2l d l d t
d t 题 1-4 图
∴
v =- d l d t d t d t s d t s cos θ
1-4 在离水面高h 米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸S 处，如题1-4图所示．当人以
v (m· s -1 )的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小．
图1-4
解： 设人到船之间绳的长度为 l ，此时绳与水面成θ 角，由图可知
l 2 = h 2 + s 2
将上式对时间 t 求导，得
d s = 2s
根据速度的定义，并注意到 l , s 是随 t 减少的，
d s
= v , v = - 绳 0 船
即
v
船 =-
或
v 船 = lv (h 2 + s 2 )1/ 2 v
0 =
s s
将 v 再对 t 求导，即得船的加速度
船
1-6 已知一质点作直线运动，其加速度为 a ＝4+3 t m ? s -2 ，开始运动时， x ＝5 m ，
v
2
= 4t + 2 2 1-10 以初速度 v ＝20 m ? s -1 抛出一小球，抛出方向与水平面成幔 60°的夹角，
=0，求该质点在 t ＝10s 时的速度和位置．
解：∵
a =
d v = 4 + 3t
d t
分离变量，得
d v = (4 + 3t )dt
3
积分，得
v = 4t + t 2 + c
1
由题知， t = 0 , v = 0 ,∴ c = 0
0 1
3
故
v = 4t + t 2
2
又因为
v = d x
3 t 2
d t 2
3
分离变量，
d x = (4t + t 2 )dt
2
1 积分得
x = 2t 2 + t 3 + c 2
2
由题知 t = 0 , x = 5 ,∴ c = 5
0 2
1
故
x = 2t 2 + t 3 + 5
2
所以 t = 10 s 时
v = 4 ? 10 + 3
? 10 2 = 190 m ? s -1 10
1
x = 2 ? 10 2 + ? 10 3 + 5 = 705 m 10
求：(1)球轨道最高点的曲率半径 R ；(2)落地处的曲率半径 R ．
1
2
2
1 = = n
1
10 n 2 10 ? cos 60?
解：(1)大船看小艇，则有 v = v - v ，依题意作速度矢量图如题 1-13 图(a)
(提示：利用曲率半径与法向加速度之间的关系)
解：设小球所作抛物线轨道如题 1-10 图所示．
题 1-10 图
(1)在最高点，
v = v = v cos 60 o
1 x
a = g = 10 m ? s -2
n 1
又∵
a =
v 1
n
1
ρ
1
∴
(2)在落地点，
ρ v 2 (20 ? cos 60?) 2 1
a = 10 m
v = v = 20 m ? s -1 ,
2 0
而
a = g ? cos60o
n 2
∴
ρ v 2 (20) 2 2 = a 2
= =
80 m
1-13 一船以速率 v ＝30km·h -1沿直线向东行驶，另一小艇在其前方以速率v ＝40km·h -1 1 2
沿直线向北行驶，问在船上看小艇的速度为何?在艇上看船的速度又为何?
? ? ρ
21 2 1
(2)小船看大船，则有v=v-v，依题意作出速度矢量图如题1-13图(b)，同上法，得解:物体置于斜面上受到重力mg，斜面支持力N.建立坐标：取v方向为X轴，平行斜题1-13图
由图可知v=v2+v2=50km?h-1
2112
方向北偏西θ=arctan
v
1=arctan
v
2
3
4=36.87?
??ρ
1212
v=50km?h-1
12
2-2一个质量为P的质点，在光滑的固定斜面（倾角为α）上以初速度v运动，v的方向
00
与斜面底边的水平线AB平行，如图所示，求这质点的运动轨道．
?
面与X轴垂直方向为Y轴.如图2-2.
题2-2图
X方向：F=0x=v t①
x0
Y方向：F=mg sinα=ma
y
t=0时y=0v=0
y
y
②
mv
m e
即
? k
0 m k k k k
k
y = 1 2
g sin α t 2
由①、②式消去 t ，得
y =
1 2v
2 0
g sin α ? x 2
2-4 质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力kv ( k 为常数)作用， t =0时质点的
速度为 v ，证明(1) t 时刻的速度为 v ＝ v e
-( k )t
m ；(2) 由
0到 t 的时间内经过的距离为
k x ＝( 0 )［1- e -( m )t ］；(3)停止运动前经过的距离为 v ( ) ；(4)证明当 t = m k 时速
k
0 k
度减至 v 的 1
，式中m 为质点的质量．
答: (1)∵
a =
分离变量，得
- kv d v =
m d t
d v - k d t
= v m
v
d v v
0 v
= ?t 0 - k d t m
v
ln = ln e - kt
v
∴
v = v e - m t
(2)
x = ? v d t = ?t v e
- m
t d t =
mv
0 (1 - e - m t
)
(3)质点停止运动时速度为零，即 t→∞，
故有
x ' = ?∞ v e
- m
t d t =
mv
e
k
k
e
I = ? t (a - bt )dt = at -
bt 2
(4)当 t=
m
k
时，其速度为
v = v e
- m ? m = v e -1
=
v
0 0 即速度减至 v 的 1
.
2-10 一颗子弹由枪口射出时速率为 v m ? s -1 ，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为
F =( a - bt )N( a, b 为常数)，其中 t 以秒为单位：(1)假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，
试计算子弹走完枪筒全长所需时间；(2)求子弹所受的冲量．(3)求子弹的质量．
解: (1)由题意，子弹到枪口时，有
F = (a - bt ) = 0 ,得 t =
a
b
(2)子弹所受的冲量
1 0 2
将 t = a
b
代入，得
I =
a 2 2b
(3)由动量定理可求得子弹的质量
I a 2
m = =
v 2bv 0
2-13 以铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比，在 铁锤击第一次时，能将小钉击入木板内1 cm ，问击第二次时能击入多深，假定铁锤两次打击 铁钉时的速度相同．
解: 以木板上界面为坐标原点，向内为 y 坐标正向，如题 2-13 图，则铁钉所受阻力为
s s0
1
22
22
即1
222
题2-13图
f=-ky
第一锤外力的功为A
1
A=?f'd y=?-f d y=?1ky d y= 1k
2①
式中f'是铁锤作用于钉上的力，f是木板作用于钉上的力，在d t→0时，f'=-f．
设第二锤外力的功为A，则同理，有
2
A=?y2ky d y= 21
k ky2-②2
由题意，有
1k
A=A=?(mv2)=③
21
k k
ky2-=
2
所以，y=2
2
于是钉子第二次能进入的深度为
?y=y-y=2-1=0.414cm
21
2-15一根劲度系数为k的轻弹簧A的下端，挂一根劲度系数为k的轻弹簧B，B的下端
12
一重物C，C的质量为M，如题2-15图．求这一系统静止时两弹簧的伸长量之比和弹性势能之比．
k ?x 2
p 1 = 2 1 k
k ?x 2 p
2
2 2
解: 弹簧 A 、B 及重物 C 受力如题 2-15 图所示平衡时，有
题 2-15 图
F = F = Mg
A B
又
F = k ?x
A 1
1
F = k ?x
B
2
2
所以静止时两弹簧伸长量之比为
?x
1 = ?x
2
k k 2
1
弹性势能之比为
E
E 1
2-17 由水平桌面、光滑铅直杆、不可伸长的轻绳、轻弹簧、理想滑轮以及质量为m 和 m
1
2
的滑块组成如题2-17图所示装置，弹簧的劲度系数为 k ，自然长度等于水平距离 BC ，m 与
2
桌面间的摩擦系数为 μ ，最初 m 静止于 A 点，AB ＝ BC ＝ h ，绳已拉直，现令滑块落下 m ,
1
1
求它下落到 B 处时的速率．
-μm gh=
1
22
v=
2(m-μm)gh+kh2
(
2-1
)
mgR=
1
解:取B点为重力势能零点，弹簧原长为弹性势能零点，则由功能原理，有
1
(m+m)v2-[m gh+k(?l)2]
2121
式中?l为弹簧在A点时比原长的伸长量，则
?l=AC-BC=(2-1)h
联立上述两式，得
2
12
m+m
12
题2-17图
2-19质量为M的大木块具有半径为R的四分之一弧形槽，如题2-19图所示．质量为m的小立方体从曲面的顶端滑下，大木块放在光滑水平面上，二者都作无摩擦的运动，而且都从
静止开始，求小木块脱离大木块时的速度．
解:m从M上下滑的过程中，机械能守恒，以m，M，地球为系统，以最低点为重力势能零点，则有
1
mv2+MV2
22
又下滑过程，动量守恒，以m,M为系统则在m脱离M瞬间，水平方向有
mv-MV=0
联立，以上两式，得
v =
2MgR
1 - β 2
= 5 1 - β 2
, 则 = 1 - β 2
∴
v = 1 - 9
(m + M )
3-8 一宇航员要到离地球为5光年的星球去旅行．如果宇航员希望把这路程缩短为3光年，则 他所乘的火箭相对于地球的速度是多少?
