cos π+=t m k A x (B) ) 21/cos(π-=t m k A x (C) ) π21/(cos +=t k m A x (D) )21/cos(π-=t k m A x (E) t m /k A x cos = 8．5312：一质点在x 轴上作简谐振动，振辐A = 4 cm ，周期T = 2 s ，其平衡位置取 v 2 1
第15单元 机械振动 学号 姓名 专业、班级 课程班序号 一 选择题 [ B ]1. 已知一质点沿y 轴作简谐振动，其振动方程为)4/3cos(πω+=t A y 。与其对应的振动曲线是: [ B ] 2. 一质点在x 轴上作简谐振动，振幅A = 4cm ，周期T = 2s, 其平衡位置取作坐标原点。若t = 0时刻质点第一次通过x = -2cm 处，且向x 轴负方向运动，则质点第二次通过x = -2cm 处的时刻为： (A) 1s (B) s 32 (C) s 3 4 (D) 2s [ C ] 3. 如图所示，一质量为m 的滑块，两边分别与劲度系数为k1和k2的轻弹簧联接， 两弹簧的另外两端分别固定在墙上。滑块m 可在光滑的水平面上滑动，O 点为系统平衡位置。现将滑块m 向左移动x0，自静止释放，并从释放时开始 计时。取坐标如图所示，则其振动方程为： ??? ? ? ?+=t m k k x x 2 10cos (A) ??????++=πt k k m k k x x )(cos (B) 212 10 ? ?? ???++=πt m k k x x 210cos (C) ??? ???++=πt m k k x x 210cos (D) ??????+=t m k k x x 2 1 0cos (E) [ E ] 4. 一弹簧振子作简谐振动，当其偏离平衡位置的位移的大小为振幅的1/4时，其动能为振动总能量的： (A) 167 (B) 169 (C) 1611 (D) 1613 (E) 16 15 [ B ] 5. 图中所画的是两个简谐振动的振动曲线，若 这两个简谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相为： (A) π2 1 (B)π t y A (D) A -t y o A -(A) A t y o A A -t y A A (C) o m x x O 1k 2 k t x o 2 /A -2 x 1 x
13 机械振动解答 13-1 有一弹簧振子，振幅A=2.0×10-2m ，周期T=1.0s ，初相?=3π/4。试写出它的运动方程，并做出x--t 图、v--t 图和a--t 图。 13-1 分析 弹簧振子的振动是简谐运动。振幅A 、初相?、角频率ω是简谐运动方程 ()?ω+=t A x cos 的三个特征量。求运动方程就 要设法确定这三个物理量。题中除A 、?已知外， ω可通过关系式T π ω2= 确定。振子运动的速度和加速度的计算仍与质点运动学中的计算方法相同。 解 因T π ω2=，则运动方程 ()?? ? ??+=+=?π?ωt T t A t A x 2cos cos 根据题中给出的数据得 ]75.0)2cos[()100.2(12ππ+?=--t s m x 振子的速度和加速度分别为 ]75.0)2sin[()104(/112πππ+??-==---t s s m dt dx v πππ75.0)2cos[()108(/112222+??-==---t s s m dt x d a x-t 、v-t 及a-t 图如图13-l 所示 13-2 若简谐运动方程为?? ???? +=-4)20(cos )01.0(1ππt s m x ，求：（1）振幅、频率、角频率、周期和 初相；（2）t=2s 时的位移、速度和加速度。 13-2 分析 可采用比较法求解。 将已知的简谐运动方程与简谐运动方程的一般形式()?ω+=t A x cos 作比较，即可求得各特征量。 运用与上题相同的处理方法，写出位移、速度、加速度的表达式，代入t 值后，即可求得结果。 解 （l ）将]25.0)20cos[()10.0(1ππ+=-t s m x 与()?ω+=t A x cos 比较后可得：振幅A= 0.10 m ，角频率120-=s πω，初相π?25.0=，则周期 s T 1.0/2==ωπ，频率Hz T 10/1==ν。 （2）t= 2s 时的位移、速度、加速度分别为 m m x 21007.7)25.040cos()10.0(-?=+=ππ )25.040sin()2(/1πππ+?-==-s m dt dx v
