幂等矩阵的性质
数学与应用数学专业2009级王素云
摘要:本文对幂等矩阵的一些性质进行归纳总结及推广, 并将幂等矩阵与其他特殊矩阵进行了比较. 给出幂等矩阵的概念. 讨论幂等矩阵的主要性质, 并将其进行推广. 然后研究了幂等矩阵的等价性命题, 以及幂等矩阵的线性组合的相关性质. 再结合对合矩阵和投影矩阵更深入的研究幂等矩阵的性质, 分别讨论了幂等矩阵与对合矩阵, 幂等矩阵与投影矩阵的关系.
关键字: 幂等矩阵; 性质; 对合矩阵; 投影矩阵; 广义逆矩阵
Properties of Idempotent Matrix
Suyun Wang, Grade 2009, Mathematics and Applied Mathematics
Abstract In this paper, some properties of the idempotent matrix are summarized and extended, and idempotent matrices are compared with other special matrix. The concept of idempotent matrices are given. The main properties of the idempotent matrix are discussed and promoted . Then, the equivalent propositions of idempotent matrix and the nature of the linear combinations of idempotent matrices are studied. The involution matrix and the projection matrix are used to discuss the nature of the idempotent matrices much deeper. The relationship between the idempotent matrix and involution matrix, the idempotent matrix and the projection matrix are discussed. Key Words the idempotent; the nature; involution matrix; the projection matrix; generalized inverse matrix
1 引言
矩阵理论既是学习经典数学的基础，又是一门最有实用价值的数学理论。幂等矩阵是矩阵中非常特殊的一类矩阵，也是非常重要且非常常见的一类矩阵，很多其他特殊矩阵都与幂等矩阵有着密切的联系，如对合矩阵及投影矩阵。幂等矩阵在数学领域及其他许多领域的应用都非常广泛，幂等矩阵更是矩阵论中的一个基础部分，幂等矩阵在可对角化矩阵的分解中具有重要作用。幂等矩阵在研究广义逆矩阵中占有非常重要的地位。广义逆的思想可追溯到1903年(E.)i.弗雷德霍姆的工作，他讨论了关于积分算子的一种广义逆(他称之为伪逆)。1904年，D.希尔伯特在广义格林函数的讨论中，含蓄地提出了微分算子的广义逆。而任意矩阵的广义逆定义最早是由E.H.穆尔在1920年提出的，他以抽象的形式发表在美国数学会会刊上。当时人们对此似乎很少注意。这一概念在以后30年中没有多大发展。曾远荣在1933年，F.J.默里和J.冯〃诺伊曼在1936年对希尔伯特空间中线性算子的广义逆作过讨论。T.N.E.格雷维尔、C.R.拉奥和其他人也作出了重要的贡献。1955年，彭罗斯证明了存在唯一的+
X满足前述性质①～
=A
④，并以此作为+A的定义。1956年，R.拉多证明了彭罗斯定义的广义逆与穆尔定义的广义逆是等价的，因此通称+A为穆尔-彭罗斯广义逆矩阵。幂等矩阵是国内外学者都非常感兴趣的一类矩阵，如文[1]研究了幂等矩阵的伴随矩阵的幂等性；文[2]研究了幂等矩阵的可对角化性质，证明了幂等矩阵是可对角化的；文[3]研究了幂等矩阵的线性组合的性质等。本文在接下来的章节中，我们将先给出幂等矩阵
的定义及几个简单命题。然后给出幂等矩阵的一系列性质，在前人的基础上进行总结以及推广。再给出幂等矩阵的等价命题，证明了这些命题的等价性，并给出了一些构造幂等矩阵的方法。然后讨论幂等矩阵的线性组合的可逆性，再结合对合矩阵和投影矩阵及幂等矩阵分别于对合矩阵和投影矩阵的关系对幂等矩阵进行深入研究。本文亮点在于用区别于文[1]的方式证明幂等矩阵的伴随矩阵是幂等的；从一个新的角度研究了幂等矩阵的性质：结合对合矩阵及投影矩阵研究幂等矩阵的性质。
2 幂等矩阵的概念
定义2.1]4[ 若n n C A ?∈有性质A A =2, 则称A 为幂等矩阵. 为了更好地了解幂等矩阵, 现在来看以下几个命题:
命题2.1 若n 阶方阵A 是幂等矩阵, 则与A 相似的任意n 阶方阵是幂等矩阵.
证明 设A B ~(即矩阵B 与矩阵A 相似),则B AP P t s C P n n =∈?-?1.,可逆,
且 P A P AP P AP P B 21112---=?=, 又 A A =2, B AP P P A P B ===∴--1212. B ∴是幂等矩阵.
命题2.1也可以表述为: 若A 是幂等矩阵, 则对于任意可逆阵T ,
AT T 1-也为幂等矩阵.
命题2.2 若n 阶方阵A 是幂等矩阵, 则A 的转臵T A , A 的伴随矩阵*A 及A E -都是幂等矩阵.
证明 ()()T T
T A A A ==22
, 即T A 为幂等矩阵;
对*A , 先证明对任意两个幂等矩阵B A 、, 有关系式()***A B AB =. 由binet Cauchy -公式有:
()()=j i AB ,*矩阵AB 的第i 行第j 列的代数余子式
(){}{}()
()
{}{}()
{}{}(){}{}().
,,1,1,,2,1,,,1,1,,2,1,,1,1,,2,1,,,1,1,,2,11,,1,1,,2,1,,,1,1,,2,11,**1
1
1
j i jk n
k ki ki n
k jk n
k j
i j
i A B A B B A n i i n k k B n k k n j j A n i i n j j AB ===+-+-?+-+--=+-+--=∑∑∑===++
所以, ()()()2
****
*
2*A A A AA A A ====;
对A E -, 有 ()A E A A E A A E A E -=+-=+-=-22222. 命题2.3 若A 是幂等矩阵, A 的k 次幂仍是幂等矩阵. 证明 可用数学归纳法证明. 当1=k 时, 显然成立.
假设当n k =时, 命题成立, 现考虑1+n 情形:
()
122222
1
+++=?=?==n n n n n A A A A A A A
.
即当1+=n k 时命题仍成立, 由数学归纳法知, 对任意N k ∈命题都成立.
3 幂等矩阵的性质
3.1 幂等矩阵的主要性质
性质3.1.1 0矩阵和单位矩阵E 都是幂等矩阵. 由0和E 的定义可知命题成立.
性质3.1.2 幂等矩阵A 满足: ()()0=-=-A A E A E A . 证明 ()02=-=-=-A A A A A E A . ()02=-=-=-A A A A A A E .
性质3.1.3 若矩阵B A ,均为幂等矩阵, 且BA AB =, 则AB 与T T B A 也是幂等矩阵.
证明 ()AB B A B AB A B BA A AB AB AB ==??=??=?=222. 同理, T T B A 也是幂等矩阵. 性质3.1.4 若幂等矩阵A 可逆, 则E A =. 证明 E A A A A A A A =?=?=∴=--1212, . 性质3.1.5 幂等矩阵的特征值只能为0或1.
证明 设A 是幂等矩阵, 即A A =2, 再设A 的特征值为λ, 则λλ=2(由特征值的性质), 故10或=λ.
由这个性质可以知道幂等矩阵是半正定矩阵. 性质3.1.6 幂等矩阵可对角化.
证明 设A 是幂等矩阵, λm 为A 的最小多项式, 由性质3.1.5知: λλ=m 或1-λ或()1-λλ, 最小多项式是互素的一次因式的乘积, 从而A 可对角化.
性质3.1.7 若A 是幂等矩阵, 则()1,0≠∈?a R a , aE A +是可逆矩阵. 证明 A A =2 , ()()[]()()E a a E a a A A E a A aE A 1112+-=+--=+-+∴.
又1,0≠a , ()()()[]E E a A a a aE A =?
?????+-+-+∴111
.
故aE A +可逆, 且()()
()[]E a A a a aE A 111
1+-+-=
+-.
性质3.1.8 幂等矩阵的迹等于幂等矩阵的秩, 即()()A rank A tr =. 证明 设()X r A rank ,,λ=分别为A 的特征值及其相应的特征向量, 于是有: X AX X A AX X 22λλλ====, 从而有()01=-λλ. 由此可推得结果. 性质3.1.9 若A 满足()n r r E A A =+-, 则A 是幂等矩阵.
证明 设0=Ax 的基础解系为r ξξξ,,,21 (其实它们都是特征值0的特征向量), 再设()0=-x E A 的基础解系为t r r r +++ξξξ,,,21 (它们都是特征值为1的特征向量), 且n t r =+, 设矩阵(可逆)()n r r T ξξξξξ,,,,,,121 +=满足B E AT T t =???
?
??=-0001, 而B 是幂等矩阵, 故1
-=TBT A 也是幂等矩阵. 例3.1.1 设B A 、都是幂等矩阵, 且BA AB =, 证明: AB B A -+是幂等矩阵.
证明 由题意可知B B A A ==22,, 且BA AB =, 于是:
()()2
222AB ABB ABA BAB B BA AAB AB A AB B A +---++-+=-+
ABAB AB ABA BAB B BA AB AB A +---++-+= AB AB AB BA B BA A +---++= AB B A -+=.
