幂等矩阵线性组合的可逆性
张俊敏1,成立花2,李 祚1
(1.西安建筑科技大学理学院,陕西西安 710055;2.西安工程科技学院理学院,陕西西安 710048) 摘 要:设T 1,T 2,T 3是三个不同的两两相互可交换的n ×n 非零的三次幂等矩阵,并且c 1,c 2,c 3是非零数.本文主要给出了线性组合c 1T 1+c 2T 2+c 3T 3可逆性的刻画.
关 键 词:幂等矩阵;幂等矩阵的线性组合;可逆性
中图分类号:O151.21 文献标识码:A 文章编号:1008-5513(2007)02-0231-04
1 预备知识
统计学中很多方法都涉及到投影算子,而斜投影算子则是回归模型的变量估计中一个特别有用的工具.例如,在研究二次型x T Px 是否服从 2分布时,需要用到P 的幂等性质,更多的相关应用见文[1-2].全文恒用Z 表示正整数,R 表示实数,C 表示复数,M n 表示复数域上的n ×n 矩阵的全体.对于矩阵A ,B ,如果存在可逆矩阵U ,V ,使得UA V =B ,则称A ,B 是等价的.记为A ～B .对于矩阵A ,B ,如果存在可逆矩阵S ,使得S -1A S =B ,则称A ,B 是相似的.记为A B .如果矩阵相似于对角矩阵,则称矩阵是可对角化的.对于两个可对角化的矩阵A ,B ,如果存在可逆矩阵S ,使得S -1A S 和S -1BS 均为对角矩阵,则称矩阵A ,B 是同时可对角化的.
以下用F 表示集合{T ∶T 3i =T i ,T i T j =T j T i ,i ≠j ,T i ,T j ∈M n \{O }}.考虑如下的线性组合T =c 1T 1+c 2T 2,c 1,c 2∈R .T 1,T 2为二次幂等矩阵时,T 的幂等性、可逆性问题的刻画见文
[3-6].本文主要讨论当T 1,T 2,T 3为可换的三次幂等矩阵时,其线性组合的幂等性、可逆性问题.2 主要结果
引理1[1] 设A ,B ∈M n ,满足A t =A ,B t
=B ,t ≥1,t ∈Z ,则A 相似于B 的充要条件为A 等价于B .
众所周知,任意矩阵均可等价于对角矩阵,进而可等价于对角元为0,1的对角矩阵.因此,由上述命题可知,任意幂等矩阵都是可对角化的.
引理2[2] 设D ∈M n 是一可对角化的矩阵族.则D 是可换族等价于D 是同时可对角化族.2007年6月
第23卷第2期纯粹数学与应用数学Pur e and A pplied M athemat ics Jun.2007V o l.23No.2
收稿日期:2005-9-28.基金项目:国家自然科学基金资助项目(10571113),西安建筑科技大学基础研究基金资助项目(AJ12050).
作者简介:张俊敏(1972-),讲师,研究方向:矩阵分析与最优化理论.
定理1 设T 1,T 2∈F ,且满足T 1≠T 2,T ∈M n 为T 1,T 2的线性组合:
T =T 1+T 2
(1)则T 3=T 的充要条件为T 1T 2(T 1+T 2)=O .
证明 由矩阵T 1,T 2是幂等可换的矩阵,于是它们是可同时对角化的,即存在可逆矩阵S ,使得 =S -1T 1S , =S -1T 2S 均为对角矩阵,而且 和 的对角元分别为T 1,T 2的特征值,包含其重数[1,3],从而可以得到
T 1=S S -1,T 2=S S -1
(2)进而T =S ( + )S -1.于是矩阵T 的幂等性可以等价为
3i +3 2i !i +3 i !2i +!3i = i +!i ,i =1,2,…,n (3)
其中 i ,!i 分别为 , 的对角元.另一方面,幂等矩阵的特征值只有0,-1,1.于是当矩阵的秩
为r 时,对于所有的 i ,!i ,有 3i = i ,!3i =!i ,1≤i ≤r .于是(3)式表明:矩阵T 的幂等性又可
以等价为 2i !i + i !2i =0,1≤i ≤r ,即 2 + 2=O .因此,矩阵T 3=T 等价为T 1T 2(T 1+
T 2)=O .
注1 特别地,当T 2=T ,可以立即得到T 3=T 2=T ,即任意二次幂等矩阵均为三次幂等矩阵.因此本文包含以下所有的结论对于二次幂等矩阵而言也是正确的.
定理2 设T 1,T 2∈F ,且满足T 1≠T 2.如果存在非零常数c ~1,c ~2满足c ~12-c ~22≠0,使得
c ~1T 1+c ~2T 2是可逆矩阵,则对于所有满足c 21-c 22≠0的非零常数c 1,c 2,都有c 1T 1+c 2T 2是可
逆的.
证明 设由于c ~1T 1+c ~2T 2=c ~1S -1 S +c ~2S -1 S =S -1(c ~1 +c ~2 )S ,于是, c ~1T 1+c ~2T 2
= S -1 c ~1 +c ~2 S = c ~1 +c ~2 ,所以,线性组合c ~1T 1+c ~2T 2的可逆性等价于矩阵(c ~1 +c ~2 )的可逆性.另一方面,由上面讨论,幂等矩阵的特征值只为0,-1,1,矩阵(c ~1 +c ~2 )的可逆性等价于每一行的数对(
i ,!i )只能为如下的几种可能(0,1),(0,-1),(1,-1),(-1,1),(1,1,)(-1,-1),(1,0),(-1,0),所以对于任意的非零数c 1,c 2只要满足c 21-c 22≠
0,即有 c 1T 1+c 2T 2 = S -1 (c 1 +c 2 ) S = c 1 +c 2 ) ≠0,故此时c 1T 1+c 2T 2是可逆的.
注2 由引理2,定理2可知,对于可换族F 而言,只要矩阵T 1,T 2满足T j i =T i ,i =1,2,j =2,3,对于所有的a ≠±1,则T 1+aT 2与T 1-aT 2的可逆性是等价的.
定理3 设T 1,T 2∈F ,c 1,c 2为非零数,且满足c 21-c 22≠0,a ≠±1,a ∈R ,则以下结论
等价:
(1)T 1+aT 2是可逆的;
(2)c 1T 1+c 2T 2和c 1I +c 2T 1T 2同时是可逆的.
