数值计算方法

数值计算方法

数值计算方法是微分方程，常微分方程，线性方程组的求解。

数值计算方法，是一种研究并解决数学问题的数值近似解方法，是在计算机上使用的解数学问题的方法，简称计算方法。

计算方法的计算对象是微积分，线性代数，常微分方程中的数学问题。内容包括：插值和拟合、数值微分和数值积分、求解线性方程组的直接法和迭代法、计算矩阵特征值和特征向量和常微分方程数值解等问题。计算方法既有数学类课程中理论上的抽象性和严谨性，又有实用性和实验性的技术特征，计算方法是一门理论性和实践性都很强的学科。

数值计算常用公式

第一章 误差 由观测产生的误会差，称为观测误差或参量误差. 由数值计算方法所得到的近似解与实际问题准确解之间出现的这种误差，称为截断误差或方法误差。 x *为准确值的一个近似值，则绝对误差: e *(x)= x-x * 绝对误差限：∣e * (x)∣=∣x-x * ∣≤ε * （在知道x 准确值的条件下）相对误差：=x x x x x e * -= )(* = * * * * )(x x x x x e -= 相对误差限：* * * * * * )()(r r x x x x x e x e ε≤-= = 误差传播规律：) ()()()()(2 * *2 1 * *1 * x e x f x e x f y e ??+??≈ * )()(* * y y e y e r = （看会第七页例题） 有效数字与有效数字位数： 例一：对于x=π=3.14159…,若取近似值=3.14,则绝对误差 ∣ ) (* x e ∣=0.00159…≤01.02 1?,即百分位数字4的半个单位(指 01 .02 1?）是* x 的绝对误差限，故从* x 最左边的非零数“3”开始 到百分位数字“4”的三个数都是有效数字，近似值* x 具有三位有效数字。

例二：求 2 *10 49-?=x 的有效数字？ 有两位有效数字 ，即位有效数字，则有设的绝对误差限为，而可写为解：* * 2 * *x 2m 2 m 0m x 10 5.0x 1049.0x =-=-??- 第二章 非线性方程求根 二分法：[]b a x ,∈，2 b a x += 分成两半，检查0)()(0

