因式分解练习题(有答案)
篇一：因式分解过关练习题及答案
因式分解专题过关
1．将下列各式分解因式
22（1）3p﹣6pq（2）2x+8x+8
2．将下列各式分解因式
3322（1）xy﹣xy （2）3a﹣6ab+3ab．
3．分解因式
222222 （1）a（x﹣y）+16（y﹣x）（2）（x+y）﹣4xy
4．分解因式：
222232 （1）2x﹣x（2）16x﹣1（3）6xy﹣9xy﹣y（4）4+12（x ﹣y）+9（x﹣y）
5．因式分解：
（1）2am﹣8a （2）4x+4xy+xy
2322
6．将下列各式分解因式：
322222 （1）3x﹣12x （2）（x+y）﹣4xy
7．因式分解：（1）xy﹣2xy+y
223 （2）（x+2y）﹣y22
8．对下列代数式分解因式：
（1）n（m﹣2）﹣n（2﹣m）（2）（x﹣1）（x﹣3）+1
9．分解因式：a﹣4a+4﹣b
10．分解因式：a﹣b﹣2a+1
11．把下列各式分解因式：
42422 （1）x﹣7x+1 （2）x+x+2ax+1﹣a
22222
（3）（1+y）﹣2x（1﹣y）+x（1﹣y）（4）x+2x+3x+2x+1
12．把下列各式分解因式：
32222224445（1）4x﹣31x+15；（2）2ab+2ac+2bc﹣a﹣b﹣c；（3）x+x+1；
（4）x+5x+3x﹣9；（5）2a﹣a﹣6a﹣a+2．3243222242432 因式分解专题过关
1．将下列各式分解因式
22（1）3p﹣6pq；（2）2x+8x+8
分析：（1）提取公因式3p整理即可；
（2）先提取公因式2，再对余下的多项式利用完全平公式继续分解．
解答：解：（1）3p﹣6pq=3p（p﹣2q），
222（2）2x+8x+8，=2（x+4x+4），=2（x+2）．
2．将下列各式分解因式
3322（1）xy﹣xy（2）3a﹣6ab+3ab．
分析：（1）首先提取公因式xy，再利用平差公式进行二次分解即可；
（2）首先提取公因式3a，再利用完全平公式进行二次分解即可．2解答：解：（1）原式=xy（x﹣1）=xy（x+1）（x﹣1）；
222（2）原式=3a（a﹣2ab+b）=3a（a﹣b）．
3．分解因式
222222（1）a（x﹣y）+16（y﹣x）；（2）（x+y）﹣4xy．
分析：（1）先提取公因式（x﹣y），再利用平差公式继续分解；
（2）先利用平差公式，再利用完全平公式继续分解．
解答：解：（1）a（x﹣y）+16（y﹣x），=（x﹣y）（a﹣16），=（x﹣y）（a+4）（a﹣4）；
22222222222（2）（x+y）﹣4xy，=（x+2xy+y）（x﹣2xy+y），=（x+y）（x﹣y）．
4．分解因式：
222232（1）2x﹣x；（2）16x﹣1；（3）6xy﹣9xy﹣y；（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）．
222
分析：（1）直接提取公因式x即可；
（2）利用平差公式进行因式分解；
（3）先提取公因式﹣y，再对余下的多项式利用完全平公式继续分解；
（4）把（x﹣y）看作整体，利用完全平公式分解因式即可．
2解答：解：（1）2x﹣x=x（2x﹣1）；
2（2）16x﹣1=（4x+1）（4x﹣1）；
223222（3）6xy﹣9xy﹣y，=﹣y（9x﹣6xy+y），=﹣y（3x﹣y）；
222（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y），=[2+3（x﹣y）]，=（3x﹣3y+2）．
5．因式分解：
2322 （1）2am﹣8a；（2）4x+4xy+xy
分析：（1）先提公因式2a，再对余下的多项式利用平差公式继续分解；
（2）先提公因式x，再对余下的多项式利用完全平公式继续分解．
22解答：解：（1）2am﹣8a=2a（m﹣4）=2a（m+2）（m﹣2）；
322222（2）4x+4xy+xy，=x（4x+4xy+y），=x（2x+y）．
6．将下列各式分解因式：
322222（1）3x﹣12x （2）（x+y）﹣4xy．
分析：（1）先提公因式3x，再利用平差公式继续分解因式；
（2）先利用平差公式分解因式，再利用完全平公式继续分解因式．
解答：解：（1）3x﹣12x=3x（1﹣4x）=3x（1+2x）（1﹣2x）；
22222222222（2）（x+y）﹣4xy=（x+y+2xy）（x+y﹣2xy）=（x+y）（x﹣y）．
7．因式分解：
22322（1）xy﹣2xy+y；（2）（x+2y）﹣y．
分析：（1）先提取公因式y，再对余下的多项式利用完全平式继
续分解因式；
（2）符合平差公式的结构特点，利用平差公式进行因式分解即可．
解答：解：（1）xy﹣2xy+y=y（x﹣2xy+y）=y（x﹣y）；
22（2）（x+2y）﹣y=（x+2y+y）（x+2y﹣y）=（x+3y）（x+y）．22322232
8．对下列代数式分解因式：
（1）n（m﹣2）﹣n（2﹣m）；（2）（x﹣1）（x﹣3）+1．
分析：（1）提取公因式n（m﹣2）即可；
（2）根据多项式的乘法把（x﹣1）（x﹣3）展开，再利用完全平公式进行因式分解．解答：解：（1）n（m﹣2）﹣n（2﹣m）=n（m ﹣2）+n（m﹣2）=n（m﹣2）（n+1）；
22（2）（x﹣1）（x﹣3）+1=x﹣4x+4=（x﹣2）．
229．分解因式：a﹣4a+4﹣b．
分析：本题有四项，应该考虑运用分组分解法．观察后可以发现，本题中有a的二次项a，a的一次项﹣4a，常数项4，所以要考虑三一分组，先运用完全平公式，再进一步运用平差公式进行分解．222222解答：解：a﹣4a+4﹣b=（a﹣4a+4）﹣b=（a﹣2）﹣b=（a﹣2+b）（a﹣2﹣b）．
10．分解因式：a﹣b﹣2a+1
分析：当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题中有a的二次项，a的一次项，有常数项．所以要考虑a﹣
