神奇的Gamma函数 (上)
rickjin
关键词：特殊函数, 欧拉
G a m m a函数诞生记
学高等数学的时候，我们都学习过如下一个长相有点奇特的Gamma函数
Γ(x)=∫∞0t x?1e?t dt
通过分部积分的方法，可以推导出这个函数有如下的递归性质
Γ(x+1)=xΓ(x)
于是很容易证明，Γ(x)函数可以当成是阶乘在实数集上的延拓，具有如下性质
Γ(n)=(n?1)!
学习了Gamma 函数之后，多年以来我一直有两个疑问：
? 1.这个长得这么怪异的一个函数，数学家是如何找到的；
? 2.为何定义Γ函数的时候，不使得这个函数的定义满足Γ(n)=n!而是Γ(n)=(n?1)!
最近翻了一些资料，发现有不少文献资料介绍Gamma 函数发现的历史，要说清楚它需要一定的数学推导，这儿只是简要的说一些主线。
1728年，哥德巴赫在考虑数列插值的问题，通俗的说就是把数列的通项公式定义从整数集合延拓到实数集合，例如数列1,4,9,16,?可以用通项公式n2自然的表达，即便n为实数的时候，这个通项公式也是良好定义的。直观的说也就是可以找到一条平滑的曲线y=x2通过所有的整数点(n,n2)，从而可以把定义在整数集上的公式延拓到实数集合。一天哥德巴赫开始处理阶乘序列1,2,6,24,120,720,?,我们可以计算2!,3!, 是否可以计算 2.5!呢？我们把最初的一些(n,n!)的点画在坐标轴上，确实可以看到，容易画出一条通过这些点的平滑曲线。
但是哥德巴赫无法解决阶乘往实数集上延拓的这个问题，于是写信请教尼古拉斯.贝努利和他的弟弟丹尼尔.贝努利，由于欧拉当时和丹尼尔.贝努利在一块，他也因此得知了这个问题。而欧拉于1729 年完美的解决了这个问题，由此导致了Γ函数的诞生，当时欧拉只有22岁。
事实上首先解决n!的插值计算问题的是丹尼尔.贝努利，他发现，
如果m,n都是正整数，如果m→∞，有
1?2?3?m(1+n)(2+n)?(m?1+n)(m+n2)n?1→n!
于是用这个无穷乘积的方式可以把n!的定义延拓到实数集合。例如，取n=2.5, m足够大，基于上式就可以近似计算出 2.5!。
欧拉也偶然的发现n!可以用如下的一个无穷乘积表达
[(21)n1n+1][(32)n2n+2][(43)n3n+3]?=n!(?)
用极限形式，这个式子整理后可以写为
lim m→∞1?2?3?m(1+n)(2+n)?(m+n)(m+1)n=n!(??)
左边可以整理为
===1?2?3?m(1+n)(2+n)?(m+n)(m+1)n1?2?3?n?(n+1)(n+2)?m(1+n)( 2+n)?m?(m+1)n(m+1)(m+2)?(m+n)n!(m+1)n(m+1)(m+2)?(m+n)n!∏k
=1n m+1m+k→n!(m→∞)
所以(*)、(**)式都成立。
欧拉开始尝试从一些简单的例子开始做一些计算，看看是否有规律可循，欧拉极其擅长数学的观察与归纳。当n=1/2的时候，带入(*)式计算，整理后可以得到
(12)!=2?43?3?4?65?5?6?87?7?8?109?9?????????????????????√
然而右边正好和著名的Wallis 公式关联。Wallis 在1665年使用插值方法计算半圆曲线y=x(1?x)???????√下的面积(也就是直径为1的半圆面积)的时候，得到关于π的如下结果，
2?43?3?4?65?5?6?87?7?8?109?9?=π4
于是，欧拉利用Wallis 公式得到了如下一个很漂亮的结果
(12)!=π?√2
大数学家欧拉
欧拉和高斯都是具有超凡直觉的数学家，但是欧拉和高斯的风格迥异。高斯是个老狐狸，数学上非常严谨，发表结果的时候却都把思考的痕迹抹去，只留下漂亮的结果，这招致了一些数学家对高斯的批评；而欧拉的风格不同，经常通过经验直觉做大胆的猜测，而他的文章中往往留下他如何做数学猜想的痕迹，而文章有的时候论证不够严谨。拉普拉斯曾说过：”读读欧拉,他是所有人的老师。”波利亚在他的名著《数学与猜想》中也对欧拉做数学归纳和猜想的方式推崇备至。
欧拉看到(12)!中居然有π, 对数学家而言，有π的地方必然有和圆相关的积分。由此欧拉猜测n!一定可以表达为某种积分形式，于是欧拉开始尝试把n!表达为积分形式。虽然Wallis 的时代微积分还没有发明出来，Wallis 是使用插值的方式做推导计算的，但是Wallis 公式的推导过程基本上就是在处理积分∫10x12(1?x)12dx，受Wallis 的启发，欧拉开始考虑如下的一般形式的积分
J(e,n)=∫10x e(1?x)n dx
此处n 为正整数，e为正实数。利用分部积分方法，容易得到
J(e,n)=ne+1J(e+1,n?1)
重复使用上述迭代公式，最终可以得到
J(e,n)=1?2?n(e+1)(e+2)?(e+n+1)
于是欧拉得到如下一个重要的式子
n!=(e+1)(e+2)?(e+n+1)∫10x e(1?x)n dx
接下来，欧拉使用了一点计算技巧，取e=f/g并且令f→1,g→0,
然后对上式右边计算极限(极限计算的过程此处略去，推导不难，有兴趣的同学看后面的参考文献吧)，于是欧拉得到如下简洁漂亮的结果：