数值计算方法

数值计算方法的特点 1.面向计算机，要根据计算特点提供实际可行的有效算法，即算法只能包括加、减、乘、除运算和逻辑运算，是计算机能直接处理的。 2.有可能的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，对近似算法要保证收敛性和数值稳定性，还要对误差进行分析，这些都建立在相应数学理论基础上。 3.要有好的计算复杂性，时间复杂性好是指节省时间，空间复杂性好是指节省存储量，这也是建立算法要研究的问题，它关系到算法能否在计算机上实现。 4.要有数值实验，即任何一个算法除了从理论上要满足上述三点外，还要通过数值试验证明是行之有效的。 误差来源 模型误差；观测误差；截断误差；舍入误差。 设计算法的注意事项 1.要注意简化计算步骤，减少运算次数。 2.要避免两相近数相减。 3.要注意浮点数运算的特点，防止大数“吃掉”小数。 4.要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法。 5.要设法控制误差的传播，选取数值稳定的计算公式。 二分法 局限性是只能用于求实根，不能用于求复根及偶数重根。 牛顿法 X n+1=x n-[f(x1)]/[f’(x1)],n=1,2,3…… 例：用牛顿法求方程f(x)=x3+4x2-10=0在[1，2]内一个实根，取初始近似值x0=1.5 解：f’(x)=3x2+8x 所以迭代公式为 X n+1=x n-(x n3+4x n2-10)/(3x n2+8x n),n=0,1,2…… 拉格朗日插值多项式 l0(x)=(x-x1)/(x0-x1),l1(x)=(x-x0)/(x1-x0) L1(x)=y0l0(x)+y1l1(x) 例：已知y=,x0=4,x1=9,用线性插值求的近似值。 解： y0=2,y1=3,基函数分别为 l0(x)=(x-9)/(4-9)=……. L1(x)=(x-4)/(9-4)=…….. L1(x)= y0l0(x)+y1l1(x)=…… 所以L1(x)=…… 多项式拟合 解题步骤： 1.由已知数据画出函数粗略的图形—散点图，确定拟合多项式的次数n。 2.列表计算x i,x i2,y,xy 3.写出正规方程组，求a0,a1,a2…..a n 4.写出拟合多项式P n(x)=a0x0+a1x1+…..a n x n 例P151例1 只有例题，没有原题 不觉晓 二〇一二年四月数值计算方法的特点 1.面向计算机，要根据计算特点提供实际可行的有 效算法，即算法只能包括加、减、乘、除运算和逻 辑运算，是计算机能直接处理的。 2.有可能的理论分析，能任意逼近并达到精度要 求，对近似算法要保证收敛性和数值稳定性，还要 对误差进行分析，这些都建立在相应数学理论基础 上。 3.要有好的计算复杂性，时间复杂性好是指节省时 间，空间复杂性好是指节省存储量，这也是建立算 法要研究的问题，它关系到算法能否在计算机上实 现。 4.要有数值实验，即任何一个算法除了从理论上要 满足上述三点外，还要通过数值试验证明是行之有 效的。 误差来源 模型误差；观测误差；截断误差；舍入误差。 设计算法的注意事项 1.要注意简化计算步骤，减少运算次数。 2.要避免两相近数相减。 3.要注意浮点数运算的特点，防止大数“吃掉”小 数。 4.要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除 法。 5.要设法控制误差的传播，选取数值稳定的计算公 式。 二分法 局限性是只能用于求实根，不能用于求复根及偶数 重根。 牛顿法 X n+1=x n-[f(x1)]/[f’(x1)],n=1,2,3…… 例：用牛顿法求方程f(x)=x3+4x2-10=0在[1，2]内一 个实根，取初始近似值x0=1.5 解：f’(x)=3x2+8x 所以迭代公式为 X n+1=x n-(x n3+4x n2-10)/(3x n2+8x n),n=0,1,2…… 拉格朗日插值多项式 l0(x)=(x-x1)/(x0-x1),l1(x)=(x-x0)/(x1-x0) L1(x)=y0l0(x)+y1l1(x) 例：已知y=,x0=4,x1=9,用线性插值求的近似 值。 解： y0=2,y1=3,基函数分别为 l0(x)=(x-9)/(4-9)=……. L1(x)=(x-4)/(9-4)=…….. L1(x)= y0l0(x)+y1l1(x)=…… 所以L1(x)=…… 多项式拟合 解题步骤： 1.由已知数据画出函数粗略的图形—散点图，确定 拟合多项式的次数n。 2.列表计算x i,x i2,y,xy 3.写出正规方程组，求a0,a1,a2…..a n 4.写出拟合多项式P n(x)=a0x0+a1x1+…..a n x n 例P151例1 只有例题，没有原题 不觉晓 二〇一二年四月 数值计算方法的特点 1.面向计算机，要根据计算特点提供实际可行的有 效算法，即算法只能包括加、减、乘、除运算和逻 辑运算，是计算机能直接处理的。 2.有可能的理论分析，能任意逼近并达到精度要 求，对近似算法要保证收敛性和数值稳定性，还要 对误差进行分析，这些都建立在相应数学理论基础 上。 3.要有好的计算复杂性，时间复杂性好是指节省时 间，空间复杂性好是指节省存储量，这也是建立算 法要研究的问题，它关系到算法能否在计算机上实 现。 4.要有数值实验，即任何一个算法除了从理论上要 满足上述三点外，还要通过数值试验证明是行之有 效的。 误差来源 模型误差；观测误差；截断误差；舍入误差。 设计算法的注意事项 1.要注意简化计算步骤，减少运算次数。 2.要避免两相近数相减。 3.要注意浮点数运算的特点，防止大数“吃掉”小 数。 4.要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除 法。 5.要设法控制误差的传播，选取数值稳定的计算公 式。 二分法 局限性是只能用于求实根，不能用于求复根及偶数 重根。 牛顿法 X n+1=x n-[f(x1)]/[f’(x1)],n=1,2,3…… 例：用牛顿法求方程f(x)=x3+4x2-10=0在[1，2]内一 个实根，取初始近似值x0=1.5 解：f’(x)=3x2+8x 所以迭代公式为 X n+1=x n-(x n3+4x n2-10)/(3x n2+8x n),n=0,1,2…… 拉格朗日插值多项式 l0(x)=(x-x1)/(x0-x1),l1(x)=(x-x0)/(x1-x0) L1(x)=y0l0(x)+y1l1(x) 例：已知y=,x0=4,x1=9,用线性插值求的近似 值。 解： y0=2,y1=3,基函数分别为 l0(x)=(x-9)/(4-9)=……. L1(x)=(x-4)/(9-4)=…….. L1(x)= y0l0(x)+y1l1(x)=…… 所以L1(x)=…… 多项式拟合 解题步骤： 1.由已知数据画出函数粗略的图形—散点图，确定 拟合多项式的次数n。 2.列表计算x i,x i2,y,xy 3.写出正规方程组，求a0,a1,a2…..a n 4.写出拟合多项式P n(x)=a0x0+a1x1+…..a n x n 例P151例1 只有例题，没有原题 不觉晓 二〇一二年四月 数值计算方法的特点 1.