大题规范练(三) “17题~19题+二选
一”46分练
(时间:45分钟 分值:46分)
解答题(本大题共4小题,共46分,第22~23题为选考题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.已知△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且满足a =3b cos C .
(1)求tan C
tan B 的值;
(2)若a =3,tan A =3,求△ABC 的面积.
[解] (1)由正弦定理a sin A =b sin B =c
sin C =2R 及a =3b cos C 可得2R sin A =3×2R sin B cos C , 即sin A =3sin B cos C .
∵A +B +C =π,∴sin A =sin(B +C )=3sin B cos C , ∴sin B cos C +cos B sin C =3sin B cos C ,
∴cos B sin C =2sin B cos C ,∴cos B sin C sin B cos C =2,故tan C
tan B =2.
(2)法一:(直接法)由A +B +C =π,得tan(B +C )=tan(π-A )=-3, 即
tan B +tan C
1-tan B ·tan C
=-3,将tan C =2tan B 代入得
3tan B 1-2tan 2B
=-3,解得tan B =1或tan B =-1
2. 根据tan C =2tan B ,得tan C ,tan B 同号, 又tan C ,tan B 同时为负数不合题意, ∴tan B =1,tan C =2,
∴sin B =22,sin C =255,sin A =310
10, 由正弦定理可得331010=b
22
,∴b =5,
∴S △ABC =12ab sin C =12×3×5×25
5=3.
法二:(整体代入法)由A +B +C =π,得tan(B +C )=tan(π-A )=-3, 即tan B +tan C 1-tan B ·tan C =-3,将tan C =2tan B 代入得 3tan B
1-2tan 2B
=-3,
解得tan B =1或tan B =-1
2.根据tan C =2tan B 得tan C ,tan B 同号,又tan C ,tan B 同时为负数不合题意, ∴tan B =1,tan C =2.
又∵a =3b cos C =3,∴b cos C =1,∴ab cos C =3, ∴ab cos C tan C =6, ∴S △ABC =12ab sin C =1
2×6=3.
18.如图6,在四棱锥S -ABCD 中,AB ∥CD ,BC ⊥CD ,侧面SAB 为等边三角
形,AB =BC =2,CD =SD =1.
图6
(1)证明:SD ⊥平面SAB ;
(2)求AB 与平面SBC 所成角的正弦值.
[解] (1)证明:以C 为坐标原点,射线CD 为x 轴正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系C -xyz ,则D (1,0,0),A (2,2,0),B (0,2,0).
设S (x ,y ,z ),则x >0,y >0,z >0,
且AS
→=(x -2,y -2,z ),BS →=(x ,y -2,z ),DS →=(x -1,y ,z ).
由|AS →|=|BS →
|,得(x -2)2+(y -2)2+z 2=x 2+(y -2)2+z 2,解得x =1. 由|DS
→|=1,得y 2+z 2=1. ① 由|BS
→|=2,得y 2+z 2-4y +1=0. ②
由①②,解得y =12,z =3
2.
∴S ? ????1,12,32,AS
→=? ????-1,-32,32,BS →=? ????1,-32,32,DS →=?
????
0,12,32,
∴DS →·AS →=0,DS →·BS →=0, ∴DS ⊥AS ,DS ⊥BS , ∴SD ⊥平面SAB .
(2)设平面SBC 的法向量为n =(x 1,y 1,z 1), 则n ⊥BS →,n ⊥CB →,∴n ·BS →=0,n ·CB →=0. 又BS →=? ?
???1,-32,32,CB →=(0,2,0),
∴??
?
x 1-32y 1+32z 1=02y 1=0
,取z 1=2,
得n =(-3,0,2). ∵AB
→=(-2,0,0), ∴cos 〈AB →
,n 〉=AB →·n |AB →||n |=-2×(-3)7×2=217.
故AB 与平面SBC 所成角的正弦值为21
7.
19.春节期间,甲、乙等六人在微信群中玩抢红包游戏,六人轮流发红包,每次
10元,分4个红包,每个红包分别为1元、2元、3元、4元,每人每次最多抢一个红包,且每次红包全被抢完.统计五轮(30次)的结果,甲、乙所抢红包的情况如下:
(1)
(2)将频率视为概率,甲在接下来的一轮抢红包游戏中,没有抢到红包的次数为X ,求X 的分布列和数学期望. [解] (1)甲所抢红包金额的平均数为x 甲=
6+2×3+3×4+4×730
=26
15,
乙所抢红包金额的平均数为x 乙=9+2×6+3×6+4×430=11
6,
由于116>26
15,所以乙的手气更好.
