圆与直线
一、典型例题
例1、已知定点P （6，4）与定直线 1：y=4x ，过P 点的直线 与 1交于第一象限Q 点，与x 轴正半轴交于点M ，求使△OQM 面积最小的直线 方程。
分析：
直线 是过点P 的旋转直线，因此是选其斜率k 作为参数，还是选择点Q （还是M ）作为参数是本题关键。
通过比较可以发现，选k 作为参数，运算量稍大，因此选用点参数。 设Q （x 0，4x 0），M （m ，0） ∵ Q ，P ，M 共线 ∴ k PQ =k PM ∴
m
64
x 6x 4400-=
-- 解之得：1
x x 5m 00
-=
∵ x 0>0，m>0 ∴ x 0-1>0 ∴ 1
x x 10mx 2x 4|OM |21
S 02000OMQ
-===? 令x 0-1=t ，则t>0
)2t
1
t (10t )1t (10S 2++=+=≥40
当且仅当t=1，x 0=11时，等号成立 此时Q （11，44），直线 ：x+y-10=0
评注：本题通过引入参数，建立了关于目标函数S △OQM 的函数关系式，再由基本不等式再此目标函数的最值。要学会选择适当参数，在解析几何中，斜率k ，截距b ，角度θ，点的坐标都是常用参数，特别是点参数。
例2、已知△ABC 中，A （2，-1），B （4，3），C （3，-2），求：
（1）BC 边上的高所在直线方程；（2）AB 边中垂线方程；（3）∠A 平分线所在直线方程。
分析： （1）∵ k BC =5
∴ BC 边上的高AD 所在直线斜率k=5
1
-
∴ AD 所在直线方程y+1=5
1
-(x-2) 即x+5y+3=0
（2）∵ AB 中点为（3，1），k AB =2
∴ AB 中垂线方程为x+2y-5=0
（3）设∠A 平分线为AE ，斜率为k ，则直线AC 到AE 的角等于AE 到AB 的角。
∵ k AC =-1，k AB =2 ∴
k
21k
2k 11k +-=
-+ ∴ k 2
+6k-1=0
∴ k=-3-10（舍），k=-3+10
∴ AE 所在直线方程为(10-3)x-y-210+5=0
评注：在求角A 平分线时，必须结合图形对斜率k 进行取舍。一般地涉及到角平分线这类问题时，都要对两解进行取舍。也可用轨迹思想求AE 所在直线方程，设P(x ，y)为直线AE 上任一点，则P 到AB 、AC 距离相等，得2
|
1y x |5
|
5y x 2|-+=
--，化简即可。还可注意到，AB 与AC 关
于AE 对称。
例3、（1）求经过点A （5，2），B （3，2），圆心在直线2x-y-3=0上圆方程；
（2）设圆上的点A （2，3）关于直线x+2y=0的对称点仍在这个圆上，且与直线x-y+1=0相交的弦长为22，求圆方程。
分析：
研究圆的问题，既要理解代数方法，熟练运用解方程思想，又要重视几何性质及定义的运用，以降低运算量。总之，要数形结合，拓宽解题思路。 （1）法一：从数的角度
若选用标准式：设圆心P （x ，y ），则由|PA|=|PB|得：(x 0-5)2
+(y 0-2)2
=(x 0-3)2
+(y 0-2)2
又2x 0-y 0-3=0
两方程联立得：???==5y 4x 0
0，|PA|=10
∴ 圆标准方程为(x-4)2+(y-5)2
=10
若选用一般式：设圆方程x 2
+y 2
+Dx+Ey+F=0，则圆心（2
E
,2D --
）
∴ ????
???=----?=++++=++++0
3)2E
()2D (20F E 2D 3230F E 2D 5252222
解之得：??
?
??=-=-=31F 10E 8D
法二：从形的角度
AB 为圆的弦，由平几知识知，圆心P 应在AB 中垂线x=4上，则由?
??==--4x 0
3y x 2得圆心P （4，
5）
∴ 半径r=|PA|=10
显然，充分利用平几知识明显降低了计算量 （2）设A 关于直线x+2y=0的对称点为A ’ 由已知AA ’为圆的弦 ∴ AA ’对称轴x+2y=0过圆心 设圆心P （-2a ，a ），半径为R 则R=|PA|=(-2a-2)2
+(a-3)2
又弦长22d R 222-=，2
|
1a a 2|d +--=
∴ 2
)1a 3(2R 2
2
-+=
∴ 4(a+1)2
+(a-3)2
=2+2
)1a 3(2
-
∴ a=-7或a=-3
当a=-7时，R=52；当a=-3时，R=244
∴ 所求圆方程为(x-6)2
+(y+3)2
=52或(x-14)2
+(y+7)2
=244
例4、已知方程x 2
+y 2
-2(m+3)x+2(1-4m 2
)y+16m 4
+9=0表示一个圆，（1）求实数m 取值范围；（2）求圆半径r 取值范围；（3）求圆心轨迹方程。
分析：
（1）m 满足[-2(m+3)]2
+[2(1-4m 2
)]2
-4(16m 4
+9)>0，即7m 2
-6m-1<0
∴ 1m 7
1
<<-
（3）半径r=7
16
)73m (71m 6m 722+--=++-
∵ 1m 7
1
<<-
∴ 7
3
m =
时，774r max =
∴ 0 77 4 （3）设圆心P （x ，y ），则???-=+=1 m 4y 3 m x 2 消去m 得：y=4(x-3)2 -1 又1m 71 <<- ∴ 4x 7 20 << ∴ 所求轨迹方程为(x-3)2 = 41(y+1)（4x 7 20<<） 例5、如图，过圆O ：x 2 +y 2 =4与y 轴正半轴交点A 作此圆的切线 ，M 为 上任一点，过M 作圆O 的另一条切线，切点为Q ，求△MAQ 垂心P 的轨迹方程。 分析： 从寻找点P 满足的几何条件着手，着眼于平几知识的运用。 连OQ ，则由OQ ⊥MQ ，AP ⊥MQ 得OQ ∥AP 同理，OA ∥PQ 又OA=OQ ∴ OAPQ 为菱形 ∴ |PA|=|OA|=2 设P(x ，y)，Q(x 0，y 0)，则???-==2y y x x 0 又x 02+y 02 =4 ∴ x 2 +(y-2)2 =4（x ≠0） 评注：一般说来，当涉及到圆的切线时，总考虑过焦点的弦与切线的垂直关系；涉及到圆的弦时，常取弦的中点，考虑圆心、弦的中点、弦的端点组成的直角三角形。 同步练习 （一）选择题 1、若直线(m 2 -1)x-y+1-2m=0不过第一象限，则实数m 取值范围是 A 、-1 21 B 、21-≤m ≤1 C 、21 1 ≤m ≤1 2、已知直线2x+y-2=0和mx-y+1=0的夹角为4 π ，则m 值为 A 、 31- 或-3 B 、-3或31 C 、-3或3 D 、3 1 或3 3、点P 在直线x+y-4=0上，O 为原点，则|OP|的最小值是 A 、 2 B 、6 C 、22 D 、10 4、过点A （1，4），且横纵截距的绝对值相等的直线共有 A 、 1条 B 、2条 C 、3条 D 、4条 5、圆x 2 +y 2 -4x+2y+C=0与y 轴交于A 、B 两点，圆心为P ，若∠APB=900 ，则C 的值是 A 、 -3 B 、3 C 、22 D 、8 6、若圆(x-3)2 +(y+5)2 =r 2 上有且只有两个点到直线4x-3y-2=0距离等于1，则半径r 取值范围是 A 、 （4，6） B 、[4，6） C 、（4，6] D 、[4，6] 7、将直线x+y-1=0绕点（1，0）顺时针旋转2 π后，再向上平移一个单位，此时恰与圆x 2+(y-1)2=R 2 相切，则正数R 等于 A 、 2 1 B 、22 C 、1 D 、2 8、 方程x 2+y 2 +2ax-2ay=0所表示的圆 A 、关于x 轴对称 B 、关于y 轴对称 C 、关于直线x-y=0对称 D 、关于直线x+y=0对称 （二）填空题 9、直线ax+by+c=0与直线dx+ey+c=0的交点为（3，-2），则过点（a ，b ），（d ，e ）的直线方程是___________________。 10、已知{(x ，y)|(m+3)x+y=3m-4}∩{(x ，y)|7x+(5-m)y-8=0}=φ，则直线(m+3)x+y= 3m+4与坐标轴围成的三角形面积是__________________。 11、已知x ，y 满足?? ? ??≥+-≤-+≥++010y 5x 206y 3x 5015y 8x 3，则x-y 的最大值为________，最小值为________。 12、过点A （2，1），且在坐标轴截距相等的直线方程是_________________。 13、已知圆：(x-1)2 +y 2 =1，作弦OA ，则OA 中点的轨迹方程是__________________。 （三）解答题 14、已知y=2x 是△ABC 中∠C 平分线所在直线方程，A （-4，2），B （3，1），求点C 坐标，并 判断△ABC 形状。 15、已知n 条直线：x-y+c i =0（i=1，2，…，n ），其中C 1=2，C 1 条之间的距离顺次为2，3，4，…，n ，（1）求C n ；（2）求x-y+C n =0与坐标轴围成的三角形面积：（3）求x-y+C n-1=0与x-y+C n =0与x 轴、y 轴围成的图形面积。 16、已知与曲线C ：x 2 +y 2 -2x-2y+1=0相切的直线 交x 、y 轴于A 、B 两点，O 为原点，|OA|=a ， |OB|=b ，a>2，b>2，（1）求证：(a-2)(b-2)=2；（2）求线段AB 中点的轨迹方程；（3）求△AOB 面积的最小值。 17、已知两圆x 2 +y 2 =4和x 2 +(y-8)2 =4，（1）若两圆分别在直线y= 2 5 x+b 两侧，求b 取值范围；（2）求过点A （0，5）且和两圆都没有公共点的直线的斜率k 的范围。 18、当0 y-2a 2 -4=0和坐标轴成一个四边形，要使围成的四边形面积最小，a 应取何值？ 