例3.1.2 设B A ，
为n 阶幂等矩阵, 且BA AB =, ()0,≠∈?ab R b a . 证明 (1) 若()E bB aA =+2
则0==BA AB 或1±=+b a .
(2) 若()E bB aA =-2
则0==BA AB 或1±=-b a .
证明 (1) ()E bB aA =+2
, 由题设知BA AB B B A A ===,,22, 则有
()B b a b A B A a B b a b B A a b A B A a bB aA 22222
22
2++=++
+=+. 对上式两边同乘于B A ，
得: AB AB b abAB AB a =++222.
移项得 ()()[]
01122
22=-+=-++AB b a AB b ab a .
从而有()012
==+AB b a 或, 即0==BA AB 或1±=-b a .
同理可证( 2).
例3.1.3 设A 是n 阶实对称阵, 且A A =2, 证明: ?正交矩阵T ,
??
??
??=-00
0.1
r
E AT T t s . 证明 设ξ是属于λ的特征向量, 那么λξξ=A ,()ξλξλλξξ22===A A A 又A A =2,λξξ=2A , 从而()02=-ξλλ,但0≠λ, 10,2或故==∴λλλ. (由幂等矩阵的性质也可以得知), 故A 的特征值不是0就是1.
故??
?
?
??=?-00
0.,1
r
E AT T t s T 正交矩阵(T 可由特征向量构造, 将A 转化为标准型即为所求). 3.2 幂等矩阵的等价命题
幂等矩阵的等价命题在实数域内与复数域内基本是一致的, 故在此只考虑幂等矩阵在实数域内的等价命题. 定理3.2.1 以下命题等价:
(i) A A =2; (ii) ()*2
*A A =, ()T T A A =2
;
(iii) ()A E A E -=-2; (iv) ()A Im x x Ax ∈?=;
(v) ()()A E Im A Ker -=, ()()A E Ker A Im -=; (vi) ()(){}0A E Im A Im =-?, ()(){}0A E Ker A Ker =-?; (vii) ()()n R A E Im A Im =-⊕, ()()n R A E Ker A Ker =-⊕; (viii) ()n A E rank rankA =-+;
(ix) ?非奇异矩阵()0≠P P , 1
00
0.-??
??
??=P I P A t s r
, 其中rankA r =. 证明 (i)、(ii)、(iii)的等价性是易证的.
(i)?(iv) A A =2 , 由性质5知, A 的特征值只能为0或1, 即()A Im 为A 对应特征值1的特征子空间. ()A Im x x Ax ∈?=∴. (i)?(v) “?” ()02=-∴=A E A A A . 故A E -的列向量都满足0=Ax . 从而()()A Ker A E Im ?-,又()A Ker α∈?, 有:
()()()A E Im A E A E A A -∈?-=-+?=ααααα0.
由α的任意性可知()()A Ker A E Imf ?-. 综上, ()()A Ker A E Im =-.
“?” 对n R ∈?α有()()()A Ker A E Im αA E =-∈-,即()()A Ker A E ∈-α. 于是有
()[]()
002=-?=-ααA A A E A .
由α的任意性得A A A A ==-220，即. 同理可证?=A A 2()()A E Ker A Im -=.
(i)?(vi) 若()()A E Im A Im x -?∈, 即()z A E Ay x -==对某两个z y 、成立, 则()02=-==z A E A y A x , 故()(){}0A E Im A Im =-?. 同理可证后面一个式子. 从而(iv)成立. 反之, 若(vi)成立, 则对任一x , 有
()x A E Ax x -+=是x 的唯一分解.
但又有唯一分解()x A E x A x 22-+=,
又()()()A E Im x A E ，
A Im x A 22-∈-∈. 于是对任何x 成立着x A Ax 2=, 从而A A =2. (vi)?(vii) 注意到()x A E Ax x -+=对任何x 成立,
故总有()()n R A E Im A Im =-⊕, 故(vi)与(vii)等价. (vii)?(viii)()()n R A E Im A Im =-⊕总是成立的. 由维数公式知
()[]()[]()n A E A A E A A E A =-+=-?+-+dim dim dim dim . 由性质3.1.8可知, 若A A =2, 则trA r A =. 另外, 利用矩阵的满秩分解,
我们可以具体的找出(ix)中的变换阵()0≠P P . 设11Q P A =,22Q P A E =-均为满秩分解, 则有[]E Q Q P P =??
?
?
??2121,, 且[]?????
?2
121,Q Q P P ，均为方阵. 从而[]E Q Q P P =??
???
?2
1
21,.
由此可知r E P Q =11, 021=P Q , 012=P Q , r n E P Q -=22. 于是可证明[]??
?
???=??
??
??000,2121r
E P P A Q Q .
从此式还可以看出, 1P 与2P 的列向量分别是A 的属于特征值1与0的特征向量. 最后,矩阵的满秩分解可用来判定幂等性: 若21A A A =是满秩分解, 则A A =2当且仅当E A A =12. 另一方面, 常用此特殊性来构造幂等矩阵. 下面给出几个构造幂等矩阵的定理:
定理3.2.2]5[ 设非零列向量()T
n αααα，，
， 21=, 则n 阶矩阵T E A αα-=为幂等矩阵?122221=+++=n T ααααα .
证明 “?” A A =2 , ()()T T T E E E αααααα-=--∴, 即
()
T T T T E E αααααααα-=+-2,
从而()01=-T T αααα, 因为α, 0≠T α,
因此, 12
2221=+++=n T ααααα . “?” 12
2
22
1=+++=n T
ααααα ,
()A E E A T T T T =-=+-=∴αααααααα22.
推论3.2.1 令T E A αα-=, 其中: ()T
n αααα，，
， 21=为非零列向量. 若122221=+++=n T ααααα , 则n 阶方阵A 不可逆.
证明 设A 可逆, 则由幂等矩阵的性质可知E A =,
当122221=+++n ααα 时, 由定理3.2.2可知A 为幂等矩阵, 即A A =2,但T E A αα-=, 所以T E E αα-=, 得0=T αα, 与122221=+++n ααα 矛盾, 所以A 不可逆. 定理3.2.3]6[ 若A 和B 是同阶幂等矩阵, 则
B A +为幂等矩阵?0=+BA AB .
证明 ()BA AB B A B BA AB A B A +++=+++=+222
,
0=+?+∴BA AB B A 为幂等矩阵.
定理3.2.4 若A 和B 是同阶幂等矩阵, 且BA AB =,则AB 为幂等矩阵.
证明 由题意可得 ()AB AABB ABAB AB ===2
, 即AB 为幂等矩阵.
定理3.2.5 若A 为幂等矩阵, 且E A ≠, 则A 不可逆.
证明 设A A =2,则有()0=-E A A . 若A 可逆, 则1-?A ,t s .E A A AA ==--11 在()0=-E A A 的两边同时乘以1-A , 得0=-E A ,即E A =. 矛盾, 故A 不可逆.
定理3.2.6 若A 是幂等矩阵, 且E A ≠, 则矩阵方程0=Ax 有非零解. 证明 由定理3.2.5可知, A 不可逆, 即0=A . 故矩阵方程0=Ax 有非零解. 定理3.2.7 若A 和B 是同阶幂等矩阵, 则
B A -是幂等矩阵?B BA AB ==.
证明 “?” B A - 是幂等矩阵,
()BA AB B A B BA AB A B A B A --+=+--=-=-∴222, 将BA AB B +=2两边分别左乘和右乘B 得: BBA BAB B +=22, 即BA BAB B +=2. (3.2.1) BAB AB B +=222, 即BAB AB B +=2. (3.2.2) 两式相减可得BA AB =, 从而B BA AB ==. “?” ()B A B B B A B BA AB A B A -=+--=+--=-222. 3.3幂等矩阵线性组合的可逆性
在本节中, 我们讨论两幂等矩阵线性组合bB aA P +=的可逆性. 引理3.3.1]7[ 设矩阵A 是n n ?阶方阵, 则A 可逆(){}0=?A Ker .
定理 3.3.1]8[ 设矩阵B A ,均是幂等矩阵, 即B B A A ==22,. 若存在两个非零复数b a ,, 且0≠+b a 使得bB aA +可逆, 则对所有的复数d c ,, 满足0≠+d c , 则线性组合dB cA +都是可逆的. 证明 设0,0,0,≠+≠≠∈d c d c C d c 且，. 对 ()dB cA Ker x +∈?, 有()0=+x dB cA .
于是 d B x c A x
-=. (3.3.1) 将上式两边依次左乘B A ,, 可得:
dBx cBAx dABx cAx -=-=,. (3.3.2) 由(3.3.1)、(3.3.2)可得
BAx Ax ABx Bx ==,. (3.3.3) 又()22222B b abBA abAB A a bB aA +++=+,
()Bx b abBAx abABx Ax a x bB aA 222
+++=+∴.
将BAx Ax ABx Bx ==,代入上式可得 ()Bx b abBAx abABx Ax a x bB aA 222+++=+∴ ()()()()x bB aA b a Bx b a b Ax b a a ++=+++=. 由于bB aA +可逆,将上式两边同时左乘()1
-+bB aA 得
()()bBx aAx x bB aA x b a +=+=+. (3.3.4) 再左乘A 得:
bABx aAx bBx aAx +=+. 即ABx Ax =. 代入dABx cAx -=可得 ()aABx Ax Ax d c ==?=+00.
