范德蒙行列式的历史回顾与应用

范德蒙行列式的历史回顾与应用

摘要：行列式是高等代数的重要内容之一，它是线性方程组、矩阵、向量空间和线性变

换的基础。n 级范德蒙行列式是著名的行列式，它有广泛的应用，证明过程是行列式定理及数学归纳法的综合应用。本文将通过对n 级范德蒙行列式的历史发展进程与范德蒙行列式和类似范德蒙行列式的计算方法， 讨论它的各种位置变化规律, 介绍如何将类似范德蒙行列转换构造为标准的范德蒙行列式，并通过行列式的性质及定理，行列式的乘法规则，和行列式的加边法，来计算此类行列式，由此让人们能较为深入地了解到范德蒙行列式的魅力所在，同时也提高了分析、归纳与总结相关内容的能力，掌握解决此类问题的方法与技巧。

关键词：行列式，范德蒙行列式，行列式的性质，乘法规则，加边法，拉普拉斯定理，

子式，代数余子式，克莱姆法则，重根，充要条件，线性方程组。

1 .引言

行列式

11312

1

1223222

13

2

1

1111----=n n

n n n n n

a a a a a a a a a a a a d

称为n 级的范德蒙行列式。（见文献[1]）

我们来证明，对任意的n （n ≥2），n 级范德蒙行列式等于n

a a a ,,,21 这n 个数的所有可能的差j i a a -（1≤j ＜i ≤n ）的乘积，即

∏≤<≤-n

i j j

i

a a 1)(。

我们可以将范德蒙行列式或类似范德蒙行列式的行列式，用行列式的性质、乘法规则、加边法，计算出结果。

2.1.预备知识

性质1 行列互换，行列式不变，即

nn

n n n n nn n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a 212

221212111212222111211=

。 在行列式中行与列的地位是对称的，因之凡是有关行的性质，对列也同样成立。

性质2

nn

n n in i i n

nn

n n in i i n a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a

21

21

112112

1

2111211=。 这就是说，一行的公因子可以提出去，或者说以一数乘行列式的一行就相当于用这个数乘此行列式。 性质3

nn

n n n n

nn n n n n

nn

n n n n n a a a c c c a a a a a a b b b a a a a a a c b c b c b a a a

2

12

1

11211212

1112112

1

221111211+=+++。

这就是说，如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外与原来行列式的对应的行一样。

性质4 如果行列式中有两行相同，那么行列式为零。所谓相同就是说两行的对应元素都相等。

性质5 如果行列式中两行成比例，那么行列式为零。 性质6 把一行的倍数加到另一行，行列式不变。

n n k k i i nn

n n kn k k kn k k n nn

n n kn k k in i i n nn

n n kn k k kn in k i k i n a

a a a a a a

a a a

a a a a a a a a ca ca ca a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ca a ca a ca a a a a

21212112112

1

212111211212121112112

1

21221111211=+=+++性质7 对换行列式中两行的位置，行列式反号。

定理1（拉普拉斯定理）设在行列式D 中任意取定了k （1≤k ≤n-1）个行。由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D 。

定理2（乘法规则）两个n 级行列式

nn n n n

n

a a a a a a a a a D 2122221112111=

和

nn

n n n

n b b b b b b b b b D 2122221112112=

的乘积等于一个n 级行列式

nn

n n n

n c c c c c c c c c C 212222111211=。

其中c ij 是D 1的第i 行元素分别与D 2的第j 列的对应元素乘积之和：

nj in j i j i ij b a b a b a c +++= 2211

以上性质与定理参考文献[1]。

2.2. n 级范德蒙行列式的证明

11312

1

1223222

13

2

1

1111----=n n

n n n n n

a a a a a a a a a a a a d

①，对任意n （n ≥2），行列式等于∏

≤<≤-n

i j j i a a 1)(。

证明（用数学归纳法）：（1）当n=2时，

122

11

1a a a a -=，显然成立。 （2）假设n-1级范德蒙行列式结论成立，现考虑n 级的情况。

在①中，用第n 行减去第n-1行的1a 倍，第n-1行减去第n-2的1a 倍，…，第2行减去第一行的1a 倍，即由下至上每一行依次减去上一行的1a 倍。

232

22

2

32

211

11311212

3

12

32

1221

1

31211

11311

212

3

1232

1221

1

31200

01

111--------------=

---------=------n n n n n n a

a a a a a a a a a

a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a d n n n n n n n n n n n n n

22322

2232

2

32

11312111

)())((------=n n

n n n

n n a a a a a a a a a a a a a a a

。 最后这个行列式是一个n-1级的范德蒙行列式，根据归纳法的假设可知，它等于所有可能差j i a a -（2≤j ＜i ≤n ）的乘积，即

∏≤<≤-n

i j j

i

a a 2)

(。又因为包含有

1a 的差

全部在行列式之前，所以对n 级范德蒙行列式结论成立。

（3）综上所述，根据数学归纳法可知，范德蒙行列式等于结论成立，即

11312

1

1223222

13

2

1

1111----=n n

n n n n n

a a a a a a a a a a a a d

=

∏

≤<≤-n i j j i a a 1)(。 由上述证明结果可知，范德蒙行列式为零的充要条件为

n a a a ,,,21 这n 个数中至少有两个数相等。

2.3.范德蒙行列式的历史发展进程

范德蒙 (A-T.Vandermonde,1735-1796) ，法国数学家，在行列式的发展史上，第一个对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述，即把行列式理论与线性方程组求解相分离的人。范德蒙自幼在父亲的指导下学习音乐，但对数学有浓厚的兴趣，后来终于成为法兰西科学院院士。特别地，他给出了用二阶子式和它们的余子式来展开行列式的法则。就对行列式本身这一点来说，他是这门理论的奠基人。 1772 年，拉普拉斯在一篇论文中证明了范德蒙提出的一些规则，推广了他的展开行列式的方法。

行列式出现于线性方程组的求解，是由莱布尼茨和日本数学家关孝和发明的。 1693 年 4 月，莱布尼茨在一封信中使用并给出了行列式，并给出方程组的系数行列式为零的条件。同时代的日本数学家关孝和在其著作《解伏题元法》中也提出了行列式的概念与算法。

1750 年，瑞士数学家克莱姆 (G.Cramer,1704-1752) 在其著作《线性代数分析导引》中，对行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的阐述，并给出了现在我们所称的解线性方程组的克莱姆法则。稍后，数学家贝祖 (E.Bezout,1730-1783) 将确定行列式每一项符号的方法进行了系统化，利用系数行列式概念指出了如何判断一个齐次线性方程组有非零解。