参考答案 （一）1、D 2、C 3、C 4、C 5、A 6、A 7、B 8、D （二）9、3x-2y+C=0 10、2 11、6，-5 12、x+y=3或x-2y=0 13、41 y )21x (22=+-（x ≠0） （三）14、C （2，4），∠C=900 15、（1）2)1n (n 2C n += （2）4 )1n (n 22+ （3）n 3 16、（1）利用圆心到直线距离等于半径 （2）(x-1)(y-1)=2 1 (x>1，y>1) （3）322+ 17、（1）画图 3≤b ≤5 （2）k ∈（2 5 , 25-） 18、 2 1 一、选择题 1、设2000200120012002 101101 ,101101 M N ++==++，2000200120012002109109,1010010100P Q ++==++，则M 与N 、P 与Q 的大小关系为 ( ) A.,M N P Q >> B.,M N P Q >< C.,M N P Q <> D.,M N P Q << 解：设点(1,1)A --、点2001 2000(10 ,10)B 、点20022001(10,10)C ，则M 、N 分别表示直线AB 、AC 的斜率，BC 的方程为1 10 y x = ，点A 在直线的下方，∴AB AC K K >，即M ＞N ； 同理，得P Q <。 答案选B 。 仔细体会题中4个代数式的特点和“数形结合”的好处 2、已知两圆相交于点(1,3)(,1)A B m -和点，两圆圆心都在直线:0l x y c -+=上，则c m +的值等于 ( ) A ．-1 B ．2 C ．3 D ．0 解：由题设得：点B A ,关于直线0=+-c y x 对称,41 151AB l k m m k -= =-=-?=-； 线段AB 的中点(3,1)在直线0=+-c y x 上，23c m c ∴=-∴+=，答案选C 。 3、三边均为整数且最大边的长为11的三角形的个数为 ( ) A.15 B.30 C.36 D.以上都不对 解：设三角形的另外两边长为x ,y ,则 01101111x y x y <≤?? <≤??+>? ；注意“=”号，等于11的边可以多于一条。 点(,)x y 应在如右图所示区域内： 当x =1时，y =11；当x =2时，y =10,11；当x =3时，y =9,10,11；当 x =4时，y =8,9,10,11；当x =5时，y =7,8,9,10,11。以上共有15个，x ,y 对调又有15个。 再加(6，6），(7，7），(8，8），(9，9），(10，10）、(11， 11），共36个，答案选C 。 4、设0m >，则直线2()10x y m +++=与圆22 x y m +=的位置关系为 （ ） A.相切 B.相交 C.相切或相离 D.相交或相切 解：圆心(0,0)到直线的距离为12 m d += ，圆半径r m =。 ∵211 (1)022 m d r m m +-=-=-≥， ∴直线与圆的位置关系是相切或相离，答案选C 。 5、已知向量(2cos ,2sin ),(3cos ,3sin ),m n ααββ==若m 与n 的夹角为60?，则直线 1:cos sin 02l x y αα-+ =与圆221 :(cos )(sin )2 C x y ββ-++=的位置关系是（ ） A ．相交但不过圆心 B ．相交过圆心 C ．相切 D ．相离 解： 06(cos cos sin sin )1 cos()cos60232|||| m n m n αβαβαβ?+==-==??， 圆心(cos ,sin )C ββ-到直线l 的距离r d =>=+ -=2 21|21)cos(|βα， ∴直线与圆相离，答案选D 。 复习向量点乘积和夹角余弦的计算及三角函数公式 6、已知圆2 2 :(3)(5)36O x y -++=和点(2,2),(1,2)A B --,若点C 在圆上且ABC ?的面积为 2 5 ,则满足条件的点C 的个数是 （ ） A.1 B.2 C.3 D.4 解:由题设得：5AB =， 5 2 ABC S ?= ，∴点C 到直线AB 的距离1d =, 直线AB 的方程为0234=--y x ,与直线AB 平行且距离为1的直线为1 2:4330 :4370 l x y l x y -+=??--=? 得：圆心(3,5)O 到直线1l 的的距离16d r ==,到直线2l 的距离为24d r =<, ∴圆O 与直线1l 相切；与直线2l 相交, ∴满足条件的点C 的个数是3，答案选C 7、若圆2221:()()1C x a y b b -+-=+始终平分圆22 2:(1)(1)4C x y +++=的周长,则实数b a ,应满足的关系是 ( ) A ．03222=---b a a B ．05222 =+++b a a C ．0122222=++++b a b a D ．0122232 2=++++b a b a 解：公共弦所在的直线l 方程为：22222 (1)(1)-4-()()--1=0x y x a y b b ????+++-+-????， 即：01)1(2)1(22 =--+++a y b x a ， 圆1C 始终平分圆2C 的周长，∴圆2C 的圆心()1,1--在直线l 上, 01)1(2)1(22=--+-+-∴a b a ，即05222=+++b a a ，答案选B 。 8、在平面内,与点)2,1(A 距离为1, 与点)1,3(B 距离为2的直线共有 ( ) A.1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 解：直线l 与点)2,1(A 距离为1，所以直线l 是以A 为圆心1为半径的圆的切线， 同理直线l 也是以B 为圆心2为半径的圆的切线，即两圆的公切线， 3AB =<，∴两圆相交，公切线有2条，答案选B 。 想一下，如果两圆相切或相离，各有几条公切线？ 二、填空题 1、直线2x －y －4=0上有一点P ，它与两定点A (4，－1)，B (3，4)的 距离之差最大，则P 点坐标是______ ___. 解：A 关于l 的对称点A ′，A ′B 与直线l 的 交点即为所求的P 点。得P (5，6）。 想一想，为什么，A ′B 与直线l 的交点即为所求的P 点？ 如果A 、B 两点在直线的同一边，情况又如何？ B A B P A P C 2、设不等式2 21(1)x m x ->-对一切满足2m ≤的值均成立，则x 的范围为 。 解：原不等式变换为2 (1)(12)0x m x -+-<， 设：2 ()(1)(12)f m x m x =-+-，(22)m -≤≤，按题意得：(2)0,(2)0f f -<<。 即：2 2 223011222210 x x x x x ?+->??< 3、已知直线:40l x y -+=与圆()()2 2 :112C x y -+-=，则C 上各点到l 的距离的最大值与最小值之差为 。 解： 圆心()1,1C 到直线的距离 r =>=∴直线与圆相离， ∴C 上各点到l 的距离的最大值与最小值之差=r 2=22 。 4、直线122()112 x t t y t ?=-????=-+??为参数被圆224x y +=截得的弦长为______________。 解：直线方程消去参数t 得：10x y +-= ，圆心到直线的距离2d = = ，弦长的一半为2 = 5、已知圆2 2 :(cos )(sin )1M x y θθ++-=，直线:l y kx =，以下命题成立的有___________。 ①对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 相切； ②对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 有公共点； ③对任意实数θ，必存在实数k ，使得直线l 和圆M 相切 ④对任意实数k ，必存在实数θ，使得直线l 和圆M 相切 解：圆心坐标为()cos ,sin M θθ- sin()1d r θ?= =+≤=，所以命题②④成立。 仔细体会命题③④的区别。 6、点A (－3，3)发出的光线l 射到x 轴上被x 轴反射，反射光线与圆2 2 :4470C x y x y +--+=相切，则光线l 所在直线方程为____ __。 解：光线l 所在的直线与圆C 关于x 轴对称的圆' C 相切。圆心' C 坐标为()2,2-，半径1r =， 直线过点A (－3，3)，设l 的方程为：3(3)y k x -=+，即：330kx y k -++= 圆心' C 到直线l 的距离1d = =，21225120k K ?++= 解得：43k =-或3 4 k =-，得直线l 的方程：4330x y ++=或3430x y +-=。 7、直线x m y 2 = 与圆0422=-+++ny mx y x 交于M 、N 两点， 且M 、N 关于直线0=+y x 对称，则弦MN 的长为 。 解：由直线2 m y x =与直线0=+y x 垂直2m ?=，由圆心在直线0x y +=上2n ?=-， 圆方程为22 (1)(1)6x y ++-=，圆心为()1,1-，圆心到直线的距离110211 d --+==+， ∴弦MN 的长=2222624r d -=-= 8、过圆2 2 4x y +=内一点)1,1(A 作一弦交圆于C B 、两点,过点C B 、分别作圆的切线 PC PB 、，两切线交于点P ，则点P 的轨迹方程为 。 解：设00(,)P x y ,根据题设条件，线段BC 为点P 对应圆上的切点弦， ∴直线BC 的方程为400=+y y x x ,A 点在BC 上，400=+∴y x , 即P 的轨迹方程为：4=+y x 。 注意掌握切点弦的证明方法。 三、解答题 1、已知过原点O 的一条直线与函数8log y x =的图象交于A 、B 两点，分别过点A 、B 作y 轴的 平行线与函数2log y x =的图象交于C 、D 两点。 （1）证明：点C 、D 和原点O 在同一直线上；（2）当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标。 