证明 (1) (2):由于矩阵T 1,T 2是三次幂等可换的矩阵,于是它们是可同时对角化的.即存在可逆矩阵S ,使得 =S -1T 1S , =S -1T 2S 同时为对角矩阵,从而T 1=S S -1,T 2=S S -1.因此当T 1+aT 2可逆时,c 1T 1+c 2T 2的可逆性由定理2可以得到,同时可知T 1+aT 2的可逆性等价于数对每一行的数对( i ,!i )只能为如下的几种可能(0,1),(0,-1),(1,-1),(-1,1),(1,1)(-1,-1),(1,0),(-1,0).而 c 1I +c 2T 1T 2 = S -1 (c 1I +c 2 ) S
232 纯粹数学与应用数学第23卷
= c 1I +c 2 ) ,在上述几种情况下,c 1+c 2 i !i ≠0,1≤i ≤n ,因此∏n i =1
(c 1+c 2
i !i )= c 1I +c 2 ) ≠0,于是矩阵c 1I +c 2T 1T 2也是可逆的.
(2) (1):令c 1=1,c 2=a ,即可得结论(1).
下面是三个三次幂等矩阵的线性组合的可逆性问题.
定理4 设T 1,T 2,T 3∈F ,c 1,c 2,c 3为非零数,则当T 1+T 2+T 3可逆时,在下述几种情况下,线性组合c 1T 1+c 2T 2+c 3T 3是可逆的:
(1)T i T j =O ,i ≠j ,i ,j =1,2,3,且c 1,c 2,c 3为任意非零数;
(2)T 1T 2=O ,T 1T 3=O ,且c 2+c 3≠0(等价地有T 2T 3=O ,T 2T 1=O 及T 3T 1=O ,T 3T 2
=O );
(3)T 1T 2=T 3,T 2T 3=T 1,且c 1+c 2+c 3≠0,c i +c j ≠c k ,i ,j ,k =1,2,3,(等价地有T 2T 3
=T 1,T 3T 1=T 2,T 3T 1=T 2,T 3T 2=T 1);
(4)T 1+T 2=T 3,且(c 1+c 3)(c 2+c 3)≠0(等价地有T 2+T 3=T 1,T 3+T 1=T 2);
(5)T 1T 2+T 1T 3=T 3,且c 2+c 3≠0,(等价地有T 2T 1+T 2T 3=T 2,T 3T 1+T 3T 2=T 3);
(6)T 1T 2=T 1±T 3,且c 3≠0(等价地有T 2T 3=T 2±T 3,T 1T 3=T 1±T 3);
(7)T 1=T 1(T 2+T 3),且(c 1+c 2)(c 2+c 3)(c 3+c 1)≠0(等价地有T 2=T 2(T 1+T 3),
T 3=T 3(T 1+T 2));
证明 由引理2,对于幂等可换的矩阵T 1,T 2,T 3,存在可逆矩阵S ,使得T 1,T 2,T 3同时可对角化: =S -1T 1S , =S -1T 2S ,△=S -1T 3S ,且 , 和△的对角元分别为T 1,T 2,T 3的特征值,其重数计算在内,从而可以得到
T 1=S S -1,T 2=S S -1,T 3=S △S -1(4)
进而T 1+T 2+T 3=S ( + +△)S -1.于是当矩阵T 1+T 2+T 3可逆时,即有0≠ T 1+
T 2+T 3 = S ( + +△)S -1 = S ( + +△) S -1 = ( + +△) =∏n i =1
( i
+!i +?i ),其中 i ,!i ,?i 分别为矩阵 , ,△的对角元.另一方面,三次幂等矩阵的特征值只有0,-1,1.因此,矩阵T 1+T 2+T 3可逆等价与三元数对( i ,!i ,?i )在其每一行最多只有如下的可能:(1,1,1),(-1,1,1),(1,-1,1),(1,1,-1),(1,-1,-1),(-1,1,-1),(-1,-1,1),(-1,-1,-1),(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0,0,-1),(0,-1,0),(-1,0,0),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(-1,0,-1),(-1,-1,0),(0,-1,-1).
(1)当T i T j =O ,i ≠j ,i ,j =1,2,3时,由等式(4)可知, =O , △=O ,△ =O ,于是每行对应的数对( i ,!i ,?i )只可能为(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0,0,-1),(0,-1,0),(-1,0,0).所以对任意非零数c 1,c 2,c 3,矩阵c 1T 1+c 2T 2+c 3T 3都是可逆的;
(2)当T 1T 2=O ,T 1T 3=O 时,即 =O , △=O ,对应的数对(
i ,!i ,?i )最多有以下可能:(0,0,-1),(0,-1,0),(-1,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0,1,1),(0,-1,-1).此时只要非零数c 1,c 2,c 3满足c 2+c 3≠0,矩阵c 1T 1+c 2T 2+c 3T 3即是可逆的;(3)当T 1T 2=T 3,T 2T 3=T 1时,相应的有 i !i =?,!i ?i = i ,1≤i ≤n ,因此数对( i ,!i ,?i )可为以下:(1,1,1),(1,-1,-1),(-1,1,-1),(-1,-1,1).计算得到,当c 1+c 2+233
第2期张俊敏等 幂等矩阵性组合的可逆性
c3≠0,c i+c j≠c k,i,j,k=1,2,3时,矩阵c1T1+c2T2+c3T3可逆;
(4)当T1+T2=T3时,类似地,数对(i,!i,?i)为如下情形:(1,0,1),(0,1,1),(-1,0, -1),(0,-1,-1).如果c1+c3≠0,且c2+c3≠0,则线性组合c1T1+c2T2+c3T3可逆;
(5)当T1T2+T1T3=T3时,对应的数对(i,!i,?i)只可能为(0,1,0),(0,-1,0),(1,0, 0),(-1,0,0),(1,0,1).由数组的结构可以得到当非零数c1,c2,c3满足c2+c3≠0时,c1T1+ c2T2+c3T3可逆;
(6)当T1T2=T1+T2时,数对(i,!i,?i)只有如下两种可能(0,0,1),((0,0,-1).因此,对于任意的非零数c3,矩阵c1T1+c2T2+c3T3可逆;对于条件T1T2=T1-T2类似分析可得到同样的结果;
(7)当T1=T1(T2+T3)时,数对(i,!i,?i)可能为(0,0,1),(0,1,0),(0,0,-1),(0,-1,0),(0,-1,-1),(1,0,1),(1,1,0).分析可得到当c1+c2≠0,c2+c3≠0,且c1+c3≠0,线性组合c1T1+c2T2+c3T3可逆.
