两个变量之间的相关关系称为
统计学中，两个变量之间的相关关系被称为相关性。它是一种检测和研究变量间关系的方法，它可以帮助研究人员探索实验结果的数据。相关性测量两个变量的关联程度，帮助我们更多地了解被调查者中变量之间的因果关系，以及几种变量之间的结构关系。
相关性可以使企业在未来进行数据分析时，更好地推断某些事件发生的可能性。它可以帮助研究者更深入地了解被调查者中变量之间的潜在相关性，因此可以有效地预测变量未来变化的趋势。
相关性分析也可以检查多个变量之间的关系，因此有助于确定定义变量和被调查者之间的关系，进而确定这些变量的分类组合。另外，相关性分析还可以帮助企业识别出重要的变量，从而有效地预测业务结果。
总之，相关性可以说是统计学中一种重要的概念。它能够有效地识别和解释变量之间的关系，并为企业在未来数据分析中应用提供重要的参考。因此，我们可以看出，相关性对学习统计学和收集数据分析有着重要意义。
怎样分析变量间的关系
变量间的相关关系 一、变量间关系的度量 1.变量间的关系: 函数关系：（1）是一一对应的确定关系 （2）设有两个变量 相关关系：（1）变量间关系不能用函数关系精确表达（2）变量间存在着一定的客观规律 二、相关的种类 1．完全相关、不完全相关、不相关 2．正相关与负相关
3．线性相关与非线性相关 4．单相关与复相关 三、用图形来显示变量间的关系 做散点图 四、测度变量间的关系强度----计算相关系数 1． 相关系数的概念 是在线性相关的情况下，用来说明相关关系密切程度的统计分析指标。 2． 相关系数的计算： 3． 根据相关系数判断相关的程度 ()[]()[] ∑∑∑∑∑∑∑---=2222y y n x x n y x xy n γ
相关系数的取值是在+1和-1之间，即11+≤≤-r 。若10+≤≤r ，表示X 与Y 之间存在正的相关关系，若01≤≤-r ，表示X 与Y 之间存在负的相关关系；若r-+1，，表示X 、Y 之间为完全正相关关系，若r=-1，表示X 与Y 之间为完全负相关关系，当r=0时，表示Y 的取值与X 无关，即二者之间不存在线性相关关系，但不能说明两者之间没有任何关系。它们可能会存在非线性相关关系。 五、总体中也存在这样的关系吗？----假设检验 1． 为什么要对相关系数进行显著性检验？ 因为两个变量之间存在相关关系是根据样本计算出来得出的结论，这一结论是否正确还吸引仅仅系检验，相关系数是一个随机变量，由于是随机的，所以具有一定的偶然性，两个不相关的变量，其相关系数也可能较高，要从样本相关系数判断总体中是否也有这样的关系，则
第六章 相关与回归分析 一、单项选择题 1、两变量之间的相关关系称为： A 、单相关 B 、复相关 C 、多元相关 D 、不相关 2、随着物价的上涨，商品的需求量相应减少，则两者之间： A 、不相关 B 、存在正相关 C 、存在负相关 D 、存在完全相关 3、在相关分析中，要求相关的两变量： A 、都是随机变量 B 、都不是随机变量 C 、其中自变量是随机变量 D 、其中因变量是随机变量 4、当自变量x 值增加时，因变量y 值随之下降，则x 与y 存在着： A 、正相关关系 B 、负相关关系 C 、曲线相关关系 D 、直线相关关系 5、某税种的应交税金与应纳税额之间的关系为： A 、相关关系 B 、函数关系 C 、因果关系 D 、回归关系 6、在简单回归直线 bx a y +=?中，b 表示： A 、当x 增加一个单位时，y 增加的数值 B 、当y 增加一个单位时，x 增加的数值 C 、当x 增加一个单位时，y 平均增加的数值 D 、当y 增加一个单位时，y 平均增加的数值 7、判断现象之间相关关系密切程度的主要方法是： A 、对客观现象作定性分析 B 、编制相关表 C 、绘制相关图 D 、计算相关系数 8、相关系数的取值是： A 、10≤≤r 0 B 、11<<-r C 、0≥r D 、11≤≤-r 9、三个或三个以上变量之间的相关关系叫： A 、单相关 B 、复相关 C 、直线相关 D 、曲线相关
10、现象之间的相关程度越低，则相关系数越： A 、接近+1 B 、接近-1 C 、接近0 D 、接近∞ 11、下列根据两现象计算的相关系数r 中，相关程度较高的是： A 、r = 0.86 B 、r = -0.92 C 、r = 0.65 D 、r = -0.15 12、计算估计标准误差的依据是： A 、自变量的误差 B 、因变量的总误差 C 、因变量的回归误差 D 、因变量的剩余误差 13、相关系数： A 、只适用于曲线相关 B 、可用于直线，也可用于曲线相关 C 、只适用于直线相关 D 、不适用直线，也不适用于曲线相关 14、已知400)(2=-∑x x ，3000)(2=-∑y y ，1000))((-=--∑y y x x ，则相关系数应为： A 、0.925 B 、-0.913 C 、0.913 D 、0.957 15、每一吨铸件的成本y （元）与工人劳动生产率x （吨/人）之间的回归方程为 x y 5.0270?-=，这意味着劳动生产率每提高一个单位，成本就： A 、提高270元 B 、提高269. 5元 C 、降低0.5元 D 、提高0.5元 16、对居民收入x 与消费支出y 的几组数据配合出以下回归方程，哪个可能是正确的： A 、x y 5.0120?-= B 、x y 7.0125?+= C 、x y 5.0120?-= D 、x y 8.1125?+= 17、根据最小二乘法原理所配合的一元线性回归方程，是使： A 、∑=-0)(Y Y i B 、0)?(=-∑Y Y i C 、∑-)(Y Y i 为最小 D 、∑-2)?(Y Y i 为最小 18、在回归分析中，F 统计量主要是用来检验： A 、相关系数的显著性 B 、回归系数的显著性 C 、线性关系的显著性 D 、参数估计值的显著性 19、说明回归方程拟合程度的统计量是： A 、相关系数 B 、回归系数
