力学动态平衡问题
所谓动态平衡问题是指通过控制某些物理量，使物体的状态发生缓慢的变化，而在这个过程中物体又始终处于一系列的平衡状态中。
解决动态平衡问题的思路是，①明确研究对象。②对物体进行正确的受力分析。③观察物体受力情况，认清哪些力是保持不变的，哪些力是改变的。④选取恰当的方法解决问题。
根据受力分析的结果，我们归纳出解决动态平衡问题的三种常用方法，分别是“图解法”，“相似三角形法”和“正交分解法”。
1、图解法
在同一图中做出物体在不同平衡状态下的力的矢量图，画出力的平行四边形或平移成矢量三角形，由动态力的平行四边形（或三角形）的各边长度的变化确定力的大小及方向的变化情况。
适用题型：
（1）物体受三个力（或可等效为三个力）作用，三个力方向都不变，其中一个力大小改变。 例1、重G 的光滑小球静止在固定斜面和竖直挡板之间，若对小球施加一通过球心竖直向下的力F 作用，且F 缓慢增大，问在该过程中，斜面和挡板对小球的弹力的大小F 1、F 2如何变化？
解析：选取小球为研究对象，小球受自身重力G ，斜面对小球的支持力F1，挡板对小球的弹力F2和竖直向下的压力F 四个力作用，画出受力示意图如图1-2所示。因为力F 和重力G 方向同为竖直向下，所以可以将它们等效为一个力，设为F ，这样小球就等效为三个力作用，力的示意图如图1-3所示。画出以F1和F2为邻边的力的平行四边形，因为三力平衡，所以F1和F2的合力F 合与F 等大反向（如图1-4所示）。各力的方向不变,当F 增大，F 合应随之增大，对应平行四边形的对角线变长，画出另一个状态的力的矢量图（如图1-5所示），由图中平行四边形边长的变化可知F1和F2都在增大。
根据物体在三个力的作用下平衡时，这三个力一定能构成一个封闭的矢量三角
形。这样也可以将上述三个力F 、F1、F2平移成矢量三角形（如图1-6所示），由F
增大，可画出另一个状态下的矢量三角形，通过图像中三角形边长的变化容易看出
F1和F2都在增大。
图1-1 图1-2 图1-3 图1-4 图1-5 图
1-6
（2）物体受三个力（或可等效为三个力）作用，一个力是恒力（通常是重力），其余两个力中一个方向不变，另一个方向改变。
例2、如图2-1所示，OB 绳水平，OA 绳与竖直墙面夹角为θ。现保持θ不变，将B 点缓慢上移，则OA 绳和OB 绳中的张力大小如何变化？
解析：OA 绳和OB 绳中张力就是两根绳对O 点的拉力，所以选取O 点为研究对象，分析O 点受力如图2-2所示，其中F 为重物通过绳子对O 点的拉力（其大小等于物重）。当B 点缓慢上移时，O 点一直处于三力平衡状态。其中F 的大小、方向均不变，是恒力。F1的方向不变，F2的方向改变。 画出若干状态下以F1和F2为邻边的平行四边形，如图2-3所示。F 不变，则平行四边形的对角线不变；拉力F1方向不变，则平行四边形的一组邻边OA 方向不变。故由图可以看出F1逐渐减小，F2先减小后增大。
如果利用矢量三角形分析，如图2-4所示，拉力F 、F1、F2构成一封闭矢量三角形，可以看出因F 不变，所以三角形边长oa 不变；因为边长ab 变短，所以F1变小；因为边长ob 先变短后又变长，所以F2先变小后变大。当F2与F1方向垂直时，F2最小。
所以OA 绳中张力变小，OB 绳中张力先变小后变大。
例3、如图3-1所示，一个重为30N 的重物，用绳悬于O 点，现用力拉重物，要使重物静止在悬线偏离竖直方向30°角的位置，所用拉力F 的最小值为 （ ）
A 15N
B 30N
C N 310
D N 315
θ 图2-1 图2-2 图2-3 图2-4 图3-1 图3-2 图3-3 图3-4
解析：选取重物为研究对象，受力图如图3-2所示，其中G 为物体重力，T 为绳子对物体的拉力。因为重物静止，所以物体处于三力平衡状态。T 和F 的合力G ’应与物重G 等大反向。当拉力F 的方向改变时，重力G 为一个恒力不变，拉力T 方向始终不变，因此画出不同状态下以T 和F 为邻边的平行四边形，如图3-3所示。在F 方向改变的过程中，平行四边形的对角线不变，拉力T 对应的邻边的方向不变，要使拉力F 最小，就要使其对应的边长最短，可以发现，当F 与T 垂直时，F 最小。由三角函数知识可知，此时F=Gsin30°=30N ×0.5=15N 。
本题若利用矢量三角形解则更为方便，如图3-4所示，重力G ，绳拉力T ，拉力F 构成一封闭矢量三角形。因T 的方向不变，要使拉力F 最小，显然应当是F 与T 垂直时。
所以选项A 正确。
（3）物体受三个力（或可等效为三个力）作用，一个力是恒力，其余两个力方向都改变。 例4、一个相框用轻绳对称的悬挂在一个固定在竖直墙面的钉子上（如图4-1所示），不计绳与钉子间摩擦。如果换用一根较短的轻绳以同样的方式悬挂，问绳子中的张力将怎样变化？
解析：选取相框为研究
对象，相框受重力G 和绳的拉力F 作用，由于是同一根绳子，所以两个拉力大小相等。虽然三个力的作用点不在同一点，但是它们的作用线交于同一点O ，所以三个力是共点力。其受力图如图4-3所示，由对称性可知，以两个拉力F 为邻边的平行四边形是菱形。若换用较短绳子，则两个拉力间的夹角变大（如图4-3所示），画出此状态下的受力图，如图4-4所示，由于G 不变，所以菱形的对角线不变，当两拉力F 夹角变大时，菱形两个邻边变长，所以拉力F 变大。所以绳中的张力变大。
2、相似三角形法
画出力的矢量三角形，找力学三角形与几何三角形相似，利用各对应边成比例的关系，确定力的大小变化情况。
适用题型：
图4-1 图4-2 图4-3 图4-3 图4-4
物体受三个力（或可等效为三个力）作用，一个力是恒力，其余两个力方向都改变。（通常问题较复杂）
例5、如图所示，在半径为R 的光滑半球面上高为 h 处悬挂一定滑轮，重力为G 的小球被站在地面上的人用绕过定滑轮的绳子拉住，人拉动绳子，小球在与球面相切的某点缓慢运动到接近顶点的过程中，求小球对半球的压力和绳子的拉力大小将如何变化 ？
解析：选取小球为研究对象，小球受竖直向下的重力G ，沿绳子的拉力F 和沿半径向外的支持力N 三个力作用。将N 和G 合成，其合力与F 等大反向（如图5-2所示）。当小球沿球面向上运动过程中，拉力F 和支持力N 的方向都在改变，通过矢量三角形难以判断N 和F 的变化。所以寻找相似三角形，容易证明图中力学三角形（阴影部分）与几何三角形OAB 相似，根据对应边成比例可得到以下关系：L
F R N R h
G ==+ ，因为h+R 不变，所以G 不变；因为R 的长度不变，所以N 的大小不变；因为L 逐渐减小，所以F 逐渐减小。由牛顿第三定律，N 大小不变，则小球对半球的压力大小也不变。
所以小球对半球的压力大小不变，绳子的拉力逐渐变小。
例6、如图所示，某人执行一项特殊任务，需从半球形屋顶B 点向上缓慢爬行到A 点，他在爬行过程中（ ）