面向计算机，要根据计算特点提供实际可行的有 效算法，即算法只能包括加、减、乘、除运算和逻 辑运算，是计算机能直接处理的。 2.有可能的理论分析，能任意逼近并达到精度要 求，对近似算法要保证收敛性和数值稳定性，还要 对误差进行分析，这些都建立在相应数学理论基础 上。 3.要有好的计算复杂性，时间复杂性好是指节省时 间，空间复杂性好是指节省存储量，这也是建立算 法要研究的问题，它关系到算法能否在计算机上实 现。 4.要有数值实验，即任何一个算法除了从理论上要 满足上述三点外，还要通过数值试验证明是行之有 效的。 误差来源 模型误差；观测误差；截断误差；舍入误差。 设计算法的注意事项 1.要注意简化计算步骤，减少运算次数。 2.要避免两相近数相减。 3.要注意浮点数运算的特点，防止大数“吃掉”小 数。 4.要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除 法。 5.要设法控制误差的传播，选取数值稳定的计算公 式。 二分法 局限性是只能用于求实根，不能用于求复根及偶数 重根。 牛顿法 X n+1=x n-[f(x1)]/[f’(x1)],n=1,2,3…… 例：用牛顿法求方程f(x)=x3+4x2-10=0在[1，2]内一 个实根，取初始近似值x0=1.5 解：f’(x)=3x2+8x 所以迭代公式为 X n+1=x n-(x n3+4x n2-10)/(3x n2+8x n),n=0,1,2…… 拉格朗日插值多项式 l0(x)=(x-x1)/(x0-x1),l1(x)=(x-x0)/(x1-x0) L1(x)=y0l0(x)+y1l1(x) 例：已知y=,x0=4,x1=9,用线性插值求的近似 值。 解： y0=2,y1=3,基函数分别为 l0(x)=(x-9)/(4-9)=……. L1(x)=(x-4)/(9-4)=…….. L1(x)= y0l0(x)+y1l1(x)=…… 所以L1(x)=…… 多项式拟合 解题步骤： 1.由已知数据画出函数粗略的图形—散点图，确定 拟合多项式的次数n。 2.列表计算x i,x i2,y,xy 3.写出正规方程组，求a0,a1,a2…..a n 4.写出拟合多项式P n(x)=a0x0+a1x1+…..a n x n 例P151例1 只有例题，没有原题 不觉晓 二〇一二年四月 数值计算方法的特点 1.面向计算机，要根据计算特点提供实际可行的有 效算法，即算法只能包括加、减、乘、除运算和逻 辑运算，是计算机能直接处理的。 2.有可能的理论分析，能任意逼近并达到精度要 求，对近似算法要保证收敛性和数值稳定性，还要 对误差进行分析，这些都建立在相应数学理论基础 上。 3.要有好的计算复杂性，时间复杂性好是指节省时 间，空间复杂性好是指节省存储量，这也是建立算 法要研究的问题，它关系到算法能否在计算机上实 现。 4.要有数值实验，即任何一个算法除了从理论上要 满足上述三点外，还要通过数值试验证明是行之有 效的。 误差来源 模型误差；观测误差；截断误差；舍入误差。 设计算法的注意事项 1.要注意简化计算步骤，减少运算次数。 2.要避免两相近数相减。 3.要注意浮点数运算的特点，防止大数“吃掉”小 数。 4.要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除 法。 5.要设法控制误差的传播，选取数值稳定的计算公 式。 二分法 局限性是只能用于求实根，不能用于求复根及偶数 重根。 牛顿法 X n+1=x n-[f(x1)]/[f’(x1)],n=1,2,3…… 例：用牛顿法求方程f(x)=x3+4x2-10=0在[1，2]内一 个实根，取初始近似值x0=1.5 解：f’(x)=3x2+8x 所以迭代公式为 X n+1=x n-(x n3+4x n2-10)/(3x n2+8x n),n=0,1,2…… 拉格朗日插值多项式 l0(x)=(x-x1)/(x0-x1),l1(x)=(x-x0)/(x1-x0) L1(x)=y0l0(x)+y1l1(x) 例：已知y=,x0=4,x1=9,用线性插值求的近似 值。 解： y0=2,y1=3,基函数分别为 l0(x)=(x-9)/(4-9)=……. L1(x)=(x-4)/(9-4)=…….. L1(x)= y0l0(x)+y1l1(x)=…… 所以L1(x)=…… 多项式拟合 解题步骤： 1.由已知数据画出函数粗略的图形—散点图，确定 拟合多项式的次数n。 2.列表计算x i,x i2,y,xy 3.写出正规方程组，求a0,a1,a2…..a n 4.写出拟合多项式P n(x)=a0x0+a1x1+…..a n x n 例P151例1 只有例题，没有原题 不觉晓 二〇一二年四月 数值计算方法的特点 1.面向计算机，要根据计算特点提供实际可行的有 效算法，即算法只能包括加、减、乘、除运算和逻 辑运算，是计算机能直接处理的。 2.有可能的理论分析，能任意逼近并达到精度要 求，对近似算法要保证收敛性和数值稳定性，还要 对误差进行分析，这些都建立在相应数学理论基础 上。 3.要有好的计算复杂性，时间复杂性好是指节省时 间，空间复杂性好是指节省存储量，这也是建立算 法要研究的问题，它关系到算法能否在计算机上实 现。 4.要有数值实验，即任何一个算法除了从理论上要 满足上述三点外，还要通过数值试验证明是行之有 效的。 误差来源 模型误差；观测误差；截断误差；舍入误差。 设计算法的注意事项 1.要注意简化计算步骤，减少运算次数。 2.要避免两相近数相减。 3.要注意浮点数运算的特点，防止大数“吃掉”小 数。 4.要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除 法。 5.要设法控制误差的传播，选取数值稳定的计算公 式。 二分法 局限性是只能用于求实根，不能用于求复根及偶数 重根。 牛顿法 X n+1=x n-[f(x1)]/[f’(x1)],n=1,2,3…… 例：用牛顿法求方程f(x)=x3+4x2-10=0在[1，2]内一 个实根，取初始近似值x0=1.5 解：f’(x)=3x2+8x 所以迭代公式为 X n+1=x n-(x n3+4x n2-10)/(3x n2+8x n),n=0,1,2…… 拉格朗日插值多项式 l0(x)=(x-x1)/(x0-x1),l1(x)=(x-x0)/(x1-x0) L1(x)=y0l0(x)+y1l1(x) 例：已知y=,x0=4,x1=9,用线性插值求的近似 值。 解： y0=2,y1=3,基函数分别为 l0(x)=(x-9)/(4-9)=……. L1(x)=(x-4)/(9-4)=…….. L1(x)= y0l0(x)+y1l1(x)=…… 所以L1(x)=…… 多项式拟合 解题步骤： 1.由已知数据画出函数粗略的图形—散点图，确定 拟合多项式的次数n。 2.列表计算x i,x i2,y,xy 3.写出正规方程组，求a0,a1,a2…..a n 4.写出拟合多项式P n(x)=a0x0+a1x1+…..a n x n 例P151例1 只有例题，没有原题 不觉晓 二〇一二年四月