2.3变量间的相关关系2. 3.1变量之间的相关关系2.3.2两个变量的线性相关
1．变量间的相关关系 (1)相关关系的定义 变量间确实存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有随机性的，那么这两个变量之间的关系叫做相关关系，两个变量之间的关系分为函数关系和相关关系． (2)散点图 将样本中n 个数据点(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )描在平面直角坐标系中得到的图形叫做散点图． (3)正相关与负相关 ①正相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，这种相关称为正相关． ②负相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关． 2．回归直线方程 (1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线． (2)线性回归方程：回归直线对应的方程叫做回归直线的方程，简称回归方程． (3)最小二乘法： 求线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^ 时，使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．
其中，b ^是线性回归方程的斜率，a ^ 是线性回归方程在y 轴上的截距． 1．下列两个变量具有相关关系的是( ) A ．角度和它的余弦值 B ．圆的半径和该圆的面积 C ．正n 边形的边数和它的内角和 D ．居民的收入与存款 D [A 、B 、C 中两变量是确定的函数关系．] 2.已知变量x ，y 之间具有线性相关关系，其散点图如图所示，则其回归方程可能为( )
A ．y ^ ＝1.5x ＋2 B ．y ^ ＝－1.5x ＋2 C ．y ^ ＝1.5x －2 D ．y ^ ＝－1.5x －2 B [由散点图知，变量x ，y 之间负相关，回归直线在y 轴上的截距为正数，故只有B 选项符合．] 3．5位学生的数学成绩和物理成绩如下表： A ．是函数关系 B ．是相关关系，但相关性很弱 C ．具有较好的相关关系，且是正相关 D ．具有较好的相关关系，且是负相关 C [数学成绩x 和物理成绩y 的散点图如图所示．
教育心理学名词解释 1、教育心理学：是在心理学与教育相结合的过程中逐渐形成和发展起来的一门应用科学，是心理学的一个独立分支。它是研究学校教育过程中学生的学习活动及与之相关的心理现象及其规律的科学。它涉及学校教育过程中的一切心理现象和规律。 2、叶克斯-多德森定律：动机过强时效率反而下降，只有保持中等强度的动机水平，学习效率才最高。 3、实验研究：它是在某种控制情境中探究自变量与因变量之间关系的一种方法。 4、相关研究：研究者并不创造某种情境，只是对自然界发生的一些变量之间的关系进行观察，从而得出两个变量理否相关的结论。 两个变量之间的相关关系可分为三种情况： （1）正相关。当一个变量增大时，另一个变量也增大。 （2）负相关。当一个变量增大时，另一个变量反而减少。 （3）零相关。当一个变量发生变化时，另一个变量保持不变。 5、描述性研究：不涉及探导两个或多个变量之间的关系，而只是对一些有趣的事件或现象进行描述，这类研究就是描述性研究。麦兹在1978年进行了一项观察与访谈相结合的描述性研究。 6、发展：指的是人类个体从诞生到死亡的整个生命过程中所发生的身心变化，即发展包括生理与心理两方面的发展。 7、生理发展：个体的生理发展，也叫生物因素的发展，指人类个体的生理结构与机能及其本能的变化。个体的生理发展过程是一种内发过程，即个体按照自身预定的程序和节奏而自然成熟、成长的过程。 8、心理发展：教育心理学研究的是狭义的个体心理发展，即个体从出生到心理成熟阶段所发生的积极的心理变化。 心理发展包含两种过程：一种是“渐进论”的观点，即认为从婴儿到成人的心理发展是一个逐渐积累的连续量变过程。另一种是“阶段论”的观点，即认为个体的心理发展不是一个连续量变的过程，而是经历一系列有着质的不同的发展阶段的非连续过程。 9、先天因素：是指个体出生时受之于父母的遗传素质。 后天因素：是指个体出生以后所接受的来自环境的各种影响。 10、自然成熟论：心理学家彪勒等人认为，心理发展的内部节奏与生物因素的自然成熟相联系，个体的心理发展是按生物因素自身预定的程序及节奏自然成熟的，外部环境只能在一定程度上加速或减慢心理发展的速度，而不能从根本上改变心理发展的内部节律。
