第十七章 反比例函数 17.1.1 反比例函数的意义
知识技能目标
1.理解反比例函数的概念，根据实际问题能列出反比例函数关系式；
2.利用正比例函数和反比例函数的概念求解简单的函数式． 过程性目标
1.经历从实际问题抽象出反比例函数的探索过程，发展学生的抽象思维能力；
2.探求反比例函数的求法，发展学生的数学应用能力． 教学过程 一、创设情境
两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，如果两个数的积一定，这两个数的关系叫做反比例关系． 二、探究归纳
问题1 小华的爸爸早晨骑自行车带小华到15千米的镇外去赶集，回来时让小华乘公共汽车，用的时间少了．假设两人经过的路程一样，而且自行车和汽车的速度在行驶过程中都不变，爸爸要小华找出从家里到镇上的时间和乘坐不同交通工具的速度之间的关系．
分析 和其他实际问题一样，要探求两个变量之间的关系，就应先选用适当的符号表示变量，再根据题意列出相应的函数关系式．
设小华乘坐交通工具的速度是v 千米/时，从家里到镇上的时间是t 小时．因为在匀速运动中，时间＝路程÷速度，所以
v
t 15=
从这个关系式中发现:
1.路程一定时，时间t 就是速度v 的反比例函数．即速度增大了，时间变小；速度减小了，时间增大．
2.自变量v 的取值是v ＞0．
问题2：学校课外生物小组的同学准备自己动手，用旧围栏建一个面积为24平方米的矩形饲养场．设它的一边长为x (米)，求另一边的长y (米)与x 的函数关系式．
分析 根据矩形面积可知
xy ＝24，
即 x
y 24
=
从这个关系中发现： 1.当矩形的面积一定时，矩形的一边是另一边的反比例函数．即矩形的一边长增大了，则另一边减小；若一边减小了，则另一边增大； 2.自变量的取值是x ＞0．
上述两个函数都具有x k y =的形式，一般地，形如x
k
y =(k 是常数，k ≠0)
的函数叫做反比例函数(proportional function )．
说明 1.反比例函数与正比例函数定义相比较，本质上，正比例y ＝kx ，即
k x
y
=，k 是常数，且k ≠0；反比例函数x
k
y =
，则xy ＝k ，k 是常数，且k ≠0．可利用定义判断两个量x 和y 满足哪一种比例关系．
2.反比例函数的解析式又可以写成：1-==kx x
k
y ( k 是常数，k ≠0)．
3.要求出反比例函数的解析式，只要求出k 即可． 三、实践应用
例1 下列函数关系中，哪些是反比例函数？
(1)已知平行四边形的面积是12cm 2，它的一边是a cm ，这边上的高是h cm ，则a 与h 的函数关系；
(2)压强p 一定时，压力F 与受力面积s 的关系；
(3)功是常数W 时，力F 与物体在力的方向上通过的距离s 的函数关系． (4)某乡粮食总产量为m 吨，那么该乡每人平均拥有粮食y (吨)与该乡人口数x 的函数关系式．
分析 确定函数是否为反比例函数，就是看它们的解析式经过整理后是否符合
x
k
y =(k 是常数，k ≠0)．所以此题必须先写出函数解析式，后解答．
解 (1)h
a 12
=，是反比例函数；
(2)F ＝ps ，是正比例函数；
(3)s W
F =，是反比例函数；
(4)x
m
y =，是反比例函数．
例2 当m 为何值时，函数224
-=m x
y 是反比例函数，并求出其函数解析式．
分析 由反比例函数的定义易求出m 的值．
解 由反比例函数的定义可知：2m －2＝1，2
3
=m ．
所以反比例函数的解析式为x
y 4
=．
例3 将下列各题中y 与x 的函数关系与出来．
(1)z
y 1
=，z 与x 成正比例；
(2)y 与z 成反比例，z 与3x 成反比例；
(3)y 与2z 成反比例，z 与x 2
1
成正比例；
解 (1)根据题意，得z ＝kx (k ≠0)．
把z ＝kx 代入z y 1=，得kx y 1
=，即x
k y 1
=．因此y 是x 的反比例函数．
(2)根据题意，得x
k
z z k y 3,21==
(k 1，k 2均不为0)． 把x k z 32=
代入z k y 1=，得x k k x
k k y 212133==，即x k k
y 213=．
因此y 是x 的正比例函数． (3)根据题意，得x k z z k y 2121,2==
．把z
k y x k z 221
12==代入，得 x k k y 21
2
12?=
，即y ＝x
k
k 21．因此y 是x 的反比例函数．
例4 已知y 与x 2成反比例，并且当x ＝3时，y ＝2．求x ＝1.5时y 的值．
分析 因为y 与 x 2成反比例，所以设2x
k
y =，再用待定系数法就可以求出k ，进
而再求出y 的值．
解 设2x
k y =．因为当x ＝3时，y ＝2，所以92k
=，k ＝18．
当x ＝1.5时，8)
5.1(18
1822===
x y ． 例5 已知y ＝y 1＋y 2， y 1与x 成正比例，y 2与x 2成反比例，且x ＝2与x ＝3时，
y 的值都等于19．求y 与x 间的函数关系式．
分析 y 1与x 成正比例，则y 1＝k 1x ，y 2与x 2成反比例，则22
2x
k y =
，又由y ＝y 1＋y 2，可知，2
2
1x k x k y +
=，只要求出k 1和k 2即可求出y 与x 间的函数关系式． 解 因为y 1与x 成正比例，所以 y 1＝k 1x ； 因为y 2与x 2成反比例，所以 22
2x
k y =
， 而y ＝y 1＋y 2，所以 2
2
1x k x k y +
=， 当x ＝2与x ＝3时，y 的值都等于19．
所以,.93194
2192121???????
+=+=k k k k 解得??
?==36521k k 所以2
36
5x x y +
=．
四、交流反思
本堂课，我们讨论了具有什么样的函数是反比例函数，一般地，形如x
k y =(k 是常数，k ≠0)的函数叫做反比例函数(proportional function )．
要求反比例函数的解析式，可通过待定系数法求出k 值，即可确定．
17.1.2 反比例函数的图像和性质
知识技能目标
1.理解反比例函数的图象是双曲线,利用描点法画出反比例函数的图象,说出它的性质；
2.利用反比例函数的图象解决有关问题． 过程性目标
1.经历对反比例函数图象的观察、分析、讨论、概括过程，会说出它的性质；
2.探索反比例函数的图象的性质,体会用数形结合思想解数学问题． 教学过程 一、创设情境
上节的练习中，我们画出了问题1中函数v
s
t =的图象，发现它并不是直线．那
么它是怎么样的曲线呢？本节课，我们就来讨论一般的反比例函数x
k
y =（k 是
常数，k ≠0）的图象，探究它有什么性质． 二、探究归纳
1.画出函数x
y 6
=的图象．
分析 画出函数图象一般分为列表、描点、连线三个步骤，在反比例函数中自变量x ≠0．
解 1．列表：这个函数中自变量x 的取值范围是不等于零的一切实数，列出x 与y 的对应值：
2.描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系中描出在京各点点(－6,－1)、(－3,－2)、(－2,－3)等．
3.连线：用平滑的曲线将第一象限各点依次连起来，得到图象的第一个分支；用平滑的曲线将第三象限各点依次连起来，得到图象的另一个分支．这两个分支合起来，就是反比例函数的图象．
上述图象，通常称为双曲线(hyperbola )．
提问 这两条曲线会与x 轴、y 轴相交吗？为什么？
学生试一试：画出反比例函数x
y 6
-=的图象（学生动手画反比函数图象，进一
步掌握画函数图象的步骤）．
学生讨论、交流以下问题，并将讨论、交流的结果回答问题．
1.这个函数的图象在哪两个象限？和函数x
y 6
=的图象有什么不同？
2.反比例函数x
k
y =(k ≠0)的图象在哪两个象限内？由什么确定？
3.联系一次函数的性质，你能否总结出反比例函数中随着自变量x 的增加，函数y 将怎样变化？有什么规律？
反比例函数x
k
y =有下列性质：
(1)当k ＞0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内y 随x 的增加而减少；
(2)当k ＜0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内y 随x 的增加而增加． 注 1．双曲线的两个分支与x 轴和y 轴没有交点； 2．双曲线的两个分支关于原点成中心对称．
以上两点性质在上堂课的问题1和问题2中反映了怎样的实际意义？ 在问题1中反映了汽车比自行车的速度快，小华乘汽车比骑自行车到镇上的时间少．
在问题2中反映了在面积一定的情况下,饲养场的一边越长,另一边越小．
三、实践应用
例1 若反比例函数2
2)1(m x m y -+=的图象在第二、四象限，求m 的值．
分析 由反比例函数的定义可知：122-=-m ,又由于图象在二、四象限，所以m ＋1＜0，由这两个条件可解出m 的值．
解 由题意，得?