n!=∫10(?log t)n dt
欧拉成功的把n!表达为了积分形式！如果我们做一个变换t=e?u,就可以得到我们常见的Gamma 函数形式
n!=∫∞0u n e?u du
于是,利用上式把阶乘延拓到实数集上，我们就得到Gamma 函数的一般形式
Γ(x)=∫10(?log t)x?1dt=∫∞0t x?1e?t dt
Gamma 函数找到了，我们来看看第二个问题，为何Gamma 函数被定义为Γ(n)=(n?1)!, 这看起来挺别扭的。如果我们稍微修正一下，把Gamma 函数定义中的t x?1替换为t x
Γ(x)=∫∞0t x e?t dt
这不就可以使得Γ(n)=n!了嘛。欧拉最早的Gamma函数定义还真是如上所示，选择了Γ(n)=n!，可是欧拉不知出于什么原因，后续修改了Gamma 函数的定
义，使得Γ(n)=(n?1)!。而随后勒让德等数学家对Gamma 函数的进一步深入研究中，认可了这个定义，于是这个定义就成为了既成事实。有数学家猜测，一个可能的原因是欧拉研究了如下积分
B(m,n)=∫10x m?1(1?x)n?1dx
这个函数现在称为Beta 函数。如果Gamma 函数的定义选取满足Γ(n)=(n?1)!, 那么有
B(m,n)=Γ(m)Γ(n)Γ(m+n)
非常漂亮的对称形式。可是如果选取Γ(n)=n!的定义，令
E(m,n)=∫10x m(1?x)n dx
则有
E(m,n)=Γ(m)Γ(n)Γ(m+n+1)
这个形式显然不如B(m,n)优美，而数学家总是很在乎数学公式的美感的。要了解更多的Gamma 函数的历史，推荐阅读
神奇的Gamma函数 (上) rickjin 关键词：特殊函数, 欧拉 G a m m a函数诞生记 学高等数学的时候，我们都学习过如下一个长相有点奇特的Gamma函数 Γ(x)=∫∞0t x?1e?t dt 通过分部积分的方法，可以推导出这个函数有如下的递归性质 Γ(x+1)=xΓ(x) 于是很容易证明，Γ(x)函数可以当成是阶乘在实数集上的延拓，具有如下性质 Γ(n)=(n?1)! 学习了Gamma 函数之后，多年以来我一直有两个疑问： ? 1.这个长得这么怪异的一个函数，数学家是如何找到的； ? 2.为何定义Γ函数的时候，不使得这个函数的定义满足Γ(n)=n!而是Γ(n)=(n?1)! 最近翻了一些资料，发现有不少文献资料介绍Gamma 函数发现的历史，要说清楚它需要一定的数学推导，这儿只是简要的说一些主线。
1728年，哥德巴赫在考虑数列插值的问题，通俗的说就是把数列的通项公式定义从整数集合延拓到实数集合，例如数列1,4,9,16,?可以用通项公式n2自然的表达，即便n为实数的时候，这个通项公式也是良好定义的。直观的说也就是可以找到一条平滑的曲线y=x2通过所有的整数点(n,n2)，从而可以把定义在整数集上的公式延拓到实数集合。一天哥德巴赫开始处理阶乘序列1,2,6,24,120,720,?,我们可以计算2!,3!, 是否可以计算 2.5!呢？我们把最初的一些(n,n!)的点画在坐标轴上，确实可以看到，容易画出一条通过这些点的平滑曲线。 但是哥德巴赫无法解决阶乘往实数集上延拓的这个问题，于是写信请教尼古拉斯.贝努利和他的弟弟丹尼尔.贝努利，由于欧拉当时和丹尼尔.贝努利在一块，他也因此得知了这个问题。而欧拉于1729 年完美的解决了这个问题，由此导致了Γ函数的诞生，当时欧拉只有22岁。 事实上首先解决n!的插值计算问题的是丹尼尔.贝努利，他发现，
三角函数辅助角公式化简 一、解答题 1．已知函数()22sin cos 3f x x x π?? =-+ ???， x R ∈ （1）求()f x 的对称中心； （2）讨论()f x 在区间,34ππ? ? -????上的单调性. 2．已知函数( )4sin cos 3f x x x π?? =++ ???（1）将()f x 化简为()()sin f x A x ωφ=+的形式，并求()f x 最小正周期； （2）求()f x 在区间,46π π?? -????上的最大值和最小值及取得最值时x 的值. 3．已知函数( )4tan sin cos 23f x x x x ππ???? =--- ? ????? （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 在区间,44ππ?? -????上的单调递增区间及最大值与最小值． 4．设函数( )2sin cos f x x x x =+. （1）求函数()f x 的最小正周期T 及最大值； （2）求函数()f x 的单调递增区间. 5．已知函数()πππcos 22sin sin 344f x x x x ??????=-+-+ ? ? ??????? （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程； （Ⅱ）求函数()f x 在区间ππ,122??-????上的值域. 6．已知函数( )21cos cos 2f x x x x =--. (Ⅰ)求函数()f x 的对称中心； (Ⅱ)求()f x 在[]0,π上的单调区间.