“变量间的相关关系”中的核心概念和思想方法解读及教学建议 河北师范大学数学与信息科学学院程海奎 《变量间的相关关系》的主要内容为采用定性和定量相结合的方法研究变量之间的相关关系，主要研究线性相关关系．主要概念有“相关关系”、“散点图”、“回归直线和回归直线方程”、“相关系数”等．研究方法为先绘制散点图，直观表示观测数据，定性描述变量间相关关系的类型、方向、相关程度．然后应用最小二乘法确定变量间相关关系的具体表达形式，描述变量间的数量规律，并由一个变量的取值去推测另一个变量的取值． 这部分内容涉及到一些重要的统计思想和方法，对学生的学习和教师的教学都有一定的难度．本文就研究对象、核心概念、研究方法、统计思想及相关应用进行简单的解读，提出一些教学建议，希望对教学能提供一些帮助． 一、相关概念及统计思想方法 1．相关关系——变量间的不确定关系 两个变量之间的数量关系有两种不同的类型：一种是函数关系，一种是相关关系．当一个变量取一定的值时，另一个变量有确定的值与之对应，我们称这种关系为确定的函数关系．一般把作为影响因素的变量称为自变量，把与之对应变化的变量称为因变量． 当一个变量取一定的数值时，与之对应的另一个变量的值虽然不确定，但它按某种规律在一定的范围内变化，变量间的这种关系称为不确定性的相关关系．或者说两个变量之间确实存在某种关系，但不具备函数关系所要求的确定性． 函数关系和相关关系都是指两个变量之间的数量关系．函数关系是两个非随机变量之间的一种确定关系，是一种因果关系．而相关关系是两个变量之间的一种不确定的关系，这两个变量中至少有一个是随机变量．两个相关变量之间可能有内在联系（真实相关），也可能完全不存在内在联系（虚假相关）．之所以X和Y之间是相关关系，原因是变量X是影响变量Y的主要因素，但不是唯一因素，还有其他种种因素，而这些因素我们又不能完全把握．
第十三章双变量关联性分析 在医学研究中，常会观察到两个变量之间在数量上存在某种协同变化的关系，例如随着体内凝血酶浓度的升高，其凝血时间随之降低等。这类关系在统计学上称为两个随机变量之间的关联性。如何判断两变量间的关联性是否确实存在，以及如何描述关联的方向与密切程度是本章所要介绍的内容。需要指出的是，关联性只反映变量间数量上的关系，但数量上的关联并不表示专业上的因果关系，其是否反映了变量间的因果关系还需其他手段加以确认。本章介绍两个定量变量间的直线相关和两个分类变量间关联性的统计分析方法。 第一节直线相关 一、直线相关的概念及其统计描述 例13.1 某医师测量了15名正常成年人的体重(kg)与CT双肾体积(ml)大小，数据如表13.1所示。据此回答两变量是否有关联？其方向与密切程度如何？ 表13.1 15名正常成年人体重和双肾体积的测量值 编号体重(kg) 双肾体积(ml) 1 43 217.22 2 74 316.18 3 51 231.11 4 58 220.96 5 50 254.70 6 65 293.84 7 54 263.28 8 57 271.73 9 67 263.46 10 69 276.53 11 80 341.15 12 48 261.00 13 38 213.20 14 85 315.12 15 54 252.08 初步判断两变量间关系最直观有效的方法就是在平面直角坐标系中绘图，其中一个变量用x表示，另一变量用y表示，在平面直角坐标系中可绘制这些实测
点的分布情况，称为散点图(scatter plot)，如图13.1所示。 体重(kg) x 图13.115名正常成年人体重和双肾体积的散点图 由上图可见，两变量的散点分布大致呈直线趋势，其数量变化的方向相同。在统计学上两个随机变量之间呈直线趋势的关系被称为直线相关(linear correlation)，又称简单相关(simple correlation)，其性质可由图13.2所示散点图作直观说明。 (a) (b) (c) (d) 图13.2 常见的散点图 图13.2(a)、(b)中散点近似呈椭圆形分布，其变化趋势接近一直线，其中图13.2(a)中两变量同时增大或减小，变化趋势同向，称为正相关(positive correlation)。图13.2(b)中一个变量随着另一个变量的增大而减小，变化趋势相反，称为负相关(negative correlation)。如全部数据点恰好散布在一条直线上，称为完全相关，这种特殊情况在实际医学研究中并不存在。图13.2(c)中各点总的趋势杂乱无章或大致呈圆形散布，则该两变量间无相关，也称零相关(zero correlation)。图13.2(d)中各点散布也非直线趋势，亦属无相关，由于统计学中提到的相关通常是指直线相关，故无相关是指无直线关系，但可能存在非直线相关。 二、相关系数的意义及计算 双 肾 体 积 ( m l ) y x y