注意到(3.3.3)式有0=Bx , 因此由(3.3.4)式可得
()00,
0=?≠+=+x b a x b a 但.
因此(){}0=+dB cA Ker . 由引理1知dB cA +是可逆的. 在定理3.3.1中令1==d c , 立即可以得到:
推论3.3.1设矩阵B A ,均是幂等矩阵, 即B B A A ==22,. 若B A +可逆, 则C b a ∈?,, 满足0≠+b a , 线性组合bB aA +都是可逆的. 定理3.3.2设矩阵B A ,均是幂等矩阵, C b a ∈?,, 下列命题等价: ⑴ B A -可逆.
⑵bB aA +及AB E -是可逆的. 证明 (1)?(2) 对()bB aA Ker x +∈?
由定理1的证明过程知BAx Ax ABx Bx ==,.
从而()()022222
=+--=+--=-x B BAx ABx x A x B BA AB A x B A
又 B A -可逆, 所以0=x . 即(){}0=+bB aA Ker . 由引理3.3.1知 bB aA +可逆. 同样地, 对 ()bB aA Ker x +∈?()ABx x x AB E =?=-?0. 两边同时左乘A , 得
Bx BAx x ABx Ax =?==.
所以 ()02
=+--=-Bx BAx ABx Ax x B A .
又 B A -可逆, 所以0=x . 所以(){}0=-AB E Ker .
由引理3.3.1知E AB -可逆.
(2)?(1) 对()B A Ker x -∈?, 有()Bx Ax x B A ==-即,0 从而有 Bx BAx ABx Ax ==,.
所以 ()()()x b B A B a A B
bB aA x AB E bB aA +-+=-+ 0=-=bBAx bBx .
0=?x .
又bB aA +及AB E -是可逆的. 知(){}0=-B A Ker . 由引理3.3.1知B A -可逆. 定理证毕. 在定理3.3.2中令1==b a , 立即可以得到:
推论3.3.2设矩阵B A ,均是幂等矩阵, 下列两个命题等价: ⑴ B A -可逆.
⑵ B A +及AB E -可逆.
4 幂等矩阵与其他矩阵的关系
4.1幂等矩阵与对合矩阵 4.1.1对合矩阵
定义4.1.1.1 若矩阵A 满足()为单位矩阵E E A =2, 则称A 为对合矩阵. 对合矩阵和幂等矩阵是密切相关的, 它们的性质也非常相似, 这里就不在一一举出了, 先举出几个主要性质并进行证明:
性质4.1.1.1 若A 是对合矩阵, 则()()n r r E A E A =+-+, 反之, 也成立. 证明 由A 是对合矩阵可知E A =2, 故
()()002
222=-+?=-?=E A E A E A E A .
由秩的性质可知()()n r r E A E A ≤+-+. 又()()E A E A E 2=-++, ()()n r r E A E A ≥+∴-+. 综上 ()()n r r E A E A =+-+.
反过来, 即可证明当()()n r r E A E A =+-+时, A 是对合矩阵. 性质4.1.1.2 对合矩阵的特征值为1或-1.
证明 类似于幂等矩阵, 设λ为对合矩阵A 的特征值, 由于A 满足E A =2, 故λ满足1112-=?=或λλ. 性质4.1.1.3 A 是对合矩阵, 则A 一定与对角矩阵相似. 证明 当E A ±=时, A 本身已经是对角矩阵.
当E A ±≠时,A 的特征值为1或-1. A 的属于1的特征子空间的维数等于齐次线性方程组()0=-x A E 的解空间的维数()A E r n --; A 的属于-1的特征子空间的维数等于齐次线性方程组()0=--x A E 的解空间的维数()A E r n +-, 由性质4.1.1.1得
()[]()[]()()[]n n n r r n r n r n A E A E A E A E =-=+-=-+-+-+-22. 因此A 可以对角化. 设()A E r t +=, 由性质4.1.1得()r r n A E =--. 因此A 的相似标准型为????
??--r n r E E 0
. 4.1.2 幂等矩阵与对合矩阵的关系
命题4.1.2.1 设A 是n 阶矩阵, 则以下两个命题等价: （1）若()n r r E A A =+-, 则A 是幂等矩阵; （2）若()()n r r E A E A =+-+, 则A 是对合矩阵. 证明 (1)?(2) ()()n r r E A E A =+-+,
()()n r r E A E A =+∴-+2
12
1可变形为()
()()
n r r E E A E A =+--+2
1
2
1
.
由(1)有()E A B +=2
1
是幂等矩阵, 而E A B B =?=22, 即A 是对合矩阵. 同理可证 (2)?(1). 原命题得证.
命题4.1.2.2 矩阵A 和B 都是对合矩阵, 则()()B E A E +-2
1,21
幂等矩阵.
证明 ()()
()()A E E A E A A E A E -=+-=+-=??
????-2124124121222
. ()()
()()B E E B E B B E B E +=++=++=??
????+2124124121222
. 即()()B E A E +-2
1,21都是幂等矩阵, 原命题得证. 定理4.1.2.1]9[ 方阵A 为幂等矩阵?方阵E A -2为对合矩阵. 证明 “?” ()E E A A E A A E A =+-=+-=-44442222. 即E A -2都是对合矩阵, 原命题得证.
“?” E A -2 是对合矩阵, ()222442E A A E E A +-==-∴. A A =?2, 即A 是幂等矩阵. 4.2 幂等矩阵与投影矩阵 4.2.1 投影矩阵
投影矩阵是研究广义逆矩阵和最小二乘问题的重要方法与手段. 定义4.2.1.1]10[ 设矩阵n m A ?, 任意m n ?矩阵X , 若满足: (1) A AXA =; (2) X XAX =; (3) ()AX AX =*; (4) ()XA XA =*
中的一个或者几个条件, 都称为A 的广义逆矩阵. 上面四个方程称为Moore-Penrose 方程.
向量空间n C 可以分解成子空间L 与M 的直和, 即M L C n ⊕=, 则
n C 中任意的向量x 可以唯一的分解成z y x +=, 其中M z L y ∈∈,, 则称
y 为向量x 沿着M 到L 的投影, 而称n C 中满足()y x P M L =,的变换M L P ,为
沿着M 到L 的投影算子或投影变换. 投影算子M L P ,在n C 的基n
e e e ,,,21
下的矩阵称为投影矩阵, 记为M L P ,. 投影矩阵与幂等矩阵是一一对应的.投影矩阵的种类有很多, 在文[4]中有细致的讨论, 如斜投影矩阵, 正交投影矩阵, 加权正交投影矩阵等, 我们在这里只讨论特殊的正交投影矩阵与幂等矩阵的关系. 4.2.2幂等矩阵与正交投影矩阵的关系 引理4.2.2.1]10[ 对任意矩阵A 有:
（1）()**A A A A -
与广义逆矩阵()-
A A *的选择无关;
（2）()A A A A A A =-
**
, ()****A A A A A A =-
.
证明 (1) 因为()()A A Im A Im **=, 故存在矩阵X , AX A A t s **.=,
于是()()AX A X AX A A A A A X A A A A ********==-
-
右端与()-
A A *选择无关.
(2) 记()A A A A A A D -=-
**, 可直接证明0*=D D , 于是0=D .
类似的, 可以证明第二式.
定理4.2.2.1]10[设A 为任一矩阵, 记A P 为向ImA 的正交投影阵, 则
()
*_
*A A A A P A =.
证明 由以上引理4.2.2.1可知, A P 所含的广义逆()_
*A A 的选择无关.
设B 为一满足()()⊥=A Im B Im 的矩阵, 则对任意向量n C x ∈, 有分解式21Bt At x +=这里21t t 和为两个适当维数的向量. 依A P 的定义我们有
121At Bt P At P x P A A A =+=, 对一切21,t t 成立.
这说明A P 满足矩阵方程??
?==)
2.2.2.4(.
0)1.2.2.4(.
B P A A P A A
由(4.2.2.2)知()()()A Im B Im P Im *A =?⊥.
于是AX P t s X A =?*
.，矩阵. (4.2.2.3)
代入(4.2.2.1)得A A A X =**,
即()**A X A A =. (4.2.2.4) 显然, 此矩阵方程是相容的.
再由相容性定理]10[可知(4.2.2.4)的解为()*_
*A A A X =,
代入(4.2.2.3)即可得()*_
*A A A A P A =, 定理得证.
定理4.2.2.2 设21P P 、为两个正交投影阵, 则 （1）21P P P +=为正交投影阵02221==?P P P P ;
（2）当01221==P P P P 时, 21P P P +=为向()()21P Im P Im ⊕上的正交投影. 证明 (1) 充分性显然.
现证必要性: 设P 是一个正交投影阵, 于是P P =2, 01221=+?P P P P . (4.2.2.5) 用1P 分别左乘和右乘(4.2.2.5), 有:
012121=+P P P P P . (4.2.2.6) 012112=+P P P P P . (4.2.2.7) (4.2.2.6)+(4.2.2.7)得: 0121=P P P .