7．已知函数()4cos sin 16f x x x π?? =+- ???，求 （1）求()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 的单调递增区间 （3）求()f x 在区间,64ππ ?? -????上的最大值和最小值. 8．设函数( )()sin ?cos 2tan x x x f x x π??- ? ?? =. （1）求()f x 的最小正周期； （2）讨论()f x 在区间0,2π?? ???上的单调性. 9．已知函数( )2cos 2cos 1f x x x x =-+， （I ）求()f x 的最大值和对称中心坐标； (Ⅱ)讨论()f x 在[]0,π上的单调性。 10．已知函数. (1)求 的最小正周期； (2)若关于 的方程在上有两个不同的实根，求实数 的取值范围. 11．设()2sin cos cos 4f x x x x π??=-+ ???. (1)求()f x 的单调递增区间； (2)锐角ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若02A f ??= ???， 1a =， bc =b c +的值. 12．已知函数. （1）求函数的单调增区间；
三角函数辅助角公式化简 一、解答题 1．已知函数()22sin cos 3f x x x π?? =-+ ?? ? ， x R ∈ （1）求()f x 的对称中心； （2）讨论()f x 在区间,34ππ?? -??? ?上的单调性. 2．已知函数( )4sin cos 3f x x x π?? =+ ?? ? （1）将()f x 化简为()()sin f x A x ωφ=+的形式，并求()f x 最小正周期； （2）求()f x 在区间,46ππ?? -????上的最大值和最小值及取得最值时x 的值. 3．已知函数( )4tan sin cos 23f x x x x ππ??? ?=-- ? ???? ? （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 在区间,44ππ?? -???? 上的单调递增区间及最大值与最小值． 4．设函数( )2 sin cos 2 f x x x x =+- . （1）求函数()f x 的最小正周期T 及最大值； （2）求函数()f x 的单调递增区间. 5．已知函数()πππcos 22sin sin 344f x x x x ??????=- +-+ ? ? ?? ?? ??? （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程； （Ⅱ）求函数()f x 在区间ππ,122?? -??? ?上的值域. 6．已知函数( )21 cos cos 2 f x x x x =--. (Ⅰ)求函数()f x 的对称中心； (Ⅱ)求()f x 在[] 0,π上的单调区间.
7．已知函数()4cos sin 16f x x x π? ?=+- ?? ?，求 （1）求()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 的单调递增区间 （3）求()f x 在区间,64ππ?? -???? 上的最大值和最小值. 8．设函数()() sin 3cos ?cos 2tan x x x f x x π?? +- ? ??= . （1）求()f x 的最小正周期； （2）讨论()f x 在区间0,2π?? ?? ? 上的单调性. 9．已知函数()2 23sin cos 2cos 1f x x x x =-+， （I ）求()f x 的最大值和对称中心坐标； (Ⅱ)讨论()f x 在[] 0,π上的单调性。 10．已知函数. (1)求 的最小正周期； (2)若关于 的方程在 上有两个不同的实根，求实数 的取值范围. 11．设()2 sin cos cos 4f x x x x π?? =-+ ?? ? . (1)求()f x 的单调递增区间； (2)锐角ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若02A f ?? = ??? ， 1a =， 3bc =，求b c +的值. 12．已知函数 .
神奇的Gamma函数 (上) 关键词：特殊函数, 欧拉 G a m m a函数诞生记 学高等数学的时候，我们都学习过如下一个长相有点奇特的Gamma函数 通过分部积分的方法，可以推导出这个函数有如下的递归性质 于是很容易证明，函数可以当成是阶乘在实数集上的延拓，具有如下性质 学习了Gamma 函数之后，多年以来我一直有两个疑问： 1.这个长得这么怪异的一个函数，数学家是如何找到的；
2.为何定义函数的时候，不使得这个函数的定义满足而 是 最近翻了一些资料，发现有不少文献资料介绍Gamma 函数发现的历史，要说清楚它需要一定的数学推导，这儿只是简要的说一些主线。 1728年，哥德巴赫在考虑数列插值的问题，通俗的说就是把数列的通项公式 定义从整数集合延拓到实数集合，例如数列可 以用通项公式自然的表达，即便为实数的时候，这个通项 公式也是良好定义的。直观的说也就是可以找到一条平滑的曲线 通过所有的整数点，从而可以把定义在整数集上的公式延拓 到实数集合。一天哥德巴赫开始处理阶乘序列 ,我们可以计算, 是否可以计算 呢？我们把最初的一些的点画在坐标轴上，确实可以看到，容易画出一条通过这些点的平滑曲线。
但是哥德巴赫无法解决阶乘往实数集上延拓的这个问题，于是写信请教尼古拉斯.贝努利和他的弟弟丹尼尔.贝努利，由于欧拉当时和丹尼尔.贝努利在一块，他也因此得知了这个问题。而欧拉于1729 年完美的解决了这个问题， 由此导致了函数的诞生，当时欧拉只有22岁。 事实上首先解决的插值计算问题的是丹尼尔.贝努利，他发现， 如果都是正整数，如果，有 于是用这个无穷乘积的方式可以把的定义延拓到实数集合。例如， 取, 足够大，基于上式就可以近似计算出 。 欧拉也偶然的发现可以用如下的一个无穷乘积表达