2.3 变量间的相关关系 知识结构 一、两个变量间的相关关系 1．变量间的相关关系 变量与变量间的关系常见的有两类：一类是确定的函数关系．如匀速直线运动中时间t 与路程s 的关系，正方形的边长a 与面积S 之间的关系；另一类是变量之间确定存在关系，但又没有函数关系所具有的确定性，它们的关系是带有随机性的，此时，我们称两个变量具有相关关系．例如，凭我们的学习经验可知，物理成绩与数学成绩有一定的关系，数学成绩的好坏会对物理成绩造成影响，但除此以外，还存在其他影响物理成绩的因素．例如，是否喜欢物理，用在物理学习上的时间等，也就是说数学成绩对物理成绩的影响不是一种确定的关系，我们称之为相关关系．对相关关系的理解应当注意以下几点：（1）相关关系是非确定性关系；（2）函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系；（3）在现实生活中，存在着大量的相关关系，相关关系是进行回归分析的基础，同时，也是散点图的基础． 2．正相关、负相关 具有相关关系的两个变量，如果一个变量的值由小到大时，另一个变量的值也由小到大，这种相关称为正相关；反之，一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关． 3．用散点图判断两个变量是否具有相关关系 在平面直角坐标系中描点，得到关于两个变量一组数据的图形，这样的图形叫做散点图，利用散点图，我们可以判断两个变量是否具有相关关系． 二、两个变量的线性相关 1．线性回归，回归直线 如果散点图中，相应于具有相关关系的两个变量所有观察值的数据点，分布在一条直线附近，我们就称之为这两个变量之间具有线性相关关系，这样的直线可以画出许多条，其中“最贴近”这些数据的一条，我们称之为回归直线． 2．用最小二乘法求回归直线方程 记回归直线方程为y ?=a+bx ，a,b 叫做回归系数，利用最小二乘法可以求得回归系数． ,)())((121 1 221∑∑∑∑====---=???????-=--=n i i n i i i n i i n i i i x x y y x x x b y a x n x y x n y x b 其中x =,1 ,11 1∑∑--=n i i n i i y n y x n 对回归直线的方程的推导，注意以下两点： （1）回归直线是数据点最贴近的直线，反映贴近程度的数据是：离差的平方和，即总离差Q=∑ -n i 1(y i -a-bx i )2 ，这样，回归直线就是所有直线中Q 取最小值的那一条，这种使“离差的平方和为最小”的方法叫做最小二乘法． （2）利用最小二乘法求回归系数a 、b 时，是将离差的平方和Q 转化为关于a 或b 的二次函数，利用二次函数知识求得的． 课外讨论 问题1：教材中已经解释了回归方程斜率与截距公式的计算推导原理，问题最后归结为 当a 、b 取何值时Q= ()2 1 ?∑--n i i y y 最小，你能推导出回归直线方程吗？
两个变量间的相关关系 变量间的相互关系有两种:一类是确定性的函数关系,如正方形的边长和面积的关系；另一类是变量间确实存在关系,但又不具备函数关系所要求的确定性,它们的关系是带有随机性的.例如,学生的总成绩和他的单科成绩,一般说来“总成绩高者,单科成绩也高”,我们说总成绩和单科成绩具有相关关系.相关关系又分为两种:(1)正相关:两个变量具有相同的变化趋势.(2)负相关:两个变量具有相反的变化趋势. 对相关关系的理解可以从下面三个角度把握： 相关关系的概念：自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性，则两个变量之间的关系叫做相关关系. 对相关关系的理解应当注意以下几点： 其一是相关关系与函数关系不同.因为函数关系是一种非常确定的关系，而相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系.而函数关系可以看成是两个非随机变量之间的关系.因此，不能把相关关系等同于函数关系. 相关关系与函数关系的异同点为： 相同点：均是指两个变量的关系. 不同点：函数关系是一种确定的关系；而相关关系是一种非确定关系.函数关系是自变量与函数值之间的关系,这种关系是两个非随机变量的关系；而相关关系是非随机变量与随机变量的关系. 其二是函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系.例如，有人发现，对于在校儿童，鞋的大小与阅读能力有很强的相关关系.然而，学会新词并不能使脚变大，而是涉及到第三个因素——年龄.当儿童长大一些，他们的阅读能力会提高而且由于长大脚也变大. 其三是在现实生活中存在着大量的相关关系，如何判断和描述相关关系，统计学发挥着非常重要的作用.变量之间的相关关系带有不确定性，这需要通过收集大量的数据，对数据进行统计分析，发现规律，才能作出科学的判断. 我们再来认识生活中的确定两个变量间的相关关系的两个例子： 【例1】“名师出高徒”可以解释为教师的水平越高,学生的水平也越高.那么,教师的水平与学生的水平成什么相关关系？你能举出更多的描述生活中的两个变量的相关关系的成语吗？ 解析:“名师出高徒”的意思是说有名的教师一定能教出高明的徒弟,通常情况下,高水平的教师有很大的趋势教出高水平的学生.所以,教师的水平与学生的水平成正相关关系.生活中这样的成语很多,如“龙生龙,凤生凤,老鼠的孩子会打洞”. 【例2】历史上,有人认为人们的着装与经济好坏有关系,着装越鲜艳,经济越景气.你认为着装与经济真的有这种相关关系吗？ 解析:人们的着装只能反映个人的爱好以及个人心情状况,与经济的好坏没有任何关系,并不能反映经济的景气与否.所以,着装与经济并没有“着装越鲜艳,经济越景气”这种相关关系.