解:
l ' = 3 = l
3
5
4
c = c
25 5
3-12 6000m 的高空大气层中产生了一个π 介子以速度 v =0.998c 飞向地球．假定该π 介子 在其自身静止系中的寿命等于其平均寿命 2×10-6s ．试分别从下面两个角度，即地球上的观 测者和 π 介子静止系中观测者来判断π 介子能否到达地球．
解: π 介子在其自身静止系中的寿命 ? t = 2 ? 10 -6 s 是固有(本征)时间，对地球观测者， 0
由于时间膨胀效应，其寿命延长了．衰变前经历的时间为
?t =
?t
1 -
v 2 c 2
= 3.16 ? 10 -5 s
这段时间飞行距离为 d = v ? t = 9470 m
因 d > 6000 m ，故该π 介子能到达地球．
或在 π 介子静止系中，π 介子是静止的．地球则以速度v 接近介子，在 ?t 时间内，地球接
近的距离为 d ' = v ? t = 599 m
d = 6000 m 经洛仑兹收缩后的值为：
d ' = d
1 - v
2 c 2
= 379 m
1 - v
2 - 1)
1 - 0.1
2 - 1)
v 2 1 - 0.9 2
-
d ' > d ' ，故 π 介子能到达地球．
3-17 (1)如果将电子由静止加速到速率为0.1c ，须对它作多少功?(2)如果将电子由速率为 0.8c 加速到0.9c ，又须对它作多少功?
解: (1)对电子作的功，等于电子动能的增量，得
?E = E = mc 2
- m c 2
= m c 2
(γ - 1) = m c 2 (
1
k k
c 2
= 9.1? 10 -31
? (3 ? 108 ) 2 (
1
= 4.12 ? 10 -16 J= 2.57 ? 10 3 eV
(2)
?E ' = E
k
k
- E k 2 1
= (m c 2 - m c 2 ) -
(m c 2 - m c 2 ) 2 0 1 0
= m c 2 - m c 2 = m c 2 (
1
2
1
1 - 2
c 2
-
1
v 2
1 - 1
c 2
) )
= 9.1? 10 -31 ? 32 ? 1016 (
1
1
1 - 0.8 2
)
= 5.14 ? 10 -14 J = 3.21 ? 10 5 eV
4-5 一个沿 x 轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为 A ，周期为 T ，其振动方程用余弦函数 表示．如果 t = 0 时质点的状态分别是：
(1) x = - A ；
(2)过平衡位置向正向运动；
(3)过 x = A
2
(4)过 x = -
处向负向运动；
A
2 处向正向运动．
解：因为
? 0
2T
rad ? s -1
2
2 3 2
3 26 3
试求出相应的初位相，并写出振动方程．
? x = A c os φ 0 ?v 0 = -ωA sin φ
将以上初值条件代入上式，使两式同时成立之值即为该条件下的初位相．故有
φ = π
1
3
φ = π
2
2π
x = A c os( t + π )
T
2π 3
x = A c os( t + π )
T 2 φ =
3
π
3
2π π
x = A c os( t + )
T 3
φ = 4 5π
4
2π 5
x = A c os( t + π )
T 4
4-8 图为两个谐振动的 x - t 曲线，试分别写出其谐振动方程．
题4-8图
解：由题4-8图(a)，∵ t = 0 时， x = 0, v > 0,∴φ = 0 0 0
3
2
π , 又, A = 10cm, T = 2s
即 ω =
2π = π
3故
x = 0.1cos(πt + π )m
a
A 5π
由题4-8图(b)∵ t = 0 时， x = , v > 0,∴φ = 0
t = 0 时， x = 0, v < 0,∴φ = 2π +
π
1
1
1
1
5 5
又 φ = ω ? 1 + π = π
1 5 ∴ ω = π
6
5 5π
故
x = 0.1cos( πt + b
)m
4-11 有两个同方向、同频率的简谐振动，其合成振动的振幅为0.20m ，位相与第一振动 的位相差为
π
，已知第一振动的振幅为 0.173m ，求第二个振动的振幅以及第一、第二两振
6
动的位相差．
1
2
2 ，这说明， A 与
A 间夹角为 ? 1
6
5
- (- 6 = 3 1 2 2
题4-11图
解：由题意可做出旋转矢量图如下． 由图知
A 2 = A 2 + A 2 - 2 A A c os 30?
2
1
1
= (0.173) 2 + (0.2) 2 - 2 ? 0.173 ? 0.2 ? 3 / 2 = 0.01
∴
A = 0.1m
2
设角 AA O 为θ ，则
1
A 2 = A 2 + A 2 - 2 A A cos θ
1 2
1 2
A 2 + A 2 - A 2
(0.173) 2 + (0.1) 2 - (0.02) 2
cos θ =
=
即
2 A A
2 ? 0.17
3 ? 0.1
1 2
= 0
即θ =
π
1 2 π π
，即二振动的位相差为 . 2 2
4-13 一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，振动方程为
?
π x = 0.4 cos(2t + )m ?
?x = 0.3cos(2t - π )m ? 2 6
试分别用旋转矢量法和振动合成法求合振动的振动幅和初相，并写出谐振方程。 解：∵
?φ = π
5
π ) = π
6 6
∴
A = A - A = 0.1m
合
1
2
tan φ =
A sin φ + A sin φ 1 =
A cos φ + A cos φ
2 1 2 2 π 5π
0.4 ? sin - 0.3sin 6 π 5π 3 0.4 cos + 0.3cos
6 6
π
∴
φ =
6
其振动方程为
x = 0.1cos(2t +
(作图法略)
π
6
)m
波长 λ = 2π
λ ( x - x )
C
5-8 已知波源在原点的一列平面简谐波，波动方程为 y = A cos( Bt - Cx )，其中 A ， B ，
C 为正值恒量．求：
(1)波的振幅、波速、频率、周期与波长；
(2)写出传播方向上距离波源为l 处一点的振动方程；
(3)任一时刻，在波的传播方向上相距为 d 的两点的位相差． 解: (1)已知平面简谐波的波动方程
y = A c os( B t - Cx) ( x ≥ 0 )
将上式与波动方程的标准形式
比较，可知：
波振幅为 A ，频率υ =
B 2π
，
y = A c os(2πυt - 2π x
λ )
B
，波速 u = λυ = ，
C C
波动周期 T =
1
υ
=
2π B
．
(2)将 x = l 代入波动方程即可得到该点的振动方程
y = A c os( B t - Cl )
(3)因任一时刻 t 同一波线上两点之间的位相差为
?φ = 2π
2 1
将 x - x = d ，及 λ =
2π
2
1
代入上式，即得
?φ = Cd ．
λx)
5-9沿绳子传播的平面简谐波的波动方程为y=0.05cos(10πt-4πx)，式中x,y以米计，t以秒计．求：
(1)波的波速、频率和波长；
(2)绳子上各质点振动时的最大速度和最大加速度；
(3)求x=0.2m处质点在t=1s时的位相，它是原点在哪一时刻的位相?这一位相所代表的运动状态在t=1.25s时刻到达哪一点?