习题四 4-1 符合什么规律的运动才是谐振动分别分析下列运动是不是谐振动： (1)拍皮球时球的运动； (2)如题4-1图所示，一小球在一个半径很大的光滑凹球面内滚动(设小球所经过的弧线很 短)． 题4-1图 解：要使一个系统作谐振动，必须同时满足以下三个条件：一 ，描述系统的各种参量，如质量、转动惯量、摆长……等等在运动中保持为常量；二，系统 是在 自己的稳定平衡位置附近作往复运动；三，在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用． 或者说，若一个系统的运动微分方程能用 0d d 2 22=+ξωξt 描述时，其所作的运动就是谐振动． (1)拍皮球时球的运动不是谐振动．第一，球的运动轨道中并不存在一个稳定的平衡位置； 第二，球在运动中所受的三个力：重力，地面给予的弹力，击球者给予的拍击力，都不是线 性回复力． (2)小球在题4-1图所示的情况中所作的小弧度的运动，是谐振动．显然，小球在运动过程中 ，各种参量均为常量；该系统(指小球凹槽、地球系统)的稳定平衡位置即凹槽最低点，即系统势能最小值位置点O ；而小球在运动中的回复力为θsin mg -，如题4-1图(b)所示．题 中所述，S ?＜＜R ，
故R S ?= θ→0，所以回复力为θmg -.式中负号，表示回复力的方向始终与角位移的方向相反．即小球在O 点附近的往复运动中所受回复力为线性的．若以小球为对象，则小球在以O '为圆心的竖直平面内作圆周运动，由牛顿第二定律，在凹槽切线方向上有 θθ mg t mR -=22d d 令R g = 2ω，则有 0d d 2 22=+ωθt 4-2 劲度系数为1k 和2k 的两根弹簧，与质量为m 的小球按题4-2图所示的两种方式连 接，试证明它们的振动均为谐振动，并分别求出它们的振动周期． 题4-2图 解：(1)图(a)中为串联弹簧，对于轻弹簧在任一时刻应有21F F F ==，设串联弹簧的等效倔强系数为串K 等效位移为x ，则有 1 11x k F x k F -=-=串 222x k F -= 又有 21x x x += 2 211k F k F k F x +== 串 所以串联弹簧的等效倔强系数为
机械振动基础复习提纲 难得自己写份复习提纲，虽然是门选修课，但下周一下考3门还是压力很大的说，因此老师大发慈悲地提了些要点，因为是看完试卷后说的，故可信度应该比较高吧。 总体上看，考试共考3章，特别提醒，绪论的一些小知识是会出现在填空题中的，下面也会提到。 分值比重： 第一章：40%不到一点，重点：1.2、1.4、1.5、1.6、1.10；1.8及1.10的傅里叶、拉格朗日变换法不考。 第二章：40%多一点，重点：2.1、2.2、2.3、2.4；2.6不考。 第三章：20%，重点：3.1，3.2、3.3以概念、简单技巧性的题目为主；3.4、3.5及以后部分均不考。 下面是基本要点，原则上均要求理解掌握： 1、组成振动系统的三个基本元件：质量、弹簧、阻尼。 振动现象（简谐运动）三要素：振幅、频率、初相位。其中强调频率为0并不代表振动函数为0，只是表示其未振动，没有振荡特性，图线是一根直线而已。(P9) 2、振动问题分类：已知系统模型、外载荷、求系统响应，称为响应计算或正问题;已知外载荷响应，求系统特性，称为系统识别或参数识别，也称为第一类逆问题；已知系统特性响应求载荷称为载荷识别，也称为第二类逆问题。（P3-P4） 3、单（多）自由度线性振动系统运动方程由二阶常系数微分方程（组）表示，且自由振动问题由齐次方程表示，受迫振动问题的运动方程为非齐次方程。（P8） 4、弹簧刚度系数的物理意义：使弹簧产生单位位移所需要施加的力。在振动系统中通常假定弹簧质量为0；线性振动（微幅振动）的范围内，通常认为弹簧总在线性变形的范围内；两弹簧串联后等效弹簧刚度如何计算？并联？（P12）对于角振动系统，弹簧为扭转弹簧，其刚度系数的物理意义是：使弹簧产生单位角位移所需要施加的力矩。（P14） 5、粘性阻尼系数的特点：阻尼器产生的阻尼力与阻尼器两端的相对速度成正比。（P32 -34) 6、什么是二阶线性常系数齐次微分方程的通解？非齐次微分方程的通解是对应齐次方程的通解加上非齐次方程的一个特解。（P20） 7、求解无阻尼单自由度系统的自由振动响应，就是确定求系统在给定的初始位移、初始速度下，系统运动方程的一个特解和通解的系数。 8、无阻尼单自由度系统的固有频率，仅取决于系统的刚度、质量，而与系统初始条件、所受外激励无关，是系统的固有属性。系统的质量越小，刚度越大，固有频率越高。要求掌握弧度制单位和频率之间的换算关系。（P10）