解：（1）设A 、B 的横坐标分别为12x x 、，由题设知1211x x >>、， 得点181282(,log )(,log )A x x B x x 、，121222(,log )(,log )C x x D x x 、， A 、B 在过点O 的直线上，∴ 8182 12 log log x x x x =， 81 82 212211 22 3log 3log log log OC OD x x x x k k x x x x = === ，，得：OC OD k k =，∴O 、C 、D 共线。 （2）由BC 平行于x 轴，有3 218221log log x x x x =?= 代入 8182 12 log log x x x x =，得3181181log 3log x x x x =，11x >,81log 0x ∴≠ ∴3113x x =，13x =8(3,log 3)A 。 2、设数列{}n a 的前n 项和(1)n S na n n b =+-，(1,2,)n =，a 、b 是常数且0b ≠。 （1）证明：{}n a 是等差数列； （2）证明：以,1n n S a n ?? - ??? 为坐标的点n P ，(1,2,)n =落在同一直线上，并求直线方程。 （3）设1 1,2 a b == ，C 是以(,)r r 为圆心，r 为半径的圆(0)r >，求使得点P 1、P 2、P 3都落在圆C 外时，r 的取值范围。 解：（1）证明：由题设得11a S a ==；当n ≥2时， [][]1(1)(1)(1)(2)2(1)n n n a S S na n n b n a n n b a n b -=-=+---+--=+-， [][]12(1)2(2)2n n a a a n b a n b b --=+--+-=。 ∴所以{}n a 是以a 为首项，2b 为公差的等差数列。证毕； （2）证明：∵0b ≠，对于n ≥2， 111(1)11(1)112(1)2(1)2n n P P n S S na n n b a n b n a k a a a n b a n b ????+----- ? ?-????====-+--- ∴以,1n n S a n ?? - ??? 为坐标的点n P ，(1,2,)n =落在过点1 (,1)P a a -，斜率为21的同一直线上， 此直线方程为：1 (1)()2y a x a --=-，即220x y a -+-=。 （3）解：当11,2a b ==时，得()()12311,02,3,12P P P ?? ??? 、、，都落在圆C 外的条件是 222222222(1)1(1)()2(3)(1)r r r r r r r r r ?-+>??-+->???-+->? ?222(1)0 175048100 r r r r r ?->?? -+>???-+>? 由不等式①，得r ≠1 由不等式②，得r ＜ 52－2或r ＞5 2 +2 由不等式③，得r ＜4－6或r ＞4+6 再注意到r ＞0，1＜25－2＜4－6=2 5 +2＜4+6 ∴使P 1、P 2、P 3都落在圆C 外时，r 的取值范围是(0，1)∪(1,2 5 －2)∪(4+6,+∞)。 3、已知1a <、1b <、1c <，求证：2abc a b c +>++ 证一：111a a 1 1111 b b c bc c ? 则： (1)(1)(1)(1)0 (1)(1)(1)(1)(1)(1)0f bc b c f bc b c b c -=-+-+->? ??=-+-+-=-->? 当a (1,1)∈-，即1a <时，上述函数()y f a =表示的直线都在a 轴上方，即： 1a <、1b <、1c <，不等式2abc a b c +>++成立，证毕。 因为题中变量较多，考虑“固定”某变量（这里是a ），然后利用一次函数的性质来证明代数不等 ① ② ③ 式的方法值得借鉴。 证二： 1a <、1b <，(1)(1)10a b ab a b ∴--=--+>，即：1 a b ab +<+①； 1 11 a a b b ? c <1ab c abc ?+<+②（将ab 看作一个数，利用①的结论） 由①式得1ab a b >+-，11a b c ab c abc +-+<+<+， 即：2abc a b c +>++，证毕。 仔细体会上述递推证明的方法，你能进一步推广运用吗？如试证明4a b c d e abcde ++++<+，其中,,,,(1,1)a b c d e ∈-。 4、求与圆52 2=+y x 外切于点)2,1(-P ，且半径为52的圆的方程 解一：设所求圆的圆心为),(b a C ，则222 (1)(2)2 11 a b b a ?++-=? ?= ?-?（） ????=-=63b a ， ∴所求圆的方程为20)6()3(2 2=-++y x 。 注：因为两圆心及切点共线得（1）式 解二：设所求圆的圆心为),(b a C ，由条件知11 (1,2)(,)33 OP OC a b =∴-= ???=-=∴6 3b a ，所求圆的方程为20)6()3(2 2=-++y x 。 仔细体会解法2，利用向量表示两个圆心的位置关系，同时体现了共线关系和长度关系，显得更 简洁明快，值得借鉴。 5、如图，已知圆心坐标为)1,3(M 的圆M 与x 轴及直线 x y 3=均相切，切点分别为A 、B ，另一圆N 与圆M 、 x 轴及直线x y 3=均相切，切点分别为C 、D 。 （1）求圆M 和圆N 的方程； （2）过B 点作MN 的平行线l ，求直线l 被圆N 截得的弦的长度； 解：（1）由于圆M 与BOA ∠的两边相切，故M 到OA 及OB 的距离均为圆M 的半径，则M 在 BOA ∠的角平分线上，同理，N 也在BOA ∠的角平分线上， 即N M O 、、三点共线，且OMN 为BOA ∠的角平分线， M 的坐标为)1,3(M ，M ∴到x 轴的距离为1，即：圆M 的半径为1， ∴圆M 的方程为1)1()3(22=-+-y x ； 设圆N 的半径为r ，由OCN Rt OAM Rt ??~，得：NC MA ON OM ::=, 即 31 32=?=+r r r ，33=OC ，∴圆N 的方程为：9)3()33(22=-+-y x ； （2）由对称性可知，所求弦长等于过A 点的MN 的平行线被圆N 截得的弦长， 此弦所在直线方程为)3(3 3 -=x y ，即033=--y x ， 圆心N 到该直线的距离2 3 3 13 3333= +-?-= d ，则弦长=33222=-d r 注：也可求得B 点坐标?? ? ? ??23,23，得过B 点MN 的平行线l 的方程033=+-y x ，再根据圆心N 到直线l 的距离等于2 3 ，求得答案33；还可以直接求A 点或B 点到直线的距离，进而求得弦长。 6、已知两圆4:2 21=+y x C ；0442:2 2 2=+--+y x y x C ，直线02:=+y x l ，求经过圆 21C C 、的交点且和直线l 相切的圆的方程。 解：设所求圆的方程为0)4(4422 2 2 2 =-+++--+y x y x y x λ， 即：04442)1()1(22 =-+--+++λλλy x y x ，得： 圆心坐标为??? ??++λλ12,11；半径?? ? ??+--??? ??+-+??? ??+-=λλλλ11161412212 2r ， 所求圆与直线l 相切，∴圆心到直线的距离 2111614125 14 112 2? ? ? ??+--??? ??+-+??? ??+-==+++=λλλλλλr d ，解得1±=λ，舍去1-=λ ∴所求圆的方程为：0222=--+y x y x 要熟练掌握过两圆交点的圆系的方程及公共弦的直线方程（=-1λ） 7、如果实数x 、y 满足2 2 (2)3x y ++=，求 y x 的最大值、2y x -的最小值。 解：（1）问题可转化为求圆22 (2)3x y ++=上点到原点的连线的斜率y k x =的最大值。 设过原点的直线方程为y kx =，由图形性质知当直线斜率取最值时，直线与圆相切。 = k ?= max x y ??∴=????（2）,x y 满足22 (2)3x y ++= ，2x y θθ ?=-+???=?? 244)x y θθθ?∴-=-+=-++ { }min 24x y ∴-=- 注意学习掌握解（2）中利用圆的参数方程将关于x,y 的二元函数转化为关于角θ的一元函数，从而方便求解的技巧。 8、已知圆2 2 :(1)(2)25C x y -+-=，直线:(21)(1)740l m x m y m +++--=，()m R ∈。 （1）证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点； （2）求直线被圆C 截得的弦长最小时l 的方程. 解：（1）解法1：l 的方程(4)(27)0x y m x y +-++-=，()m R ∈ 270,3, 40,1, x y x x y y +-==??∴??? +-==?? 即l 恒过定点(3,1)A 圆心坐标为(1,2)C ，半径5r = ，AC r =<， ∴点A 在圆C 内，从而直线l 恒与圆C 相交于两点。 解法2：圆心到直线l 的距离d =，0265)34(522 2 <+++-=-m m m d r d =<<∴55，所以直线l 恒与圆C 相交于两点。 （2）弦长最小时，l AC ⊥，121312 AC k -==--，2l k ∴=，213 214m m m +∴- =?=-+ 代入(21)(1)740m x m y m +++--=，得l 的方程为250x y --=。 注意掌握以下几点：（1）动直线斜率不定，可能经过某定点；（2）直线与圆恒有公共点?直线 经过的定点在圆内，此结论可推广到圆锥曲线；（3）过圆内一点，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦。 