高中圆与直线专项突破（一）
一、单选题
1．已知点P 为函数()ln f x x =的图象上任意一点，点Q 为圆2
2
11x e y e ????-+
+= ???????
上任意一点，则线段PQ 的长度的最小值为（ ）
A ．
e e
B ．
e e
- C ．
e e
- D ．11e e
+
-
2．已知直线l ：y kx m =+与椭圆C ：22154x y +=至多有一个公共点，则z m
=+的取值范围是（ ）
A ．[]22-,
B ．(][),22,-∞-+∞
C ．??
D ．()
,2,?-∞+∞?
3
．Rt ABC ?中，090ABC ∠=，AB =4BC =，ABD ?中，0120ADB ∠=，则CD 的取值范围是（ ）
A ．2,2]
B ．(4,2]
C ．2,2]
D ．2,2]
4．在平面上，12AB AB ⊥，12||||1OB OB ==，12AP AB AB =+，若1
||2
OP <，则||OA 的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 5．已知平面向量,,a b c ，满足||2,||1,b a b c a b λμ=+==+且21λμ+=，若对每一个确定的向量a ，记||c 的最小值为m ，则当a 变化时，m 的最大值为（ ） A ．
14
B ．
13
C ．
12
D ．1
6．已知直线l 与椭圆22
1:184
x y C +=切于点P ，与圆222:16C x y +=交于点AB ，圆2
C 在点AB 处的切线交于点Q ，O 为坐标原点，则OPQ ?的面积的最大值为（ ）
A ．
B ．2
C
D ．1
7．已知圆C:x 2＋(y －3)2＝2，点A 是x 轴上的一个动点，AP ，AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则线段PQ 的取值范围是( )
A ．[
3
) B ．[
3
，C ．[3]
D ．[
3
，
二、解答题
8．已知线段AB 的端点B 的坐标是()2,0，端点A 在圆()2
2:28N x y ++=上运动，
AB 的中点P 的轨迹为曲线T ，圆心为()3,1C -的圆C 经过点B ．
（1）求曲线T 的方程，并判断曲线T 与圆C 的位置关系；
（2）过x 轴上一点G 任作一直线（不与x 轴重合）与曲线T 相交于M 、S 两点，连接BM ，BS ，恒有MBG SBG ∠=∠，求G 点坐标．
9．已知圆22
:1O x y +=，圆()()22
1:231O x y -+-=过1O 作圆O 的切线，切点为T
（T 在第二象限）.
（1）求1OO T ∠的正弦值；
（2）已知点(),P a b ，过P 点分别作两圆切线，若切线长相等，求,a b 关系； （3）是否存在定点(),M m n ，使过点M 有无数对相互垂直的直线12,l l 满足12l l ⊥，且它们分别被圆O 、圆1O 所截得的弦长相等？若存在，求出所有的点M ；若不存在，请说明理由.
10．已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半
120+=相切． （1）求椭圆C 的方程；
（2）设(4,0)A -，过点(3,0)R 作与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，连接
AP ，AQ 分别交直线16
3
x =
于M ，N 两点，若直线MR 、NR 的斜率分别为1k 、2k ，试问：12k k 是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．
11．已知抛物线1C ：()2
20x py p =>的焦点为F ，圆2C ：()()2
2
284x y +++=，
过y 轴上点G 且与y 轴不垂直的直线l 与抛物线1C 交于A 、B 两点，B 关于y 轴的对称点为D ，O 为坐标原点，连接2GC 交x 轴于点E ，且点E 、F 分别是2GC 、OG 的中点.
（1）求抛物线1C 的方程； （2）证明：直线AD 与圆2C 相交. 12．已知圆22:1O x y +=和点()1,4M --. （1）过点M 向圆O 引切线，求切线的方程；
（2）求以点M 为圆心，且被直线212y x =-截得的弦长为8的圆M 的方程； （3）设P 为（2）中圆M 上任意一点，过点P 向圆O 引切线，切点为Q ，试探究：平面内是否存在一定点R ，使得
PQ
PR
为定值？若存在，请求出定点R 的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由.
13．已知圆22:2O x y +=，直线:2l y kx =-. （1）若直线l 与圆O 交于不同的两点A ，B ，当2
AOB π
∠=时，求k 的值；
（2）若1
2
k =
，P 是直线l 上的动点，过P 作圆O 的两条切线PC ?PD ，切点为C ?D ，探究：直线CD 是否过定点.
14．已知圆2221:24540C x y mx my m +--+-=，圆22
2:1C x y +=
（1）若圆1C 、2C 相交，求m 的取值范围；
（2）若圆1C 与直线:240l x y +-=相交于M 、N 两点，且5
MN =，求m 的值；
（3）已知点(2,0)P ，圆1C 上一点A ，圆2C 上一点B ，求PA PB +的最小值的取值范围．
三、填空题
15．在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 是圆22
:40C x x y -+=上两动点，且2AB =，
点P 坐标为(，则32PB PA -的取值范围为__________
16．已知圆22:4O x y +=点()2,2A ，直线l 与圆O 交于P Q ，两点，点E 在直线l 上且满足2PQ QE →
→
=.若22248AE AP +=，则弦PQ 中点M 的横坐标的取值范围为_____________.
17．已知函数()f α={}()a R f m α∈≥≠?，则实数m 的取值范围为___________.
参考答案
1．A 【分析】
将PQ 的最小值，转化为P 到圆心的最小距离再减去半径来求得PQ 的最小值.设出函数
ln x 上任意一点的坐标，求得圆心C 的坐标，利用两点间的距离公式求得PC 的表达式，利
用导数求得这个表达式的最小值，再减去1求得PQ 的最小值. 【详解】
依题意，圆心为1,0C e e ??
+
???
，设P 点的坐标为(),ln x x ，由两点间距离公式得()2
2
22
22111ln 2ln PC x e x x e x e x e e e ????????
=-++=-++++ ? ? ????
???????，设
()2
2
2112ln f x x e x e x e e ????
=-++++ ? ??
???，()12ln 22x f x x e e x ??=-++
??'?()ln 122x x e x
e ??
=-+- ???，令'0f x
解得x e =，由于'
2
ln 1ln x x
x x -??= ???
，可知当()0,x e ∈时，ln x x 递增，(),x e ∈+∞时，'
ln 0x x ??< ???
，ln x x 递减，故当x e =时取得极大值也是最大值为
1e ，故
ln 10x x e -≤，故()0,x e ∈时，0x e -<且ln 1
0x x e
-<，所以()'
0f x <，函数单调递减.当(),x e ∈+∞时，()(
)2'
2
2ln 1
x x f x x -+??=
?'?
，
(
)
2'
2
121
ln 12x x x x x x
--+=-=
，当x e >时，()'2ln 10x x -+>，即2ln 1x x -+单调递增，且22ln 10e e e -+=>，即()'
0f x ???'>?，()'
f
x 单调递增，而()0f e '=，故当
(),x e ∈+∞时，()'0f x >函数单调递增，故函数在x e =处取得极小值也是最小值为
()211f e e =+，故PC =此时1PQ =-=
.
故选A.
【点睛】
本小题主要考查圆的方程，考查导数在研究函数中的应用，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 2．D 【分析】
由直线l ：y kx m =+与椭圆C ：22
154
x y
+=至多有一个公共点，即联立方程0?≤，化简
整理得225144m k -≥，即可理解为双曲线22
5144
m k -=外部的点（可行域）
，转化为线性规
划的题，然后化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到2
z m =+的取值范围. 【详解】
联立方程22154y kx m x y =+???+
=??