在范德蒙和拉普拉斯对以范德蒙行列式为主的行列式研究之后，又出现了

一位法国大数学家柯西。 1815 年，柯西在一篇论文中给出了行列式的第一个系统的、几乎是近代的处理。其中主要结果之一是行列式的乘法定理。另外，他第一个把行列式的元素排成方阵，采用双足标记法，引进了行列式特征方程的术语，给出了相似行列式概念，改进了拉普拉斯的行列式展开定理并给出了一个证明。

2.4范德蒙行列式的性质

由行列式的性质可推出下列范德蒙行列式的性质： 1.若将范德蒙行列式逆时针旋转90°，得到

1

1211

12

2221

32331

21111----n n n n n

n n a a a a a a a a a a a a

=Dn n n 2)1()1(--=∏≤<≤---n i j j i n n a a 12

)1()()1(。 2.若将范德蒙行列式顺时针旋转90°，得到

1

11121323

13

2221212111n

n

n n

n n n a a a a a a a a a a a a ----=Dn n n 2

)1()

1(--=∏≤<≤---n

i j j

i

n n a a 12

)1()()

1(。

3.若将范德蒙行列式旋转180°，得到

1

1

111232122

23

21112131

a a a a a a a a a a a a n n

n n n n n ----=Dn =

∏≤<≤-n

i j j

i

a a 1)(。

2.5范德蒙行列式在计算中的应用

1.用行列式的性质计算范德蒙行列式 例1.文献[2]中有一例题，计算n+1阶行列式

1+n D =1

1

1

)()1()()1()()1(1

11

n a a a n a a a n a a a n n n n n n ---------。

分析：可以根据范德蒙行列式的性质3将上述行列式转换为标准范德蒙行列式，可以计算出结果。 ∵不知道n 是奇数还是偶数

∴不能将第1行与第n+1行对换，将第2行与第n 行对换

∴采用将第n+1行与上面各行进行两两对换，把它换到第1行，共经过n 次对换，

再将第n 行与上面各行进行两两对换，把它换到第2行，共经过（n-1）次对换，

…依次进行两两对换，直到第2行进行依次对换，把它换到第n 行 ∴总共经过了)12)1((+++-+ n n 次对换

∴再对列作类似变换，两次共2

)

1(2+?

n n =)1(+n n 次对换 解：

n

n n n n n n n n n a a a n a a a n a a a D )()1()()1(1111

)1(1111

2)1(1-------=---+++-++

n

n

n n n n n n n n n n a a n a n a a a n a n a a a n a n a )1()]1([)()1()]1([)(1)

1(1111

)

1()

1(11112

)1(2

)

1(--------------=----++

!2)!1(! -=n n

例2.根据文献[2]，计算

4

3423332232213124243232221214

321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1sin 1sin 1sin 11

111????????????????????++++++++++++=

?

分析：从第1行开始，依次用上一行的（-1）倍加到下一行，逐级相加，即用第2行减去第1行，第3行减去第2行，第4行减去第3行，可得到标准范德蒙行列式，可以计算出结果。

解：∏≤<≤-==?4

14

3332313423222124

321)sin (sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111j i i j ??????????????

例3.文献[2]中有一道题，设

19

1922

2021202120211

11

=V （1）求V 写成阶乘形式的值； （2）V 的值得末位有多少个零。

分析：（1）此行列式为标准范德蒙行列式逆时针旋转90°后的结果，因此可用范德蒙行列式的性质1计算出结果。

（2）∵5、10、15的倍数中，末位有可能会出现零

∴只需找出有几个5、10、15，就可计算出末位零的个数 解：(1)由范德蒙行列式计算公式可得

)1920()]220()24)(23)][(120()13)(12[(-------= V

!2!17!18!

19 = （2）∵!2!3!4!5!6!18!

19 中有15个5,5个15,10个10 ∴V 的值的末位有30个零

2.用行列式的乘法规则计算范德蒙行列式 例4.计算行列式

n

n n n n n

n n

n n

n

n n n n

b a b a b a b a b a b a b a b a b a D )()()()()()()()()(101110101000+++++++++=

。

分析：首先观察此行列式，

∵发现每一个元素都可以利用二项式定理展开，使它变成乘积的和，即

k

n j

k i n

k k n n

j

i n n n j i n n

j n i

n j n i

n j n i n n

j i b a C b a C b

a C

b a

C b a

C b a C b a -=----∑=+++++=+0

01

112

221

110

0)( 其中n j n i ≤≤≤≤0,0

∴再根据行列式的乘法规则，可得21D D D ?=，其中1D 、2D 分别为两个n+1阶行列式

∴可根据所得行列式的形式与结构，用相关性质与定理计算出结果 解：

∵n

n n n n n n

n n n n n

n n n n n

a C a C C a C a C C a C a C C D

101

11000101=

n

n n n n

n n

n n n

n n n n

n n

n

n

n

a a a a a a C C C a a a a a a C C C C 1111111100211100210

==

=∏≤<≤-n

i j j

i

n

n

n n a a C C C 02

1

)(

1

111

1110102

---=

n n

n n n

n

n

n b b b b b b D

=n

n n n

n

n n b b b b b b 10102

)1(111)

1(+-=∏≤<≤+--n

i j j

i

n n b b 02

)1()()

1(

∴)()()

1(0212

)1(21j

i

n

i j j

i

n n

n n n n b b a a C C C D D D --?-=?=∏≤<≤+

)()(021j

i

n

i j j

i

n

n n n b b a a C C C --=∏≤<≤

例 5.根据文献[2]中题，设多项式

n n n n a x a x a x a x f ++++=--1110)( )0(0≠a ①

的n 个根为n ααα,,,21 ，得

2

12

20

)

()(∏≤<≤--=n

i j j

i

n a f D αα ②

为)(x f 的判别式。证明：)(x f 有重根的充要条件是

02

21

21110==

---n n n n

n s s s s s s s s s N ③

其中

),1,0(21 =+++=k s k

n k k k ααα ④

分析：观察行列式N ，

∵k

n k k k

s ααα+++= 21

∴可以将行列式转化成两个n 级行列式的乘积（根据行列式的乘法规则），即可将计算出行列式的结果

∴再根据题目条件f （x ）有重根的充要条件D （f ）=0，可以推出要证明的结论

证：1

1

221

11112112

1

111111

------=

n n n n n n n n n n N αααααααααααα

2

1)