大学物理学》机械振动自主学习材料 、选择题 9-1 ．一个质点作简谐运动，振幅为A ，在起始时质点的位移为 代表此简谐运动的旋转矢量为（） 【旋转矢量转法判断初相位的方法必须掌握】 9-2 ．已知某简谐运动的振动曲线如图所示，则此简谐运动 的运动方程（ 的单位为 s)为( 2 2cos( 3t ) 2 3 ） ； （A）x 22 （B x2cos(t） 33 （C）x 4 2cos( 3 t 2 3 ） ； 42 （D x2cos(t） 33 4 【考虑在1 秒时间内旋转矢量转过，有】 33 9-3 ．两个同周期简谐运动的振动曲线如图所示，x1的相位 比x2 的相位（） （A ）落后；（B）超前； 22 （C）落后；（D ）超前。 【显然x1的振动曲线在x2 曲线的前面，超前了1/4 周期，即超前 9-5 ．图中是两个简谐振动的曲线，若这两个简谐振动可叠 加，则合成的余弦振动的初相位为（） 9-4 ．当质点以频 率 作简谐运动时，它的动能变化的频率为 （ A）2；（B） 考虑到动能的表达式为E k C) 2 ；(D) 4 。 1 2 mv 221 kA 2 sin 2( t ) ，出现平方项】 A，且向x 轴正方向运 动， x 的单位为cm ，t /2】
】 3 9-10 ．如图所示，两个轻弹簧的劲度系数分别为 9-15 ．一个质点作简谐振动， 置到二分之一最大位移这段路程所需要的最短时间为： 3 A ) 2 C ) B ）2； D ） 0 。 【由图可见，两个简谐振动同频率，相位相差 是大的那一个】 ，所以，则合成的余弦振动的振幅应该是大减小，初相位 9--1 ．一物体悬挂在一质量可忽略的弹簧下端，使物体略有位移， 测得其振动周期为 T ，然后将弹簧分割为两半，并联地悬挂同 一物体，再使物体略有位移，测得其振动周期为 T '，则 T'/T 为（ ） 11 （A ） 2； （B ）1； （C ） ； （D ） 。 22 弹簧串联的弹性系数公式为 形成新的弹簧整体，弹性系数为 T ' 2 1 1 1 ，弹簧对半分割后，其中一根的弹性系数为 2k ，两弹簧并联后 k 串 k 1 k 2 4k ，公式为 k 并 k 1 k 2 ，利用 ，考虑到 T 2 ，所以， T 】 2 9--2 ．一弹簧振子作简谐运动，当位移为振幅的一半时，其动能为总能量的（ 33 ；（ D ） 。 24 11 E k mv 2 kA 2 sin 2 （ t ） ， 位 移 为 振 幅 的 一 半 时 ， 有 22 1 kA 2 （ 3）2 】 22 A ） 1；（ B ） 2 考虑到动 12 ； （C ） 能的 表达式 为 2 2 ，那么， E k 3k 9--3 ．两个同方向， 相位差为（ A ） 6； （ B ） 同频率的简谐运动，振幅均为 A ，若合成振幅也为 A ，则两分振动的初 2 3； （C ）2 3 D ） 则振动频率为： （ 1 A ) 2 k 1 k 2 ； m B ） C ) 2 m ； k 1 k 2 D ） 提示：弹簧串联的弹性系数公式为 k 1 k 2 m(k 1 k 2) m(k 1 k 2) k 1 。 k 2 11 1 ， ，而简谐振动的频率为 k 串 k 1 k 2 】 1 2 k 1和 k 2 ，物体在光滑平面上作简谐振动， 可用旋转矢量考虑，两矢量的夹角应为 周期为 T ，当质点由平衡位置向 x 轴正方向运动时， 由平衡位
机械振动 机械波 练习题 1（3003） 轻弹簧上端固定，下系一质量为m 1的物体，稳定后在m 1下边又系一质量为m 2的物体，于是弹簧又伸长了?x ．若将m 2移去，并令其振动，则振动周期为 （A ） g m x m T 122?π=． （B ） g m x m T 212?π=． （C ） g m x m T 2121?π= ． （D ） g m m x m T )(2212+π=?． 2（5186） 已知某简谐振动的振动曲线如图所示，位移的单位为厘米，时间单位为秒．则此简谐振动的振动方程为： （A ）222cos()33x t ππ=+． （B ） 22 2cos()33x t ππ=-． （C ）422cos()33x t ππ=+． （D ）422cos()33x t ππ=-． （E ） 41 2cos()34 x t ππ=-． 