??<+-=-01,
122m m 解得3-=m ．
例2 已知反比例函数x
k
y =
(k≠0)，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，求一次函数y ＝kx －k 的图象经过的象限．
分析 由于反比例函数x
k
y =(k≠0)，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，因此k ＜0，
而一次函数y ＝kx －k 中，k ＜0，可知，图象过二、四象限，又－k ＞0，所以直线与y 轴的交点在x 轴的上方．
解 因为反比例函数x
k
y =(k≠0)，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，所以k ＜0，
所以一次函数y ＝kx －k 的图象经过一、二、四象限．
例3 已知反比例函数的图象过点(1,－2)． (1)求这个函数的解析式，并画出图象；
(2)若点A (－5,m )在图象上，则点A 关于两坐标轴和原点的对称点是否还在图象上？
分析 (1) 反比例函数的图象过点(1,－2)，即当x ＝1时，y ＝－2．由待定系数法可求出反比例函数解析式；再根据解析式，通过列表、描点、连线可画出反比例函数的图象；
(2)由点A 在反比例函数的图象上，易求出m 的值，再验证点A 关于两坐标轴和原点的对称点是否在图象上．
解 (1)设：反比例函数的解析式为：x
k
y =(k≠0)．
而反比例函数的图象过点(1,－2)，即当x ＝1时，y ＝－2．
所以1
2k
=-，k ＝－2．
即反比例函数的解析式为：x y 2
-=．
(2)点A (－5,m )在反比例函数x y 2-=图象上，所以5
2
52=--
=m ， 点A 的坐标为)5
2
,5(-．
点A 关于x 轴的对称点)52
,5(--不在这个图象上；
点A 关于y 轴的对称点)52
,5(不在这个图象上；
点A 关于原点的对称点)5
2
,5(-在这个图象上；
例4 已知函数2
3)2(m x
m y --=为反比例函数．
(1)求m 的值；
(2)它的图象在第几象限内？在各象限内，y 随x 的增大如何变化？
(3)当－3≤x ≤2
1
-时，求此函数的最大值和最小值．
解 (1)由反比例函数的定义可知：???≠--=-.
02,
132m m 解得，m ＝－2．
(2)因为－2＜0，所以反比例函数的图象在第二、四象限内，在各象限内，y 随x 的增大而增大．
(3)因为在第个象限内，y 随x 的增大而增大，
所以当x ＝2
1-时，y 最大值＝8214
=--；
当x ＝－3时，y 最小值＝3
434=--
． 所以当－3≤x ≤21-时，此函数的最大值为8，最小值为3
4
．
例5 一个长方体的体积是100立方厘米，它的长是y 厘米，宽是5厘米，高是x 厘米．
(1)写出用高表示长的函数关系式； (2)写出自变量x 的取值范围； (3)画出函数的图象．
解 (1)因为100＝5xy ,所以x
y 20
．
(2)x ＞0．
(3)图象如下：
说明 由于自变量x ＞0,所以画出的反比例函数的图象只是位于第一象限内的一个分支．
四、交流反思
本节课学习了画反比例函数的图象和探讨了反比例函数的性质．
1.反比例函数的图象是双曲线(hyperbola )．
2.反比例函数有如下性质：
(1)当k ＞0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内y 随x 的增加而减少；
(2)当k ＜0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内y 随x 的增加而增加.
17．2实际问题与反比例函数（1）
一、教学目标
1．利用反比例函数的知识分析、解决实际问题
2．渗透数形结合思想，提高学生用函数观点解决问题的能力 二、重点、难点
1．重点：利用反比例函数的知识分析、解决实际问题
2．难点：分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解析式 三、例题的意图分析
教材第57页的例1，数量关系比较简单，学生根据基本公式很容易写出函数关系式，此题实际上是利用了反比例函数的定义，同时也是要让学生学会分析问题的方法。
教材第58页的例2是一道利用反比例函数的定义和性质来解决的实际问题，此题的实际背景较例1稍复杂些，目的是为了提高学生将实际问题抽象成数学问题的能力，掌握用函数观点去分析和解决问题的思路。
补充例题一是为了巩固反比例函数的有关知识，二是为了提高学生从图象中读取信息的能力，掌握数形结合的思想方法，以便更好地解决实际问题
四、课堂引入
寒假到了，小明正与几个同伴在结冰的河面上溜冰，突然发现前面有一处冰出现了裂痕，小明立即告诉同伴分散趴在冰面上，匍匐离开了危险区。你能解释一下小明这样做的道理吗？ 五、例习题分析
例1．见教材第57页 分析：（1）问首先要弄清此题中各数量间的关系，容积为104，底面积是S ，深度为d ，满足基本公式：圆柱的体积 ＝底面积×高，由题意知S 是函数，d 是自变量，改写后所得的函数关系式是反比例函数的形式，（2）问实际上是已知函数S 的值，求自变量d 的取值，（3）问则是与（2）相反
例2．见教材第58页
分析：此题类似应用题中的“工程问题”，关系式为工作总量＝工作速度×工作时间，由于题目中货物总量是不变的，两个变量分别是速度v 和时间t ，因此具有反比关系，（2）问涉及了反比例函数的增减性，即当自变量t 取最大值时，函数值v 取最小值是多少？
例1．（补充）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P （千帕）是气体体积V （立方米）的反比例函数，其图像如图所示（千帕是一种压强单位） （1）写出这个函数的解析式； （2）当气球的体积是0.8立方米时，气球内的气压是多少千帕？
（3）当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆
炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？
分析：题中已知变量P 与V 是反比例函数关系，并且图象经过点A ，利用
待定系数法可以求出P 与V 的解析式，得V
P 96
=，（3）问中当P 大于144千帕
时，气球会爆炸，即当P 不超过144千帕时，是安全范围。根据反比例函数的图象和性质，P 随V 的增大而减小，可先求出气压P ＝144千帕时所对应的气体
体积，再分析出最后结果是不小于3
2
立方米
六、随堂练习
1．京沈高速公路全长658km ，汽车沿京沈高速公路从沈阳驶往北京，则汽
车行完全程所需时间t （h ）与行驶的平均速度v （km/h ）之间的函数关系式为
2．完成某项任务可获得500元报酬，考虑由x 人完成这项任务，试写出人均报酬y （元）与人数x （人）之间的函数关系式
3．一定质量的氧气，它的密度ρ（kg/m 3）是它的体积V （m 3）的反比例函数，当V ＝10时，ρ＝1.43，（1）求ρ与V 的函数关系式；（2）求当V ＝2时氧气的密度ρ
答案：ρ＝
V
3
.14，当V ＝2时，ρ＝7.15
七、课后练习
1．小林家离工作单位的距离为3600米，他每天骑自行车上班时的速度为v （米/分），所需时间为t （分）
（1）则速度v 与时间t 之间有怎样的函数关系？
（2）若小林到单位用15分钟，那么他骑车的平均速度是多少？
（2）如果小林骑车的速度最快为300米/分，那他至少需要几分钟到达单位？
答案：t
v 3600
=，v ＝240，t ＝12
2．学校锅炉旁建有一个储煤库，开学初购进一批煤，现在知道：按每天用煤0.6吨计算，一学期（按150天计算）刚好用完.若每天的耗煤量为x 吨，那么这批煤能维持y 天
（1）则y 与x 之间有怎样的函数关系？ （2）画函数图象
