第二章 力系的简化 习题解答 2-1在立方体的顶点A 、H 、B 、D 上分别作用四个力，大小均为F ，其中1F 沿AC ，2F 沿IG ， 3F 沿BE ，4F 沿DH 。试将此力系简化成最简形式。 解：各力均在与坐标平面平行的面内，且与所在平面的棱边成45°角。将力系向A 点简化，主矢'R F 在坐标轴上的投影为 045cos 45cos '21=-= F F F Rx ， F F F F F F Ry 245cos 45cos 45cos 45cos '4321=+-+= ， F F F F Rz 245cos 45cos '43=+= 。 用解析式表示为： ()k j F += F R 2' 设立方体的边长为a ，主矩A M 在坐标轴上的投影为 045cos 45cos 32=?+?-=a F a F M Ax ， Fa a F a F M Ay 245cos 45cos 42-=?-?-= ， Fa a F a F M Az 245cos 45cos 42=?+?= 。 用解析式表示为：()k j M +-= Fa A 2。因为，0'=?A R M F ，所以，主矢和主矩可以进一步简 化为一个力，即力系的合力。合力的大小和方向与主矢相同，'R R F F =；合力作用点的矢径为 () i M F r a F R R =?=2''， 所以，合力大小为2F ，方向沿对角线DH 。 2-2三力321,F F ,F 分别在三个坐标平面内，并分别与三坐标轴平行，但指向可正可负。距离 c b a ,,为已知。问：这三个力的大小满足什么关系时力系能简化为合力？又满足什么关系时能简化为 力螺旋？ 解：这力系的主矢为 k j i 321'F F F F R ++=； 对O 点的主矩为 k j i a F c F b F M O 213++=。 当主矢与主矩垂直时，力系能简化为合力。即从 0'=?O R M F 得， 0231231=++a F F c F F b F F ， 简化为 03 21=++F c F b F a 。 当主矢与主矩平行时，力系能简化为力螺旋，即从0=?O R M F ' 得， 2 31231aF F cF F bF F ==。 题2.2图
第2章 力系的等效与简化 2－1试求图示中力F 对O 点的矩。 解：（a ）l F F M F M F M M y O y O x O O ?==+=αsin )()()()(F （b ）l F M O ?=αsin )(F （c ）)(sin cos )()()(312l l Fl F F M F M M y O x O O +--=+=ααF （d ）2 22 1sin )()()()(l l F F M F M F M M y O y O x O O +==+=αF 2－2 图示正方体的边长a =0.5m ，其上作用的力F =100N ，求力F 对O 点的矩及对x 轴的力矩。 解：)(2 )()(j i k i F r F M +-? +=?=F a A O m kN )(36.35) (2 ?+--=+--= k j i k j i Fa m kN 36.35)(?-=F x M 2－3 曲拐手柄如图所示，已知作用于手柄上的力F =100N ，AB =100mm ，BC =400mm ，CD =200mm ， α = 30°。试求力F 对x 、y 、z 轴之矩。 解： )cos cos sin (sin )4.03.0()(2k j i k j F r F M αααα--?-=?=F D A k j i αααα22sin 30sin 40)sin 4.03.0(cos 100--+-= 力F 对x 、y 、z 轴之矩为： m N 3.43)2.03.0(350)sin 4.03.0(cos 100)(?-=+-=+-=ααF x M m N 10sin 40)(2?-=-=αF y M m N 5.7sin 30)(2?-=-=αF z M 2—4 正三棱柱的底面为等腰三角形，已知OA=OB =a ，在平面ABED 内沿对角线AE 有一个力F ， 图中θ =30°，试求此力对各坐标轴之矩。 习题2-1图 A r A 习题2-2图 （a ） 习题2-3图