再由(4.2.2.6)和(4.2.2.7)可得 01221==P P P P . (2) 我们只需证()()()21P Im P Im P Im ⊕= 对()Px y t s C x P Im y n =∈?∈?.,,, 于是
2121y y x P x P Px y +=+== ()()2,1,=∈=i P Im x P y i i i 从021=P P 可以推出21y y ⊥, 证毕. 定理4.2.2.3 设21P P 、为两个正交投影阵, 则 （1）21P P P =为正交投影阵1221P P P P =?;
（2）当1221P P P P =时, 21P P P =为向()()21P Im P Im ⊕上的正交投影. 定理4.2.2.4 设21P P 、为两个正交投影阵, 则 （1）21P P P -=为正交投影阵21221P P P P P ==?;
（2）当21P P P -=为正交投影阵时, P 为向()()⊥⊕21P Im P Im 上的正交投影.
投影矩阵与幂等矩阵是一一对应的, 这两个定理的证明类似于幂等矩阵的有关性质的证明, 此处略去.
结束语
本文采用了直接证明的方式证明了幂等矩阵的伴随矩阵是幂等的. 采用数学归纳法证明了若A 是幂等矩阵, 则A 的k 次幂仍是幂等矩阵. 但在本文中只讨论了实数域内的幂等矩阵的等价命题, 还可以推广到复数域; 且仅讨论了2次幂等矩阵, 推广到k 次会有更多更好的结果.
毕业设计的基本内容和要求
毕业设计开题报告的基本内容和要求 开题报告的基本内容要求紧扣毕业设计任务书，毕业论文开题报告的结构包括： 1、课题的背景及意义 2、课题的主要设计技术参数或研究工作要达到的目标 3、课题研究的主要内容 3.1 课题设计(或研究) 的基本原理及技术方案 3.2 课题的可行性分析 3.3 课题主要解决的技术关键问题及创新点 3.4 课题研究工作的技术路线 4、课题计划进度 5、主要参考文献，要求所有的参考文献被开题报告引用，并在引用处用右上角 标出。 开题报告的字数不得少于4000字。 一、文献综述的基本内容要求 毕业论文文献综述的基本内容要求： 1、课题的背景及意义。 2、本课题相关技术的国内外发展概况。 3、本课题的主要技术关键点的比较分析和实现方法。 4、结论。 5、参考文献，要求所有的参考文献被文献综述报告引用，并在引用处用右上角标出。 要求查阅与毕业论文（设计）相关的文献8—10篇以上（其中外文文献不少于2篇），文献综述的字数不得少于4000字 包含以下四部分：即前言、主题、总结和参考文献。撰写文献综述时可按这四部分拟写提纲，再根据提纲进行撰写工作。 前言部分，主要是说明写作的目的，介绍有关的概念及定义以及综述的范围，扼要说明有关主题的现状或争论焦点，使读者对全文要叙述的问题有一个初步的轮廓。 主题部分，将所查询到的文献资料归纳、整理及分析比较，阐明有关主题的历史背景、现状和发展方向，以及对这些问题的评述。主题部分应特别注意代表性
强、具有科学性和创造性的文献引用和评述。 总结部分，将全文主题进行扼要总结，提出自己的见解并对进一步的发展方向做出预测。 参考文献，它不仅表示对被引用文献作者的尊重及引用文献的依据，而且也为评审者审查提供查找线索，参考文献的编排应条目清楚，查找方便，内容准确无误。 二、外文翻译的基本要求 1、外文翻译的原文尽可能与所做课题紧密联系，避免翻译资料选取的随意性。 2、由于外文学术论文通常篇幅较大，学生可在教师指导下截取论文的部分核心内容进行翻译，要求翻译的原文内容大于15,000字符，翻译后的中文大于3000字。 3、外文原文要求以原始形式递交，原则上不得自行重新编辑。 4、外文翻译要求准确反映原文，语句通顺，符合中文表达方式。 5、毕业设计（论文）要求有两篇译文，并要求原文必须作为毕业设计文献综述和毕业设计（论文）的参考文献。 三、毕业设计（论文）设计说明书基本要求 机械工程及自动化专业本科毕业设计（论文）要求如下： ①设计（论文）内容的科学性。设计（论文）方案需以科学理论为指导，以科学实验、工程实践和工程计算为依据。设计（论文）内容科学准确，符合开题报告中的技术要求。 ②设计（论文）思想的先进性。设计（论文）应以继承与创新有机结合为主线，体现探索与创新的特征。 ③设计（论文）表述的规范性。设计（论文）应符合国家标准及各种技术规范。 ④设计（论文）的最优化。实现设计目标是有约束条件的。设计中应采用科学方法，综合研究各种条件，实现最佳技术方案。 ⑤设计结果的实用性。设计应与生产和科研实践相结合，其成果能为生产和科研所采用。 机械工程及自动化专业毕业设计（论文）说明书主体应包括如下内容： 1、引言。说明课题的目的、意义、范围及应达到技术要求。简述课题在国内外发展概况及存在问题，阐述应解决的主要问题。
本文给出了职业技术学院物联网专业毕业设计论文的写作规和排版格式要求。文中格式可作为编排论文的格式模板，供学生参考使用。 摘要容说明： 论文摘要是论文的缩影，文字要简练、明确。容要包括目的、方法、结果和结论。摘要的编写应遵循下列原则：1）摘要应具有独立性和自含性，即不阅读论文的全文，就能获得必要的信息。摘要是论文的缩影，是论文的主要容、见解、结论简短明了的缩写。2）摘要中要有数据、有结论，是一片完整的短文，可以独立使用，可以引用。3）摘要容应尽可能包括原论文的主要信息，供读者确定有无必要阅读全文，也供文摘汇编等二次文献采用。4）要用文字表达，不要附图和照片，除了实在无变通办法可用以外，摘要中不用图、表、化学结构式、非公知公用的符号和术语，不要使用表格、公式、上下标以及其他特殊符号，单位制一律换算成国际标准计量单位制，除特别情况外，数字一律用阿拉伯数码。 摘要格式说明： 标题“摘要”手动设置成字体：黑体，居中，小三号，段后6磅，段前0磅。 摘要容：宋体，小四号，1.5倍行距。每段落首行缩进2个汉字；两端分散对齐。 篇幅以一页为限，字数为600字左右。一般不超过1000字。 摘要正文后，列出3-5个关键词。关键词请尽量用《汉语主题词表》等词表提供的规词。 关键词与摘要之间空一行。关键词间用逗号间隔，末尾不加标点，3-5个，黑体，小四，加粗。 关键词：写作规，排版格式，毕业论文
目录 1.2 论文页眉页脚的编排 (3) 1.3 论文正文格式 (4) 1.4 章节标题格式 (4) 1.5 各章之间的分隔符设置 (4) 1.6 正文中的编号 (5) 2 图表及公式的格式说明 (6) 2.1 图的格式说明 (6) 2.1.1 图的格式示例 (6) 2.1.2 图的格式描述 (6) 2.2 表的格式说明 (7) 2.2.1 表的格式示例 (7) 2.2.2 表的格式描述 (8) 2.3 公式的格式说明 (9) 2.3.1 公式的格式示例 (9) 2.3.2 公式的格式描述 (9) 2.4 参考文献的格式说明 (9) 2.4.1 参考文献在正文中引用的示例 (9) 2.4.2 参考文献在正文中引用的书写格式 (9) 2.4.3 参考文献的书写格式 (10) 2.4.4 参考文献的书写格式示例 (10) 2.5 量和单位的使用 (10) 2.5.1 使用方法 (10) 2.5.2 中华人民国法定计量单位 (10) 2.6 规表达注意事项 (13) 2.6.1 名词术语 (13) 2.6.2 数字 (13) 2.6.3 外文字母 (13) 2.6.4 量和单位 (14) 2.6.5 标点符号 (14) 3 打印说明 (15)
广告正文写作要求 广告正文写作时基本要求 1．陈述清楚具体的内容 广告正文须清晰地表明广告的诉求对象和诉求内容。向受众提供完整而具体的广告信息。大卫·奥格威称为“不要旁敲侧击——要直截了当”。一般情况下，广告正文的长短与推销力量成一种正比例关系。长文广告总是比短文广告更具推销力量，而短广告的效果往往就比较差。2．采用通俗易懂的语言构思文句 除非特殊的情况，在广告正文中一般不使用过于严肃、庄重的语辞和文句。 3．要以有效的证据和可信的证言支持文案 在广告文案的正文中，出现确切的资料、数据十分必要，也十分有用。如果情况允许的话，出现消费者的现身说法或名人、权威的证言支持，往往会产生良好的效果。
在广告正文的写作上必须着眼于两个最基本的方面：一是围绕广告商品的内容、名称、规格、性能、价格、质量、特点、功效和销售地址等进行符合客观事实的构思，加大说服性和情感性；二是掌握和洞悉消费者心理需求，了解市场态势，以重点突出、简明易懂、生动有趣、具有号召力的语言进行传播。 广告正文的常见形式 (1)直销型。这种类型又叫解释性正文或为什么型正文，是由克劳德·霍普金斯在20世纪初首创并推广的。 大卫·奥格威在他的广告生涯中始终忠实地采用直销式，在广告正文中最大程度地告知受众广告主题和广告商品信息。如他为劳斯一莱斯汽车所写的文案即为一典型直销式广告正文。 标题：“当这辆新型的?劳斯一莱斯?以时速60英里行驶时，最大噪音发自车内的电子钟” 次标题： “什么原因使得?劳斯莱斯?成为世界上最好的车子?”