（3）若每天节约0.1吨，则这批煤能维持多少天？
17．2实际问题与反比例函数（2）
一、教学目标
1．利用反比例函数的知识分析、解决实际问题
2．渗透数形结合思想，进一步提高学生用函数观点解决问题的能力，体会和认识反比例函数这一数学模型 二、重点、难点
1．重点：利用反比例函数的知识分析、解决实际问题
2．难点：分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解析式，解决实际问题
三、例题的意图分析
教材第58页的例3和例4都需要用到物理知识，教材在例题前已给出了相关的基本公式，其中的数量关系具有反比例关系，通过对这两个问题的分析和解决，不但能复习巩固反比例函数的有关知识，还能培养学生应用数学的意识
补充例题是一道综合题，有一定难度，需要学生有较强的识图、分析和归纳等方面的能力，此题既有一次函数的知识，又有反比例函数的知识，能进一步深化学生对一次函数和反比例函数知识的理解和掌握，体会数形结合思想的重要作用，同时提高学生灵活运用函数观点去分析和解决实际问题的能力 四、课堂引入
1．小明家新买了几桶墙面漆，准备重新粉刷墙壁，请问如何打开这些未开封的墙面漆桶呢？其原理是什么？
2．台灯的亮度、电风扇的转速都可以调节，你能说出其中的道理吗？ 五、例习题分析
例3．见教材第58页
分析：题中已知阻力与阻力臂不变，即阻力与阻力臂的积为定值，由“杠杆定律”知变量动力与动力臂成反比关系，写出函数关系式，得到函数动力F 是自变量动力臂l 的反比例函数，当l ＝1.5时，代入解析式中求F 的值；（2）问要利用反比例函数的性质，l 越大F 越小，先求出当F ＝200时，其相应的l 值的大小，从而得出结果。
例4．见教材第59页
分析：根据物理公式PR ＝U 2，当电压U 一定时，输出功率P 是电阻R 的反
比例函数，则R
P 2
220=，（2）问中是已知自变量R
的取值范围，即110≤R ≤220，求函数P 的取值范围，
根据反比例函数的性质，电阻越大则功率越小， 得220≤P ≤440
例1．（补充）为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间x(分钟)成为正比例,药物燃烧后，y 与x 成反比例(如图)，现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题： (1)药物燃烧时，y 关于x 的函数关系式为 ,自变量x 的取值范为 ； 药物燃烧后，y 关于x 的函数关系式为 .
(2)研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要经过______分钟后，员工才能回到办公室；
(3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效?为什么?
分析：（1）药物燃烧时，由图象可知函数y 是x 的正比例函数，设x k y 1=，将点（8，6）代人解析式，求得x y 4
3
=，自变量0＜x ≤8；药物燃烧后，由图象看出y 是x 的反比例函数，设x k y 2=
，用待定系数法求得x
y 48= （2）燃烧时，药含量逐渐增加，燃烧后，药含量逐渐减少，因此，只能在
燃烧后的某一时间进入办公室，先将药含量y ＝1.6代入x
y 48
=，求出x ＝30，根
据反比例函数的图象与性质知药含量y 随时间x 的增大而减小，求得时间至少要30分钟
（3）药物燃烧过程中，药含量逐渐增加，当y ＝3时，代入x y 4
3
=中，得x
＝4，即当药物燃烧4分钟时，药含量达到3毫克；药物燃烧后，药含量由最高
6毫克逐渐减少，其间还能达到3毫克，所以当y ＝3时，代入x
y 48
=
，得x ＝16，持续时间为16－4＝12＞10，因此消毒有效 六、随堂练习
1．某厂现有800吨煤，这些煤能烧的天数y 与平均每天烧的吨数x 之间的函数关系是（ ）
（A ）x y 300=（x ＞0） （B ）x
y 300
=（x ≥0）
（C ）y ＝300x （x ≥0） （D ）y ＝300x （x ＞0）
2．已知甲、乙两地相s （千米），汽车从甲地匀速行驶到达乙地，如果汽车每小时耗油量为a （升），那么从甲地到乙地汽车的总耗油量y （升）与汽车的行驶速度v （千米/时）的函数图象大致是（ ）
3．你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识，一定体积的面团做成拉面，面条的总长度y （m ）是面条的粗细（横截面积）S （mm 2）的反比例函数，其图象如图所示： （1）写出y 与S 的函数关系式；
（2）求当面条粗1.6mm 2时，面条的总长度是多少米？
七．课后练习
一场暴雨过后，一洼地存雨水20米3，如果将雨水全部排完需t 分钟，排水量为a 米3/分，且排水时间为5～10分钟
（1）试写出t 与a 的函数关系式，并指出a 的取值范围； （2）请画出函数图象
（3）根据图象回答：当排水量为3米3/分时，排水的时间需要多长？
反比例函数是八年级数学上学期第十八章第二节内容，主要对反比例函数的图像及性质进行讲解，重点是反比例函数的性质的理解，难点是反比例函数表达式的归纳总结．通过这节课的学习为我们后期学习反比例函数的应用提供依据． 一、反比例函数的概念 1、如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，我们就说这两个变量成反比例．用数学式子表示两个变量x、y成反比例，就是xy k =，或表示为 k y x =，其中k 是不等于0的常数． 2、解析式形如 k y x =（k是常数，0 k≠）的函数叫做反比例函数，其中k叫做比例系数． 3、反比例函数 k y x =的定义域是不等于零的一切实数． 反比例函数 知识结构 模块一：反比例函数的概念 知识精讲 内容分析
【例1】 下列变化过程中的两个变量成反比例的是（ ） A ．圆的面积和半径 B ．矩形的面积一定，它的长与宽 C ．完成一项工程的工效与完成工期的时间 D ．人的身高及体重 【难度】★ 【答案】B 【解析】矩形面积=长×宽，即S ab =，S 为定值，可知它的长与宽成反比例，B 正确；注 意区分C 选项，工效与工作时间成反比，而非完成工期的时间． 【总结】考查反比例函数的基本概念，会判断两个量是否是反比例关系，只需看两个量的乘积是否为定值即可． 【例2】 （1）已知：y 与x 成反比例，且1x =-时，2y =，则它的函数解析式是_________; （2）已知y 与2x 成反比例，且当2x =-时，14y =-，则当1 3 x =时，y =_________. 【难度】★ 【答案】（1）2 y x =- ；（2）9-． 【解析】（1）设函数解析式为k y x =，即有21k =-，得：2k =-，则函数解析式为2y x =-； （2）设函数解析式为2k y x = ，即有() 2 142k =--，得：1k =-，函数解析式为21 y x =-， 则当1 3x =时，2 1913y =-=-?? ??? ． 【总结】考查利用“待定系数法”求反比例函数的比例系数，也可直接利用成反比例函数关系的积为定值求解． 例题解析
2014-9-6反比例函数中考综合题 11．(2014年广西钦州)如图，正比例函数y=x 与反比例函数y=的图象交于A （2，2）、 B （﹣2，﹣2）两点，当y=x 的函数值大于 y=的函数值时，x 的取值范围是（ ） 7.如图，反比例函数 和一次函数 的图象交于 A 、B 两点. A 、B 两点的横坐标分别为2，-3.通过观察图象， 若 ，则x 的取值范围是 A. 20<