第二章力系的简化 2-1．通过A（3，0，0），B（0，4，5）两点（长度单位为米），且由A指向B的力F，在z轴上投影为，对z轴的矩的大小为。 答：F/2；62F/5。 2-2．已知力F的大小，角度φ和θ，以及长方体的边长a，b，c，则力F在轴z和y上的投影：Fz= ；Fy= ；F对轴x的矩 M x(F)= 。 答：Fz=F·sinφ；Fy=－F·cosφ·cosφ；Mx（F）=F（b·sinφ+c·cosφ·cosθ） 图2－40 图2－41 2-3．力F通过A（3，4、0），B（0，4，4）两点（长度单位为米），若F=100N，则该力在x轴上的投影为，对x轴的矩为。 答：－60N； 2-4．正三棱柱的底面为等腰三角形，已知OA=OB=a，在平面ABED内有沿对角线AE的一个力F，图中α=30°，则此力对各坐标轴之矩为： M x（F）= ；M Y（F）= ；M z（F）= 。 答：M x（F）=0，M y（F）=－Fa/2；M z（F）=6Fa/4 2-5．已知力F的大小为60（N），则力F对x轴的矩为；对z轴的矩为。 答：M x（F）=160 N·cm；M z（F）=100 N·cm
图2－42 图2－43 2-6．试求图示中力F 对O 点的矩。 解：a: M O (F)=F l sin α b: M O (F)=F l sin α c: M O (F)=F(l 1+l 3)sin α+ F l 2cos α d: ()22 21l l F F M o +=αsin 2-7．图示力F=1000N ，求对于z 轴的力矩M z 。 题2－7图 题2－8图 2-8．在图示平面力系中，已知：F 1=10N ，F 2=40N ，F 3=40N ，M=30N ·m 。试求其合力，并画在图上（图中长度单位为米）。 解：将力系向O 点简化 R X =F 2－F 1=30N R V =－F 3=－40N ∴R=50N 主矩：Mo=（F 1+F 2+F 3）·3+M=300N ·m 合力的作用线至O 点的矩离 d=Mo/R=6m 合力的方向：cos （R ，）=，cos （R ，）=－
第二章力系的等效与简化 一、刚体和平衡的概念 刚体：在受力作用后而不产生变形的物体称为，刚体是对实际物体经过科学的抽象和简化而得到的一种理想模型。而当变形在所研究的问题中成为主要因素时（如在材料力学中研究变形杆件），一般就不能再把物体看作是刚体了。 平衡：指物体相对于地球保持静止或作匀速直线运动的状态。显然，平衡是机械运动的特殊形态，因为静止是暂时的、相对的，而运动才是永衡的、绝对的。 二、力系、等效力系、平衡力系 力系：作用在物体上的一组力。按照力系中各力作用线分布的不同形式， 力系可分为： （1）汇交力系力系中各力作用线汇交于一点； （2）力偶系力系中各力可以组成若干力偶或力系由若干力偶组成； （3）平行力系力系中各力作用线相互平行； （4）一般力系力系中各力作用线既不完全交于一点，也不完全相互平行。 按照各力作用线是否位于同一平面内，上述力系各自又可以分为平面力系和 空间力系两大类，如平面汇交力系、空间一般力系等等。 等效力系：两个力系对物体的作用效应相同，则称这两个力系互为等效力系。当一个力与一个力系等效时，则称该力为力系的合力；而该力系中的每一个力称为其合力的分力。把力系中的各个分力代换成合力的过程，称为力系的合成；反过来，把合力代换成若干分力的过程，称为力的分解。 平衡力系：若刚体在某力系作用下保持平衡。在平衡力系中，各力相互平衡，或者说，诸力对刚体产生的运动效应相互抵消。可见，平衡力系是对刚体作用效应等于零的力系。 