，化简整理得：222
(54)105200k x kmx m +++-=
因为直线l ：y kx m =+与椭圆C ：22
154
x y
+=至多有一个公共点，
所以2
2
2
(10)4(54)(520)0km k m ?=-+-≤，即22
5144
m k -≥，
即点(,)m k 满足双曲线22
5144
m k -=外部的点，即可行域，如图所示，m 为x 轴，k 为y
轴，
将2
z k m =+
变形为
k =+
，平移直线k m =，
由图可知，当直线k =与双曲线225144
m k -=相切时为临界条件.
联立22
5144k m k ?
=+????-=??
，化简整理得：224240m zm z -+-= 由题知，2
2
2
(4)4(24)8160z z z ?=--=-=
，解得z =若可行域是双曲线22
5144m k -=右支外部的点，
即临界条件切线需要往上平移，
即z ≥ 若可行域是双曲线22
5144
m k -=左支外部的点，
即临界条件切线需要往下平移，
即z ≤
综上可知，z m =+
的取值范围是(
)
,2,?-∞+∞?
故选：D. 【点睛】
本题考查直线与椭圆交点个数问题，考查用双曲线外部点作可行域，求线性目标函数的最值，考查学生的转化与化归思想，数形结合思想与运算求解能力，属于难题. 3．C 【分析】
根据题意，建立直角坐标系，设点D 的坐标(,)D x y ，然后分析点D 的位置，利用直线的夹角公式，求得点D 的轨迹方程为圆的一部分，然后利用圆的相关知识求出最大最小值即可. 【详解】
由题，以点B 为坐标原点，
AB 所在直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴建立直角坐标系；
(0,0);(0,4)B A C
设点(,)D x y ，因为0120ADB ∠=，所以由题易知点D 可能在直线AB 的上方，也可能在AB 的下方；
当点D 可能在直线AB 的上方；
直线BD 的斜率1y
k x
=；直线AD
的斜率2
k =
由两直线的夹角公式可得：2121
tan12011k k
k k x
-=
?=+?
化简整理的22((1)4x y ++=
可得点D 的轨迹是以点1)M -
为圆心，半径2r 的圆，且点D
在AB 的上方，所以
是圆在AB 上方的劣弧部分；
此时CD 的最短距离为：22
CM r -== 当当点D 可能在直线AB 的下方；
同理可得点D
的轨迹方程：22((1)4x y +-= 此时点D 的轨迹是以点N
为圆心，半径2r 的圆，且点D
在AB 的下方，所以是
圆在AB 下方的劣弧部分；
此时CD 的最大距离为：
2
2CN r +==
所以CD 的取值范围为2????
【点睛】
本题主要考察了直线与圆的综合知识，建系与直线的夹角公式是解题的关键，属于难题. 4．C 【分析】
以点A 为坐标原点，1AB 、2AB 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，设1AB a =，
2AB b =，设点O 的坐标为(),x y ，由由121OB OB ==以及1
2
OP <，可得出关于x 、
y 的等式或不等式，从中求出22x y +的取值范围可得出OA 的取值范围.
【详解】
根据条件知A 、1B 、2B 、P 构成一个矩形，以点A 为坐标原点建立如下图所示的平面直角坐标系，设1AB a =，2AB b =，设点O 的坐标为(),x y ，则点P 的坐标为(),a b ，
2OA x =121OB OB ==得()()2222
11
x a y x y b ?-+=??+-=??， 又12OP <，得()()2214x a y b -+-<，可得221114x y -+-<，22
74x y ∴+>，
又()2
21x a y -+=，知21y ≤，同理可得21x ≤，得22
2x
y +≤2OA <≤， 因此，
OA
的取值范围是2? ?，故选C.
【点睛】
本题考查平面向量的模长以及不等式的应用，难点在于将向量模的取值范围转化为不等式的取值范围，并利用数形结合思想来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题. 5．B 【分析】
根据题意,建立平面直角坐标系.令,OP a OB b ==OC c =.E 为OB 中点.由
1a b +=即可
求得P 点的轨迹方程.将c a b λμ=+变形,结合21λμ+=及平面向量基本定理可知
,,P C E 三点共线.由圆切线的性质可知||c 的最小值m 即为O 到直线PE 的距离最小值,且
当PE 与圆M 相切时,m 有最大值.
利用圆的切线性质及点到直线距离公式即可求得直线方程,进而求得原点到直线的距离,即为m 的最大值.
【详解】
根据题意,||2,b =设()(),,2,0OP a x y OB b ====,(),1,0OC c E =
则2
b OE =
由
1a b +=
1=
即P 点的轨迹方程为2
22
1x y
又因为c a b λμ=+,变形可得22b c a λμ??
=+ ???
,即2OC OP OE λμ=+,且21λμ+=
所以由平面向量基本定理可知,,P C E 三点共线,如下图所示:
所以||c 的最小值m 即为O 到直线PE 的距离最小值 根据圆的切线性质可知,当PE 与圆M 相切时,m 有最大值 设切线PE 的方程为()1y k x =-,化简可得kx y k 0--=
由切线性质及点M
1=,化简可得281k =
即k =
所以切线方程为
044x y -
-=
或04
4
x y +-=
所以当a 变化时, O 到直线PE 的最大值为
13m =
=
即m 的最大值为13
故选:B 【点睛】
本题考查了平面向量的坐标应用,平面向量基本定理的应用, 圆的轨迹方程问题,圆的切线性质及点到直线距离公式的应用,综合性强,属于难题. 6．A 【分析】
设点()00,P x y ，(),Q m n ，利用四点Q ，A ，O ，B 共圆，求得以OQ 为直径的圆，与已知圆的方程相减得出直线AB 的方程，直线与过点P 的椭圆的切线重合，两个方程相等，可得02m x =,04n y =，再由椭圆的参数方程和向量数量积的坐标表示和向量的模，结合三角形的面积公式和三角恒等变换以及三角函数的基本性质求出所求的最大值． 【详解】
设0(P x ，0)y ，(,)Q m n ，由AQ AO ⊥，BQ BO ⊥，可得四点Q ，A ，O ，B 共圆，
可得以OQ 为直径的圆，方程为22
22()()224
m n m n x y +-+-=，
联立圆222:16C x y +=，相减可得AB 的方程为160mx ny +-=， 又AB 与椭圆相切，可得过P 的切线方程为
00184
x x y y
+=，即为0024160x x y y +-=， 由两直线重合的条件可得02m x =，04n y =，
由于P 在椭圆上，可设0x α=，02sin y α=，02απ<
， 即有m α=，8sin n α=，
可得220016cos 16sin 16OP OQ mx ny αα?=+=+=，
且||8OP cos =
||32OQ =，
即有1||||sin 2OPQ S OP OQ OP ?=<，221(||||)()2
OQ OP OQ OP OQ >=-
=
sin 2|22α=
=，当sin 21α=±即4
πα=
或34π或
54π或
74
π
时，
OPQ S ?的面积取得最大值
故选A ．
【点睛】
本题考查椭圆和圆的方程的应用，考查直线和椭圆、直线与圆相切的条件，以及运用参数方程和三角恒等变换公式是解题的关键，考查运算求解能力与分析问题的能力，属于难题． 7．B 【分析】
根据点A 在原点及在x 轴极限远的特殊位置，求得PQ 的取值范围． 【详解】
当A 在坐标原点时，sin ∠POC=
3
∴由22sin cos =1POC POC ∠+∠ 可得cos ∠
∴sin ∠POQ=sin2∠POC=2sin ∠POC cos ∠
即∴sin ∠
∴cos ∠PCQ=59
-
此时PQ =
3==
当点A 在x 轴上无限远时，PQ 值接近直径
所以PQ 的取值范围为[3
，所以选B 【点睛】
本题考查了直线与圆位置关系的综合应用，结合余弦定理求得最值，注意极限位置的用法，属于难题．
8．（1）22
2x y +=，相离；（2）(1,0).