数值计算方法心得共(1)

数值计算方法心得共(1) 数值计算方法心得共 数值计算方法是计算数学的一个重要分支，主要研究数学问题的数值 解法。在大量科学计算、数据处理和工程技术中，数值计算方法都扮 演着至关重要的角色。作为一名计算机相关专业的学生，我学习了数 值计算方法课程并在实践中有所收获。以下是我总结的数值计算方法 心得，与大家分享： 1.理解数值计算方法的一般过程。将求解问题分为离散、逼近和求解 三个步骤。首先，将问题离散化，选择合适的插值基函数，并对区间 进行划分。然后，对离散得到的数据进行逼近处理，通过多项式、二 次等方法找到一个近似解。最后，采用数值方法求得近似解的精确解，如迭代算法进行处理。 2.明确数值计算方法的精度误差。数值计算方法不可避免地存在精度 误差，在计算中需要逐步放大误差并予以削减。比如，大多数数值方 法需要采用将一个实数划分成有限位小数，并在计算中注意保留正确 的有效数字，同时避免计算中出现截断误差或者舍入误差。 3.了解数值方法的收敛性。数值计算方法在不同的算法中附带着不同 的收敛性要求，包括渐进收敛性和一致收敛性等。需要在使用算法的 过程中结合实际的计算结果和模拟案例进行评估和预估，评估其收敛 速度和精度。 4.明确多项式插值方法的原理。其中，对于多项式插值，需要了解拉 格朗日插值法和牛顿插值法的基本思路和原理。这些方法都依靠于在 已知区间的基础上，求得一个高次多项式的系数来拟合出曲线近似图

形，在计算中可用以代替原方程式求解，从而提高运算效率。 5.善于使用计算软件进行求解。现代计算机专业的学习没有实际操作 中的数据，是第一大损失。在数值计算中，利用Matlab,Matematica 或Python等多功能软件能够轻松计算出大量的解和逼近方程式，增加 自己对算法思想的理解和熟练度。 总之，数值计算方法是一项复杂而细致的学术研究，需要不断地锻炼、实践和总结才能掌握其基本理论和实际应用。尤其对于计算机专业的 学生来说，数值计算方法是一个重要的必修课程，需要在实际操作中 熟练掌握数值方法的基本思路和应用技巧。

数值计算方法郑成德

数值计算方法郑成德 郑成德作为一位数值计算方法的专家，他在这个领域有着丰富的经验和深厚的理论基础。数值计算方法是一种利用数值近似的方式来解决数学问题的方法。在科学计算、工程技术和金融领域，数值计算方法被广泛应用。郑成德对数值计算方法的研究和应用做出了很多贡献。 数值计算方法的研究是通过数学模型和算法来解决实际问题的。在解决实际问题时，常常会遇到复杂的数学方程，而这些方程往往无法用解析的方法求解。这时，就需要通过数值计算方法来近似求解。数值计算方法可以通过将复杂问题转化为简单问题的求解，来得到问题的数值解。 数值计算方法的核心是数值算法。数值算法是基于数学理论的计算方法，通过一系列的计算步骤来逼近所要求解的数学问题的解。数值算法可以分为数值逼近和数值优化两大类。数值逼近是通过构造逼近函数，用逼近函数的值来近似原函数的值。数值优化是通过迭代的方式，不断改进逼近值，直到满足精度要求。 数值计算方法的应用非常广泛。在科学计算领域，数值计算方法常常用于解决物理学、化学、天文学等领域的复杂问题。例如，在天体力学中，通过数值计算方法可以模拟行星的运动轨迹。在工程技术领域，数值计算方法用于模拟和优化各种工程结构和工艺过程。

例如，在飞机设计中，可以使用数值计算方法来模拟飞机的气动特性。在金融领域，数值计算方法被广泛应用于衍生品定价、风险管理等方面。例如，在期权定价中，可以使用数值计算方法来计算期权的价格。 郑成德在数值计算方法的研究中做出了很多贡献。他提出了一种新的数值算法，该算法在计算效率和求解精度方面都有很大的提高。他还开发了一种新的数值计算软件，该软件可以方便地进行各种数值计算，并提供了丰富的计算工具和可视化界面。郑成德的研究成果在学术界和工业界都得到了广泛应用和认可。 数值计算方法是一种重要的数学方法，可以解决各种实际问题。郑成德作为数值计算方法的专家，他在这一领域的研究和应用都取得了很大的成就。他的贡献不仅推动了数值计算方法的发展，也为实际问题的解决提供了重要的支持。相信在郑成德的带领下，数值计算方法将在更多领域发挥重要作用。

电磁场的数值计算方法

电磁场的数值计算方法： 数值计算方法是一种研究并解决数学问题数值近似解的方法，广泛运用于电气、军事、经济、生态、医疗、天文、地质等众多领域。本文综述了电磁场数值计算方法的发展历史、分类，详细介绍了三种典型的数值计算方法—有限差分法、有限元法、矩量法, 对每种方法的解题思路、原理、步骤、特点、应用进行了详细阐述, 并就不同方法的区别进行了深入分析, 最后对电磁场数值计算方法的应用前景作了初步探讨。关键词：电磁场；数值计算；有限差分法；有限元法；矩量法引言自从1864 年Maxwell 建立了统一的电磁场理论，并得出著名的Maxwell 围绕电磁分布边值问题的求解国内外专家学者做了大量的工作。在数值计算方法之前, 电磁分布的边值问题的研究方法主要是解析法，但其推导过程相当繁琐和困难,缺乏通用性,可求解的问题非常有限。上个世纪六十年代以来,伴随着电子计算机技术的飞速发展,多种电磁场数值计算方法不断涌现,并得到广泛地应用,相对于解析法而言,数值计算方法受边界形状的约束大为减少,可以解决各种类型的复杂问题。但各种数值计算方法都有一定的局限性,一个复杂的问题往往难以依靠一种单一方法解决，因此如何充分发挥各种方法的优势,取长补短, 将多种方法结合起来解决实际问题,即混合法的研究和应用已日益受到人们的关注。本文综述电磁场的数值计算方法，对三种常用的电磁场数值计算方法进行分类和比较。电磁场数值计算方法的发展历史在上世纪四十年代，就有人试探用数值计算的方法来求解具有简单边界的电磁场问题，如采用Ritz ，以多项式在整个求解场域范围内整体逼近二阶偏微分方程在求解域中的解。五十年代，采用差分方程近似二阶偏微分方程，诞生了有限差分数值计算方法，开始是人工计算，后来采用机械式的手摇计算机计算，使简单、直观的有限差分法得到应用和发展，该方法曾在欧、美风行一时。1964 年美国加州大学学者Winslow 以矢量位为求解变量，用有限差分法在计算机上成忻州师范学院物理系本科毕业论文（设计）1965年，Winslow 首先将有限元法从力学界引入电气工程中，1969 年加拿大MeGill 大学P. Silvester运用有限元法成功地进行了波导的计算Chari合作将有限元法应用于二维非线性磁场的计算，成功地计算了直流电机、同步电机的恒定磁场。此后有关有限元法探讨的论文越来越多，有限元法运用的范围由静态场到涡流场到辐射场，由线性场到非线性场，由