A 屋顶对他的支持力变小
B 屋顶对他的支持力变大
C 屋顶对他的摩擦力变小
D 屋顶对他的摩擦力变大
解析：选取人为研究对象，人受到重力G ，沿半径向外的支持力
N 和沿球面切线方向向上的摩擦力f 三个力作用。将N 与f 合成，其
合力与G 等大反向（如图6-2所示）。当人向上爬行时，N 与f 的方向
都在改变，而N 与f 之间一直是垂直的，所以可以寻找相似三角形。
过B 点做底面垂线BC 交底面于C 点，容易证明图中力学三角形（阴
影部分）与几何三角形OBC 相似。所以有：OC f BC N OB G == ，因为OB 、G 不变，而BC 变长，OC 变短，所以N 变大，f 变小。所以选项B 、C 正确。
3、正交分解法
利用正交分解建立坐标系，将变力按选定的方向进行分解，则有ΣF x =0，ΣF y =0。要抓住不变量，通过角度变化导致三角函数变化，从而进行判断。注意选择合适的坐标系，一般应遵循的原则是：不在坐标轴上的力越少越好，各力与坐标轴的夹角是特殊角为好。
图5-1 图5-2 图6-1
图6-2
适用题型：
物体受多个共点力作用（多力平衡）。
例7、人站在岸上通过定滑轮用绳牵引低处的小船，若水的阻力不变，则船在匀速靠岸的过程中，下列说法中正确的是（ ）
（A ）绳的拉力不断增大
（B ）绳的拉力保持不变
（C ）船受到的浮力保持不变
（D ）船受到的浮力不断减小
解析：选取小船为研究对象，分析其受力，小船
受到重力G ，拉力F ，浮力F 浮，阻力f 共四个力作用。
由于小船匀速运动，所以处于平衡状态。利用正交分解
法，在水平和竖直方向建立如图7-2所示的平面直角坐标
系，设拉力F 与水平方向的夹角为θ，将F 按x 轴和y
轴分解。由平衡条件和几何关系可得：
水平方向：f=Fcos θ
竖直方向：Fsin θ+F 浮=G
因船在靠岸过程中夹角θ在增大，所以cos θ减小，
又f 不变，所以F 增大。又因为sin θ增大，所以Fsin θ
增大，因G 不变，所以F 浮减小。所以选项A 、D 正确。
例8、如图所示，质量分别为M ，m 的两个物体系在一根通过轻滑轮的轻绳两端，M 放在水平地面上，m 被悬在空中，若将M 沿水平地面向右缓慢移动少许后M 仍静止，则 （ ）
A 绳中张力变大
B 滑轮轴所受的压力变大
C M 对地面的压力变大
D M 所受的静摩擦力变大
解析：首先研究m ，由m 受力平衡知绳中拉力始终等于物体m 的重力，
所以绳中张力不变，A 错误。物体M 右移后，左段绳与竖直方向的夹角
减小，即两段绳对滑轮的拉力之间的夹角减小，所以滑轮受到两段绳拉
力的合力增大，所以受到的压力变大，B 正确。然后研究M ，分析M 的
受力如图8-2所示，设左段绳对M 的拉力与竖直方向的夹角为θ，利用
正交分解法由平衡条件有：
水平方向：f=Tsin θ 竖直方向：N+Tcos θ=Mg
因T=mg 不变，θ减小，sin θ减小，所以f 减小。又Mg 不变，cos θ增大，所以N 减小。所以选项C 、D 均错误。
所以选项B 正确。
图7-1 图7-2 图8-1 图8-2
物体的受力（动态平衡）分析及典型例题 受力分析就是分析物体的受力，受力分析是研究力学问题的基础，是研究力学问题的关键。 受力分析的依据是各种力的产生条件及方向特点。 一.几种常见力的产生条件及方向特点。 1.重力。 重力是由于地球对物体的吸引而使物体受到的力，只要物体在地球上，物体就会受到重力。 重力不是地球对物体的引力。重力与万有引力的关系是高中物理的一个小难点。 重力的方向：竖直向下。 2.弹力。 弹力的产生条件是接触且发生弹性形变。 判断弹力有无的方法：假设法和运动状态分析法。 弹力的方向与施力物体形变的方向相反，与施力物体恢复形变的方向相同。 弹力的方向的判断：面面接触垂直于面，点面接触垂直于面，点线接触垂直于线。 【例1】如图1—1所示，判断接触面对球有无弹力，已知球静止，接触面光滑。图a 中接触面对球 无 弹力；图b 中斜面对小球 有 支持力。 【例2】如图1—2所示，判断接触面MO 、ON 对球有无弹力，已知球静止，接触面光滑。水平面ON 对球 有 支持力，斜面MO 对球 无 弹力。 【例3】如图1—4所示，画出物体A 所受的弹力。 a 图中物体A 静止在斜面上。 b 图中杆A 静止在光滑的半圆形的碗中。 c 图中A 球光滑，O 为圆心，O ＇为重心。 【例4】如图1—6所示，小车上固定着一根弯成α角的曲杆，杆的另一端固定一个质 图1—1 a b 图1—2 图1—4 a b c
量为m 的球，试分析下列情况下杆对球的弹力的大小和方向：（1）小车静止；（2）小车以加速度a 水平向右加速运动；（3）小车以加速度a 水平向左加速运动；（4）加速度满足什么条件时，杆对小球的弹力沿着杆的方向。 3.摩擦力。 摩擦力的产生条件为：（1）两物体相互接触，且接触面粗糙；（2）接触面间有挤压；（3）有相对运动或相对运动趋势。 摩擦力的方向为与接触面相切，与相对运动方向或相对运动趋势方向相反。 判断摩擦力有无和方向的方法：假设法、运动状态分析法、牛顿第三定律分析法。 【例5】如图1—8所示，判断下列几种情况下物体A 与接触面间有、无摩擦力。 图a 中物体A 静止。图 b 中物体A 沿竖直面下滑，接触面粗糙。图 c 中物体A 沿光滑斜面下滑。图 d 中物体A 静止。 图a 中 无 摩擦力产生，图b 中 无 摩擦力产生，图c 中 无 摩擦力产生,图d 中 有 摩擦力产生。 【例6】如图1—9所示为皮带传送装置，甲为主动轮，传动过程中皮带不打滑，P 、Q 分别为两轮边缘上的两点，下列说法正确的是：（ B ） A ．P 、Q 两点的摩擦力方向均与轮转动方向相反 B ．P 点的摩擦力方向与甲轮的转动方向相反， Q 点的摩擦力方向与乙轮的转动方向相同 C ．P 点的摩擦力方向与甲轮的转动方向相同， Q 点的摩擦力方向与乙轮的转动方向相反 D ．P 、Q 两点的摩擦力方向均与轮转动方向相同 【例7】如图1—10所示，物体A 叠放在物体B 上，水平地面光滑，外力F 作用于物体B 上使它们一起运动，试分析两物体受到的静摩擦力的方向。 图1—8 图1—9