【分析】
（1）设出,P A 的坐标，利用P 是线段AB 的中点，确定,P A 坐标之间的关系，根据点A 在圆N 上运动，可得线段AB 的中点P 的轨迹，即曲线T 的方程，再利用题设写出圆C 的方程，利用两圆圆心距与半径和比较大小确定曲线T 与圆C 的位置关系；
（2）先由图像分析，过点G 的直线与曲线T 相交于M S 、两点，要满足MBG SBG ∠=∠，
可知点G 必在圆内，设点(,0)(G a a <<
，过点G 的直线分类讨论两种情况：①
当直线的斜率不存在时，显然有MBG SBG ∠=∠；②当直线的斜率存在时，设直线的方程
:()(0)l y k x a k =-≠，由题意知，要MBG SBG ∠=∠，即0MB SB k k +=，联立方程得：
222()
x y y k x a ?+=?
=-?，化简得22222
(1)220k x ak x k a +-+-=，再利用韦达定理代入，化简整理得1a =，从而得到点G 点坐标为(1,0) 【详解】
（1）设点P 坐标为(),x y ，A (),m n ，
P 是线段AB 的中点，且()2,0B ，由中点坐标公式得：22
02m x n y +?=???
+?=??
，即222m x n y =-??=?， 又点A 在圆()2
2:28N x y ++=上运动，
()2
2222(2)8x y ∴-++=，化简得222x y +=
所以曲线T 的方程为：2
2
2x y +=
又圆C 的圆心为()3,1C -，设圆C 方程：()2
223(1)x y r -++=
又圆C 经过点B ()2,0，代入圆C 方程得22r =， 所以圆C 方程：()2
23(1)2x y -++=
12r r =>+=
所以曲线T 与圆C 的位置关系是相离.
（2）如图所示，若点G 在圆外，直线与曲线T 相交的两点M S 、在点G 的同侧，有
MBG SBG ∠≠∠，所以点G
必在圆内.
设点(,0)(G a a <<，过点G 的直线分类讨论斜率存在和不存在两种情况：
当直线的斜率不存在时，由圆的对称性知必有MBG SBG ∠=∠；
当直线的斜率存在时，设直线的方程:()(0)l y k x a k =-≠，联立方程得：
222()
x y y k x a ?+=?
=-?，化简整理得22222
(1)220k x ak x k a +
-+-=
设1122(,),(,)M x y S x y ，则212221ak x x k +=+，221222
1
k a x x k -=
+, 由题意知，MBG SBG ∠=∠，则直线MB ，SB 的倾斜角互补，即0MB SB k k +=
则
12
12+022
y y x x =-
-12(,x x << 将1122(),
()y k x a y k x a =-=-代入上式可得
1212()()
+0(0)22
k x a k x a k x x --=≠--
所以
1212+022
x a x a
x x --=--，化简整理得12122(2)()40x x a x x a -+++= 即222
22222(2)4011
k a ak a a k k -?-++=++，解得1a =，
所以G 点坐标为(1,0). 【点睛】
本题考查求圆的轨迹方程，圆与圆的位置关系，圆的几何性质，直线与圆相交的题型，考查学生的转化思想与运算能力，属于难题. 9．（1
；（2）46130a b +-=；（3）M 存在且其坐标为51,22?? ???或者15,22??- ???.
【分析】
（1）连接1O O ，利用1Rt OO T ?可求1OO T ∠的正弦值.
（2）利用直线与圆相切求出过P 且与两圆相切的切线长，整理后可得所求的,a b 关系式. （3）设1l 的斜率为k 且0k ≠，利用1l 、2l 分别被圆O 、圆1O 所截得的弦长相等且两圆半径相等得到()23n km m n k -=-+-对无穷多个k 恒成立，整理后可得关于,m n 的方程组，从而可求M 的坐标. 【详解】
（1）连接1O O ，因为1O T 与O 相切于T ，故1OT O T ⊥.
又1OO =
=
在1Rt OO T ?中，1OT =
，故1sin 13
OOT ∠=
=
. （2）因为过(),P a b 作两圆的切线且切线长相等，
=46130a b +-=，
故,a b 的关系为46130a b +-=. （3）设1l 的斜率为k 且0k ≠，
则1:0l kx y n km -+-=，2:0l x ky kn m +--=，
因为它们分别被圆O 、圆1O 所截得的弦长相等且两圆半径相等， 所以O 到直线1l 的距离等于1O 到直线2l
的距离，
=
即()23n km m n k -=-+-对无穷多个k 恒成立，
所以()()()()22222
322320m n k mn m n k n m ??---+--+--=????
?
?
对无穷多个k 恒成立.
故()()()()222
230
23020m n mn m n n m ?--=??+--=??--=??，解得52
12m n ?=????=??
或者1252m n ?=
-???
?=??.
故M 存在且其坐标为51,22?? ???
或者15,22??- ???.
【点睛】
本题考查直线圆的位置关系中的相切问题、定点问题以及动点的轨迹问题，注意直线与圆相切可用圆心到直线的距离等于半径来刻画，直线与圆相交后的弦长问题可用垂径定理来考虑，本题属于难题.
10．(1) 22
11612
x y +=;(2)12
k k 为定值127-. 【解析】
试题分析：（1）根据离心率、直线与圆相切建立关于,,a b c 的方程组，过得,,a b c ，从而得到椭圆的方程；（2）设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线PQ 的方程为3x my =+，联立椭圆方程消去x ，得到关于y 的方程，再利用韦达定理得到12,y y 之间的关系，从而得到12k k 的关系．
试题解析：（1
）由题意得2221
,
2,,
c a b a b c ===+
解得4,{2,a b c ===故椭圆C 的方程为22
11612x y +=．
（2）设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线
PQ 的方程为3x my =+，由22
1,{16123,
x y x my +==+ 得2
2
(34)18210m y my ++-=．
∴1221834m y y m -+=+，12
221
34
y y m -=+， 由A ，P ，M 三点共线可知，1
11643
M y y x =+，所以112834
M
y y x =?+； 同理可得2
22834
N y y x =
?+ 所以
1291616493333
N M N M
y y y y k k =
?=--121216(4)(4)y y x x =
++．
因为1212(4)(4)(7)(7)x x my my ++=++2
12127()49m y y m y y =+++，
所以12122
1212167()49y y k k m y y m y y =+++222221161234211877493434
m m m m m -?
+==---?+?+++． 考点：1、直线与圆锥曲线的位置关系；2、椭圆的几何性质；3、直线的斜率．
【方法点睛】解答直线与椭圆的位置关系的相关问题时，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，再应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦长问题利用弦长公式AB ＝2121k x x +-或AB ＝
解决，往往会更简单．
11．（1）2
16x y =；（2）证明见解析.
【分析】
（1）本题首先可以设点()0,0E x 、()00,G y ，然后根据点E 是2GC 的中点求出()0,8G ，最后根据点F 是OG 的中点求出()0,4F 以及8p =，即可求出抛物线的方程；
（2）本题首先可设()11,B x y 、()22,A x y 、()11,D x y -，然后通过联立直线AB 的方程与
抛物线方程求出1264y y =，通过联立直线AD 的方程与抛物线方程求出212y y n =，从而得
出8n =-以及直线AD 的方程必过定点()0,8-，最后通过圆2C 与y 轴交于定点()0,8-以及直线AD 不可能是y 轴即可证得直线AD 与圆2C 相交. 【详解】
（1）设点()0,0E x ，()00,G y ，
因为圆2C ：()()2
2
284x y +++=，所以圆心()22,8C --，
因为点E 是2GC 的中点， 所以00202820x y -+=??