(2)由题意,X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6. 从30次统计结果看,甲抢到红包的频率为
6+3+4+730
=2
3,甲没有抢到红包的频率为1-23=13,且每次抢红包相互独立,故X ~B ? ?
???6,13.
P (X =0)=? ????
236
=64729, P (X =1)=C 16? ????235? ????13=64243
,
P (X =2)=C 26? ????234? ????132
=80243
, P (X =3)=C 36? ????233
? ????133
=160729, P (X =4)=C 46? ??
??232
? ????134
=20243
, P (X =5)=C 56? ????23? ????135=4243,
P (X =6)=C 66? ????136
=1729.
所以X 的分布列为
E (X )=6×1
3=2.
(请在第22~23题中选一题作答,如果多做,则按照所做第一题计分) 22.选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为???
x =2cos φ
y =sin φ(其中φ为参数).以
原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程是ρ(tan α·cos θ-sin θ)=1(α是常数,0<α<π,且α≠π2),点A ,B (A 在x 轴的下方)是曲线C 1与C 2的两个不同交点. (1)求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程; (2)求|AB |的最大值及此时点B 的坐标.
[解] (1)∵???
x =2cos φy =sin φ(其中φ为参数),∴曲线C 1的普通方程为x 24+y 2=1.
由???
x =ρcos θy =ρsin θ,得曲线C 2的直角坐标方程为y =tan α·x -1. (2)由(1)得曲线C 2的参数方程为???
x =t cos αy =-1+t sin α(t 为参数).
设A (t 1cos α,-1+t 1sin α),B (t 2cos α,-1+t 2sin α),
将???
x =t cos αy =-1+t sin α,代入x 24+y 2=1,整理得t 2(1+3sin 2α)-8t sin α=0, ∴t 1=0,t 2=8sin α
1+3sin 2α,
∴|AB |=|t 1-t 2|=
8|sin α|1+3sin 2α=83|sin α|+1|sin α|
≤823
=433(当且仅当sin α=
3
3时取等号),
当sin α=33时,∵0<α<π,且α≠π2,∴cos α=±6
3,
2019高考数学常见难题大盘点:数列 1. 已知函数2()1f x x x =+-,,αβ是方程f (x )=0旳两个根()αβ>,'()f x 是f (x )旳导数;设1 1a =, 1 ()'() n n n n f a a a f a +=- (n =1,2,……) (1)求,αβ旳值; (2)证明:对任意旳正整数n ,都有n a >a ; 解析:(1)∵2()1f x x x =+-,,αβ是方程f (x )=0旳两个根()αβ>, ∴ αβ== ; (2)'()21f x x =+, 21 115(21)(21)12 442121 n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a ++++-+-=-=-++ = 5 114 (21)4212 n n a a ++-+,∵1 1a =, ∴有基本不等式可知 20a ≥>( 当且仅当1a = 时取等号) ,∴ 20a >> 同,样3a > ,……,n a α >= (n =1,2,……), 2. 已知数列{}n a 旳首项121a a =+(a 是常数,且1a ≠-), 24221+-+=-n n a a n n (2n ≥),数列{}n b 旳首项1b a =,2n a b n n +=(2n ≥) · (1)证明:{}n b 从第2项起是以2为公比旳等比数列; (2)设n S 为数列{}n b 旳前n 项和,且{}n S 是等比数列,求实数a 旳值; (3)当a>0时,求数列{}n a 旳最小项· 分析:第(1)问用定义证明,进一步第(2)问也可以求出,第(3)问由a 旳不同而要分类讨论· 解:(1)∵2n a b n n += ∴ 22211)1(2)1(4)1(2)1(++++-++=++=++n n n a n a b n n n n n b n a 2222=+=(n ≥2) 由121a a =+得24a a =,22444b a a =+=+, ∵1a ≠-,∴ 2 0b ≠, 即{}n b 从第2项起是以2为公比旳等比数列· (2) 1(44)(21)34(22)2 21 n n n a S a a a -+-=+=--++-
第1讲 三角函数与平面向量 A 组 基础达标 1.若点? ????sin 5π 6,cos 5π6在角α的终边上,则sin α的值为________. 2.已知α∈? ????0,π2,2sin2α=cos2α+1,那么sin α=________. 3.(2019·榆林模拟)若sin ? ????A +π4=7210,A ∈? ?? ??π4,π,则sin A =________. 4.若函数f (x )=2sin ? ????2x +φ-π6(0<φ<π)是偶函数,则φ=________. 5.已知函数y =A sin (ωx +φ)+B (A >0,ω>0,|φ|<π 2)的部分图象如图所示,那 么φ=________. (第5题) 6.已知sin ? ????α+π3=1213,那么cos ? ?? ??π6-α=________. 7.在距离塔底分别为80m ,160m ,240m 的同一水平面上的A ,B ,C 处,依次测得塔顶的仰角分别为α,β,γ.若α+β+γ=90°,则塔高为________m. 8.(2019·湖北百校联考)设α∈? ????0,π3,且6sin α+2cos α= 3. (1) 求cos ? ????α+π6的值; (2) 求cos ? ????2α+π12的值.