9、已知圆2 22)5()3(:r y x C =++-和直线0234:=--y x l ， （1）若圆C 上有且只有4个点到直线l 的的距离等于1，求半径r 的取值范围； （2）若圆C 上有且只有3个点到直线l 的的距离等于1，求半径r 的取值范围； （3）若圆C 上有且只有2个点到直线l 的的距离等于1，求半径r 的取值范围； 解一：与直线:4320l x y --=平行且距离为1的直线有两条，分别为： 1:4330l x y -+=，0734:2=--y x l ，注意掌握平行直线的表示方法及其距离计算。 圆心C 到直线1l 的的距离为61=d ,到直线2l 的的距离为42=d ,则： （1）圆C 上有且只有4个点到直线l 的的距离等于1466r r r ?>>?>且 （2）圆C 上有且只有3个点到直线l 的的距离等于1466r r r ?>=?=且 （3）圆C 上有且只有2个点到直线l 的的距离等于14646r r r ?> （1）圆C 上有且只有4个点到直线l 的的距离等于116r d r ?->?>， （2）圆C 上有且只有3个点到直线l 的的距离等于116r d r ?-=?=， （3）圆C 上有且只有2个点到直线l 的的距离等于11146r d r ?-<- 解法1采用将问题转化为直线与圆的交点个数来解决，具有直观明了的优点，对解决这类问题特别有效；解法2的着眼点是观察从劣弧的点到直线l 的最大距离,请仔细体会。 10、已知O 为原点，定点(4,0)Q ，点P 是圆2 2 4x y +=上一动点。 （1）求线段PQ 中点的轨迹方程； （2）设POQ ∠的平分线交PQ 于R ，求R 点的轨迹方程。 解：（1）设PQ 中点(,)M x y ，则(24,2)P x y - （2）设(,)R x y ，其中0y ≠，(,)P m n ，由 24PR OP RQ OQ ==34232 x m y n -?=??? ?=??，代入圆方程224x y +=并化简得： 2 2 41639x y ??-+= ? ?? (0)y ≠。当y =0时，即P 在x 轴上时，POQ ∠的平分线无意义。 （1）本题的解法称作相关点转移法求轨迹，其核心是找到未知与已知动点之间的坐标关系；（2） 处理“角平分线”问题，一般有以下途径：①转化为对称问题②利用角平分线性质，转化为比例关系③利用夹角相等。 11、如图所示，过圆22 :4O x y +=与y 轴正半轴的交点A 作圆的切线l ，M 为l 上任意一点，再过M 作圆的另一切线，切点为Q ，当点M 在直线l 上移动时，求三角形MAQ 的垂心的轨迹方程。 解：设11(,)Q x y AM ，边上的高为QB MQ ，边上的高为AC ，连接OQ MQ OQ ⊥，， 当0OQ k ≠时，1111 1(0,2),MQ AC OQ x y k A k k y x =- =- =，， 11111:22:AC QB y l y x x x x y y l x x ? -==??∴?? ?=-??=? (,2)Q x y -在224x y +=上，22(2)4x y ∴+-=, 当0OQ k =时，垂心为点B ，也满足方程，而点M 与点N 重合时，不能使A ，M ，Q 构成三角形。 ∴MAQ ?的垂心的轨迹方程为：22(2)4(0)x y x +-=≠。 12、已知函数2 ()(1)f x x =+ （1）在曲线()y f x t =+上存在两点关于直线y x =对称，求t 的取值范围； （2）在直线1 4 y =- 上取一点P ，过P 作曲线()y f x t =+的两条切线1l 、2l ，求证：12l l ⊥ 解：（1）设曲线上关于直线y x =的对称点为11(,)A x y 和22(,)B x y ，线段AB 的中点00(,)M x y ， 则直线AB 垂直于直线y x =，设直线AB 的方程为：y x b =-+。 则222()(1)(23)(1)0y f x t x t x t x t b y x b ?=+=++?++++-=?=-+? 据题意得：22 (23)4(1)4540 t t b t b ???=+-+-=++>??（1） 22023 22 x x t x ++= =-，M 在直线AB 上，∴0023 2 t y x b b +=-+=+ 又M 在直线y x =上，00x y ∴=，得23b t =--， 代入式（1)得7 4t <-。 （2）设P 点坐标为1 (,)4 a -，则过P 点所作的切线方程为： 1 ()4 y k x a +=-，则有 []2 22 ()(1)12(1)(1)01 4() 4 y f x t x t x t k x t ka y k x a ?=+=++??++-++++=?+=-?? []22212(1)4(1)4(1)10 4t k t ka k t a k ? ??=+--+++=-++-=???? 直线1l 、2l 的斜率12k k 、为方程2 4(1)10k t a k -++-=的两个根， ∴121k k ?=-，∴12l l ⊥，证毕。 13、已知圆22 :(2)1M x y +-=，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B 两点， 求动弦AB 的中点P 的轨迹方程。 解：连接MB ，MQ ，设(,)(,0)P x y Q a ，， 点M ，P ，Q 在一直线上，得22y a x -∴ =-① 由射影定理得2 ||||||MB MP MQ =?，即： 1 =② ①式代入②式，消去a ，得2 271 416 x y ??+- = ? ??③， 从几何图形可分析出2y <，又由③式得2 71324162y y ? ?-≤?≤≤ ???(2)y ≠， ∴动弦AB 的中点P 的轨迹方程是：2 2 71-(2)416 x y y ?? +=≠ ???，。 人教版高中数学《直线和圆的方程》教案全套 直线的倾斜角和斜率 一、教学目标 (一)知识教学点 知道一次函数的图象是直线，了解直线方程的概念，掌握直线的倾斜角和斜率的概念以及直线的斜率公式． (二)能力训练点 通过对研究直线方程的必要性的分析，培养学生分析、提出问题的能力；通过建立直线上的点与直线的方程的解的一一对应关系、方程和直线的对应关系，培养学生的知识转化、迁移能力． (三)学科渗透点 分析问题、提出问题的思维品质，事物之间相互联系、互相转化的辩证唯物主义思想． 二、教材分析 1．重点：通过对一次函数的研究，学生对直线的方程已有所了解，要对进一步研究直线方程的内容进行介绍，以激发学生学习这一部分知识的兴趣；直线的倾斜角和斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，是研究两条直线位置关系的重要依据，要正确理解概念；斜率公式要在熟练运用上多下功夫． 2．难点：一次函数与其图象的对应关系、直线方程与直线的对应关系是难点．由于以后还要专门研究曲线与方程，对这一点只需一般介绍就可以了． 3．疑点：是否有继续研究直线方程的必要？ 三、活动设计 启发、思考、问答、讨论、练习． 四、教学过程 (一)复习一次函数及其图象 已知一次函数y=2x+1，试判断点A(1，2)和点B(2，1)是否在函数图象上． 初中我们是这样解答的： ∵A(1，2)的坐标满足函数式， ∴点A在函数图象上． ∵B(2，1)的坐标不满足函数式， ∴点B不在函数图象上． 现在我们问：这样解答的理论依据是什么？(这个问题是本课的难点，要给足够的时间让学生思考、体会．) 讨论作答：判断点A在函数图象上的理论依据是：满足函数关系式的点都在函数的图象上；判断点B不在函数图象上的理论依据是：函数图象上的点的坐标应满足函数关系式．简言之，就是函数图象上的点与满足函数式的有序数对具有一一对应关系． (二)直线的方程 引导学生思考：直角坐标平面内，一次函数的图象都是直线吗？直线都是一次函数的图象吗？ 一次函数的图象是直线，直线不一定是一次函数的图象，如直线x=a连函数都不是． 一次函数y=kx+b，x=a都可以看作二元一次方程，这个方程的解和它所表示的直线上的点一一对应． 以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解．这时，这个方程就叫做这条直线的方程；这条直线就叫做这个方程的直线． 上面的定义可简言之：(方程)有一个解(直线上)就有一个点；(直线上)有一个点(方程)就有一个解，即方程的解与直线上的点是一一对应的． 显然，直线的方程是比一次函数包含对象更广泛的一个概念． (三)进一步研究直线方程的必要性 通过研究一次函数，我们对直线的方程已有了一些了解，但有些问题还没有完全解决，如 y=kx+b中k的几何含意、已知直线上一点和直线的方向怎样求直线的方程、怎样通过直线的方程来研究两条直线的位置关系等都有待于我们继续研究． (四)直线的倾斜角 一条直线l向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角，叫做这条直线的倾斜角，如图1-21中的α．特别地，当直线l和x轴平行时，我们规定它的倾斜角为0°，因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°． 1．已知直线和圆有两个交点，则的取值范围是（） A． B． C． D． 2．圆x2+y2-2acos x-2bsin y-a2sin=0在x轴上截得的弦长是（） A．2a B．2|a| C．|a| D．4|a| 3．过圆x2+y2-2x+4y- 4=0内一点M（3，0）作圆的割线，使它被该圆截得的线段最短，则直线的方程是（） A．x+y-3=0 B．x-y-3=0C．x+4y-3=0 D ．x-4y-3=0 4．若直线(1+a)x+y+1=0与圆x2+y2-2x=0相切，则a的值为（） A．1或-1 B．2或-2 C．1 D．-1 5．若直线3x+4y+c=0与圆(x+1)2+y2=4相切，则c的值为（） A．17或-23 B．23或-17 C．7或 -13 D．-7或13 6．若P(x,y)在圆 (x+3)2+(y-3)2=6上运动，则的最大值等于（） A．-3+2 B．-3+ C．-3-2 D．