(∏≤<≤-=

n

i j j

i

αα

∵

f

有重根?000)(220=?=?=-N N a f D n

故结论成立。

3.用行列式的加边法计算范德蒙行列式 例 6.文献[2]中有一道题，证明：

])1(2[)(111111111111222221211∏∏∏≤≤≤≤≤<≤---=+++++++++n i n i i i n k j j k n

n n n n

n

x x x x x x x x x x x x x ①

分析：∵先观察①式左边，为缺项的范德蒙行列式

∴用加边法先转换成标准的范德蒙行列式，即可计算出左边行列式的结果，再与右边进行比较，证明结论 证：设①式左边为n ?，则

左边

n

n n n

n n n

n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x n

2222212112222212111

1

11

1111111111111110001---=+++++++++=?=

∏∏∏≤<≤=≤<≤----=n

k j j k

n

i i n k j j k

n

x x

x x x

x x 11

11)()

1()(2

])1(2[)(111∏∏∏≤≤≤≤≤<≤---=

n

i n

i i

i

n

k j j

k

x x x x

=右边 故结论成立。

例 7.文献[2]中有一题，计算

n

n n n n n

n n n

n n a a a a a a a a a a a a D 2

222

2222121111112---=

分析：观察行列式n D ，

∵发现此行列式为缺项的范德蒙行列式 ∴先用加边法使它转换为标准的范德蒙行列式 此题可以用两种方法求解。

解：（方法1，用构造法）构造线性方程组

???

????=++++=++++=++++---n n n n n n n n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x 13221212322221111321211

① （ⅰ）当n a a a ,,,21 中有两个相等时，显然n D =0

（ⅰⅰ）当n a a a ,,,21 互不相等时，方程组①的系数行列式为范德蒙行列式 ∴0)(≠-=

?∏

i i

j

a a ，方程组有唯一解，即

?

=n

n D x ?=?n n x D ② 再次作n 次方程

012211=--------x t x t x t x t n n n n n ③ 由①可知，方程③有n 个不同的根n a a a ,,,21 ∴由根与系数的关系可知 n n a a a x +++= 21 ④

将④代入②可得

∏<-+++=j

i i

j

n n a a a a a D )()(21

（方法2）

（ⅰ）当n a a a ,,,21 中有两个相等时，n D =0

（ⅰⅰ）当n a a a ,,,21 互不相等时，在n D 中用加边法，加一行一列，转换成范德蒙行列式，即

n

n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n y y y y y

a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a y D 1

2

2

1223132

32332122

222211121211

11

1111)(----------+=

∏<----=j

i i

j

n a a a y a y a y )()

())((21 ⑤

∵n D 与多项式)(1y D n +中1

-n y

系数相反

∴由⑤式可知，

1

-n y

的系数为∏∑<=--

j

i i

j

n

i i

a a a )()(1

∴∏∑<=-=j

i i

j

n

i i

n a a a D )()(

1

3.结语

我们在计算行列式时，如果注意到行列式的行（列）含有从高到低或从低到高的幂次，常可以考虑利用范德蒙行列式来计算，将给定的行列式化成标准的范德蒙行列式。本文介绍了范德蒙行列式的历史发展，及范德蒙行列式与有关数学知识的综合运用，将行列式的定理、性质融会贯穿于行列式的证明及计算中。

4.致谢

在本次论文写作过程中，本人查阅相关知识文献，对高等代数中的范德蒙行列式方面的知识，以及相关知识有了更进一步的加深巩固和掌握，了解到了

高等代数的魅力，以及数学的魅力。感谢同学在本人遇到难题时的的慷慨解囊，感谢老师在课上的辛勤教导，课下的认真批改作业，还特意给我们讲解了论文写作的技巧和方法，以及百忙之中对这篇论文的审阅。文章中还有很多不足之处，望老师海涵。

参考文献

[1]王萼芳,石生明修订.高等代数. (第三版). 高等教育出版社

[2]钱吉林编著.高等代数题解精粹.（第2版）.中央民族大学出版社

行列式的应用讲解

摘要 行列式是数学研究中一类重要的工具之一，行列式最早出现在16世纪，用于解决线性方程组的求解问题。现在，行列式经过几世纪的发展已经形成了一整套完备的理论，并且在数学这门学科中占有很重要的位置。本论文通过对行列式理论和行列式在线性方程组和中学数学中的应用展开研究。首先论述了行列式的历史意义，其次展示了行列式在线性方程组中的应用以及在中学数学中的应用,重点论述了行列式在中学代数领域以及中学几何领域的应用。论文以求解线性方程组和解中学几何与代数问题为例，论述了行列式在实际中的应用。主要通过文献研究的方法对行列式的应用进行研究，充分阐释了行列式在不同方面的应用。 关键词：行列式，线性方程组，中学代数，中学几何

The Application of The Determinant Abstract The determinant is one of a kind of important tools in mathematical research, determinant first appeared in the 16th century, used to solve linear equations to solve the problem. now, the determinant after centuries of development has formed a set of complete theory, and the mathematics occupies very important position in the subject. This paper based on the theory and determinant determinant in the system of linear equations and the application of the middle school mathematics study. First discusses the historical significance of determinant, the second shows the determinant in the application of linear equations, and the middle school mathematics, the application of the determinant is emphasized in the field of high school algebra and applied in the field of high school geometry. Paper to solve the linear system of equations and middle school geometry and algebra problem as an example, this paper discusses the determinant in the actual application. Mainly through the literature research methods to study the application of the determinant, fully illustrates the application of determinant in different aspects. Key words: determinant, system of linear equations, algebraic secondary school, high school geometry

行列式的计算方法及应用

本科生毕业论文 题目: 行列式的计算方法及应用专业代码: 070102 作者姓名: 李延雪 学号: 2007200676 单位: 2007 级 1 班 指导教师: 孙守斌 2011年 5 月20 日

原创性声明 本人郑重声明: 所提交的学位论文是本人在导师指导下, 独立进行研究取得的成果. 除文中已经注明引用的内容外, 论文中不含其他人已经发表或撰写过的研究成果, 也不包含为获得聊城大学或其他教育机构的学位证明书而使用过的材料. 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体, 均已在文中以明确方式标明. 本人承担本声明的相应责任. 学位论文作者签名: 日期 指导教师签名: 日期