解:(1)将题给方程与标准式
y=A c os(2πυt-2
π
相比，得振幅A=0.05m，频率υ=5s-1，波长λ=0.5m，波速u=λυ=2.5m?s-1．(2)绳上各点的最大振速，最大加速度分别为
v
max
=ωA=10π?0.05=0.5πm?s-1
a
max
=ω2A=(10π)2?0.05=5π2m?s-2
(3)x=0.2m处的振动比原点落后的时间为
x0.2
==0.08s
u 2.5
故x=0.2m,t=1s时的位相就是原点(x=0)，在t=1-0.08=0.92s时的位相，
即φ=9.2π．
设这一位相所代表的运动状态在t=1.25s时刻到达x点，则
x=x+u(t-t)=0.2+2.5(1.25-1.0)=0.825
11
5-16题5-16图中(a)表示t=0时刻的波形图，(b)表示原点(x=0)处质元的振动曲线，试求此波的波动方程，并画出x=2m处质元的振动曲线．
解:由题5-16(b)图所示振动曲线可知T=2s,A=0.2m，且t=0时，y=0,v>0，
00
2,再结合题5-16(a)图所示波动曲线可知，该列波沿x轴负向传播，
Tλ
+
4
故知φ=-
π
且λ=4m，若取y=A c os[2π(
t x
)+φ]
题5-16图
则波动方程为
t xπ
y=0.2cos[2π(+)-]
242
5-17一平面余弦波，沿直径为14cm的圆柱形管传播，波的强度为18.0×10-3J·m-2·s-1，频率为300Hz，波速为300m·s-1，求：
(1)波的平均能量密度和最大能量密度?
(2)两个相邻同相面之间有多少波的能量?
解:(1)∵I=wu
I10-3
∴w==18.0?
u300
=6?10-5J?m-3
w
max
=2w=1.2?10-4J?m-3
11u
(2)W=ωV=wπd2λ=wπd2
44ν
1300
=6?10-5?π?(0.14)2?=9.24?10-7J
4300
5-18如题5-18图所示，S和S为两相干波源，振幅均为A，相距
λ
，S较S位相超前
12112
π
2，求：
(1)S外侧各点的合振幅和强度；
1
2-
2π?
?φ=
πλ?
λ??14??
2-
λ
(CP-BP)
u
(CP-BP)
(2)S外侧各点的合振幅和强度
2
解：（1）在S外侧，距离S为r的点，S S传到该P点引起的位相差为
11112
r-(r+)=π
1
A=A-A=0,I=A2=0
11
（2）在S外侧.距离S为r的点，S S传到该点引起的位相差.
22112
?φ=
π2π
λ
(r
2
+
λ
4-
r
2
)=0
A=A+A=2A,I=A2=4A2
1111
5-19如题5-19图所示，设B点发出的平面横波沿BP方向传播，它在B点的振动方程为
y=2?10-3cos2πt;C点发出的平面横波沿C P方向传播，它在C点的振动方程为
1
y=2?10-3cos(2πt+π)，本题中y以m计，t以s计．设BP＝0.4m，CP＝0.5m，波速2
u=0.2m·s-1，求：
(1)两波传到P点时的位相差；
(2)当这两列波的振动方向相同时，P处合振动的振幅；
*(3)当这两列波的振动方向互相垂直时，P处合振动的振幅．
解:(1)?φ=(φ-?)-
2π
21
=π-
ω
=π-
2π
(0.5-0.4)=0
0.2
题5-19图
(2)P点是相长干涉，且振动方向相同，所以
A=A+A=4?10-3m
P12
（1） 1
(3)若两振动方向垂直，又两分振动位相差为 0 ，这时合振动轨迹是通过Ⅱ，Ⅳ象限的直线， 所以合振幅为
A = A 2 + A 2 = 2 A = 2 2 ? 10 -3 = 2.83 ? 10 -3
1 2
1
6-13 试说明下列各量的物理意义．
3 i
kT
（2） kT
（3） kT
2
2
2
（4） M i i 3
RT （5） RT （6） RT
M 2 2 2
mol
1
解：(1)在平衡态下，分子热运动能量平均地分配在分子每一个自由度上的能量均为 k T ．
2
3
( 2 )在平衡态下，分子平均平动动能均为 kT .
2
i
( 3 )在平衡态下，自由度为 i 的分子平均总能量均为 kT .
2
( 4 )由质量为 M ，摩尔质量为 M mol ，自由度为 i 的分子组成的系统的内能为 M i
M 2
mol
RT .
(5) 1摩尔自由度为 i 的分子组成的系统内能为 i
RT .
2
3
(6) 1摩尔自由度为 3 的分子组成的系统的内能 RT ，或者说热力学体系内，1 摩尔分子的
2
平均平动动能之总和为 3
RT .
2
6-20 容器中储有氧气，其压强为p ＝0.1 MPa(即1atm)温度为27℃，求
(1)单位体积中的分子n ；(2)氧分子的质量m ；(3)气体密度 ρ ；(4)分子间的平均距离 e ；(5)
平均速率 v ；(6)方均根速率 v 2 ；(7)分子的平均动能ε．
解：(1)由气体状态方程 p = nkT 得
mol
n =
p0.1?1.013?105
n===2.45?1024m-3
kT 1.38?10-23?300
(2)氧分子的质量
m=
M
mol=
N 0
0.032
6.02?1023=5.32?10-26
kg
(3)由气体状态方程pV=
M
RT
M
mol
得
M p0.032?0.1?1.013?105
ρ===0.13kg?m-3
RT8.31?300
(4)分子间的平均距离可近似计算
e=1
33
1
2.45?1024
=7.42?10-9m
(5)平均速率
v=1.60
RT
M
mol
8.31?300
≈1.60=446.58m?s-1
0.032
(6)方均根速率
v2≈1.73
RT
=482.87m?s-1 M
mol
(7)分子的平均动能
ε=5
2
kT=
5
2?1.38?10-23?300=1.04?10-20J
6-23一真空管的真空度约为1.38×10-3Pa(即1.0×10-5mmHg)，试求在27℃时单位体积中的分子数及分子的平均自由程(设分子的有效直径d＝3×10-10m)．
2π?9?10-20?3.33?1017
=7.5m
解：由气体状态方程p=nkT得
p 1.38?10-3
n===3.33?1017m-3
kT 1.38?1023?300
由平均自由程公式λ=
1
2πd2n
λ=
1
7-10如题7-10图所示，一系统由状态a沿acb到达状态b的过程中，有350J热量传入系统，而系统作功126J．
(1)若沿adb时，系统作功42J，问有多少热量传入系统?
(2)若系统由状态b沿曲线ba返回状态a时，外界对系统作功为84J，试问系统是吸热还
是放热?热量传递是多少?