数值计算方法与误差分析

数值计算方法与误差分析 数值计算方法是一种通过数值逼近和近似的方式来求解数学问题的方法。在实际应用中，由于计算机的存在，我们可以通过数值计算方法来解决一些复杂的数学问题，比如求解方程、求解积分、求解微分方程等。然而，由于计算机的运算精度有限，以及数值计算方法本身的近似性质，我们在进行数值计算时往往会引入一定的误差。因此，误差分析对于数值计算方法的正确性和可靠性至关重要。 一、数值计算方法 数值计算方法是一种利用数字计算机进行数学计算的方法。它主要通过将数学问题转化为计算机可以处理的形式，然后利用数值逼近和近似的方法来求解。常见的数值计算方法包括数值逼近、插值和拟合、数值积分、常微分方程数值解等。 1. 数值逼近 数值逼近是一种通过用近似值来代替精确值的方法。它主要通过选择适当的逼近函数和逼近方法，将原问题转化为一个近似问题，然后利用计算机进行计算。数值逼近方法的精度取决于逼近函数和逼近方法的选择，常见的数值逼近方法包括泰勒级数逼近、拉格朗日插值、牛顿插值等。 2. 插值和拟合 插值和拟合是一种通过已知离散数据点来构造连续函数的方法。插值是一种通过在已知数据点之间构造一个满足插值条件的函数来求解问题的方法，常见的插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值等。拟合是一种通过在已知数据点附近构造一个满足拟合条件的函数来求解问题的方法，常见的拟合方法包括最小二乘拟合等。 3. 数值积分

数值积分是一种通过数值逼近方法来求解定积分的方法。它主要通过将定积分转化为求和或求积的问题，然后利用数值逼近方法进行计算。常见的数值积分方法包括梯形法则、辛普森法则等。 4. 常微分方程数值解 常微分方程数值解是一种通过数值逼近方法来求解常微分方程的方法。它主要通过将常微分方程转化为一个差分方程或代数方程组，然后利用数值逼近方法进行计算。常见的常微分方程数值解方法包括欧拉法、龙格-库塔法等。 二、误差分析 误差分析是对数值计算方法引入的误差进行评估和分析的过程。它主要通过比较数值计算结果与理论精确解的差异来评估误差的大小和性质。常见的误差分析方法包括绝对误差、相对误差、截断误差和舍入误差等。 1. 绝对误差 绝对误差是数值计算结果与理论精确解之间的差距。它可以通过计算两者的差值来得到，常用符号表示为ε。绝对误差的大小与计算方法和计算精度密切相关，一般来说，绝对误差越小，计算结果越接近精确解。 2. 相对误差 相对误差是绝对误差与理论精确解之间的比值。它可以通过计算绝对误差与理论精确解的比值来得到，常用符号表示为δ。相对误差可以用来评估数值计算结果的相对准确度，一般来说，相对误差越小，计算结果越可靠。 3. 截断误差 截断误差是数值计算方法由于近似性质引入的误差。它主要由数值逼近方法和计算步骤的近似性质所决定，一般来说，截断误差越小，数值计算结果越接近精确解。

数值计算方法及其程序实现

数值计算方法及其程序实现 数值计算是现代数学的基石，它拓展了传统的解析计算技术，为解决实际问题提供了更多有效的方法。本文旨在介绍数值计算方法及其程序实现。首先，我们介绍数值计算的基本概念；然后，介绍一些常用的数值计算方法；最后，介绍程序实现的一些基本原理和细节。 一、基本概念 数值计算是一种以数值方式研究理论模型、解决实际问题的技术手段。也就是说，它是一种以数值解决与现实世界有关的问题。数值计算的目的在于准确算出解，从而得到系统的数学解释。 数值计算常用的方法有两类：一是算法准确度较高，能解决复杂问题的数值分析方法；二是算法准确度较低，能快速求解大量数据的近似计算方法。前者包括数值积分、数值微分方程求解、最优化计算等；后者包括蒙特卡洛方法、概率计算方法、粒子群优化算法等。 二、数值计算方法 数值积分是一种数值计算方法，它可以用来快速计算含有多变量的数学函数的积分结果。常用的数值积分方法有梯形、辛普森、Simpson和修正的Simpson法等。这四种方法均具有较高的精度，但Simpson法的计算量比其他三种方法稍大。 数值微分方程求解是使用数值方法求解常微分方程的一种方法。常用的方法有显式Euler法、隐式Euler法、改进的Euler法、RungeKutta法、Adams法等。这些方法可以用来研究实际系统中的动力学行为。