注对于n=2,在定理4假设条件下,每一个条件要求的矩阵都是存在的,例如:
T(1)=-1 0
0 1
,T(2)=
1 0
0 0
,T(3)=
-1 0
0 0
,T(4)=
1 0
0 1
,
T(5)=-1 0
0 -1
,T(6)=
1 0
0 -1
,T(7)=
0 0
0 -1
,T(8)=
0 0
0 1
.
此时在情况(1),(2)中可取T1=T(2),T2=T(3),T3=T(4);在情况(3)中可取T1=T(2),T2= T(5),T3=T(3);实际上,在情况(4)中矩阵T3是一个可逆三次幂等矩阵.因此可取T1=T(2), T2=T(8),T3=T(4);情况(5)可对应T1=T(1),T2=O,T3=T(8);(6)中取T1=O,T2=O, T3=T(4);情况(7)中可令T1=T(4),T2=T(2),T3=T(8);并且除了情况(5),(6)外,所给出的满足条件的矩阵都是非平凡的.
另外,定理4中条件的分类还可以交叉结合.例如:T1T2=O,T2+T3=T1,此时令T1= T(5),T2=T(7),T3=T(3)即可满足条件.
参 考 文 献
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A new arithmetical function and its value distribution
SHEN Hong
(Xiany ang V ocational a nd T echnical Co lleg e,Xiany ang 712000,China)
Abstract:T he main purpose of this paper is using the elementary metho ds to study the value distr ibution properties of the function V(n),and g ive tw o shar per asy mpto tic for mulae for it. Key words:Arithmetical function,Value distribution,Asy mpto tic form ula
2000MSC:11B83
(上接第234页)
Nonsigularity of linear combinations of idempotent matrices
ZHAN G Junmin1,CHENG Lihua2,LI Zuo1
(1.college o f Science,Xi′an U niv ersit y o f Ar chitecture a nd T echnolog y,Xi′an 710055,China
2.co lleg e of Science,Xi′an U niver sity of Engineer ing Science and T echno lo gy,X i′an 710048,China)
Abstract:Let T1,T2,T3be any three no nzero n×n tripotent matrices w hich are differ ent and nutually com mutative and let c1,c2,c3be nonzero scalars.In the paper.the characterizations of the nonsigularity o f the combination c1T1+c2T2+c3T3ar e presented.
Key words:idempo tent matrix,linear co mbination of idem potent matrix,nonsigularity 2000MSC:15A29,15A09
线性代数复习要点 第一部分 行列式 1. 排列的逆序数 2. 行列式按行（列）展开法则 3. 行列式的性质及行列式的计算 1.行列式的计算： ① (定义法)1212121112121222() 1212()n n n n n j j j n j j nj j j j n n nn a a a a a a D a a a a a a τ= = -∑ L L L L L M M M L 1 ②（降阶法）行列式按行（列）展开定理： 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. ③ (化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. ④ 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则 ==()mn A O A A O A B O B O B B O A A A B B O B O *==* *=-1 ⑤ 关 于 副 对角线： (1)2 1121 21 1211 1 () n n n n n n n n n n n a O a a a a a a a O a O ---* ==-K N N 1
⑥ 范德蒙德行列式：()1 22 22 12111112 n i j n j i n n n n n x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏L L L M M M L 111 ⑦ a b -型公式：1 [(1)]()n a b b b b a b b a n b a b b b a b b b b a -=+--L L L M M M O M L ⑧ (升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法. ⑨ (递推公式法) 对n 阶行列式n D 找出n D 与1n D -或1n D -,2n D -之间的一种关系——称为递推公式，其中 n D ,1n D -,2n D -等结构相同，再由递推公式求出n D 的方法称为递推公式法. (拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和， 使问题简化以例计算. ⑩ (数学归纳法) 2. 对于n 阶行列式A ，恒有：1 (1)n n k n k k k E A S λλ λ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 3. 证明 0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值. 4. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 第二部分 矩阵 1.矩阵的运算性质 2.矩阵求逆
JIU JIANG UNIVERSITY 毕业论文（设计） 题目幂等矩阵的性质及应用 英文题目Properties and Application of Idempotent Matrix 院系理学院 专业数学与应用数学 姓名邱望华 年级A0411 指导教师王侃民 二零零八年五月
幂等矩阵在数学领域以及其他许多领域应用都非常广泛，因此对幂等矩阵进行探讨具有很重要的意义。本文主要是对幂等矩阵的一些性质和结论进行归纳总结并对相关性质进行推广。首先对幂等矩阵简单性质进行了归纳总结，接着谈到了实幂等矩阵的等价条件并推广到复矩阵以及高次幂等矩阵，然后研究了幂等变换、幂等矩阵线性组合的幂等性、幂等矩阵线性组合的可逆性、幂等矩阵秩有关的性质。 [关键词] 幂等矩阵，性质，幂等性，线性组合