2a+1为一组．
222222解答：解：a﹣b﹣2a+1=（a﹣2a+1）﹣b=（a﹣1）﹣b=（a﹣1+b）（a﹣1﹣b）．
11．把下列各式分解因式：
42422（1）x﹣7x+1；（2）x+x+2ax+1﹣a
（3）（1+y）﹣2x（1﹣y）+x（1﹣y）（4）x+2x+3x+2x+1 分析：（1）首先把﹣7x变为+2x﹣9x，然后多项式变为x﹣2x+1﹣9x，接着利用完全平
公式和平差公式分解因式即可求解；
4222（2）首先把多项式变为x+2x+1﹣x+2ax﹣a，然后利用公式法分解因式即可解；
222（3）首先把﹣2x（1﹣y）变为﹣2x（1﹣y）（1﹣y），然后利用完全平公式分解
因式即可求解；222422222424322222222
篇二：因式分解练习题加答案200道
因式分解3a3b2c－6a2b2c2＋9ab2c3＝3ab c(a -2ac+3c )
3.因式分解xy＋6－2x－3y＝(x-3)(y-2)
4.因式分解x2(x－y)＋y2(y－x)＝(x+y)(x-y)
5.因式分解2x2－(a－2b)x－ab＝(2x-a)(x+b)
6.因式分解a4－9a2b2＝a (a+3b)(a-3b)
7.若已知x3＋3x2－4含有x－1的因式，试分解x3＋3x2－4＝(x-1)(x+2)
8.因式分解ab(x2－y2)＋xy(a2－b2)＝(ay+bx)(ax-by)
9.因式分解(x＋y)(a－b－c)＋(x－y)(b＋c－a)＝2y(a-b-c)
10.因式分解a2－a－b2－b＝(a+b)(a-b-1)
11.因式分解(3a－b)2－4(3a－b)(a＋3b)＋4(a＋3b)2＝[3a-b-2(a+3b)] =(a-7b)
12.因式分解(a＋3)2－6(a＋3)＝(a+3)(a-3)
13.因式分解(x＋1)2(x＋2)－(x＋1)(x＋2)2＝-(x+1)(x+2)
abc＋ab－4a＝a(bc+b-4)
(2)16x2－81＝(4x+9)(4x-9)
(3)9x2－30x＋25＝(3x-5)
(4)x2－7x－30＝(x-10)(x+3)
35.因式分解x2－25＝(x+5)(x-5)
36.因式分解x2－20x＋100＝(x-10)
37.因式分解x2＋4x＋3＝(x+1)(x+3)
38.因式分解4x2－12x＋5＝(2x-1)(2x-5)
39.因式分解下列各式：
(1)3ax2－6ax＝3ax(x-2)
(2)x(x＋2)－x＝x(x+1)
(3)x2－4x－ax＋4a＝(x-4)(x-a)
(4)25x2－49＝(5x-9)(5x+9)
(5)36x2－60x＋25＝(6x-5)
(6)4x2＋12x＋9＝(2x+3)
(7)x2－9x＋18＝(x-3)(x-6)
(8)2x2－5x－3＝(x-3)(2x+1)
(9)12x2－50x＋8＝2(6x-1)(x-4)
40.因式分解(x＋2)(x－3)＋(x＋2)(x＋4)＝(x+2)(2x-1)
41.因式分解2ax2－3x＋2ax－3＝(x+1)(2ax-3)
42.因式分解9x2－66x＋121＝(3x-11)
43.因式分解8－2x2＝2(2+x)(2-x)
44.因式分解x2－x＋14 ＝整数无法分解
45.因式分解9x2－30x＋25＝(3x-5)
46.因式分解－20x2＋9x＋20＝(-4x+5)(5x+4)
47.因式分解12x2－29x＋15＝(4x-3)(3x-5)
48.因式分解36x2＋39x＋9＝3(3x+1)(4x+3)
49.因式分解21x2－31x－22＝(21x+11)(x-2)
50.因式分解9x4－35x2－4＝(9x +1)(x+2)(x-2)
51.因式分解(2x＋1)(x＋1)＋(2x＋1)(x－3)＝2(x-1)(2x+1)
52.因式分解2ax2－3x＋2ax－3＝(x+1)(2ax-3)
53.因式分解x(y＋2)－x－y－1＝(x-1)(y+1)
54.因式分解(x2－3x)＋(x－3)2＝(x-3)(2x-3)
55.因式分解9x2－66x＋121＝(3x-11)
56.因式分解8－2x2＝2(2-x)(2+x)
57.因式分解x4－1＝(x-1)(x+1)(x +1)
58.因式分解x2＋4x－xy－2y＋4＝(x+2)(x-y+2)
59.因式分解4x2－12x＋5＝(2x-1)(2x-5)
60.因式分解21x2－31x－22＝(21x+11)(x-2)
61.因式分解4x2＋4xy＋y2－4x－2y－3＝(2x+y-3)(2x+y+1)
62.因式分解9x5－35x3－4x＝x(9x +1)(x+2)(x-2)
63.因式分解下列各式：
(1)3x2－6x＝3x(x-2)
(2)49x2－25＝(7x+5)(7x-5)
(3)6x2－13x＋5＝(2x-1)(3x-5)
(4)x2＋2－3x＝(x-1)(x-2)
(5)12x2－23x－24＝(3x-8)(4x+3)
(6)(x＋6)(x－6)－(x－6)＝(x-6)(x+5)
(7)3(x＋2)(x－5)－(x＋2)(x－3)＝2(x-6)(x+2)
(8)9x2＋42x＋49＝(3x+7) 。
1．若(2x)n?81 = (4x2+9)(2x+3)(2x?3)，那么n的值是( A．2 B．4 C．6 D．8
2．若9x2?12xy+m是两数和的平式，那么m的值是( A．2y2 B．4y 2 C．±4y2 D．±16y2
3．把多项式a4? 2a2b2+b4因式分解的结果为( )
A．a2(a2?2b2)+b4B．(a2?b2)2
C．(a?b)4 D．(a+b)2(a?b)2
4．把(a+b)2?4(a2?b2)+4(a?b)2分解因式为( )
A．( 3a?b)2 B．(3b+a)2
C．(3b?a)2D．( 3a+b)2
5．计算：(?)2001+(?)2000的结果为( )
A．(?)2003 B．?(?)2001
C．D．?