目录 前言 (1) 1.行列式的定义及其表示 (1) 1.1 行列式的定义 (1) 1.2 行列式的表示 (3) 2.行列式的性质 (4) 3.行列式的计算方法 (6) 3.1加边法 (6) 3.2利用已知公式 (7) 3.3数学归纳法 (10) 3.4递推法 (11) 3.5构造法 (12) 3.6拆项法 (13) 4.行列式的应用 (13) 4.1行列式在证明微分中值定理中的应用 (13) 4.2 行列式在求逆矩阵中的应用 (15) 4.3行列式在多项式理论中的应用 (15) 4.4 行列式在解析几何中的应用 (16) 结语 (17) 参考文献 (18) 致谢 (19)

摘要 行列式是研究高等代数的一个重要工具.在对行列式的定义及其性质研究的基础上,总结了计算行列式的几种常见方法：加边法、构造法、递推法、拆项法、数学归纳法等.另外,归纳了二条线性行列式、“两岸”行列式、上（下）三角形行列式、二条线叉型行列式及箭型行列式几类特殊行列式的计算公式.利用行列式证明明微分中值定理；并通过一些具体的实例介绍了行列式在求逆矩阵、求解几何图形方程和计算图形面积体积等多个方面的实际应用. 关键词：行列式；计算方法；行列式的应用

范德蒙行列式的历史回顾与应用

范德蒙行列式的历史回顾与应用 摘要：行列式是高等代数的重要内容之一，它是线性方程组、矩阵、向量空间和线性变 换的基础。n 级范德蒙行列式是著名的行列式，它有广泛的应用，证明过程是行列式定理及数学归纳法的综合应用。本文将通过对n 级范德蒙行列式的历史发展进程与范德蒙行列式和类似范德蒙行列式的计算方法， 讨论它的各种位置变化规律, 介绍如何将类似范德蒙行列转换构造为标准的范德蒙行列式，并通过行列式的性质及定理，行列式的乘法规则，和行列式的加边法，来计算此类行列式，由此让人们能较为深入地了解到范德蒙行列式的魅力所在，同时也提高了分析、归纳与总结相关内容的能力，掌握解决此类问题的方法与技巧。 关键词：行列式，范德蒙行列式，行列式的性质，乘法规则，加边法，拉普拉斯定理， 子式，代数余子式，克莱姆法则，重根，充要条件，线性方程组。 1 .引言 行列式 11312 1 1223222 13 2 1 1111----=n n n n n n n a a a a a a a a a a a a d 称为n 级的范德蒙行列式。（见文献[1]） 我们来证明，对任意的n （n ≥2），n 级范德蒙行列式等于n a a a ,,,21 这n 个数的所有可能的差j i a a -（1≤j ＜i ≤n ）的乘积，即 ∏≤<≤-n i j j i a a 1)(。 我们可以将范德蒙行列式或类似范德蒙行列式的行列式，用行列式的性质、乘法规则、加边法，计算出结果。 2.1.预备知识

性质1 行列互换，行列式不变，即 nn n n n n nn n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a 212 221212111212222111211= 。 在行列式中行与列的地位是对称的，因之凡是有关行的性质，对列也同样成立。 性质2 nn n n in i i n nn n n in i i n a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a 21 21 112112 1 2111211=。 这就是说，一行的公因子可以提出去，或者说以一数乘行列式的一行就相当于用这个数乘此行列式。 性质3 nn n n n n nn n n n n nn n n n n n a a a c c c a a a a a a b b b a a a a a a c b c b c b a a a 2 12 1 11211212 1112112 1 221111211+=+++。 这就是说，如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外与原来行列式的对应的行一样。 性质4 如果行列式中有两行相同，那么行列式为零。所谓相同就是说两行的对应元素都相等。 性质5 如果行列式中两行成比例，那么行列式为零。 性质6 把一行的倍数加到另一行，行列式不变。

行列式计算证明题

1-513 113 4 112 3 1?设 2 2… 2.计算元素为a” = |i —j 1 的n阶行列式 01A n -1 1 A冋一］ 1^1 = 1 TH 0 A n ?3 —2 由最后一和起，每行减刖一行1-1 A c -1 解.IvJ n - J 1 M - 2 A 0 lw J_ 1 1 A-1 1 A A 粕一 1 0-2 A A -1 每列力口錦鬥列M O0 A A =1-1严严0??1) M M 0-2 00A0-1 X] +1Xj 2A D x= x2 + 1+ 2A总+麗 A A A A 3.计算n阶行列式心+1召+ 2A (n 2) 是| A|中元素a ij的代数余子式 : -5 1 3 1-60 : 1 3 4 1 02 : 123 1 0 1 解.A41 + A42 + A3 + A44[ 1 1 1 0 0-6 计算Al l + Al2 + A43 + Al4 =, 其中A j 1,2, 3, 4) 十1严 2

解.当<■ >; Xj + 2 A 丑+用 1 齐+ 2 A 巧+肚 D n 二 % + 2 A : 冷亠2 A 巧+ w A A A A 上 A A A 心+2 A 忌+用 + -. 每+ 2 A 珂 Xj + 3 A 耳i 十挖 工！ 2 +3 A 盖i + 曲 % 心十？ A 兀2 +超 总2 ^ + 3 A 工2 + 用 M M M M M M M M M M % 珀+3 A + 珀2 兀+ 3 A 心+用 1咼 x : + 3 A 卞1十 肚 1 2 + 3 A 简十抡 1 x 2 屯十H A x 2 + w 1 2 z 2 +3 A x 2 + ?s M M M M M M M M M M + 1為 心+孑 A 码* + 1 2 4+3 A 心+冲 1可 ?十3 A H ］十 圧 1 r a 亏+3 A Jt 3 + W M M M M M 1 0 心+了 A 可十1 画十2 4.设a , b , c 是互异的实数,证明: 1 A 咼十肚 1 A 工2十肚 M M M M M 1 A X, +w 1 7] 3 A 雄i 十耳 1 x 2 3 A 心+血 M M M M M 1 x # 3 A 兀 j * 冲

范德蒙行列式论文

范德蒙行列式的推广及应用 目录 一、摘要 二、引言 三、第一章 1、定义…………………………………………………………… 2、定义的证明……………………………………………………… 3、推广定义及证明………………………………………… 4、性质…………………………………………………………………… 第二章 1、范德蒙行列式在行列式计算中的应用…………………………………… 2、范德蒙行列式在微积分计算中的应用………………………………… 3、范德蒙行列式在向量空间计算中的应用………………………… 4、范德蒙行列式在线性空间计算中的应用…………………………… 第三章 1、范德蒙行列式在多项式插值中的应用……………………………… 2、利用编程计算范德蒙行列式……………………………………………… 第四章 结论………………………………………………………………… 参考文献……………………………………………………………