12．如图，反比例函数x y 6 - =在第二象限的图象上有两点A 、B ，它们的横坐标分别为-1，-3.直线AB 与x 轴交于点C ，则AOC 的面积为（ ） 13．（3分）（2014?山西）如图，已知一次函数y=kx ﹣4的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，与反比例函数 y=在第一象限内的图象交于点C ，且A 为BC 的中点，则k= _________ ． 22．（6分）（2014?襄阳）如图，一次函数y 1=﹣x +2的图象与反比例函数y 2=的图象相交于A ，B 两点，与x 轴相交于点C ．已知tan ∠BOC =，点B 的坐标为（m ，n ）． （1）求反比例函数的解析式； （2）请直接写出当x ＜m 时，y 2的取值范围．
14.1.变量与函数（第一课时） ◆随堂检测 1、一根蜡烛原长a （cm ），点燃后燃烧的时间为t （分钟），所剩余的蜡烛的长y(cm)，其中是变量的 ，常量是 。 2、在圆的周长公式C=2πr 中，常量是 ，变量是 。 3、汽车在匀速行驶的过程中，若用s 表示路程，v 表示速度，t 表示时间，那么对于等式s=vt ，下列说法正确的是（ ） A.s 与v 是变量，t 是常量 B.t 与s 是变量，v 是常量 C.t 与v 是变量，s 是常量 D.s 、v 、t 三个都是变量 4、写出下列各问题中所满足的关系式，并指出各个关系式中那些是常量，那些是变量 （1）用总长为60（m ）的篱笆围成长方形场地，长方形的面积为S （m 2 ）与一边长为x （m ）之间的关系式。 (2)用总长为L （m ）的篱笆围成长方形场地，长方形的面积为60（m 2），一边长为x （m ）。求L 与x 之间的关系式 ◆课下作业 1、《大河报》每份0.5元，购买《大河报》所需钱数y （元）与所买份数x 之间的关系是 ，其中 是常量， 是变量。 2、指出下列关系式中的常量与变量 （1）x y 35-= （2）3 3 4R V π= 3、已知直线m 、n 之间的距离是3，△ABC 的顶点A 在直线m 上，边BC 在直线n 上，求△ABC 得面积s 和BC 边的长x 之间的关系式，并指出其中的变量和常量。 4、一种苹果的销售数量x （千克）与销售额y （元）的关系如下： （1）上表反映了那两个变量之间的关系； （2）请估计销售量为15（千克）时销售额y 是多少？ 5、弹簧原长（不挂重物）15cm ，弹簧总长L （cm ）与重物质量x （千克）的关系如下： （1）求L 与x 之间的关系 （2）请估计重物为5（千克）时弹簧总长L （cm ）是多少？
-- 反比例函数中考专题反比例函数的图像和性质 m 5 11 题）如图，它是反比例函数y= 图象的一支，1. （2017
新疆建设兵团第根x ．m的取值范围是据图象可知常数 k 如图，题）2017 湖南长沙第18 2. （y 3x 是函数y 与M 点的图象在x OM 4 ，则k 的值为第一象限内的交点，．2，当x＜﹣1 时，y 的取值范y 3．（2017 四川省眉山市）已知反比例函数 x ．围为4. 如图，矩题) 16 (2017 、C 分C 的顶点形江苏宿迁第在坐标原点，顶点别在x 、y 轴的正半轴上，顶k k 为常数，（点k 0）0 ，x 在反比例函数y x 90 C ，若点绕点C 的按逆时针方向旋转得到矩形 的图象上，将矩形 的值是对应点恰好落在此反比例函数图象上，则． C 5. （2017 四川自12 题）一次函数y =k x+b 和反比例函数（k ?= k k y ≠0）的贡第2 1 1 2 1 2
x 图象如图所示，若y1＞y2，则x 的取值范围是（）A．﹣2＜x＜0 或x＞1 B ．﹣2＜x＜1 C．x＜﹣2 或x＞1 D．x＜﹣2 或0＜x1 ＜ 7 题）如图，在平面直角坐标系（6. 2017 江苏徐州第 xOy 中，函数y kx0 b k m m 0 的图象相交于点 A 2,3 , B 6, 1 ，则不与y x m 等式kx b 的解集为（） x ．6 x 0 或6 x 2 ．A x B ．x 2 x C. 6 D 或0 x 2
--- -- 7. （2017 浙江宁波第17 题）已知△ABC 的三个顶点为A- 1,1 ，B- (()，1,3 C ABC 向右平△，将- 3,- 3)() 1 --- --
变量与函数 【学习目标】 1、通过探索具体问题中的数量关系和变化规律来了解常量、 变量的意义； 2、学会用含一个变量的代数式表示另一个变量； 3、结合实例，理解函数的概念以及自变量的意义；在理解掌握函数概念的基础上，确定函数关系式； 4、会根据函数解析式和实际意义确定自变量的取值范围。【重点】了解常量与变量的意义；理解函数概念和自变量的意义；确定函数关系式。 【难点】函数概念的理解；函数关系式的确定 一、学前准备 一辆汽车以60千米／小时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t小时． １．请同学们根据题意填写下表： ２．在以上这个过程中，变化的量是_____________．不变化的量是__________． ３．试用含t的式子表示s． s=_________________t的取值范围是 这个问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的路程____随行驶时间___的变化过程． 二、探究活动： 活动一：思考并完成课本71页的问题2—4。 小结：在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为________；
在一个变化过程中，我们称数值始终不变的量为________； 活动二：问题引申，探索概念 （一）观察探究： 1、在前面研究的每个问题中，都出现了______个变量，它们之间是相互影响，相互制约的． 2、同一个问题中的变量之间有什么联系？（请同学们自己分析“问题一”中两个变量之间的关系，进而再分析上述所有实例中的两个变量之间是否有类似的关系．） 归纳：上面每个问题中的两个变量相互联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有________确定的值与其对应。 3、其实，在一些用图或表格表达的问题中，也能看到两个变量间有上述这样的关系． （二）归纳概念： 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x?的每一个确定的值，y?都有唯一确定的值与其对应，?那么我们就说x?是_________，y是x的________．如果当x=a时y=b，那么b?叫做当自变量的值为a时的_________． 活动三：一辆汽车的油箱中现有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶里程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km. (1)写出表示y与x的函数关系的式子，这样的识字叫做函数解析式。（2）指出自变量x 的取植范围。
初中数学反比例函数经典测试题及答案 一、选择题 1．如图,二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,则一次函数y ax c =+和反比例函数 b y x = 在同平面直角坐标系中的图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】 【分析】 直接利用二次函数图象经过的象限得出a ，b ，c 的值取值范围，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案． 【详解】 ∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象开口向下， ∴a ＜0， ∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过原点， ∴c=0， ∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象对称轴在y 轴左侧， ∴a ，b 同号， ∴b ＜0， ∴一次函数y=ax+c ，图象经过第二、四象限， 反比例函数y=b x 图象分布在第二、四象限， 故选D ． 【点睛】 此题主要考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象，正确把握相关性质是解题关键． 2．如图所示是一块含30°，60°，90°的直角三角板，直角顶点O 位于坐标原点，斜边AB