3-2 7．圆x2+y2+6x-7=0和圆x2+y2+6y-27=0的位置关系是（） A．相切 B．相交 C．相 离 D．内含 8．若圆x2+y2=4和圆x2+y2+4x-4y+4=0关于直线对称，则直线的方程是（） A．x+y=0 B．x+y-2=0 C．x-y-2=0 D．x-y+2=01． 9．圆的方程x2+y2+2kx+k2-1=0与x2+y2+2(k+1)y+k2+2k=0的圆心之间的最短距离是（） A． B．2 C．1 D． 10．已知圆x2+y2+x+2y=和圆(x-sin)2+(y-1)2=, 其中0900, 则两圆的位置关系是（） A．相交 B．外切 C．内 切 D．相交或外切 11．与圆(x-2)2+(y+1)2=1关于直线x-y+3=0成轴对称的曲线的方程是（） A．(x-4)2+(y+5)2=1 B．(x-4)2+(y-5)2=1C．(x+4)2+(y+5)2=1 D．(x+4)2+(y-5)2=1 12．圆x2+y2-ax+2y+1=0关于直线x-y=1对称的圆的方程为x2+y2=1, 则实数a 的值为（） A．0 B．1 C． 2 D．2 13．已知圆方程C1：f(x,y)=0，点P1(x1,y1)在圆C1上，点P2(x2,y2)不在圆 C1上，则方程： f(x,y)- f(x1,y1)-f(x2,y2)=0表示的圆C2与圆C1的关系是（） A．与圆C1重 合 B．与圆C1同心圆 C．过P1且与圆C1同心相同的圆 D．过P2且与圆 C1同心相同的圆 14．自直线y=x上一点向圆x2+y2-6x+7=0作切线，则切线的最小值为___________． 15．如果把直线x-2y+=0向左平移1个单位，再向下平移2个单位，便与圆 x2+y2+2x-4y=0相切，则实数的值等于__________． 13.1 不等关系 （一）不等关系与不等式 1. 用数学符号“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子叫做不等式。 2. 数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大。 3. 对于任意两个实数a 和b ，在三种关系中有且只有一种关系成立。 4. 这组关系告诉我们比较两个实数的大小，可以通过判断它们的差 的符号来确定。 5. 若a 、b ∈R ＋，则 这组关系告诉我们比较两个正实数的大小，可以通 过判断它们的商与“1”的大小关系来确定。 （二）不等式的性质 不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础，证明这些性质必须是严格的，不能盲目地乱用。保证每一步推理都有理论根据，否则可能导致推理错误。 1. 等式两边同乘以同一个数仍为等式，但不等式两边同乘以同一个数a （或代数式），结果有三种： （1）当a ＞0时，得同向不等式。 （2）当a ＝0时，得等式。 （3）当 a ＜0时，得异向不等式。 a b,a b,a b =>< 2. 不等式性质，有同向不等式相加，得同向不等式，并无相减。若 或.这个结论常用，不妨记为：“大数减小数大于 小数减大数。” 3. 不等式性质，有均为正数的同向不等式相乘，得同向不等式，并无相除。若 ，这个结论也常用。不妨记为：“大正数除以小正 数大于小正数除以大正数。” 4. 不等式性质有 .不能忽略a 、b 均为正数 这个条件，即由 是不一定成立的。 5. 由 成立。但不一定成立。反过来也不一定成立。事实上。 （三）均值不等式 1. 对于任意实数a ，b 都有 ，当且仅当a ＝ b 时等号成立。 2. 对于任意正实数a ，b ，当且仅当a ＝ b 时等号成立。 3. 对于任意正实数a, b 都有 ，当且仅当a ＝ b 时等号成立。 4. 的几何解释：如图，AB 是⊙O 的直径，C 是AB 上任意一点，DE 是过C 点垂直于AB 的弦。若AC ＝a, BC ＝b 则AB ＝a ＋ b ，⊙O 的半径 ， Rt △ACD ∽Rt △BCD ，,。 a b,c d a c b d >>?->- c b d a ->-a a b 0,c d 0d >>>>? >b c d c b a > 或n n a b 0a b (n N,n 1)>>?>∈>n n a b a b (n N,n 1)>?>∈>11a b 0a b >>? <11a b a b >?<11a b a b 11 a b ab 0a b >>? < 且22a b 2ab +≥a b 2+2 a b ab 2+??≤ ? ??a b 2+a b r 2+= 2 CD AC CB ab =?=CD = 2013高中数学精讲精练 第三章 三角函数B 第5课 三角函数的图像和性质（一） 【考点导读】 1.能画出正弦函数，余弦函数，正切函数的图像，借助图像理解正弦函数，余弦函数在[0,2]π，正切函数在(,)22 ππ - 上的性质； 2.了解函数sin()y A x ω?=+的实际意义，能画出sin()y A x ω?=+的图像； 3.了解函数的周期性，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型． 【基础练习】 1. 已知简谐运动()2sin( )()3 2 f x x π π ??=+< 的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期 T =_________；初相?=__________． 2. 三角方程2sin( 2 π －x )=1的解集为_______________________． 3. 函数),2 ,0)(sin(R x x A y ∈π ω?+ω=的部分图象如图所示，则函数表达式为 ______________________． 4. 要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π?? =- ?3?? 的图象向右平移__________个单位． 【范例解析】 例1.已知函数()2sin (sin cos )f x x x x =+． （Ⅰ）用五点法画出函数在区间,22ππ??-???? 上的图象，长度为一个周期； （Ⅱ）说明()2sin (sin cos )f x x x x =+的图像可由sin y x =的图像经过怎样变换而得到． 例2.已知正弦函数sin()y A x ω?=+(0,0)A ω>>的图像如右图所示． （1）求此函数的解析式1()f x ； （2）求与1()f x 图像关于直线8x =对称的曲线的解析式2()f x ； （3）作出函数12()()y f x f x =+的图像的简图． 第3题 直线和圆 一．直线 1．斜率与倾斜角：tan k θ=，[0,)θπ∈ （1）[0,)2π θ∈时，0k ≥； （2）2πθ=时，k 不存在；（3）(,)2πθπ∈时，0k < （4）当倾斜角从0?增加到90?时，斜率从0增加到+∞； 当倾斜角从90?增加到180? 时，斜率从-∞增加到0 2．直线方程 （1）点斜式：)(00x x k y y -=- （2）斜截式：y kx b =+ （3）两点式：1 21121x x x x y y y y --=-- （4）截距式：1x y a b += （5）一般式：0C =++By Ax 3．距离公式 （1）点111(,)P x y ，222(,)P x y 之间的距离：12PP = （2）点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++= 的距离：d = （3）平行线间的距离：10Ax By C ++=与20Ax By C ++= 的距离：d = 4．位置关系 （1）截距式：y kx b =+形式 重合：1212 k k b b == 相交：12k k ≠ 平行：1212 k k b b =≠ 垂直：121k k ?=- （2）一般式：0Ax By C ++=形式 重合：1221A B A B =且1221A C A C =且1212B C C B = 平行：1221A B A B =且1221A C A C ≠且1212B C C B ≠ 垂直：12120A A B B += 相交：1221A B A B ≠ 5．直线系 1112220A x B y C A x B y C λ++++=＋（）表示过两直线1111:0l A x B y C ++=和2222:0l A x B y C ++=交点的所有直线方程（不含2l ） 二．圆 1．圆的方程 （1）标准形式：222 ()()x a y b R -+-=（0R >） （2）一般式：220x y Dx Ey F ++++=（2240D E F +->） （3）参数方程：00cos sin x x r y y r θθ=+??=+? （θ是参数） 【注】题目中出现动点求量时，通常可采取参数方程转化为三角函数问题去解决. （4）以11(,)A x y ,22(,)B x y 为直径的圆的方程是：()()()()0A B A B x x x x y y y y --+--= 2．位置关系 （1）点00(,)P x y 和圆222 ()()x a y b R -+-=的位置关系： 当22200()()x a y b R -+-<时，点00(,)P x y 在圆222()()x a y b R -+-=内部 当22200()()x a y b R -+-=时，点00(,)P x y 在圆222()()x a y b R -+-=上 当22200()()x a y b R -+->时，点00(,)P x y 在圆222()()x a y b R -+-=外 （2）直线0Ax By C ++=和圆222()()x a y b R -+-=的位置关系： 判断圆心(,)O a b 到直线0Ax By C ++= 的距离d = R 的大小关系 当d R <时，直线和圆相交（有两个交点）； 当d R =时，直线和圆相切（有且仅有一个交点）； 当d R <时，直线和圆相离（无交点）； 一选择题（共 55 分，每题 5 分） 1. 