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Dijkstra算法

Dijkstra 算法
Dijkstra 算法（狄克斯特拉算法）算法（狄克斯特拉算法）
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Dijkstra 算法概述算法描述虚拟码时间复杂度 Dijkstra 算法案例分析 5.1 案例一:基于 Dijkstra 算法在物流配送中的应用[1] 6 参考文献
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Dijkstra 算法概述
Dijkstra 算法算法是由荷兰计算机科学家狄克斯特拉（Dijkstra）于 1959 年提出的，因此又叫狄克斯特拉算法。是从一个顶点到其余各顶点的最短路径算法，解决的是有向图中最短路径问题。其基本原理是：每次新扩展一个距离最短的点，更新与其相邻的点的距离。当所有边权都为正时，由于不会存在一个距离更短的没扩展过的点，所以这个点的距离永远不会再被改变，因而保证了算法的正确性。不过根据这个原理， Dijkstra 求最短路的图不能有负权边，用因为扩展到负权边的时候会产生更短的距离，有可能就破坏了已经更新的点距离不会改变的性质。举例来说，如果图中的顶点表示城市，而边上的权重表示著城市间开车行经的距离。 Dijkstra 算法可以用来找到两个城市之间的最短路径。 Dijkstra 算法的输入包含了一个有权重的有向图 G，以及 G 中的一个来源顶点 S。我们以 V 表示 G 中所有顶点的集合。每一个图中的边，都是两个顶点所形成的有序元素对。 (u,v)表示从顶点 u 到 v 有路径相连。我们以 E 所有边的集合，而边的权重则由权重函数 w: E → [0, ∞]定义。因此，w(u,v)就是从顶点 u 到顶点 v 的非负花费值(cost)。边的花费可以想像成两个顶点之间的距离。任两点间路径的花费值，就是该路径上所有边的花费值总和。已知有 V 中有顶点 s 及 t， Dijkstra 算法可以找到 s 到 t 的最低花费路径(i.e. 最短路径)。这个算法也可以在一个图中，找到从一个顶点 s 到任何其他顶点的最短路径。

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算法描述
这个算法是通过为每个顶点 v 保留目前为止所找到的从 s 到 v 的最短路径来工作的。初始时，源点 s 的路径长度值被赋为 0（d[s]=0），同时把所有其他顶点的路径长度设为无穷大，即表示我们不知道任何通向这些顶点的路径（对于 V 中所有顶点 v 除 s 外 d[v]= ∞）。当算法结束时， d[v]中储存的便是从 s 到 v 的最短路径，或者如果路径不存在的话是无穷大。 Dijstra 算法的基础操作是边的拓展：如果存在一条从 u 到 v 的边，那么从 s 到 u 的最短路径可以通过将边(u,v)添加到尾部来拓展一条从 s 到 v 的路径。这条路径的长度是 d[u]+w(u,v)。如果这个值比目前已知的 d[v]的值要小，我们可以用新值来替代当前 d[v]中的值。拓展边的操作一直执行到所有的 d[v]都代表从 s 到 v 最短路径的花费。这个算法经过组织因而当 d[u]达到它最终的值的时候没条边(u,v)都只被拓展一次。算法维护两个顶点集 S 和 Q。集合 S 保留了我们已知的所有 d[v]的值已经是最短路径的值顶点，而集合 Q 则保留其他所有顶点。集合 S 初始状态为空，而后每一步都有一个顶点从 Q 移动到 S。这个被选择的顶点是 Q 中拥有最小的 d[u]值的顶点。当一个顶点 u 从 Q 中转移到了 S 中，算法对每条外接边(u,v)进行拓展。

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虚拟码
在下面的算法中,u:=Extract_Min(Q)在在顶点集 Q 中搜索有最小的 d[u]值的顶点 u。这个顶点被从集合 Q 中删除并返回给用户。
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function Dijkstra(G, w, s) for each vertex v in V[G] d[v] := infinity previous[v] := undefined d[s] := 0 S := empty set Q := set of all vertices // Dijstra 算 // 初始化
8 while Q is not an empty set 法主体 9 10 11 12 13 14 u := Extract_Min(Q) S := S union {u} for each edge (u,v) outgoing from u if d[v] > d[u] + w(u,v) d[v] := d[u] + w(u,v) previous[v] := u
// 拓展边(u,v)
如果我们只对在 s 和 t 之间寻找一条最短路径的话，我们可以在第 9 行添加条件如果满足 u=t 的话终止程序。现在我们可以通过迭代来回溯出 s 到 t 的最短路径
1 S := empty sequence 2 u := t