The idempotent matrix is widely applied in mathematics as well as other many places, so there is very vital significance to carry on the discussion to the idempotent matrix . This paper mainly carries on the induction summary some simple nature and the important conclusion of idempotent matrix and carries on the promotion to the related nature. Firstly, this article has carried on the induction summary to its simple nature, then talkes about the equivalence condition of the solid idempotent matrix and extends to the equivalence condition of the plural idempotent matrix and the higher mode idempotent matrix . Then the article studies the idempotent transformation、the idempotency of linear combinations of two idempotent matrices、the invertibility of linear combinations of two idempotent matrices. [Key Words] the idempotent, the nature, the idempotence, linear combination
大学线性代数知识点总结 第一章 行列式 二三阶行列式 N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n n n nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121) ..(∑-= τ （奇偶）排列、逆序数、对换 行列式的性质:①行列式行列互换,其值不变。(转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列)互换,行列式变号。 推论：若行列式中某两行（列)对应元素相等，则行列式等于零。 ③常数k 乘以行列式的某一行(列）,等于k 乘以此行列式。 推论:若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零; 推论:行列式中某一行(列)元素全为零,行列式为零。 ④行列式具有分行（列)可加性 ⑤将行列式某一行(列）的k 倍加到另一行（列)上,值不变 行列式依行(列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1( 定理:行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。 克莱姆法则： 非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时,有唯一解：)21(n j D D x j j ??== 、 齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解,则Ｄ等于零 特殊行列式: ①转置行列式：33 23 13 3222123121113332 31 232221 131211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a = ③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零 ④三线性行列式：33 31 2221 13 1211 0a a a a a a a 方法:用221a k 把21a 化为零，。。化为三角形行列式
29.1 投影 第2课时正投影 【学习目标】 （一）知识技能： 1.进一步了解投影的有关概念。 2.能根据正投影的性质画出简单平面图形的正投影。 （二）数学思考：在探究物体与其投影关系的活动中，体会立体图形与平面图形的相互转化关系，发展学生的空间观念。 （三）解决问题：通过对物体投影的学习，使学生学会关注生活中有关投影的数学问题，提高数学的应用意识。 （四）情感态度：通过学习，培养学生积极主动参与数学活动的意识，增强学好数学的信心。 【学习重点】 能根据正投影的性质画出简单平面图形的正投影。 【学习难点】 归纳正投影的性质，正确画出简单平面图形的正投影。 【学习准备】手电筒、三角尺、作图工具等。 【学习过程】 【知识回顾】 正投影的概念：投影线于投影面产生的投影叫正投影。 【自主探究】 活动1 出示探究1 如图29.1—7中，把一根直的细铁丝（记为线段AB）放在三个不同位置： （1）铁丝平行于投影面； （2）铁丝倾斜于投影面： （3）铁丝垂直于投影面（铁丝不一定要与投影面有公共点）。 三种情形下铁丝的正投影各是什么形状？ （1）当线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1,线段与它的投影的大小关系为AB A1B1； （2）当线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2,线段与它的投影的大小关系为AB A2B2； （3）当线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是。 设计意图：用细铁丝表示一条线段，通过实验观察，分析它的正投影简单直观，易于发现结论。 活动2 如图，把一块正方形硬纸板P（记为正方形ABCD）放在三个不同位置： (1)纸板平行于投影面； (2)纸板倾斜于投影面； (3)纸板垂直于投影面。 三种情形下纸板的正投影各是什么形状？
线性代数教学教案 第一章线性方程组与矩阵 授课序号01 1112121 2 n n m m mn a a a a a a ?? ?? ??? ，有时为了强调矩阵的行数和列数，也记为
n a ???. 212 n n n nn a a a ? ??? . 1112 00n n nn a a a a ?? ?? ? ? ?与上三角矩阵200 n nn a ? ??? . 000 0n a ??? ??? ，或记为100 1? ???? . 负矩阵的定义：对于矩阵()ij m n a ?=A ，称矩阵21 22 n m m m mn mn b a b a b ?? +++? ，
a b+
21 2 n m m mn a a a ????，转置矩阵212.m n n nm a ? ??? 矩阵的转置满足的运算规律（这里k 为常数，A 与B 为同型矩阵）阶方阵()ij a =A 如果满足222n n m mn n a x +21 2 n m m mn a a a ????称为该线性方程组的系数矩阵n x ???，m b = ? ??? β，有：
2221122221 21122n n n m m mn n m m mn n a a a x a x a x a x ??? ? =??? ???? ? ++ +????? . 再根据矩阵相等的定义，该线性方程组可以用矩阵形式来表示：=Ax β.
授课序号02 21 2 t s s st ????A A A ，21 2 t s s st ? = ? ??? B B B B ，的行数相同、列数相同，则有 21 22 t s s s st st ?? ±±±? B A B A B . 111221 2 t s s st ? ? ??? A A A A A ，都有21 2 t s s st k k ? ??? A A A .
幂等矩阵 1、如果A 是幂等阵， 证明：A ，),2,1( =k A T 和A E -都是幂等阵。 证：A E A A E A E -=+-=-222)(。 证毕 2、设A 是幂等阵，问：A -是否幂等矩阵？ 答：当0≠A ，A A A A -≠==-22)(。 3、问：幂等矩阵是否是对称阵？ 答：一般不是。 设T ab A =，满足1=T ba ，其中? ??? ? ??=n a a a 1，????? ??=n b b b 1， 发现A 是幂等矩阵； 而? ? ??? ???? ???=n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a A 2 1 2221 21211 1一般不是对称阵。 4、证明：A 和B 是幂等矩阵当且仅当?? ? ???=B A Z 00是幂等矩阵。 证：?? ? ? ??=2220 0B A Z 。 A 和B 是幂等矩阵当且仅当A A =2且B B =2 当且仅当Z Z =2 当且仅当Z 是幂等矩阵。 证毕 5、以下命题成立吗？