和，辅，倍角公式 一、和差公式： 1、sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+；sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-； cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-；cos()cos cos +sin sin αβαβαβ-=； tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-；tan tan tan()1tan tan αβαβαβ --=+ 二、辅助角公式：sin cos )a x b x x ?+=+， 其中： tan ,sin b a ???===证明过程： 三、二倍角公式： 1、二倍角： 2、降幂 sin 22sin cos ααα=；1sin cos sin 22 ααα= 例题4：化简求值之基础训练： （2）cos32cos77sin148cos13o o o o += （3）sin()sin()cos()cos()x y x y x y y x +-++-= （4）若3 53cos ,sin ,(,),(,2)51322 ππαβαπβπ=-=-∈∈，则sin()αβ+= （5）已知3 3sin ,(,2)52 πααπ=-∈，则cos()4πα-= 例题5：化简求值之升华训练 （1）已知1cos(),cos sin 38 πααα-=+则的值为
（4）已知11tan(),tan ,tan(2)27 αββαβ-==--=求 例6：化简求值之综合应用： （5）sin()sin()cos 66y x x x ππ =++-+ 辅助角公式专项训练 1.已知函数1()sin cos 44 f x x x =-。 （1）若5cos 13x =-，,2x ππ??∈???? ，求()f x 的值； （2）将函数()f x 的图像向右平移m 个单位，使平移后的图像关于原点对称，若0m π<<，求m 的值。 2.已知函数211()sin 2sin cos cos sin()222 f x x x π???=+-+(0)?π<<，其图像过点1(,)62 π。 (1)求的?值； (2)将()y f x =的图像上各点的横坐标缩短到原来的12 ，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图像，求函数()y g x =在区间0,4π?????? 上的最值。 3.已知函数()2cos sin()3f x x x π =+。 （1）求函数()f x 的最小正周期及取得最大值时x 的取值集合； （2）求函数()f x 图像的对称轴方程。 4.已知函数2()2cos sin cos f x a x b x x =+，且(0)f =，1()42 f π=。 （1）求()f x 的单调递减区间； （2）函数()f x 的图像经过怎样的平移才能使所得图像对应的函数成为奇函数？ 5.设22()cos()2cos ,32 x f x x x R π=+ +∈。 （1）求()f x 的值域；（2）求()f x 的对称中心。 6.已知()cos(2)2sin()sin()344 f x x x x πππ=-+-+。 （1）求函数()f x 的最小正周期和图像的对称轴方程； （2）求函数()f x 在区间,122ππ??- ????上的值域。
三角函数辅助角公式化 简 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT
7．已知函数()4cos sin 16f x x x π? ?=+- ???，求 （1）求()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 的单调递增区间 （3）求()f x 在区间,64ππ?? -???? 上的最大值和最小值. 8．设函数()() sin 3cos ?cos 2tan x x x f x x π?? +- ? ??= . （1）求()f x 的最小正周期； （2）讨论()f x 在区间0,2π?? ??? 上的单调性. 9．已知函数()223sin cos 2cos 1f x x x x =-+， （I ）求()f x 的最大值和对称中心坐标； (Ⅱ)讨论()f x 在[]0,π上的单调性。 10．已知函数. (1)求 的最小正周期； (2)若关于 的方程在 上有两个不同的实根，求实数 的取值范围. 11．设()2sin cos cos 4f x x x x π? ?=-+ ???. (1)求()f x 的单调递增区间； (2)锐角ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若02A f ?? = ??? ， 1a =， 3bc =，求b c +的 值.
12．已知函数 . （1）求函数的单调增区间； （2） 的内角，，所对的边分别是，，，若 ， ，且 的面积为 ，求的值. 13．设函数. （1）求的最大值，并写出使 取最大值时的集合； （2）已知中,角 的边分别为 ，若 ，求的最小值. 14．已知()( ) 1 3sin cos cos 2 f x x x x ωωω= +- ，其中0ω>，若()f x 的最小正周期为4π. （1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）锐角三角形ABC 中， ()2cos cos a c B b C -=，求()f A 的取值范围. 15．已知a =（sinx ，cosx ），b =（cos φ，sin φ）（|φ|＜）．函数 f （x ）=a ?b 且f （3 π －x ）=f （x ）． （Ⅰ）求f （x ）的解析式及单调递增区间； （Ⅱ）将f （x ）的图象向右平移 3π单位得g （x ）的图象，若g （x ）+1≤ax +cosx 在x ∈[0， 4 π]上恒成立，求实数a 的取值范围． 16．已知向量a =（2cos 2 x ω， 3sin 2 x ω），b =（cos 2 x ω，2cos 2 x ω），（ω＞0），设函数 f （x ）=a ?b ，且f （x ）的最小正周期为π． （1）求函数f （x ）的表达式； （2）求f （x ）的单调递增区间． 17．已知函数()()sin (0,0,)2 f x A x A π ω?ω?=+>><的部分图象如图所示. （1） 求函数()f x 的解析式； （2） 如何由函数2sin y x =的通过适当图象的变换得到函数()f x 的图象， 写出变换过程; （3） 若142f α??= ???，求sin 6πα?? - ??? 的值.