已知直线经过点 A(0,4)和点 B （ 1， 2），则直线 AB 的斜率为（ ） A.3 B.-2 C. 2 D. 不存在 2．过点 ( 1,3) 且平行于直线 x 2 y 3 0 的直线方程为（ ） A ． x 2y 7 0 B ． 2x y 1 0 C ． x 2y 5 0 D ． 2x y 5 0 3. 在同一直角坐标系中，表示直线 y ax 与 y x a 正确的是（ ） y y y y O x O x O x O x A B C D 4．若直线 x+ay+2=0 和 2x+3y+1=0 互相垂直，则 a=（ ） A ． 2 B ． 2 C ． 3 3 3 3 2 D ． ( 2 5.过 (x ， y )和 (x ， y )两点的直线的方程是 ) 1 1 2 2 A. y y 1 x x 1 y 2 y 1 x 2 x 1 B. y y 1 x x 1 y 2 y 1 x 1 x 2 C.( y 2 y 1 )( x x 1) (x 2 x 1 )( y y 1) 0 D.( x 2 x 1)( x x 1) ( y 2 y 1 )( y y 1 ) 0 6、若图中的直线 L 1 、 L 2、 L 3 的斜率分别为 K 1、K 2、 K 3 则（ ） A 、 K ﹤ K ﹤ K L 3 1 2 3 L B 、 K ﹤ K ﹤ K 2 1 3 C 、 K 3﹤ K 2﹤ K 1 o x D 、 K 1﹤K 3﹤ K 2 L 1 7、直线 2x+3y-5=0 关于直线 y=x 对称的直线方程为（ ） A 、 3x+2y-5=0 B 、 2x-3y-5=0 C 、 3x+2y+5=0 D 、 3x-2y-5=0 8、与直线 2x+3y-6=0 关于点 (1,-1)对称的直线是（ ） A.3x-2y-6=0 B.2x+3y+7=0 C. 3x-2y-12=0 D. 2x+3y+8=0 概念形成 1、元素：我们把问题中被取的对象叫做元素 2、排列：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺．．．． 序．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．． 。 说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列（与位置有关） （2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同 合作探究二 排列数的定义及公式 3、排列数：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出 m 元素的排列数，用符号m n A 表示 议一议：“排列”和“排列数”有什么区别和联系？ 4、排列数公式推导 探究：从n 个不同元素中取出2个元素的排列数2n A 是多少？3n A 呢？m A n 呢？ )1()2)(1(+-?--=m n n n n A m n （,,m n N m n *∈≤） 说明：公式特征：（1）第一个因数是n ，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个 因数是1n m -+，共有m 个因数； （2）,,m n N m n *∈≤ 即学即练: 1.计算 (1）410A ； (2）25A ；(3)3355A A ÷ 2.已知101095m A =???，那么m = 3．,k N +∈且40,k ≤则(50)(51)(52)(79)k k k k ----用排列数符号表示为( ) A ．5079k k A -- B ．2979k A - C ．3079k A - D ．3050k A - 例1． 计算从c b a ,,这三个元素中，取出3个元素的排列数，并写出所有的排列。 5 、全排列：n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的全排列。 此时在排列数公式中， m = n 全排列数：(1)(2)21!n n A n n n n =--?=（叫做n 的阶乘）. 即学即练:口答（用阶乘表示）：（1）334A （2）44A （3）)!1(-?n n 排列数公式的另一种形式： )! (!m n n A m n -= 另外，我们规定 0! =1 . 第七章 数列 第一节 等差数列 题型73、等差数列基本运算 ? 知识点摘要： ? 定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做 等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)． ? 等差数列的通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ；通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)． ? 等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b 2，其中A 叫做a ，b 的等差中项． ? 等差中项的推论：在等差数列中，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)． 若m ＋n ＝2p ，则2a p ＝a m ＋a n (m ，n ，p ∈N *)． ? 前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (a 1＋a n ) 2. ? 等差数列的通项公式及前n 项和公式与函数的关系 1. 集合当d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数；当d >0时，数列为递增数列；当d <0时，数列为递减数列． 2. 公差不为0时，S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．S n 是关于n 的二次函数，且常数项为0. ? 典型例题精讲精练： 1. (2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( )B A ．－12 B ．－10 C ．10 D ．12 2. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝4，S 4＝22，a n ＝28，则n ＝( )D A ．3 B ．7 C ．9 D ．10 3. (2019·开封高三定位考试)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 5＝10，S 4＝16，则数列{a n }的公差为( )B A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3·a 5＝12，a 2＝0.若a 1>0，则S 20＝( )D A ．420 B ．340 C ．－420 D ．－340 5. 在等差数列{a n }中，已知a 5＋a 10＝12，则3a 7＋a 9＝( )C A ．12 B ．18 C ．24 D ．30 高二数学《直线和圆的方程》综合测试题 一、 选择题： 1．如果直线l 将圆：04222=--+y x y x 平分，且不通过第四象限，那么l 的斜率取值范围是（ ） A ．]2,0[ B ．)2,0( C ．),2()0,(+∞-∞ D ．),2[]0,(+∞-∞ 2.直线083=-+y x 的倾斜角是( ) A. 6π B. 3 π C. 32π D. 65π 3. 若直线03)1(:1=--+y a ax l ，与02)32()1(:2=-++-y a x a l 互相垂直， 则a 的值为（ ） A ．3- B ．1 C ．0或2 3 - D ．1或3- 4. 过点)1,2(的直线中被圆04222=+-+y x y x 截得的弦长最大的直线方程 是( ) A.053=--y x B. 073=-+y x C. 053=-+y x D. 053=+-y x 5.过点)1,2(-P 且方向向量为)3,2(-=的直线方程为( ) A.0823=-+y x B. 0423=++y x C. 0132=++y x D. 0732=-+y x 6.圆1)1(22=+-y x 的圆心到直线x y 3 3 = 的距离是( ) A. 2 1 B. 23 C.1 D. 3 7.圆4)1()3(:221=++-y x C 关于直线0=-y x 对称的圆2C 的方程为:( ) A. 4)1()3(22=-++y x B. 4)3()1(22=-++y x C. 4)3()1(22=++-y x D. 4)1()3(22=++-y x 8.过点)1,2(且与两坐标轴都相切的圆的方程为（ ） A ．1)1()1(22=-+-y x B ．25)5()5(22=-++y x C ．1)1()1(22=-+-y x 或25)5()5(22=-+-y x D ．1)1()1(22=-+-y x 或25)5()5(22=-++y x 9. 直线3y kx =+与圆22(2)(3)4x y -+-=相交于N M ,两点，若≥||MN 则k 的取值范围是( ) A ．3 [,0]4 - B ．[ C ．[ D ．2 [,0]3 - 10. 下列命题中，正确的是（ ） A ．方程 11 =-y x 表示的是斜率为1，在y 轴上的截距为2的直线； B ．到x 轴距离为5的点的轨迹方程是5=y ； C ．已知ABC ?三个顶点)0,3(),0,2(),1,0(-C B A ，则 高AO 的方程是0=x ； D ．曲线023222=+--m x y x 经过原点的充要条件是0=m . 11.已知圆0:22=++++F Ey Dx y x C ,则0==E F 且0 高中数学-二项式定理精讲精练 1．