摘要 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………（略） 关键词：………………（略） 引言 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………（略） 英文 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………（略）

范德蒙行列式的证明及其应用

范德蒙德行列式的证明及其应用 摘要：介绍了n阶范德蒙行列式的定义,用递推法和拉普拉斯定理两种方法证明了范德蒙行列式,辅以实例研究了它在高等代数中的一些应用.向量空间理论用来解决线性问题;在线性变换理论、多项式理论和微积分理论中,主要用它构造线性方程组,进而应用克拉默法则或相关定理判断根的情况;在行列式计算中,主要运用范德蒙行列式的结论简化n阶行列式的计算过程.探究范德蒙行列式的历史及相关应用,为更进一步钻研其相关性质与应用奠定了良好的基础. 关键词：范德蒙德行列式;向量空间;线性变换;应用 1引言 行列式本身有着长远的历史发展过程.它的理论最早可追溯到十七世纪末, 在十九世纪末,其理论体系已基本形成. 1683年,定义行列式概念的是日本数学家关孝和.同一年,德国数学家莱布 尼茨首先开始使用指标数的系数集合来表示有三个未知数的三个一次方程组的 系数.他这种解决方程组的思维方式为行列式理论的深入研究工作打下了坚实地 基础.1771年,范德蒙创造性的在深入研究行列式理论的基础上,尝试解线性方 程组.他这种勇于创新、敢于探索的精神为大家所认可,被公认为行列式的奠基人. 他以现在被大家所熟悉的拉格朗日著作中的相关知识为理论基础,进行了反复的 钻研,为后来研究群的概念奠定了良好的基础.第一个阐述行列式的数学家便是 范德蒙.他运用自己的聪明才智、活跃的思维、批判的科研态度给出了现代代数 书中二阶子式及余子式的定义,经过推理,演绎这一系列严谨的过程,完善了行列 式的概念,并给出了行列式的数学符号记录.1772年,皮埃尔-西蒙.拉普拉斯在 范德蒙著作和自身灵感的启示下,思维方法发生了变化,得出了子类型的概念.自 此起,人们对行列式展开了单独的研究. 人们为了深入了解行列式理论的本质特征,在19世纪展开了更深层次的研究.柯西积极吸收前人的劳动成果的同时,首次给出了行列式的系统理论.包括双 重组标记法、行列式的乘法定理等.1832年至1833年,问卡尔.雅可给出了一个 特殊的行列式的计算结果.基于此,1839年,卡塔兰发现了Jacobian行列式. 范德蒙行列式整齐、完美的结构形式让我们体验到数学之美.简单探索它的 应用,感悟数学的魅力.如果我们能够深入探索范德蒙行列式并灵活运用它,未来 将更广泛的应用在数学各个领域. 2范德蒙行列式的定义及证明 2.1定义

范德蒙行列式的应用论文

1引言 定义：形如 n D =113 12 1 1 2 2 32 22 1321 1111----n n n n n n n a a a a a a a a a a a a 的行列式叫做范德蒙行列式. 用递推法可以证明 n D =1 2322221 2 3 1 1 1 1 1 2 3 1111n n n n n n n a a a a a a a a a a a a ---- () ?????→?=-+n i r a r i i ,2,111 21 31 1 2 2 2 2213311111100()()() n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a --------- = 2131122133112 2 2 2213311() () () () ()() n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ------------ =(12a a -)(13a a -)…(1a a n -) 2 2 3 2 2 32111 ---n n n n n a a a a a a ???→?依次类推 n D = ∏≤<≤-n j i j a a i 1)( 2 范德蒙行列式在解题中的应用 2.1 范德蒙行列式简单性质 范德蒙行列式 1 1 2 1 1 21111 ---= n n n n n n x x x x x x D

性质一 逆时针旋转 90得 D = 1 1 1 1 1111 11 -----n n n n n n n x x x x x x 转置 1 1 1 1 1 11111-----n n n n n n n x x x x x x 交换各列 1 1 2 1 1 2111 1---n n n n n x x x x x x .2 )1() 1(--n n =n n n D ?--2 ) 1() 1( 性质二 逆时针旋转 180得 1 1 1 111 1 1 11 x x x x x x n n n n n n n -----交换各行n n n ) 1(1--） （1 1 1 1 1 11111 -----n n n n n n n x x x x x x = n n n )1(1--）（.n n n ) 1(1--） （n n D D = 性质三 逆时针旋转 270得 1 112 1 22 21 2121 11 n n n n n n n n n x x x x x x x x x ------转置 1 1 1 1 2 22 21 1 1 21 1 ------n n n n n n n n x x x x x x 交换各行 n n n D ?--2 )1()1( 性质四 逆时针旋转360 得 n D D = 所以：逆时针旋转2 π 的奇数倍则 D =n n n D ?--2 ) 1() 1( 逆时针旋转 2 π 的偶数倍则 D = n D 注①：类似三角公式中奇变偶不变.对此亦可进行顺时针旋转，结论一致. 2.2 范德蒙行列式在行列式计算中的应用 例1 计算n+1阶行列式.

行列式的计算及应用毕业论文

行列式的计算及应用毕业论文 目录 1. 行列式的定义及性质 (1) 1.1 行列式的定义 (1) 1.1.1 排列 (1) 1.1.2 定义 (1) 1.2 行列式的相关性质 (1) 2. 行列式的计算方法 (5) 2.1 几种特殊行列式的结果 (5) 2.1.1 三角行列式 (5) 2.1.2 对角行列式 (5) 2.2 定义法 (5) 2.3 利用行列式的性质计算 (5) 2.4 降阶法 (6) 2.5 归纳法 (7) 2.6 递推法 (8) 2.7 拆项法 (9) 2.8 用德蒙德行列式计算 (10) 2.9 化三角形法 (10) 2.10 加边法 (11) 2.11 拉普拉斯定理的运用 (12) 2.12 行列式计算的Matlab实验 (13) 3. 行列式的应用 (15) 3.1 行列式应用在解析几何中 (15) 3.2 用行列式表示的三角形面积 (15) 3.3 应用行列式分解因式 (16) 3.4 利用行列式解代数不等式 (17) 3.5 利用行列式来证明拉格朗日中值定理 (17) 3.6 行列式在实际中的应用 (18) 总结 (20) 参考文献 (21) 附录1 (22) 附录2 (22)

附录3 (23) 谢辞 (24)