第一节静力学基本公理 静力学公理是人们从实践中总结得出的最基本的力学规律，这些规律的正确性已为实践反复证明，是符合客观实际的。 一、二力平衡公理 作用于刚体上的两个力平衡的充分与必要条件是这两个力大小相等、方向相反、作用线相同。 这一结论是显而易见的。如图所示直杆，在杆的两端施加一对大小相等的拉力（F1、F2）或压力（F2、F1），均可使杆平衡。 图2-1 应当指出，该条件对于刚体来说是充分而且必要的；而对于变形体，该条件只是必要的而不充分。如柔索当受到两个等值、反向、共线的压力作用时就不能平衡。 在两个力作用下处于平衡的物体称为二力体；若为杆件，则称为二力杆。根据二力平衡公理可知，作用在二力体上的两个力，它们必通过两个力作用点的连线（与杆件的形状无关）且等值、反向。
第2章 力系的等效与简化 作用在实际物体上的力系各式各样，但是，都可用归纳为两大类：一类是力系中的所有力的作用线都位于同一平面内，这类力系称为平面力系；另一类是力系中的所有力的作用线位于不同的平面内，称为空间力系。这两类力系对物体所产生的运动效应是不同的。同一类力系，虽然其中所包含的力不会相同，却可能对同一物体产生相同的作用效应。在就是前一章中提到的力系等效的概念。 本章将在物理学的基础上，对力系的基本特征量加以扩展，引入力系主矢与主矩的概念；以此为基础，导出力系等效定理；进而应用力向一点平移定理以及力偶的概念对力系进行简化。力系简化理论与方法将作为分析所有静力学和动力学问题的基础。 §2-1 力系等效定理 ２－１－１ 力系的主矢和主矩 ２－１－２ 力系等效定理 §2-2 力偶与力偶系 ２－２－１ 力偶与力偶系 ２－２－２ 力偶的性质 ２－２－３ 力偶系的合成 §2-3 力系的简化 ２－３－１ 力向一点平移定理 ２－３－２ 空间一般力系的简化 ２－３－３ 力系简化在固定端约束力分析中的应用
§2-4 结论和讨论 ２－４－１ 关于力矢、主矢、力矩矢、力偶矩矢以及 主矩矢的矢量性质 ２－４－２ 关于合力之矩定理及其应用 ２－４－３ 关于力系简化的最后结果 ２－４－４ 关于实际约束的简化模型 ２－４－５ 关于力偶性质推论的应用限制 习 题 本章正文 返回总目录
第2章 力系的等效与简化 §２－１ 力系等效定理 物理学中，关于质点系运动特征量已有明确论述，这就是：质点系的线动量和对某一点的角动量。 物理学中还指明线动量对时间的变化率等于作用在质点系上的合外力；角动量对时间的变化率等于作用在质点系上外力对同一点的合力矩。这里的合外力，实际上只有大小和方向，并未涉及作用点或作用线。因而，需要将其中的合外力与外力的合力矩扩展为力系的主矢和主矩。 ２－１－１ 力系的主矢和主矩 主矢：一般力系（F 1，F 2，…，F n ）中所有力的矢量和（图2—1），称为力系的主矢量，简称为主矢（principal vector ），即 ∑=n i i 1 R F F ＝ (2－1) 图2－1力系的主矢 其中F R 为力系主矢；F i 为力系中的各个力。式（2－1）的分量表达式为 ∑∑∑===== =n i iy y n i iy y n i ix x F F F F F F 1 R 1R 1R (2－2) 主矩：力系中所有力对于同一点之矩的矢量和（图2－2），称为力系对这一点的主矩（principal moment ），即 ()∑∑==×n i i i n i i O O 1 1 F r F M M ＝＝ (2－3) 主矩的分量式为