3 while defined u 4 5 insert u to the beginning of S u := previous[u]
现在序列 S 就是从 s 到 t 的最短路径的顶点集. [编辑]
时间复杂度
我们可以用大 O 符号将 Dijkstra 算法的运行时间表示为边数 m 和顶点数 n 的函数。 Dijkstra 算法最简单的实现方法是用一个链表或者数组来存储所有顶点的集合 Q,所以搜索 Q 中最小元素的运算(Extract-Min(Q))只需要线性搜索 Q 中的所有元素。这样的话算法的运行时间是 O(n2)。对于边数少于 n2 稀疏图来说，我们可以用邻接表来更有效的实现 Dijkstra 算法。同时需要将一个二叉堆或者斐波纳契堆用作优先队列来寻找最小的顶点(Extract-Min)。当用到二叉堆的时候，算法所需的时间为 O((m+n)log n)，斐波纳契堆能稍微提高一些性能，让算法运行时间达到 O(m + n log n)。相关问题和算法在 Dijkstra 算法的基础上作一些改动，可以扩展其功能。例如，有时希望在求得最短路径的基础上再列出一些次短的路径。为此，可先在原图上计算出最短路径，然后从图中删去该路径中的某一条边，在余下的子图中重新计算最短路径。对于原最短路径中的每一条边，均可求得一条删去该边后子图的最短路径，这些路径经排序后即为原图的一系列次短路径。 OSPF（open shortest path first, 开放最短路径优先）算法是 Dijkstra 算法在网络路由中的一个具体实现。与 Dijkstra 算法不同，Bellman-Ford 算法可用于具有负花费边的图，只要图中不存在总花费为负值且从源点 s 可达的环路（如果有这样的环路，则最短路径不存在，因为沿环路循环多次即可无限制的降低总花费）。与最短路径问题有关的一个问题是旅行商问题(traveling salesman problem)，它要求找出通过所有顶点恰好一次且最终回到源点的最短路径。该问题是 NP 难的；换言之，与最短路径问题不同，旅行商问题不太可能具有多项式时间算法。如果有已知信息可用来估计某一点到目标点的距离，则可改用 A*算法，以减小最短路径的搜索范围。 [编辑]
Dijkstra 算法案例分析

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案例一:基于案例一基于 Dijkstra 算法在物流配送中的应用[1]
电子商务是依托于互联网和信息技术的一种新型商务活动。目前,我国的电子商务发展势头迅猛,已经成为国民经济中的重要组成部分。相对于新生的电子商务来说,物流配送出现得比较早但是真正把它当作一个完整的系统来研究还是在 20 世纪 50 年代初。在电子商务尤其是 B2C 业务开展之初,国内还没有一家物流公司具有电子商务的配送经验,各个电子商务公司只能求助于具有国内最大覆盖网络的中国邮政速递公司,EMS 但是在经历一段时间之后,EMS 由于自身体制的僵化分割,管理无法协调、服务水平无法提高、费用居高不下,对很多问题都是心有余而力不足,无法满足电子商务发展的快速要求。鉴于此种情景,国内的许多大型电子商务公司都在积极地寻找出路,有的自己投资组建配送队伍,但是要将自己的网点覆盖全国实在太难、投资太大有的积极寻找新近进人电子商务配送领域的配送公司,但是后来者的实力和发展速度着实无法满足需求也有求助传统的第三方物流公司,在电子商务覆盖需求如此广大,服务环节如此复杂,业务特点往往品种多、数量少、利润低等实际问题面前,传统的物流公司往往是望而却步。商品配送成本过高电子商务公司的配送不仅面向批发商和零售商,还要直接面对大批的最终消费者,况且电子商务不受时间、地域的限制,因此较难形成集中的、有规模的配送流量, 由此造成配送任务复杂而琐碎,成本居高不下。降低配送服务价格,就要解决电子商务公司与物流配送企业之间在配送服务价格之间的矛盾,需要双方的共同努力。一方面电子商务公司考虑配送成本,尽量将网上销售的商品控制在与物流企业协议确定的配送范围之内,并尽量使之相对集中且形成规模。另一方面,物流配送企业应积极协作,选择最短路径作为配送路径降低配送成本,并加强管理,开源节流,降低物流成本和配送服务的价格,同时还应尽可能与电子商务公司建立长期稳定的协作关系,这样做有利于物流企业制定长远投资和服务计划,有利于加快新的物流配送技术的应用,加大配送渠道和设施的建设力度,最终有利于加快实现物流配送系统的信息化、自动化、网络化和智能化从长远看,有利于持续稳定地降低物流配送的成本和价格。目前关于物流配送的问题已经有很多方法,大致可分为定性和定量两大类。定性方法是指凭借个人或集体的经验来做出决策,它的执行步骤一般是先根据经验确定评价指标对各待选中心利用评价指标进行优劣性检验,根据检验结果作出决策。定性方法的优点是注重历史经验、简单易行,其缺点是容易犯经验主义和主观主义的错误,并且当可选地点较多时不易做出理想的决策。定量方法根据各种约束条件和所要达到的目标,把选址问题转化为函数,再利用合适的算法进行求解,求出最符合条件的解即具体的地点作为配送路径。基于最短距离改进问题的算法的物流配。一、最短路径法采用图论中的最短路径算法来建立物流配送路径选择模型。它的主要思想是从代表两个顶点的距离的权矩阵开始,每次插人一个顶点比较任意两点间的已知最短路径和插人顶点作为中间顶点时可能产生的路径距离,然后取较小值以得到新的距离权矩阵。当所有的顶点均作为顶点时,得到的最后的权矩阵就反映了所有顶点间的最短距离信息。最短距离者作为费用最小者,即最佳的选址位置。由于最短路径问题有着广泛的应用背景,国内外大量专家学者都对此问题进行了深入的研究。经典的图论与不断完善的计算机数据结构及算法的有效结合,使得新的最短路径算法不断涌现。据统计,目前提出的此类最短路径的算法大约有种。而等人对其中的 17 种进行了测试,结果显示有种效果比较好,它们分别是:TQQ(graph growthwith two queues)、DKA(the