图解法分析动态平衡问题 所谓图解法就是通过平行四边形的邻边和对角线长短的关系或变化情况，做一些较为复杂的定性分析，从图形上一下就可以看出结果，得出结论。 题型特点：（1）物体受三个力。（2）三个力中一个力是恒力，一个力的方向不变，由于第三个力的方向变化，而使该力和方向不变的力的大小发生变化，但二者合力不变。 解题思路：（1）明确研究对象。（2）分析物体的受力。（3）用力的合成或力的分解作平行四边形（也可简化为矢量三角形）。（4）正确找出力的变化方向。（5）根据有向线段的长度变化判断各个力的变化情况。 注意几点：（1）哪个是恒力，哪个是方向不变的力，哪个是方向变化的力。 （2）正确判断力的变化方向及方向变化的围。 （3）力的方向在变化的过程中，力的大小是否存在极值问题。 【例1】如图2－4－2所示，两根等长的绳子AB和BC吊一重物静止，两根绳子与水平方向夹角均为60°.现保持绳子AB与水平方向的夹角不变，将绳子BC逐渐缓慢地变化到沿水平方向，在这一过程中，绳子BC的拉力变化情况是( ) A．增大B．先减小，后增大 C．减小D．先增大，后减小 解析：方法一：对力的处理(求合力)采用合成法，应用合力为零求解时采用图解法(画动态平行四边形法)．作出力的平行四边形，如图甲所示．由图可看出，FBC先减小后增大．方法二：对力的处理(求合力)采用正交分解法，应用合力为零求解时采用解析法．如图乙所示，将FAB、FBC分别沿水平方向和竖直方向分解，由两方向合力为零分别列出： FAB cos 60°＝FB C sin θ， FAB sin 60°＋FB C cos θ＝FB，
联立解得FBC sin(30°＋θ)＝FB/2， 显然，当θ＝60°时，FBC最小，故当θ变大时，FBC先变小后变大． 答案：B 变式1－1如图2－4－3所示，轻杆的一端固定一光滑球体，杆的另一端O为自由转动轴，而球又搁置在光滑斜面上．若杆与墙面的夹角为β，斜面倾角为θ，开始时轻杆与竖直方向的夹角β＜θ. 且θ＋β＜90°，则为使斜面能在光滑水平面上向右做匀速直线运动，在球体离开斜面之前，作用于斜面上的水平外力F的大小及轻杆受力T和地面对斜面的支持力N 的大小变化情况是( ) A．F逐渐增大，T逐渐减小，F N逐渐减小B．F逐渐减小，T逐渐减小，F N逐渐增大C．F逐渐增大，T先减小后增大，F N逐渐增大 D．F逐渐减小，T先减小后增大，F N逐渐减小 解析：利用矢量三角形法对球体进行分析如图甲所示，可知T是先减小后增大．斜面 对球的支持力F N′逐渐增大，对斜面受力分析如图乙所示，可知F＝F N″sinθ，则F 逐渐增大，水平面对斜面的支持力F N＝G＋F N″·cos θ，故F N逐渐增大． 答案：C 利用相似三角形相似求解平衡问题 2．相似三角形法： 当物体受三个共点力作用处于平衡状态时，若三力中有二力的方向发生变化，而无法直接用图解法得出结论时，可以用表示三力关系的矢量三角形跟题中的其他三角形相似对应边成比例，建立关系求解。 【例2】一轻杆BO，其O端用光滑铰链固定在竖直轻杆AO上，B端挂一重物，且系一细绳，细绳跨过杆顶A处的光滑小滑轮，用力F拉住，如图2－4－4所示．现将细绳缓慢往左拉，使杆BO与杆AO间的夹角θ逐渐减小，则在此过程中，拉力F及杆BO所受压力F N的大小变化情况是( ) A．F N先减小，后增大B．F N始终不变 C．F先减小，后增大D．F始终不变 解析：取BO杆的B端为研究对象，受到绳子拉力(大小为F)、BO杆的支持力F N和悬挂重物的绳子的拉力(大小为G)的作用，将F N 与G合成，其合力与F等值反向，如图所示，得到一个力的三角形(如图中画斜线部分)，此
专题06 三力动态平衡问题的处理技巧【专题概述】 在分析力的合成与分解问题的动态变化时，用公式法讨论有时很繁琐，而用作图法解决就比较直观、简单，但学生往往没有领会作图法的实质和技巧，或平时对作图法不够重视，导致解题时存在诸多问题.用图解法和相似三角形来探究力的合成与分解问题的动态变化有时可起到事半功倍的效果 动态平衡”是指物体所受的力一部分是变力，是动态力，力的大小和方向均要发生变化，但变化过程中的每一时刻均可视为平衡状态，所以叫动态平衡，这是力平衡问题中的一类难题．解决这类问题的一般思路是：化“动”为“静”，“静”中求“动”，【典例精讲】 1. 图解法解三力平衡 图解法分析物体动态平衡问题时,一般物体只受三个力作用,且其中一个力大小、方向均不变,另一个力的方向不变,第三个力大小、方向均变化 典例1如图所示，小球用细绳系住放在倾角为θ的光滑斜面上，当细绳由水平方向逐渐向上偏移时，细绳上的拉力将( ) A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 【答案】D
典例2、如图所示，一小球用轻绳悬于O点，用力F拉住小球，使悬线保持偏离竖直方向75°角，且小球始终处于平衡状态．为了使F有最小值，F与竖直方向的夹角θ应该是( ) A．90° B．45° C．15° D．0° 【答案】C 2 . 相似三角形解动态 一般物体只受三个力作用,且其中一个力大小、方向均不变,另外两个力的方向都在发生变化，此时就适合选择相似三角形来解题了， 物体受到三个共点力的作用而处于平衡状态，画出其中任意两个力的合力与第三个力等值反向的平行四边形中，可能有力三角形与题设图中的几何三角形相似，进而得到力三角形与几何三角形对应边成比例，根据比值便可计算出未知力的大小与方向 典例3 半径为R的球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑轮，滑轮到球面B的距离为h，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的A点，另一端绕过定滑轮后用力拉住，使小球静止，如图所示，现缓慢地拉绳，在使小球由A到B的过程中，半球对小球的支持力F N和绳对小球的拉力F T的大小变化的情况是( )
力学中的动态平衡问题 1、动态三角形法 特点：物体所受的三个力中，其中一个力的大小、方向均不变（通常为重力，也可能是其它力），视为合力，一个分力的方向不变，大小变化，另一个分力则大小、方向均发生变化的问题。 分析技巧：正确画出物体所受的三个力，将方向不变的分力F1的矢量延长，通 过合力的末端做另一个分力F2的平行线，构成一个闭合三角形。看这个分力F2在动态平衡中的方向变化，画出其变化平行线，形成动态三角形，三角形变长的变化对应力的变化。 1．如图，一小球放置在木板与竖直墙面之间．设球对墙面的压力大小为N 1 ，球 对木板的压力大小为N 2 ，以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴，将木板从水平位置开始缓慢地转到图示位置．不计摩擦，在此过程中（） A．N 1始终增大，N 2 始终增大 B．N 1始终减小，N 2 始终减小 C．N 1先增大后减小，N 2 始终减小 D．N 1先增大后减小，N 2 先减小后增大 2．如图所示，重物G系在OA、OB两根等长的轻绳上，轻绳的A端和B端挂在半圆形支架上．若固定A端的位置，将OB绳的B端沿半圆形支架从水平位置逐渐移至竖直位置OC的过程中（）