垂直于x 轴，顶点A 在函数y 1 =1 k x （x>0）的图象上，顶点B 在函数y 2= 2k x （x>0）的图象 上，∠ABO=30°，则 2 1 k k =（ ） A ．-3 B ．3 C ． 1 3 D ．- 13 【答案】A 【解析】 【分析】 根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，和勾股定理，设出适当的常数，表示出其它线段，从而得到点A 、B 的坐标，表示出k 1、k 2，进而得出k 2与k 1的比值． 【详解】 如图，设AB 交x 轴于点C ，又设AC=a. ∵AB ⊥x 轴 ∴∠ACO=90° 在Rt △AOC 中，OC=AC·tan ∠OAB=a·tan60°3 ∴点A 3a ，a ） 同理可得 点B 3，-3a ） ∴k 1332 ， k 23a×（-3a ）3a ∴ 213333k a k a ==-. 故选A. 【点睛】
2019版中考数学一轮复习 第11课时 反比例函数导学案 班级： 姓名： 学习目标：1．能根据函数图像和关系式探索并理解反比例函数的性质； 2．能够根据问题中的条件，确定反比例函数的解析式； 3.会利用反比例函数知识进行综合应用 重难点：会将反比例函数知识进行综合应用 学习过程 一．知识梳理 1.反比例函数的三种表达式：① ；② ；③ 。 2．反比例函数x k y =(0)k ≠的图象和性质： ⑴0k ＞?图象的两个分支分别在第 象限，如图(1)，在每个象限内，y 随x 的增大而 。 (2)0k ＜?图象的两个分支分别在第 象限，如图(2)，在每一个象限内，y 随x 的增大而 。 3.反比例函数图像的对称性： 反比例函数是中心对称图形，对称中心是______。 反比例函数是轴对称对称图形，对称轴是 若反比例函数图像上有一点(,)P a b ，根据对称性，则该图像上必有点 。 4．反比例函数K 的几何意义： 反比例函数x k y = (0)k ≠图像上任意一点向两条坐标轴做垂线与两条坐标轴围成四边形PMON 的面积等于______。 二、典型例题 1.反比例函数的图像和性质：
（1）(xx 郴州)已知反比例函数k y x =的图象过点12A （，﹣），则k 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．﹣2 D ．﹣1 （2）（xx 新疆）如图，它是反比例函数5 m y x -=图象的一支，根据图象 可知常数m 的取值范围是 ． （3）(xx 天津)若点123113A y B y C y （﹣，），（，），（，）在反比例函数21 m y x +=的图象上，则 123y y y ，，的大小关系是（ ） 123A y y y ．＜＜ 231B y y y ．＜＜ 321C y y y ．＜＜ 213D y y y ．＜＜ 2.反比例函数的对称性 （1）(xx 兰州)若点P 1（1x ，1y ），P （2x ，2y ）在反比例函数)0(>= k x k y 的图象上，若21x x -=，则（ ） A. 21y y < B. 21y y = C. 21y y > D. 21y y -= 3.反比例函数与方程不等式 （xx 黑龙江）如图1，是反比例函数1y =k x 和一次函数2y mx n =+的图象，若12y y ＜，则相应的x 的取值范围是（ ） A ．16x ＜＜ B ．1x ＜ C ．6x ＜ D ．1x ＞ 变式：如图2，是反比例函数1y =k x 和一次函数2y mx n =+的图象，若12y y ＜，则相应的x 的取值范围是 。 4.反比例函数K 的几何意义 （1）（xx ?齐齐哈尔）如图3，点A 是反比例函数图象上一点，过点A 作AB y ⊥轴于点B ，点C 、D 在x 轴上，且BC ∥AD ，四边形ABCD 的面积为3，则这个反比例函数的解析式为 ． 第18题图 图1 图2
反比例函数中的数学思想 数学思想是对数学内容的进一步提炼和概括，是对数学内容的一种本质认识。它是数学发现、发明的关键和动力，抓住数学思想方法，是提高解题能力的根本所在。在平时的学习过程中，如果能注意有意识地发现解题过程中的数学思想，并能加以归纳，则抓住了问题的本质，升华了思维，真正学到了数学方法。 一、分类讨论思想 例1.已知一次函数与反比例函数的图象交于点(3)(23)P m Q --，，， ． （1）求这两个函数的函数关系式； （2）在给定的直角坐标系（如图1）中，画出这两个函数的大致图象； （3）当x 为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？当x 为何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？ 解：（1）设一次函数的关系式为y kx b =+，反比例函数的关系式为n y x = ， 反比例函数的图象经过点(23)Q -， ，362 n n ∴-==-，． ∴所求反比例函数的关系式为6 y x =-．将点(3)P m -，的 坐标代入上式得2m =，∴点P 的坐标为(32)-， ． 由于一次函数y kx b =+的图象过(32)P -，和(23)Q -，，322 3.k b k b -+=?∴?+=-?， 解得11. k b =-??=-?， ∴所求一次函数的关系式为1y x =--． x 图1
（2）两个函数的大致图象如图． （3）由两个函数的图象可以看出． 当3x <-和02x <<时，一次函数的值大于反比例函数的值． 当30x -<<和2x >时，一次函数的值小于反比例函数的值． 点评：分类讨论思想是解决函数类问题中常用的一种数学思想．分类要注意两点： （1）正确选择一个分类标准； （2）分类要科学，既不重复，又不遗漏． 二、数形结合思想 例2．利用图象解一元二次方程230x x +-=时，我们采用的一种方法是：在平面直角坐标系中画出抛物线2y x =和直线3y x =-+，两图象交点的横坐标就是该方程的解． （1）填空：利用图象解一元二次方程230x x +-=，也可以这样求解：在平面直角坐标系中画出抛物线y = 和直线y x =-，其交点的横坐标就是该方程的解． （2）已知函数6y x =-的图象（如图2所示），利用图象求方程630x x -+=的近 似解（结果保留两个有效数字）．（6分） 解：（1）32-x ； （2）画出直线3y x =-+的图象． 由图象得出方程的近似解为： 图2 图2