-+=??，解得00
1
8x y =-??=?，则点()0,8G ，
因为点F 是OG 的中点， 所以()0,4F ，则
42
p
=，解得8p =， 故抛物线的方程为2
16x y =.
（2）因为B 关于y 轴的对称点为D ， 所以设()11,B x y ，()22,A x y ，()11,D x y -， 设直线AB 的方程为8y kx -=，即80kx y -+=，
联立28016kx y x y
-+=??=?，消去x 得()22
161640y k y -++=，则1264y y =，
设直线AD 的方程为y mx n =+， 联立2
16y mx n x y
=+??
=?，消去x 得()2221620y m n y n -++=，则2
12y y n =， 故264n =，易知0n <，则8n =-，直线AD 的方程为8y mx =-，必过定点()0,8-， 而圆2C ：()()2
2
284x y +++=正好与y 轴交于定点()0,8-，
且过点()0,8-的所有直线中，只有与y 轴重合的直线才能与圆2C ：()()2
2
284
x y +++=相切，
直线AD 显然不可能是y 轴， 因此，直线AD 与圆2C 相交. 【点睛】
本题考查抛物线的标准方程的求法以及抛物线、圆、直线的综合问题，考查中点坐标公式以及韦达定理的灵活应用，考查抛物线与直线相交的相关问题，考查计算能力，体现了综合性，是难题.
12．（1）1x =-或158170x y --=；（2）()()2
2
1436x y +++=；（3）存在；定点()
1,4R
时，定值为2
或定点14,1717R ?? ???. 【分析】
（1）讨论斜率是否存在：当斜率不存在时，易判断1x =-为圆O 的切线；当斜率存在时，设出直线方程，由圆心到直线距离等于半径，即可求得斜率，进而确定直线方程.
（2）由点到直线距离公式可先求得点M 到直线2120x y --=的距离，再根据所得弦长和垂径定理，即可确定半径，进而得圆M 的方程；
（3）假设存在定点R ，使得PQ PR 为定值，设(,)R a b ，(,)P x y ，2
2
PQ PR λ=，根据切线长
定理及两点间距离公式表示出2
2,PQ
PR ，代入2
2
PQ
PR
λ=并结合圆M 的方程，化简即可求得144
,a b λλλλ
--=
=，进而代入整理的方程可得关于λ的一元二次方程，解方程即可确定,,a b λ的值，即可得定点坐标及PQ
PR
的值. 【详解】
（1）若过点M 的直线斜率不存在，直线方程为1x =-，为圆O 的切线； 当切线O 的斜率存在时，设直线方程为()41y k x +=+， 即40kx y k -+-=，
∴圆心O
1=，解得158
k =
， ∴直线方程为158170x y --=
综上切线的方程为1x =-或158170x y --=. （2）点()1,4M --到直线2120x y --=
的距离为d ==
∵圆被直线212y x =-截得的弦长为8，∴
6r ==，
∴圆M 的方程为()()2
2
1436x y +++=.
（3）假设存在定点R ，使得PQ PR 为定值，设(),R a b ，(),P x y ，2
2
PQ PR λ=
∵点P 在圆M 上，
∴()()22
1436x y +++=，则2
2
2819x y x y +=--+
∵PQ 为圆O 的切线，
∴OQ PQ ⊥，∴2
2
2
2
11PQ PO x y =-=+-，
1．已知直线和圆有两个交点，则的取值范围是（） A． B． C． D． 2．圆x2+y2-2acos x-2bsin y-a2sin=0在x轴上截得的弦长是（） A．2a B．2|a| C．|a| D．4|a| 3．过圆x2+y2-2x+4y- 4=0内一点M（3，0）作圆的割线，使它被该圆截得的线段最短，则直线的方程是（） A．x+y-3=0 B．x-y-3=0C．x+4y-3=0 D ．x-4y-3=0 4．若直线(1+a)x+y+1=0与圆x2+y2-2x=0相切，则a的值为（） A．1或-1 B．2或-2 C．1 D．-1 5．若直线3x+4y+c=0与圆(x+1)2+y2=4相切，则c的值为（） A．17或-23 B．23或-17 C．7或 -13 D．-7或13 6．若P(x,y)在圆 (x+3)2+(y-3)2=6上运动，则的最大值等于（） A．-3+2 B．-3+ C．-3-2 D．3-2 7．圆x2+y2+6x-7=0和圆x2+y2+6y-27=0的位置关系是（） A．相切 B．相交 C．相 离 D．内含 8．若圆x2+y2=4和圆x2+y2+4x-4y+4=0关于直线对称，则直线的方程是（）
A．x+y=0 B．x+y-2=0 C．x-y-2=0 D．x-y+2=01． 9．圆的方程x2+y2+2kx+k2-1=0与x2+y2+2(k+1)y+k2+2k=0的圆心之间的最短距离是（） A． B．2 C．1 D． 10．已知圆x2+y2+x+2y=和圆(x-sin)2+(y-1)2=, 其中0900, 则两圆的位置关系是（） A．相交 B．外切 C．内 切 D．相交或外切 11．与圆(x-2)2+(y+1)2=1关于直线x-y+3=0成轴对称的曲线的方程是（） A．(x-4)2+(y+5)2=1 B．(x-4)2+(y-5)2=1C．(x+4)2+(y+5)2=1 D．(x+4)2+(y-5)2=1 12．圆x2+y2-ax+2y+1=0关于直线x-y=1对称的圆的方程为x2+y2=1, 则实数a 的值为（） A．0 B．1 C． 2 D．2 13．已知圆方程C1：f(x,y)=0，点P1(x1,y1)在圆C1上，点P2(x2,y2)不在圆 C1上，则方程： f(x,y)- f(x1,y1)-f(x2,y2)=0表示的圆C2与圆C1的关系是（） A．与圆C1重 合 B．与圆C1同心圆 C．过P1且与圆C1同心相同的圆 D．过P2且与圆 C1同心相同的圆 14．自直线y=x上一点向圆x2+y2-6x+7=0作切线，则切线的最小值为___________． 15．如果把直线x-2y+=0向左平移1个单位，再向下平移2个单位，便与圆 x2+y2+2x-4y=0相切，则实数的值等于__________．
关于初高中数学知识衔接的总结 学生由初中升入高中将面临许多变化，受这些变化的影响，学生不能尽快适应高中学习，学习成绩大幅度下降，甚至过去的尖子生可能变为学习后进生。为此，结合高一实际，对初高中分化原因进行了分析，并就如何采取有效措施搞好衔接，全面提高数学教学质量进行实践，取得了良好效果。 一、关于初高中数学成绩分化原因的分析 1．环境与心理的变化。 对高一新生来讲，环境可以说是全新的，新教材、新同学、新教师、新集体……学生有一个由陌生到熟悉的适应过程。另外，经过紧张的中考复习，考取了自己理想的高中，必有些学生产生"松口气"想法，入学后无紧迫感。也有些学生有畏惧心理，他们在入学前，就耳闻高中数学很难学，高中数学课一开始也确是些难理解的抽象概念，如映射、集合、异面直线等，使他们从开始就处于一定的被动局面。以上这些因素都严重影响高一新生的学习质量。 2．教材的变化。 首先，初中数学教材内容通俗具体，多为常量，题型少而简单；而高中数学内容抽象，多研究变量、字母，不仅注重计算，而且还注重理论分析，这与初中相比增加了难度。 其次，由于近几年教材内容的调整，虽然初高中教材都降低了难度，但相比之下，初中降低的幅度大，而高中由于受高考的限制，教师都不敢降低难度，造成了高中数学实际难度没有降低。因此，从一定意义上讲，调整后的教材不仅没有缩小初高中教材内容的难度差距，反而加大了。 3．课时的变化。 在初中，由于内容少，题型简单，课时较充足。因此，课容量小，进度慢，对重难点内容均有充足时间反复强调，对各类习题的解法，教师有时间进行举例示范，学生也有足够时间进行巩固。而到高中，由于知识点增多，灵活性加大和新工时制实行，使课时减少，课容量增大，进度加快，对重难点内容