the Dijkstra'salgorithmimplemented with doubl ebuckets)。其中 TQQ 算法的基础是图增长论,用两个 FIFO 队列实现了一个双端队列结构来支持搜索过程,较适合于计算单源点到其他所有点的最短距离。后两种算法则是基于 Dijkstra 算法,采用桶结构明显提高了永久标记点的搜索速度。二、算法原理及应用算法是由荷兰计算机科学家艾兹格·迪科斯彻提出的,可用来找出图中指定节点到其他节点间的最短距离。其主要思想是首先从源点求出长度最短的一条路径,然后通过对路径长度迭代得到从源点到其他各目标节点的最短路径。具体求解过程如下: 设 wj 是从源点 s 到节点 j 的最短路径长度 pj 是从 s 到的最短路径中 j 点的前一节点。是标识集合。是未标识集合是节点集合。dij 是节点 i 到节点 j 的距离(i 与 j 直接相连,否则 )。
(1)S={s}；T=M-S；wj=ds；( 相连)。
,s 与 j 直接相连)或
,s 与 j 不直接
(2)在 T 找节点 i， s 到 i 的距离最小，使并将 i 划归到 S(可从与 s 直接相连的 j 中考虑)。若 d_{ai}=mind_{aj}(i\inT),j 与 s 直接相连,则将划归到中,即,,二修改中节点的值,若值改变,则。 (3)修改 T 中 j 节点的 w_j 值:wj = min(wj,wi + dij) ；若 wj 值改变,则
pj = i。 (4)选定所有的 wj 最小值,并将其划归到 S 中这样就得到一个与供应商、工厂及用户间的最短距离,在费用、时间等方面的花费也相对要小得多,故可以将该物流中心选在该点处。 wi = minwj( 转人步骤(3)。 Dijkstra 算法通用性强,既可以解决单源点间的最短路径问题,也可解决所有点对之间的最短路径问题,且编程简单。将物流中心选在与所有点对距离最近的那个点即可。三、路径分析设计实际生活中,城市道路网的表现形式一般为数字化的矢量地图,其网络空间特征的交叉路口坐标和道路位置坐标借助于地图上的图形来识别和解释的。要对城市道路网运用 Dijkstra 算法求解最短路径,首先必须抽象城市道路网络为网络图论中的网络图,另外,系统要求计算道路上任意两点间的最短路径,而传统 Dijkstra 算法求解范围局限于任意网络节点间, 不能满足要求,必须进行改进。 1.系统工作流程设计随着城市建设的加快,城市道路网络经常发生变化,为避免经常改写代码,增强程序的健壮性和提高最短路径分析的运算效率,系统一般直接从拓扑文件提取道路网的网络拓扑结构 )； {i}；T=T{i}；若 ,所有节点已标识,则算法终止,否则,

并加载到内存中,一旦道路更新后,仅需重新抽象城市道路网络为网络图并生成拓扑文件即可。 (1)抽象城市道路为网络图。首先对城市道路进行编辑处理,使其与实际道路相符合,并进行拓扑检查,生成线与线相互交叉的道路图然后创建城市道路拓扑,拓扑关系构建了相邻弧段和结点之间的关系最后生成道路网络拓扑文件,文件中定义了共属性特征如弧段的起始节点、终止节点,弧段长度等,为最短路径计算准备数据。
(2)最短路径求解。首先读取城市道路网络图然后系统根据屏幕输入坐标,寻找道路网中的最近点作为最短路径分析的起点和终点,利用算法计算满足条件的弧段,并依顺序连接所有弧段最后裁剪起终点两端的多余部分,返回最短路径。 (3)最短路径显示与漫游。 Skyline 中通过程序接口读取计算结果,并在三维场景中进行显示和设定为路径,系统提供模型角色沿路径进行漫游浏览。算法计算满足条件的弧段,并依顺序连接所有弧段最后裁剪起终点两端的多余部分,返回最短路径。最短路径显示与漫游。中通过程序接口读取计算结果,并在三维场景中进行显示和设定为路径,系统提供模型角色沿路径进行漫游浏览。 2.数据存储结构设计 ArcGIS 是 ESRI 公司开发的一套完整的 GIS 应用产品,它通过对地理现象、事件及其关系进行可视化表达,构建特定的应用,提升工作效率。系统通过它进行城市道路的拓扑创建工作,并生成拓扑文件,把城市道路网抽象为关系图。系统借助 ArcGIS 的开发引擎 ArcEngine 快速访问道路拓扑图,并创建以下几个类完成网络关系图的存储及最短路径计算,如表所示。