一位知名的?劳斯莱斯?工程师说：“说穿了，根本没有什么真正的戏法——这仅不过是耐心的注意到细节。” 1．行车技术主编报告：“在时速60英里时，最大闹声是来自电子钟。引擎是出奇的寂静。三个消音装置把声音的频率在听觉上拔掉。”2．每个“劳斯莱斯”的引擎在安装前都先以最大气门开足7小时，而每辆车子都在各种不同的路面试车数百英里。 3．“劳斯莱斯”是为车主自己驾驶而设计的，它比国内制最大型车小l 8英寸。 4．本车有机动方向盘、机动刹车及自动排挡，极易驾驶与停车，不需司机。 5．除驾驶速度计之外，在车身与车盘之间，互相无金属之衔接。整个车身都加以封闭绝缘。 6．完成的车子要在最后测验室经过一个星期的精密调整。在这里分别受到98种严酷的考验。例如：工程师们使用听诊器来注意听轮轴所发的低弱声音。
英语专业毕业论文摘要 和目录另有正文部分 Document number【980KGB-6898YT-769T8CB-246UT-18GG08】
A b s t r a c t: The feature of Hardy`s style is about the description of nature in Hardy`s Wessex novel. The description of Nature not only as a setting, but also a vital part of Hardy`s novels. He pays attention to the interrelations between human, Nature and society. Nature in his novels is personated and melted with the characters together. Hardy believed firmly that man was part of Nature, a guardian of Nature and should always remain true to their closeness with Nature. In all Hardy`s Wessex novels, the characters, who can live in harmony with Nature all deserve a good ending, while those who cannot are by all means go ruining. The conflict between man’s aspirations and his environment is the central unifying force of Hardy`s tragic novels. It stresses that human should live in harmony with Nature. Key Words: Hardy、Nature、Wessex people、fate、harmony
克拉玛依职业技术学院 毕业设计 题目 专业 班级 学号 学生姓名 指导教师
摘要 摘要部分说明： “摘要”是摘要部分的标题，不可省略。 标题“摘要”选用模板中的样式所定义的“摘要”；或者手动设置成字体：黑体，居中；字号：小三；1.5倍行距，段前为0行，段后1行。 设计摘要是设计的缩影，文字要简练、明确。内容要包括目的、方法、结果和结论。单位制一律换算成国际标准计量单位制，除特殊情况外，数字一律用阿拉伯数码。文中不允许出现插图，重要的表格可以写入。 摘要正文选用模板中的样式所定义的“正文”，每段落首行缩进2个汉字；或者手动设置成每段落首行缩进2个汉字，字体：宋体，字号：小四，行距：多倍行距 1.25，间距：前段、后段均为0行，取消网格对齐选项。 篇幅以一页为限，摘要正文后列出3－5个关键词，关键词与摘要之间空一行。 “关键词：”是关键词部分的引导，不可省略，黑体，小四。 关键词请尽量用《汉语主题词表》等词表提供的规范词。关键词之间用分号间隔，末尾不加标点。
1 正文格式说明 (1) 1.1 设计格式基本要求 (2) 1.2 设计页眉页脚的编排 (2) 1.3 设计正文格式 (2) 1.4 章节标题格式 (3) 1.5 各章之间的分隔符设置 (3) 1.6 正文中的编号 (3) 2 图表及公式的格式说明 (5) 2.1 图的格式说明 (5) 2.1.1 图的格式示例 (5) 2.1.2 图的格式描述 (5) 2.2 表的格式说明 (6) 2.2.1 表的格式示例 (6) 2.2.2 表的格式描述 (7) 2.3 公式的格式说明 (7) 2.3.1 公式的格式示例 (7) 2.3.2 公式的格式描述 (8) 2.4 参考文献的格式说明 (8) 2.4.1 参考文献在正文中引用的示例 (8) 2.4.2 参考文献在正文中引用的书写格式 (8) 2.4.3 参考文献的书写格式 (8) 2.4.4 参考文献的书写格式示例 (9) 2.5 量和单位的使用 (9) 2.5.1 使用方法 (9) 2.5.2 中华人民共和国法定计量单位 (9) 2.6 规范表达注意事项 (11) 2.6.1 名词术语 (11) 2.6.2 数字 (11) 2.6.3 外文字母 (12) 2.6.4 量和单位 (12) 2.6.5 标点符号 (12) 3 打印说明 (13)
毕业论文的写作要求和写作方法 一、毕业论文撰写的基本要求 (1) 二、毕业论文写作的前期准备工作 (1) 三、毕业论文的写作方法 (2) 毕业论文是毕业生对某一专业领域的现实问题或理论问题进行科学研究探索的具有一 定意义的论说文。 目的：培养学生综合运用所学知识解决实际问题的能力；培养学生勇于探索的创新精 神，严肃认真的科学态度和严谨求实的工作作风。也是本科学生毕业及学位资格认证的重 要依据。 要求：通过毕业论文的写作,要求学生初步掌握科学研究的基本方法,具体是: 1. 对资料、信息的获取及独立分析的能力。 2. 综合运用所学知识和技能, 解决实际问题的能力。 3. 较好地掌握本学科的基础理论、专门知识和基本技能。 4. 使用计算机的能力。 5. 撰写论文的能力,论文答辩时的口头表达能力。 一、毕业论文撰写的基本要求 ㈠要有一定的创造性。选题、立论或材料运用，多少要有一些属于自己的东西，是通 过自己的思考、分析和论证的新见解，或者是讨论问题的新角度，或新发现的材料。一篇 合格的论文，不能完全重复前人或他人的研究成果，而是必须有独到的见解。 ㈡要有一定的学术价值。所探讨的问题对于本学科的研究是有些推进，或有些启发的。 ㈢要有一定的理论性。问题的提出、分析和论证，要有抽象思维的介入（即专业理论），透过现象抓本质，寻找规律。要做到观点新颖，思路清晰，而不止是抄抄常识性的结论， 或者只是个别经验事实的简单描述。 ㈣要符合学术规范。论文的境界有三等，最好的文章是在提出并解决某个问题时，能 形成独特的概念或命题，然后被学术界所普遍认可与使用，这叫“自成一说”；第二等是属于对所论及的问题大体能按照一定的理论分析归纳，做到“自圆其说”；第三等的文章就是抄抄贴贴，没有自己的见解，有的甚至自相矛盾，不能“自圆其说”。 二、毕业论文写作的前期准备工作 ■选题是论文撰写成败的关键，它确定“写什么”的问题，亦即确定科学研究的方向。
设计任务书 某220KV区域性变电所一次系统初步设计 本设计变电所以110KV向地区负荷供电,除220KV电压与系统联络之外,110KV电压的部分出线也与系统有联系. 一、变电所的规模 近期设主变为2×120MV A，电压比为220/121/10.5KV，容量比为100/100/50，本期工程一次建成，设计中留有扩建的余地： 调相机为2×60MVAR，本期先建成一台。 220KV出线本期5回，最终8回； 110KV出线共10回，一次建成 所用电按调相机的拖动设备为主来考虑。 二、系统负荷功率因数为0.9，最大负荷利用小时数为5300小时，同时率为0.9，每回最大负荷 为： 第一回（九江I）输送200MW 第二回（九江II）输送200MW 第三回（柘林）输送180MW 第四回（昌东）输送150MW 第五回（南昌电厂）输送100MW 第六回（西效I） 第七回（西效II） 第八回（备用） 1、110KV的最大地区负荷，近期为200MW，远期300MW，负荷功率因数为0.85,最大负 荷利用小时数为5300小时,同时率为0.9,每回最大负荷为: 第一回(每岭)输送80MW 第二回(乐化)输送80MW 第三回(新期周)输送40MW 第四回(象山)输送45MW 第五回(水泥厂)输送60MW 第六回(双港澳)输送60MW 第七回(南电)输送60MW 第八回(化工区备用I)输送40MW 第八回(化工区备用II)输送40MW
第八回(化工区备用III)输送40MW 三、 系统计算粢资料 系统阻抗，当取基准容量S J =100MVA ，基准电压U J 为各级电压平均值（230，115，37，10.5……）时,两级电系统的远景阻抗标值如下图所示 四、 所址情况 变电所所在地为平原地区，无高产农作物，土壤电阻率为0.8×104 Ω.cm,年雷暴日为65天,历年最高气温为38.5。 C 。变电所在系统中的地理位置如下，220KV 用虚线所示，110KV 用实线表示： 0.0328 0.0502 S1 S2 两系统联络阻抗按远 景三台变电压器的总阻抗 考虑。 九江 备用 乐化 象山 南昌电厂 新祺周 柘林 水泥厂 双港 南电 昌东 北 梅岭 西效 化工备用