数学 亲爱的2019届平冈学子： ?恭喜你进入平冈中学！你们是高中生了,做好了充分的准备吗?其实学好高中数学并不难，你只要有坚韧不拔的毅力，认真做题,善于总结归纳，持之以恒，相信你一定能成功。 从2016年开始，广东省高考数学试题使用全国I卷，纵观今年高考数学试题，我们发现它最大的特点就是区分度特别大,选拔性很明显,难度相比以前广东自主命题难度大大提升。打铁还需自身硬，因此，让自己变强大才是硬道理。假期发给你们的这本小册子,是为了使你们在初高中数学学习上形成较好的连续性,能有效地克服知识和方法上的跳跃,利于激发你们学习数学的兴趣。你们一定要利用好暑假，做好充分的准备工作。 这里给大家几个学数学的建议： １、记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师为备战高考而加的课外知识。记录本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题,以便今后将其补上。 2、建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来,以防再犯。争取做到:找错、析错、改错、防错。达到:能从反面入手深入理解正确东西；能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。 ３、熟记一些数学规律和数学小结论,使自己平时的运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。 ４、经常对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”,如表格化,使知识结构一目了然;经常对习题进行类化,由一例到一类,由一类到多类，由多类到统一;使几类问题归纳于同一知识方法。 5、阅读数学课外书籍与报刊，参加数学学科课外活动与讲座,多做数学课外题,加大自学力度,拓展自己的知识面。 6、及时复习，强化对基本概念知识体系的理解与记忆,进行适当的反复巩固,消灭前学后忘。 7、学会从多角度、多层次地进行总结归类。如:①从数学思想分类②从解题方法归类③从知识应用上分类等，使所学的知识系统化、条理化、专题化、网络化。 8、经常在做题后进行一定的“反思”，思考一下本题所用的基础知识,数学思想方法是什么,为什么要这样想,是否还有别的想法和解法，本题的分析方法与解法，在解其它问题时，是否也用到过。 9、无论是作业还是测验，都应把准确性放在第一位，通法放在第一位,而不是一味地去追求速度或技巧,这是学好数学的重要问题。 初高中数学衔接呼应版块 １.立方和与差的公式初中已删去不讲,而高中的运算还在用。 2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多,而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求,但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。 3.二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求,而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。 4.初中教材对二次函数要求较低,学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。 5.二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系(韦达定理)在初中不作要求,此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容， 6．图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下;左、右平移，两个函数关于原点,轴、直线的对称问题必须掌握。 7．含有参数的函数、方程、不等式,初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。 8.几何部分很多概念（如重心、垂心等)和定理(如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习,而高中都要涉及。 ９．角度问题,三角函数问题。在初中只涉及360°范围内的角，而高中是任意角。三角函数在初中也只是锐角三角函数，高中是任意角三角函数，定义的范围大大不同。同时,度量角也引进了弧度制这个新的度量办法。 10．高中阶段特别注重数学思维,数学思想方法的培养。 另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化,不利于高中知识的讲授。
一选择题（共 55 分，每题 5 分） 1. 已知直线经过点 A(0,4)和点 B （ 1， 2），则直线 AB 的斜率为（ ） A.3 B.-2 C. 2 D. 不存在 2．过点 ( 1,3) 且平行于直线 x 2 y 3 0 的直线方程为（ ） A ． x 2y 7 0 B ． 2x y 1 0 C ． x 2y 5 0 D ． 2x y 5 0 3. 在同一直角坐标系中，表示直线 y ax 与 y x a 正确的是（ ） y y y y O x O x O x O x A B C D 4．若直线 x+ay+2=0 和 2x+3y+1=0 互相垂直，则 a=（ ） A ． 2 B ． 2 C ． 3 3 3 3 2 D ． ( 2 5.过 (x ， y )和 (x ， y )两点的直线的方程是 ) 1 1 2 2 A. y y 1 x x 1 y 2 y 1 x 2 x 1 B. y y 1 x x 1 y 2 y 1 x 1 x 2 C.( y 2 y 1 )( x x 1) (x 2 x 1 )( y y 1) 0 D.( x 2 x 1)( x x 1) ( y 2 y 1 )( y y 1 ) 0 6、若图中的直线 L 1 、 L 2、 L 3 的斜率分别为 K 1、K 2、 K 3 则（ ） A 、 K ﹤ K ﹤ K L 3 1 2 3 L B 、 K ﹤ K ﹤ K 2 1 3 C 、 K 3﹤ K 2﹤ K 1 o x D 、 K 1﹤K 3﹤ K 2 L 1 7、直线 2x+3y-5=0 关于直线 y=x 对称的直线方程为（ ） A 、 3x+2y-5=0 B 、 2x-3y-5=0 C 、 3x+2y+5=0 D 、 3x-2y-5=0 8、与直线 2x+3y-6=0 关于点 (1,-1)对称的直线是（ ） A.3x-2y-6=0 B.2x+3y+7=0 C. 3x-2y-12=0 D. 2x+3y+8=0
初高中数学衔接测试题https://www.doczj.com/doc/354352402.html,work Information Technology Company.2020YEAR
高一《初高中数学衔接读本》测试卷 一．选择题 1. 下列各式正确的是 （ ） A 、a a =2 B 、a a ±=2 C 、a a =2 D 、22a a = 2. 已知 7 54z y x ==，则 =-+++z y x z y x （ ） A 、9 B 、 716 C 、3 8 D 、8 3. 二次函数y ＝ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列 结论：①a>0；②c>0；?③b 2-4ac>0，其中正确的个数是（ ） A 、0个 B 、1个 C 、 2个 D 、3个 4. 如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D ， 若AB=2，BC=3，则CD 的长是（ ） A ．83 B ．23 C ．43 D ．53 5. 已知3 21 +=a ，则a a a a a a a a 1 121212 22--+---+-化简求值的结果是 （ ） A 、 0 B 、 31- C 、 3 D 、 13-- 6. 若多项式b x x -+1732分解因式的结果中有一个因式为4+x ，则b 的值为（ ） A 、20 B 、－20 C 、13 D 、－13 7.当34x =223111 (2)(42)x x x x x -+++的值为（ ） A 、16 B 、34、32 D 、40 8. 把多项式1222+--b a a 分解因式，结果是（ ） A 、)1)(1(++-+b a b a B 、)1)(1(-+--b a b a
高二数学《直线和圆的方程》综合测试题 一、 选择题： 1．如果直线l 将圆：04222=--+y x y x 平分，且不通过第四象限，那么l 的斜率取值范围是（ ） A ．]2,0[ B ．)2,0( C ．),2()0,(+∞-∞ D ．),2[]0,(+∞-∞ 2.直线083=-+y x 的倾斜角是( ) A. 6π B. 3 π C. 32π D. 65π 3. 若直线03)1(:1=--+y a ax l ，与02)32()1(:2=-++-y a x a l 互相垂直， 则a 的值为（ ） A ．3- B ．1 C ．0或2 3 - D ．1或3- 4. 过点)1,2(的直线中被圆04222=+-+y x y x 截得的弦长最大的直线方程 是( ) A.053=--y x B. 073=-+y x C. 053=-+y x D. 053=+-y x 5.过点)1,2(-P 且方向向量为)3,2(-=的直线方程为( ) A.0823=-+y x B. 0423=++y x C. 0132=++y x D. 0732=-+y x 6.圆1)1(22=+-y x 的圆心到直线x y 3 3 = 的距离是( ) A. 2 1 B. 23 C.1 D. 3 7.圆4)1()3(:221=++-y x C 关于直线0=-y x 对称的圆2C 的方程为:( ) A. 4)1()3(22=-++y x B. 4)3()1(22=-++y x C. 4)3()1(22=++-y x D. 4)1()3(22=++-y x