题7-10图
解：由abc过程可求出b态和a态的内能之差
Q=?E+A
?E=Q-A=350-126=224J
abd过程，系统作功A=42J
Q=?E+A=224+42=266J系统吸收热量
习 题 1 1.1选择题 (1) 一运动质点在某瞬时位于矢径),(y x r 的端点处，其速度大小为 (A)dt dr (B)dt r d (C)dt r d | | (D) 22)()(dt dy dt dx [答案：D] (2) 一质点作直线运动，某时刻的瞬时速度s m v /2 ，瞬时加速度 2/2s m a ，则一秒钟后质点的速度 (A)等于零 (B)等于-2m/s (C)等于2m/s (D)不能确定。 [答案：D] (3) 一质点沿半径为R 的圆周作匀速率运动，每t 秒转一圈，在2t 时间间隔中，其平均速度大小和平均速率大小分别为 (A) t R t R 2, 2 (B) t R 2,0 (C) 0,0 (D) 0,2t R [答案：B] 1.2填空题 (1) 一质点，以1 s m 的匀速率作半径为5m 的圆周运动，则该质点在5s 内，位移的大小是 ；经过的路程是 。 [答案： 10m ； 5πm] (2) 一质点沿x 方向运动，其加速度随时间的变化关系为a=3+2t (SI)，如果初
始时刻质点的速度v 0为5m ·s -1 ，则当t 为3s 时，质点的速度v= 。 [答案： 23m ·s -1 ] (3) 轮船在水上以相对于水的速度1V 航行，水流速度为2V ，一人相对于甲板以 速度3V 行走。如人相对于岸静止，则1V 、2V 和3V 的关系是 。 [答案： 0321 V V V ] 1.3 一个物体能否被看作质点，你认为主要由以下三个因素中哪个因素决定： (1) 物体的大小和形状； (2) 物体的内部结构； (3) 所研究问题的性质。 解：只有当物体的尺寸远小于其运动范围时才可忽略其大小的影响，因此主要由所研究问题的性质决定。 1.4 下面几个质点运动学方程，哪个是匀变速直线运动？ （1）x=4t-3；（2）x=-4t 3+3t 2+6；（3）x=-2t 2+8t+4；（4）x=2/t 2-4/t 。 给出这个匀变速直线运动在t=3s 时的速度和加速度，并说明该时刻运动是加速的还是减速的。（x 单位为m ，t 单位为s ） 解：匀变速直线运动即加速度为不等于零的常数时的运动。加速度又是位移对时间的两阶导数。于是可得（3）为匀变速直线运动。 其速度和加速度表达式分别为 t=3s 时的速度和加速度分别为v =20m/s ，a =4m/s 2。因加速度为正所以是加速的。 1.5 在以下几种运动中，质点的切向加速度、法向加速度以及加速度哪些为零
1-4 在离水面高h 米的岸上,有人用绳子拉船靠岸,船在离岸S 处,如题1-4图所示.当人以0v (m ·1-s )的速率收绳时,试求船运动的速度与加速度的大小. 图1-4 解: 设人到船之间绳的长度为l ,此时绳与水面成θ角,由图可知 2 22s h l += 将上式对时间t 求导,得 t s s t l l d d 2d d 2= 题1-4图 根据速度的定义,并注意到l ,s 就是随t 减少的, ∴ t s v v t l v d d ,d d 0-==-=船绳 即 θ cos d d d d 00v v s l t l s l t s v ==-=-=船 或 s v s h s lv v 02/1220)(+==船 将船v 再对t 求导,即得船的加速度 1-6 已知一质点作直线运动,其加速度为 a ＝4+3t 2s m -?,开始运动时,x ＝5 m,v =0,
求该质点在t ＝10s 时的速度与位置. 解:∵ t t v a 34d d +== 分离变量,得 t t v d )34(d += 积分,得 122 34c t t v ++= 由题知,0=t ,00=v ,∴01=c 故 22 34t t v += 又因为 22 34d d t t t x v +== 分离变量, t t t x d )2 34(d 2+= 积分得 2322 12c t t x ++= 由题知 0=t ,50=x ,∴52=c 故 52 1232++=t t x 所以s 10=t 时 m 7055102 1102s m 190102310432101 210=+?+?=?=?+?=-x v 1-10 以初速度0v ＝201s m -?抛出一小球,抛出方向与水平面成幔 60°的夹角, 求:(1)球轨道最高点的曲率半径1R ;(2)落地处的曲率半径2R .
大学物理习题及解答 8-1 电量都是q 的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点．试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系? 解: 如题8-1图示 (1) 以A 处点电荷为研究对象，由力平衡知：q '为负电荷 20 220)33(π4130cos π412a q q a q '=?εε 解得 q q 33 - =' (2)与三角形边长无关． 题8-1图 题 8-2图 8-2 两小球的质量都是m ，都用长为l 的细绳挂在同一点，它们带有相同电量，静止时两线夹角为2θ,如题8-2图所示．设小球的半径和线的质量都可以忽略不计，求每个小球所带的电量． 解: 如题8-2图示 ????? ===22 0)sin 2(π41sin cos θεθθl q F T mg T e 解得 θ πεθtan 4sin 20mg l q = 8-3 根据点电荷场强公式 204r q E πε= ，当被考察的场点距源点电荷很近(r →0)时，则场强 →∞，这是没有物理意义的，对此应如何理解? 解: 2 0π4r r q E ε= 仅对点电荷成立，当0→r 时，带电体不能再视为点电荷，再用上式求 场强是错误的，实际带电体有一定形状大小，考虑电荷在带电体上的分布求出的场强不会是无限大． 8-4 在真空中有A ，B 两平行板，相对距离为d ，板面积为S ，其带电量分别为+q 和-q ．则 这两板之间有相互作用力f ，有人说f =2 02 4d q πε,又有人说，因为f =qE , S q E 0ε= ，所
习题八 8-1 电量都是q 的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点．试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系 ? 解: 如题8-1图示 (1) 以A 处点电荷为研究对象，由力平衡知：q '为负电荷 2 220)3 3(π4130cos π412a q q a q '=?εε 解得 q q 3 3- =' (2)与三角形边长无关． 题8-1图 题8-2图 8-7 一个半径为R 的均匀带电半圆环，电荷线密度为λ,求环心处O 点的场强． 解: 如8-7图在圆上取?Rd dl = 题8-7图 ?λλd d d R l q ==，它在O 点产生场强大小为
2 0π4d d R R E ε? λ= 方向沿半径向外 则 ??ελ ?d sin π4sin d d 0R E E x = = ??ελ ?πd cos π4)cos(d d 0R E E y -= -= 积分R R E x 000 π2d sin π4ελ ??ελπ == ? 0d cos π400 =-=? ??ελ π R E y ∴ R E E x 0π2ελ = =，方向沿x 轴正向． 8-11 半径为1R 和2R (2R ＞1R )的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别带有电量λ和-λ,试求:(1)r ＜1R ；(2) 1R ＜r ＜2R ；(3) r ＞2R 处各点的场强． 解: 高斯定理0 d ε∑? = ?q S E s 取同轴圆柱形高斯面，侧面积rl S π2= 则 rl E S E S π2d =?? 对(1) 1R r < 0,0==∑E q (2) 21R r R << λl q =∑ ∴ r E 0π2ελ = 沿径向向外
习题2 2.1 选择题 (1) 一质点作匀速率圆周运动时， (A)它的动量不变，对圆心的角动量也不变。 (B)它的动量不变，对圆心的角动量不断改变。 (C)它的动量不断改变，对圆心的角动量不变。 (D)它的动量不断改变，对圆心的角动量也不断改变。 [答案：C] (2) 质点系的内力可以改变 (A)系统的总质量。 (B)系统的总动量。 (C)系统的总动能。 (D)系统的总角动量。 [答案：C] (3) 对功的概念有以下几种说法： ①保守力作正功时，系统内相应的势能增加。 ②质点运动经一闭合路径，保守力对质点作的功为零。 ③作用力与反作用力大小相等、方向相反，所以两者所作功的代数和必为零。 在上述说法中： (A)①、②是正确的。 (B)②、③是正确的。 (C)只有②是正确的。 (D)只有③是正确的。 [答案：C] 2.2填空题 (1) 某质点在力i x F )54(+=（SI ）的作用下沿x 轴作直线运动。在从x=0移动到x=10m 的过程中，力F 所做功为。 [答案：290J ] (2) 质量为m 的物体在水平面上作直线运动，当速度为v 时仅在摩擦力作用下开始作匀减速运动，经过距离s 后速度减为零。则物体加速度的大小为，物体与水平面间的摩擦系数为。 [答案：2 2 ;22v v s gs ] (3) 在光滑的水平面内有两个物体A 和B ，已知m A =2m B 。（a ）物体A 以一定的动能E k 与静止的物体B 发生完全弹性碰撞，则碰撞后两物体的总动能为；（b ）物体A 以一定的动能E k 与静止的物体B 发生完全非弹性碰撞，则碰撞后两物体的总动能为。 [答案：2; 3 k k E E ] 2.3 在下列情况下，说明质点所受合力的特点： （1）质点作匀速直线运动； （2）质点作匀减速直线运动； （3）质点作匀速圆周运动； （4）质点作匀加速圆周运动。 解：（1）所受合力为零；