) )
6．已知x，y为任意有理数，记M = x2+y2，N = 2xy，则M与N的大小关系为( )
A．M>N B．M≥N C．M≤N D．不能确定
7．对于任整数m，多项式( 4m+5)2?9都能( )
A．被8整除B．被m整除
C．被(m?1)整除D．被(2n?1)整除
8．将?3x2n?6xn分解因式，结果是( )
A．?3xn(xn+2)B．?3(x2n+2xn)
C．?3xn(x2+2)D．3(?x2n?2xn)
9．下列变形中，是正确的因式分解的是( )
A．? n2 = ( + )( ?)
B．x2?10 = x2?9?1 = (x+3)(x?3)?1
C．x4?x2 = (x2+x)(x2?x)
D．(x+a)2?(x?a)2 = 4ax
10．多项式(x+y?z)(x?y+z)?(y+z?x)(z?x?y)的公因式是(
A．x+y?zB．x?y+zC．y+z?xD．不存在
11．已知x为任意有理数，则多项式x?1?x2的值( )
A．一定为负数
B．不可能为正数
C．一定为正数
D．可能为正数或负数或零
二、解答题：
分解因式：
)
(1)(ab+b)2?(a+b)2
(2)(a2?x2)2?4ax(x?a)2
(3)7xn+1?14xn+7xn?1(n为不小于1的整数)
答案：
一、选择题：
1．B 说明：右边进行整式乘法后得16x4?81 = (2x)4?81，所以n 应为4，答案为B．
2．B 说明：因为9x2?12xy+m是两数和的平式，所以可设9x2?12xy+m = (ax+by)2，则有9x2?12xy+m = a2x2+2abxy+b2y2，即a2 = 9，2ab = ?12，b2y2 = m；得到a = 3，b = ?2；或a = ?3，b = 2；此时b2 = 4，因此，m = b2y2 = 4y2，答案为B．
3．D说明：先运用完全平公式，a4? 2a2b2+b4 = (a2?b2)2，再运用两数和的平公式，两数分别是a2、?b2，则有(a2?b2)2 = (a+b)2(a?b)2，在这里，注意因式分解要分解到不能分解为止；答案为D．
4． C 说明：(a+b)2?4(a2?b2)+4(a?b)2 = (a+b)2?2(a+b)[2(a?b)]+[2(a?b)]2 =
[a+b?2(a?b)]2 = (3b?a)2；所以答案为C．
5．B 说明：(?)2001+(?)2000 = (?)2000[(?)+1] = ()2000 ?= ()2001 = ?(?)2001，所以答案为B．
6．B 说明：因为M?N = x2+y2?2xy = (x?y)2≥0，所以M≥N．7．A 说明：( 4m+5)2?9 = ( 4m+5+3)( 4m+5?3) = ( 4m+8)( 4m+2) = 8(m+2)( 2m+1)．
8．A
9．D说明：选项A，= ，则? n2 = ( +n)( ?n)，所以A错；选项B的右边不是乘积的形式；选项C右边(x2+x)(x2?x)可继续分解为x2(x+1)(x?1)；所以答案为D．
10．A 说明：本题的关键是符号的变化：z?x?y = ?(x+y?z)，而x?y+z≠y+z?x，同时x?y+z≠?(y+z?x)，所以公因式为x+y?z．11．B 说明：x?1?x2 = ?(1?x+x2) = ?(1?x)2≤0，即多项式x?1?x2的值为非正数，正确答案应该是B．
二、解答题：
(1) 答案：a(b?1)(ab+2b+a)
说明：(ab+b)2?(a+b)2 = (ab+b+a+b)(ab+b?a?b) = (ab+2b+a)(ab?a) = a(b?1)(ab+2b+a)．
(2) 答案：(x?a)4
说明：(a2?x2)2?4ax(x?a)2
= [(a+x)(a?x)]2?4ax(x?a)2
= (a+x)2(a?x)2?4ax(x?a)2
= (x?a)2[(a+x)2?4ax]
= (x?a)2(a2+2ax+x2?4ax)
= (x?a)2(x?a)2 = (x?a)4．
(3) 答案：7xn?1(x?1)2
说明：原式= 7xn?1 ?x2?7xn?1 ?2x+7xn?1 = 7xn?1(x2?2x+1) = 7xn?1(x?1)2．
篇三：因式分解练习题(计算)[含答案]
因式分解练习题（计算）
一、因式分解：1．m2(p－q)－p＋q；2．a(ab＋bc＋ac)－abc；3．x4－2y4－2x3y＋xy3；
4．abc(a2＋b2＋c2)－a3bc＋2ab2c2；5．a2(b－c)＋b2(c－a)＋c2(a－b)；6．(x2－2x)2＋2x(x－2)＋1；7．(x－y)2＋12(y－x)z＋36z2；8．x2－4ax＋8ab－4b2；
9．(ax＋by)2＋(ay－bx)2＋2(ax＋by)(ay－bx)；10．(1－a2)(1－b2)－(a2－1)2(b2－1)2；11．(x＋1)2－9(x－1)2；12．4a2b2－(a2＋b2－c2)2；13．ab2－ac2＋4ac－4a；14．x3n＋y3n；15．(x ＋y)3＋125；16．(3m－2n)3＋(3m＋2n)3；17．x6(x2－y2)＋y6(y2－x2)；18．8(x＋y)3＋1；
19．(a＋b＋c)3－a3－b3－c3；20．x2＋4xy＋3y2；21．x2＋18x－144；
22．x4＋2x2－8；23．－m4＋18m2－17；24．x5－2x3－8x；25．x8＋19x5－216x2；
26．(x2－7x)2＋10(x2－7x)－24；27．5＋7(a＋1)－6(a＋1)2；28．(x2＋x)(x2＋x－1)－2；29．x2＋y2－x2y2－4xy－1；
30．(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)－48；31．x2－y2－x－y；
32．ax2－bx2－bx＋ax－3a＋3b；33．m4＋m2＋1；34．a2－b2＋2ac＋c2；35．a3－ab2＋a－b；36．625b4－(a－b)4；37．x6－y6＋3x2y4－3x4y2；38．x2＋4xy＋4y2－2x－4y－35；39．m2－a2＋4ab－4b2；40．5m－5n－m2＋2mn－n2．二、证明(求值)：1．已知a＋b=0，求a3－2b3＋a2b－2ab2的值．