变量与函数 【学习目标】 1．知道现实生活中存在变量和常量，变量在变化的过程中有其固有的范围（即变量的取值范围）； 2．能初步理解函数的概念；能初步掌握确定常见简单函数的自变量取值范围的基本方法；给出自变量的一个值，会求出相应的函数值． 3. 理解函数图象上的点的坐标与其解析式之间的关系，会判断一个点是否在函数的图象上，明确交点坐标反映到函数上的含义. 4. 初步理解函数的图象的概念，掌握用“描点法”画一个函数的图象的一般步骤，对已知图象能读图、识图，从图象解释函数变化的关系． 【要点梳理】 要点一、变量、常量的概念 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值保持不变的量叫做常量. 要点诠释：一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如，60s t =，速度60千米/时是常量，时间t 和里程s 为变量. 要点二、函数的定义 一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是x 的函数. 要点诠释：对于函数的定义，应从以下几个方面去理解： （1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系； （2）对于自变量x 的取值，必须要使代数式有实际意义； （3）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于x 允许取的每一个值，y 是否 都有唯一确定的值与它相对应. （4）两个函数是同一函数至少具备两个条件： ①函数关系式相同（或变形后相同）； ②自变量x 的取值范围相同. 否则，就不是相同的函数.而其中函数关系式相同与否比较容易注意到，自变 量x 的取值范围有时容易忽视，这点应注意. 要点三、函数的定义域与函数值 函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域. 要点诠释：考虑自变量的取值必须使解析式有意义。 （1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数； （2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数； （3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数； （4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数 不为零； （5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义. y 是x 的函数，如果当x ＝a 时y ＝b ，那么b 叫做当自变量为a 时的函数值.在函数用记号()y f x =表示时，()f a 表示当x a =时的函数值. 要点诠释： 对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对
第十一章 反比例函数 第1课时 反比例函数 1．一个圆柱的侧面展开图是一个面积为4平方单位的矩形，那么这个圆柱的母线长L 和底面半径r 之间的函数关系是 ( ) A ．反比例函数 B ．正比例函数 C ．一次函数 D ．其他函数关系 2．若y ＝(a ＋1)22a x -是反比例函数，则a 的取值为 ( ) A ．1 B ．－1 C ．±1 D ．任意实数 3．下列函数：①y ＝2x －1；②y ＝－5x ；③y ＝x 2＋8x －2；④y ＝33x ；⑤12y x =；⑥a y x =中，y 是x 的反比例函数的有_______（填序号）． 4．已知三角形的面积是定值S ，则三角形的高h 与底a 的函数关系式是h ＝_______，这时h 是a 的_______． 5．判断下列关系式中y 和x 是反比例函数关系吗？若是，请指出比例系数． (1)12y x = (2) 41y x =- (3)()0x y k k =≠ (4) ()10y k kx =≠ 6．已知函数y ＝（5m －3)x 2－n ＋（n ＋m ）． (1)当m 、n 为何值时，为一次函数？ (2)当m 、n 为何值时，为正比例函数？ (3)当m 、n 为何值时，为反比例函数？ 7．下列函数关系中，成反比例函数关系的是 ( ) A ．矩形的面积S 一定时，长a 与宽b 的函数关系
B．矩形的长a一定时，面积S与宽b的函数关系C．正方形的面积S与边长a的函数关系 D．正方形的周长L与边长a的函数关系 8．已知多项式x2－kx＋1是一个完全平方式，则反比例函数y＝ 1 k x - 的解析式为( ) A． 1 y x =B． 3 y x =-C． 1 y x =或 3 y x =-D． 2 y x =或 2 y x =- 9．下列函数中，y与x成反比例函数关系的是（） A．x(y＋1)＝2 B．y＝ 1 2 x- C． 2 1 y x =D． 2 3 y x = 10．反比例函数 2 3 y x =-的比例系数k是_______． 11．如果y与z成反比例，z与x成正比例，则y与x成_______． 12．已知y与x成反比例，且x＝－3时y＝5． (1)求y与x的函数关系式； (2)求当y＝2时x的值． 13．下图中有一面围墙(可利用的最大长度为100 m)，现打算沿墙围成一个面积为120 m2的长方形花圃，设花圃的一边AB＝x(m)，另一边为y(m)，求y与x的函数关系式，并指出其中自变量的取值范围． 14．已知函数y＝y1＋y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x＝1时，y＝1，当x ＝2时，y＝5，求y与x的函数关系式．
第11课时反比例函数 知能优化训练 中考回顾 1.(2017天津中考)若点A(-1,y1),B(1,y2),C(3,y3)在反比例函数y=-的图象上,则y1,y2,y3的大小关 系是() A.y1
如图,在平面直角坐标系xOy中,已知正比例函数y=x的图象与反比例函数y=的图象交于 A(a,-2),B两点. (1)求反比例函数的表达式和点B的坐标; (2)P是第一象限内反比例函数图象上一点,过点P作y轴的平行线,交直线AB于点C,连接PO,若△POC的面积为3,求点P的坐标. 解:(1)把A(a,-2)代入y=x,得a=-4,∴A(-4,-2). 把A(-4,-2)代入y=,得k=8,∴y= 联立得x=-4或x=4. ∵点A的坐标为(-4,-2),∴点B的横坐标为4,代入y=得y=2, ∴点B的坐标为(4,2). (2)设P(m>0),如图,过点P作PE∥y轴,由题意知直线AB的解析式为y=x. ∴C,S△POC=m=3, 即m=6. 当-8=6时,m=2; 当8-m2=6时,m=2, ∴P或P(2,4). 模拟预测 1.已知函数y=(m+2)是反比例函数,且图象在第二、第四象限内,则m的值是() A.3 B.-3 C.±3 D.-
反比例函数练习一 一．选择题（共22小题） 1．（2015春?泉州校级期中）下列函数中，y是x的反比例函数的为（） A．y=2x+1 B．C．D．2y=x 2．（2015春?兴化市校级期中）函数y=k是反比例函数，则k的值是（）A．﹣1 B．2 C．±2 D．± 3．（2015春?衡阳县期中）若y=（m﹣1）x|m|﹣2是反比例函数，则m的值为（）A．m=2 B．m=﹣1 C．m=1 D．m=0 4．（2014?汕尾校级模拟）若y与x成反比例，x与z成反比例，则y是z的（）A．正比例函数B．反比例函数C．一次函数D．不能确定 5．（2014春?常州期末）反比例函数（m为常数）当x＜0时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（） A．m＜0 B．C．D．m≥ 6．（2015?贺州）已知k1＜0＜k2，则函数y=和y=k2x﹣1的图象大致是（） A．B． C．D． 7．（2015?滦平县二模）在同一直角坐标系中，函数y=kx+k与y=（k≠0）的图象大致为（） A．B．C．D．
8．（2015?上海模拟）下列函数的图象中，与坐标轴没有公共点的是（） A．B．y=2x+1 C．y=﹣x D．y=﹣x2+1 9．（2015?宝安区二模）若ab＞0，则函数y=ax+b与函数在同一坐标系中的大致图象可能是（） A．B．C．D． 10．（2015?鱼峰区二模）若方程=x+1的解x0满足1＜x0＜2，则k可能是（） A．1 B．2 C．3 D．6 11．（2012?颍泉区模拟）如图，有反比例函数y=，y=﹣的图象和一个圆，则图中阴影部分的面积是（） 第11题图第12题图 A．πB．2πC．4πD．条件不足，无法求12．（2010?深圳）如图所示，点P（3a，a）是反比例函数y=（k＞0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为（） A．y=B．y=C．y=D．y= 13．（2014?随州）关于反比例函数y=的图象，下列说法正确的是（） A．图象经过点（1，1） B．两个分支分布在第二、四象限 C．两个分支关于x轴成轴对称 D．当x＜0时，y随x的增大而减小