二项式定理 （1）二项式定理 011()C C C C ()n n n k n k k n n n n n n a b a a b a b b n --*+=+++++∈L L N ，这个公式叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式，共有____________项，其中各项的系数_____________叫做二项式系数. 说明：二项式定理中的,a b 既可以取任意实数，也可以取任意的代数式，还可以是别的.在二项式定理中，如果设1,a b x ==，则得到公式： 0122(1)C C C C C n k k n n n n n n n x x x x x +=++++++L L . （2）二项展开式的通项 二项展开式中的C k n k k n a b -叫做二项展开式的通项，用1k T +表示，即通项为展开式的第 __________项：1C k n k k k n T a b -+=. 2．“杨辉三角”与二项式系数的性质 （1）杨辉三角 当n 依次取1,2，3，…时，()n a b +展开式的二项式系数可以表示成如下形式： 该表称为“杨辉三角”，它蕴含着许多规律：例如：在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的其余各数都等于它“肩上”两个数字之_______. （2）二项式系数的性质 ①对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数_________.事实上，这一性质可直接 由公式C C m n m n n -=得到. ②增减性与最大值.当12n k +< 时，二项式系数是逐渐增大的；当1 2 n k +>时，二项式系数是逐渐减小的，因此二项式系数在中间取得最大值.当n 是偶数时，中间的一项的二项式系数_________最大；当n 是奇数时，中间的两项的二项式系数_________相等且最大. ③各二项式系数的和.已知0122(1)C C C C C n k k n n n n n n n x x x x x +=++++++L L .令1x =， 则0122C C C C n n n n n n =++++L .也就是说，()n a b +的展开式的各个二项式系数的和为 _________. K 知识参考答案： 1．（1）n +1C ({0,1,2,,})k n k n ∈L （2）1k + 2．（1）和（2）①相等②2C n n 1122C ,C n n n n -+③2n K —重点 二项式定理及二项展开式的通项公式 K —难点 用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题 K —易错 容易混淆项与项的系数，项的系数与项的二项式系数 一、二项展开式中特定项（项的系数）的计算 求二项展开式的特定项问题,实质是考查通项的特点,一般需要建立方程求k ,再将k 的值代回通项求解,注意k 的取值范围（0,1,2,,k n =L ）.一定要记准二项式的展开式，对于较复杂的二项式，有时先化简再展开更简捷. 【例1】已知在 的展开式中，第6项为常数项. （1）求含的项的系数； （2）求展开式中所有的有理项. 高中数学直线与圆精选题目（附答案） 一、两直线的位置关系 1．求直线斜率的基本方法 (1)定义法：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率k ＝tan α. (2)公式法：已知直线过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，且x 1≠x 2，则斜率k ＝y 2－y 1 x 2－x 1. 2．判断两直线平行的方法 (1)若不重合的直线l 1与l 2的斜率都存在，且分别为k 1，k 2，则k 1＝k 2?l 1∥l 2. (2)若不重合的直线l 1与l 2的斜率都不存在，其倾斜角都为90°，则l 1∥l 2. 3．判断两直线垂直的方法 (1)若直线l 1与l 2的斜率都存在，且分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－1?l 1⊥l 2. (2)已知直线l 1与l 2，若其中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则l 1⊥l 2. 1.已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值． (1)l 1⊥l 2且l 1过点(－3，－1)； (2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． [解] (1)∵l 1⊥l 2， ∴a (a －1)－b ＝0，① 又l 1过点(－3，－1)， ∴－3a ＋b ＋4＝0.② 解①②组成的方程组得??? a ＝2， b ＝2. (2)∵l 2的斜率存在，l 1∥l 2， ∴直线l 1的斜率存在． ∴k 1＝k 2，即a b ＝1－a .③ 又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，l 1∥l 2， ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数， 即4 b ＝－(－b )．④ 由③④联立，解得??? a ＝2， b ＝－2或????? a ＝23 ，b ＝2. 经检验此时的l 1与l 2不重合，故所求值为 ??? a ＝2， b ＝－2或????? a ＝23 ， b ＝2. 注： 已知两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0 (1)对于l 1∥l 2的问题，先由A 1B 2－A 2B 1＝0解出其中的字母值，然后代回原方程检验这时的l 1和l 2是否重合，若重合，舍去． (2)对于l 1⊥l 2的问题，由A 1A 2＋B 1B 2＝0解出字母的值即可． 2．直线ax ＋2y －1＝0与直线2x －3y －1＝0垂直，则a 的值为( ) A ．－3 B ．－4 3 C ．2 D ．3 解析：选D 由2a －6＝0得a ＝3.故选D. 3．已知直线x ＋2ay －1＝0与直线(a －1)x ＋ay ＋1＝0平行，则a 的值为( ) A.32 B.32或0 C ．0 D ．－2 解析：选A 当a ＝0时，两直线的方程化为x ＝1和x ＝1，显然重合，不符合题意；当a ≠0时，a －11＝a 2a ，解得a ＝3 2.故选A. 二、直线方程 1．直线方程的五种形式 “直线与圆”单元测试 一、选择题 1．直线 3x ＋y －3＝0的倾斜角为( ) A. π6 B.π3 C.2π3 D.5π6 解析：选C ∵直线3x ＋y －3＝0可化为y ＝－3x ＋3， ∴直线的斜率为－3， 设倾斜角为α，则tan α＝－3， 又∵0≤α<π，∴α＝2π3 . 2.如图，直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为 1， 2， 3，则必有( ) A ． 1＜ 2＜ 3 B ． 3＜ 1＜ 2 C ． 3＜ 2＜ 1 D ． 1＜ 3＜ 2 解析：选D 由图可知 1＜0， 2＞0， 3＞0，且 2＞ 3，所以 1＜ 3＜ 2. 3．经过点(1,0)，且圆心是两直线x ＝1与x ＋y ＝2的交点的圆的方程为( ) A ．(x －1)2＋y 2＝1 B ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 C ．x 2＋(y －1)2＝1 D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 解析：选B 由????? x ＝1，x ＋y ＝2，得????? x ＝1，y ＝1， 即所求圆的圆心坐标为(1,1)， 又由该圆过点(1,0)，得其半径为1， 故圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2 ＝1. 4．过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点，且垂直于直线x －2y ＝0的直线方程是( ) A ．2x ＋y －8＝0 B ．2x －y －8＝0 C ．2x ＋y ＋8＝0 D ．2x －y ＋8＝0 解析：选A 设过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点的直线方程为2x －y ＋4＋λ(x －y ＋5)＝0，即(2＋λ)x －(1＋λ)y ＋4＋5λ＝0， ∵该直线与直线x －2y ＝0垂直， 导数经典例题精讲 导数知识点 导数是一种特殊的极限 几个常用极限:(１）1 lim 0n n →∞=,lim 0n n a →∞=（||1a <);(2)00lim x x x x →=，0011lim x x x x →= . 两个重要的极限 ：（1)0sin lim 1x x x →=;（2）1lim 1x x e x →∞?? += ??? （ｅ=2.7182818４５…). 函数极限的四则运算法则：若0 lim ()x x f x a →=，0 lim ()x x g x b →=,则 (１)()()0 lim x x f x g x a b →±=±????;（2)()()0 lim x x f x g x a b →?=?????;（3)()()()0 lim 0x x f x a b g x b →=≠. 数列极限的四则运算法则:若lim ,lim n n n n a a b b →∞→∞ ==,则(１)()lim n n n a b a b →∞±=±；(2)()lim n n n a b a b →∞?