2．求证：四个连续自然数的积再加上1，一定是一个完全平数．3．证明：(ac－bd)2＋(bc＋ad)2=(a2＋b2)(c2＋d2)．4．已知a=k＋3，b=2k＋2，c=3k－1，求a2＋b2＋c2＋2ab－2bc－2ac的值．
5．若x2＋mx＋n=(x－3)(x＋4)，求(m＋n)2的值．
6．当a为值时，多项式x2＋7xy＋ay2－5x＋43y－24可以分解为两个一次因式的乘积．
7．若x，y为任意有理数，比较6xy与x2＋9y2的大小．8．两个连续偶数的平差是4的倍数．
参考答案
一、因式分解：
1．(p－q)(m－1)(m＋1)．
8．(x－2b)(x－4a＋2b)．
11．4(2x－1)(2－x)．
20．(x＋3y)(x＋y)．21．(x－6)(x＋24)．27．(3＋2a)(2－3a)．
31．(x＋y)(x－y－1)．
38．(x＋2y－7)(x＋2y＋5)．
经典因式分解题目 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 一. 填空题 1. 的公因式是___________ 2. 分解因式：__________ 3. 若，则_________ 4. 若是完全平方式，则t ＝________ 5. 因式分解：_________ 6. 分解因式：_________ 7. 若，则x ＝_______，y ＝________ 8. 若，则_________ 9. 计算________ 10. 运用平方差公式分解：－_______＝（a ＋7）（a －_____） 11. 完全平方式 12. 若a 、b 、c ，这三个数中有两个数相等，则 _________ 13. 若，则__________ 分解因式：x x y x y x x y ()()()+--+2x y 4416-x y xy 33-()x y x --3422252034322m m m n m n --+-()()()()x x 2221619---+分解因式164129222a b bc c -+-1218323x y x y -2183x x -=A x y B y x =+=-353，A A B B 222-?+=x x t 26-+944222a b bc c -+-=a c a bc ab c 32244-+=||x x xy y -+-+=214022a b ==9998，a ab b a b 22255-+-+=12798 012501254798....?-?=a 249222 x y -+=()a b c b c a c a b 222()()()-+-+-=a b ab +==-514，a a b ab b 3223+++=
因式分解专题训练 一、整式有关概念：1.单项式（单个字母或数）（次数，系数）； 2.多项式（次数，项数） 3.同类项与合并同类项 二、幂的运算性质：1.n m n m a a a +=? 2.()mn n m a a = 3.()n n n b a ab = 4.n n n b a b a =??? ?? 5.n m n m a a a -=÷ 6.10=a 7.p p a a 1=-8.p p b a a b ??? ??=??? ??- 三、整式的运算：加、减、乘、除（乘方、开方） 1.m （a+b+c ）=ma+mb+mc 2.（a+b ）（m+n ）=am+an+bm+bn 3.（a+b ）（a-b ）＝22b a - 4.()2222a b ab a b +±=± 5.()ca bc ab c b a c b a 2222222+++++=++ 6.()()3322b a b ab a b a ±=+±μ 7.()()()ca bc ab c b a a c c b b a 222222222222+++++=+++++ 四、因式分解：1.把一个多项式化成几个整式的积的形式.2.方法（一提二套三分组） （套公式包括十字相乘法） 五、方法·规律·技巧：1.性质、公式的逆向使用；2.整体代入（配方、换元）3.非负数 的运用（配方） 六、实际运用 1.下列变形中，正确的是（） A.()123422+-=+-x x x B.()11 2+=+÷x x x x
C.()()22y x y x y x -=+--- D.x x x x -=-11 2.若n m n m b b a ++-224a 52与可以合并成一项，则n m 的值是（） A.2 B.0 C.－1 D.1 3.若22=+b a ，ab ＝2，则22b a +的值为（）A.6B.4C.23 D.32 4.把多项式x x x 1212323+-分解因式，结果正解的是（） A.()4432+-x x x B.()243-x x C.()()223-+x x x D.()223-x x 5.已知0322=--x x ，则x x 422-的值为（） A.－6 B.6 C.－2或6 D.－2或30 6.下列等式从左到右的的变形，属于因式分解的是（） A.a （x-y ）=ax-ay B.()12122++=++x x x x C.()()34312++=++x x x x D.()()11x 3-+=-x x x x 7.因式分解：()()21622---x x x ＝. 8.分解因式：（a-b ）（a-4b ）+ab ＝. 9.分解因式：()9332--+x x x ＝. 10.分解因式：22my mx -＝. 11.多项式4x 2+1加上一个单项式后能成为一个完全平方式，请你写出符合条件的所有的单 项式：. 12.计算：()20172016201642125.0??-＝. 13.已知===-n m n m a a a 4323,16,64则. 14.已知=+-=+-634 x 964322x x x ，则. 15.若()()222222,121y x y x y x +=-++＝.