方阵A 是幂等矩阵当且仅当其特征值为0或1。 答：方阵A 是幂等矩阵，则其特征值为0或1。 反之一般不成立。 例如??????????=000110111A ，但A A ≠???? ??????=0001102212 。 6、设A 是特征值为0或1的方阵， 证明：A 幂等矩阵当且仅当A 可对角化。 证： 必要性。 因为A 与若当形矩阵J 相似，所以J AT T =-1 ，且?? ????=01 00J J J ， 其中r r J ?? ? ?? ?? ??????=11111 ，()() r n r n J -?-????????????=01100 。 发现J J =2 ，即J 是幂等矩阵。 于是i J 是幂等矩阵，1,0=i ，进而i J 是对角矩阵，1,0=i 。 所以J 是对角矩阵。 即A 可对角化。 充分性。 因为A 可对角化，所以D AT T =-1 ，其中D 是主对角元是0或1的对角矩阵。 有D D =2 ， 所以A TDT TDT TDT TDT A ====----11 1 2 12 )(。 证毕 7、问：n 阶幂等矩阵按相似关系来分类，可以分成几类？ 答：记r 是幂等矩阵特征值1的个数，n r ≤≤0，所以有1+n 类。 8、设A 是n 阶幂等矩阵，
线性代数矩阵性及应用举例
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华北水利水电学院线性代数解决生活中实际问题 课程名称：线性代数 专业班级： 成员组成： 联系方式： 2012年11月7日
关于矩阵逆的判定及求逆矩阵方法的探讨 摘 要：矩阵的可逆性判定及逆矩阵的求解是高等代数的主要内容之一。本文给出 判定矩阵是否可逆及求逆矩阵的几种方法。 关键词：逆矩阵 伴随矩阵 初等矩阵 分块矩阵 矩阵理论是线性代数的一个主要内容，也是处理实际问题的重要工具，而逆矩阵在矩阵的理论和应用中占有相当重要的地位。下面通过引入逆矩阵的定义，就矩阵可逆性判定及求逆矩阵的方法进行探讨。 定义1 n 级方阵A 称为可逆的，如果n 级方阵B ，使得 AB=BA=E （1） 这里E 是n 级单位矩阵。 定义2 如果B 适合（1），那么B 就称为A 的逆矩阵，记作1 -A 。 定理1 如果A 有逆矩阵，则逆矩阵是唯一的。 逆矩阵的基本性质： 性质1 当A 为可逆阵，则A A 1 1 = -. 性质 2 若A 为可逆阵，则k kA A (,1 -为任意一个非零的数)都是可逆阵，且A A =--1 1)( )0(1)(1 1≠= --k A k kA . 性质3 111 ) (---=A B AB ，其中A ，B 均为n 阶可逆阵. 性质4 A ()()'11 '=--A . 由性质3有 定理2 若)2(,21≥n A A A n Λ是同阶可逆阵，则n A A A Λ21,是可逆阵，且21(A A 下面给出几种判定方阵的可逆性及求逆矩阵的方法： 方法一 定义法 利用定义1，即找一个矩阵B ，使AB=E ，则A 可逆，并且B A =-1 。 方法二 伴随矩阵法 定义3 设)(ij a A =是n 级方阵，用ij A 表示A 的),(j i 元的代数余子式)1,(n j i Λ=，
幂等矩阵的质
目录 中文摘要 (1) 英文摘要 (1) 1 引言 (1) 2 幂等矩阵的概念 (3) 3 幂等矩阵的性质 (4) 3. 1 幂等矩阵的主要性质 (4) 3. 2 幂等矩阵的等价性命题 (7) 3. 3 幂等矩阵的线性组合的相关性质 (11) 4 幂等矩阵与其他矩阵的关系 (14) 4. 1 幂等矩阵与对合矩阵 (14) 4. 1. 1 对合矩阵 (14) 4. 1. 2 幂等矩阵与对合矩阵的关系 (15) 4. 2 幂等矩阵与投影矩阵 (16) 4. 2. 1 投影矩阵 (16) 4. 2. 2 幂等矩阵与投影矩阵的关系 (17) 结束语 (19) 参考文献 (20) 致谢 (21) 英文原文 (22) 英文译文 (29)
数学与应用数学专业2009级王素云 摘要:本文对幂等矩阵的一些性质进行归纳总结及推广, 并将幂等矩阵与其他特殊矩阵进行了比较. 给出幂等矩阵的概念. 讨论幂等矩阵的主要性质, 并将其进行推广. 然后研究了幂等矩阵的等价性命题, 以及幂等矩阵的线性组合的相关性质. 再结合对合矩阵和投影矩阵更深入的研究幂等矩阵的性质, 分别讨论了幂等矩阵与对合矩阵, 幂等矩阵与投影矩阵的关系. 关键字: 幂等矩阵; 性质; 对合矩阵; 投影矩阵; 广义逆矩阵 PROPERTIES OF IDEMPOTENT MATRIX Suyun Wang, Grade 2009, Mathematics and Applied Mathematics Abstract In this paper, some properties of the idempotent matrix are summarized and extended, and idempotent matrices are compared with other special matrix. The concept of idempotent matrices are given. The main properties of the idempotent matrix are discussed and promoted . Then, the equivalent propositions of idempotent matrix and the nature of the linear combinations of idempotent matrices are studied. The involution matrix and the projection matrix are used to discuss the nature of the idempotent matrices much deeper. The relationship between the idempotent matrix and involution matrix, the idempotent matrix and the projection matrix are discussed. Key Words the idempotent; the nature; involution matrix; the projection matrix; generalized inverse matrix
万方数据
万方数据