A．OA绳上的拉力减小B．OA绳上的拉力先减小后增大 C．OB绳上的拉力减小D．OB绳上的拉力先减小后增大 2、相似三角形法 特点：物体所受的三个力中，一个力大小、方向不变（一般是重力，视为合力），其它二个分力力的方向均发生变化。 分析技巧：先正确画出物体的受力，画出受力分析图，将三个力的矢量首尾相连构成闭合三角形，再寻找与力的三角形相似的几何三角形，利用相似三角形的性质，建立比例关系，把力的大小变化问题转化为几何三角形边长的大小变化问题进行讨论。 3．一轻杆BO，其O端用光滑铰链固定在竖直轻杆AO上，B端挂一重物，且系一细绳，细绳跨过杆顶A处的光滑小滑轮，用力F拉住，如图所示，现将细绳缓慢往右放，使杆BO与杆AO间的夹角θ逐渐增大，则在此过程中，拉力F及杆BO 所受压力F N 的大小变化情况是（） A．F N 减小，F增大B．F N 、F都不变C．F增大，F N 不变D．F、F N 都减小 4．光滑的半球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑轮，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的A点，另一端绕过定滑轮，后用力拉住，使小
图解法分析动态平衡问题 【例1】如图2－4－2所示，两根等长的绳子AB和BC吊一重物静止，两根绳子与水平方向夹角均为60°.现保持绳子AB与水平方向的夹角不变，将绳子BC逐渐缓慢地变化到沿水平方向，在这一过程中，绳子BC的拉力变化情况是() A．增大B．先减小，后增大 C．减小D．先增大，后减小 变式1－1如图2－4－3所示，轻杆的一端固定一光滑球体，杆的另一端O为自由转动轴，而球又搁置在光滑斜面上．若杆与墙面的夹角为β，斜面倾角为θ，开始时轻杆与竖直方向的夹角β＜θ. 且θ＋β＜90°，则为使斜面能在光滑水平面上向右做匀速直线运动，在球体离开斜面之前，作用于斜面上的水平外力F的大小及轻杆受力T和地面对斜面的支持力N 的大小变化情况是() A．F逐渐增大，T逐渐减小，F N逐渐减小B．F逐渐减小，T逐渐减小，F N逐渐增大C．F逐渐增大，T先减小后增大，F N逐渐增大 D．F逐渐减小，T先减小后增大，F N逐渐减小 利用相似三角形相似求解平衡问题 2．相似三角形法： 当物体受三个共点力作用处于平衡状态时，若三力中有二力的方向发生变化，而无法直接用图解法得出结论时，可以用表示三力关系的矢量三角形跟题中的其他三角形相似对应边成比例，建立关系求解。 【例2】一轻杆BO，其O端用光滑铰链固定在竖直轻杆AO上，B端挂一重物，且系一细绳，细绳跨过杆顶A处的光滑小滑轮，用力F拉住，如图2－4－4所示．现将细绳缓慢往左拉，使杆BO与杆AO间的夹角θ逐渐减小，则在此过程中，拉力F及杆BO所受压力F N 的大小变化情况是() A．F N先减小，后增大B．F N始终不变 C．F先减小，后增大D．F始终不变 变式2－1如图2－4－5所示，两球A、B用劲度系数为k1的轻弹簧相连，球B用长为L的细绳悬于O点，球A固定在O点正下方，且点O、A之间的距离恰为L，系统平衡时绳子所受的拉力为F1.现把A、B间的弹簧换成劲度系数为k2的轻弹簧，仍使系统平衡，此时绳子所受的拉力为F2，则F1与F2的大小之间的关系为() A．F1>F2 B．F1＝F2 C．F1 目录 第一讲：力学中的三种力 第二讲：共点力作用下物体的平衡 第三讲：力矩、定轴转动物体的平衡条件、重心 第四讲：一般物体的平衡、稳度 第五讲：运动的基本概念、运动的合成与分解 第六讲：相对运动与相关速度 第七讲：匀变速直线运动 第八讲：抛物的运动 第一讲： 力学中的三种力 【知识要点】 （一）重力 重力大小G=mg ，方向竖直向下。一般来说，重力是万有引力的一个分力，静止在地球表面的物体，其万有引力的另一个分力充当物体随地球自转的向心力，但向心力极小。 （二）当物体在外力作用下发生形变时，其内部产生的反抗外力作用而企图恢复形变的力叫弹力。胡克弹力的大小由F=k △x 确定。 （三）摩擦力 1、摩擦力 一个物体在另一物体表面有相对运动或相对运动趋势时，产生的阻碍物体相对运动或相对运动趋势的力叫摩擦力。方向沿接触面的切线且阻碍物体间相对运动或相对运动趋势。 2、滑动摩擦力的大小由公式f=μN 计算。 3、静摩擦力的大小是可变化的，无特定计算式，一般根据物体运动性质和受力情况分析求解。其大小范围在0＜f≤f m 之间，式中f m 为最大静摩擦力，其值为f m =μs N ，这里μs 为最大静摩擦因数，一般情况下μs 略大于μ，在没有特别指明的情况下可以认为μs =μ。 4、摩擦角 将摩擦力f 和接触面对物体的正压力N 合成一个力F ，合力F 称为全反力。在滑动摩擦情况下定义tgφ=μ=f/N ，则角φ为滑动摩擦角；在静摩擦力达到临界状态时，定义tgφ0=μs =f m /N ，则称φ0为静摩擦角。由于静摩擦力f 0属于范围0＜ f≤f m ，故接触面作用于物体的全反力F '同接触面法线的夹角?? ? ??=-N f tg 01α≤φ0， 这就是判断物体不发生滑动的条件。换句话说，只要全反力F '的作用线落在（0，φ0）范围时，无穷大的力也不能推动木块，这种现象称为自锁。 本节主要内容是力学中常见三种力的性质。在竞赛中以弹力和摩擦力尤为重要，且易出错。弹力和摩擦力都是被动力，其大小和方向是不确定的，总是随物体运动性质变化而变化。弹力中特别注意轻绳、轻杆及胡克弹力特点；摩擦力方向总是与物体发生相对运动或相对运动趋势方向相反。另外很重要的一点是关于摩擦角的概念，及由摩擦角表述的物体平衡条件在竞赛中应用很多，充分利用摩擦角及几何知识的关系是处理有摩擦力存在平衡问题的 f 【解答】BD 由于物体a 、b 均保持静止，各绳间角度保持不变，对a 受力分析得，绳的拉力T ＝m a g ，所以物体a 受到绳的拉力保持不变．由滑轮性质，滑轮两侧绳的拉力相等，所以连接a 和b 绳的张力大小、方向均保持不变，C 选项错误；a 、b 受到绳的拉力大小、方向均不变，所以OO′的张力不变，A 选项错误；对b 进行受力分析，如图所示．由平衡条件得：Tcos β＋f ＝Fcos α，Fsin α＋F N ＋Tsin β＝m b g.其中T 和m b g 始终不变，当F 大小在一定范围内变化时，支持力在一定范围内变化，B 选项正确；摩擦力也在一定范围内发生变化，D 选项正确． 3.(2017·河北冀州2月模拟)如图所示，质量为m(可以看成质点)的小球P ，用两根轻绳OP 和O′P 在P 点拴结后再分别系于竖直墙上相距0.4 m 的O 、O′两点上，绳OP 长0.5 m ，绳O′P 长0.3 m ，今在小球上施加一方向与水平成θ＝37°角的拉力F ，将小球缓慢拉起．绳O′P 刚拉直时，OP 绳拉力为T 1，绳OP 刚松弛时，O′P 绳拉力为T 2，则T 1∶T 2为(sin 37°＝0.6；cos 37°＝0.8)( ) A ．3∶4 B ．4∶3 C ．3∶5 D ．4∶5 【解答】C 绳O′P 刚拉直时，由几何关系可知此时OP 绳与竖直方向夹角为37°，小球受力如图甲，则T 1＝ 4 5mg.