=?（3)()lim 0n n n a a b b b →∞ =≠(４)()lim lim lim n n n n n c a c a c a →∞→∞→∞?=?=?（ c 是常数) )(x f 在0x 处的导数(或变化率或微商） 000000()()()lim lim x x x x f x x f x y f x y x x =?→?→+?-?''===??. .瞬时速度：00()() ()lim lim t t s s t t s t s t t t υ?→?→?+?-'===??. 瞬时加速度：00()() ()lim lim t t v v t t v t a v t t t ?→?→?+?-'===??. )(x f 在),(b a 的导数：()dy df f x y dx dx ''===00()() lim lim x x y f x x f x x x ?→?→?+?-==??. 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. 几种常见函数的导数 (1) 0='C （C 为常数).(2) '1()()n n x nx n Q -=∈.(3) x x cos )(sin ='．x x sin )(cos -=' (4） x x 1 )(ln = '；e a x x a log 1)(log ='. (5) x x e e =')(; a a a x x ln )(='． 导数的运算法则 (1）' ' ' ()u v u v ±=±．（2)' ' ' ()uv u v uv =+.（3)'' '2 ()(0)u u v uv v v v -=≠. 复合函数的求导法则 设函数()u x ?=在点x 处有导数''()x u x ?=，函数)(u f y =在点x 处的对应点Ｕ处有导数 ''()u y f u =,则复合函数(())y f x ?=在点x 处有导数，且''' x u x y y u =?，或写作'''(())()()x f x f u x ??=． 【例题解析】 考点1 导数的概念 对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义,理解导函数的概念. 例1． ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数,则(1)f '-的值是 ． [考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力． 直线和圆 一．直线 1．斜率与倾斜角：tan k θ=，[0,)θπ∈ （1）[0, )2 π θ∈时，0k ≥； （2）2 πθ=时，k 不存在；（3）( ,)2 π θπ∈时，0k < （4）当倾斜角从0? 增加到90? 时，斜率从0增加到+∞； 当倾斜角从90? 增加到180? 时，斜率从-∞增加到0 2．直线方程 （1）点斜式：)(00x x k y y -=- （2）斜截式：y kx b =+ （3）两点式： 1 21121x x x x y y y y --=-- （4）截距式： 1x y a b += （5）一般式：0C =++By Ax 3．距离公式 （1）点111(,)P x y ，222(,)P x y 之间的距离：12PP = （2）点 00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离：d = （3）平行线间的距离： 10Ax By C ++=与20Ax By C ++=的距离：d = 4．位置关系 （1）截距式：y kx b =+形式 重合：1212 k k b b == 相交：12k k ≠ 平行：1212 k k b b =≠ 垂直：121k k ?=- （2）一般式：0Ax By C ++=形式 重合：1221A B A B =且1221A C A C =且1212B C C B = 平行：1221A B A B =且1221A C A C ≠且1212B C C B ≠ 垂直：12120A A B B += 相交：1221A B A B ≠ 5．直线系 1112220A x B y C A x B y C λ++++=＋（）表示过两直线1111:0l A x B y C ++=和2222:0l A x B y C ++=交点的所 有直线方程（不含2l ） 二．圆 1．圆的方程 （1）标准形式：2 2 2 ()()x a y b R -+-=（0R >） （2）一般式：2 2 0x y Dx Ey F ++++=（22 40D E F +->） （3）参数方程：00cos sin x x r y y r θ θ =+?? =+?（θ是参数） 【注】题目中出现动点求量时，通常可采取参数方程转化为三角函数问题去解决. （4）以11(,)A x y ,22(,)B x y 为直径的圆的方程是：()()()()0A B A B x x x x y y y y --+--= 2．位置关系 （1）点00(,)P x y 和圆222 ()()x a y b R -+-=的位置关系： 当22200()()x a y b R -+-<时，点00(,)P x y 在圆222 ()()x a y b R -+-=部 当22200()()x a y b R -+-=时，点00(,)P x y 在圆222 ()()x a y b R -+-=上 当22200()()x a y b R -+->时，点00(,)P x y 在圆222 ()()x a y b R -+-=外 （2）直线0Ax By C ++=和圆2 2 2 ()()x a y b R -+-=的位置关系： 判断圆心(,)O a b 到直线0Ax By C ++= 的距离d =R 的大小关系 当d R <时，直线和圆相交（有两个交点）； 当d R =时，直线和圆相切（有且仅有一个交点）； 当d R <时，直线和圆相离（无交点）； 判断直线与圆的位置关系常见的方法 (1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系． (2)代数法：联立直线与圆的方程消元后利用Δ判断． (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆可判断直线与圆相交． 圆与直线 一、典型例题 例1、已知定点P （6，4）与定直线 1：y=4x ，过P 点的直线 与 1交于第一象限Q 点，与x 轴正半轴交于点M ，求使△OQM 面积最小的直线 方程。 分析： 直线 是过点P 的旋转直线，因此是选其斜率k 作为参数，还是选择点Q （还是M ）作为参数是本题关键。 通过比较可以发现，选k 作为参数，运算量稍大，因此选用点参数。 设Q （x 0，4x 0），M （m ，0） ∵ Q ，P ，M 共线 ∴ k PQ =k PM ∴ m 64 x 6x 4400-= -- 解之得：1 x x 5m 00 -= ∵ x 0>0，m>0 ∴ x 0-1>0 ∴ 1 x x 10mx 2x 4|OM |21 S 02000OMQ -===? 令x 0-1=t ，则t>0 )2t 1 t (10t )1t (10S 2++=+=≥40 当且仅当t=1，x 0=11时，等号成立 此时Q （11，44），直线 ：x+y-10=0 评注：本题通过引入参数，建立了关于目标函数S △OQM 的函数关系式，再由基本不等式再此目标函数的最值。要学会选择适当参数，在解析几何中，斜率k ，截距b ，角度θ，点的坐标都是常用参数，特别是点参数。 例2、已知△ABC 中，A （2，-1），B （4，3），C （3，-2），求： （1）BC 边上的高所在直线方程；（2）AB 边中垂线方程；（3）∠A 平分线所在直线方程。 分析： （1）∵ k BC =5 ∴ BC 边上的高AD 所在直线斜率k=5 1 - ∴ AD 所在直线方程y+1=5 1 -(x-2) 即x+5y+3=0 （2）∵ AB 中点为（3，1），k AB =2 ∴ AB 中垂线方程为x+2y-5=0 （3）设∠A 平分线为AE ，斜率为k ，则直线AC 到AE 的角等于AE 到AB 的角。 ∵ k AC =-1，k AB =2 ∴ k 21k 2k 11k +-= -+ ∴ k 2 +6k-1=0 ∴ k=-3-10（舍），k=-3+10 ∴ AE 所在直线方程为(10-3)x-y-210+5=0 评注：在求角A 平分线时，必须结合图形对斜率k 进行取舍。一般地涉及到角平分线这类问题时，都要对两解进行取舍。也可用轨迹思想求AE 所在直线方程，设P(x ，y)为直线AE 上任一点，则P 到AB 、AC 距离相等，得2 | 1y x |5 | 5y x 2|-+= --，化简即可。还可注意到，AB 与AC 关 于AE 对称。 例3、（1）求经过点A （5，2），B （3，2），圆心在直线2x-y-3=0上圆方程； （2）设圆上的点A （2，3）关于直线x+2y=0的对称点仍在这个圆上，且与直线x-y+1=0相交的弦长为22，求圆方程。 分析： 研究圆的问题，既要理解代数方法，熟练运用解方程思想，又要重视几何性质及定义的运用，以降低运算量。总之，要数形结合，拓宽解题思路。 （1）法一：从数的角度 若选用标准式：设圆心P （x ，y ），则由|PA|=|PB|得：(x 0-5)2 +(y 0-2)2 =(x 0-3)2 +(y 0-2)2 又2x 0-y 0-3=0 两方程联立得：???==5y 4x 0 0，|PA|=10 ∴ 圆标准方程为(x-4)2+(y-5)2 =10 若选用一般式：设圆方程x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0，则圆心（2 E ,2D -- ）人教版高中数学《直线和圆的方程》教案全套
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