四、路径效果分析随着 3S 技术的飞速发展,“数字城市”成为更高层次的追求,人们越来越多地要求从三位空间处理问题。建立以配送为中心的物流服务体系。配送是商品市场发展的产物随着大批量、少批次的物流配送活动逐步被小批量、多批次所取代,个性化、多样化的市场需求越来越占有更多的市场份额,配送已成为电子商务时代物流活动的中心环节和最终目的。因此,一系列物流活动必须围绕组织配送表现出活跃的市场机制。物流企业内部的所有部门和人员都应面向配送、面向市场、面向客户。此外,物流企业要改变单一送货的观念,协助电子商务公司完成售后服务,提供更多的增值服务。内容,如跟踪产品订单、提供销售统计和报表等。只有这样才能紧跟电子商务的步伐,不被市场所淘汰。物流配送时使用最短路径分析的算法设计。使得在配送时能够选择到配送点最短路径, 降低配送成本。通过多次实验表明采用该算法准确、可靠,为路径分析在物流中的应用进一步扩展奠定了基础。 [编辑]
参考文献
1. ↑ 凡金伟,吕康.基于 Dijkstra 算法在物流配送中的应用[J].电脑编程技巧与维护,2009,(04)

最短路径的Dijkstra算法及Matlab程序

两个指定顶点之间的最短路径问题如下：给出了一个连接若干个城镇的铁路网络，在这个网络的两个指定城镇间，找一条最短铁路线。以各城镇为图G 的顶点，两城镇间的直通铁路为图G 相应两顶点间的边，得图G 。对G 的每一边e ，赋以一个实数)(e w —直通铁路的长度，称为e 的权，得到赋权图G 。G 的子图的权是指子图的各边的权和。问题就是求赋权图G 中指定的两个顶点00,v u 间的具最小权的轨。这条轨叫做00,v u 间的最短路，它的权叫做00,v u 间的距离，亦记作),(00v u d 。求最短路已有成熟的算法：迪克斯特拉（Dijkstra ）算法，其基本思想是按距0u 从近到远为顺序，依次求得0u 到G 的各顶点的最短路和距离，直至0v （或直至G 的所有顶点），算法结束。为避免重复并保留每一步的计算信息，采用了标号算法。下面是该算法。 (i) 令0)(0=u l ，对0u v ≠，令∞=)(v l ，}{00u S =，0=i 。 (ii) 对每个i S v ∈（i i S V S \=），用 )}()(),({min uv w u l v l i S u +∈ 代替)(v l 。计算)}({min v l i S v ∈，把达到这个最小值的一个顶点记为1+i u ，令}{11++=i i i u S S 。 (iii). 若1||-=V i ，停止；若1||-

Dijkstra算法

5.3.4 附录E 最短路径算法——Dijkstra 算法在路由选择算法中都要用到求最短路径算法。最出名的求最短路径算法有两个，即Bellman-Ford 算法和Dijkstra 算法。这两种算法的思路不同，但得出的结果是相同的。我们在下面只介绍Dijkstra 算法，它的已知条件是整个网络拓扑和各链路的长度。应注意到，若将已知的各链路长度改为链路时延或费用，这就相当于求任意两结点之间具有最小时延或最小费用的路径。因此，求最短路径的算法具有普遍的应用价值。令v 部分：不直接相连与结点若结点 1 v ? ?∞在用计算机进行求解时，可以用一个比任何路径长度大得多的数值代替∞。对于上述例子，可以使D (v ) = 99。 (2) 寻找一个不在N 中的结点w ，其D (w )值为最小。把w 加入到N 中。然后对所有不在N 中的结点v ，用[D (v ), D (w ) + l (w , v )]中的较小的值去更新原有的D (v )值，即： D (v )←Min[D (v ), D (w ) + l (w , v )] (E-1) (3) 重复步骤(2)，直到所有的网络结点都在N 中为止。表E-1是对图E-1的网络进行求解的详细步骤。可以看出，上述的步骤(2)共执行了5次。表中带圆圈的数字是在每一次执行步骤(2)时所寻找的具有最小值的D (w ) 值。当第5次执行步骤(2)并得出了结果后，所有网络结点都已包含在N 之中，整个算法即告结束。表E-1 计算图E-1的网络的最短路径

现在我们对以上的最短路径树的找出过程进行一些解释。因为选择了结点1为源结点，因此一开始在集合N中只有结点1。结点1只和结点2, 3和4直接相连，因此在初始化时，在D(2)，D(3)和D(4)下面就填入结点1到这些结点相应的距离，而在D(5)和D(6)下面填入∞。下面执行步骤1。在结点1以外的结点中，找出一个距结点1最近的结点w，这应当是w = 4，因为在D(2)，D(3)和D(4)中，D(4) = 1，它的之值最小。于是将结点4加入到结点集合N中。这时，我们在步骤1这一行和D(4)这一列下面写入①，数字1表示结点4到结点1的距离，数字1的圆圈表示结点4在这个步骤加入到结点集合N中了。接着就要对所有不在集合N中的结点（即结点2, 3, 5和6）逐个执行（E-1）式。对于结点2，原来的D(2) = 2。现在D(w) + l(w, v) = D(4) + l(4, 2) = 1 + 2 = 3 > D(2)。因此结点2到结点1距离不变，仍为2。对于结点3，原来的D(3) = 5。现在D(w) + l(w, v) = D(4) + l(4, 3) = 1 + 3 = 4 < D(3)。因此结点3到结点1的距离要更新，从5减小到4。对于结点5，原来的D(5) = ∞。现在D(w) + l(w, v) = D(4) + l(4, 5) = 1 + 1 = 2 < D(5)。因此结点5到结点1的距离要更新，从∞减小到2。对于结点6，现在到结点1的距离仍为∞。步骤1的计算到此就结束了。下面执行步骤2。在结点1和4以外的结点中，找出一个距结点1最近的结点w。现在有两个结点（结点2和5）到结点1的距离一样，都是2。我们选择结点5（当然也可以选择结点2，最后得出的结果还是一样的）。以后的详细步骤这里就省略了，读者可以自行完 1的路由表。此路由表指出对于发往某个目的结点的分组，从结点1发出后的下一跳结点（在算法中常称为“后继结点”）和距离。当然，像这样的路由表，在所有其他各结点中都有一个。但这就需要分别以这些结点为源结点，重新执行算法，然后才能找出以这个结点为根的最短路径树和相应的路由表。