韩山师范学院 学生毕业论文 （ 2011届） 题目（中文）伽马函数在概率统计中的应用（英文）The Application of the Γ–Function in the Probability 系别：数学与信息技术系 专业：数学与应用数学班级： 20071112 姓名：史泽龙学号: 2007111205 指导教师：屈海东讲师 韩山师范学院教务处制
诚信声明 我声明，所呈交的毕业论文是本人在老师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我查证，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，我承诺，论文中的所有内容均真实、可信。 毕业论文作者签名：签名日期：年月日
摘要: 本文阐述了Γ函数的定义及其特殊性质, 并就如何利用Γ函数的特定性质解决概率应用中的一些特定问题进行了探讨和分析. 分析说明: 应用Γ函数收敛的性质, 可间接求解概率积分值; 利用Γ函数表示分布的密度;可表征F分布的密度函数. 这些分析及其结论对于函数的具体应用, 对于求解概率论中的一些具体实用问题具有重要的参考价值. 关键词: Γ函数; 收敛性; 概率积分; 密度函数
Abstract: Expounds the definition of Γ function and its special properties, and how to use the specific nature solution Γ function in some specific questions the probability application is discussed and analyzed. Γ function analysis and explanation: application of nature, but indirect convergent solution probability integral value; Use the density of Γ function says distribution; F distribution can be characterized the density function analysis and conclusions. These specific application for function for solving some of the specific practical problems probability has important reference value. Keywords:Gamma function;Convergence; Probability integral;Density function
3 辅助角公式 一．合一变形?把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的y =A sin(x +) +B 形式。 tan=B ． A A sin+ B cos (+)，其中 二．练习 1.y = sin x + cos x 2.y = 3 sin x + cos x 3.y = 3 sin 3x + cos 3x 4.y = sin 2x + cos 2x 5.y = 1 sin x + 2 cos x 2 6.y =2(sin x - cos x) 7.y = 2 cos x - 6 sin x 8. y = 3 15 sin x + 3 5 cos x 9.y = sin( 4 4 -x) + cos( 4 4 -x) 10.y = 3 sin 2x + cos2x 2 11.y = 2 cos x(sin x + cos x) 12.y = ?+?- 3 cos2x + 3 cos x s in x ? ??4 13.1 3 . y = 3 2 cos x - sin x 2 14.已知函数f (x) = 2 s in2?π +x ? - 3 cos 2x ，x ∈ ?ππ? ． 4 ? ?，? ???4 2 ? （I）求f (x) 的最大值和最小值；A2+B2 3 2 6 3
2 2 2 ? ? （II ） 若不等式 f (x ) - m < 2 在 x ∈ ? π π ? 上恒成立，求实数 m 的取值范围． ? ， ? ? 4 2 ? 分析：观察角，单角二次型，降次整理为 a sin x + b cos x 形式． ? ? π ?? 解：（Ⅰ）∵ f (x ) = ?1- cos 2 + 2x ?? - 3 cos 2x = 1+ sin 2x - 3 cos 2x ? ? ?? = 1+ 2 sin ? 2x - π ? ． 3 ? ? ? 又∵ x ∈ ? π， π ? ，∴ π ≤ 2x - π ≤ 2π ，即2 ≤1+ 2 s in ? 2x - π ?≤ 3 ， ?? 4 2 ?? 6 3 3 3 ? ∴ f (x )max = 3， ? ? f (x )min = 2 ． （Ⅱ）∵ f (x ) - m < 2 ? f (x ) - 2 < m < f (x ) + 2 ， x ∈ ? π， π ? ， ? 4 2 ? ∴m > f (x )max - 2 且 m < f (x )min + 2 ， ∴1 < m < 4 ，即 m 的取值范围是(1， 4) ． 15. （1）已知sin x + sin y = 1 ，求sin y - cos 2 x 的最大值与最小值． 3 （2）求函数 y = sin x ? cos x + sin x + cos x 的最大值． 分析：可化为二次函数求最值问题． 1 2 解：（1）由已知得： sin y = 3 - sin x ， sin y ∈[-1,1] ，则sin x ∈[- 3 ,1] ． ∴sin y - cos 2 x = (sin x - 1 )2 - 11 ， 当sin x = 1 时， sin y - cos 2 x 有最小值 - 11 ； 当 2 12 2 12 sin x = - 2 时， sin y - cos 2 x 有最小值 4 ． 3 9 t 2 -1 1 2 1 （2）设sin x + cos x = t (- ≤ t ≤ 2) ，则sin x ? cos x = ，则 y = t + t - ，当 t = 时， y 有最大值为 1 + ． 2 2 2 2