因式分解练习题(提取公因式) 专项训练一：确定下列各多项式的公因式。 1、ay ax + 2、36mx my - 3、2410a ab + 4、2155a a + 5、22x y xy - 6、22129xyz x y - 7、()()m x y n x y -+- 8、()()2 x m n y m n +++ 9、3()()abc m n ab m n --- 10、2312()9()x a b m b a --- 专项训练二：利用乘法分配律的逆运算填空。 1、22____()R r R r ππ+=+ 2、222(______)R r πππ+= 3、2222121211 ___()22 gt gt t t +=+ 4、2215255(_______)a ab a += 专项训练三、在下列各式左边的括号前填上“+”或“－”，使等式成立。 1、__()x y x y +=+ 2、__()b a a b -=- 3、__()z y y z -+=- 4、()2 2___()y x x y -=- 5、33()__()y x x y -=- 6、44()__()x y y x --=- 7、22()___()()n n a b b a n -=-为自然数 8、2121()___()()n n a b b a n ++-=-为自然数 9、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 10、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 11、23()()___()a b b a a b --=- 12、246()()___()a b b a a b --=- 专项训练四、把下列各式分解因式。 1、nx ny - 2、2a ab + 3、3246x x - 4、282m n mn + 5、23222515x y x y - 6、22129xyz x y - 7、2336a y ay y -+ 8、259a b ab b -+ 9、2x xy xz -+- 10、223241228x y xy y --+ 11、323612ma ma ma -+- 12、32222561421x yz x y z xy z +- 13、3222315520x y x y x y +- 14、432163256x x x --+ 专项训练五：把下列各式分解因式。 1、()()x a b y a b +-+ 2、5()2()x x y y x y -+- 3、6()4()q p q p p q +-+ 4、()()()()m n P q m n p q ++-+- 5、2()()a a b a b -+- 6、2()()x x y y x y --- 7、(2)(23)3(2)a b a b a a b +--+ 8、2()()()x x y x y x x y +--+ 9、()()p x y q y x --- 10、(3)2(3)m a a -+- 11、()()()a b a b b a +--+ 12、()()()a x a b a x c x a -+---
因式分解技巧方法 第一部分：方法介绍 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应 用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法. 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： （1）(a+b)(a -b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2 =(a+b)(a -b)； (2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2 ； (3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2 )； (4) (a -b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2 )． 下面再补充两个常用的公式： (5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2 ； (6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2 -ab -bc -ca)； 例.已知a b c ，，是ABC ?的三边，且222 a b c ab bc ca ++=++， 则ABC ?的形状是（ ） A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解：2 2 2 2 2 2 222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++?++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ?-+-+-=?== 三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式：bn bm an am +++ 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考
第1讲：因式分解 一．因式分解的定义： 二．因式分解的方法： 1.提取公因式法：提取所有项的公共的因式，将多项式化成两个多项式的乘积的形式 例1：分解因式4121315242+-+---+-n n n n n n y x y x y x 例2：试说明139792781--能被45整除 例3：已知01234=++++x x x x ，求1200820092010+++++x x x x 2.运用公式法：运用公式法进行因式分解的关键是利用各公式的特点，建立运用公式的模型，以下公式都应该熟记. 例4：分解因式xyz z y x 68333--- 例5：分解因式：abc c b a 3333-++ 例6：分解因式：12131415++++++x x x x x 3.分组分解法：关键是如何分组，原则是：①各组能分解或部分组能分解，②组间能继续分解，从而达到分解的目的.常用的分组思路有，按系数分组，按符号分组，安某一字母一次或二次分组，联想公式分组，按项的次数分组等，对多项式分组的方法往往不唯一，但最终的结果是一致的。 例7：分解因式2105ax ay by bx -+- 例8：分解因式2222428x xy y z ++- 4.十字相乘法：对二次三项式分解的重要方法，即：()()22112c x a c x a c bx ax ++=++，其中a a a =21，c c c =21， b c a c a =+1221。十字相乘法通常借助画“十”字来分解系数。 例9：分解因式（1）2524x x +-；（2）226x xy y +-；（3）222 ()8()12x x x x +-++ 例10：分解因式（1）22y 8x y 6x 5-+；（2）22 5681812x xy y x y +++++ 例11：已知：,,a b c 为三角形的三条边，且222433720a ac c ab bc b ++--+= 求证：2b a c =+ 5.求根公式法：一般适合于对二次三项式的因式分解，如要对c bx ax ++2进行因式分解，可令02=++c bx ax ，若0≥?，则方程有两个实数根，可用一元二次方程的求根公式求出，设为21,x x ，则有()()212x x x x a c bx ax --=++ 例12：分解因式： 222(1)616 (2)44x x x xy y +-+- 例13：分解因式：422x +x +2ax+1-a 6.拆项、添项法：因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即
因式分解专题过关 1．将下列各式分解因式 （1）3p2﹣6pq （2）2x2+8x+8 2．将下列各式分解因式 （1）x3y﹣xy （2）3a3﹣6a2b+3ab2． 3．分解因式 （1）a2（x﹣y）+16（y﹣x）（2）（x2+y2）2﹣4x2y2 4．分解因式： （1）2x2﹣x （2）16x2﹣1 （3）6xy2﹣9x2y﹣y3 （4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2 5．因式分解： （1）2am2﹣8a （2）4x3+4x2y+xy2 6．将下列各式分解因式： （1）3x﹣12x3（2）（x2+y2）2﹣4x2y2 7．因式分解：（1）x2y﹣2xy2+y3 （2）（x+2y）2﹣y2 8．对下列代数式分解因式： （1）n2（m﹣2）﹣n（2﹣m）（2）（x﹣1）（x﹣3）+1 9．分解因式：a2﹣4a+4﹣b2 10．分解因式：a2﹣b2﹣2a+1 11．把下列各式分解因式： （1）x4﹣7x2+1 （2）x4+x2+2ax+1﹣a2 （3）（1+y）2﹣2x2（1﹣y2）+x4（1﹣y）2（4）x4+2x3+3x2+2x+1 12．把下列各式分解因式： （1）4x3﹣31x+15；（2）2a2b2+2a2c2+2b2c2﹣a4﹣b4﹣c4；（3）x5+x+1；（4）x3+5x2+3x﹣9；（5）2a4﹣a3﹣6a2﹣a+2．