dijkstra算法

迪克斯特拉算法：迪杰斯特拉算法(Dijkstra)是由荷兰计算机科学家狄克斯特拉于1959年提出的，因此又叫狄克斯特拉算法。是从一个顶点到其余各顶点的最短路径算法，解决的是有权图中最短路径问题。迪杰斯特拉算法主要特点是从起始点开始，采用贪心算法的策略，每次遍历到始点距离最近且未访问过的顶点的邻接节点，直到扩展到终点为止。定义： Dijkstra算法一般的表述通常有两种方式，一种用永久和临时标号方式，一种是用OPEN,CLOSE表的方式，这里均采用永久和临时标号的方式。注意该算法要求图中不存在负权边。算法思想：按路径长度递增次序产生算法：把顶点集合V分成两组：（1）S：已求出的顶点的集合（初始时只含有源点V0）（2）V-S=T：尚未确定的顶点集合将T中顶点按递增的次序加入到S中，保证：（1）从源点V0到S中其他各顶点的长度都不大于从V0到T 中任何顶点的最短路径长度（2）每个顶点对应一个距离值 S中顶点：从V0到此顶点的长度 T中顶点：从V0到此顶点的只包括S中顶点作中间顶点的最短路径长度

依据：可以证明V0到T中顶点Vk的，或是从V0到Vk的直接路径的权值；或是从V0经S中顶点到Vk的路径权值之和。（反证法可证）求最短路径步骤算法步骤如下： G={V,E} 1.初始时令S={V0},T=V-S={其余顶点}，T中顶点对应的距离值若存在，d(V0,Vi)为弧上的权值若不存在，d(V0,Vi)为∞ 2.从T中选取一个与S中顶点有关联边且权值最小的顶点W，加入到S中 3.对其余T中顶点的距离值进行修改：若加进W作中间顶点，从V0到Vi的距离值缩短，则修改此距离值重复上述步骤2、3，直到S中包含所有顶点，即W=Vi为止

Dijkstra最短路径算法

不直接相连与结点若结点直接相连与结点若结点 1 1 ),1()(v v v l v D ? ? ?∞= 在用计算机进行求解时，可以用一个比任何路径长度大得多的数值代替∞。对于上述例子，可以使D (v ) = 99。 (2) 寻找一个不在N 中的结点w ，其D (w )值为最小。把w 加入到N 中。然后对所有不在N 中的结点v ，用[D (v ), D (w ) + l (w , v )]中的较小的值去更新原有的D (v )值，即： D (v )←Min[D (v ), D (w ) + l (w , v )] (E-1) (3) 重复步骤(2)，直到所有的网络结点都在N 中为止。表E-1是对图E-1的网络进行求解的详细步骤。可以看出，上述的步骤(2)共执行了5次。表中带圆圈的数字是在每一次执行步骤(2)时所寻找的具有最小值的D (w ) 值。当第5次执行步骤(2)并得出了结果后，所有网络结点都已包含在N 之中，整个算法即告结束。表E-1 计算图E-1的网络的最短路径

DIJKSTRA算法详细讲解

最短路径之Dijkstra算法详细讲解１最短路径算法在日常生活中，我们如果需要常常往返A地区和B地区之间，我们最希望知道的可能是从A地区到B地区间的众多路径中，那一条路径的路途最短。最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。算法具体的形式包括：（１）确定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题。（２）确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。（３）确定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。（４）全局最短路径问题：求图中所有的最短路径。用于解决最短路径问题的算法被称做“最短路径算法”，有时被简称作“路径算法”。最常用的路径算法有：Dijkstra算法、A*算法、Bellman-Ford算法、Floyd-Warshall算法、Johnson算法。本文主要研究Dijkstra算法的单源算法。２Dijkstra算法 2.1Dijkstra算法 Dijkstra算法是典型最短路算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。 Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。 2.2Dijkstra算法思想 Dijkstra算法思想为：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径,就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U 表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S 中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。 2.3Dijkstra算法具体步骤