最优化计算是解决多目标问题的一种数值方法。它的目的是求解最大或最小化一组函数，使得给定的条件得到满足。常用的最优化计算方法有梯度下降法、共轭梯度法、拟牛顿法、全局优化算法、基于粒子群算法的优化等。 三、程序实现 程序实现是指使用软件设计语言和数学函数来表示数值计算方法，并使用电脑硬件进行计算。实现数值计算方法的程序，一般可以通过四个步骤实现：首先，明确需要解决的问题，然后根据问题特点，确定合适的数值计算方法；其次，使用适当的程序语言编写程序；再次，使用程序解决问题；最后，根据计算结果的实际意义得出结论。 综上所述，数值计算是现代数学的基础，其方法包括数值积分、数值微分方程求解、最优化计算等，使用软件设计语言和数学函数表示数值计算方法，再结合程序实现技术可以实现更为有效的解决实际问题。

excel数值计算方法

excel数值计算方法 Excel是一款功能强大的电子表格软件，广泛应用于数据分析、计算和管理等领域。在Excel中，数值计算是其最基本的功能之一，通过数值计算，可以进行各种复杂的数据处理和分析。本文将介绍几种常用的Excel数值计算方法，帮助读者更好地利用Excel进行数据处理。 第一种方法是使用基本的四则运算符进行数值计算。在Excel中，加号（+）、减号（-）、乘号（*）和除号（/）分别表示加、减、乘、除运算。通过在单元格中输入相应的数值和运算符，即可进行简单的数值计算。例如，在A1单元格中输入3，B1单元格中输入5，C1单元格中输入=A1+B1，回车后，C1单元格将显示8，表示3加5的结果。 第二种方法是使用函数进行数值计算。Excel内置了许多数值计算函数，可以帮助用户快速完成各种复杂的计算任务。常用的函数包括SUM（求和）、AVERAGE（求平均值）、MAX（求最大值）、MIN （求最小值）等。例如，要计算A1到A10单元格中的数值之和，可以在B1单元格中输入=SUM(A1:A10)，回车后，B1单元格将显示求和结果。 第三种方法是使用条件函数进行数值计算。条件函数可以根据满足特定条件的数值进行计算。常用的条件函数包括IF（如果）、

SUMIF（求和满足条件的数值）、AVERAGEIF（求平均值满足条件的数值）等。例如，要根据A1单元格中的数值判断其是否大于5，并在B1单元格中显示相应结果，可以在B1单元格中输入=IF(A1>5,"大于5","小于等于5")，回车后，B1单元格将根据A1的值显示相应的结果。 第四种方法是使用逻辑函数进行数值计算。逻辑函数可以根据逻辑条件进行数值计算，常用的逻辑函数包括AND（与）、OR（或）、NOT（非）等。例如，要根据A1和B1单元格中的数值判断是否同时满足大于5的条件，并在C1单元格中显示相应结果，可以在C1单元格中输入=AND(A1>5,B1>5)，回车后，C1单元格将显示TRUE或FALSE，表示是否同时满足条件。 第五种方法是使用数组函数进行数值计算。数组函数可以对一组数值进行计算，常用的数组函数包括SUMPRODUCT（求乘积之和）、TRANSPOSE（转置）等。例如，要计算A1到A10单元格中的数值之和，并将结果转置为一列，可以在B1单元格中输入=TRANSPOSE(SUMPRODUCT(A1:A10))，回车后，B1单元格将显示数值之和，并且自动转置为一列。 第六种方法是使用数据透视表进行数值计算。数据透视表是一种用于快速汇总和分析大量数据的工具，可以通过拖拽字段、选择汇总方式等操作，实现对数据进行灵活的汇总和计算。例如，要对一份

数值计算方法

数值计算方法 在数学中，数值计算是解决实际问题常用的重要方法。解决这类问题时，只要按照由简单到复杂、由特殊到一般的思维顺序进行逐步分析和研究，总能得到正确的结果。下面，就有关数值计算方法和运算的规则及要求，进行分析讨论，并举例说明。 当数列或函数的各项中，如果出现加减乘除以外的运算，一定要首先考虑通过“分解”、“凑整”等数值运算的办法来解决，而不能直接运算。具体来说，可采用以下方法： 在运算过程中，为了省略乘方或开方运算，需将原式写成分子、分母都是较大数字的形式；为了使相乘的积尽量不变号，也可以把分母化成整数，再相乘；为了使被除数尽可能多地乘上除数所以位数较多的数，应把除数扩大成被除数的许多倍，然后用乘法分配律进行简便运算；为了把小数化成整数，需将小数点向右移动若干位，使小数的小数部分全部转换成整数的形式；为了保证每一位乘得的结果不变号，还可以对乘法和除法同时进行一次因式分解，使分子、分母同时除以较大的数字，从而在计算时，把小数化成整数，最后按照前面说的分配律，用简便方法进行简便运算。对于分数值的计算，要先根据分数的意义计算出结果，再将得到的整数写成分数的形式，最后按照分数的运算法则进行运算。计算方法不但要考虑数字本身的特征，而且还要注意分数与整数之间的互化问题。 一般地，分数的分子和分母都乘以同一个整数后，分数值发生了变化，所以必须进行同分母分数的加减运算；一般地，分数的分子和

分母同时乘以较大的整数时，其值仍然不变，故不需要进行同分子分数的加减运算。例如： 12*10=12(10)=2×3= 6(后一步不需要进行运算)； 2*4=8(后一步不需要进行运算)； 15*5=45(后一步不需要进行运算)。关于约分，不仅要看被分数的整数部分和分数部分是否互质，而且要考虑两部分的大小是否适合分子、分母互质，是否有公因数等情况。例如： 6*2/3=2/3(大小合适)； 14/18=4/9(大小不合适)。分数的分母与整数互质的情况下，要先约分，然后再计算。例如： 5/3=5/(3/1) =5/1(小数的整数部分与分数部分互质)。小数乘法，只需要对乘法进行口算就可以了。