辅助角公式sin cos )a b θθθ?+=+的推导 在三角函数中，有一种常见而重要的题型，即化sin cos a b θ θ+为一个角 的一个三角函数的形式，进而求原函数的周期、值域、单调区间等.为了帮助学 生记忆和掌握这种题型的解答方法,教师们总结出公式 sin cos a b θθ+ )θ?+或sin cos a b θθ+ cos()θ?-,让学生在大量的训练和考试中加以记忆和活用.但事与愿违,半个 学期不到,大部分学生都忘了,教师不得不重推一遍.到了高三一轮复习,再次忘记,教师还得重推!本文旨在通过辅助角公式的另一种自然的推导,体现一种解决问题的过程与方法,减轻学生的记忆负担;同时说明“辅助角”的范围和常见的取角方法,帮助学生澄清一些认识;另外通过例子说明辅助角公式的灵活应用,优化解题过程与方法;最后通过例子说明辅助公式在实际中的应用,让学生把握辅助角与原生角的范围关系,以更好地掌握和使用公式. 一.教学中常见的的推导方法 教学中常见的推导过程与方法如下 1.引例 例1 α+cos α=2sin （α+ 6π）=2cos （α-3 π）. 其证法是从右往左展开证明,也可以从左往右“凑”,使等式得到证明,并得出 结论: 可见 α+cos α可以化为一个角的三角函数形式. 一般地,asin θ+bcos θ 是否可以化为一个角的三角函数形式呢? 2.辅助角公式的推导 例2 化sin cos a b θ θ+为一个角的一个三角函数的形式. 解: asin θ+bcos θ sin θ cos θ), ① =cos ? =sin ?, 则asin θ+bcos θ θcos ?+cos θsin ?) θ+?),(其中tan ?=b a )
辅助角公式Revised on November 25, 2020
推导 对于f(x)=asinx+bcosx(a>0)型函数，我们可以如此变形 ，设点(a,b)为某一角φ(-π/2<φ<π/2)终边上的点，则 ，因此 就是所求辅助角公式。 又因为 ，且-π/2<φ<π/2，所以 ，于是上述公式还可以写成 该公式也可以用余弦来表示（针对b>0的情况） ，设点(b,a)为某一角θ(-π/2<θ<π/2)终边上的点，则 ，因此 同理， ，上式化成 若正弦和余弦的系数都是负数，不妨写成f(x)=-asinx-bcosx，则 再根据 得 记忆 很多人在利用辅助角公式时，经常忘记反正切到底是b/a还是a/b，导致做题出错。 其实有一个很方便的记忆技巧，就是不管用正弦还是余弦来表示asinx+bcosx，的位置永远是你用来表示函数名称的系数。 例如用正弦来表示asinx+bcosx，则反正切就是b/a（即正弦的系数a在分母）。如果用余弦来表示,那反正切就要变成a/b（余弦的系数b在分母）。 疑问 为什么在推导辅助角公式的时候要令辅助角的取值范围为(-π/2,π/2)其实是在分类讨论a>0或b>0的时候，已经把辅助角的终边限定在一、四象限内了，此时辅助角的范围是(2kπ-π/2,2kπ+π/2)(k是整数)。而根据三角函数的周期性可知加上2kπ后函数值不变，况且在(-π/2,π/2)内辅助角可以利用反正切表示，使得公式更加简洁明了。 提出者
，原名李心兰，字竟芳，号秋纫，别号壬叔。出身于读书世家，其先祖可上溯至南宋末年汴梁（今）人李伯翼。生于1811年 1月22日，逝世于1882年12月9日，人，是中国近代着名的数学家、天文学家、力学家和，创立了二次的幂级数展开式。[1]（就是现在的）他研究各种，和对数函数的幂级数展开式，这是李善兰也是19 世纪中国数学界最重大的成就。[1]在19世纪把西方近代知识翻译为中文的传播工作中﹐李善兰作出了重大贡献。他的译书也为中国近代物理学的发展起了启蒙作用。同治七年，李善兰到北京担任同文馆天文﹑算学部长﹐执教达13年之久﹐为造就中国近代第一代科学人才作出了贡献。 李善兰为近代科学在中国的传播和发展作出了开创性的贡献。 继之后，李善兰成为清代数学史上的又一杰出代表。他一生翻译西方科技书籍甚多，将近代科学最主要的几门知识从天文学到植物细胞学的最新成果介绍传入中国，对促进近代科学的发展作出卓越贡献。[1] 公式应用 例1 求sinθ/(2cosθ+√5)的最大值 解：设sinθ/(2cosθ+√5)=k 则sinθ-2kcosθ=√5k ∴√[1+(-2k)2]sin(θ+α)=√5k 平方得k2=sin2(θ+α)/[5-4sin2(θ+α)] 令t=sin2(θ+α) t∈[0,1]则k2=t/(5-4t)=1/(5/t-4) 当t=1时有kmax=1 辅助角公式可以解决一些sin与cos角之间的转化 例2 化简5sina-12cosa 解：5sina-12cosa =13(5/13*sina-12/13*cosa) =13(cosbsina-sinbcosa) =13sin(a-b) 其中，cosb=5/13,sinb=12/13 例3 π/6≤a≤π/4 ,求sin2a+2sinacosa+3cos2a的最小值
gamma函数的性质 Beta函数和Gamma函数是最基本也是最重要的两个特殊函数，它们如同基石般奠定了整个特殊函数论大厦的基础。部分理论应用如下：应用 a.Beta函数和Gamma函数提供了大部分超几何函数（Hypergeometric functions）的理论基础。Gauss 超几何级数的积分表示便是借助了Beta积分。而Mellin-Barnes积分表示则是借助了Gamma函数的性质，这使得超几何级数在复平面上的延拓得以通过一种统一的形式得以实现。应用b.分数阶微积分，也就是通常牛顿-莱布尼茨微积分的推广，也依赖于Beta和Gamma函数的定义。你可以看一下Riemann-Liouville分数阶积分的定义。而由整数阶导数到分数阶导数（复数阶导数）的插值就是来源于Gamma函数实际上是阶乘n!的插值这一性质。应用c.Riemann zeta function 的一个基本的积分表示其核心就是Gamma函数。而许多zeta函数的推广都离不开Gamma函数。应用https://www.doczj.com/doc/344691873.html,place变换和Mellin变换，这两个十分重要的积分变换，可以十分好的统一在Gamma函数的积分表示上。也就是说，Gamma函数是指数函数的Mellin变换，同时还是幂函数的Laplace变换。应用e.Beta函数本身可以用来构造概率分布。而高维的Beta函数，例如Dirichlet, Liouville型的Beta函数也在概率统计中有这重要的应用价值。应用f. Selberg 构造的一个特别重要的multidimensional Beta integral在解决Macdonald Conjecture的过程中也起到了很大的作用。而它本身现在也成为了一个十分重要的研究对象。总之，从Gamma和Beta函数出发，已经生长出了足够我们穷