第二章平面力系 一、是非题 1．一个力在任意轴上投影的大小一定小于或等于该力的模，而沿该轴的分力的大小则可能大于该力的模。（）2．力矩与力偶矩的单位相同，常用的单位为牛·米，千牛·米等。（）3．只要两个力大小相等、方向相反，该两力就组成一力偶。（）4．同一个平面内的两个力偶，只要它们的力偶矩相等，这两个力偶就一定等效。（）5．只要平面力偶的力偶矩保持不变，可将力偶的力和臂作相应的改变，而不影响其对刚体的效应。（）6．作用在刚体上的一个力，可以从原来的作用位置平行移动到该刚体内任意指定点，但必须附加一个力偶，附加力偶的矩等于原力对指定点的矩。（）7．某一平面力系，如其力多边形不封闭，则该力系一定有合力，合力作用线与简化中心的位置无关。（）8．平面任意力系，只要主矢≠0，最后必可简化为一合力。（）9．平面力系向某点简化之主矢为零，主矩不为零。则此力系可合成为一个合力偶，且此力系向任一点简化之主矩与简化中心的位置无关。（）10．若平面力系对一点的主矩为零，则此力系不可能合成为一个合力。（）11．当平面力系的主矢为零时，其主矩一定与简化中心的位置无关。（）12．在平面任意力系中，若其力多边形自行闭合，则力系平衡。（） 二、选择题 1．将大小为100N的力F沿x、y方向分解，若F在 x轴上的投影为86.6N，而沿x方向的分力的大小为 115.47N，则F在y轴上的投影为。 ①0； ②50N； ③70.7N； ④86.6N； ⑤100N。 2．已知力的大小为=100N，若将沿图示x、 y方向分解，则x向分力的大小为N，y向分力 的大小为N。 ①86.6； ②70.0； ③136.6； ④25.9； ⑤96.6； 3．已知杆AB长2m，C是其中点。分别受图示 四个力系作用，则和是等效力系。 ①图（a）所示的力系；
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学习平面汇交力系的合成方法1合成方法 几何法和解析法 力的平行四边形法：作 用于物体上同一点的两 个力的合力也作用于该 点，且合力的大小和方 向可用以这两个力作用 线为邻边所作的平行四 边形的对角线来确定。 力的三角形法则：取平 行四边形的一半 解析法 力在坐标轴上的投影 ? ? ? = = α α sin cos F Y F X b、合力投影定理 ? ? ? ? ? = + = X Y tg Y X F α 2 2 教师：一个力系的作用效果是什么样呢 学生：思考并回答 教师：在我们研究的力系中，也把它分 为两类：空间力系和平面力系。工程中 许多结构所受的作用力虽是空间力系， 但在一定条件下可以简化为平面力系， 比如水坝、挡土墙的受力等。平面力系 是工程中最常见的力系，本章讨论的便 是平面力系的合成和平衡问题，随之引 出平面汇交力系的概念及其求解平面 汇交力系的两种方法：几何法和解析 法。 教师：绘制图形讲解，并引出力的三角 形法则 教师：平面汇交力系的几何法简捷而且 直观，但其精确度较差。在力学计算中 用得较多的还是解析法。其中就要用到 力在坐标轴上投影的概念。 教师：绘制下图，利用图形讲解。 教师：强调从投影的起点a到终点b与 坐标轴的正向一致时，该投影取正号； 与坐标轴的正向相反时取负号。 学生：思考当力与坐标轴垂直时，力在 该轴上的投影为多少当力与坐标轴平 行时，力在该轴上的投影有什么特征 教师：设问如果已知合力在直角坐标轴 x、y轴上的投影，则合力的大小和方向 都可以确定，那么合力和它的分力在同 一坐标轴上投影的关系又如何呢 学生：讨论以一平面汇交力系为例展开 讨论。 30
1 F 2 F 3 F 0 1350 90O 第二章 力系的简化习题解 [习题2-1] 一钢结构节点,在沿OA,OB,OC 的方向上受到三个力的作用,已知kN F 11=, kN F 41.12=,kN F 23=,试求这三个力的合力. 解: 01=x F kN F y 11-= )(145cos 41.102kN F x -=-= )(145sin 41.102kN F y == kN F x 23= 03=y F )(12103 0kN F F i xi Rx =+-==∑= 00113 =++-==∑=i yi Ry F F 12 2=+=Ry Rx R R F F 作用点在O 点,方向水平向右. [习题2-2] 计算图中已知1F ,2F ,3F 三个力分别在z y x ,,轴上的投影并求合力. 