本 科 毕 业 设 计（论文） 题 ——副标题 学生姓名：张 三 学 号：10080000 专业班级：计算机科学与技术10-5班 指导教师：李 四 20 年 6月20日
——副标题 要 数据结构算法设计和演示（C++）树和查找是在面向对象思想和技术的指导下，采用面向对象的编程语言（C++）和面向对象的编程工具（Borland C++ Builder 6.0）开发出来的小型应用程序。它的功能主要是将数据结构中链表、栈、队列、树、查找、图和排序部分的典型算法和数据结构用面向对象的方法封装成类，并通过类的对外接口和对象之间的消息传递来实现这些算法，同时利用解、辅助教学和自我学习的作用。 关键词
The design and implementation of the linear form ——副标题 Abstract 外文摘要要求用英文书写，内容应与“中文摘要”对应。使用第三人称。 “Abstract” 字体：Times New Roman，居中，三号，加粗，1.5倍行距，段前、段后0.5行间距，勾选网格对齐选项。 “Abstract”上方是论文的英文题目，字体：Times New Roman，居中，小二，加粗，1.5倍行距，间距：段前、段后0.5行间距，勾选网格对齐选项。 Abstract正文选用设置成每段落首行缩进2字符，字体：Times New Roman，字号：小四，1.5倍行距，间距：间距：段前后0.5行间距，勾选网格对齐选项。 Keywords与Abstract之间空一行，首行缩进2字符。Keywords与中文“关键词”一致，加粗。词间用分号间隔，末尾不加标点，3-5个，Times New Roman，小四。如需换行，则新行与第一个关键词首字母对齐。 Keywords：Write Criterion；Typeset Format；Graduation Project (Thesis)
论文正文写作的常用结构 科技文章的常见结构，一般可以归纳成四种结构类型：并列式，串式，伞式，混合式。 （一）并列式结构 将所选取的材料加以排列，各材料单元之间并无逻辑制约关系，即使调换材料排列次序，亦不致影响表达效果。 [示例] 谐振腔中间电荷极限电流（iscl）的研究： 1．短形谐振腔中的带状束； 2．圆柱谐振腔中的实心束。 （注：若将第1材料单元与第2材料单元调换论述，并不影响文章表达效果。）（二）串式结构 将所选取的材料依次排列，各材料单元之间有依次的逻辑关系，不可随意调换。串式结构的最基本的形式是制约型串式结构，其模式示意如下： a1 a2 a3 an（即：无a1，便无a2，余类推。） [示例] 硅p+i n+ 结正向电流-电压特性的计算分析： 1．i区中的载流子浓度 n(x)=（略） （1） 2．i区上的正向压降 由式
（1）可求出i区中的电场分布 e（x）=（略） （2） 从而i区上的压降为 （3） 其中，没有第1节的结论[式 （1）]，即无后面的延续推导及结果[式 （3）] 除制约型串式结构模式以外，还有递增（或递减）型串式结构与时间顺序型串式结构。前者可通过材料单元的有序排列给人以循序渐进的节奏感；后者则可通过对时间、空间的顺 序表达，给人以清晰的层次感。 （三）伞式结构 这种结构是指某一层次的论点由两个或两个以上的论据支撑着的结构，即只有同一层次的两个或两个以上材料单元同时成立时，上一层次的材料单元才能成立。 [示例] 证明明任意三角形三内角之和为180度。 以上所示属于单层伞式结构，除此以外，还有多层伞式结构。 （a1）锐角三角形三内角之和为180o （a2）钝角三角形三内角之和为180o 任意三角形三内角之和为180o （a3）直角三角形三内角之和为180o
毕业论文正文式样
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附件7：毕业论文正文（式样） 引言（或绪论） 从引言或绪论开始，是正文的起始页，页码从1开始编排。 引言包含的内容：说明论文的主题和选题的范围；对本论文研究主要范围内已有文献的评述；说明本论文所要解决的问题。 注意不要与摘要内容雷同。 建议与相关历史回顾、前人工作的文献评论、理论分析等相结合，如果引言部分省略，该部分内容在正文中单独成章，标题改为绪论，用足够的文字叙述。 注意：是否如实引用前人结果反映的是学术道德问题，应明确写出同行相近的和已取得的成果，避免抄袭之嫌。 1正文格式说明 “正文”不可省略。 正文是论文的主体，要着重反映学生自己的学习、实习、工作成果，突出新的见解。例如新思想、新观点、新规律、新研究方法、新结果等。 正文一般可包括:立论；理论分析；观点阐述；试验装置和测试方法；对试验结果的分析讨论及理论计算结果的比较等。 正文要求论点正确，推理严谨，数据可靠，文字精练，条理分明，文字图表清晰整齐，计算单位采用国务院颁布的《统一公制计量单位中文名称方案》中的规定和名称。 各类单位、符号必须在论文中统一使用，外文字母必须注意大小写，正斜体。简化字采用正式公布过的，不能自造和误写。利用别人研究成果必须附加说明。引用前人材料必须引证原著文字。在论文的行文上，要注意语句通顺，达到科技论文所必须具备的“正确、准确、明确”的要求。 1.1论文页眉页脚的编排 一律用阿拉伯数字连续编页码。页码应由引言首页开始，作为第1页。封面不编入页码。将摘要、Abstract、目录等前置部分单独编排页码。 页码必须标注在每页页脚底部居中位置，宋体，小五。
陕西师范大学本科生毕业论文（设计）写作技术规范 一、毕业论文（设计）主要构件 （一）封面 （二）论文正文部分 （三）参考文献 （四）致谢 二、各构件的内容及技术规范 （一）封面的内容及技术规范 1．封面由学校或院系统一印制，具体内容由学生打印或填写。 2．封面的技术规范 封面内容的填写或打印，要美观、工整、清晰，提交论文的具体时间，用汉字打印或书写（如二○○五年四月），外语等特殊专业除外。 （二）论文正文部分的内容及技术规范 1．本科生毕业论文（设计）的基本格式：文科类参照《陕西师范大学学报》（哲学社会科学版），理工科类参照《陕西师范大学学报》（自然科学版）的格式要求打印，但是不分栏排版；特殊学科专业学生的毕业论文（设计）写作格式可由院（系）统一规定。 为了与下角零相区别，理工科类毕业论文（设计）中的句号可使用实心点，建议同一专业的学生使用同一标准。 2．论文正文部分的内容及字体要求 （1）总题目用3号宋体、加粗，副标题用小3号宋体。 （2）姓名用4号楷体。 （3）作者有关信息括号内的具体单位、地址、邮编用小4号宋体。 （4）“摘要”两字用小4号黑体，中间空一字；摘要的具体内容用小4号楷体；约200～300字；行距为20磅。 （5）“关键词”三个字用小4号黑体；关键词的具体内容用小4号楷体；3～5个。 （6）论文主体部分 ①论文一级标题，4号宋体、加粗； ②论文二级标题，小4号宋体、加粗； ③论文主体部分除一级、二级标题外，全部用小4号宋体；行距为20磅。
（7）英文题名、英文作者署名及单位、英文摘要、英文关键词，与中文一一对应，置于参考文献之后。 （8）英文总题目用Times New Roman 四号字体、加粗。副标题用Times New Roman 小4号字体。 （9）英文作者署名及单位用Times New Roman 小4号字体 （10）英文摘要“Abstract”用小4号黑体，加粗；具体内容用 Times New Roman小4号字体。 （11）英文关键词“Key Words”用小4号黑体，加粗；几个关键词均用Times New Roman 小4号字体。 （三）参考文献及注释的技术规范 毕业论文（设计）参考文献及注释的格式相应地参照《陕西师范大学学报》（哲学社会科学版）和《陕西师范大学学报》（自然科学版）的要求执行。详细如下：1．文科参考文献及注释技术规范 注释是对文章篇名、作者等及文内某一特定内容的进一步解释或补充说明。篇名、作者注置于当页地脚；文内有关特定内容注可夹在文内（加圆括号），也可置于当页地脚；注释序号用带圆括号的阿拉伯数字表示。 参考文献采用顺序编码制，在引文处按引用文献在论文中出现的先后顺序用阿拉伯数字连续编码，序号置于方括号内；同一文献在一文中被反复引用者用第一次出现的序号标示，属著作者应在序号后加圆括号注明页码或章、节、篇名。文后参考文献表的排列顺序以正文出现的先后为准；表上以“［参考文献］”作为标示；序号左顶格，用阿拉伯数字加方括号标示，每一条目的最后均以实心点结束。参考文献表置于文末，按GB／T 7714—2005《文后参考文献著录规则》其格式为： （1）专著(含以各种载体形式出版的普通图书、古籍、学位论文、会议文集、汇编、多卷书、丛书等)——［序号］主要责任者.题名：其他题名信息［文献类型标志］.其他责任者.版本项.出版地:出版者,出版年:引用页码. 示例： ［1］余敏.出版集团研究［M］.北京：中国书籍出版社，2001：179-193. ［2］中国社会科学院语言研究所词典编辑室.现代汉语词典［M］.修订本.北京：商务印书馆，1996:258-260. ［3］王夫之.宋论［M］.刻本.金陵：曾氏，1845(清同治四年).