8.过点)1,2(且与两坐标轴都相切的圆的方程为（ ） A ．1)1()1(22=-+-y x B ．25)5()5(22=-++y x C ．1)1()1(22=-+-y x 或25)5()5(22=-+-y x D ．1)1()1(22=-+-y x 或25)5()5(22=-++y x 9. 直线3y kx =+与圆22(2)(3)4x y -+-=相交于N M ,两点，若≥||MN 则k 的取值范围是( ) A ．3 [,0]4 - B ．[ C ．[ D ．2 [,0]3 - 10. 下列命题中，正确的是（ ） A ．方程 11 =-y x 表示的是斜率为1，在y 轴上的截距为2的直线； B ．到x 轴距离为5的点的轨迹方程是5=y ； C ．已知ABC ?三个顶点)0,3(),0,2(),1,0(-C B A ，则 高AO 的方程是0=x ； D ．曲线023222=+--m x y x 经过原点的充要条件是0=m . 11.已知圆0:22=++++F Ey Dx y x C ,则0==E F 且0 衔接内容调测卷第1页共4页 初高中数学衔接内容调测卷 注意事项： 1、本试卷分为3大题，其中选择题8题，填空题4题，解答题3题；满分100分，考试时间60分钟. 2、请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答；在草稿纸上答题无效. 3、答题必须使用黑色签字笔或钢笔书写，字体工整，笔迹清楚；严禁使用计算器．．．．．．．.． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1.073|2|=-++-y x y x 已知, 则x y y x --2 )(的值为（ ） 1.-A 2 1 .B 0.C 1.D 2 ．化简： （ ） A B C . D.3．若02522 <+-x x ，则221442 -++-x x x 等于（ ） .A 54-x .B 3- .C 3 .D x 45- 4.已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x 2－8x ＋7＝0的两根，则这个直角 三角形的斜边长等于 （ ） . A . B 3 . C 6 . D 9 5.已知关于x 不等式2x 2＋bx －c ＞0的解集为{}31|>- - a a = 整式乘法与因式分解训练试题(1) 一、填空： （1）若 x = 5 ，则 x = ；若 x = - 4 ，则 x = . （2）若 = (x - 3) ，则 x 的取值范围是_ _ （3） (2 + 3)18 (2 - 3)19 ＝ ； （4）若 x 2 + ax + b = (x + 2)(x - 4)则 a = ， b = 。 （5）计算992 + 99 = 二、 选择题： （1）若 x 2 + 1 mx + k 是一个完全平方式，则k 等于（ ） 2 （A ） m 2 （B ） 1 m 2 4 （C ） 1 m 2 3 （D ） 1 m 2 16 （2）不论a ， b 为何实数， a 2 + b 2 - 2a - 4b + 8 的值 （ ） （A ）总是正数 （B ）总是负数 （C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数 (3) 等式 x x 成立的条件是 （ ） x - 2 （A ） x ≠ 2 2x - y 2 x - 2 （B ） x > 0 x （C ） x > 2 （D ） 0 < x < 2 （4） 若 x + y = ，则 ＝ （ ） 3 y 5 4 6 （A ）１ （B ） （C ） （D ） 4 5 5 （5） 计算 a 等于 （ ） （A ） （B ） （C ） - （6） 多项式2x 2 - xy -15 y 2 的一个因式为 （ ） （D ） - （A ） 2x - 5 y 三、解答题 （B ） x - 3y （C ） x + 3y （D ） x - 5 y 1. 正数 x , y 满足 x 2 + y 2 = 2xy ，求 x - y 的值． x + y 2. 分解因式： （1）x 5y 2-x 2y 5 （2）x 2+5x-24 （3）a 2-2a-15 (5 - x )(x - 3)2 5 - x - 1 a -a a “直线与圆”单元测试 一、选择题 1．直线 3x ＋y －3＝0的倾斜角为( ) A. π6 B.π3 C.2π3 D.5π6 解析：选C ∵直线3x ＋y －3＝0可化为y ＝－3x ＋3， ∴直线的斜率为－3， 设倾斜角为α，则tan α＝－3， 又∵0≤α<π，∴α＝2π3 . 2.如图，直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为 1， 2， 3，则必有( ) A ． 1＜ 2＜ 3 B ． 3＜ 1＜ 2 C ． 3＜ 2＜ 1 D ． 1＜ 3＜ 2 解析：选D 由图可知 1＜0， 2＞0， 3＞0，且 2＞ 3，所以 1＜ 3＜ 2. 3．经过点(1,0)，且圆心是两直线x ＝1与x ＋y ＝2的交点的圆的方程为( ) A ．(x －1)2＋y 2＝1 B ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 C ．x 2＋(y －1)2＝1 D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 解析：选B 由????? x ＝1，x ＋y ＝2，得????? x ＝1，y ＝1， 即所求圆的圆心坐标为(1,1)， 又由该圆过点(1,0)，得其半径为1， 故圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2 ＝1. 4．过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点，且垂直于直线x －2y ＝0的直线方程是( ) A ．2x ＋y －8＝0 B ．2x －y －8＝0 C ．2x ＋y ＋8＝0 D ．2x －y ＋8＝0 解析：选A 设过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点的直线方程为2x －y ＋4＋λ(x －y ＋5)＝0，即(2＋λ)x －(1＋λ)y ＋4＋5λ＝0， ∵该直线与直线x －2y ＝0垂直， 1.1 数与式的运算 1.１.1．绝对值 绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零 的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >?? ==??--x 解法一：由01=-x ，得1=x ； ①若1 圆与直线 一、典型例题 例1、已知定点P （6，4）与定直线 1：y=4x ，过P 点的直线 与 1交于第一象限Q 点，与x 轴正半轴交于点M ，求使△OQM 面积最小的直线 方程。 分析： 直线 是过点P 的旋转直线，因此是选其斜率k 作为参数，还是选择点Q （还是M ）作为参数是本题关键。 通过比较可以发现，选k 作为参数，运算量稍大，因此选用点参数。 设Q （x 0，4x 0），M （m ，0） ∵ Q ，P ，M 共线 ∴ k PQ =k PM ∴ m 64 x 6x 4400-= -- 解之得：1 x x 5m 00 -= ∵ x 0>0，m>0 ∴ x 0-1>0 ∴ 1 x x 10mx 2x 4|OM |21 S 02000OMQ -===? 令x 0-1=t ，则t>0 )2t 1 t (10t )1t (10S 2++=+=≥40 当且仅当t=1，x 0=11时，等号成立 此时Q （11，44），直线 ：x+y-10=0 评注：本题通过引入参数，建立了关于目标函数S △OQM 的函数关系式，再由基本不等式再此目标函数的最值。