第1章 质点运动学 P21 1.8 一质点在xOy 平面上运动，运动方程为：x =3t +5, y = 2 1t 2 +3t -4. 式中t 以 s 计，x ,y 以m 计。⑴以时间t 为变量，写出质点位置矢量的表示式；⑵求出t =1 s 时刻和t ＝2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；⑶ 计算t ＝0 s 时刻到t ＝4s 时刻内的平均速度；⑷求出质点速度矢量表示式，计算t ＝4 s 时质点的速度；(5)计算t ＝0s 到t ＝4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算t ＝4s 时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式)。 解：（1）j t t i t r )432 1()53(2-+++=m ⑵ 1=t s,2=t s 时，j i r 5.081-= m ；2114r i j =+m ∴ 213 4.5r r r i j ?=-=+m ⑶0t =s 时，054r i j =-；4t =s 时，41716r i j =+ ∴ 140122035m s 404 r r r i j i j t --?+= ===+??-v ⑷ 1d 3(3)m s d r i t j t -==++?v ，则：437i j =+v 1s m -? (5) 0t =s 时，033i j =+v ；4t =s 时，437i j =+v 24041 m s 44 j a j t --?= ===??v v v (6) 2d 1 m s d a j t -==?v 这说明该点只有y 方向的加速度，且为恒量。 1.9 质点沿x 轴运动，其加速度和位置的关系为2 26a x =+，a 的单位为m/s 2， x 的单位为m 。质点在x =0处，速度为10m/s,试求质点在任何坐标处的速度值。 解：由d d d d d d d d x a t x t x ===v v v v 得：2 d d (26)d a x x x ==+v v 两边积分 210 d (26)d x x x =+? ?v v v 得：2322 250x x =++v ∴ 1m s -=?v 1.11 一质点沿半径为1 m 的圆周运动，运动方程为θ=2+33t ，式中θ以弧度计，t 以秒计，求：⑴ t ＝2 s 时，质点的切向和法向加速度；⑵当加速度 的方向和半径成45°角时，其角位移是多少? 解： t t t t 18d d ,9d d 2==== ωβθω ⑴ s 2=t 时，2 s m 362181-?=??==βτR a 2 222s m 1296)29(1-?=??==ωR a n ⑵ 当加速度方向与半径成ο45角时，有：tan 451n a a τ?== 即：βωR R =2 ，亦即t t 18)9(2 2=，解得：9 23= t 则角位移为：32 2323 2.67rad 9 t θ=+=+? = 1.13 一质点在半径为0.4m 的圆形轨道上自静止开始作匀角加速度转动，其角加速度为α=0.2 rad/s 2，求t ＝2s 时边缘上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度。 解：s 2=t 时，4.022.0=?== t αω 1s rad -? 则0.40.40.16R ω==?=v 1s m -? 064.0)4.0(4.022=?==ωR a n 2 s m -? 0.4 0.20.0a R τα==?=2s m -? 22222 s m 102.0)08.0()064.0(-?=+=+= τa a a n 与切向夹角arctan()0.06443n a a τ?==≈?
习题11.1选择题(1) 一运动质点在某瞬时位于矢径的端点处，其速度大小为),(y x r (A) (B)dt dr dt r d (C) (D) dt r d || 22)()(dt dy dt dx +[答案：D](2) 一质点作直线运动，某时刻的瞬时速度，瞬时加速度，则s m v /2=2/2s m a -=一秒钟后质点的速度(A)等于零 (B)等于-2m/s (C)等于2m/s (D)不能确定。[答案：D](3) 一质点沿半径为R 的圆周作匀速率运动，每t 秒转一圈，在2t 时间间隔中，其平均速度大小和平均速率大小分别为(A) (B) t R t R ππ2,2t R π2,0(C) (D) 0,00,2t R π[答案：B]1.2填空题(1) 一质点，以的匀速率作半径为5m 的圆周运动，则该质点在5s 内，位移的大小1 -?s m π是 ；经过的路程是 。 [答案： 10m ； 5πm] (2) 一质点沿x 方向运动，其加速度随时间的变化关系为a=3+2t (SI)，如果初始时刻质点的速度v 0为5m·s -1，则当t 为3s 时，质点的速度v= 。[答案： 23m·s -1 ](3) 轮船在水上以相对于水的速度航行，水流速度为，一人相对于甲板以速度行走。 1V 2V 3V 如人相对于岸静止，则、和的关系是 。1V 2V 3V [答案： ]0321=++V V V 试卷相力保
1.3 一个物体能否被看作质点，你认为主要由以下三个因素中哪个因素决定：(1) 物体的大小和形状；(2) 物体的内部结构；(3) 所研究问题的性质。解：只有当物体的尺寸远小于其运动范围时才可忽略其大小的影响，因此主要由所研究问题的性质决定。1.4 下面几个质点运动学方程，哪个是匀变速直线运动？（1）x=4t-3；（2）x=-4t 3+3t 2+6；（3）x=-2t 2+8t+4；（4）x=2/t 2-4/t 。给出这个匀变速直线运动在t=3s 时的速度和加速度，并说明该时刻运动是加速的还是减速的。（x 单位为m ，t 单位为s ）解：匀变速直线运动即加速度为不等于零的常数时的运动。加速度又是位移对时间的两阶导数。于是可得（3）为匀变速直线运动。其速度和加速度表达式分别为22484dx v t dt d x a dt ==+==t=3s 时的速度和加速度分别为v =20m/s ，a =4m/s 2。因加速度为正所以是加速的。1.5 在以下几种运动中，质点的切向加速度、法向加速度以及加速度哪些为零哪些不为零？(1) 匀速直线运动；(2) 匀速曲线运动；(3) 变速直线运动；(4) 变速曲线运动。解：(1) 质点作匀速直线运动时，其切向加速度、法向加速度及加速度均为零；(2) 质点作匀速曲线运动时，其切向加速度为零，法向加速度和加速度均不为零；(3) 质点作变速直线运动时，其法向加速度为零，切向加速度和加速度均不为零；(4) 质点作变速曲线运动时，其切向加速度、法向加速度及加速度均不为零。1.6 ｜｜与 有无不同?和有无不同? 和有无不同?其不同在哪里?r ?r ?t d d r d d r t t d d v t d d v 试举例说明．解：（1）是位移的模，是位矢的模的增量，即，；r ??r r ?12r r -=12r r r -=?（2）是速度的模，即.t d d r t d d r ==v t s d d 只是速度在径向上的分量.t r d d ∵有（式中叫做单位矢），则r r ?r =r ?t ?r ?t r t d d d d d d r r r +=式中就是速度在径向上的分量，t r d d
第1章 质点运动学 习 题 一 选择题 1-1 对质点的运动，有以下几种表述，正确的是[ ] (A)在直线运动中，质点的加速度和速度的方向相同 (B)在某一过程中平均加速度不为零，则平均速度也不可能为零 (C)若某质点加速度的大小和方向不变，其速度的大小和方向可不断变化 (D)在直线运动中，加速度不断减小，则速度也不断减小 解析：速度是描述质点运动的方向和快慢的物理量，加速度是描述质点运动速度变化的物理量，两者没有确定的对应关系，故答案选C 。 1-2 某质点的运动方程为)(12323m t t x +-=，则该质点作[ ] (A)匀加速直线运动，加速度沿ox 轴正向 (B)匀加速直线运动，加速度沿ox 轴负向 (C)变加速直线运动，加速度沿ox 轴正向 (D)变加速直线运动，加速度沿ox 轴负向 解析：229dx v t dt = =-，18dv a t dt ==-，故答案选D 。 1-3 一质点在平面上作一般曲线运动，其瞬时速度为v ，瞬时速率为v ，某一段时间内的平均速率为v ，平均速度为v ，他们之间的关系必定有[ ] (A)v =v ，v =v (B)v ≠v ，v =v (C)v ≠v ，v ≠v (D)v =v ，v ≠v 解析：瞬时速度的大小即瞬时速率，故v =v ；平均速率s v t ?=?，而平均速度t ??r v = ，故v ≠v 。答案选D 。 1-4 质点作圆周运动时，下列表述中正确的是[ ]