变量间的相关关系 1、相关关系的理解 我们曾经研究过两个变量之间的函数关系：一个自变量对应着唯一的一个函数值，这两者之间是一种确定关系。生活中的任何两个变量之间是不是只有确定关系呢？如：学生成绩与教师水平之间存在着某种联系，但又不是必然联系，对于学生成绩与教师水平之间的这种不确定关系，我们称之为相关关系。这就是我们这节课要共同探讨的内容————变量间的相关关系。 例1、根据样本数据作出散点图，直观感知变量之间的相关关系。在研究相关关系前，先回忆一下函数的表示方法有哪些——列表，画图象，求解析式。下面我们就用这些方法来研究相关关系。看这样一组数据：在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中,研究人员获得了一组样本数据，根据样本数据,人体的脂肪含量与年龄之间有怎样的关系？ 结论：随着年龄增长，脂肪含量在增加。用x轴表示年龄，y轴表示脂肪。一组样本数据就对应着一个点。
2、散点图 这个图跟我们所学过的函数图象有区别，它叫作散点图。 3、判断正、负相关、线性相关： 请观察这4幅图，看有什么特点？ 图1呈上升趋势，图2呈下降趋势。这就像函数中的增函数和减函数。即一个变量从小到大，另一个变量也从小到大，或从大到小。对于图1中的两个变量的相关关系，我们称它为正相关。图2中的两个变量的相关关系，称为负相关。 后面两个图很乱，前面两个图中点的分布呈条状。从数学的角度来解释：即图1、2中的点的分布从整体上看大致在一条直线附近。我们称图1、2中的两个变量具有线性相关关系。这条直线叫做回归直线。图3、4中的两个变量是非线性相关关系 1、找回归直线 下面我们再来看一下年龄与脂肪的散点图， 图1 2 图图3 图4
社会统计学复习题 一、名词解释 1、社会统计学 2、中位数 3、众数 4、点估计：所谓点估计，就是根据样本数据算出一个单一的估计值，用它来估计总体的参数值。 5、区间估计：所谓区间估计，就是计算抽样平均误差，指出估计的可信程度，进而在点估计的基础上，确定总体参数的所在范围或区间。 6、置信区间：置信区间就是我们为了增加参数被估计到的信心而在点估计两边设置的估计区间。 7、消减误差比例：变量间的相关程度，可以用不知Y 与X 有关系时预测Y 的误差0E ，减去知道Y 与X 有关系时预测Y 的误差1E ，再将其化为比例来度量。将削减误差比例记为PRE 。 8、因果关系：变量之间的关系满足三个条件，才能断定是因果关系。1）连个变量有共变关系，即一个变量的变化会伴随着另一个变量的变化；2）两个变量之间的关系不是由其他因素形成的，即因变量的变化是由自变量的变化引起的；3）两个变量的产生和变化有明确的时间顺序，即一个在前，另一个在后，前者称为自变量，后者称为因变量。 9、正相关与负相关：正相关是指一个变量的值增加时，另一变量的值也增加；负相关是指一个变量的值增加时，另一变量的值却减少。 10、散点图：将相关表所示的各个有对应关系的数据在直角坐标系上画出来，以直观地观察X 与Y 的相互关系，即得相关图，又称散点图。 11、同序对：在观察X 序列时，如果看到i j X X <，在Y 中看到的是i j Y Y <，则称这一配对是同序对。 12、异序对：在观察X 序列时，如果看到i j X X <，在Y 中看到的是i j Y >Y ，则称这一配对是异序对。 13、大数定理：当我们的观察次数n 趋向无限时，随机事件可能转换为不可能事件或必然事件。即，在大量观察的前提下，观察结果具有稳定性。 二、选择题
第八章相关与回归分析 练习题 一、填空题 1.相关关系依影响因素的多少分为和；依相关方向不同分为和；依相关的表现形式不同分为和。 2．在判定现象相关关系密切程度时，主要用进行一般性判断，用进行数量上的说明。 3．两个变量之间的相关关系称为；在具有相关关系的两个变量中，当一个变量的数值由小变大，而另一个变量的数值却由大变小时，这两个变量之间的关系称为。 4．进行分析时，首先要确定哪个是自变量，哪个是因变量，在这一点上与分析不同。 5．估计标准误差是与之间的标准差，它是说明的综合指标。 6．相关系数的取值范围是。 7．完全相关即是关系，其相关系数为。 8．相关系数是用于反映条件下，两变量相关关系的密切程度和方向的统计指标。 9．直线相关系数等于零，说明两变量之间；直线相关系数等于1，说明两变量之间；直线相关系数等于-1，说明两变量之间。 10．对现象之间变量的研究，统计是从两个方面进行的，一方面是研究变量之间关系的，这种研究称为相关关系；另一方面是研究关于自变量和因变量之间的变动关系，用数学方程式表达，称为。 11．回归方程y=a+bx中的参数a是, b是。在统计中估计待定参数的常用方法是。 12．求两个变量之间非线性关系的回归线比较复杂，在许多情况下，非线性回归问题可以通过化成来解决。 13．用来说明回归方程代表性大小的统计分析指标是。 二、单项选择题 l. 相关分析研究的是( )。 A.变量间的相互依存关系 B．变量间的因果关系 C.变量间严格的一一对应关系 D.变量间的线性关系 2．下列情况中称为正相关的是( ) A.随一个变量增加，另一个变量减少 B.随一个变量减少，另一个变量增加 C.随一个变量增加，另一个变量相应增加 D.随一个变量增加，另一个变量不变 3．相关系数的取值范围是( )。 A.一1＜r＜1 B.0＜r＜1 C．一l≤r≤1 D． r＞1 4．相关系数等于零表明两个变量( )。 A.是严格的函数关系 B.不存在相关关系 C.不存在线性相关关系 D.存在曲线相关关系 5．相关分析对资料的要求是( )。 A.两个变量均为随机的 B.两个变量均不是随机的 C.自变量是随机的，因变量不是随机的 D.自变量不是随机的，因变量是随机的 6.估计标准误差是反映( )。