绳OP 刚松驰时，小球受力如图乙，则T 2＝4 3 mg.则T 1∶T 2＝3∶5，C 项正确． 1. (多选)(2017·全国卷Ⅰ)如图，柔软轻绳ON 的一端O 固定，其中间某点M 拴一重物，用手拉住绳的另一端N.初始时，OM 竖直且MN 被拉直，OM 与MN 之间的夹角为α(α>π 2)．现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α 不变．在OM 由竖直被拉到水平的过程中( ) A ．MN 上的张力逐渐增大 B ．MN 上的张力先增大后减小 C ．OM 上的张力逐渐增大 D ．OM 上的张力先增大后减小 【解答】AD 设重物的质量为m ，绳OM 中的张力为T OM ，绳MN 中的张力为T MN .开始时，T O M ＝mg ，T MN ＝0.由于缓慢拉起，则重物一直处于平衡状态，两绳张力的合力与重物的重力mg 等大、反向． 如图所示，已知角α不变，在绳MN 缓慢拉起的过程中，角β逐渐增大，则角(α－β)逐渐减小，但角θ不变，在三角形中，利用正弦定理得： T OM α－β ＝mg sin θ ， (α－β)由钝角变为锐角，则T OM 先增大后减小，选项 D 正确； 同理知 T MN sin β＝mg sin θ ，在β由0变为π 2 的过程中，T MN 一直增大，选项A 正确． 2．(多选)(2016·全国卷Ⅰ)如图所示，一光滑的轻滑轮用细绳OO′悬挂于O 点；另一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块a ，另一端系一位于水平粗糙桌面上的物块b.外力F 向右上方拉b ，整个系统处于静止状态．若F 方向不变，大小在一定范围内变化，物块b 仍始终保持静止，则( ) A ．绳OO′的张力也在一定范围内变化 B ．物块b 所受到的支持力也在一定范围内变化 C ．连接a 和b 的绳的张力也在一定范围内变化 D ．物块b 与桌面间的摩擦力也在一定范围内变化 F DB CB DB F ' 习题3－3图 第3章 静力学平衡问题 3－1 图示两种正方形结构所受荷载F 均已知。试求其中1，2，3各杆受力。 解：图（a ）：045cos 23=-?F F F F 2 2 3= （拉） F 1 = F 3（拉） 045cos 232=?-F F F 2 = F （受压） 图（b ）：033='=F F F 1 = 0 F 2 = F （受拉） 3－2 图示为一绳索拔桩装置。绳索的E 、C 两点拴在架子上，点B 与拴在桩A 上的绳索AB 连接，在点D 加一铅垂向下的力F ，AB 可视为铅垂，DB 可视为水平。已知α= 0.1rad.，力F = 800N 。试求绳AB 中产生的拔桩力（当α很小时，tan α≈α）。 解：0=∑y F ，F F ED =αsin αs i n F F ED = 0=∑x F ，DB ED F F =αcos F F F DB 10tan == α 由图（a ）计算结果，可推出图（b ）中：F AB = 10F DB = 100F = 80 kN 。 3－3 起重机由固定塔AC 与活动桁架BC 组成，绞车D 和E 分别控制桁架BC 和重物W 的运动。桁架BC 用铰链连接于点C ，并由钢索AB 维持其平衡。重物W = 40kN 悬挂在链索上，链索绕过点B 的滑轮，并沿直线BC 引向绞盘。长度AC = BC ，不计桁架重量和滑轮摩擦。试用角?=∠ACB 的函数来表示钢索AB 的张力F AB 以及桁架上沿直线BC 的压力F BC 。 (b-1) 习题3－1图 (a-1) (a-2) '3 (b-2) 习题3－2图 F 力学中的动态平衡问题集团公司文件内部编码：（TTT-UUTT-MMYB-URTTY-ITTLTY- 力学中的动态平衡问题 1、动态三角形法 特点：物体所受的三个力中，其中一个力的大小、方向均不变（通常为重力，也 可能是其它力），视为合力，一个分力的方向不变，大小变化，另一个分力则大 小、方向均发生变化的问题。 分析技巧：正确画出物体所受的三个力，将方向不变的分力F1的矢量延长，通过合力的末端做另一个分力F2的平行线，构成一个闭合三角形。看这个分力F2在动态平衡中的方向变化，画出其变化平行线，形成动态三角形，三角形变长的变化对应力的变化。 1．如图，一小球放置在木板与竖直墙面之间．设球对墙面的压力大小为N 1 ，球对木板的 压力大小为N 2 ，以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴，将木板从水平位置开始缓慢地转到图示位置．不计摩擦，在此过程中（） A．N 1始终增大，N 2 始终增大 B．N 1始终减小，N 2 始终减小 C．N 1先增大后减小，N 2 始终减小 D．N 1先增大后减小，N 2 先减小后增大 2．如图所示，重物G系在OA、OB两根等长的轻绳上，轻绳的A端和B端挂在半圆形支架上．若固定A端的位置，将OB绳的B端沿半圆形支架从水平位置逐渐移至竖直位置OC的过程中（） A．OA绳上的拉力减小B．OA绳上的拉力先减小后增大 C．OB绳上的拉力减小D．OB绳上的拉力先减小后增大 2、相似三角形法 特点：物体所受的三个力中，一个力大小、方向不变（一般是重力，视为合力），其它二 个分力力的方向均发生变化。 分析技巧：先正确画出物体的受力，画出受力分析图，将三个力的矢量首尾相连构成闭合三角形，再寻找与力的三角形相似的几何三角形，利用相似三角形的性质，建立比例关系，把力的大小变化问题转化为几何三角形边长的大小变化问题进行讨论。 3．一轻杆BO，其O端用光滑铰链固定在竖直轻杆AO上，B端挂一重物，且系一细绳，细绳跨过杆顶A处的光滑小滑轮，用力F拉住，如图所示，现将细绳缓慢往右放，使杆BO 与杆AO间的夹角θ逐渐增大，则在此过程中，拉力F及杆BO所受压力F N 的大小变化情况是（） A．F N 减小，F增大B．F N 、F都不变C．F增大，F N 不变D．F、F N 都减小 4．光滑的半球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑轮，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的A点，另一端绕过定滑轮，后用力拉住，使小球静止．现缓慢地拉绳，在使小球沿球面由A到半球的顶点B的过程中，半球对小球的支持力N和绳对小球的拉力T的大小变化情况是()。 A.N变大，T变小 B.N变小，T变大 C.N变小，T先变小后变大 D.N不变，T变小 3、辅助圆法 特点：三个力中一个为恒力，其它两个力方向和大小均发生变化，但其夹角不变，通常情况下可以采用辅助圆法 分析技巧：先对物体进行受力分析，将三个力的矢量首尾相连构成闭合三角形，然后作闭合三角形的外接圆，以恒力所在边为定弦，按题目要求移动定弦所对圆周角，观察其它两个力的变化情况 5．