已知 kN F 21=,kN F 12=,kN F 33=. 解: kN F x 21= 01=y F 01=z F )(424.053 7071.01cos 45sin 022kN F F x =??==θ)(567.05 4 7071.01sin 45sin 022kN F F y =??==θ )(707.0707.0145sin 022kN F F z =?== 03=x F 03=y F kN F z 33= )(424.20424.023 0kN F F i xi Rx =++==∑= )(567.00567.003 0kN F F i yi Ry =++==∑= )(707.33707.003 kN F F i zi Rz =++==∑= 合力的大小: )(465.4707.3567.0424.22222 22kN F F F F Rz Ry Rx R =++=++= 方向余弦: 4429.0465.4424 .2cos === R Rx F F α 1270.0465 .4567 .0cos ===R Ry F F β
第五讲内容 第二章力系的等效与简化 一、刚体和平衡的概念 刚体：在受力作用后而不产生变形的物体称为，刚体是对实际物体经过科学的抽象和简化而得到的一种理想模型。而当变形在所研究的问题中成为主要因素时（如在材料力学中研究变形杆件），一般就不能再把物体看作是刚体了。 平衡：指物体相对于地球保持静止或作匀速直线运动的状态。显然，平衡是机械运动的特殊形态，因为静止是暂时的、相对的，而运动才是永衡的、绝对的。 二、力系、等效力系、平衡力系 力系：作用在物体上的一组力。按照力系中各力作用线分布的不同形式， 力系可分为： （1）汇交力系力系中各力作用线汇交于一点； （2）力偶系力系中各力可以组成若干力偶或力系由若干力偶组成； （3）平行力系力系中各力作用线相互平行； （4）一般力系力系中各力作用线既不完全交于一点，也不完全相互平行。 按照各力作用线是否位于同一平面内，上述力系各自又可以分为平面力系和 空间力系两大类，如平面汇交力系、空间一般力系等等。 等效力系：两个力系对物体的作用效应相同，则称这两个力系互为等效力系。当一个力与一个力系等效时，则称该力为力系的合力；而该力系中的每一个力称为其合力的分力。把力系中的各个分力代换成合力的过程，称为力系的合成；反过来，把合力代换成若干分力的过程，称为力的分解。 平衡力系：若刚体在某力系作用下保持平衡。在平衡力系中，各力相互平衡，或者说，诸力对刚体产生的运动效应相互抵消。可见，平衡力系是对刚体作用效应等于零的力系。
第一节静力学基本公理 静力学公理是人们从实践中总结得出的最基本的力学规律，这些规律的正确性已为实践反复证明，是符合客观实际的。 一、二力平衡公理 作用于刚体上的两个力平衡的充分与必要条件是这两个力大小相等、方向相反、作用线相同。 这一结论是显而易见的。如图所示直杆，在杆的两端施加一对大小相等的拉力（F1 、F2）或压力（F2、F1），均可使杆平衡。 图2-1 应当指出，该条件对于刚体来说是充分而且必要的；而对于变形体，该条件只是必要的而不充分。如柔索当受到两个等值、反向、共线的压力作用时就不能平衡。 在两个力作用下处于平衡的物体称为二力体；若为杆件，则称为二力杆。根据二力平衡公理可知，作用在二力体上的两个力，它们必通过两个力作用点的连线（与杆件的形状无关）且等值、反向。 二、加减平衡力系公理 在作用于刚体上的已知力系上，加上或减去任意平衡力系，不会改变原力系对刚体的作用效应。这是因为平衡力系中，诸力对刚体的作用效应相互抵消，力系对刚体的效应等于零。根据这个原理，可以进行力系的等效变换。 推论1 力的可传性原理 作用于刚体上某点的力，可沿其作用线任意移动作用点而不改变该力对刚体的作用效应。利用加减平衡力系公理，很容易证明力的可传性原理。设力F作用于刚体上的A点。现在其作用线上的任意一点B加上一对平衡力系F1、F2，并且使F1= —F2=F，