1．相关关系的分类 从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关；点散布在从左上角到右下角的区域内，两个变量的这种相关关系称为负相关． 2．线性相关 从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线．3．回归方程 (1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离平方和最小的方法叫最小二乘法．(2)回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)，其回归方程为y^＝b^x＋a^，则b^，a^
其中，b是回归方程的斜率，a是在y轴上的截距． 4．样本相关系数 r＝ ∑ i＝1 n (x i－x)(y i－y) ∑ i＝1 n (x i－x)2∑ i＝1 n (y i－y)2 ，用它来衡 量两个变量间的线性相关关系． (1)当r＞0时，表明两个变量正相关； (2)当r＜0时，表明两个变量负相关； (3)r的绝对值越接近1，表明两个变量的线性相关性越强；r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常当|r|＞0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系． 5．线性回归模型
(1)y＝bx＋a＋e中，a、b称为模型的未知参数；e称为随机误差． (2)相关指数 用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是：R2＝，R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好．在线性回归模型中，R2表示解释变量对预报变量变化的贡献率，R2越接近于1，表示回归效果越好． 规律 (1)函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系．事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系． 注意 (1)回归分析是对具有相关关系的两个变量
变量间的相关关系讲义 一、基础知识梳理 知识点1：变量之间的相关关系 两个变量之间的关系可能是确定的关系（如：函数关系），或非确定性关系。当自变量取值一定时，因变量也确定，则为确定关系；当自变量取值一定时，因变量带有随机性，这种变量之间的关系称为相关关系。相关关系是一种非确定性关系，如长方体的高与体积之间的关系就是确定的函数关系，而人的身高与体重的关系，学生的数学成绩好坏与物理成绩的关系等都是相关关系。 注意：两个变量之间的相关关系又可分为线性相关和非线性相关，如果所有的样本点都落在某一函数曲线的附近，则变量之间具有相关关系（不确定性的关系），如果所有样本点都落在某一直线附近，那么变量之间具有线性相关关系，相关关系只说明两个变量在数量上的关系，不表明他们之间的因果关系，也可能是一种伴随关系。 点睛：两个变量相关关系与函数关系的区别和联系 相同点：两者均是两个变量之间的关系，不同点：函数关系是一种确定的关系，如匀速直线运动中时间t与路程s的关系，相关关系是一种非确定的关系，如一块农田的小麦产量与施肥量之间的关系，函数关系是两个随机变量之间的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系；函数关系式一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系。 知识点2.散点图. 1.在考虑两个量的关系时，为了对变量之间的关系有一个大致的了解，人们常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常称这种图为变量之间的散点图。 2.从散点图可以看出如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个集中的大致趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似，这种近似的过程称为曲线拟合。 