B 组 能力提升 1.计算:3cos10°-1 sin170°=________. 2.(2019·衡水模拟改编)设函数f (x )=2cos (ωx +φ)对任意的x ∈R ,都有f ? ????π3-x =f ? ????π3+x ,若函数g (x )=3sin (ωx +φ)+cos (ωx +φ)+2,则g ? ?? ??π3的值是________. 3.已知函数f (x )=sin (ωx +φ)(ω>0)的图象的一个对称中心为? ????π2,0,且f ? ?? ? ?π4=1 2 ,那么ω的最小值为________. 4.已知函数f (x )=sin ? ????ωx +π5(ω>0),f (x )在[0,2π]上有且仅有5个零点,给出以下四个结论: ①f (x )在(0,2π)上有且仅有3个极大值点; ②f (x )在(0,2π)上有且仅有2个极小值点; ③f (x )在? ????0,π10上单调递增; ④ω的取值范围是???? ??125,2910. 其中正确的结论是________.(填序号) 5.(2019·浙江卷)已知函数f (x )=sin x ,x ∈R . (1) 当θ∈[0,2π)时,函数f (x +θ)是偶函数,求θ的值; (2) 求函数y =??????f ? ????x +π122+??????f ? ????x +π42 的值域. 6.(2019·临川一中)已知函数f (x )=M sin (ωx +π 6)(M >0,ω>0)的大致图象如图所示, 其中A (0,1),B ,C 为函数f (x )的图象与x 轴的交点,且BC =π. (1) 求M ,ω的值;
高考数学解答题常考公式及答题模板 题型一:解三角形 1、正弦定理: R C c B b A a 2sin sin sin === (R 是AB C ?外接圆的半径) 变式①:?????===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2 变式②:?? ?? ? ???? == = R c C R b B R a A 2sin 2sin 2sin 变式③: C B A c b a sin :sin :sin ::= 2、余弦定理:???????-+=-+==+=C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 22222 22222 变式:???? ? ??????-+= -+=-+= ab c b a C ac b c a B bc a c b A 2cos 2cos 2cos 2 22222222 3、面积公式:A bc B ac C ab S ABC sin 2 1 sin 21sin 21=== ? 4、射影定理:?? ? ??+=+=+=A b B a c A c C a b B c C b a cos cos cos cos cos cos (少用,可以不记哦^o^) 5、三角形的内角和等于 180,即π=++C B A 6、诱导公式:奇变偶不变,符号看象限 利用以上关系和诱导公式可得公式:??? ??=+=+=+A C B B C A C B A sin )sin(sin )sin(sin )sin( 和 ??? ??-=+-=+-=+A C B B C A C B A cos )cos(cos )cos(cos )cos( 7、平方关系和商的关系:①1cos sin 22=+θθ ②θ θ θcos sin tan = 奇: 2 π 的奇数倍 偶: 2 π 的偶数倍
2019年高考数学第二轮备考指导及复习建 议 首先,我们应当明确为什么要进行高考第二轮复习?也就是高考数学复习通常要分三轮(有的还是分四轮)完成,对于第二轮的目的和意义是什么呢?第一轮复习的目的是 将我们学过的基础知识梳理和归纳,在这个过程当中主要以两个方面作为参考。第一个是以教材为基本内容,第二个以教学大纲以及当年的考试说明,作为我们参考的依据,然后做到尽量不遗漏知识,因为这也是作为我们二轮三轮复习的基础。 对于高三数学第二轮复习来说,要达到三个目的:一是从全面基础复习转入重点复习,对各重点、难点进行提炼和把握;二是将第一轮复习过的基础知识运用到实战考题中去,将已经把握的知识转化为实际解题能力;三是要把握各题型的特点和规律,把握解题方法,初步形成应试技巧。 高三数学第二轮的复习,是在第一轮复习的基础上,对高考知识点进行巩固和强化,是考生数学能力和学习成绩大幅度提高的关键阶段,我们学校此阶段的复习指导思想是:巩固、完善、综合、提高。就大多数同学而言,巩固,即巩固第一轮单元复习的成果,把巩固三基(基础知识、基本方法、基本技能)放在首位,强化知识的系统与记忆;完善,就是通过此轮复习,查漏补缺,进一步建立数学思想、知识规律、方法
运用等体系并不断总结完善;综合,就是在课堂做题与课外训练上,减少单一知识点的试题,增强知识点之间的衔接,增强试题的综合性和灵活性;提高,就是进一步培养和提高对数学问题的阅读与概括能力、分析问题和解决问题的能力。因此,高三数学第二轮的复习,对于课堂听讲并适当作笔记,课外训练、自主领悟并总结等都有较高要求,有“二轮看水平”的说法!是最“实际”的一个阶段。 要求学生就是“四个看与四个度”:一看对近几年高考常考题型的作答是否熟练,是否准确把握了考试要求的“度”--《考试说明》中“了解、理解、掌握”三个递进的层次,明确“考什么”“怎么考”;二看在课堂上是否紧跟老师的思维并适当作笔记,把握好听、记、练的“度”;三看知识的串连、练习的针对性是否强,能否使模糊的知识清晰起来,缺漏的板块填补起来,杂乱的方法梳理起来,孤立的知识联系起来,形成系统化、条理化的知识框架,控制好试题难易的“度”;四看练习或检测与高考是否对路,哪些内容应稍微拔高,哪些内容只需不降低,主次适宜,重在基础知识的灵活运用和常用数学思想方法的掌握,注重适时反馈的“度”。在高考一轮复习即将结束、二轮复习即将开始这样一个承上启下的阶段,时间紧,任务重,往往是有40天左右时间(我们学校是3月中旬到4月底)。如何做到有条不紊地复习呢?现结合我最近的学习及多年的做法谈下面几点意见,供同行们参考。
2015年高考数学试题分类汇编及答案解析(22个专题) 目录 专题一集合..................................................................................................................................................... 专题二函数..................................................................................................................................................... 专题三三角函数............................................................................................................................................ 专题四解三角形............................................................................................................................................ 专题五平面向量............................................................................................................................................ 专题六数列..................................................................................................................................................... 专题七不等式................................................................................................................................................. 专题八复数..................................................................................................................................................... 专题九导数及其应用................................................................................................................................... 专题十算法初步............................................................................................................................................ 专题十一常用逻辑用语 .............................................................................................................................. 专题十二推理与证明................................................................................................................................... 专题十三概率统计 ....................................................................................................................................... 专题十四空间向量、空间几何体、立体几何...................................................................................... 专题十五点、线、面的位置关系 ............................................................................................................ 专题十六平面几何初步 .............................................................................................................................. 专题十七圆锥曲线与方程.......................................................................................................................... 专题十八计数原理 ..................................................................................................................................... 专题十九几何证明选讲 ............................................................................................................................ 专题二十不等式选讲.................................................................................................................................