Dijkstra算法

最短路径—Dijkstra算法 Dijkstra算法 1.定义概览 Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。注意该算法要求图中不存在负权边。问题描述：在无向图G=(V,E) 中，假设每条边E[i] 的长度为w[i]，找到由顶点V0 到其余各点的最短路径。（单源最短路径） 2.算法描述 1)算法思想：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S 中只有一个源点，以后每求得一条最短路径, 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。 2)算法步骤： a.初始时，S只包含源点，即S＝{v}，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，即:U={其余顶点}，若v与U中顶点u有边，则正常有权值，若u不是v的出边邻接点，则权值为∞。 b.从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。 c.以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。 d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。 GPSR路由协议：（车载自组织网络中自适应路由协议研究_李诗雨） 2>基于地理位置的路由随着科技的发展，现在的车辆通常都会具有全球定位系统，利用这个系统，车辆可以随时随地查找出自己的地理坐标。于是越来越多的学者开始利用这些定位系统来制定新的路由，如Greedy Perimeter Stateless Routing(GPSR)}ZO}。GPSR 是影响最广和应用范围最大的一个路由协议。它脱离了传统路由协议需要维护一个全局静态路由，需要时刻去查看该路由的有效性的方式，而开始将更多的注意力放到车辆四周的临近车辆，只依赖它们进行短距离的路由计算。在GPSR协议中[[21]，网络节点都可以通过GPS等方法获取自身的地理位置，源节点在发送数据时会在报文里加入目的节点的GPS坐标，在后面每一跳节点都会查找自己的邻居车辆，在其中找到一个距离目的节点在地理位置上最近的节点作为下一跳节点。

Dijkstra算法

Dijkstra算法C代码

#include "stdio.h" #include "stdlib.h" #define M 10000 int dist[M] = {0},fa[M] = {0},visit[M] = {0}; int g[M][M] = {0}; int n,start,end; int findmin(){ int i,flag; int min = 987654321; for( i = 1 ; i<= n ; i++ ) if( visit[i] == 0 && dist[i] < min && dist[i] != 0){ min = dist[i]; flag = i; } return flag; } int Dijkstra(){ int i,j,pos; for( i = 1 ; i <= n ; i++ ){ dist[i] = g[start][i]; if( dist[i] == 123456789 ) fa[i] = i;

else fa[i] = start; } visit[start] = 1; for( i = 1 ; i <= n ; i++ ){ pos = 0; pos = findmin(); if(pos == 0) break; visit[pos] = 1; for( j = 1 ; j <= n ; j++ ) if( visit[j] == 0 && dist[j] > dist[pos] + g[pos][j] ){ dist[j] = dist[pos] + g[pos][j]; fa[j] = pos; } } } int main(){ int i,j; int p; scanf("%d%d%d",&n,&start,&end); for( i = 1 ; i <= n ; i++ )

Dijkstra算法详细讲解

D i j k s t r a算法详细讲解 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020

最短路径之D i j k s t r a算法详细讲解１最短路径算法在日常生活中，我们如果需要常常往返A地区和B地区之间，我们最希望知道的可能是从A地区到B地区间的众多路径中，那一条路径的路途最短。最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。算法具体的形式包括：（１）确定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题。（２）确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。（３）确定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。（４）全局最短路径问题：求图中所有的最短路径。用于解决最短路径问题的算法被称做“最短路径算法”，有时被简称作“路径算法”。最常用的路径算法有：Dijkstra算法、A*算法、Bellman-Ford算法、Floyd-Warshall算法、Johnson算法。本文主要研究Dijkstra算法的单源算法。２ Dijkstra算法 2.1 Dijkstra算法 Dijkstra算法是典型最短路算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。 Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。 2.2 Dijkstra算法思想 Dijkstra算法思想为：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。 2.3 Dijkstra算法具体步骤

Dijkstra算法原理详细讲解

Dijkstra算法原理详细讲解如下图，设A为源点，求A到其他各顶点（B、C、D、E、F）的最短路径。线上所标注为相邻线段之间的距离，即权值。（注：此图为随意所画，其相邻顶点间的距离与图中的目视长度不能一一对等）算法执行步骤如下表：

Dijkstra算法的完整实现版本之算法的源代码样例图: 输入格式: 输出格式:

输入时，将s,t,x,y,z五个点按照1,2,3,4,5起别名，输入格式按照下图例所示当提示Please enter the vertex where Dijkstra algorithm starts:时输入算法的起始点比如计算结果v1v4v2表示从点1到点2经过1，4，2为最短路径 Dijkstra算法的完整实现版本，算法的源代码 /* Dijkstra.c Copyright (c) 2002, 2006 by ctu_85 All Rights Reserved. */ #include "stdio.h" #include "malloc.h" #define maxium 32767 #define maxver 9 /*defines the max number of vertexs which the programm can handle*/ #define OK 1 struct Point { char vertex[3]; struct Link *work; struct Point *next; }; struct Link { char vertex[3]; int value; struct Link *next; }; struct Table /*the workbannch of the algorithm*/ { int cost; int Known; char vertex[3];

Dijkstra算法详细讲解资料整理

２ Dijkstra算法 2.1 Dijkstra算法 Dijkstra算法是典型最短路算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。 Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。 2.2 Dijkstra算法思想 Dijkstra算法思想为：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。 2.3 Dijkstra算法具体步骤

Dijkstra算法描述

Dijkstra算法描述目录一、算法概述 (2) 二、算法原理及计算 (2) 2.1算法原理 (2) 2.2计算过程 (2) 2.3改进的算法（Dijkstra-like）分析 (5) 三、源码分析 (5) 四、接口调用 (6)