因式分解专题过关 1．将下列各式分解因式 （1）3p2﹣6pq；（2）2x2+8x+8 分析：（1）提取公因式3p整理即可； （2）先提取公因式2，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解． 解答：解：（1）3p2﹣6pq=3p（p﹣2q）， （2）2x2+8x+8，=2（x2+4x+4），=2（x+2）2． 2．将下列各式分解因式 （1）x3y﹣xy （2）3a3﹣6a2b+3ab2． 分析：（1）首先提取公因式xy，再利用平方差公式进行二次分解即可； （2）首先提取公因式3a，再利用完全平方公式进行二次分解即可． 解答：解：（1）原式=xy（x2﹣1）=xy（x+1）（x﹣1）； （2）原式=3a（a2﹣2ab+b2）=3a（a﹣b）2． 3．分解因式 （1）a2（x﹣y）+16（y﹣x）；（2）（x2+y2）2﹣4x2y2． 分析：（1）先提取公因式（x﹣y），再利用平方差公式继续分解； （2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式继续分解． 解答：解：（1）a2（x﹣y）+16（y﹣x），=（x﹣y）（a2﹣16），=（x﹣y）（a+4）（a﹣4）； （2）（x2+y2）2﹣4x2y2，=（x2+2xy+y2）（x2﹣2xy+y2），=（x+y）2（x﹣y）2． 4．分解因式： （1）2x2﹣x；（2）16x2﹣1；（3）6xy2﹣9x2y﹣y3；（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2． 分析：（1）直接提取公因式x即可； （2）利用平方差公式进行因式分解； （3）先提取公因式﹣y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解； （4）把（x﹣y）看作整体，利用完全平方公式分解因式即可． 解答：解：（1）2x2﹣x=x（2x﹣1）；
整式的加减、乘除及因式分解 整式加减 一、知识点回顾 1、单项式：由数与字母的乘积组成的代数式称为单项式。补充：单独一个数或一个字母也是单项式，如a ，5……单项式系数和次数：系数：次数： 2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。在多项式中每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫常数项。多项式里次数最高项的次数，就是这个多项式的次数。例如，多项式3x-2最高的项就是一次项3x ，这个多项式的次数是1，它是一次二项式 4、整式的概念：单项式与多项式统称整式 二、整式的加减 1、同类项：所含字母相同，相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项，所有的常数项都是同类项。 合并同类项：把多项式中同类项合并在一起，叫做合并同类项。合并同类项时，把同类 项的系数相加，字母和字母的指数保持不变。 2、去括号的法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号； 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号． 3、整式加减的运算法则 （1）如果有括号，那么先去括号。 （2）如果有同类项，再合并同类项。 整式乘除及因式分解 一、幂的运算： 1、同底数幂的乘法法则：n m n m a a a +=?（n m ,都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。 2、幂的乘方法则：mn n m a a =)(（n m ,都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。如：10253)3(=- 幂的乘方法则可以逆用：即m n n m m n a a a )()(== 如：23326)4()4(4== 3、积的乘方法则：n n n b a ab =)(（n 是正整数）。积的乘方，等于各因数乘方的积。 4、同底数幂的除法法则：n m n m a a a -=÷（n m a ,,0≠都是正整数，且)n m 同底数幂相除，底数不变，指数相减。 5、零指数；10=a ，即任何不等于零的数的零次方等于1。 二、单项式、多项式的乘法运算：
八年级数学因式分解辅导学案 因式分解的常用方法 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数 学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习 这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能， 发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因 式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上， 对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法. 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式， 例如： (1 ) (a+b)(a-b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a-b)； (2 ) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2； 例.已知a b c ，，是ABC ?的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，则ABC ?的形状是（ ） A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++?++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ?-+-+-=?== 选C 练习 (1))(3)(2x y b y x a --- (2)1222-+-b ab a (3)（x －1）（x ＋4）－36 (4)（m 2＋n 2）2－4m 2n 2 (5)－2a 3＋12a 2－18a ； (6)9a 2(x －y )＋4b 2(y －x )； (7) (x ＋y )2＋2(x ＋y )＋1.
初二因式分解竞赛例题精选及练习题 一、提公因式法. 二、运用公式法. 三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式：bn bm an am +++ 例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102 练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy （二）分组后能直接运用公式 例3、分解因式：ay ax y x ++-22 例4、分解因式：2222c b ab a -+- 练习：分解因式3、y y x x 3922--- 4、yz z y x 2222--- 综合练习：（1）3223y xy y x x --+ （2）b a ax bx bx ax -+-+-22 （3）181696222-+-++a a y xy x （4）a b b ab a 4912622-++- （5）92234-+-a a a （6）y b x b y a x a 222244+-- （7）222y yz xz xy x ++-- （8）122222++-+-ab b b a a （9）)1)(1()2(+---m m y y （10）)2())((a b b c a c a -+-+ （11）abc b a c c a b c b a 2)()()(222++++++（12）abc c b a 3333-++ 四、十字相乘法 例5、分解因式：652++x x 例6、分解因式：672+-x x 练习5、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x 练习6、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y (3)24102--x x 例7、分解因式：101132+-x x 练习7、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x （3）317102+-x x （4）101162++-y y
因式分解习题精选 一、填空：（30分） 1、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于_____。 2、22)(n x m x x -=++则m =____n =____ 3、232y x 与y x 612的公因式是＿ 4、若n m y x -=))()((4222y x y x y x +-+，则m=_______，n=_________。 5、在多项式4224222294,4,,t s y x b a n m +-+--+中，可以用平方差公式分解因式的 有________________________ ，其结果是 _____________________。 6、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m=_______。 7、_____) )(2(2(_____)2++=++x x x x 8、已知,01200520042=+++++x x x x 则.________2006=x 9、若25)(162++-M b a 是完全平方式M=________。10、()22)3(__6+=++x x x ， ()22)3(9___-=++x x 11、若229y k x ++是完全平方式，则k=- _______。12、若442-+x x 的值为0，则51232 -+x x 的值是________。13、若)15)(1(152-+=--x x ax x 则a =_____。14、若6,422=+=+y x y x 则=xy ___。15、方程042=+x x ，的解是________。 二、选择题：（10分） 1、多项式))(())((x b x a ab b x x a a --+---的公因式是（ ） A 、－a 、 B 、))((b x x a a --- C 、)(x a a - D 、)(a x a -- 2、若22)32(9-=++x kx mx ，则m ，k 的值分别是（ ） A 、m=—2，k=6， B 、m=2，k=12， C 、m=—4，k=—12、 D m=4，k=12、 3、下列名式：4422222222,)()(,,,y x y x y x y x y x --+---+--中能用平方差公式分解因式的有（ ） A 、1个， B 、2个， C 、3个， D 、4个 4、计算)10 11)(911()311)(211(2232---- 的值是（ ） A 、21 B 、2011.,101.,201D C 三、分解因式：（30分） 1 、234352x x x -- 2 、 2 633x x - 3 、 22)2(4)2(25x y y x --- 4、22414y xy x +-- 5、x x -5 6、13-x 7、2ax a b ax bx bx -++--2 8、81182 4+-x x