如图所示，直角尺POQ竖直放置，其中OP部分竖直，OQ部分水平， 力学动态平衡问题 所谓动态平衡问题是指通过控制某些物理量，使物体的状态发生缓慢的变化，而在这个过程中物体又始终处于一系列的平衡状态中。 解决动态平衡问题的思路是，①明确研究对象。②对物体进行正确的受力分析。③观察物体受力情况，认清哪些力是保持不变的，哪些力是改变的。④选取恰当的方法解决问题。 根据受力分析的结果，我们归纳出解决动态平衡问题的三种常用方法，分别是“图解法”，“相似三角形法”和“正交分解法”。 1、图解法 在同一图中做出物体在不同平衡状态下的力的矢量图，画出力的平行四边形或平移成矢量三角形，由动态力的平行四边形（或三角形）的各边长度的变化确定力的大小及方向的变化情况。 适用题型： （1）物体受三个力（或可等效为三个力）作用，三个力方向都不变，其中一个力大小改变。 例1、重G 的光滑小球静止在固定斜面和竖直挡板之间，若对小球施加一通过球心竖直向下的力F 作用，且F 缓慢增大，问在该过程中，斜面和挡板对小球的弹力的大小F 1、F 2如何变化？ 解析：选取小球为研究对象，小球受自身重力G ，斜面对小球的支持力F1，挡板对小球的弹力F2和竖直向下的压力F 四个力作用，画出受力示意图如图1-2所示。因为力F 和重力G 方向同为竖直向下，所以可以将它们等效为一个力，设为F ，这样小球就等效为三个力作用，力的示意图如图1-3所示。画出以F1和F2为邻边的力的平行四边形，因为三力平衡，所以F1和F2的合力F 合与F 等大反向（如图1-4所示）。各力的方向不变,当F 增大，F 合应随之增大，对应平行四边形的对角线变长，画出另一个状态的力的矢量图（如图1-5所示），由图中平行四边形边长的变化可知F1和F2都在增大。 根据物体在三个力的作用下平衡时，这三个力一定能构成一个封闭的矢量三角 形。这样也可以将上述三个力F 、F1、F2平移成矢量三角形（如图1-6所示），由F 增大，可画出另一个状态下的矢量三角形，通过图像中三角形边长的变化容易看出 F1和F2都在增大。 图1-1 图1-2 图1-3 图1-4 图1-5 图 1-6 力学动态平衡专题 一、矢量三角形法 特点：物体受三个力作用， 一为恒力，大小、方向均不变（通常为重力，也可能是其它力）； 一为定力，方向不变，大小变化； 一为变力，大小、方向均发生变化。 分析技巧：正确画出物体所受的三个力，先作出恒力F3，通过受力分析确定定力F1的方向，并通过F3作一条直线，与另一变力F2构成一个闭合三角形。看这个变力F2在动态平衡中的方向变化，画出其变化平行线，形成动态三角形，三角形长短的变化对应力的变化。 1．如图，一小球放置在木板与竖直墙面之间．设球对墙面的压力大小为N1，球对木板的压力大小为N2，以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴，将木板从水平位置开始缓慢地转到图示位置．不 计摩擦，在此过程中（） A．N1始终增大，N2始终增大 B．N1始终减小，N2始终减小 C．N1先增大后减小，N2始终减小 D．N1先增大后减小，N2先减小后增大 2．如图所示，重物G系在OA、OB两根等长的轻绳上，轻绳的A端和B端挂在半圆形支架上．若 固定A端的位置，将OB绳的B端沿半圆形支架从水平位置逐渐移至竖直位置OC的过程中（）A．OA绳上的拉力减小B．OA绳上的拉力先减小后增大 C．OB绳上的拉力减小 D．OB绳上的拉力先减小后增大 3.质量为m的物体用轻绳AB悬挂于天花板上．用水平向左的力F缓慢拉动绳的中点O，如图1所示．用T表示绳OA段拉力的大小，在O点向左移动的过程中(?) A.F逐渐变大，T逐渐变大 B.F逐渐变大，T逐渐变小 B.F逐渐变小，T逐渐变大D.F逐渐变小，T逐渐变小 4.如图所示，小球用细绳系住，绳的另一端固定于O点。现用水平力F缓慢推动斜面体，小球在斜面上无摩擦地滑动，细绳始终处于直线状态，当小球升到接近斜面顶端时细绳接近水平，此过程中斜面对小球的支持力FN以及绳对小球的拉力FT的变化情况是 （） 5. A、FN保持不变，FT不断增大 B、FN不断增大，FT不断减小 C、FN保持不变，FT先增大后减小 D、FN不断增大，FT先减小后增大 二、相似三角形法 特点：物体所受的三个力中，一为恒力，大小、方向不变（一般是重力），其它两个力的方向均发生变化。 【最新整理，下载后即可编辑】 静力学解题方法3——图解法分析动态平衡问题 题型特点：（1）物体受三个力。（2）三个力中一个力是恒力，一个力的方向不变，由于第三个力的方向变化，而使该力和方向不变的力的大小发生变化，但二者合力不变。 解题思路：（1）明确研究对象。（2）分析物体的受力。（3）用力的合成或力的分解作平行四边形（也可简化为矢量三角形）。（4）正确找出力的变化方向。（5）根据有向线段的长度变化判断各个力的变化情况。 注意几点：（1）哪个是恒力，哪个是方向不变的力，哪个是方向变化的力。 （2）正确判断力的变化方向及方向变化的范围。 （3）力的方向在变化的过程中，力的大小是否存在极值问题。【例1】如图2－4－2所示，两根等长的绳子AB和BC吊一重物静止，两根绳子与水平方向夹角均为60°.现保持绳子AB与水平方向的夹角不变，将绳子BC逐渐缓慢地变化到沿水平方向，在这一过程中，绳子BC的拉力变化情况是( ) A．增大B．先减小，后增大 C．减小D．先增大，后减小 解析：方法一：对力的处理(求合力)采用合成法，应用合力为零求解时采用图解法(画动态平行四边形法)．作出力的平行四边形，如图甲所示．由图可看出，FBC先减小后增大． 方法二：对力的处理(求合力)采用正交分解法，应用合力为零求解时采用解析法．如图乙所示，将FAB、FBC分别沿水平方向和竖直方向分解，由两方向合力为零分别列出： FAB cos 60°＝FB C sin θ， FAB sin 60°＋FB C cos θ＝FB， 联立解得FBC sin(30°＋θ)＝FB/2， 显然，当θ＝60°时，FBC最小，故当θ变大时，FBC先变小后变大． 答案：B 变式1－1如图2－4－3所示，轻杆的一端固定一光滑球体，杆的另一端O为自由转动轴，而球又搁置在光滑斜面上．若杆与墙面的夹角为β，斜面倾角为θ，开始时轻杆与竖直方向的夹角β＜θ. 且θ＋β＜90°，则为使斜面能在光滑水平面上向右做匀速直线运动，在球体离开斜面之前，作用于斜面上的水平外力F的大小及轻杆受力T和地面对斜面的支持力N的大小变化情况是( ) A．F逐渐增大，T逐渐减小，F N逐渐减小B．F逐渐减小，T逐渐减小，F N逐渐增大C．F逐渐增大，T先减小后增大，F N逐渐增大D．