(A)速度方向一定指向切向，所以法向加速度也一定为零 (B)法向分速度为零，所以法向加速度也一定为零 (C)必有加速度，但法向加速度可以为零 (D)法向加速度一定不为零 解析：质点作圆周运动时，2 n t v dv a a dt ρ =+=+ n t n t a e e e e ，所以法向加速度一定不为零，答案选D 。 1-5 某物体的运动规律为 2dv kv t dt =-，式中，k 为大于零的常量。当0t =时，初速为0v ，则速率v 与时间t 的函数关系为[ ] (A)2012v kt v =+ (B)2011 2kt v v =+ (C)2012v kt v =-+ (D)2011 2kt v v =-+ 解析：由于2dv kv t dt =-，所以 02 0()v t v dv kv t dt =-? ? ，得到20 11 2kt v v =+，故答案选B 。 二 填空题 1-6 已知质点位置矢量随时间变化的函数关系为2=4t +( 2t+3)r i j ，则从0t =到1t s =时的位移为 ，1t s =时的加速度为 。 解析：45342=-=+-=+1010r r r i j j i j ,228d d dt dt = ==111v r a i 1-7 一质点以初速0v 和抛射角0θ作斜抛运动，则到达最高处的速度大小为 ，切向加速度大小为 ，法向加速度大小为 ，合加速度大小为 。 解析：以初速0v 、抛射角0θ作斜抛的运动方程：
大学物理第三版下册 答案
习题八 8-1 电量都是q的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点．试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系? 解: 如题8-1图示 (1) 以A处点电荷为研究对象，由力平衡知：q'为负电荷 2 2 2 0) 3 3 ( π4 1 30 cos π4 1 2 a q q a q' = ? ε ε 解得q q 3 3 - =' (2)与三角形边长无关． 题8-1图题8-2图 8-2 两小球的质量都是m，都用长为l的细绳挂在同一点，它们带有相同电量，静止时两线夹角为2θ ,如题8-2图所示．设小球的半径和线的质量都可以忽略不计，求每个小球所带的电量． 解: 如题8-2图示 ?? ? ? ? = = = 2 2 ) sin 2( π4 1 sin cos θ ε θ θ l q F T mg T e 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢103
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢103 解得 θπεθtan 4sin 20mg l q = 8-3 根据点电荷场强公式2 04r q E πε= ，当被考察的场点距源点电荷 很近(r →0)时，则场强→∞，这是没有物理意义的，对此应如何理解? 解: 02 0π4r r q E ε= 仅对点电荷成立，当0→r 时，带电体不能再视为点电 荷，再用上式求场强是错误的，实际带电体有一定形状大小，考虑电荷在带电体上的分布求出的场强不会是无限大． 8-4 在真空中有A ，B 两平行板，相对距离为d ，板面积为S ，其带电量分别为+q 和-q ．则这两板之间有相互作用力f ，有人说 f = 2 02 4d q πε,又有人说，因为f =qE ,S q E 0ε=，所以f =S q 02 ε．试问这两种说法对吗?为什么? f 到底应等于多少? 解: 题中的两种说法均不对．第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对的，第二种说法把合场强S q E 0ε= 看成是一个带电板在另一带电板处的场强也是不对的．正确解答应为一个板的电场为S q E 02ε= ，另一板受它的作 用力S q S q q f 02 022εε= =，这是两板间相互作用的电场力．
习题1 1.1选择题 (1) 一运动质点在某瞬时位于矢径),(y x r 的端点处，其速度大小为 (A)dt dr (B)dt r d (C)dt r d | | (D) 22)()(dt dy dt dx [答案：D] (2) 一质点作直线运动，某时刻的瞬时速度s m v /2 ，瞬时加速度2 /2s m a ，则一秒钟后质点的速度 (A)等于零 (B)等于-2m/s (C)等于2m/s (D)不能确定。 [答案：D] (3) 一质点沿半径为R 的圆周作匀速率运动，每t 秒转一圈，在2t 时间间隔中，其平均速度大小和平均速率大小分别为 (A) t R t R 2, 2 (B) t R 2,0 (C) 0,0 (D) 0,2t R [答案：B] 1.2填空题 (1) 一质点，以1 s m 的匀速率作半径为5m 的圆周运动，则该质点在5s 内，位移的大小 是 ；经过的路程是 。 [答案： 10m ； 5πm] (2) 一质点沿x 方向运动，其加速度随时间的变化关系为a=3+2t (SI)，如果初始时刻质点的速度v 0为5m·s -1，则当t 为3s 时，质点的速度v= 。 [答案： 23m·s -1 ] (3) 轮船在水上以相对于水的速度1V 航行，水流速度为2V ，一人相对于甲板以速度3V 行走。如人相对于岸静止，则1V 、2V 和3V 的关系是 。 [答案： 0321 V V V ]
1.3 一个物体能否被看作质点，你认为主要由以下三个因素中哪个因素决定： (1) 物体的大小和形状； (2) 物体的内部结构； (3) 所研究问题的性质。 解：只有当物体的尺寸远小于其运动范围时才可忽略其大小的影响，因此主要由所研究问题的性质决定。 1.4 下面几个质点运动学方程，哪个是匀变速直线运动？ （1）x=4t-3；（2）x=-4t 3+3t 2+6；（3）x=-2t 2+8t+4；（4）x=2/t 2-4/t 。 给出这个匀变速直线运动在t=3s 时的速度和加速度，并说明该时刻运动是加速的还是减速的。（x 单位为m ，t 单位为s ） 解：匀变速直线运动即加速度为不等于零的常数时的运动。加速度又是位移对时间的两阶导数。于是可得（3）为匀变速直线运动。 其速度和加速度表达式分别为 2 2484 dx v t dt d x a dt t=3s 时的速度和加速度分别为v =20m/s ，a =4m/s 2。因加速度为正所以是加速的。 1.5 在以下几种运动中，质点的切向加速度、法向加速度以及加速度哪些为零哪些不为零？ (1) 匀速直线运动；(2) 匀速曲线运动；(3) 变速直线运动；(4) 变速曲线运动。 解：(1) 质点作匀速直线运动时，其切向加速度、法向加速度及加速度均为零； (2) 质点作匀速曲线运动时，其切向加速度为零，法向加速度和加速度均不为零； (3) 质点作变速直线运动时，其法向加速度为零，切向加速度和加速度均不为零； (4) 质点作变速曲线运动时，其切向加速度、法向加速度及加速度均不为零。 1.6 ｜r ｜与r 有无不同?t d d r 和d d r t 有无不同? t d d v 和t d d v 有无不同?其不同在哪里?试举例说明． 解：（1）r 是位移的模， r 是位矢的模的增量，即r 12r r ，12r r r ； （2） t d d r 是速度的模，即t d d r v t s d d . t r d d 只是速度在径向上的分量. ∵有r r ?r （式中r ?叫做单位矢），则 t ?r ?t r t d d d d d d r r r 式中 t r d d 就是速度在径向上的分量，
习题3 3.1选择题 (1) 有一半径为R 的水平圆转台，可绕通过其中心的竖直固定光滑轴转动，转 动惯量为J ，开始时转台以匀角速度ω0转动，此时有一质量为m 的人站在转台 中心，随后人沿半径向外跑去，当人到达转台边缘时，转台的角速度为 (A)02ωmR J J + (B) 02)(ωR m J J + (C) 02ωmR J (D) 0ω [答案： (A)] (2) 如题3.1（2）图所示，一光滑的内表面半径为10cm 的半球形碗，以匀角 速度ω绕其对称轴OC 旋转，已知放在碗内表面上的一个小球P 相对于碗静止， 其位置高于碗底4cm ，则由此可推知碗旋转的角速度约为 (A)13rad/s (B)17rad/s (C)10rad/s (D)18rad/s (a) (b) 题3.1（2）图 [答案： (A)] (3)如3.1(3)图所示，有一小块物体，置于光滑的水平桌面上，有一绳其一端 连结此物体，；另一端穿过桌面的小孔，该物体原以角速度w 在距孔为R 的圆周 上转动，今将绳从小孔缓慢往下拉，则物体 （A ）动能不变，动量改变。 （B ）动量不变，动能改变。 （C ）角动量不变，动量不变。 （D ）角动量改变，动量改变。 （E ）角动量不变，动能、动量都改变。 [答案： (E)] 3.2填空题 (1) 半径为30cm 的飞轮，从静止开始以0.5rad ·s -2的匀角加速转动，则飞轮边缘 上一点在飞轮转过240?时的切向加速度a τ= ，法向加速度