数值计算方法的应用

数值计算方法的应用 数值计算是指利用计算机解决数学问题的方法。它是数学、计 算机科学和工程学的交叉领域。数值计算中的方法和技术可以应 用于各种不同的领域，如工程、科学、金融和医疗等。本文将讨 论数值计算方法的应用。 一、求解线性方程组 求解线性方程组是数值计算的一个重要应用之一。线性方程组 是指形如Ax=b的方程组，其中A是一个n×n的矩阵，x和b是n 维向量。如果n很小，可以用解析方法求解，但是当n很大时， 解析方法就显得不可行了。在这种情况下，就需要使用数值方法。 求解线性方程组的方法有很多种，如高斯-约旦消元法、LU分 解法、QR分解法等。这些方法的核心思想是对矩阵进行变换，从 而简化运算过程。求解线性方程组的时间复杂度通常为O(n^3)， 因此，在处理大型线性方程组时，需要使用高效的算法和计算机 硬件。 二、数值积分

数值积分是将积分转化为数值计算的一种方法。数值积分包括复合梯形公式、复合辛普森公式、龙格-库塔积分法等。这些方法的核心思想是将一个积分区间分成若干个小区间，并在每个小区间内进行近似计算。通过增加小区间的个数，可以得到更加准确的积分结果。 数值积分的应用非常广泛。例如，在金融领域中，可以用数值积分进行期权定价；在物理学中，可以用数值积分求解微积分方程；在工程学中，可以用数值积分进行模拟和优化设计。 三、常微分方程求解 常微分方程是描述自然现象的数学模型之一。通常，常微分方程是用解析方法求解的。但是，对于一些复杂的微分方程，解析方法是不可行的，这时就需要使用数值计算方法。 常微分方程的求解方法有许多种，如欧拉法、改进欧拉法、四阶龙格-库塔法等。这些求解方法的核心思想是将微分方程转化为差分方程，并用数值方法求解。常微分方程的求解在很多领域中都有应用，例如物理学、化学、生物学和经济学等。

数值计算方法李乃成

数值计算方法李乃成 01有限元法 有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。 在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。 根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。 对于权函数，伽辽金（Galerkin）法是将权函数取为逼近函数中的基函数；最小二乘法是令权函数等于余量本身，而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小；在配置法中，先在计算域内选取N个

配置点。令近似解在选定的N个配置点上严格满足微分方程，即在配置点上令方程余量为0. 插值函数一般由不同次幂的多项式组成，但也有采用三角函数或指数函数组成的乘积表示，但最常用的多项式插值函数。有限元插值函数分为两大类，一类只要求插值多项式本身在插值点取已知值，称为拉格朗日（Lagrange）多项式插值；另一种不仅要求插值多项式本身，还要求它的导数值在插值点取已知值，称为哈密特（Hermite）多项式插值。 单元坐标有笛卡尔直角坐标系和无因次自然坐标，有对称和不对称等。常采用的无因次坐标是一种局部坐标系，它的定义取决于单元的几何形状，一维看作长度比，二维看作面积比，三维看作体积比。 在二维有限元中，三角形单元应用的最早，近来四边形等参元的应用也越来越广。对于二维三角形和四边形电源单元，常采用的插值函数为有Lagrange插值直角坐标系中的线性插值函数及二阶或更高阶插值函数、面积坐标系中的线性插值函数、二阶或更高阶插值函数等。 对于有限元方法，其基本思路和解题步骤可归纳为 建立积分方程，根据变分原理或方程余量与权函数正交化原理，建立与微分方程初边值问题等价的积分表达式，这是有限元法的出发点。 区域单元剖分，根据求解区域的形状及实际问题的物理特点，将区域剖分为若干相互连接、不重叠的单元。区域单元划分是采用有限

数值计算方法复习

数值计算方法复习 数值计算方法是利用数值计算机进行数值计算的方法，广泛应用于科学计算、工程计算和统计计算等领域。本文将对数值计算方法进行全面的复习介绍，包括数值计算的基本概念、数值计算的误差分析、数值求解非线性方程的方法、插值与拟合方法、数值积分与微分方法以及常微分方程数值解法等内容。 数值计算的基本概念包括数值计算方法的定义、数值计算的基本运算规则和数值计算的基本误差理论。数值计算方法是一种利用有限的计算机算力和存储器容量来解决数学问题的方法。数值计算的基本运算规则包括加减乘除等基本运算规则，以及数值计算中常用的数值算法。数值计算的基本误差理论是指在进行数值计算时，由于各种原因所导致的计算结果与精确结果之间的差距，主要包括舍入误差、截断误差和舍入误差。 数值计算的误差分析是数值计算方法中非常重要的一部分，它可以帮助我们评估数值计算的精度和可靠性。误差分析的主要方法有绝对误差分析和相对误差分析两种。绝对误差分析是指通过计算数值解与精确解之间的差距来评估数值计算的误差。相对误差分析是指通过计算数值解与精确解之间的相对差距来评估数值计算的误差。误差分析的结果可以用来指导我们选择合适的数值计算方法和优化数值计算过程，以提高计算的精度和可靠性。 数值求解非线性方程是数值计算中的重要问题之一，它在科学计算和工程计算中得到了广泛的应用。数值求解非线性方程的方法有迭代法、二分法、割线法、牛顿法等。其中，迭代法是一种基本的数值求解方法，它通过不断迭代更新初始近似解来逼近方程的根。二分法是一种简单有效的数值求解方法，它通过不断将区间二分来逼近方程的根。割线法是一种迭