3（3028） 一弹簧振子作简谐振动，总能量为E 1，如果简谐振动振幅增加为原来的两倍，重物的质量增为原来的四倍，则它的总能量E 2变为 （A ） E 1/4． （B ） E 1/2． （C ） 2E 1． （D ） 4 E 1 ． 4（3562） 图中所画的是两个简谐振动的振动曲线．若这两个 简谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相为 （A ） 3 2π． （B ） π． （C ） 1 2 π． （D ） 0． 5（3066） 机械波的表达式为y = 0.03cos6π（t + 0.01x ）（SI ） ，则 （A ） 其振幅为3 m ． （B ） 其周期为s 3 1． （C ） 其波速为10 m/s ． （D ） 波沿x 轴正向传播． 6（5204） 一平面余弦波在t = 0时刻的波形曲线如图所示，则O 点的振动初相φ 为： （A ） 0． （B ） 12 π． （C ） π． （D ） 32 π（或12π-）． x y O u
教学目标 1.掌握简谐振动的定义、表达方式、简谐振动的合成方法；了解自由、阻尼、强 迫等各类简谐振动的特点和规律。 2.掌握振动和波的关系、波的相干条件、叠加原理、驻波的形成条件、驻波的振 幅、相位和能量的空间分布，半波损失。 3.学会建立波动方程。 教学难点 多自由体系的小振动 第十一章 机械振动 振动是指物体或系统在其平衡位置附近的往复运动。(例子：物体位置、电流强度、电压、电场强度、磁场强度等)。 物体或系统质点数是无穷的，自由度数也是无穷的，因此存在空间分布和时间分布，需要用偏微分方程描述 (如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或未知函数与几个变量有关，而且未知函数对应几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。例如弦包含很多的质点，不能用质点力学的定律研究，但是可以将其细分成若干个极小的小段，每小段可以抽象成一个质点，用微分的方法研究质点的位移，其是这点所在的位置和时间变量的函数，根据张力，就可以建立起弦振动的偏微分方程) 。 一、简谐振动(单自由度体系无阻尼自由小振动) 虽然多质点的振动要用偏微分方程描述，但是我们可以简化或只考虑细分成的每一小段，那么就成为单质点单自由度(只需一个坐标变量)的振动。 2222 22222,,0 cos():0i i t F k k F kx a x m m m d x d x a x a x dt dt x A t Ae e i ，令特征方程特征根：?ωωωωω?λωλω =-= =-==-=∴+==+=+==±A (振幅)、?(初相位)都是积分常数，k 为倔强系数。 在微分方程中所出现的未知函数的导数的最高阶数称为这个方程的阶。 形如 ()()dx P t x Q x dt +=的方程为线性方程，其特点是它关于未知函数x 及其导数dx dt 都是一次的。若()0Q x =，则()0dx P t x dt +=称为齐次的线性方程。 二阶常系数齐次线性微分方程的解法： ()() 1 2 121212121,212cos sin t t t t x c e c e x c c t e i x e c t c t λλλαλλλλλαβββ≠=+==+=±=+ 由cos()sin()x A t v A t ω?ωω?=+?=-+ 按周期定义， ()()cos()cos sin()sin A t A t T A t A t T ω?ω?ωω?ωω?+=++???? -+=-++???? ，同时满足以上两方程的T 的 最小值应为 2p w 1,2T n w pn ==，w 称为圆频率或角频率。不像A 、