变量与函数测试题及答 案 LEKIBM standardization office【IBM5AB- LEKIBMK08- LEKIBM2C】
八年级上册第变量与函数水平测试题 跟踪反馈 挑战自我 一、慧眼识金选一选！（每小题3分，共24分） 1.某人要在规定的时间内加工100个零件，则工作效率η与时间t 之间的关系中，下列说法正确的是（ ）. （A ）数100和η，t 都是变量 （B ）数100和η都是常量 （C ）η和t 是变量 （D ）数100和t 都是常量 2. 汽车离开甲站10千米后，以60千米/时的速度匀速前进了t 小时，则汽车离开甲站所走的路程s （千米）与时间t （小时）之间的关系式是（ ）. （A ）1060s t =+ （B ）60s t = （C ）6010s t =- （D ）1060s t =- 3.（课本39页习题1变形）如图，若输入x 的值为－5，则输出的结果（ ）. （A ）―6 （B ）―5 （C ）5 （D ）6 4.下列图表列出了一项实验的统计数据，表示将皮球从高d 处落下时，弹跳高度b 与下落高度d 的关系： 50 80 100 150 25 40 50 75 则能反映这种关系的式子是（ ）. （A ）2b d = （B ）2b d = （C ）2 d b = （D ）25b d =- 5.下列函数中，自变量x 不能为1的是（ ）. （A ）1y x = （B ）21x y x +=- （C ）21y x =+ （D ）8 x y = 6.（2008年广安）下列图形中的曲线不表示y 是x 的函数的是（ ） （B ） y x y x y x y
代几结合专题：反比例函数与几何图形的综合(选做) ——代几结合，掌握中考风向标 ◆类型一 与三角形的综合 1．(2016·云南中考)位于第一象限的点E 在反比例函数y ＝k x 的图象上，点F 在x 轴的 正半轴上，O 是坐标原点．若EO ＝EF ，△EOF 的面积等于2，则k 的值为( ) A ．4 B ．2 C ．1 D ．－2 2．(2016·菏泽中考)如图，△OAC 和△BAD 都是等腰直角三角形，∠ACO ＝∠ADB ＝90°，反比例函数y ＝6 x 在第一象限的图象经过点B ，则△OAC 与△BAD 的面积之差S △OAC －S △BAD 为( ) A ．36 B ．12 C ．6 D ．3 3．如图，点A 在双曲线y ＝5x 上，点B 在双曲线y ＝8 x 上，且AB ∥x 轴，则△OAB 的 面积等于________． 第3题图 第4题图 4．(2016·包头中考)如图，在平面直角坐标系中，点A 在第二象限内，点B 在x 轴上，∠AOB ＝30°，AB ＝BO ，反比例函数y ＝k x (x ＜0)的图象经过点A ，若S △AOB ＝3，则k 的值为________． 5．(2016·宁波中考)如图，点A 为函数y ＝9 x (x >0)图象上一点，连接OA ，交函数y ＝1 x (x >0)的图象于点B ，点C 是x 轴上一点，且AO ＝AC ，则△ABC 的面积为________．
第5题图 第6题图 6．★如图，若双曲线y ＝k x (k ＞0)与边长为3的等边△AOB (O 为坐标原点)的边OA 、 AB 分别交于C 、D 两点，且OC ＝2BD ，则k 的值为________． 7．(2016·宁夏中考)如图，Rt △ABO 的顶点O 在坐标原点，点B 在x 轴上，∠ABO ＝90°，∠AOB ＝30°，OB ＝23，反比例函数y ＝k x (x >0)的图象经过OA 的中点C ，交 AB 于点D . (1)求反比例函数的关系式； (2)连接CD ，求四边形CDBO 的面积． 8．(2016·大庆中考)如图，P 1、P 2是反比例函数y ＝k x (k >0)在第一象限图象上的两点，点A 1的坐标为(4，0)．若△P 1OA 1与△P 2A 1A 2均为等腰直角三角形，其中点P 1、P 2为直角顶点． (1)求反比例函数的解析式； (2)①求P 2的坐标；②根据图象直接写出在第一象限内当x 满足什么条件时，经过点P 1、 P 2的一次函数的函数值大于反比例函数y ＝k x 的函数值．
第11讲反比例函数及其应用 一、选择题 1．(2017·郴州)已知反比例函数y＝k x的图象过点A(1，－2)，则k的值为(C) A．1 B．2 C．－2 D．－1 2．反比例函数y＝－3 2x中常数k为(D) A．－3 B．2 C．－1 2D．－ 3 2 3．(2017·广东) 如图，在同一平面直角坐标系中，直线y＝k1x(k1≠0)与双曲线y ＝k2 x(k2≠0)相交于A，B两点，已知点A的坐标为(1,2)，则点B的坐标为(A) A．(－1，－2) B．(－2，－1) C．(－1，－1) D．(－2，－2) 4．(2017·潍坊)一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝a－b x，其中ab<0，a，b为 常数，它们在同一坐标系中的图象可以是(C) 5．反比例函数y＝1－k x图象的每条曲线上y都随x增大而增大，则k的取值范围 是(A) A．k>1 B．k>0 C．k<1 D．k<0 6．(2017·天津)若点A(－1，y1)，B(1，y2)，C(3，y3)在反比例函数y＝－3 x的图象 上，则y1，y2，y3的大小关系是(B) A．y1 C．y3 例1、下面的表分别给出了变量x 与y 之间的对应关系，判断y 是x 的函数吗？如果不是， 解：（1）y 是x 的函数； （2）y 是x 的函数； （3）y 不是x 的函数，因为对于变量x=1，变量y 有1与-1两个值与它对应； （4）y 是x 的函数 说明：对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应.第四个是常数函数它符合函数的定义. 例 2、判断下列关系是不是函数关系？ （1）长方形的宽一定时，其长与面积； （2）等腰三角形的底边长与面积； （3）某人的年龄与身高； （4）关系式| y |=x 中的y 与x. 分析：判断一个关系是不是函数关系，第一要看是不是一个变化过程；第二要看在这个变化 过程中，是不是有两个变量；第三要看自变量每取一个确定值，函数是不是都有唯一确定的值与它对应. 解：（1）长方形的宽一定时，其长所取的每一个确定的值，面积都有唯一确定的值与它对 应，所以长与面积是函数关系. （2）因为三角形的面积受底和高两个因素的影响，当等腰三角形的底取一个定值时， 它的面积又受高的影响，不能有唯一确定的值和底相对应，所以底边长与面积不是函数关系. （3）人的任意一个确定的年龄，都有唯一确定的身高与之相对应，所以某人的年龄与 身高是函数关系. （4）x 每取一个正值，y 都有两个值与它对应，所以| y | = x 不是函数关系. 说明：年龄与身高的变化不按某种规律，但某人每一个确定的年龄，必有唯一确定的身高和 它相对应，因此函数关系是一定的，所以不要以为存在一定比例关系或一定规律，能用解析式表示的才是函数关系. 例 3、汽车由北京驶往相距850千米的沈阳，它的平均速度为80千米/小时，求汽车距沈阳 的路程S （千米）与行驶时间t （小时）的函数关系式，写出自变量的取值范围. 分析：北京距沈阳850千米，汽车距沈阳的路程等于全程减去已行驶的路程，已行驶的路程 等于速度乘以时间. 解：85080S t =- 反比例函数常见模型 一、知识点回顾 1..反比例函数的图像是双曲线，故也称双曲线y=k x （k≠0）．其解析式有三种表示方法： ①x k y = （0≠k ）；②1 -=kx y （0≠k ）；③k xy = 2．