1.1概述 煤炭是我国实现工业现代化的重要能源基础，工业的快速发展离不开煤炭。但我国的煤炭工业发展还不能满足整个国民经济发展的需要。因此，必须以更快的速度发展煤炭工业，来适应整个国民经济持续、快速、高效发展的。然而，机械化是高速发展煤炭工业的必由之路。 矿用绞车是煤矿不可缺少的重要设备。在煤矿，人员及物料的提升和运输、矿车的调度、综采设备的安装、拆卸及搬迁、各种重物及设备的牵引等场合均离不开矿用绞车。矿用绞车使用量大，范围广。 SQ型无极绳连续牵引车适用于煤矿井下环境。它是以钢丝绳牵引的轨道运输设备，主要用于井下大巷实现材料、设备运输，特别适用于大型综采设备的运输牵引，也可用于金属矿井下和地面轨道运输，可适用于有一定坡度且起伏变化的轨道运输，配置弹簧压绳轮与转向装置后可实现弯曲巷道的直达运输。系统配置有绞车驱动装置、张紧装置、梭车、尾轮、压绳轮、弹簧压绳轮、托绳轮和转向装置等。变速操作有手动近机操作和液压远控操作两种方式，可根据运输要求配置。梭车有带防跑车装置和不带防跑车装置两种形式，张紧装置使用后部液压张紧。系统直接利用井下现有轨道系统，在有一定坡度的直巷道或弯曲巷道，可实现材料、设备以及液压支架整体运输。可实现材料、设备以及液压支架固定距离不经转载的直达运输。 矿用绞车是煤矿不可缺少的重要设备。 1.2绞车简介 绞车是井下借助钢丝绳来带动装重容器，并沿着立井井筒或着固定的轨道等来运行的提升或者搬运机械。各类绞车目前在煤矿的应用十分广泛，它是用来牵引与提升物料的常用工具。 图1.1 牵引绞车工作图
1.3工作条件 1、SQ型无极绳连续牵引车适用于地面或煤矿井下轨道运输，可适用于有一定坡度、坡度起伏变化、带有拐弯变向的轨道直达运输，但不适用于载人运输及提升运输。 2、使用场所周围空气中的瓦斯、煤尘等不应超过《煤矿安全规程》中规定的浓度。 3、工作环境为空气温度-10℃～40℃、相对湿度不大于95%（环境温度为20℃±5℃时），海拔高度不超过1000m, 并能防止液体浸入电器内部，无剧烈震动、颠簸, 无腐蚀性气体。 4、如工作环境海拔高度超过1000m时，考虑到空气冷却作用和介电强度的下降，选用的电气设备应通过双方协议进行设计或使用。 1.4 绞车的分类： (1) 按照滚筒的数目分，可分为单滚筒绞车和双滚筒绞车。 (2) 按钢丝绳的缠绕方式分，可分为缠绕式绞车和摩擦式绞车。 (3) 按传动方式分，可分为齿轮传动绞车和液压传动绞车。 (4) 按防爆性能分，可分为防爆型绞车和非防爆型绞车。 (5) 按滚筒直径及使用情况分，可分为2m及2m以下提升物料的绞车和2m 以上的主提升绞车。 (6)按牵引钢丝绳的连接方式分，可以将其分为有极绳牵引绞车和无极绳牵引绞车 1.5 无极绳牵引绞车 无极绳绞车是利用钢丝绳循环往复,牵引固定在钢丝绳上的车辆或其他装备前进,从而解决矿井辅助运输问题.无极绳牵引绞车主要用于铁道转载站牵引车辆、煤矿井下矿山设备运搬、矿车组运输等。该类绞车的工作机构一般为单和双摩擦轮绳槽滚筒，螺旋槽摩擦轮滚筒等。因其结构简单,连续运输,维护量小的特点,特别是近年来随着无极绳绞车及其配套技术水平的提高,无极绳绞车越来越受到煤矿的青睐。 1.6 发展趋势 国外矿用绞车发展趋势有以下几个特点： a、标准化系列化； b、体积小、重量轻、结构紧凑； c、高效节能； d、寿命长、低噪音； e、一机多能、通用化； f、大功率； g、外形简单、平滑、美观、大方。 针对国外的情况我们应该采取以下措施： a、制定完善标准，进行产品更新改造和提高产品性能；
【从这里键入摘要内容。字体和格式均不需要修改。页面格式已经设置完毕(小四号宋体，每段开头空二格)。】扼要概括论文主要设计了什么内容，如何设计的，设计效果如何。语言精练、明确，语句流畅；英文摘要须与中文摘要内容相对应；中文摘要约400-500个汉字，英文摘要约300-450个实词；关键词要反映毕业设计说明书（论文）的主要内容，数量一般为4-6个。 设计类论文的摘要：应有类似的文字：（1）本设计的依据和意义的简要描述 （2）采用什么方法（面向对象的方法或软件工程的方法）进行需求分析、总体设计，详细设计、实现了哪些重要的功能。（3）（如果有这部分内容的话）设计过程中对什么问题进行了研究，提出了什么新的思路或者方法（4）系统设计或者研究达到了什么目标。 研究类论文的摘要： （1）本课题的依据和意义的简要描述（2）对哪些算法或者方法进行了哪些研究（3）提出了什么新的思路或者方法，或者对什么方法提出了改进思想（4）经过什么测试验证，证明了新的方法的可行性，或4）研究达到了什么目标。 4，关键词5，关键词6 页眉设置：河南科技大学本科毕业设计论文 页码设置：前言之前部分用Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，…编号 从前言开始用阿拉伯数字1，2，3…编号，前言为第1页
【从这里键入英文摘要内容， 使用Times New Roman 字体，小四号小写，每段开头留四个字符空格】 WORDS ：5，关键6
言 章一级标题一 (2) 第1章二级标题一 (2) 第1章二级标题二 (3) §1.2.1 第1章三级标题一 (3) §1.2.2 第1章三级标题二 (3) 章一级标题二 (5) 第2章二级标题一 (5) §2.1.1 第2章三级标题一 (5) §2.1.2 第2章三级标题二 (5) §2.1.3 第2章三级标题三 (6) 第2章二级标题二 (6) 章一级标题三 (7) 第3章二级标题一 (7) §3.1.1 第3章三级标题一 (7) §3.1.2 第3章三级标题二 (7) 第3章二级标题二 (7) 第4章一级标题四 (8) §4.1 第4章二级标题一 (8) §4.1.1 第4章三级标题一 (8) §4.1.2 第4章三级标题二 (8) §4.2 第4章二级标题二 (8) 第5章一级标题五 (9) §5.1 第5章二级标题一 (9) §5.2 第5章二级标题二 (9) §5.3 第5章二级标题三 (9) §5.3.1 第5章三级标题一 (9)
广告正文写作时基本要求 作者：佚名 广告正文写作时基本要求 1．陈述清楚具体的内容 广告正文须清晰地表明广告的诉求对象和诉求内容。向受众提供完整而具体的广告信息。大卫·奥格威称为“不要旁敲侧击——要直截了当”。 一般情况下，广告正文的长短与推销力量成一种正比例关系。长文广告总是比短文广告更具推销力量，而短广告的效果往往就比较差。 2．采用通俗易懂的语言构思文句 除非特殊的情况，在广告正文中一般不使用过于严肃、庄重的语辞和文句。 3．要以有效的证据和可信的证言支持文案 在广告文案的正文中，出现确切的资料、数据十分必要，也十分有用。如果情况允许的话，出现消费者的现身说法或名人、权威的证言支持，往往会产生良好的效果。 在广告正文的写作上必须着眼于两个最基本的方面：一是围绕广告商品的内容、名称、规格、性能、价格、质量、特点、功效和销售地址等进行符合客观事实的构思，加大说服性和情感性；二是掌握和洞悉消费者心理需求，了解市场态势，以重点突出、简明易懂、生动有趣、具有号召力的语言进行传播。 广告正文的常见形式 (1)直销型。这种类型又叫解释性正文或为什么型正文，是由克劳德·霍普金斯在20世纪初首创并推广的。 大卫·奥格威在他的广告生涯中始终忠实地采用直销式，在广告正文中最大程度地告知受众广告主题和广告商品信息。如他为劳斯一莱斯汽车所写的文案即为一典型直销式广告正文。 标题：“当这辆新型的‘劳斯一莱斯’以时速60英里行驶时，最大噪音发自车内的电子钟” 次标题： “什么原因使得‘劳斯莱斯’成为世界上最好的车子?”