要学会选择适当参数，在解析几何中，斜率k ，截距b ，角度θ，点的坐标都是常用参数，特别是点参数。 例2、已知△ABC 中，A （2，-1），B （4，3），C （3，-2），求： （1）BC 边上的高所在直线方程；（2）AB 边中垂线方程；（3）∠A 平分线所在直线方程。 分析： （1）∵ k BC =5 ∴ BC 边上的高AD 所在直线斜率k=5 1 - ∴ AD 所在直线方程y+1=5 1 -(x-2) 即x+5y+3=0 （2）∵ AB 中点为（3，1），k AB =2 ∴ AB 中垂线方程为x+2y-5=0 （3）设∠A 平分线为AE ，斜率为k ，则直线AC 到AE 的角等于AE 到AB 的角。 ∵ k AC =-1，k AB =2 ∴ k 21k 2k 11k +-= -+ ∴ k 2 +6k-1=0 ∴ k=-3-10（舍），k=-3+10 ∴ AE 所在直线方程为(10-3)x-y-210+5=0 评注：在求角A 平分线时，必须结合图形对斜率k 进行取舍。一般地涉及到角平分线这类问题时，都要对两解进行取舍。也可用轨迹思想求AE 所在直线方程，设P(x ，y)为直线AE 上任一点，则P 到AB 、AC 距离相等，得2 | 1y x |5 | 5y x 2|-+= --，化简即可。还可注意到，AB 与AC 关 于AE 对称。 例3、（1）求经过点A （5，2），B （3，2），圆心在直线2x-y-3=0上圆方程； （2）设圆上的点A （2，3）关于直线x+2y=0的对称点仍在这个圆上，且与直线x-y+1=0相交的弦长为22，求圆方程。 分析： 研究圆的问题，既要理解代数方法，熟练运用解方程思想，又要重视几何性质及定义的运用，以降低运算量。总之，要数形结合，拓宽解题思路。 （1）法一：从数的角度 若选用标准式：设圆心P （x ，y ），则由|PA|=|PB|得：(x 0-5)2 +(y 0-2)2 =(x 0-3)2 +(y 0-2)2 又2x 0-y 0-3=0 两方程联立得：???==5y 4x 0 0，|PA|=10 ∴ 圆标准方程为(x-4)2+(y-5)2 =10 若选用一般式：设圆方程x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0，则圆心（2 E ,2D -- ） 一、课题的界定和说明以及核心概念的界定 本课题主要是针对高一刚入学的新生在高中数学学习过程中面临的初高中数学衔接问题加以分析并提出相应的解决策略。 二、课题的提出?初中生经过中考的奋力拼搏，刚跨入高中，都有十足的信心,但经过一段时间,他们普遍感觉高中数学并非想象中那么简单易学，相当部分学生进入数学学习的“困难期”,数学成绩出现严重的滑坡现象。造成这种现象的原因是多方面的,但最主要的根源还在于初、高中数学教学上的衔接问题。 1、初中数学教材较通俗易懂，难度相对高中较小,大多研究的是常量,且较多的侧重于定量计算,而高中数学教材较多的研究的是变量，不但注重定量计算，而且还常需作定性研究。? 2、为了适应义务教育要求，初中数学教材降低幅度较大，而高中由于受客观上升学压力和评价标准的影响，实际难度难以下降，且又增加了应用性的知识，因此在一定程度上,反而加大了高、初中 3、初中数学较直观形象,对抽象思维能力的培养数学教材内容的台阶。? 要求不高,而在高中许多数学内容都需要学生具有较强的抽象思维能力。由于刚入学的高一新生思维能力还很弱,学习新知识必然遇到许多障碍。 ４、初中学生见到的几何图形多是平面图形，进入高中后，由于缺乏空间想象能力,极大地影响了立体几何的正确理解和掌握。为此,我们提出了本研究课题。?三、研究的内容 由于很大一部分的高一新生,在初高中衔接问题中不仅仅表现在知识上,学习状态及学习方法的转变不及时也是其中的重要原因。所以本课题的研究内容分为以下两个方面： （一)对高一新生的学法指导? 1学习习惯滞后。初中生在学习上的依赖心理是很明显的。第一,为提高分数,初中数学教师将各种题型都一一罗列,学生依赖于教师为其提供套用的“模子”;第二,家长望子成龙心切，回家后辅导也是常事。升入高中后，教师的教学方法变了,套用的“模子”没有了,家长辅导的能力也跟不上了。许多同学进入高中后,还像初中那样，有很强的依赖心理，跟随老师惯性运转,没有掌握学习的主动权。表现在不确定学习计划，坐等上课,课前没有预习，对老师要上课的内容不了解，上课忙于记笔记，没听到“门道”。 ２思想松懈。有些同学把初中的那一套思想移植到高中来。他们认为自已在初一、二时并没有用功学习，只是在初三临考时才发奋了一、二个月就轻而易举地考上了高中,有的还是重点中学里的重点班,因而认为读高中也不过如此。高一、高二根本就用不着那么用功,只要等到高三临考时再发奋一、二个月,也一样会考上一所理想的大学的。存有这种思想的同学是大错特错的。有多少同学就是因为高一、二不努力学习，临近高考了，发现自己缺漏了很多知识再弥补 一选择题（共５5分,每题5分) 1． 已知直线经过点A （0,4）和点B(1，2）,则直线AB 的斜率为（ ） A.3 Ｂ.-2 C ． 2 D ． 不存在 2.过点(1,3)-且平行于直线032=+-y x 的直线方程为( ) A.072=+-y x Ｂ.012=-+y x C.250x y --= D ．052=-+y x ３． 在同一直角坐标系中，表示直线y ax =与y x a =+正确的是（ ) x y O x y O x y O x y O A B C D 4.若直线x +a y+2＝0和2ｘ＋3y+1=0互相垂直,则a ＝( ） A ．32- B ．32 C.2 3- D ．23 5.过(x 1,y 1)和（ｘ２，y 2)两点的直线的方程是( ) 11 212111 2112 211211211211.. .()()()()0.()()()()0 y y x x A y y x x y y x x B y y x x C y y x x x x y y D x x x x y y y y --= ----= -------=-----= 6、若图中的直线L 1、Ｌ２、L 3的斜率分别为 A 、K 1﹤Ｋ2﹤K 3 Ｂ、Ｋ２﹤Ｋ1﹤K 3 C 、K ３﹤K 2﹤Ｋ１ D 、K 1﹤K 3﹤K 2 7、直线2x ＋３y －5=0关于直线y=x Ａ、3x+2ｙ-5＝０ Ｂ、2ｘ-３y －5=0 C 、3ｘ＋2y ＋5＝0 Ｄ、3x-2y-5=0 8、与直线2x+3y-6=0关于点(1,-１)对称的直线是（ ) Ａ．３ｘ-2y-6=0 Ｂ．2x+3ｙ+7=0 Ｃ. 3x －２y －12=0 Ｄ. 2x+3y+8＝0 9、直线5x －2ｙ-1０=0在x 轴上的截距为a,在y 轴上的截距为b,则（ ) x 数学初高中衔接考试卷 （考试时间：120分钟 满分：100分） 一、 选择 （每题4分，共32分） 1.若b a b a b a +<<>则且,,0,0一定是 ( ) 非正数非负数负数正数... .D C B A 2.若669,32 --+- 初高中数学衔接知识点专题（一） ★ 专题一 数与式的运算 【要点回顾】 1．绝对值 [1]绝对值的代数意义： ．即||a = ． [2]绝对值的几何意义： 的距离． [3]两个数的差的绝对值的几何意义：a b -表示 的距离． [4]两个绝对值不等式:||(0)x a a <>?；||(0)x a a >>? ． 2．乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： [1]平方差公式： ； [2]完全平方和公式： ； [3]完全平方差公式： ． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： [公式1]2()a b c ++= [公式2]33a b =+(立方和公式) [公式3] 33a b =- (立方差公式) 说明:上述公式均称为“乘法公式”． 3．根式 [1] 0)a ≥叫做二次根式，其性质如下： (1) 2 = ； (2) = ； (3) = ； (4) = ． [2]平方根与算术平方根的概念： 叫做a 的平方根，记作0)x a =≥，其 (0)a ≥叫做a 的算术平方根． [3]立方根的概念： 叫做a 的立方根，记为x =4．分式 [1]分式的意义 形如 A B 的式子，若B 中含有字母，且0B ≠，则称A B 为分式．当M ≠0时，分式A B 具有下列性质： （1） ； （2） ． [2]繁分式 当分式 A B 的分子、分母中至少有一个是分式时，A B 就叫做繁分式，如2m n p m n p +++， 说明：繁分式的化简常用以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质． [3]分母（子）有理化 把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程 高中数学直线与圆精选题目（附答案） 一、两直线的位置关系 1．