专题九 关于Γ函数与B 函数的关系及应用 问题1：欧拉函数是什么东西？如何定义的？ 答： 欧拉函数是Γ函数与B 函数 的统称。其中若下面的含参变量广义积分收敛，则分别 称为Γ函数与B 函数。即： (s)Γ= 1 s x x e dx +∞--? (1) (p,q)B = 1 1 1 (1) p q x x dx ---? (2) (1)式称为伽马函数，（2）式称为贝塔函数，二者统称为欧拉函数 ，Γ函数与B 函数实质上是含参变量广义积分表示的两个特殊函数． 问题2：Γ函数与B 函数的定义域是什么？ 答：（一）、Γ函数的定义域：(s)Γ的定义域为0s >. 事实上，（1）当s 1≥时，0x =不是被积函数的瑕点，因此取1p >都有 1 l i m ()0p s x x x x e --→+∞ = ，由柯西判别法知（1）的积分是收敛． （2）当s<1时，0x =是被积函数的瑕点，此时，有 (s)Γ=1 1 1 01 s x s x x e dx x e dx +∞ ----+ ?? =()()I s J s + 其中()J s 对任何s 都是收敛的， 又110 lim ()lim 1s s x x x x x x e e + + ----→→==，所以1 10 s x dx -?与 1 1 0s x x e dx --?在0x =点是等价的，当11s ->-时，1 1 s x dx -?是收敛，当11s -≤-时， 1 1 s x dx -? 是发散．所以当01s <<时(s)Γ是收敛的． 综上可知(s)Γ的定义域为0s >. （二）、B 函数的定义域：0,0p q >>。 事实上，(p,q)B =1 1 11 1 1 1 1 1 2100 2 (1) (1) (1) p q p q p q x x dx x x dx x x dx -------= -+ -?? ? =I J + 而I ，J 在各自的区间内只有一个瑕点。又 1111 lim (1)lim (1)1p p q q x x x x x x + + ----→→-=-= ∴ 在0x =，1p x -与11(1)p q x x ---等价，∴ 当11p -<时，1 p x -收敛， 所以0p >时， 1 1 (1) p q x x ---在0x =收敛．
辅助角公式在高考三角题中得应用 对于形如y=asinx+bcosx 的三角式，可变形如下： y=asinx=bcosx = ++++a b x a a b x b a b 222 2 2 2 (sin cos )· · 。 上式中的 a a b 2 2 +与 b a b 2 2 +的平方和为1，故可记a a b 2 2 +=cos θ， b a b 2 2 +=sin θ，则 。 )x sin(b a )sin x cos cos x (sin b a y 2 2 22θ++=θ+θ+= 由此我们得到结论：asinx+bcosx= a b x 22++sin()θ，（*）其中θ由 a a b b a b 2 2 2 2 +=+=cos , sin θθ来确定。通常称式子（*）为辅助角公式，它可以将多 个三角式的函数问题，最终化为y=Asin(?+ωx )+k 的形式。下面结合近年高考三角题，就辅助角公式的应用，举例分类简析。 一. 求周期 例1 求函数y x x x =+ -+244 32cos()cos()sin π π 的最小正周期。 解： ) 6 x 2sin(2x 2cos x 2sin 3x 2sin 3)2 x 2sin(x 2sin 3)4x sin()4x cos(2y π +=+=+π +=+π +π+= 所以函数y 的最小正周期T=π。 评注：将三角式化为y=Asin(?+ωx )+k 的形式，是求周期的主要途径。 二. 求最值 例2. 已知函数f(x)=cos 4 x-2sinxcosx-sin 4 x 。若x ∈[, ]02 π ，求f(x)的最大值和最小值。
Gamma分布与指数分布 "Gamma分布gamma distribution; form of gamma distribution;" 在学术文献中的解释 1、在地震序列的有序性、地震发生率的齐次性、计数特征具有独立增量和平稳增量情况下,可以导出地震发生i次时间的概率密度为Gamma密度函数(亦称为Gamma分布) Γ(x)称为伽马函数，它是用一个积分式定义的，不是初等函数。伽马函数有性质：Γ(x+1)=xΓ(x)，Γ(0)=1，Γ(1/2)=√π，对正整数n，有Γ(n+1)=n！伽马分布里面Γ(α,β)（分布函数已经了解）。α,β个指代何种意义的参数？比如在化工里面有这样一个问题，说反应器管道的长度L服从Γ(α,β)分布，那么α,β是和管道形状和尺度相关的参数。α,β是两个分布调整参量，该分布的期望=C+(α/β),也就是说α/β调整期望；分布的方差=α/β^2，由此并不需要单独定义二者，应该共同对分布起作用！ 伽马函数Γ（z）的定义域是，C-{-n,n=0,1,2,...},其中C为复数域， Re（z）>0时，常见的积分是收敛，也就是说Γ（z）可用常见的积分定义。 如1种常见的积分：Γ（z）=∫{0 均值是a/入 方差是a/(入^2) 指数分布 如果随机变量X的概率密度为 公式 P（X≥0）=λ乘以(e的－λX次方）;p(x<0)=0 则称X遵从指数分布（参数为λ）。 在概率论和统计学中，指数分布（Exponential distribution）是一种连续概率分布。指数分布可以用来表示独立随机事件发生的时间间隔，比如旅客进机场的时间间隔、中文维基百科新条目出现的时间间隔等等。 许多电子产品的寿命分布一般服从指数分布。有的系统的寿命分布也可用指数分布来近似。它在可靠性研究中是最常用的一种分布形式。指数分布是伽玛分布和威布尔分布的特殊情况，产品的失效是偶然失效时，其寿命服从指数分布。 指数分布可以看作当威布尔分布中的形状系数等于1的特殊分布，指数分布的失效率是与时间t无关的常数，所以分布函数简单。 20200628手动选题组卷3 副标题 一、选择题（本大题共8小题，共40.0分） 1. 函数y =5sin (x ?π 6)?12cos (x ?π 6)的最大值是( ) A. 13 B. 17 C. ?13 D. 12 2. 已知函数f(x)=4sin(ωx ?π 4)sin(ωx +π 4)(ω>0)的最小正周期与函数y = 2sin2x +cos2x 的最小正周期相同，且tanα=3 4，α∈(0,π 2)，则f(α)等于( ) A. 7 25 B. ?14 25 C. 24 25 D. ?12 25 3. 设函数f(x)=sin(2x + 3π4 )?cos(2x +3π4 )，则( ) A. f(x)在(0,π 2)单调递增，其图象关于直线x =π 4对称 B. f(x)在(0,π 2)单调递增，其图象关于直线x =π 2对称 C. f(x)在(0,π 2)单调递减，其图象关于直线x =π 2对称 D. f(x)在(0,π 2)单调递减，其图象关于直线x =π 4对称 4. 设当x =θ时，函数f(x)=2sinx ?cosx 取得最大值，则cosθ=( ) A. 2√55 B. √55 C. ?2√55 D. ?√55 5. 将偶函数f(x)=√3sin(2x +φ)?cos(2x +φ)(0<φ<π)的图象向右平移π 6个单 位，得到y =g(x)的图象，则g(x)的一个单调递减区间为( ) A. (?π3,π 6) B. (π12,7π 12) C. (π6,2π 3) D. (π3,5π 6) 6. 已知√3sin x +cos x =2a ?3，则a 的取值范围是 ( ) A. 1 2≤a ≤5 2 B. a ≤1 2 C. a >5 2 D. ?5 2≤a ≤?1 2 7. 函数f (x )=2sinxcosx +2cos 2x 的最小正周期是( ) A. 3π B. 2π C. π D. π2 8. 若函数f(x)=cosx +√3sinx(0≤x <π 2)，则f (x )的最小值是( ) A. 1 B. ?1 C. 2 D. ?2 二、填空题（本大题共2小题，共10.0分） 9. 