1. 行列式的定义及性质 1.1 行列式的定义 1.1.1 排列[1] 在任意一个排列中，若前面的数大于后面的数，则它们就叫做一个逆序，在任意一个排列中，逆序的总数就叫做这个排列的逆序数. 1.1.2 定义[1] n 阶行列式 nn n n n n a a a a a a a a a D 21 22221 11211 = 就相当于全部不同行、列的n 个元素的乘积 n nj j j a a a 2121 (1-1-1) 的代数和，这里n j j j 21是n ,,2,1 的一个排列，每一项（1-1-1）都按下列规则带有符号：当n j j j 21是偶排列时，（1-1-1）是正值，当n j j j 21是奇排列时，（1-1-1）是负值.这一定义可以表述为 n n n nj j j j j j j j j nn n n n n a a a a a a a a a a a a D 21212121) (21 22221 11211 )1(∑-= = τ ， (1-1-2) 这里 ∑ n j j j 21表示对所有n 级排列求和. 由于行列指标的地位是对称的，所以为了决定每一项的符号，我们也可以把每一项按照列指标排起来，所以定义又可以表述为 n i i i i i i i i i nn n n n n n n a a a a a a a a a a a a D 21)(21 22221 11211 212121)1(∑-== τ. （1-1-3） 1.2 行列式的相关性质 记 nn n n n n a a a a a a a a a D 21 22221 112 11 = ,nn n n n n a a a a a a a a a D 212 2212 12111 '=,

范德蒙德行列式的研究与应用

毕业设计（论文）题目范德蒙德行列式的研究与应用 院（系）数理学院 专业班级xxxxxx 学生姓名xxx 学号xxxx 指导教师xxxx 职称xxx 评阅教师xxxx 职称xxxx 2014年5 月30日 注意事项

1.设计（论文）的内容包括： 1）封面（按教务处制定的标准封面格式制作） 2）原创性声明 3）中文摘要（300字左右）、关键词 4）外文摘要、关键词 5）目次页（附件不统一编入） 6）论文主体部分：引言（或绪论）、正文、结论 7）参考文献 8）致谢 9）附录（对论文支持必要时） 2.论文字数要求：理工类设计（论文）正文字数不少于1万字（不包括图纸、程序清单等），文科类论文正文字数不少于1.2万字。 3.附件包括：任务书、开题报告、外文译文、译文原文（复印件）。 4.文字、图表要求： 1）文字通顺，语言流畅，书写字迹工整，打印字体及大小符合要求，无错别字，不准请他人代写 2）工程设计类题目的图纸，要求部分用尺规绘制，部分用计算机绘制，所有图纸应符合国家技术标准规范。图表整洁，布局合理，文字注释必须使用工程字书写，不准用徒手画 3）毕业论文须用A4单面打印，论文50页以上的双面打印 4）图表应绘制于无格子的页面上 5）软件工程类课题应有程序清单，并提供电子文档 5.装订顺序 1）设计（论文） 2）附件：按照任务书、开题报告、外文译文、译文原文（复印件）次序装订 3）其它 学生毕业设计（论文）原创性声明

本人以信誉声明：所呈交的毕业设计（论文）是在导师的指导下进行的设计（研究）工作及取得的成果，设计（论文）中引用他（她）人的文献、数据、图件、资料均已明确标注出，论文中的结论和结果为本人独立完成，不包含他人成果及为获得重庆科技学院或其它教育机构的学位或证书而使用其材料。与我一同工作的同志对本设计（研究）所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 毕业设计（论文）作者（签字）： 年月日

行列式的性质及应用

题目 (1) 摘要 (1) 正文 (1) 一.问题的提出 (1) 二.排列 (1) 三.行列式 (1) 四.n阶行列式具有的性质 (2) 五.行列式的计算 (3) (一)数字型行列式的计算 (3) (二)行列式的概念与性质的例题 (6) (三)抽象行列式的计算 (6) (四)含参数行列式的计算 (7) A 的证明 (7) (五)关于0 (六)特殊行列式的解法 (8) (七)拉普拉斯定理 (9) 参考文献 (10) 致谢 (11) 外文页 (12) 行列式的性质及计算

王峰 摘 要 在线性代数中,行列式是一个重要的基本工具,直接计算行列式往往是困难和繁琐的,特别当行列式的元素是字母时更加明显,因此熟练地掌握行列式的计算方法是非常重要的。行列式的重点是计算,应当在理解n 阶行列式的概念,掌握行列式性质的基础上,熟练正确地计算三阶,四阶行列式,也会计算简单的n 阶行列式的值.计算行列式的基本方法是:按行(列)展开公式,通过降阶来实现。但在展开之前往往先通过对行列式的恒等变形,以期新的行列式中能构造出较多的零或有公因式,从而可简化计算,行列式计算的常用技巧有，三角化法，递推法，数学归纳法，公式法。 关键词 三角化法 递推法 数学归纳法 公式法 一.问题的提出 在实践中存在许多解n 元一次方程组的问题，如 ①11112212112222 a x a x b a x a x b +=??+=? ②11112211121222221122n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+++=????+++=? 对于①我们可以解出,但对于②,我们有什么方法解出呢?我想可以用行列式的知识。 二.排列 定义1 由1.2……n 组成的一个有序数组称为一个n 级排列。n 级排列的总数为 (1)(2)21!n n n n ?-?-?= （n 的阶乘个）。 定义2 在一个排列中，如果一队数的前后位置与大小顺序相反，即前面的大于后面的数，那么它 们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。 定义3 逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列。 例1 决定以下9级排列的逆序数，从而决定它们的奇偶性 134782695 解 逆序数为10，是偶排列。 三．行列式： 定义（设为n 阶）：n 阶行列式 是取自不同行不同列的n 个元素的乘 积的代数和，它由n !项组成，其中带正号与带负号的项各占一半，12()n j j j τ 表示排列 12n j j j 的 12121211 12121222()121 2(1)n n n n n j j j j j nj j j j n n nn a a a a a a A a a a a a a τ= = -∑

范德蒙行列式及其应用

目录 摘要及关键词 (1) 一、范德蒙行列式 (1) (一)范德蒙行列式定义 (1) (二)范德蒙行列式的推广 (4) 二、范德蒙行列式的相关应用 (8) (一) 范德蒙行列式在行列式计算中的应用 (8) (二) 范德蒙行列式在微积分中的应用 (14) (三) 范德蒙行列式在多项式理论中的应用 (19) (四) 范德蒙行列式推广的应用 (21) 三、结束语 (22) 四、参考文献 (23)