求直线斜率的基本方法 (1)定义法：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率k ＝tan α. (2)公式法：已知直线过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，且x 1≠x 2，则斜率k ＝y 2－y 1 x 2－x 1. 2．判断两直线平行的方法 (1)若不重合的直线l 1与l 2的斜率都存在，且分别为k 1，k 2，则k 1＝k 2?l 1∥l 2. (2)若不重合的直线l 1与l 2的斜率都不存在，其倾斜角都为90°，则l 1∥l 2. 3．判断两直线垂直的方法 (1)若直线l 1与l 2的斜率都存在，且分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－1?l 1⊥l 2. (2)已知直线l 1与l 2，若其中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则l 1⊥l 2. 1.已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值． (1)l 1⊥l 2且l 1过点(－3，－1)； (2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． [解] (1)∵l 1⊥l 2， ∴a (a －1)－b ＝0，① 又l 1过点(－3，－1)， ∴－3a ＋b ＋4＝0.② 解①②组成的方程组得??? a ＝2， b ＝2. (2)∵l 2的斜率存在，l 1∥l 2， ∴直线l 1的斜率存在． ∴k 1＝k 2，即a b ＝1－a .③ 又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，l 1∥l 2， ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数， 即4 b ＝－(－b )．④ 由③④联立，解得??? a ＝2， b ＝－2或????? a ＝23 ，b ＝2. 经检验此时的l 1与l 2不重合，故所求值为 ??? a ＝2， b ＝－2或????? a ＝23 ， b ＝2. 注： 已知两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0 (1)对于l 1∥l 2的问题，先由A 1B 2－A 2B 1＝0解出其中的字母值，然后代回原方程检验这时的l 1和l 2是否重合，若重合，舍去． (2)对于l 1⊥l 2的问题，由A 1A 2＋B 1B 2＝0解出字母的值即可． 2．直线ax ＋2y －1＝0与直线2x －3y －1＝0垂直，则a 的值为( ) A ．－3 B ．－4 3 C ．2 D ．3 解析：选D 由2a －6＝0得a ＝3.故选D. 3．已知直线x ＋2ay －1＝0与直线(a －1)x ＋ay ＋1＝0平行，则a 的值为( ) A.32 B.32或0 C ．0 D ．－2 解析：选A 当a ＝0时，两直线的方程化为x ＝1和x ＝1，显然重合，不符合题意；当a ≠0时，a －11＝a 2a ，解得a ＝3 2.故选A. 二、直线方程 1．直线方程的五种形式 直线方程 一选择题 1. 已知直线经过点A(0,4)和点B （1，2），则直线AB 的斜率为（ ） A.3 B.-2 C. 2 D. 不存在 2．过点(1,3)-且平行于直线032=+-y x 的直线方程为（ ） A ．072=+-y x B ．012=-+y x C ．250x y --= D ．052=-+y x 3. 在同一直角坐标系中，表示直线y ax =与y x a =+正确的是（ ） x y O x y O x y O x y O A B C D 4．若直线x +a y+2=0和2x +3y+1=0互相垂直，则a =（ ） A ．32- B ．32 C ．2 3 - D ． 2 3 5．直线l 与两直线1y =和70x y --=分别交于,A B 两点，若线段AB 的中点为(1,1)M -，则直线l 的斜率为（ ） A ． 23 B ．32 C ．32- D ． 2 3 - 6、若图中的直线L 1、L 2、L 3的斜率分别为K 1、K 2、K 3则（ ） A 、K 1﹤K 2﹤K 3 B 、K 2﹤K 1﹤K 3 C 、K 3﹤K 2﹤K 1 D 、K 1﹤K 3﹤K 2 7、直线2x+3y-5=0关于直线y=x 对称的直线方程为（ ） A 、3x+2y-5=0 B 、2x-3y-5=0 C 、3x+2y+5=0 D 、3x-2y-5=0 8、与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线是（ ） A.3x-2y-6=0 B.2x+3y+7=0 C. 3x-2y-12=0 D. 2x+3y+8=0 9、直线5x-2y-10=0在x 轴上的截距为a,在y 轴上的截距为b,则（ ） A.a=2,b=5; B.a=2,b=5-; C.a=2-,b=5; D.a=2-,b=5-. 10．平行直线x －y ＋1 = 0，x －y －1 = 0间的距离是 （ ） A ． 2 2 B ．2 C ．2 D ．22 11、过点P(4,-1)且与直线3x-4y+6=0垂直的直线方程是（ ） A 4x+3y-13=0 B 4x-3y-19=0 C 3x-4y-16=0 D 3x+4y-8=0 二填空题（共20分，每题5分） 12. 过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 __； 13两直线2x+3y －k=0和x －ky+12=0的交点在y 轴上，则k 的值是 14、两平行直线0962043=-+=-+y x y x 与的距离是 。 15空间两点M1（-1,0,3）,M2(0,4,-1)间的距离是 L 1 L 2 x o L 3 1.已知 | 2x - y | + x + 3 y - 7 = 0 , 则 ( x - y ) 的值为（ ） ．．．．．．．. 5.已知关于 x 不等式 2x 2＋bx －c ＞0 的解集为 x | x < -1或x > 3} ，则关于 x 的不等式 A . ? x | x ≤ -2或x ≥ } B . ?x | x ≤ - 或x ≥ 2} ≤ x ≤ 2} D . ?x | -2 ≤ x ≤ } C . {m | -1 ≤ m ≤ 且m ≠ 0} D . ?m | m ≤ -1或m ≥ } 号 证 考 准 题 答 要 不 初高中数学衔接内容调测卷 注意事项： 1、本试卷分为 3 大题，其中选择题 8 题，填空题 4 题，解答题 3 题；满分 100 分，考 试时间 60 分钟. 2、请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答；在草稿纸上答题无效. 3、答题必须使用黑色签字笔或钢笔书写，字体工整，笔迹清楚；严禁使用计算器． 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 2 y - x 1 A . - 1 B . C .0 D .1 2 2．化简： a - 1 等于 （ ） a A . -a B . a C . - -a D. - a 3．若 2 x 2 - 5 x + 2 < 0 ，则 4x 2 - 4x + 1 + 2 x - 2 等于（ ） 名 姓 A . 4 x - 5 B . - 3 C . 3 D . 5 - 4 x 4.已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程 2x 2－8x ＋7＝0 的两根，则这个直角 内 三角形的斜边长等于 （ ） A . 3 B . 3 C . 6 D . 9 { 线 封 bx 2 + cx + 4 ≥ 0 的解集为 （ ） ? 1 ? 1 ? 2 ? 2 C . {x | - 1 2 ? 1 ? 2 校 学 密 6.关于 x 的一元二次方程 mx 2+(m -1)x+m=0 有实根，则实数 m 的取值范围是（ ） 1 1 A . {m | -1 < m < } B . {m | -1 ≤ m ≤ } 3 3 1 ? 1 3 ? 3 衔接内容调测卷第 1 页共 4 页初高中数学衔接内容调测卷
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