3.对于相关关系的两个变量，如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的的值也由小变大，这种相关称为正相关，正相关时散点图的点散布在从左下角到由上角的区域内。 如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关，负相关时散点图的点散步在从左上角到右下角的区域。 注意：画散点图的关键是以成对的一组数据，分别为此点的横、纵坐标，在平面直角坐标系中把其找出来，其横纵坐标的单位长度的选取可以不同，应考虑数据分布的特征，散点图只是形象的描述点的分布，如果点的分布大致呈一种集中趋势，则两个变量可以初步判断具有相关关系，如图中数据大致分布在一条直线附近，则表示的关系是线性相关，如果两个变量统计数据的散点图呈现如下图所示的情况，则两个变量之间不具备相关关系，例如学生的身高和学生的英语成绩就没有相关关系。 点睛：散点图又称散点分布图，是以一个变量为横坐标，另一变量为纵坐标，利用散点（坐标点）的分布形态反映变量统计关系的一种图形。特点是能直观表现出影响因素和预测对象之间的总体关系趋势。优点是能通过直观醒目的图形方式反映变量间关系的变化形态，以便决定用何种数学表达方式来模拟变量之间的关系。散点图不仅可传递变量间关系类型的信息，也能反映变量间关系的明确程度 知识点3：回归直线 （1）回归直线的定义 如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线。 （2）回归直线的特征
表示两个变量之间的关系的三种方法 一、直接关系 直接关系是指两个变量之间存在着直接的因果关系或者正向的相关关系。在这种关系中，随着一个变量的增加，另一个变量也会相应地增加或减少。下面列举了几种常见的直接关系的表达方法： 1.变量A随着变量B的增加而增加。 2.变量A与变量B呈正相关关系。 3.变量A是变量B的原因之一。 直接关系的示例： - 温度升高，冰淇淋的销售量增加。 - 学习时间增加，考试成绩提高。 - 雨水增加，草地变得更绿。 二、间接关系 间接关系是指两个变量之间存在着中介或者相互作用的关系。在这种关系中，一个或多个额外的变量会影响两个主要变量之间的关系。下面是几种常见的间接关系表达方法： 1.变量A通过变量C间接地影响变量B。 2.变量A和变量B受到变量C的共同影响。 3.变量A和变量B之间存在着复杂的相互作用关系。 间接关系的示例： - 吃得更多的人更容易发胖，这可能是因为他们摄入了更多的卡路里。 - 高质量的教育可以提高人们的就业机会，进而改善经济发展。 - 一种药物可以通过改善睡眠质量来减轻焦虑症状。 三、无关关系 无关关系是指两个变量之间不存在任何明显的关联或者相关性。下面是几种常见的描述无关关系的表达方法： 1.变量A和变量B之间没有任何关系。 2.变量A的变化对变量B没有影响。 3.变量A和变量B是相互独立的。 无关关系的示例： - 过去的月份对今天的天气没有影响。 - 身高和人的智商之间没有明显的关系。 - 鞋子的颜色与一个人的性格没有关联。
总结 通过以上的介绍，我们可以看出，表示两个变量之间的关系可以采用直接关系、间接关系和无关关系的描述方法。这些描述方法能够帮助我们更清晰地理解和表达变量之间的关系。了解和掌握这些方法对于科研、数据分析以及日常生活中的决策制定都具有重要的意义。我们应该根据具体情况选择合适的描述方法，准确地反映变量之间的关系。
文档从互联网中收集，已重新修正排版，word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。 1如有帮助欢迎下载支持 第十章统计与统计案例、概率——变量间的相关关系 最新考纲： 1.利用散点图直观认识两个变量之间的线性关系； 2.了解最小二乘法的数学思想； 3.根据给出的线性回归方程的系数公式求解线性回归方程 一、主要知识： 1．两个变量的线性相关 (1)正相关：如果一个变量的值由小变大时另一个变量的值由小变大，这种相关称为正相关． (2)负相关：如果一个变量的值由小变大时另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关． (3)线性相关关系：如果散点图中点的分布从整体上看大致在 ，就称这两个变量之间具有线性相 关关系． 2．回归方程 (1)最小二乘法：求回归直线，使“离差平方和为最小”的方法叫作最小二乘法． (2)回归方程：方程y ^＝b ^x ＋a ^ 是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的回归方程，其中a ^，b ^是待定参数．b ^=__________________=____________________,a ^ =____________________ 二、基础训练： 1.下列两个变量间的关系，哪个不是函数关系 （ ） A.角度和它的正弦值 B.