F逐渐减小，T先减小后增大，F N逐渐减小 解析：利用矢量三角形法对球体进行分析如图甲所示，可知T是 三力动态平衡问题的几种解法 物体在几个力的共同作用下处于平衡状态，如果其中的某一个力或某几个力发生缓慢的变化，其他的力也随之发生相应的变化，在变化过程中物体仍处于平衡状态，我们称这种平衡为动态平衡。因为物体受到的力都在发生变化，是动态力，所以这类问题是力学中比较难的一类问题。因为在整个过程中物体一直处于平衡状态，所以过程中的每一瞬间物体所受到的合力都是零，这是我们解这类题的根据. 下面就举例介绍几种这类题的解题方法. 一，三角函数法 例1．（2014年全国卷1）如图，用橡皮筋将一小球悬挂在小车的架子上，系绕处于平衡状态。现使小车从静止开始向左加速，加速度从零开始逐渐增大到某一值，然后保持此值，小球稳定地偏离竖直方向某一角度（橡皮筋在弹性限度内）。与稳定在竖直位置时相比，小球的高度（） A．一定升高B．一定降低 C．保持不变D．升高或降低由橡皮筋的劲度系数决定 解析:设L0为橡皮筋的原长，k为橡皮筋的劲度系数，小 车静止时，对小球受力分析得：F1=mg，弹簧的伸长 ,即小球与悬挂点的距离为，当小车的加速度稳定在一定值时，对小球进行受力分析如图: 得：，，解得：，弹簧的伸长： ，则小球与悬挂点的竖直方向的距离为： ，即小球在竖直方向上到悬挂点的距离减小， 所以小球一定升高，故A正确，BCD错误．故选A. 点评：这种方法适用于有两个力垂直的情形，这样才能构建直角三角形，从而根据直角三角形中的边角关系解题. 二，图解法 例2.如图所示，半圆形支架BAD上悬着两细绳OA和OB，结于圆心O，下悬重为G的物体，使OA绳固定不动，将OB绳的B端沿半圆支架从水平位置逐渐移至竖 直的位置C的过程中，如图所示，OA绳受力大小变化情况是______，OB绳受力大小变化情况是______． 解析：对O点受力分析，根据O点合力是零可知绳OA和绳OB上拉力的合力跟重力大小相等，方向相反，也就是说这个合力的大小不变方向竖直向上。根据图像OA绳受力 变小，OB绳受力先变小后变大. 点评：这种方法适用于一个力大小方向都不变，另一个力方向不变，只有第三个力大小方向都变化的情况. 三，相似三角形法 例3.（2014年上海卷）如图，竖直绝缘墙上固定一带电小球A，将带电小球B用轻质绝缘丝线悬挂在A的正上方C处，图中AC=h。当B静止在与竖直方向夹角方 向时，A对B的静电力为B所受重力的倍，则丝线BC长度为。若A对B的静电力为B所受重力的0.5倍，改变丝线长度，使B仍能在处平衡。以后由于A 漏电，B在竖直平面内缓慢运动，到处A的电荷尚未漏完，在整个漏电过程中，丝线上拉力大小的变化情况是。 动态平衡分析 （一）共点力的平衡 1.共点力：物体受到的各力的作用线或作用线的延长线能相交于一点的力. 2.平衡状态：在共点力的作用下，物体处于静止或匀速直线运动的状态. 3.共点力作用下物体的平衡条件：合力为零，即＝合F 0. 4.力的平衡：作用在物体上几个力的合力为零，这种情形叫做力的平衡. (1)若处于平衡状态的物体仅受两个力作用，这两个力一定大小相等、方向相反、作用在一条直线上，即二力平衡. (2)若处于平衡状态的物体受三个力作用，则这三个力中的任意两个力的合力一定与另一个力大小相等、方向相反、作用在一条直线上. (3)若处于平衡状态的物体受到三个或三个以上的力的作用，则宜 用正交分解法处理，此时的平衡方程可写成：???=∑=∑00y x F F （二）物体的动态平衡问题 物体在几个力的共同作用下处于平衡状态，如果其中的某个力 （或某几个力）的大小或方向，发生变化时，物体受到的其它力也会随之发生变化，如果在变化的过程中物体仍能保持平衡状态，我们就可以依据平衡条件，分析出物体受到的各力的变化情况。 分析方法： （1）矢量三角形法 ①如果物体在三个力作用下处于平衡状态，其中只有一个力的大小和方向发生变化，而另外两个力中，一个大小、方向均不变化；一个只有大小变化，方向不发生变化的情况。 ②如果物体在三个力作用下处于平衡状态，其中一个力的大小和方向发生变化时，物体受到的另外两个力中只有一个大小和方向保持不变，另一个力的大小和方向也会发生变化的情况下，考虑三角形的相似关系。 （三）例题与习题： 1．如图所示，小球用细绳系住放在倾角为 的光滑斜面上，当细绳由水平方向逐渐向上偏移时，细绳上的拉力将： A．逐渐变大 B．逐渐变小 C．先增大后减小D．先减小后增大O A B C D θ 静力学解题方法3——图解法分析动态平衡问题 题型特点：（1）物体受三个力。（2）三个力中一个力是恒力，一个力的方向不变，由于第三个力的方向变化，而使该力和方向不变的力的大小发生变化，但二者合力不变。 解题思路：（1）明确研究对象。（2）分析物体的受力。（3）用力的合成或力的分解作平行四边形（也可简化为矢量三角形）。（4）正确找出力的变化方向。（5）根据有向线段的长度变化判断各个力的变化情况。 注意几点：（1）哪个是恒力，哪个是方向不变的力，哪个是方向变化的力。 （2）正确判断力的变化方向及方向变化的范围。 （3）力的方向在变化的过程中，力的大小是否存在极值问题。 【例1】如图2－4－2所示，两根等长的绳子AB和BC吊一重物静止，两根绳子与水平方向夹角均为60°.现保持绳子AB与水平方向的夹角不变，将绳子BC逐渐缓慢地变化到沿水平方向，在这一过程中，绳子BC的拉力变化情况是() A．增大B．先减小，后增大 C．减小D．先增大，后减小 解析：方法一：对力的处理(求合力)采用合成法，应用合力为零求解时采用图解法(画动态平行四边形法)．作出力的平行四边形，如图甲所示．由图可看出，FBC先减小后增大．方法二：对力的处理(求合力)采用正交分解法，应用合力为零求解时采用解析法．如图乙所示，将F AB、FBC分别沿水平方向和竖直方向分解，由两方向合力为零分别列出： F AB cos 60°＝FB C sin θ， F AB sin 60°＋FB C cos θ＝FB， 联立解得FBC sin(30°＋θ)＝FB/2， 显然，当θ＝60°时，FBC最小，故当θ变大时，FBC先变小后变大． 动态平衡中的三力问题 物理组 王高波 在有关物体平衡的问题中，有一类涉及动态平衡。这类问题中的一部分力是变力，是动态力，力的大小和方向均要发生变化，故这是力平衡问题中的一类难题。解决这类问题的一般思路是：把“动”化为“静”，“静”中求“动”。根据现行高考要求，物体受到往往是三个共点力问题，利用三力平衡特点讨论动态平衡问题是力学中一个重点和难点，许多同学因不能掌握其规律往往无从下手，许多参考书的讨论常忽略几中情况，笔者整理后介绍如下。 方法一：三角形图解法。 特点：三角形图象法则适用于物体所受的三个力中，有一力的大小、方向均不变（通常为重力，也可能是其它力），另一个力的方向不变，大小变化，第三个力则大小、方向均发生变化的问题。 方法：先正确分析物体所受的三个力，将三个力的矢量首尾相连构成闭合三角形。