一、算法概述 Dijkstra（迪杰斯特拉）算法是典型的单源最短路径计算算法，用于解决源点到所有结点最短路径计算的问题，它采用了分治和贪心（动态规划的特殊形式）的思想搜索全局最优解。本系统采用了主流、开源的JA V A图论库——Jgrapht来解决源点到终点间所有可能路径输出的问题，它的核心计算引擎采用了一种Dijkstra-like算法，由经典的Dijkstra（迪杰斯特拉）算法演化和改进而来。二、算法原理及计算 2.1算法原理 Dijkstra算法思想为：设(,) = 是带权有向图，V代表图中顶点集合，E G V E 代表图中含权重的边集合。将全部顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合，用S表示（初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径，就将该路径的终点加入到集合S中）；第二组为其余待确定最短路径的顶点集合，用U表示。按最短路径长度的递增次序依次把U集合的顶点逐个加入到S集合中，约束条件是保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。算法的终止条件是集合U为空集，即集合U的顶点全部加入到集合S中。 2.2计算过程以图1为例讨论Dijkstra算法的计算过程，即计算某源点到网络上其余各结点的最短路径，设源点为①，逐步搜索，每次找出一个结点到源点①的最短路径，直至完成所有结点的计算。

Dijkstra算法应用举例

Dijkstra 算法应用举例 20061002516 张昕 123062 16 某城市部分街道如下图所示求1v 到其他点的最短距离。源程序如下 #include #include #define TRUE 1 #define FALSE 0 #define MAXV 100 #define MAXDEGREE 50 #define MAXINT 100007 int parent[MAXV]; typedef struct { int v; int weight; } edge; typedef struct { edge edges[MAXV+1][MAXDEGREE]; int degree[MAXV+1];

int nvertices; int nedges; } graph; initialize_graph(graph* g) { int i; g -> nvertices = 0; g -> nedges = 0; for (i=1; i<=MAXV; i++) g->degree[i] = 0; } insert_edge(graph* g,int x,int y,int directed,int w) { if (g->degree[x] > MAXDEGREE) printf("Warning: insertion(%d,%d) exceeds degree bound\n",x,y); g->edges[x][g->degree[x]].v = y; g->edges[x][g->degree[x]].weight = w; g->degree[x] ++; if (directed == FALSE) insert_edge(g,y,x,TRUE,w); else g->nedges ++; } read_graph(graph* g,int directed) { int i; int m; int x,y,w; initialize_graph(g); char* m_n = "8 12";

Dijkstra算法实现与分析

Dijkstra’s算法设计与分析实验 1．Dijkstra’s算法:的实现。注：本算法来自教材（英文版），在此就省略了，只给出具体实现的程序代码，采用Microsoft Visual C++ 6.0实现，并且图的存储结构为邻接表。 ①本项目的组成结构如图所示 ②各对应模块的功能如下： asjacent(VNOde v,int a)：判断二接点是否相邻。 belong(int A[],int n,int p): 判断一个元素是否在指定数组中。 dijkstra(Vnode G[],int n):求最短路径问题的函数。 length(Vnode v,int a): 找出二相邻接点的长度。 main():主函数。 min(int r[],int Y[],int n):找出最小的元素的下标. shanchu(int A[],int sum,int p):删除数组中值为p的元素(覆盖). ③对应完整程序： #include #include #define N 6 // 图的接点个数 typedef struct ANode { int adjvex; struct ANode *nextarc; int distance; //边的长度 }ArcNode; typedef struct Vnode { ArcNode *firstarc; }VNode; int adjacent(VNode v,int a) //判断二接点是否相邻 { ArcNode *arc=v.firstarc; while(arc!=NULL) { if(arc->adjvex==a) return 1;

基本的dijkstra算法

基本的dijkstra算法是求单源点到其余各点的最短路径，下面的dijkstra可以返回两个顶点之间的最短路径。返回数组里储存的是从起始顶点到结束顶点的最短路径经过的点的顺序。 package DijkstraJingxi; public class Dijkstra{ public void dijkstra(int n, int v, int dist[], int prev[],int[][] c){ int maxint = Integer.MAX_VALUE; // 表示最大整数上限 boolean[] s = new boolean[n]; //记录该点是否被访问过 for(int i = 0; i < n; i++){ dist[i] = c[v][i]; //目的地点初始化 s[i] = false; //记录第i个点是否被访问过，初始化为false； if(dist[i] == maxint){ prev[i] = 0; } else{ prev[i] = v; //起始点 } } dist[v] = 0; s[v] = true; //被访问过 for(int i = 0; i < n+1; i++){ int temp = maxint; int u = v; for(int j = 0; j < n; j++){ if((!s[j]) && (dist[j] < temp)){ u = j; //得到最短路径的终点 temp = dist[j]; } } s[u] = true; for(int j = 0; j < n; j++){ if((!s[j]) && (c[u][j] < maxint)){ int newdist = dist[u] + c[u][j]; if (newdist < dist[j]){ dist[j] = newdist; //新的最短路径 prev[j] = u; //最短路径的上一个点 } } } } } public int[] shortestPath(Graphm G, int v1, int v2){