浅谈幂等矩阵的性质 作者：侯君芳， 黄丽莉 作者单位：郑州旅游职业学院,河南郑州,450009 刊名： 科技风 英文刊名：TECHNOLOGY TREND 年，卷(期)：2009，""(13) 被引用次数：0次 相似文献(6条) 1.期刊论文高灵芝幂等矩阵秩试题求解及其结论的推广-中国科教创新导刊2008,""(31) 本文从高等代数课本中的一道习题入手,从不同的角度给出这道习题的不同解法,并把其结论进行了推广. 2.期刊论文邹本强.ZOU Ben-qiang特殊矩阵的特征值性质-重庆职业技术学院学报2006,15(5) 在高等代数中矩阵是研究问题很重要的工具,在讨论矩阵的性质时给出了矩阵特征值的定义,但对矩阵特征值的性质研究很少,对特殊矩阵的特征值性质的研究更少,而特殊矩阵的特征值对研究特殊矩阵有很重要的意义.我们在研究矩阵及学习有关数学知识时,经常要讨论一些特殊矩阵的性质.为此,本文围绕幂等矩阵、反幂等矩阵、对合矩阵、反对合矩阵、幂零矩阵、正交矩阵、对角矩阵、可逆矩阵等特殊矩阵给出了其主要性质并加以证明,为广大读者学习矩阵时提供参考. 3.期刊论文孙莉.陈传良.王品超分块矩阵的理论应用-曲阜师范大学学报(自然科学版)2002,28(1) 分块矩阵的理论在高等代数中有着广泛的应用,用这一理论解决问题简明而清晰,该文是本理论的具体应用. 4.期刊论文杨忠鹏.陈梅香.林国钦.Yang Zhongpeng.Chen Meixiang.Lin Guoqin关于三幂等矩阵的秩特征的研究-数学研究2008,41(3) 本文对已有的关于三幂等矩阵秩的等式作了进一步研究,指出其中有些可以作为判定三幂等矩阵的充要条件,即三幂等矩阵的秩特征等式.本文还证明了有无穷多种三幂等矩阵的秩特征等式形式. 5.期刊论文杨忠鹏.陈梅香.YANG Zhong-peng.CHEN Mei-xiang关于矩阵秩等式研究的注记-莆田学院学报2008,15(5) 最近一些文献应用自反广义逆和广义Schur补得到了一些重要的矩阵秩的恒等式.对这些结果,给出了只用分块初等变换的简单证法;作为应用对 k(k=2,3,4)幂等矩阵的秩等式作进一步讨论,还给出了打洞技巧在求秩上应用的例子. 6.期刊论文林志兴.杨忠鹏.LIN Zhi-xing.YANG Zhong-peng与给定矩阵A的可交换子环C(A)的一些探讨-莆田学院学报2010,17(2) 收集整理现在常用的高等代数与线性代数材料中与给定矩阵A可交换的矩阵所构成的全矩阵空间pn×n的子空间C(A)的习题.指出C(A)的交换性及用 A的多项式表示问题同C(A)的维数与n有密切关系,得到n(n≥3)阶幂等矩阵A或对合矩阵A的C(A)都是不可交换的结论. 本文链接：https://www.doczj.com/doc/307123374.html,/Periodical_kjf200913005.aspx 授权使用：洛阳工学院（河南科技大学）(wflskd)，授权号：d7e0c32f-0155-4388-9ee0-9dde00edfb00 下载时间：2010年8月26日
2009年7月(上 ) ［摘要］幂等矩阵的种常规的正定性，虽然在几何学，物理学以及概率论等学科中都得到了重要的应用，但随着数学本身以及应用矩阵的 其他学科的发展，越来越不能满足人们的需要，现代经济数学等众多学科中的重要作用，使矩阵的次正定性研究不仅在理论上，而且在应用上都是有意义的。［关键词］幂等矩阵；高等代数；线性变换浅谈幂等矩阵的性质 侯君芳 黄丽莉 （郑州旅游职业学院，河南郑州 450009） 在高等代数的研究中，矩阵占有重要的地位，线性变换中的许多问题都是通过矩阵来解决的。幂等矩阵是一类特殊的矩阵，本篇文章探讨的就是幂等矩阵的性质，研究过程中运用的特殊符号说明如下：A T 矩阵A 的转置，A H 矩阵A 的共轭转置R （A ）矩阵A 的值域，N （A ）矩阵A 的核空间。 幂等矩阵 定义[1]设A ∈C n ×n ，若A 2=A 则称A 是幂等矩阵。定理1若P 是幂等矩阵，则 1）P T ，P H ，E-P T ，E-P H 是幂等矩阵。2）P （E-P)=（E-P ）P=03）Px=x 的充要条件是x ∈R （P ） 证明：1）P 2=P =>（P T ）2=（P 2）T =P T =>P T 为幂等矩阵P 2=P =>（P H ）2=（P 2）H =P H =>P H 为幂等矩阵 （E-P ）2=（E-P ）（E-P ）=E 2-EP-PE+P 2=E-2P+P 2=E-P 故E-P 为幂等矩阵 （E-P T ）2=（E-P T ）（ E-P T ）=E 2-EP T -P T E+（P T ）2 =E-P T 故E-P T 为幂等矩阵 （E-P H ）2=（E-P H ）（ E-P H ）=E 2-EP H -P H E+（P H ）2=E-P H 故E-P H 为幂等矩阵 2）P （E-P ）=PE-P 2=P-P 2=0（E-P ）P=EP-P 2=P-P 2=0故P （E-P ）=（E-P ）P=0 3）设x 满足Px=x ，则x ∈R （P ）。反之，若x ∈R （P ），则必存在y ∈C n ，使得Py=x ，于是，Px=P （Py ）=Py 结论的几何意义是P 的特征值为1的特征子空间就是P 的值域。定理2秩为r 的n 阶。矩阵P 是幂等矩阵的充要条件是存在C ∈C n ×n 使得 C -1PC= Er 0（1） 证明：必要性：设J 是P 的Jordan 标准形，C ∈C n ×n ，且 C -1PC=J=J 1J 2··J i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i s ，J i = λi 1λi 1··λi i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i n i ×n i J i 是Jordan 块。由于P 2=P ，则J 2i =J i （i=1，2，3…s ）。欲使J i 2=J i ，必须n i =1。因此J 是对角阵。又由P 2=P 。知λi =0或1，故r=rankJ=trP 。 充分性：由 Er 02 =Er 0知P 2 =P 。推论[1]rankP=trP 证明：由上题的（1）知幂等矩阵的特征值非1即0。且r=rankP 又有式（1）知 trP=λ1+λ2+…+λN =r 其中λ1，λ2…λN 是P 的n 个特 征值 矩阵的性质通常从以下几方面来研究：矩阵的秩，矩阵的相似对角化，矩阵的特征值对于幂等矩阵我们也从这几方面入手，讨论其具有的性质。 性质1若A 为n ×n 矩阵且A 2=A ，则A 相似于一对角阵 Er 证明：取一线性空间V （n 维）及一组基ε1，ε2…εn 定义一线性变换A ：V →V ，A α=A α则A （ε1，ε2，…εn ）=(ε1，ε2…εn )A 。由A 2=A ，则A 2=A 。A α∈A ∩A -1（0），设α=A β，β∈V ，A α=A 2β=β=α。又A α=0，则α=0，则AV+A -1（0）为直和。所以V=A +A -1（0）。在子空间AV 中取基η1η2…ηr ，在子空间A -1(0)取基ηr+1ηr+2…ηn ，则向量组η1，η2…ηr ηr+1…ηn 就是V 的一组基。又A η1=η1，A η2=η2…A ηr =ηr 且A ηr+1=0，A ηr+2=0…A ηn =0，A （η1，η2…ηn ）=（η1，η2…ηn ）Er 所以А相似于Er 性质2若А为n ×n 幂等矩阵，且R （ A 2 ）=R （A ）则有以下结论成立 1）Ax=0与A 2x=0同解 2）对于任意自然数P ，均有R （A p ）=R （A ） 证明：设R （A ）=r 显然Ax=0的解均为A 2x=0的解；设有一基础解系η1，η2…ηn-r 则此基础解系也为A 2x=0的解，并且线性无关，而 R （A 2 ） =r ，所以η1，η2…ηn-r 也为A 2x=0的基础解系，那么Ax=0与A 2x=0同解 若α为A 2x=0的解，则A 2α=0= >A 3α=0，则α为A 3E=0的解，反之，若α为A 3x=0的解，则A 3α=0即A 2A α=0，说明向量A α=0为方程组A 2x=0的解，由（1）则A α为Ax=0的解，则有A 2α=0，即α也为A 2x=0的解，所以A 2x=0与A 3x=0同解。因此，照 此方法类推，则必有R （ A p ）)=R （A ）。性质3若A 为n 阶方程，且R （A ）+（E-A ）=n ，则A 2=A 证明：设V 为n 维线性空间，其基ε1，ε2...εn 定义下述线性变换A ：V →V ，A （ε1，ε2...εn ）=（ε1，ε2...εn ）A （E-A ）（ε1，ε2...εn ）=（ε1，ε2...εn ）（E-A ），dim （AV ）=R （A ），dim [（E-A ）]=R （E-A ）由题设，则dimAV+dim （E-A ）=n (1) A α∈V ，α=A α+（α-A α）∈AV+（E-A ）V ，则V=AV+ （E-A ）V 则V=AV +（E-A ）V 。下证A 2=A ，其实A α∈V ，有A 2α-A α=A （A-E ）α∈AV ∩（E-A ）α={0}。因此A 2α=A ，则 A 2=A ，从而A 2=A 。 下面通过三个例题说明幂等矩阵的性质与应用 例1设A 为n ×n 矩阵，且R （A ）=r ，证明：A 2=A 当且仅当A=CB ，其中C 为n ×r 矩阵，秩为r ，B 为r ×n 矩阵，秩也为r ，且有BC=E r 。 证明：必要性：由于A 2=A ，由性质（1）则A 必（下转第13页）6