因式分解专题培优 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下： 因式分解的一般方法及考虑顺序： 1、基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法． 2、常用方法与技巧：换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法． 3、考虑顺序：（1）提公因式法；（2）公式法；（3）十字相乘法；（4）分组分解法． 一、运用公式法 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)a2－b2=(a+b)(a－b)； (2)a2±2ab+b2=(a±b)2； (3)a3+b3=(a+b)(a2－ab+b2)； (4)a3－b3=(a－b)(a2+ab+b2)． 下面再补充几个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3－3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－bc－ca)； (7)a n－b n=(a－b)(a n－1+a n－2b+a n－3b2+…+ab n－2+b n－1)，其中n为正整数； (8)a n－b n=(a+b)(a n－1－a n－2b+a n－3b2－…+ab n－2－b n－1)，其中n为偶数； (9)a n+b n=(a+b)(a n－1－a n－2b+a n－3b2－…－ab n－2+b n－1)，其中n为奇数． 运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式． 例题1 分解因式： (1)－2x5n－1y n+4x3n－1y n+2－2x n－1y n+4； (2)x3－8y3－z3－6xyz； (3)a2+b2+c2－2bc+2ca－2ab； (4)a7－a5b2+a2b5－b7．
初中数学竞赛专题辅导因式分解( 一) 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 1．运用公式法 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1) a 2-b2=(a+b)(a -b) ； (2) a 2±2ab+b2=(a±b) 2； (3) a 3+b3=(a+b)(a 2-ab+b2) ； (4) a 3-b3=(a-b)(a 2+ab+b2) ． 下面再补充几个常用的公式： (5) a 2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6) a +b +c -3abc=(a+b+c)(a +b+c-ab-bc-ca) ； (7) a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+aT3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n 为正整数； (8) a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n 为偶数； (9) a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-?--ab n-2+b n-1)，其中n 为奇数. 运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式． 例1 分解因式：
因式分解习题 一、填空： 1、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于_____。 2、22)(n x m x x -=++则m =____n =____ 3、232y x 与y x 612的公因式是__________. 4、若n m y x -=))()((4222y x y x y x +-+，则m=_______，n=_________。 5、在多项式4224222294,4,,t s y x b a n m +-+--+中，可以用平方差公式分解因式的 有___________________________ ，其结果是 _______________________________________。 6、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m=_______。 7、_____))(2(2(_____)2++=++x x x x 8、已知,01200520042=+++++x x x x Λ则.________2006=x 9、若25)(162++-M b a 是完全平方式M=________。 10、()22)3(__6+=++x x x ， ()22)3(9___-=++x x 11、若229y k x ++是完全平方式，则k=_______。 12、若442-+x x 的值为0，则51232-+x x 的值是________。 13、若)15)(1(152-+=--x x ax x 则a =_________。 14、若6,422=+=+y x y x 则=xy ________。 15、方程042=+x x ，的解是________。 二、选择题：（8分） 1、多项式))(())((x b x a ab b x x a a --+---的公因式是（ ） A 、－a B 、))((b x x a a --- C 、)(x a a - D 、)(a x a -- 2、若22)32(9-=++x kx mx ，则m ，k 的值分别是（ ） A 、m=—2，k=6 B 、m=2，k=12 C 、m=—4，k=—12 D m=4，k=12 3、下列名式：4422222222,)()(,,,y x y x y x y x y x --+---+--中能用平方差公式分解因式的有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 三、分解因式： 1、234352x x x -- 2、2633x x - 3、22)2(4)2(25x y y x --- 4、x x -5 5、24369y x - 6、811824+-x x 四、代数式求值
初二数学因式分解辅导教案 因式分解的常用方法 第一部分：方法介绍
多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法. 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1 ) (a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)； (2 ) (a±b)2 = a2±2ab+b2 ———a2±2ab+b2=(a±b)2； (3 ) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4 ) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 下面再补充两个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； 例.已知 是 的三边，且
，则 的形状是（） A.直角三角形 B等腰三角形 C 等边三角形 D等腰直角三角形 解： 三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式： 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。 解：原式= = 每组之间还有公因式！ = 例2、分解因式：