反比例函数y=k x （k≠0）的性质 （1）当k>0时?函数图像的两个分支分别在第一，三象限内?在每一象限内，y 随x 的增大而减小． （2）当k<0时?函数图像的两个分支分别在第二，四象限内?在每一象限内，y 随x 的增大而增大． （3）在反比例函数y=k x 中，其解析式变形为xy=k ，故要求k 的值(也就是求其图像上一点横坐标与纵坐标之积). （4）若双曲线y= k x 图像上一点（a ，b ）满足a ，b 是方程Z 2－4Z －2=0的两根，求双曲线的解析式．由根与系数关系得ab=－2，又ab=k ，∴k=－2，故双曲线的解析式是y=2 x -． （5）由于反比例函数中自变量x 和函数y 的值都不能为零，所以图像和x 轴，y 轴都没有交点，但画图时要体现出图像和坐标轴无限贴近的趋势． 二、新知讲解与例题训练 模型一： || k = x y O 如图，若 轴于点B ， 轴于点N ，连接PM ，PN ，则矩形MONP 的面积为|K| y x M O P N y x M O P N y x M O P N y x M O P N 已知 点P 是反比例函数 在第一象限内图象上的一动点. 如图，若点B 为y 轴（不同于O ）的任意一点，连接 ，则△PAB 的面积为|K|/2. y x A O P B y x A O P B y x A O P B y x A O P （B ） 已知 点P 是反比例函数 在第一象限内图象上的一动点. 如图，若 轴于点M ，N 为 轴上任意一点，连接MN ，PN ，则△PMN 的面积为_________ y x M O P （N ） y x M O P N y x M O P N y x M O P N 第11课时 反比例函数 反比例函数系数k 的几何意义 1.（2018·毕节中考）已知点P （－3，2），点Q （2，a ）都在反比例函数y ＝k x （k≠0）的图象上，过点Q 分 别作两坐标轴的垂线，两垂线与两坐标轴围成的矩形面积为（ B ） A .3 B .6 C .9 D .12 反比例函数与一次函数的交点 2.（2017·毕节中考）如图，已知一次函数y ＝kx －3（k≠0）的图象与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，与反比例函数y ＝12x （x ＞0）交于C 点，且AB ＝AC ，则k 的值为3 2 Ｗ. 毕节中考考点梳理 反比例函数的概念 1.一般地，如果两个变量x ，y 之间的对应关系可以表示成y ＝k x （k 为常数，且k≠0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数，反比例函数的自变量x 不能为零. 反比例函数的图象与性质 2.函数的图象 3.函数的性质 4.k 的几何意义 设P （x ，y ）是反比例函数 点P 作PM⊥x ＝|xy|. 方法点拨 （1）反比例函数与一次函数图象的综合应用的四个方面： ①探求同一坐标系中两函数的图象常用排除法； ②探求两函数的表达式常利用两函数的图象的交点坐标； ③探求两图象交点的坐标常利用解方程（组）来解决，这也是求两函数图象交点坐标的常用方法； ④两个函数值比较大小的方法是以交点为界限，观察交点左、右两边区域的两个函数图象上、下位置关系，从而写出函数值的大小. （2）在平面直角坐标系中求三角形的面积时，通常以坐标轴上的边为底，相对顶点的横坐标（或纵坐标）的绝对值为高；如果没有坐标轴上的边，则用坐标轴将其分割后求解. 反比例函数解析式的确定 5.求解析式的一般步骤 （1）设所求的反比例函数为y ＝k x （k≠0）； （2）根据已知条件列出含k 的方程； （3）由代入法求待定系数k 的值； （4）把k 代入函数解析式y ＝k x 中. 6.求解析式的两种途径 （1）根据问题中两个变量间的数量关系直接写出；（2）在已知两个变量x ，y 具有反比例关系y ＝k x （x≠0） 的前提下，根据一对x ，y 的值，列出一个关于k 的方程，求得k 的值，确定出函数的解析式. 反比例函数的应用 7.利用反比例函数解决实际问题，首先是建立函数模型.一般地，建立函数模型有两种思路：一是通过问题提供的信息，知道变量之间的函数关系，在这种情况下，可先设出函数的解析式y ＝k x （k≠0），再由已知条件确定 解析式中k 的取值即可；二是问题本身的条件中不确定变量间是什么关系，此时要通过分析找出变量的关系并确定函数解析式. 反比例函数知识点整理 一、反比例函数的概念 1、解析式：y = -(k ≠ 0)其他形式：①xy = k②y = kx~1 X 例1.下列等式中，哪些是反比例函数 (1) y - —(2) y = (3) xy = 21 (4) y = —-— (5~) y =(6)尹二丄+ 3 3 X X + 2 IX X 例2.当m取什么值时，函数尹=(m-2)√^m2是反比例函数？ 例3.函数y = (2m-l)x m2~2是反比例函数,且它的图像在第二、四象限，加的值是 ________ 例4.已知函数y =y1+y2, yι与X成正比例，y2与X成反比例，且当x=l时，y=4； 当x=2 时，y = 5 (1) 求y与X的函数关系式(2)当x=-2时，求函数y的值 2.反比例函数图像上的点的坐标满足：xy = k 例1.已知反比例函数的图象经过点(m, 2)和(-2, 3)则加的值为______________________ 例2.下列函数中，图像过点M (-2, 1)的反比例函数解析式是( ) . 2 D 2 厂 1 八1 ΛX 2x 2x 例3.如果点(3, -4)在反比例函数y =-的图象上，那么下列各点中，在此图象上的X 是( )A. (3,4) B. (一2, —6) C. (一2, 6) D. (—3, —4) 例4.如果反比例函数y =-的图象经过点(3, —1),那么函数的图象应在( ) X A.第一、三象限 B.第二、四象限 C.第一、二象限 D.第三、四象限 二、反比例函数的图像与性质 1、基础知识 幺＞0时，图像在一、三象限，在每一个象限内，y随着X的增大而减小； 幺＜0时，图像在二、四象限，在每一个象限内，y随着X的增大而增大； 例1.己知反比例函数y = {a-2)x a -6当χ＞0时，y随X的增大而增大，求函数关系式 9? +1 例2.已知反比例函数尹= -------- 的图象在每个象限内函数值y随自变量X的增大而减 Λ 小，且k的值还满足9-2(2^-1) ≥2k-b若k为整数，求反比例函数的解析式 第11讲 反比例函数 1．反比例函数y ＝－5x 的图象在( D ) A ．第一、二象限 B ．第三、四象限 C ．第一、三象限 D ．第二、四象限 2．(2016·哈尔滨)点(2，－4)在反比例函数y ＝k x 的图象上，则下列各点在此函数图象上的是( D ) A ．(2，4) B ．(－1，－8) C ．(－2，－4) D ．(4，－2) 3．(2016·河南)如图，过反比例函数y ＝k x (x>0)的图象上一点A 作AB⊥x 轴于点B ，连接AO ，若S △AOB ＝2，则k 的值为( C ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 4．(2016·成都高新区一诊)在反比例函数y ＝1－3m x 图象上有两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，x 1＜0＜x 2，y 1＜y 2，则m 的取值范围是( B ) A ．m ＞13 B ．m ＜13 C ．m ≥13 D ．m ≤13 5．(2016·株洲)已知一次函数y 1＝ax ＋b 与反比例函数y 2＝k x 的图象如图所示，当y 1变量与函数经典例题
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