第三章 矩阵与线性代数计算 MATLAB ，即“矩阵实验室”，它是以矩阵为基本运算单元。因此，本章从最基本的运算单元出发，介绍MATLAB 的命令及其用法。 3.1矩阵的定义 由m×n 个元素a ij (i=1,2,…m;j=1,2,…n)排列成的矩形阵称为一个m 行n 列的矩阵,或m×n 阶矩阵，可以简记为A=(a ij ) m×n ，其中的a ij 叫做矩阵的第i 行第j 列元素。 ???? ??????=m n m m n n a a a a a a a a a A 2 1 222 21 11211 当m=n 时，称A 为n 阶方阵，也叫n 阶矩阵； 当m=1,n ≥2时，即A 中只有一行时，称A 为行矩阵，或行向量（1维数组）； 当m ≥2,n=1时，即A 中只有一列时，称A 为列矩阵，或列向量； 当m=1,n=1时，即A 中只有一个元素时，称A 为标量或数量（0维数组）。 3.2矩阵的生成 1.实数值矩阵输入 MATLAB 的强大功能之一体现在能直接处理向量或矩阵。当然首要任务是输入待处理的向量或矩阵。 不管是任何矩阵（向量），我们可以直接按行方式输入每个元素：同一行中的元素用逗号（，）或者用空格符来分隔，且空格个数不限；不同的行用分号（；）分隔。所有元素处于一方括号（[ ]）内；当矩阵是多维（三维以上），且方括号内的元素是维数较低的矩阵时，会有多重的方括号。如： 【例3－１】矩阵的生成例。 a=[1 2 3;4 5 6;7 8 9] b=[1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9; 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9; 3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9] Null_M = [ ] %生成一个空矩阵
一、投影法的基本性質 在一定的投影條件下,求得空間投影面上的投影的方法,稱為投影法。 投影法分為中心投影法和平行投影法 1.中心投影法 空間形體各頂點引出的投射線都通過投影中心。投射線都相交於一點投影法,稱為中心投影法,所得的投影稱為中心投影。在中心投影法中,將形體平行移動靠近或遠离投影面時,其投影就會變小或變大,且一般不能反映空間形體表面的真實形狀和大小,作圖又比較復雜,所以中心投影法在機械工程中很少采用。 2.平行投影法 將投影中心移至無限遠處時,則投射線成為互相平行。這种投射線互相平行的投影法,稱為平行投影法,所得的投影稱為平行投影。在平行投影法中,投射線相對投影面的方向稱為投影方向。當空間形體平行移動時,其投影的形狀和大小都不會改變。平行投影法按投影方向的不同又分為斜投影法各正投影法 a.斜投影法投影方向傾斜於投影面時稱為斜投影法,由此法所得的投影稱為斜投影。 b.正投影法投影方向垂直於投影面時稱為正投影法,由此法所得的投影稱為正投影。 平行投影的基本性質 (1)同類性
一般情況下,直線的投影仍是直線,平面圖形的投影仍是原圖形的類似形(多邊形的投影仍為同邊數的多邊形)。 (2)真形性 當直線或平面平行於投影面時,其投影反映原線段的實長或平面圖形的真形。(3)積聚性 當直線或平面平行於投影方向時,直線的投影積聚成點,平面的投影積聚成直線。這種性質稱為積聚性,其投影稱為積聚性的投影 (4)從屬性 若點在直線上,則點的投影仍在該直線的投影上。 (5)平行性 若兩直線平行,則其投影仍相互平行。 (6)定比性 直線上兩線段長度之比或兩平行線段長度之比,分別等於其長度之比。 二、軸測投影圖和正投影圖 1.軸測投影圖按平行投影法把空間形體連同確定其空間位置的直角坐標 系一並投影到一個適當位置的投影面上,使其投影能現時反映形體三度 的空間形狀。這種投影法稱為軸測投影法,所得的投影圖稱為軸測投影圖, 簡稱軸測圖。 這种圖有較好的直觀性,容易看懂,但形體表面的形狀在投影圖上變形,致命
投影寻踪方法及应用 内容摘要：本文从投影寻踪的研究背景出发，给出了投影寻踪的定义和投影指标，在此基础上得出了投影寻踪聚类模型，随后简单介绍了遗传算法。最后结合上市公司的股价进行实证分析，并给出结论和建议。 关键词：投影寻踪投影寻踪聚类模型遗传算法 一、简介 （一）产生背景 随着科技的发展，高维数据的统计分析越来越普遍，也越来越重要。多元分析方法是解决高维数据这类问题的有力工具。但传统的多元分析方法是建立在总体服从正态分布这个假定基础之上的。不过实际问题中有许多数据不满足正态假定，需要用稳健的或非参数的方法来解决。但是，当数据的维数很高时，即使用后两种方法也面临以下困难:第一个困难是随着维数增加，计算量迅速增大。第二个困难是对于高维数据，即使样本量很大，仍会存在高维空间中分布稀疏的“维数祸根”。对于核估计，近邻估计之类的非参数法很难使用。第三个困难是对低维稳健性好的统计方法，用到高维时则稳健性变差。 另一方面，传统的数据分析方法的一个共同点是采用“对数据结构或分布特征作某种假定——按照一定准则寻找最优模拟——对建立的模型进行证实”这样一条证实性数据分析思维方法〔简称CDA法）。这种方法的一个弱点是当数据的结构或特征与假定不相符时，模型的拟合和预报的精度均差，尤其对高维非正态、非线性数据分析，很难收到好的效果。其原因是证实性数据分析思维方法过于形式化、数学化，受束缚大。它难以适应千变万化的客观世界，无法真正找到数据的内在规律，远不能满足高维非正态数据分析的需要。针对上述困难，近20年来，国际统计界提出采用“直接从审视数据出发—通过计算机分析模拟数据—设计软件程序检验”这样一条探索性数据分析新方法，而PP就是实现这种新思维的一种行之有效的方法。 （二）发展简史 PP最早由Kruskal于70年初建议和试验。他把高维数据投影到低维空间，通过数值计算得到最优投影，发现数据的聚类结构和解决化石分类问题。1974年Frledman和Tukey加以改正，提出了一种把整体上的散布程度和局部凝聚程度结合起来的新指标进行聚类分析，正式提出了PP概念，并于1976年编制了计算机图像系统PRIM——9。1979年后，Friedman 等人相继提出了PP回归、PP分类和PP密度估计。在这以后Huber等人积极探索了PP的理论。1981年Donoho提出了用Shannan嫡作投影指标比wiggins用标准化峰度更好的方法，接着他又利用PP的基本思想给出了多元位置和散布的一类仿射同变估计。Diaeonis、Friedman和Jones等还讨论了与PP有关的其他理论问题。上述工作和结果在1985年Huber 的综述论文中作了概括和总结。
《线性代数》复习提纲第一部分：基本要求（计算方面） 四阶行列式的计算； N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）； 矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）； 求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程； 含参数的线性方程组解的情况的讨论； 齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）； 讨论一个向量能否用和向量组线性表示； 讨论或证明向量组的相关性； 求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示； 将无关组正交化、单位化； 求方阵的特征值和特征向量； 讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵； 通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化； 写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵； 判定二次型或对称矩阵的正定性。 第二部分：基本知识 一、行列式 1．行列式的定义 用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。 （1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和； （2）展开式共有n!项，其中符号正负各半； 2．行列式的计算 一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则； N阶（n>=3）行列式的计算：降阶法 定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。