第一章 力系的简化 1-1 静力学基本概念与静力学公理 一、静力学基本概念 1.力的概念 （1）定义：力是物体间的相互机械作用，这种作用可以改变物体的运动状态。 （2） 力的效应： ①运动效应(外效应) ②变形效应(内效应)。 （3） 力的三要素：大小，方向，作用点 （4）力的单位： 国际单位制：牛顿(N) 、千牛顿(kN) 力系：是指作用在物体上的一群力。 力系的分类：1.按力的作用线的空间位置：平面、空间 2.按力的作用线的相对位置：汇交、平行、一般 平衡力系：物体在力系作用下处于平衡。 2.刚体 在力的作用下，大小和形状都不变的物体。 3.平衡 指物体相对于惯性参考系保持静止或作匀速直线运动的状态。 二、静力学公理 公理1 二力平衡公理 作用于刚体上的两个力，使刚体平衡的必要与充分条件是： 1、大小相等 | F 1 | = | F 2 | 2、方向相反 F 1 = –F 2 3、作用线共线， 4、作用于同一个物体上 公理2 加减平衡力系原理 在已知力系上加上或减去任意一个平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用。 推论1：力的可传性。 作用于刚体上的力可沿其作用线移到同一刚体内的任一点，而不改变该力对刚体的效应。 必须注意：力的可传性只能用于单个刚体，如果将其用于刚体系统，则会改变刚体的受力。 公理3 力的平行四边形法则 作用于物体上同一点的两个力可合成一个合力，此合力也作用于该点，合力的大小和方向由以原两力矢为邻边所构成的平行四边形的对角线来表示。21F F R += 推论2：三力平衡汇交定理 刚体受三力作用而平衡，若其中两力作用线汇交于一点，则另一力的作用线必汇交于同一点，且三力的作用线共面。 公理4 作用力和反作用力定律 等值、反向、共线、异体、且同时存在。 公理5 刚化原理 变形体在某一力系作用下处于平衡，如将此变形体变成刚体（刚化为刚体），则平衡状态保持不变。 1-2 力的投影、力矩与力偶 一、力在空间轴上的投影与分解： 1.力在空间的表示：
) (a 第四章 力系的简化习题解 [习题4-1] 解： （1）以整体为研究对象，其受力图如图所示。 由结构的对称性可知， kN R R B A 4== （2）以节点A 为研究对象，其受力图如图所示。 因为节点A 平衡，所以 0=∑iy F 0460sin 0 =+AD N )(62.4866.0/4kN N AD -=-= 0=∑ix F 060cos 0=+AD AC N N (31.25.062.460cos 0N N AD AC =?=-=（3）以节点D 为研究对象，其受力图如图所示。 因为节点D 平衡，所以 0=∑iy F 0430cos 30cos 0' 0=---AD D C N N 0866.0/4=++AD D C N N 0866.0/4866.0/4=+-D C N 0=DC N 0=∑ ix F 030sin 30sin 0' 0=-+AD D C D E N N N 05.062.4=?+DE N )(31.2kN N DE -= （4 [习题4-2] 用截面法求图示桁架指定杆件 的内力。 解：(a) （1）求支座反力
kN 4A B R kN 2A C 23 N A 以整体为研究对象，其受力图如图所示。 由对称性可知， kN R R B A 12== (2)截取左半部分为研究对象，其受力图 如图所示。 因为左半部分平衡，所以 0)(=∑i C F M 0612422843=?-?+?+?N 063243=?-++N )(123kN N = 0=∑ix F 0cos cos 321=++N N N αθ 01252252421=+?+?N N 0125 15221=+?+?N N 0512221=++N N ……..(1) 0=∑iy F 02812sin sin 21=--++αθN N 025*******=+?+?N N 02525121=+?+?N N 052221=++N N 0544221=++N N ……..(2) 05832=-N )(963.53/582kN N ==