范德蒙行列式及其应用 摘要：在北大版高等代数的教科书中，行列式是一个重点也是一个难点，它是学习线性方程 组、矩阵、向量空间和线性变换的基础，起着重要作用。而行列式的计算具有一定的规律性和技巧性，同时可以应用在很多领域。本文将通过对n 阶范德蒙行列式的计算、推广及其证明，讨论它在行列式计算,微积分和多项式理论中的相关应用，然后主要研究一些与范德蒙行列式有关的例子，从中掌握行列式计算的某些方法和技巧，这将有助于我们更好的应用范德蒙行列式解决问题。 关键词：范德蒙行列式、行列式 The Determinant of Vandermonde and Its Application Yuping- Xiao (Department of Mathematics Bohai University Jinzhou 121000 China) Abstract: Higher algebra textbook edition in Beijing University,the determinant is not only an important point but also a difficult point,it is a foundation of learning linear equations,matrices, vector space and linear transformation,it plays an important role.And the calculation of determinant has a certain regularity and skills,it can be applied in many areas at the same time. This paper will be through the calculation,expansion and prove of a n band Vandermonde determinant,and discuss the calculation of determinant,the relevant application in the calculus and multinomial theory, then study some examples about the determinant of Vandermonde,and acquire some methods and skills of determinant calculation,This will help us better use the determinant of Vandermonde to solve the problems. Key words: the Vandermonder determinant; determinant 一、范德蒙行列式 (一)范德蒙行列式定义 定义1[1] 关于变元1x ,2 x n x 的n 阶行列式 1 22 221 2 1 1112 111n n n n n n n x x x D x x x x x x ---= (1) 叫做1x ，2x n x 的n 阶范德蒙行列式。 下面我们来证明 对任意的n (2n ≥),n 级范德蒙行列式等于1x ，2 x n x 这n 个数的

线性代数总结归纳

行列式 1．为何要学习《线性代数》？学习《线性代数》的重要性和意义。 答：《线性代数》是理、工、医各专业的基础课程，它是初等代数理论的继续和发展，它的理论和方法在各个学科中得到了广泛的应用。 2．《线性代数》的前导课程。 答：初等代数。 3．《线性代数》的后继课程。 答：高等代数，线性规划，运筹学，经济学等。 4．如何学习《线性代数》？ 答：掌握各章节的基本概念和解决问题的基本方法，多多体会例子的方法和技巧，多做练习，在练习中要紧扣问题涉及的概念，不要随意扩大概念的范围，练习要自己做才能理解所学的知识。在学完一章后自己要做一个小结，理清该章内容及前后概念之间的联系。在学完本课程后，将各章的内容做一个总结，想想各章内容之间的联系，易混淆的概念要着重加深理解及区分它们之间的差异。 第一章行列式 5．什么是一个n阶全排列？【知识点】：n阶全排列。 答：由n个数1,2,… ,n 组成的一个有序数组。 6．什么是标准排列？【知识点】：n阶全排列。 答：按数字由小到大的自然顺序排列的n阶排列123…n。 7．什么是n阶全排列的逆序？【知识点】：n阶全排列的逆序。 答：在一个n阶排列中，若某个较大的数排在某个较小的数前面，则称这两个数构成一个逆序。例如：排列45312中，数4与3，数4与1，数4与2，数5与3，数5与1，数5与2，数3与1，数3与2都构成逆序。数4与5，数1与2不构成逆序。 8．什么是n阶排列的逆序数？【知识点】：n阶排列的逆序数。 答：在一个n阶排列中，所有逆序的总数就是排列的逆序数。例如：上问中的排列45312的逆序数为8。 9．什么是奇排列和偶排列？【知识点】：排列的奇偶性。 答：逆序数为奇数的排列叫奇排列；逆序数为偶数的排列叫偶排列。例如：排列45312为偶排列。 10．对换一个排列中的任意两个数，该排列的奇偶性有什么变化？【知识点】：排列的对换对排列的奇偶性的影响。 答：对换一个排列中的任意两个数，奇排列就变成偶排列，偶排列就变成奇排列。例如：偶排列45312对换4与3，则变成排列35412，它的逆序数为7，排列35412是奇排列。 11．任一个n阶排列与标准排列可以互变吗？【知识点】：n阶排列与标准排列的关系。 答：可经过一系列对换互变。且所做对换的次数与排列具有相同的奇偶性。例如：排列32541的逆序数是6，因而是偶排列，它经过2次对换：3与1对换后变为12543，再对换5

范德蒙德行列式的证明

范德蒙德（Vandermonde ）行列式 ·定义：行列式1 1 3 1 2 1 1 2 23222 1 321...... ... ......... (1) (111) ----=n n n n n n n a a a a a a a a a a a a d 称为n 级范德蒙德（Vandermonde ）行列式。 ·性质：对任意的n （n ≥2），n 级范德蒙德行列式等于a 1a 2a 3...a n 这n 个数的所有可能的差 a i -a j (1≤j ＜i ≤n)的乘积。即 )(...... ... (1) (11111) 1 3 1 2 1 1 2 23222 1 321 j i n i j n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a d -∏==≤<≤---- 范德蒙德行列式为零的充分必要条件是a 1，a 2，...，a n 这n 个数种至少两个相等。 ·证明：（#数学归纳法） （i ）当n=2时， 122 11 1a a a a -=，结论成立。 ) (...... ... ...............1 (111) 1 12 1 2 3 2 2 2 1 2 123222 1 1 321 1j i n i j n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a d -∏==-≤<≤-------- （ii ）设对于n-1级范德蒙德行列式结论成立，即

则 || ....................................................).........() ())...()((...... ... ...... ...1...11) )...()(( 0 ... ... ... 0 ...01 (11112113122) 2 3 2 2 32113122 11 2 311 3 2 211 2 12 3 12 32 12 211312j i n i j j i n i j n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a d -∏=-∏?---=---=---------=≤<≤≤<≤---------