a n= 。 [答案：0.15; 1.256] (2) 如题3.2（2）图所示，一匀质木球固结在一细棒下端，且可绕水平光滑固定轴O转动，今有一子弹沿着与水平面成一角度的方向击中木球而嵌于其中，则在此击中过程中，木球、子弹、细棒系统的守恒，原因是。木球被击中后棒和球升高的过程中，对木球、子弹、细棒、地球系统的守恒。 题3.2（2）图 [答案：对o轴的角动量守恒，因为在子弹击中木球过程中系统所受外力对o 轴的合外力矩为零，机械能守恒] (3) 两个质量分布均匀的圆盘A和B的密度分别为ρA和ρB (ρA>ρB)，且两圆盘的总质量和厚度均相同。设两圆盘对通过盘心且垂直于盘面的轴的转动惯量分别为J A 和J B，则有J A J B 。（填>、<或=） [答案： <] 3.3刚体平动的特点是什么？平动时刚体上的质元是否可以作曲线运动？ 解：刚体平动的特点是：在运动过程中，内部任意两质元间的连线在各个时刻的位置都和初始时刻的位置保持平行。平动时刚体上的质元可以作曲线运动。 3.4刚体定轴转动的特点是什么？刚体定轴转动时各质元的角速度、线速度、向心加速度、切向加速度是否相同？ 解：刚体定轴转动的特点是：轴上所有各点都保持不动，轴外所有各点都在作圆周运动，且在同一时间间隔内转过的角度都一样；刚体上各质元的角量相同，而各质元的线量大小与质元到转轴的距离成正比。因此各质元的角速度相同，而线速度、向心加速度、切向加速度不一定相同。 3.5刚体的转动惯量与哪些因素有关？请举例说明。 解：刚体的转动惯量与刚体的质量、质量的分布、转轴的位置等有关。如对过圆心且与盘面垂直的轴的转动惯量而言，形状大小完全相同的木质圆盘和铁质圆盘中铁质的要大一些，质量相同的木质圆盘和木质圆环则是木质圆环的转动惯量要大。
第一章质点运动学 1、(习题1.1)：一质点在xOy 平面内运动，运动函数为2 x =2t,y =4t 8-。（1）求质点的轨道方程；（2）求t =1 s t =2 s 和时质点的位置、速度和加速度。 解：（1）由x=2t 得， y=4t 2-8 可得： y=x 2 -8 即轨道曲线 （2）质点的位置 ： 2 2(48)r ti t j =+-r r r 由d /d v r t =r r 则速度： 28v i tj =+r r r 由d /d a v t =r r 则加速度： 8a j =r r 则当t=1s 时，有 24,28,8r i j v i j a j =-=+=r r r r r r r r 当t=2s 时，有 48,216,8r i j v i j a j =+=+=r r r r r r r r 2、（习题1.2）： 质点沿x 在轴正向运动，加速度kv a -=，k 为常数．设从原点出发时速 度为0v ，求运动方程)(t x x =. 解： kv dt dv -= ??-=t v v kdt dv v 001 t k e v v -=0 t k e v dt dx -=0 dt e v dx t k t x -?? =0 00 )1(0 t k e k v x --= 3、一质点沿x 轴运动，其加速度为a = 4t (SI)，已知t = 0时，质点位于x 0=10 m 处，初速度v 0 = 0．试求其位置和时间的关系式． 解： =a d v /d t 4=t d v 4=t d t ? ?=v v 0 d 4d t t t v 2=t 2 v d =x /d t 2=t 2 t t x t x x d 2d 0 20 ?? = x 2= t 3 /3+10 (SI) 4、一质量为m 的小球在高度h 处以初速度0v 水平抛出，求： （1）小球的运动方程； （2）小球在落地之前的轨迹方程； （3）落地前瞬时小球的d d r t v ，d d v t v ，t v d d . 解：（1） t v x 0= 式（1） 2gt 21h y -= 式（2） 201()(h -)2 r t v t i gt j =+v v v （2）联立式（1）、式（2）得 2 2 v 2gx h y -= （3）0d -gt d r v i j t =v v v 而落地所用时间 g h 2t = 所以 0d d r v i j t =v v d d v g j t =-v v 2 202y 2x )gt (v v v v -+=+= 21 20 212202)2(2])([gh v gh g gt v t g dt dv +=+=
习题八 8-1 电量都是q的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点．试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系? 解: 如题8-1图示 (1) 以A处点电荷为研究对象，由力平衡知：q'为负电荷 2 2 2 0) 3 3 ( π4 1 30 cos π4 1 2 a q q a q' = ? ε ε 解得q q 3 3 - =' (2)与三角形边长无关． 题8-1图题8-2图 8-7 一个半径为R的均匀带电半圆环，电荷线密度为λ,求环心处O点的场强． 解: 如8-7图在圆上取? Rd dl= 题8-7图 ? λ λd d d R l q= =，它在O点产生场强大小为
2 0π4d d R R E ε? λ= 方向沿半径向外 则 ??ελ ?d sin π4sin d d 0R E E x = = ??ελ ?πd cos π4)cos(d d 0R E E y -= -= 积分R R E x 000 π2d sin π4ελ ??ελπ == ? 0d cos π400 =-=? ??ελ π R E y ∴ R E E x 0π2ελ = =，方向沿x 轴正向． 8-11 半径为1R 和2R (2R ＞1R )的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别带有电量λ和-λ,试求:(1)r ＜1R ；(2) 1R ＜r ＜2R ；(3) r ＞2R 处各点的场强． 解: 高斯定理0 d ε∑? = ?q S E s 取同轴圆柱形高斯面，侧面积rl S π2= 则 rl E S E S π2d =?? 对(1) 1R r < 0,0==∑E q (2) 21R r R << λl q =∑ ∴ r E 0π2ελ = 沿径向向外
第三版物理 1．8 一质点在xOy 平面上运动，运动方程为 x =3t +5, y =21 t 2+3t -4. 式中t 以 s 计，x ,y 以m 计．(1)以时间t 为变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)求出t =1 s 时刻和t ＝2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；(3)计算t ＝0 s 时刻到t ＝4s 时刻内的平均速度；(4)求出质点速度矢量表示式，计算t ＝4 s 时质点的速度；(5)计算t ＝0s 到t ＝4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算t ＝4s 时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式) 1．10 已知一质点作直线运动，其加速度为 a ＝4+3t 2s m -?，开始运动时，x ＝5 m v =0，求该质点在t ＝10s 时的速度和位置． 2.7 一细绳跨过一定滑轮，绳的一边悬有一质量为1m 的物体，另一边穿在质量为2m 的圆柱体的竖直细孔中，圆柱可沿绳子滑动．今看到绳子从圆柱细孔中加速上升，柱体相对于绳子以匀加速度a '下滑，求1m ，2m 相对于地面的加速度、绳的张力及柱体与绳子间的摩擦力(绳轻且不可伸长，滑轮的质量及轮与轴间的摩擦不计)． 2.9 质量为16 kg 的质点在xOy 平面内运动，受一恒力作用，力的分量为x f ＝6 N ，y f ＝-7 N ，当t ＝0时，==y x 0，x v ＝-2 m ·s -1，y v ＝0．求 当t ＝2 s 时质点的 (1)位矢；(2)速度