代法，它通过利用函数在两个初始近似解之间的割线来逼近方程的根。牛顿法是一种基于函数导数的迭代法，它通过利用切线来逼近方程的根。 插值与拟合方法是数值计算中常用的方法之一，它们可以通过给定的数据点来构造一个函数，以实现数据的近似表示和计算。插值方法是利用已知数据点来构造一个函数，使得该函数在这些数据点上的取值与已知的数据点相等。常见的插值方法有拉格朗日插值、牛顿插值和分段线性插值等。拟合方法是利用已知数据点来构造一个函数，使得该函数在这些数据点上的取值与已知的数据点近似。常见的拟合方法有最小二乘拟合和样条拟合等。 数值积分与微分方法是数值计算中常用的方法之一，它们可以通过近似计算积分和微分来解决实际问题。数值积分方法有梯形法则、辛普森法则和高斯积分法等。梯形法则是一种简单有效的数值积分方法，它通过将积分区间划分为若干个小区间，然后利用每个小区间上的函数值来近似计算积分。辛普森法则是一种基于二次插值多项式的数值积分方法，它可以通过利用每个小区间上的三个点的函数值来近似计算积分。高斯积分法是一种基于插值多项式的数值积分方法，它通过利用每个小区间内的特定节点的函数值来近似计算积分。数值微分方法有前向差分法、后向差分法和中心差分法等。前向差分法是一种简单有效的数值微分方法，它通过利用函数在当前点和下一个点的函数值来近似计算导数。后向差分法是一种类似的数值微分方法，它通过利用函数在当前点和上一个点的函数值来近似计算导数。中心差分法是一种更准确的数值微分方法，它通过利用函数在当前点、前一个点和后一个点的函数值来近似计算导数。 常微分方程数值解法是数值计算中的重要问题之一，它在科学计算和工程计算中也得到了广泛的应用。常微分方程数值解法可以通过将微分方

数值计算方法的应用实例

数值计算方法的应用实例 数值计算方法是数学和计算机科学领域中的一个重要分支，它研究如何使用计算机来解决数值问题。这些问题可以是连续的，也可以是离散的，包括求根、插值、数值积分、微分方程求解等等。 一个典型的应用实例是在金融领域中的期权定价。期权定价是金融衍生品中的一项重要任务，它涉及对未来股票价格的预测和风险管理。数值计算方法可以用来解决Black-Scholes-Merton模型以及其他期权定价模型。 Black-Scholes-Merton模型是一个用于计算欧式期权价格的数学模型，它假设市场是无风险且没有交易费用的。这个模型使用了随机过程和偏微分方程来描述股票价格的变化。通过使用数值计算方法，我们可以将这个模型转化为离散的数值问题，并使用计算机来解决它。 具体来说，我们可以使用数值方法来近似解决Black-Scholes-Merton模型中的偏微分方程。例如，有限差分法是一种常用的数值方法，它将偏微分方程离散化为差分方程，然后使用迭代算法来解决这个差分方程。另外，蒙特卡罗方法也是一种常用的数值方法，它通过生成随机路径来模拟股票价格的变化，并基于这些路径计算期权价格。 除了期权定价，数值计算方法还应用于许多其他领域。在工程学中，数值计算方法可以用来求解复杂的工程问题，如结构力学、流体力学和热传导等。在天文学

中，数值计算方法可以用来模拟星系的演化和行星轨道的计算。在计算物理学中，数值计算方法可以用来解决量子力学和统计物理学中的问题。 总之，数值计算方法在科学和工程领域中有着广泛的应用。它们不仅可以帮助我们解决复杂的数值问题，还可以帮助我们理解和预测自然界中的现象。随着计算机技术的不断进步，数值计算方法的应用将会更加广泛，并为解决更复杂的问题提供更强大的工具。

数值计算中的数值分析与计算方法

数值计算中的数值分析与计算方法随着计算机技术的不断进步，数值计算已经成为现代科学和工程计算的基础。这就要求我们不仅要熟练掌握数值计算的基本原理和方法，同时也需要深入了解数值计算中的数值分析与计算方法。 数值分析是指将数学问题转换为计算机可解决的问题的过程。因为计算机只能处理有限个数字，而大多数数学问题需要使用无限个数字来描述，因此需要进行数值化处理。而数值计算方法则是指使用计算机进行数值计算的具体方法。 在数值分析中，最基本的概念是误差。误差是指计算结果与真实值之间的差别。在数值计算中，误差不能完全避免，但可以通过优化算法来减小误差。因此，数值计算中的算法设计是非常重要的。 数值计算中最常用的算法之一是迭代法。迭代法是通过不断逼近真实值来得到数值解的方法。例如，牛顿迭代法就是一种常用的迭代法。它通过不断逼近函数的零点来求解方程。迭代法在数值计算中应用广泛，因为它具有简单、可靠的特点。

另一个重要的数值计算方法是插值法。插值法是指通过已知函 数值，估计给定函数的值的方法。例如，拉格朗日插值法就是一 种常用的插值法。它通过构造一个多项式函数来逼近给定函数。 插值法在图像处理、信号处理等领域中也有着广泛的应用。 在数值计算中，还有一些重要的概念，如截断误差、舍入误差等。截断误差是指使用近似的方法求解问题所产生的误差，而舍 入误差则是指由计算机数字舍入所引起的误差。这些误差可能会 对数值计算的精度产生影响。 为了减小误差，我们需要考虑使用更加高效、精确的数值计算 方法。例如，若使用高精度浮点数进行计算，可以极大地提高计 算精度。还可以使用符号计算方法，将计算结果表示为解析表达式，从而避免误差的累积。 总的来说，数值分析与计算方法是数值计算中非常重要的部分。只有深入了解这些理论知识，才能够在实际计算中发挥更大的作用，解决真实世界中的问题。