))(()()()()(1 22122by ay x b a b a y b a x a b y b a x n n n n +--=---=-+-++2 22212222)31(31)9132(319227131--=+--=+--++x x x x x x x x n n n n n ))(()()(22)()(222222 22222222 222222222222 22222y x c b a y c b a x c b a x c y c abxy x b y a abxy y b x a x c y c ay bx by ax +++=+++++=++-++++=++-++322a a -22129 b a ab c -a ab a -+2ab a 75.0432+a a a 24646-+-ax x a x a +-2233242566816y x y x y x -+-21---+m m m a a a ) ()()(b a a b y b a x ---+-) ()(3223x y y x y x y x -+-) 3)(()35)((y x b a y x b a -+--+因式分解的方法： 1提公因式法 口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。 例：（1）-am+bm+cm=-m(a-b-c)； （2）a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b) （3） （4） （5） （6）2n(m-2n)(3m-2n)-3m(2n-3m)(2n-m) =2n(m-2n)(3m-2n)-3m(3m-2n)(m-2n) =(m-2n)(3m-2n)(2n-3m) 专项练习题 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、 11、
因式分解专项练习题 （一）提取公因式 一、分解因式 1、2x 2y －xy 2、6a 2b 3－9ab 2 3、 x （a －b ）＋y （b －a ） 4、9m 2n-3m 2n 2 5、4x 2-4xy+8xz 6、-7ab-14abx+56aby 7、6m 2n-15mn 2+30m 2n 2 8、-4m 4n+16m 3n-28m 2n 9、x n+1-2x n-1 10、a n -a n+2+a 3n 11、p(a-b)+q(b-a) 12、a(b-c)+c-b 13、(a-b)2(a+b)+(a-b)(a+b)2= 14、ab ＋b 2－ac －bc 15、3xy(a-b)2+9x(b-a) 16、(2x-1)y 2+(1-2x)2y 17、6m(m-n)2-8(n-m)3 18、15b(2a-b)2+25(b-2a)3 19、a 3-a 2b+a 2c-abc 20、2ax ＋3am －10bx －15bm 21、m （x －2）－n （2－x ）－x ＋2 22、（m －a ）2＋3x （m －a ）－（x ＋y ）（a －m ） 23、 ab(c 2+d 2)+cd(a 2+b 2) 24、(ax+by)2+(bx-ay)2 25、-+--+++a x abx acx ax m m m m 2213 26、 a a b a b a ab b a ()()()-+---32222 二、应用简便方法计算 1、4.3×199.8＋7.6×199.8－1.9×199.8 2、9×10100-10101 3、2002×-2001× 4、1368 987521136898745613689872681368987123?+?+?+? 三、先化简再求值 （2x ＋1）2（3x －2）－（2x ＋1）（3x －2）2－x （2x ＋1）（2－3x ）（其中， 32x =） 四、在代数证明题中的应用 例：证明：对于任意正整数n ，323222n n n n ++-+-一定是10的倍数。 课后作业： 1.分解因式：(1)ab+b 2-ac-bc (2)ax 2 -ax-bx+b (3)ax+1-a-x (4)x 4-x 3+4x-4 2.分解因式： (1)6m(m-n)2-8(n-m)3 (2)15b(2a-b)2+25(b-2a)3 (3)a 3-a 2b+a 2c-abc (4)4ax+6am-20bx-30bm （5）-+-41222332m n m n mn
因式分解 一、因式分解的概念： 因式分解（分解因式）：把一个多项式化为几个整式（）的形式。 二、因式分解的方法： 1、提公因式法： （1）公因式的构成一般情况下有三部分： ①系数一各项系数的最大公约数； ②字母——各项含有的相同字母； ③指数——相同字母的最低次数； （2）提公因式法的步骤： 第一步是找出公因式； 第二步是提取公因式并确定另一因式。 （3）注意：①提取完公因式后，看另一个因式的项数与原多项式的项数是否一致，可用来检验是否漏项； ②提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”； ③如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的。 2、公式法： 运用公式法分解因式的实质是：把整式中的乘法公式反过来使用； 常用的公式： ①平方差公式： a2－b2＝ ②完全平方公式： a2＋2ab＋b2＝ a2－2ab＋b2＝ 3、十字相乘法：x2+(a+b)x+ab= 特点：（1）二次项系数是1； （2）常数项是两个数的乘积； （3）一次项系数是常数项的两因数的和。
一、按知识点： 题型一: 概念的理解： 例1、下列由左到右的变形，哪些是因式分解？哪些不是？请说出理由。 （1）、()ay ax y x a +=+ （2）、()()()1121222-+++=-++y y y x x y xy x (3)、)3)(3(92-+=-x x a a ax （4）、2 22 )1(12x x x x +=++ （5）、a a a a ??=223 例3、下列各式中能用平方差公式分解因式的是（ ） ①2 2 b a -- ②2 242b a - ③42 2--y x ④192 2+-b a ⑤ 22)()(x y y x -+- ⑥14-x
十字相乘法 一、导入 二、前一节课我们学习了关于x2+（p+q）x+pq这类二次三项式的因式分解，这类式子的特点是：二次项系数为1，常数项是两个数之积，一次项系数是常数项的两个因数之和。 因此，我们得到x2+（p+q）x+pq=（x+p）(x+q). 课前练习：下列各式因式分解 1．- x2+2 x+15 2．（x+y）2-8（x+y）+48； 3．x4-7x2+18；4．x2-5xy+6y2。 答：1．-（x+3）（x-5）；2．（x+y-12）（x+y+4）； 3．（x+3）（x-3）（x2+2）；4．（x-2y）（x-3y）。 我们已经学习了把形如x2+px+q的某些二次三项式因式分解，也学习了通过设辅助元的方法把能转化为形如x2+px+q型的某些多项式因式分解。 对于二次项系数不是1的二次三项式如何因式分解呢？这节课就来讨论这个问题，即把某些形如ax2+bx+c的二次三项式因式分解。 二、新课 例1 把2x2-7x+3因式分解。 分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数。 分解二次项系数（只取正因数）： 2=1×2=2×1； 分解常数项： 3=1×3=3×1=（-3）×（-1）=（-1）×（-3）。 用画十字交叉线方法表示下列四种情况： 1 1 1 3 1 -1 1 -3 2 × 3 2 ×1 2 ×-3 2 ×-1 1×3+2×1 1×1+2×3 1×（-3）+2×（-1）1×（-1）+2×（-3） =5 =7 = -5 =-7 经过观察，第四种情况是正确有。这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数-7。 解2x2-7x+3=（x-3）（2x-1）。 一般地，对于二次三项式ax2+bx+c（a≠0），如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2排列如下： a1c1 a2×c2 a1c2 + a2c1 按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即 ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）。 像这种借助开十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法。 例2把6x2-7x-5分解因式。 分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项-5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其
因式分解 1、公式法 运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例1 分解因式： (1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz； 例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．
说明本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为 a3+b3+c3-3abc 显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，则a3+b3+c3-3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立． 如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有 等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论． ※※变式练习分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1． 2．拆项、添项法 因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解． 例3 分解因式：x3-9x+8． ※※变式练习 1分解因式： (1)x9+x6+x3-3； (2)(m2-1)(n2-1)+4mn； (3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4； (4)a3b-ab3+a2+b2+1．