Dijkstra算法的流程图

需求和规格说明： Dijkstra算法是典型最短路算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。算法本身并不是按照我们的思维习惯——求解从原点到第一个点的最短路径，再到第二个点的最短路径，直至最后求解完成到第n个点的最短路径，而是求解从原点出发的各有向路径的从小到大的排列，但是算法最终确实得到了从原点到图中其余各点的最短路径，可以说这是个副产品，对于算法的终结条件也应该以求得了原点到图中其余各点的最短路径为宜。清楚了算法的这种巧妙构思后，理解算法本身就不是难题了。实现注释：想要实现的功能： Dijkstra算法是用来求任意两个顶点之间的最短路径。在该实验中，我们用邻接矩阵来存储图。在该程序中设置一个二维数组来存储任意两个顶点之间的边的权值。用户可以将任意一个图的信息通过键盘输入，让后在输入要查找的两个顶点，程序可以自动求出这两个顶点之间的最短路径。已经实现的功能：在该实验中，我们用邻接矩阵来存储图。在该程序中设置一个全局变量的二维数组，用它来存储任意两个顶点之间的边的权值。然后通过最短路径的计算，输入从任意两个顶点之间的最短路径的大小。

用户手册：对于改程序，不需要客户进行什么复杂的输入，关键是用来存放图的任意两个顶点之间的边的权值的二维数组的初始化，即将要通过Dijkstra算法求最短路径的图各条边的权值放入二维数组中。这样程序就可以自动的计算出任意两个顶点之间的最短路径并且进行输出。设计思想： s为源，w[u，v] 为点u 和v 之间的边的长度，结果保存在dist[] 初始化：源的距离dist[s]设为0，其他的点距离设为无穷大，同时把所有的点状态设为没有扩展过。循环n-1次： 1. 在没有扩展过的点中取一距离最小的点u，并将其状态设为已扩展。 2. 对于每个与u相邻的点v，如果dist[u] + w[u，v] < dist[v]，那么把dist[v]更新成更短的距离dist[u] + w[u，v]。此时到点v的最短路径上，前一个节点即为u。结束：此时对于任意的u，dist[u]就是s到u的距离。

暴强Dijkstra算法求任意两点间最短路径

效果展示：开头输入的是点的序列号（表示第几个点），显示的是最短路径的走法（同样以点的序列号显示，表示途径的第几个点）。 %编写m文件 function [distance,path]=dijkstra(A,s,e) % [DISTANCE,PATH]=DIJKSTRA(A,S,E) % returns the distance and path between the start node and the end node. % % A: adjcent matrix % s: start node % e: end node % initialize n=size(A,1); % node number D=A(s,:); % distance vector path=[]; % path vector visit=ones(1,n); % node visibility visit(s)=0; % source node is unvisible parent=zeros(1,n); % parent node % the shortest distance for i=1:n-1 % BlueSet has n-1 nodes temp=zeros(1,n); count=0; for j=1:n if visit(j) temp=[temp(1:count) D(j)]; else temp=[temp(1:count) inf]; end count=count+1; end [value,index]=min(temp); j=index; visit(j)=0; for k=1:n if D(k)>D(j)+A(j,k) D(k)=D(j)+A(j,k); parent(k)=j; end

dijkstra算法的C语言实现

#include "stdafx.h" #include "stdio.h" #include #define N 6 #define MAX 9999 void Path(int *p,int v,int i) { int que[N]; int t=v; que[t++]=i; int tmp=p[i]; while(tmp!=v) { que[t]=tmp; t++; tmp=p[tmp]; } que[t]=v; for(int k=t;k>=1;--k) if(k!=1) printf("%d-->",que[k]); else { printf("%d",que[k]); printf("\n"); } } int main() { int cost[N][N]={ {MAX,MAX,MAX,MAX,MAX,MAX}, {MAX,MAX,10,MAX,30,100}, {MAX,MAX,MAX,50,MAX,MAX}, {MAX,MAX,MAX,MAX,MAX,10}, {MAX,MAX,MAX,20,MAX,60}, {MAX,MAX,MAX,MAX,MAX,MAX} }; int S[N]; int dist[N]; int p[N]; int i,j,u,min;

for(i=1;i%d:%d",i,dist[i]); printf("顶点遍历:"); Path(p,1,i); } system("pause"); }

Dijkstra算法详细讲解

D i j k s t r a算法详细讲解 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

最短路径之D i j k s t r a算法详细讲解? １?最短路径算法在日常生活中，我们如果需要常常往返A地区和B地区之间，我们最希望知道的可能是从A地区到B地区间的众多路径中，那一条路径的路途最短。最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。算法具体的形式包括：（１）确定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题。（２）确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。（３）确定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。（４）全局最短路径问题：求图中所有的最短路径。用于解决最短路径问题的算法被称做“最短路径算法”，有时被简称作“路径算法”。最常用的路径算法有：Dijkstra算法、A*算法、Bellman-Ford算法、Floyd-Warshall算法、Johnson算法。本文主要研究Dijkstra算法的单源算法。２?Dijkstra算法 Dijkstra算法

Dijkstra算法是典型最短路算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。 Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。 Dijkstra算法思想 Dijkstra算法思想为：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径,就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v 到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。 Dijkstra算法具体步骤（1）初始时，S只包含源点，即S＝，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，U中顶点u距离为边上的权（若v与u有边）或）（若u不是v的出边邻接点）。