13 机械振动解答 13-1 有一弹簧振子，振幅A=2.0 ×10 -2 m，周期T=1.0s ，初相=3π/4。试写出它的运动方程，并做出x--t 图、v--t 图和a--t 图。 13-1 分析弹簧振子的振动是简谐运动。振幅 A 、初相、角频率是简谐运动方程 x A cos t 的三个特征量。求运动方程就 要设法确定这三个物理量。题中除A、已知外， 可通过关系式2 T 确定。振子运动的速度 和加速度的计算仍与质点运动学中的计算方法相同。 解因2 T ，则运动方程 x A c os t A cos 2 T t t 根据题中给出的数据得 x ( 2.0 10 2 m s 1 t ) cos[( 2 ) 0.75 ] 振子的速度和加速度分别为 v dx / dt (4 10 2 m s 1 s 1 t ) sin[( 2 ) 0.75 ] a d 2 x dt2 2 2 m s 1 s 1 t / (8 10 ) cos[( 2) 0.75 x-t 、v-t 及a-t 图如图13-l 所示 13-2 若简谐运动方程为x(0 .01m) cos (20 s ) ，求：（1）振幅、频率、角频率、周期和 1 t 1 t 4 初相；（2）t=2s 时的位移、速度和加速度。 13-2 分析可采用比较法求解。将已知的简谐运动方程与简谐运动方程的一般形式x A cos t 作比较，即可求得各特征量。运用与上题相同的处理方法，写出位移、速度、加速度的表达式，代入t 值后，即可求得结果。 1 t 解（l ）将x (0.10m) c os[( 20 s ) 0 .25 ] 与x A cos t 比较后可得：振幅A= 0.10 m，角频率 1 20 s ，初相0.25 ，则周期T 2 / 0 .1s ，频率1/ T 10 H z 。 （2）t= 2s 时的位移、速度、加速度分别为 2 x ( 0. 10m) c os(40 0.25 ) 7.07 10 m
单元一简谐振动 1）试题总分为100分，光学部分40%左右，热学部分40%左右，近代物理基础部分20%左右。 2）以下内容不作考试要求 光学部分： 第16章几何光学基础； 第17章第2节分波面干涉中菲涅耳双面镜实验和洛埃镜实验；第5节光波的空间相干性和时间相干性； 第18章第2节中振幅矢量法推导光强公式；第3节中多缝夫琅和费衍射的光强分布； 第4节中光栅的色散、分辨本领；第7节全息照相及第8节光学信息处理； 第19章第4节至第8节 热学部分： 第20章第8节速度分布律玻尔兹曼分布律；第10节范德瓦尔斯方程；第11节气体的输运现象及其宏观规律；20.9在考试范围内（平均自由程） 第21章第2节中固体的热容；第4节理想气体的绝热过程中，绝热过程的功的计算； 节流过程； 第22章第3节两种表述一致性证明、第7节不可逆过程中的熵增熵增加原理；第8节热力学第二定律的统计意义 近代物理基础： 第24章3.3节；第25章第3节至第6节；第26章至第28章 一、选择、填空题 1. 对一个作简谐振动的物体，下面哪种说法是正确的？【C】 (A)物体处在运动正方向的端点时，速度和加速度都达到最大值； (B)物体位于平衡位置且向负方向运动时，速度和加速度都为零； (C)物体位于平衡位置且向正方向运动时，速度最大，加速度为零； (D)物体处在负方向的端点时，速度最大，加速度为零。 2. 一沿X轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为A，周期为T，振动方程用余弦函数表示，如果该振子的初相为，则t=0时，质点的位置在：【D】 (A)过处，向负方向运动；(B)过处，向正方向运动；
(C) 过处，向负方向运动；(D) 过处，向正方向运动。 3. 将单摆从平衡位置拉开，使摆线与竖直方向成一微小角度θ，然后由静止释放任其振动，从放手开始计时，若用余弦函数表示运动方程，则该单摆的初相为：【B】 (A)θ；(B)0；(C)π/2；(D)-θ 4. 图(a)、(b)、(c)为三个不同的谐振动系统，组成各系统的各弹簧的倔强系数及重物质量如图所示， (a)、(b)、(c)三个振动系统的ω(ω为固有圆频率)值之比为：【B】 (A) 2：1：1；(B) 1：2：4；(C) 4：2：1；(D) 1：1：2 5. 一弹簧振子，当把它水平放置时，它可以作简谐振动，若把它竖直放置或放在固定的光滑斜面上如图，试判断下面哪种情况是正确的：【C】 (A)竖直放置可作简谐振动，放在光滑斜面上不能作简谐振动； (B)竖直放置不能作简谐振动，放在光滑斜面上可作简谐振动； (C)两种情况都可作简谐振动； (D)两种情况都不能作简谐振动。 6. 一谐振子作振幅为A的谐振动，它的动能与势能相等时，它的相位和坐标分别为：【C】 7. 如果外力按简谐振动的规律变化，但不等于振子的固有频率。那么，关于受迫振动，下列说法正确的是：【B】 (A)在稳定状态下，受迫振动的频率等于固有频率； (B)在稳定状态下，受迫振动的频率等于外力的频率； (C)在稳定状态下，受迫振动的振幅与固有频率无关； (D)在稳定状态下，外力所作的功大于阻尼损耗的功。 8. 关于共振，下列说法正确的是：【A】 (A)当振子为无阻尼自由振子时，共振的速度振幅为无限大； (B)当振子为无阻尼自由振子时，共振的速度振幅很大，但不会无限大；