2014高考数学难题集锦(一) 1、已知集合,若集合,且对任意的,存在 ,使得(其中),则称集合为集合的一个元基底. (Ⅰ)分别判断下列集合是否为集合的一个二元基底,并说明理由; ①,; ②,. (Ⅱ)若集合是集合的一个元基底,证明:; (Ⅲ)若集合为集合的一个元基底,求出的最小可能值,并写出当取最小值时的 一个基底. 2、设函数 (1)若关于x的不等式在有实数解,求实数m的取值范围; (2)设,若关于x的方程至少有一个解,求p 的最小值. (3)证明不等式: 3、设,圆:与轴正半轴的交点为,与曲线的交点为, 直线与轴的交点为. (1)用表示和; (2)求证:;
(3)设,,求证:. 4、数列,()由下列条件确定:①;②当时,与满足:当 时,,;当时,,. (Ⅰ)若,,写出,并求数列的通项公式; (Ⅱ)在数列中,若(,且),试用表示; (Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下,设数列满足,, (其中为给定的不小于2的整数),求证:当时,恒有. 5、已知函数f(x)是定义在[-e,0)∪(0,e]上的奇函数,当x∈(0,e],f(x)=ax+lnx(其中e是自然对数的底数,a∈R) (1)求f(x)的解析式; (2)设g(x)=,x∈[-e,0),求证:当a=-1时,f(x)>g(x)+; (3)是否存在实数a,使得当x∈[-e,0)时f(x)的最小值是3 如果存在,求出实数a的值;如果不存在,请说明理由. 6、(理)对数列和,若对任意正整数,恒有,则称数列是数列的“下界数列”. (1)设数列,请写出一个公比不为1的等比数列,使数列是数列的“下界数列”; (2)设数列,求证数列是数列的“下界数列”; (3)设数列,构造
高考数学常用公式及结论200条(一) 湖北省黄石二中 杨志明 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B == . 3.包含关系 A B A A B B =?= U U A B C B C A ???? U A C B ?=Φ U C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+ . 5.集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个;真子集有2n –1个;非空子集有2n –1个;非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <[()][()]0f x M f x N --< ?|()|2 2 M N M N f x +-- ()0() f x N M f x ->- ? 11()f x N M N > --. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21
、最值 一、选择题 1.(2017·全国甲卷理科·T11)若x=-2是函数f(x)=(2x+ax-1)1x e-的极值点,则f(x)的极小值为() A.-1 B.-23 e- D.1 e- C.53 【命题意图】导数研究函数的单调性,极值与最值以及不等式的解法.通过求极小值意在考查学生单调性与导数的关系,以及运算能力. 【解析】选A.由题可得f'(x)=(2x+a)1x e-+(2x+ax-1)1x e-=[2x+(a+2)x+a-1]1x e-, 因为f'(-2)=0,所以a=-1,f(x)=(2x-x-1)1x e-,故f'(x)=(2x+x-2)1x e-, 令f'(x)>0,解得x<-2或x>1,所以f(x)在(-∞,-2)和(1,+∞)上单调递增,在(-2,1)上单调递减,所以f(x)极小值=f(1)=(1-1-1)11 e-=-1. 【方法技巧】求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义区间,求导数f'(x). (2)求f(x)的拐点,即求方程f'(x)=0的根. (3)利用f'(x)与f(x)随x的变化情况表,根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值. 2.(2017·浙江高考·T7)函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是() 【解析】选D.由导函数的图象可知函数在(-∞,0)上是先减后增,在(0,+∞)上是先增后减再增,故选D.
3.(2017·山东高考文科·T10)若函数g(x)=e x f(x)(e=2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称f(x)具有M性质,下列函数中具有M性质的是() A.f(x)=2-x B.f(x)=x2 C.f(x)=3-x D.f(x)=cosx 【命题意图】本题考查函数的单调性的判断及导数的应用,意在考查考生应用已有知识分析问题、解决问题的能力. 【解析】选A.A中,g(x)=e x2-x= 2x e?? ???,因为 2 e >1,所以g(x)单调递增,所以f(x)具有M性质, 满足题意,故选A; B中,g(x)=e x x2,则g'(x)=e x x(x+2),所以g(x)在(-2,0)上单调递减,所以f(x)不具有M性质,不满足题意; C中,g(x)=e x3-x= 3x e?? ???,因为0< 3 e <1,所以g(x)单调递减,所以f(x)不具有M性质,不满足题 意; D中,g(x)=e x cosx,则g'(x)=e x(cosx-sinx),所以g(x)在 5 , 44 ππ ?? ? ?? 上单调递减,所以f(x)不具 有M性质,不满足题意. 二、填空题 4.(2017·江苏高考·T11)已知函数f(x)=x3-2x+e x-错误!未找到引用源。,其中e是自然对数的底数,若f(a-1)+f(2a2)≤0,则实数a的取值范围是. 【命题意图】考查利用函数性质解不等式,如何利用函数的性质把不等式转化为f(g(x))>f(h(x))的形式,根据函数的单调性去掉“f”,转化为具体的不等式(组)是重点.突出考查考生的应变能力. 【解析】因为f'(x)=3x2-2+e x+e-x≥3x2-2+2错误!未找到引用源。≥0,所以函数f(x)在R上单调递增,因为f(-x)