范德蒙行列式用vb编程计算

Module Module1 Dim sum As Integer Function calc(ByVal arrayString As Object) As Integer Dim arrayCount As Integer '计算数组长度 arrayCount = UBound(arrayString) - LBound(arrayString) + 1 '定义计算结果 sum = 1 '利用双重循环计算范德蒙多行列式值 For i = 0 To arrayCount - 1 For j = i + 1 To arrayCount - 1 'Val函数转字符串为整数 sum *= (Val(arrayString(j)) - Val(arrayString(i))) Next j Next i Return sum End Function Sub Main() Dim array(100) As Integer '获取用户输入，测试数据用，隔开 Dim arrayString() = Split(InputBox("请输入数据，用，隔开"), ",") Dim result = calc(arrayString) MsgBox(result) End Sub End Module Module Module1 Dim sum As Integer Function calc(ByVal arrayString As Object) As Integer Dim arrayCount As Integer '计算数组长度 arrayCount = UBound(arrayString) - LBound(arrayString) + 1 '定义计算结果 sum = 1 '利用双重循环计算范德蒙多行列式值 For i = 0 To arrayCount - 1 For j = i + 1 To arrayCount - 1 'Val函数转字符串为整数 sum *= (Val(arrayString(j)) - Val(arrayString(i))) Next j

行列式起源

线性代数是高等代数的一大分支。我们知道一次方程叫做线性方程，讨论线性方程及线性运算的代数就叫做线性代数。在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。行列式和矩阵在十九世纪受到很大的注意, 而且写了成千篇关于这两个课题的文章。向量的概念, 从数学的观点来看不过是有序三元数组的一个集合, 然而它以力或速度作为直接的物理意义, 并且数学上用它能立刻写出物理上所说的事情。向量用于梯度, 散度, 旋度就更有说服力。同样, 行列式和矩阵如导数一样（虽然dy/dx 在数学上不过是一个符号, 表示包括△y/△x 的极限的长式子, 但导数本身是一个强有力的概念, 能使我们直接而创造性地想象物理上发生的事情）。因此，虽然表面上看，行列式和矩阵不过是一种语言或速记，但它的大多数生动的概念能对新的思想领域提供钥匙。然而已经证明这两个概念是数学物理上高度有用的工具。 线性代数学科和矩阵理论是伴随着线性系统方程系数研究而引入和发展的。行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的，他在1683 年写了一部叫做《解伏题之法》的著作，意思是“ 解行列式问题的方法” ，书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。欧洲第一个提出行列式概念的是德国的数学家，微积分学奠基人之一莱布尼兹（Leibnitz ，1693 年）。1750 年克莱姆（Cramer ）在他的《线性代数分析导言》（Introduction d l'analyse des lignescourbesalge'briques）中发表了求解线性系统方程的重要基本公式（既人们熟悉的Cramer 克莱姆法则）。1764 年, Bezout把确定行列式每一项的符号的手续系统化了。对给定了含n 个未知量的n 个齐次线性方程, Bezout证明了系数行列式等于零是这方程组有非零解的条件。Vandermonde是第一个对行列式理论进行系统的阐述( 即把行列' 式理论与线性方程组求解相分离) 的人。并且给出了一条法则，用二阶子式和它们的余子式来展开行列式。就对行列式本身进行研究这一点而言，他是这门理论的奠基人。Laplace 在1772 年的论文《对积分和世界体系的探讨》中, 证明了Vandermonde 的一些规则, 并推广了他的展开行列式的方法, 用r 行中所含的子式和它们的余子式的集合来展开行列式，这个方法现在仍然以他的名字命名。德国数学家雅可比（Jacobi ）也于1841 年总结并提出了行列式的系统理论。另一个研究行列式的是法国最伟大的数学家柯西(Cauchy) ，他大大发展了行列式的理论，在行列式的记号中他把元素排成方阵并首次采用了双重足标的新记法，与此同时发现两行列式相乘的公式及改进并证明了laplace的展开定理。相对而言，最早利用矩阵概念的是拉格朗日（Lagrange ）在1700 年后的双线性型工作中体现的。拉格朗日期望了解多元函数的最大、最小值问题，其方法就是人们知道的拉格朗日迭代法。为了完成这些，他首先需要一阶偏导数为0 ，另外还要有二阶偏导数矩阵的条件。这个条件就是今天所谓的正、负的定义。尽管拉格朗日没有明确地提出利用矩阵。 高斯（Gauss ）大约在1800 年提出了高斯消元法并用它解决了天体计算和后来的地球表面测量计算中的最小二乘法问题。（这种涉及测量、求取地球形状或当地精确位置的应用数学分支称为测地学。）虽然高斯由于这个技术成功地消去了线性方程的变量而出名，但早在几世纪中国人的手稿中就出现了解释如何运用“高斯”消去的方法求解带有三个未知量的三方程系统。在当时的几年里，高斯消去法一直被认为是测地学发展的一部分，而不是数学。而高斯- 约当消去法则最初是出现在由Wilhelm Jordan 撰写的测地学手册中。许多人把著名的数学家Camille Jordan 误认为是“高斯- 约当”消去法中的约当。 矩阵代数的丰富发展，人们需要有合适的符号和合适的矩阵乘法定义。二者要在大约同一时间和同一地点相遇。1848 年英格兰的J.J. Sylvester 首先提出了矩阵这个词，它来源于拉丁语，代表一排数。1855 年矩阵代数得到了Arthur Cayley的工作培育。Cayley研究了线性

范德蒙行列式的应用论文

范德蒙行列式的应用 摘要行列式是线性代数的主要内容之一，它是后续课程线性方程组、矩阵、向量空间和线性变换的基础，有着很重要的作用。而n阶范德蒙行列式是线性代数中著名的行列式，它构造独特、形式优美，更由于它有广泛的应用，因而成为一个著名的行列式。它的证明过程是典型行列式定理及数学归纳法的综合应用。本文将通过对n阶范德蒙行列式的计算, 讨论它的各种位置变化规律, 介绍了如何构造范德蒙行列式进行行列式计算，以及探讨了范德蒙行列式在向量空间理论、线性变换理论以及微积分中的应用。 关键词：行列式；范德蒙行列式；向量空间理论；线性变换理论；微积分

VANDERMONDE DETERMINANT OF APPLICATIONS ABSTRACT The determinant is one of the main contents of linear algebra, which is the follow-up course of linear equations, matrixes, vector spaces and linear transformation of the base, has a very important role. The n-order Vandermonde determinant is the determinant of well-known in linear algebra, which constructs a unique form of beauty, but the more because it has a wide range of applications, and thus become a well-known determinant. It's proof process is typical determinant theorem and comprehensive application of mathematical induction. This article will through the n-order Vandermonde Determinant of calculation and discussing the variation of its various locations, describes how to construct a Vandermonde determinant of the determinant calculation, as well as to explore the Vandermonde determinant of applications in the theory of vector spaces, linear transformation theory and infinitesimal calculus. Key words: linear algebra，Vandermonde determinant，theory of vector spaces，linear transformation theory，infinitesimal calculus.