已知函数f(x)=3sin x 2?4cos x 2的图象关于直线x =θ对称，则sinθ=________． 神奇的Gamma函数 (下) rickjin 关键词：特殊函数, 概率分布 从二项分布到G a m m a分布 Gamma 函数在概率统计中频繁现身，众多的统计分布，包括常见的统计学三大分布(t分布，χ2分布，F分布)、Beta分布、Dirichlet 分布的密度公式中都有Gamma 函数的身影；当然发生最直接联系的概率分布是直接由Gamma 函数变换得到的Gamma 分布。对Gamma 函数的定义做一个变形，就可以得到如下式子 ∫∞0xα?1e?xΓ(α)dx=1 于是，取积分中的函数作为概率密度，就得到一个形式最简单的Gamma 分布的密度函数 Gamma(x|α)=xα?1e?xΓ(α) 如果做一个变换x=βt, 就得到Gamma 分布的更一般的形式 Gamma(t|α,β)=βαtα?1e?βtΓ(α) 其中α称为shape parameter, 主要决定了分布曲线的形状;而β称为rate parameter 或者inverse scale parameter (1β称为scale parameter),主要决定曲线有多陡。 Gamma(t|α,β)分布图像 Gamma 分布在概率统计领域也是一个万人迷，众多统计分布和它有密切关系。指数分布和χ2分布都是特殊的Gamma 分布。另外Gamma 分布作为先验分布是很强大的，在贝叶斯统计分析中被广泛的用作其它分布的先验。如果把统计分布中的共轭关系类比为人类生活中的情侣关系的话，那指数分布、Poission分布、正态分布、对数正态分布都可以是Gamma 分布的情人。接下来的内容中中我们主要关注β=1的简单形式的Gamma 分布。 伽马函数表 ()()001>=Γ?+∞ --x dt t e x x t x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1.00 0000 9994 9988 9983 9977 9971 9966 9960 9954 9949 1.01 9943 9938 9932 9927 9921 9916 9910 9905 9899 9894 1.02 9888 9883 9878 9872 9867 9862 9856 9851 9846 9841 1.03 9835 9830 9825 9820 9815 9810 9805 9800 9794 9789 1.04 9784 9779 9774 9769 9764 9759 9755 9750 9745 9740 1.05 9735 9730 9725 9721 9716 9711 9706 9702 9697 9692 1.06 9687 9683 9678 9673 9669 9664 9660 9655 9651 9646 1.07 9642 9637 9633 9628 9624 9619 9615 9610 9606 9602 1.08 9597 9593 9589 9584 9580 9576 9571 9567 9563 9559 1.09 9555 9550 9546 9542 9538 9534 9530 9526 9522 9518 1.10 9514 9509 9505 9501 9498 9494 9490 9486 9482 9478 1.11 9474 9470 9466 9462 9459 9455 9451 9447 9443 9440 1.12 9436 9432 9428 9425 9421 9417 9414 9410 9407 9403 1.13 9399 9396 9392 9389 9385 9382 9378 9375 9371 9368 1.14 9364 9361 9357 9354 9350 9347 9344 9340 9337 9334 1.15 9330 9327 9324 9321 9317 9314 9311 9308 9304 9301 1.16 9298 9295 9292 9289 9285 9282 9279 9276 9273 9270 1.17 9267 9264 9261 9258 9255 9252 9249 9246 9243 9240 1.18 9237 9234 9231 9229 9226 9223 9220 9217 9214 9212 1.19 9209 9206 9203 9201 9198 9195 9192 9190 9187 9184 1.20 9182 9179 9176 9174 9171 9169 9166 9163 9161 9158 1.21 9156 9153 9151 9148 9146 9143 9141 9138 9136 9133 1.22 9131 9129 9126 9124 9122 9119 9117 9114 9112 9110 1.23 9108 9105 9103 9101 9098 9096 9094 9092 9090 9087 1.24 9085 9083 9081 9079 9077 9074 9072 9070 9068 9066 1.25 9064 9062 9060 9058 9056 9054 9052 9050 9048 9046 1.26 9044 9042 9040 9038 9036 9034 9032 9031 9029 9027 1.27 9025 9023 9021 9020 9018 9016 9014 9012 9011 9009 1.28 9007 9005 9004 9002 9000 8999 8997 8995 8994 8992 1.29 8990 8989 8987 8986 8984 8982 8981 8979 8978 8976 1.30 8975 8973 8972 8970 8969 8967 8966 8964 8963 8961 1.31 8960 8959 8957 8956 8954 8953 8952 8950 8949 8948 1.32 8946 8945 8944 8943 8941 8940 8939 8937 8936 8935 1.33 8934 8933 8931 8930 8929 8928 8927 8926 8924 8923 1.34 8922 8921 8920 8919 8918 8917 8916 8915 8914 8913 1.35 8912 8911 8910 8909 8908 8907 8906 8905 8904 8903 1.36 8902 8901 8900 8899 8898 8897 8897 8896 8895 8894 1.37 8893 8892 8892 8891 8890 8889 8888 8888 8887 8886高中数学三角函数之辅助角公式练习题
神奇的Gamma函数 (下)
伽马函数表
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