方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。 特殊情况 上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积； （2）行列式值为0的几种情况： Ⅰ行列式某行（列）元素全为0； Ⅱ行列式某行（列）的对应元素相同； Ⅲ行列式某行（列）的元素对应成比例； Ⅳ奇数阶的反对称行列式。 二．矩阵 1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）； 2．矩阵的运算 （1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果； （2）关于乘法的几个结论： ①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB＝BA，称A、B是可交换矩阵）； ②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在； ③若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|； ④|kA|=k^n|A| 3．矩阵的秩 （1）定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩； （2）秩的求法一般不用定义求，而用下面结论： 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。 求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。 4．逆矩阵 （1）定义：A、B为n阶方阵，若AB＝BA＝I，称A可逆，B是A的逆矩阵（满足半边也成立）； （2）性质：(AB)^-1=(B^-1)*(A^-1)，(A')^-1=(A^-1)'；(A B的逆矩阵，你懂的)（注意顺序）
幂等矩阵的性质 数学与应用数学专业2009级王素云 摘要:本文对幂等矩阵的一些性质进行归纳总结及推广, 并将幂等矩阵与其他特殊矩阵进行了比较. 给出幂等矩阵的概念. 讨论幂等矩阵的主要性质, 并将其进行推广. 然后研究了幂等矩阵的等价性命题, 以及幂等矩阵的线性组合的相关性质. 再结合对合矩阵和投影矩阵更深入的研究幂等矩阵的性质, 分别讨论了幂等矩阵与对合矩阵, 幂等矩阵与投影矩阵的关系. 关键字: 幂等矩阵; 性质; 对合矩阵; 投影矩阵; 广义逆矩阵 Properties of Idempotent Matrix Suyun Wang, Grade 2009, Mathematics and Applied Mathematics Abstract In this paper, some properties of the idempotent matrix are summarized and extended, and idempotent matrices are compared with other special matrix. The concept of idempotent matrices are given. The main properties of the idempotent matrix are discussed and promoted . Then, the equivalent propositions of idempotent matrix and the nature of the linear combinations of idempotent matrices are studied. The involution matrix and the projection matrix are used to discuss the nature of the idempotent matrices much deeper. The relationship between the idempotent matrix and involution matrix, the idempotent matrix and the projection matrix are discussed. Key Words the idempotent; the nature; involution matrix; the projection matrix; generalized inverse matrix
视锥就是场景中的一个三维空间，它的位置由视口的摄像机来决定。这个空间的形状决定了摄像机空间中的模型将被如何投影到屏幕上。透视投影是最常用的一种投影类型，使用这种投影，会使近处的对象看起来比远处的大一些。对于透视投影，视锥可以被初始化成金字塔形，将摄像机放在顶端。这个金字塔再经过前、后两个剪切面的分割，位于这两个面之间的部分就是视锥。只有位于视锥内的对象才可见。 视锥由凹视野（ 在上图中，变量 投影矩阵是一个典型的缩放和透视矩阵。投影变换将视锥变换成一个直平行六面体的形状。因为视锥的近处比远处小，这样就会对靠近摄像机的对象起到放大的作用，也就将透视应用到了场景当中。 在视锥中，摄像机与空间原点间的距离被定义为变量 视矩阵将摄像机放置在场景的原点。又因为投影矩阵需要将摄像机放在 将两个矩阵相乘，得到下面的矩阵： 下图显示了透视变换如何将一个视锥变换成一个新的坐标空间。注意：锥形体变成了直平行六面体，原点从场景的右上角移到了中心。 在透视变换中，
这个矩阵基于一定的距离（这个距离是从摄像机到邻近的剪切面）对对象进行平移和旋转，但是它没有考虑到视野（ 在这个矩阵中， 在程序中，使用视野角度来定义x和y缩放系数比使用视口的水平和垂直尺寸（在摄像机空间中）并不方便多少。下面两式使用了视口的尺寸，并且与上面的公式相等： 在这些公式中，Zn表示邻近的剪切面的位置，变量Vw和Vh表示视口的高和宽。这两个参数与 D3DVIEWPORT2结构中的dwWidth和dwHeight成员相关。 不管你使用那个公式，将同世界和视变换一样，可以调用下面的 D3DMATRIX ProjectionMatrix(const float near_plane,// distance to near clipping plane const float far_plane,// distance to far clipping plane const float fov_horiz,// horizontal field of view angle, in radians const float fov_vert)// vertical field of view angle, in radians { float h, w, Q; w = (float)cot(fov_horiz*0.5); h = (float)cot(fov_vert*0.5); Q = far_plane/(far_plane - near_plane); D3DMATRIX ret = ZeroMatrix(); ret(0, 0) = w; ret(1, 1) = h; ret(2, 2) = Q; ret(3, 2) = -Q*near_plane; ret(2, 3) = 1; return ret; } // end of ProjectionMatrix()