圆半径和圆的面积 C.正多边形的边数和内角度数之和 D.人的年龄和身高 2.下列两个变量中具有相关关系的是 （ ） A.正方形的体积与边长 B.匀速行驶的车辆的行驶距离与时间 C.人的身高与体重 D.人的身高与视力 3.在一次实验中，测得（x,y ）的四组值分别是 A(1，2) B(2，3) C(3，4) D(4，5) 则y 与x 之间的回归直线 方程为 ( ) A ˆy =x+1 B ˆy =x+2 C ˆy =2x+1 D ˆy =x-1 4．根据下表中的数据：可求出y 与x 的线性回归方程是 ____________________ 5、某产品的广告支出x （单位：万元）与销售收入y （单位：万元）之 间有下 表所对应的数据： (1) 画出表中数据的散点图 （2）求出y 对x 的回归直线方程 （3）若广告费为9万元，则销售收入约为多少万元？ 三、巩固训练： 1、在回归分析中，以下说法正确的的是（ ） A.自变量和因变量都是随机变量 B.自变量是随机变量，因变量是确定性变量 C.自变量是确定性变量，因变量是随机变量 D.自变量和因变量都是确定性变量 ( ) 2、已知x,y 之间的数据如下表所示，则 y 与 x 之间的线性回归方程过点 ( ) 3.设有一个回归方程为ˆ2 1.5y x =- 则变量x 增加一个单位时，y 平均减少 个单位。 4.以下是某地搜集到的房屋的销售价格y 和房屋的面积x 的数据 （3）据（2）的结果估计当房屋面积为150m 2 时的销售价格。 5、有一位同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出热饮杯数与当天气温的对比表： （ 3）求回归方程 ；（4）如果某天的气温是2 0 C 预测这天卖出的热饮杯数
第七章 相关关系分析法 一、填空题 1.按相关的程度，相关关系可分为完全相关、 相关和 相关。 2.按相关的方向，直线相关可分为 相关和 相关。 3.回归系数与相关系数的关系为b= 。 4.估计标准误差与相关系数的关系为y s = 。 5.相关系数的取值范围是 。 6.按相关关系涉及变量的多少，可分为 相关和 相关。 7.如果劳动生产率（千元/人）x 和工资的回归方程为:1070c y x =+,这表明劳动生产率每提高1千元/人,工资增加 元。 二、判断题 1.家庭的消费支出随着收入的增加而增加，则消费支出与收入之间呈正相关关系。( ) 2.当一个变量变动时，另一个变量也相应地发生大致均等的变动，这种相关关系称为非线性相关。( ) 3.正相关是两个变量的变动方向一致。( ) 4.两个变量之间的相关称为单相关。( ) 5.相关系数和估计标准误差的变化方向是相同的。( ) 6.相关系数的取值范围为：10≤≤r 。( ) 7.当两个变量之间是完全正相关时，则r=1。( ) 8.两个变量之间相关的程度越低，相关系数越接近0。( ) 9.当相关系数等于0时，说明两个变量之间没有相关关系。( ) 10.当相关系数等于0.8时, 说明两个变量之间是显著相关。( ) 三、单项选择题 1.若变量x 增加时，变量y 的值也增加，那么变量x 和变量y 之间存在着( ) 相关关系。 A.负 B.正 C.抛物线 D.指数曲线 2.如果两个变量之间的相关系数为-1，说明两个变量之间是( ) 相关关系。
A.无 B.低度 C.高度 D.完全 3.如果两个变量之间的相关系数为0.8，说明两个变量之间是( ) 相关关系。 A.完全 B.高度 C.显著 D.微弱 4.现象之间相互依存关系的程度越低，则相关系数越( )。 A.接近于0 B.接近于1 C.接近于-1 D.趋向于无穷大 5.相关系数的取值范围是( )。 A.01r ≤≤ B.10r -≤≤ C.r ＞0 D. 11r -≤≤ 6.用最小平方法配合直线方程，必须满足的一个基本条件是( )。 A.2()c y y -=∑最小值 B.()c y y -=∑最小值 C.2()c y y -=∑最大值 D.()c y y -=∑最大值 7.相关系数r 与估计标准误差y s 的关系是( )。 A.r 越大，y s 越大 B.r 越大，y s 越小 C.1r =时，1y s = D.两者没有关系 8.产品产量x （件）和单位成本y （元）之间的回归方程为602c y x =-。这意味着产品产量每增加1件，单位成本平均( )。 A.增加2元 B.增加58元 C.减少2元 D.减少58元 9.下列直线回归方程中，( )是错误的。 A.350.3c y x =+，r=0.8 B.124 1.4c y x =-+，r=0.89 C.18 2.2c y x =-，r=0.74 D.870.9c y x =--，r=-0.9 10.用最小平方法配合直线回归方程c y a bx =+，当( )时，a y =， 2 xy b x =∑∑ 。 A.()c y y -=∑0 B.2()c y y -=∑最小值 C.0x =∑ D.0y =∑ 四、多项选择题 1.按相关的表现形式不同，相关关系可分为（ ）。