一位知名的‘劳斯莱斯’工程师说：“说穿了，根本没有什么真正的戏法——这仅不过是耐心的注意到细节。” 1．行车技术主编报告：“在时速60英里时，最大闹声是来自电子钟。引擎是出奇的寂静。三个消音装置把声音的频率在听觉上拔掉。” 2．每个“劳斯莱斯”的引擎在安装前都先以最大气门开足7小时，而每辆车子都在各种不同的路面试车数百英里。 3．“劳斯莱斯”是为车主自己驾驶而设计的，它比国内制最大型车小l 8英寸。 4．本车有机动方向盘、机动刹车及自动排挡，极易驾驶与停车，不需司机。 5．除驾驶速度计之外，在车身与车盘之间，互相无金属之衔接。整个车身都加以封闭绝缘。 6．完成的车子要在最后测验室经过一个星期的精密调整。在这里分别受到98种严酷的考验。例如：工程师们使用听诊器来注意听轮轴所发的低弱声音。 7．“劳斯莱斯”保用三年。已有了从东岸到西岸的经销网及零件站，在服务上不再有任何麻烦了。 8．著名的“劳斯莱斯”引擎冷却器，除了亨利·莱斯在1933年死时，把红色的姓名第一个字母RR改为黑色外，从来没更改过。 9．汽车车身之设计制造，在全部l 4层油漆完成之前，先涂5层底漆，然后每次都用人工磨光。 l0．移动在方向盘柱上的开关，你就能够调整减震器以适应道路状况。(驾驶不觉疲劳，是本车显著的特点。) 11．另外有后车窗除霜开关，控制着1360条看不见的在玻璃中的热线网。备有两套通风系统，因而你坐在车内也可随意关闭全部车窗而调节空气以求舒适。 12．座位垫面是由8头英国牛皮所制——足够制作128双牛皮鞋。 13．镶贴胡桃木的野餐桌可从仪器板下拉出。另外有两个在前座后面旋转出来。 l4．你也能有下列额外随意的选择：做浓咖啡(EspressoCoffee)的机械、电话自动记录器(Dictating machine)、床、盥洗用冷热水、一支电刮胡刀等。 15．你只要压一下驾驶者座下的橡板，就能使整个车盘加上润滑油。在仪器板上的计量器，指示出曲轴箱中机油的存量。
毕业论文正文部分格式规范摘要： 1.页眉：宋体5号，中间空1格，居中 2.大标题：黑体小3号，中间空1格，居中；段前30磅、段后30磅、行距固定值20磅 3.正文部分：宋体小4号；段前6磅，行距固定值20磅，首行缩进2字符 4.关键字：关键字前需空一行，顶格写；“关键字：”需加粗；宋体小4号；段前6磅，行距固定值20磅 5.页脚：罗马字符 ABSTRACT： 1.页眉：Times New Roman5号，居中 2.大标题：Times New Roman小3号，居中；段前30磅、段后30磅、行距固定值20磅 3.正文部分：Times New Roman小4号；段前6磅，行距固定值20磅，首行缩进1字符 4.key words：key words前需空一行，顶格写；“key words：”需加粗；Times New Roman 小4号；段前6磅，行距固定值20磅 5.页脚：罗马字符 目录： 1.页眉：宋体5号，中间空1格，居中 2.大标题：宋体小2号，中间空1格，居中；段前30磅、段后30磅、行距固定值20磅 3.目录部分：必须是自动生成且点击能进入对应章节；宋体小4号；行距固定值20磅；左右两端顶格；毕业设计需要有参考文献、致谢、附录（可选）、外文资料原文、翻译文稿，课程设计和项目制开发需要有参考文献、致谢、附录（可选） 4.页脚：罗马字符 正文： 1.页眉：宋体5号，居中；奇数页按照“第1章绪论”的形式书写章号和章题目，章号和章题目间需空一格；偶数页毕业设计的学生书写“电子科技大学成都学院本科毕业设计论文”、课程设计的学生书写“电子科技大学成都学院课程设计”、项目制开发的学生书写“电子科技大学成都学院项目制开发” 2.大标题：黑体小3号，居中；段前30磅、段后30磅、行距固定值20磅，章号和章题目间需空一格 3.一级节标题：黑体4号；段前18磅、段后18磅、行距固定值20磅 4.二级节标题：黑体小4号；段前12磅、段后12磅、行距固定值20磅
毕业设计报告撰写格式要求 毕业设计是学生在校学习的最后阶段，是培养学生综合运用所学知识，分析和解决实际问题，锻炼创新能力的重要环节，是学生开始从事设计、开发、制作、实验和研究的初步尝试。毕业设计报告是记录设计过程和结果的重要文献资料，是学生在指导教师的指导下所取得成果的科学表述，也是学生毕业资格认定的重要依据。毕业设计报告的撰写是学生培养过程的基本训练之一，应规范、合理并符合有关标准，符合汉语语法规范，学生应在完成毕业设计要求的基础上撰写毕业设计报告。毕业设计报告应能够反映出学生掌握所学专业基础知识的基本情况，体现综合运用所学知识进行设计、开发、制作、实验和研究的基本能力，以及对从事的设计内容和所研究课题的心得体会。 毕业设计报告包括题目、摘要、关键词、目录、正文、致谢、参考文献和附录等几部分。 1.题目 毕业设计报告的题目也就是毕业设计课题名称，它是毕业设计报告中最重要内容的概括，应该简短、明确，做到文、题贴切。通过题目能大致了解报告的内容、专业的特点和学科的范畴。题目中不要使用非规范的缩略词、符号、代号和公式，也不宜采用提问式。题目一般不超过20个汉字。 2.摘要 摘要是毕业设计报告主要内容的提要，是报告内容不加注释和评论的简短陈述。摘要应说明毕业设计的目的、方法、结果和结论，主要包括以下内容：①毕业设计的目的与重要性；②毕业设计的主要内容，指明完成了哪些主要工作；③设计的结果或结论，突出设计的新思想、新方法、新见解；④结果或结论的意义。 摘要应具有独立性与自含性，即不阅读报告全文就可获得必要的信息，是一篇独立而完整的短文。摘要应采用第三人称的方式表述毕业设计的性质与主题，书写要符合逻辑关系，尽量与正文的文体保持一致，避免将摘要写成目录式内容介绍。摘要的结构要严谨，表达要简明，语义要确切，一般不再划分段落。摘要字数一般不超过300个汉字。为锻炼与提高毕业生的英文写作能力，建议报告中增加翻译成英文的摘要。 3.关键词 关键词是供检索用的主题词条，应采用能覆盖毕业设计报告主要内容的通用技术词条，一般列出3～5个。 4.目录 目录独立成页，包括毕业设计报告中全部章、节的序号、标题及页码。 5.正文 正文是毕业设计报告的核心内容，包括前言、主体、结论三大部分。字数一般不少于6000汉字（包括标点符号、图表等）。 ⑴前言 前言用在毕业设计报告的引论部分，一般要说明毕业设计选题的依据，设计的目的、意义、范围、设计思想、方法等内容，概括地写出作者的工作。前言要紧扣主题，简洁明确，不要与摘要雷同。 前言还可以综述前人的工作并对现状进行分析，在此基础上说明本人将有哪些补充、纠正或发展，并简要介绍创新思想与实现方法。 ⑵主体
本科生毕业设计报告（论文）撰写规范 毕业设计报告（论文）是学生对所从事毕业设计工作和取得成果的完整表述。报告(论文)的撰写是学生基本能力训练的过程。为加强管理，规范写作，提高毕业设计（论文）质量，根据《北华航天工业学院毕业设计（论文）工作暂行规定》制定本规范。 一、毕业设计报告（论文）的结构与要求 毕业设计报告（论文）包括封面、内容摘要（中英文）、关键词（中英文）、目录、正文、注释、参考文献、附录、致谢等几部分。理工类论文全文不少于1.5万字，设计说明书不少于0.8万字，文科、管理类论文全文为1.2万字左右。（外语专业为8 000～10 000词）。毕业设计报告（论文）一律打印，封面由学校统一印制。 （一）题目 毕业设计报告（论文）的题目应当简短、明确，有概括性，能体现毕业设计（论文）的核心内容、专业特点和学科范畴。毕业设计报告（论文）题目不得超过25个字，不得设置副标题，不得使用标点符号，可以分行书写，用词必须规范。 （二）内容摘要 内容摘要应扼要叙述论文的主要内容、特点，文字要精练，是一篇具有独立性和完整性的短文，包括基本研究内容、研究方法、创造方法、创造性成果及其理论与实际意义。内容摘要中不应使用公式、图表，不标注引用文献编号，并应避免将内容摘要撰写成目录式的内容介绍。中文内容摘要应在400字以内，英文内容摘要（Abstract）应与中文内容摘要内容相同。（三）关键词 关键词是供检索用的主题词条，应采用能够覆盖毕业设计（论文）主要内容的通用专业术语(参照相应的专业术语标准)，一般列举3～5个，按照词条的外延层次（学科目录分类）从大到小排列。英文关键词（Key words）应与中文关键词相同。 （四）目录 目录应独立成页，按2～3级标题编写，要求层次清晰，且要与正文标题一致，主要包括内容摘要（中、英文）、正文主要层次标题、参考文献、附录、致谢等，且标明对应页数。（五）正文 正文包括绪论（引言）、论文主体和结论等部分。正文必须从页首开始。 绪论一般作为专业技术类论文的第1章，应综述前人在本领域的工作成果，说明毕业设计（论文）选题的目的、背景和意义，国内外文献资料情况以及所要研究的主要内容。 文管类论文的绪论（引言）一般作为论文的前言，内容包括对写作目的、意义的说明，对所研究问题的认识并提出问题。要写得简明扼要，篇幅不应太长。 论文主体是全文的核心部分，应结构合理，层次清晰，重点突出，文字通顺简练。 结论是对主要成果的归纳，要突出创新点，以简练的文字对所做的主要工作进行评价。结论一般为500字左右。 （六）注释 对所创造的名词术语的解释或对引文出处的说明。注释一律采用脚注形式。 （七）参考文献 参考文献是论文的不可缺少的组成部分。它反映了毕业论文工作中取材的广博程度。毕业论文的参考文献必须是学生本人真正阅读过的。参考文献数量理工类一般在8～10篇，其中学术期刊类文献不少于5篇，外文文献不少于2篇，但对土建类专业，学术期刊类文献和