鄂尔多斯市《机械振动》测试题(含答案) 一、机械振动 选择题 1．如图所示，一根不计质量的弹簧竖直悬吊铁块M ，在其下方吸引了一磁铁m ，已知弹簧的劲度系数为k ，磁铁对铁块的最大吸引力等于3m g ，不计磁铁对其它物体的作用并忽略阻力，为了使M 和m 能够共同沿竖直方向作简谐运动，那么 （ ） A ．它处于平衡位置时弹簧的伸长量等于()2M m g k + B ．振幅的最大值是 ()2M m g k + C ．弹簧弹性势能最大时，弹力的大小等于()2M m g + D ．弹簧运动到最高点时，弹簧的弹力等于0 2．下列说法中 不正确 的是( ) A ．将单摆从地球赤道移到南(北)极,振动频率将变大 B ．将单摆从地面移至距地面高度为地球半径的高度时,则其振动周期将变到原来的2倍 C ．将单摆移至绕地球运转的人造卫星中,其振动频率将不变 D ．在摆角很小的情况下,将单摆的振幅增大或减小,单摆的振动周期保持不变 3．如图为某简谐运动图象，若t ＝0时，质点正经过O 点向b 运动，则下列说法正确的是( ) A ．质点在0.7 s 时的位移方向向左，且正在远离平衡位置运动 B ．质点在1.5 s 时的位移最大，方向向左，在1.75 s 时，位移为1 cm C ．质点在1.2 s 到1.4 s 过程中，质点的位移在增加，方向向左 D ．质点从1.6 s 到1.8 s 时间内，质点的位移正在增大，方向向右 4．如图所示,甲、乙两物块在两根相同的弹簧和一根张紧的细线作用下静止在光滑水平面上,已知甲的质量小于乙的质量．当细线突然断开斤两物块都开始做简谐运动,在运动过程中（ ） A ．甲的最大速度大于乙的最大速度
习题六 6-1 一轻弹簧在60N的拉力下伸长30cm。现把质量为4kg物体悬挂在该弹簧的下端，并使之静止，再把物体向下拉10cm，然后释放并开始计时。求：(1)物体的振动方程；(2)物体在平衡位置上方5cm时弹簧对物体的拉力；(3)物体从第一次越过平衡位置时刻起，到它运动到上方5cm处所需要的最短时间。 [解] (1)取平衡位置为坐标原点，竖 直向下为正方AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF
AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF 向，建立坐标 系 rad/s 07.74200m 1.0N/m 20010 30602=== ==?=-m k A k ω设振动方程为 ()φ+=t x 07.7cos 0=t 时 1.0=x φcos 1.01.0= 0=φ 故振动方程为 ()m 07.7cos 1.0t x = (2)设此时弹簧对物体作用力为F ，
AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF 则 ()()x x k x k F +=?=0 其中 m 2.020040 0===k mg x
AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF 因而 有 ()N 3005.02.0200=-?=F (3)设第一次越过平衡位置时刻为1 t ，则 ()107.7cos 1.00t = 07.5.01π=t 第一次运动到上方5cm 处时刻为2 t ，则 ()207.7cos 1.005.0t =- ()07.7322?=πt 故所需最短时间为： s 074.012=-=?t t t
AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF 6-2 一质点在x 轴上 作谐振动，选取该质点向 右运动通过点 A 时作为 计时起点(t ＝0)，经过2s 后质点第一次经过点B ， 再经 2s 后，质点第二经过点B ，若已知该质点在A 、B 两点具有相同的速率，且AB =10cm ，求：(1)质点的振动方程：(1)质点在A 点处的速率。 [解] 由旋转矢量图和||||b a v v =可知 42 1=T s