. 学习帮 2.15 一颗子弹由枪口射出时速率为1 0s m -?v ，当子弹在枪筒内被加速 时，它所受的合力为 F =(bt a -)N(b a ,为常数)，其中t 以秒为单 位：(1)假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，试计算子弹走完枪筒全 长所需时间；(2)求子弹所受的冲量．(3)求子弹的质量． 2.17 设N 67j i F -=合 ．(1) 当一质点从原点运动到m 1643k j i r ++-=时，求F 所作的功．(2)如果质点到r 处时需0.6s ， 试求平均功率．(3)如果质点的质量为1kg ，试求动能的变化． 2.23 质量为M 的大木块具有半径为R 的四分之一弧形槽，如题2.23 图所示．质量为m 的小立方体从曲面的顶端滑下，大木块放在光滑水 平面上，二者都作无摩擦的运动，而且都从静止开始，求小木块脱离 大木块时的速度． 5.7 质量为kg 10103-?的小球与轻弹簧组成的系统，按 )SI ()3 28cos(1.0ππ+=x 的规律作谐振动，求： (1)振动的周期、振幅和初位相及速度与加速度的最大值； (2)最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能，在哪些位置上动 能与势能相等? (3)s 52=t 与s 11=t 两个时刻的位相差； 6.8 已知波源在原点的一列平面简谐波，波动方程为 y =A cos(Cx Bt -)，其中A ，B ，C 为正值恒量．求： (1)波的振幅、波速、频率、周期与波长； (2)写出传播方向上距离波源为l 处一点的振动方程； (3)任一时刻，在波的传播方向上相距为d 的两点的位相差． 6.9 沿绳子传播的平面简谐波的波动方程为
1-4 在离水面高h 米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸S 处，如题1-4图所示．当人以 0v (m ·1-s )的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小． 图1-4 解： 设人到船之间绳的长度为l ，此时绳与水面成θ角，由图可知 222s h l += 将上式对时间t 求导，得 t s s t l l d d 2d d 2= 题1-4图 根据速度的定义，并注意到l ,s 是随t 减少的， ∴ t s v v t l v d d ,d d 0-==- =船绳 即 θ cos d d d d 00v v s l t l s l t s v ==-=- =船 或 s v s h s lv v 0 2/1220)(+==船 将船v 再对t 求导，即得船的加速度 1-6 已知一质点作直线运动，其加速度为 a ＝4+3t 2s m -?，开始运动时，x ＝5 m ， v =0， 求该质点在t ＝10s 时的速度和位置． 解：∵ t t v a 34d d +==
分离变量，得 t t v d )34(d += 积分，得 122 34c t t v ++= 由题知，0=t ,00=v ,∴01=c 故 22 34t t v += 又因为 22 34d d t t t x v +== 分离变量， t t t x d )2 3 4(d 2+= 积分得 2322 12c t t x ++= 由题知 0=t ,50=x ,∴52=c 故 52 1232++=t t x 所以s 10=t 时 1-10 以初速度0v ＝201s m -?抛出一小球，抛出方向与水平面成幔60°的夹角， 求：(1)球轨道最高点的曲率半径1R ；(2)落地处的曲率半径2R ． (提示：利用曲率半径与法向加速度之间的关系) 解：设小球所作抛物线轨道如题1-10图所示． 题1-10图 (1)在最高点， 又∵ 1 2 11 ρv a n =
习题八 8-1 电量都是q 的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点．试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系? 解: 如题8-1图示 (1) 以A 处点电荷为研究对象，由力平衡知：q '为负电荷 2 220)3 3(π4130cos π412a q q a q '=?εε 解得 q q 3 3- =' (2)与三角形边长无 关． 题8-1图 题8-2图 8-2 两小球的质量都是m ，都用长为l 的细绳挂在同一点，它们带有相同电量，静止时两线夹角为2θ ,如题8-2图所示．设小球的半径和线的质量都可以忽略不计， 求每个小球所带的 解: 如题8-2图示 ?? ? ?? ===220)sin 2(π41 sin cos θεθθl q F T mg T e 解得 θπεθtan 4sin 20mg l q = 8-3 根据点电荷场强公式2 04r q E πε= ，当被考察的场点距源点电荷很近(r →0)时，则场强 →∞，这是没有物理意义的，对此应如何理解 ?
解: 02 0π4r r q E ε= 仅对点电荷成立，当0→r 时，带电体不能再视为点电荷，再用上式求 场强是错误的，实际带电体有一定形状大小，考虑电荷在带电体上的分布求出的场强不会是无限大． 8-4 在真空中有A ，B 两平行板，相对距离为d ，板面积为S ，其带电量分别为+q 和-q ．则这两板之间有相互作用力f ，有人说f = 2 024d q πε,又有人说，因为f =qE ,S q E 0ε= ，所以f =S q 02 ε．试问这两种说法对吗?为什么? f 到底应等于多少 ? 解: 题中的两种说法均不对．第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对的，第二种说法把合场强S q E 0ε= 看成是一个带电板在另一带电板处的场强也是不对的．正确解答应为一个板的电场为S q E 02ε=，另一板受它的作用力S q S q q f 02 022εε= =，这是两板间相互作用的电场力． 8-5 一电偶极子的电矩为l q p =，场点到偶极子中心O 点的距离为r ,矢量r 与l 的夹角为 θ,(见题8-5图)，且l r >>．试证P 点的场强E 在r 方向上的分量r E 和垂直于r 的分量θE 分别为 r E = 302cos r p πεθ, θE =3 04sin r p πεθ 证: 如题8-5所示，将p 分解为与r 平行的分量θsin p 和垂直于r 的分量θsin p ． ∵ l r >> ∴ 场点P 在r 方向场强分量 3 0π2cos r p E r εθ = 垂直于r 方向，即θ方向场强分量 3 00π4sin r p E εθ =
12．12 真空中有两块相互平行的无限大均匀带电平面A 和B ．A 平面的电荷面密度为2σ，B 平面的电荷面密度为σ，两面间的距离为d ．当点电荷q 从A 面移到B 面时，电场力做的功为多少？ [解答]两平面产生的电场强度大小分别为 E A = 2σ/2ε0 = σ/ε0，E B = σ/2ε0， 两平面在它们之间产生的场强方向相反，因此，总场强大小为 E = E A - E B = σ/2ε0， 方向由A 平面指向B 平面． 两平面间的电势差为 U = Ed = σd /2ε0， 当点电荷q 从A 面移到B 面时，电场力做的功为 W = qU = qσd /2ε0． 13．3 金属球壳原来带有电量Q ，壳内外半径分别为a 、b ，壳内距球心为r 处有一 点电荷q ， 球心o 的电势为多少？ [解答]点电荷q 在内壳上感应出负电荷-q ，不论电荷如何分布，距离球心 都为a ．外壳上就有电荷q+Q ，距离球为b ．球心的电势是所有电荷产生的电 势叠加，大小为 000 111444o q q Q q U r a b πεπεπε-+=++ 13．14 一平行板电容器板面积为S ，板间距离为d ，两板竖直放着．若电容器两板充电到电压为U 时，断开电源，使电容器的一半浸在相对介电常量为εr 的液体中．求：（1）电容器的电容C ；（2）浸入液体后电容器的静电能；（3）极板上的自由电荷面密度． [解答]（1）如前所述，两电容器并联的电容为 C = (1 + εr )ε0S /2d ． （2）电容器充电前的电容为C 0 = ε0S/d ， 充电后所带电量为 Q = C 0U ． 当电容器的一半浸在介质中后，电容虽然改变了，但是电量不变，所以静电能为 W = Q 2/2C = C 02U 2/2C = ε0SU 2/(1 + εr )d ． （3）电容器的一半浸入介质后，真空的一半的电容为 C 1 = ε0S /2d ；介质中的一半的电容为 C 2 = ε0εr S /2d ．设两半的所带自由电荷分别为Q 1和Q 2，则 Q 1 + Q 2 = Q ． ① 由于C = Q/U ，所以 U = Q 1/C 1 = Q 2/C 2． ② 解联立方程得 0111221 1/C U C Q Q C C C C = = ++， 真空中一半电容器的自由电荷面密度为 001 12122/2(1/)(1)r C U U Q S C C S d εσε= == ++． 同理，介质中一半电容器的自由电荷面密度为 14．1通有电流I 的导线形状如图所示，图中ACDO 是边长为b 的正方形．求圆心O 处的磁感应强度B = ？ [解答]电流在O 点的产生的磁场的方向都是垂直纸面向里的．根据毕-萨定 律：002 d d 4I r μπ? =l r B ， 圆弧上的电流元与到O 点的矢径垂直，在O 点产生的磁场大小为 012d d 4I l B a μπ=， 由于 d l = a d φ， 积分得 11d L B B =?3/2 00 d 4I a πμ?π=?038I a μ= ． OA 和OD 方向的直线在O 点产生的磁场为零．在AC 段，电流元在O 点产生的磁场为 图13.3