然后将方向不变的力的矢量延长，根据物体所受三个力中二个力变化而又维持平衡关系时，这个闭合三角形总是存在，只不过形状发生改变而已，比较这些不同形状的矢量三角形，各力的大小及变化就一目了然了。 例1.1 如图1所示，一个重力G 的匀质球放在光滑斜面上，斜面倾角为α，在斜面上有一光滑的不计厚度的木板挡住球，使之处于静止状态。今使板与斜面的夹角β缓慢增大，问：在此过程中，挡板和斜面对球的压力大小如何变化？ 解析：取球为研究对象，如图1-2所示，球受重力G 、斜面支持力F 1、挡板支持力F 2。因为球始终处于平衡状态，故三个力的合力始终为零，将三个力矢量构成封闭的三角形。F 1的方向不变，但方向不变，始终与斜面垂直。F 2的大小、方向均改变，随着挡板逆时针转动时，F 2的方向也逆时针转动，动态矢量三角形图1-3中一画出的一系列虚线表示变化的F 2。由此可知，F 2先减小后增大，F 1随β增大而始终减小。 同种类型：例1.2所示，小球被轻质细绳系着，斜吊着放在光滑斜面上，小球质量为m ，斜面倾角为θ 方法二：相似三角形法。 特点：相似三角形法适用于物体所受的三个力中，一个力大小、方向不变，其它二个力 的方向均发生变化，且三个力中没有二力保持垂直关系，但可以找到力构成的矢量三角形相似的几何三角形的问题 图1-1 图1-2 F 1 G F 2 图1-3 图1-4 高中物理——力学动态平衡分析 一 物体受三个力作用 例1. 如图1所示，一个重力G 的匀质球放在光滑斜面上，斜面倾角为α ，在斜面上有一光滑的不计厚度的木板挡住球，使之处于静 止状态。今使板与斜面的夹角β缓慢增大，问：在此过程中，挡板和斜面对球的压力大小如何变化？ ，其O AO 上，B F 拉住，如图2-1所示。现将细绳缓慢往左拉，使杆BO 与杆A O 间的夹 角θ逐渐减少，则在此过程中，拉力F 及杆BO 所受压力F N 的大小变化情况是( ) A ．F N 先减小，后增大 B .F N 始终不变 C ．F 先减小，后增大 D.F 始终不变 B 球心正上方有一光滑的小滑轮，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的A 点，另一端绕过定滑轮，后用力拉住， 使小球静止．现缓慢地拉绳，在使小球沿球面由A 到半球的顶点B 的过程中，半球对小球的支持力N 和绳对小球的拉力T 的大小变化情况 图图2-2 图 图 图 F 1 G F 2 图1-3 是( D )。 (A)N 变大，T 变小， (B)N 变小，T 变大 (C)N 变小，T 先变小后变大 (D)N 不变，T 变小 例3．如图3-1所示，在水平天花板与竖直墙壁间，通过不计质量的柔软绳子和光滑的轻小滑轮悬挂重物G =40N ，绳长L =2.5m ，OA =1.5m ，求绳中张力的大小，并讨论： （1）当B 点位置固定，A 端缓慢左移时，绳中张力如何变化？ （2）当A 点位置固定，B 端缓慢下移时，绳中张力又如何变化？ 解析：取绳子c 点为研究对角，受到三根绳的拉力，如图3-2所示分别为F 1、F 2、F 3，延长绳AO 交竖直墙于D 点，由于是同一根轻绳，可得：21F F =，BC 长度等于CD ，AD 长度等于绳长。设角∠OAD 为θ；根据三个力平衡可得：θsin 21G F = ；在三角形AOD 中可知，AD OD =θsin 。如果A 端左移，AD 变为如图3－3中虚线A ′D ′所示，可知A ′D ′不变，OD ′减小，θsin 减小，F 1变大。如果B 端下移，BC 变为如图3－4虚线B ′C ′所示，可知AD 、OD 不变，θsin 不变，F 1不变。 二 物体受四个力及以上 例 4 .如图所示，当人向左跨了一步后人与物体保持静止，跨后与垮前相比较，下列说法错误的是: 图3－1 A C G O A C G F 1 F 2 F 3 O θ 图3－2 A C G F 1 F 2 F 3 O θ A ′ ′ 图3－3 A C G F 1 F 2 F 3 O θ C ′ B ′ 图3－4 动态平衡 一、三角形图示法（图解法） 方法规律总结：常用于解三力平衡且有一个力是恒力，另一个力方向不变的问题。 例1、如图1-17所示，重G 的光滑小球静止在固定斜面和竖直挡板之间。若挡板逆时针缓慢转到水平位置，在该过程中，斜面和挡板对小球的弹力的大小F 1 、F 2各如何变化？ 答案： F1逐渐变小，F2先变小后变大 变式： 1、质量为m 的物体用轻绳AB 悬挂于天花板上．用水平向左的力F 缓慢拉动绳的中点O ，如图所示，用T 表示OA 段拉力的大小，在O 点向左移动的过程中（ A ） A.F 逐渐变大，T 逐渐变大 B.F 逐渐变大，T 逐渐变小 C.F 逐渐变小，T 逐渐变大 D.F 逐渐变小，T 逐渐变小 2、如图所示，一个球在两块光滑斜面板AB 、AC 之间，两板与水平面间的夹角均为60°，现使AB 板固定，使AC 板与水平面间的夹角逐渐减小，则下列说法中正确的是（ A ） A.球对AC 板的压力先减小再增大 B.球对AC 板的压力逐渐减小 C.球对AB 板的压力逐渐增大 D.球对AB 板的压力先增大再减小 二、三角形相似法 方法规律总结：在三力平衡问题中，如果有一个 力是恒力，另外两个力方向都发生变化，且力的矢量三角形与题所给空间几何三角形相似，可以利用相似三角形对应边的比例关系求解． 例2、如图所示，AC 是上端带定滑轮的固定竖直杆，质量不计的轻杆AB 一端通过铰链固定在A 点，另一端B 悬挂一重为G 的重物，且B 端系有一根轻绳并绕过定滑轮，用力F 拉绳，开始时∠BAC ＞90°，现使∠BAC 缓慢变小，直到杆AB 接近竖直杆AC ．此过程中，杆AB 所受的力（ A ） A ．大小不变 B ．逐渐增大 C ．先减小后增大 D ．先增大后减小 变式： 1、如图所示，固定在竖直平面内的光滑圆环的最高点有一个光滑的小孔．质量为m 的小球套在圆环上．一根细线的下端系着小球，上端穿过小孔用手拉住．现拉动细线，使小球沿圆环缓慢上移．在移动过程中手对线的拉力F 和轨道对小球的弹力N 的大小变化情况是（ C ） A.F 不变，N 增大 B.F 不变，N 减小 C.F 减小，N 不变 D.F 增大，N 减小 2、半径为R 的球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑轮，滑轮到球面B 的距离为h ，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的A 点，另一端绕过定滑轮后用力拉住，使小球静止，如图所示，现缓慢地拉绳，在使小球由A 到B 的过程中，半球对小球的支持力N 和绳对小球的拉力T 的大小变化的情况是（ A ）力学中的三种力
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