第二章力系的简化和平衡方程 一、填空题 1、在平面力系中，若各力的作用线全部，则称为平面汇交力系。 2、求多个汇交力的合力的几何法通常要采取连续运用力法则来求得。 3、求合力的力多边形法则是：将各分力矢首尾相接，形成一折线，连接其封闭边，这一从最先画的分力矢的始端指向最后面画的分力矢的的矢量，即为所求的合力矢。 4、平面汇交力系的合力作用线过力系的。 5、平面汇交力系平衡的几何条件为：力系中各力组成的力多边形。 6、平面汇交力系合成的结果是一个合力，这一个合力的作用线通过力系的汇交点，而合力的大小和方向等于力系各力的。 7、若平面汇交力系的力矢所构成的力多边形自行封闭，则表示该力系的等于零。 8、如果共面而不平行的三个力成平衡，则这三力必然要。 9、在平面直角坐标系内，将一个力可分解成为同一平面内的两个力，可见力的分力是量，而力在坐标轴上的投影是量。 10、合力在任一轴上的投影，等于各分力在轴上投影的代数和，这就是合力投影定理。 11、已知平面汇交力系合力R在直角坐标X、Y轴上的投影，利用合力R与轴所夹锐角a的正切来确定合力的方向，比用方向余弦更为简便，也即tg a= | Ry / Rx | 。 12、用解析法求解平衡问题时，只有当采用坐标系时，力沿某一坐标的分力的大小加上适当的正负号，才会等于该力在该轴上的投影。 13、当力与坐标轴垂直时，力在该坐标轴上的投影会值为；当力与坐标轴平行时，力在该坐标轴上的投影的值等于力的大小。 14、平面汇交力系的平衡方程是两个的方程，因此可以求解两个未知量。 15、一对等值、反向、不共线的平行力所组成的力系称为_____。 16、力偶中二力所在的平面称为______。 17、在力偶的作用面内，力偶对物体的作用效果应取决于组成力偶的反向平行力的大小、力偶臂的大小及力偶的______。 18、力偶无合力，力偶不能与一个_____等效，也不能用一个______来平衡. 19、多轴钻床在水平工件上钻孔时，工件水平面上受到的是_____系的作用。 20、作用于物体上并在同一平面内的许多力偶平衡的必要和充分条件是，各力偶的_____代数和为零。 21、作用于刚体上的力，可以平移到刚体上的任意点，但必须同时附加一力偶，此时力偶的_____等于_____对新的作用点的矩。 22、一个力不能与一个力偶等效，但是一个力却可能与另一个跟它_____的力加一个力偶等效。 23、平面任意力系向作用面内的任意一点（简化中心）简化，可得到一个力和一个力偶，这个力的力矢等于原力系中所有各力对简化中心的矩的_____和，称为原力系主矢；这个力偶的力偶矩等于原力系中各力对简化中心的矩的和，称为原力对简化中心的主矩。 24、平面任意力系向作用面内任一点（简化中心）简化后，所得的主矢与简化中心的位置____，而所得的主矩一般与简化中心的位置______。 25、平面任意力系向作用面内任一点和简化结果，是主矢不为零，而主矩不为零，说明力系无论向哪一点简化，力系均与一个_____等效。 26、平面任意力系向作用面内任一点简化结果，是主矢不为零，而主矩为零，说明力系与通过简化中心的一个______等效。 27、平面任意力系向作用面内任一点简化后，若主矢_____，主矩_____,则原力系必然是平衡力系。 28、平面任意力系向作用面内的一点简化后，得到一个力和一个力偶，若将其再进一步合成，则可得到一个_____。 29、平面任意力系只要不平衡，则它就可以简化为一个______或者简化为一个合力。 30、对物体的移动和转动都起限制作用的约束称为______约束，其约束反力可用一对正交分力和一个力偶来表示。 31、建立平面任意力系的二力矩式平衡方程应是：任取两点A、B为矩心列两个力矩方程，取一轴X轴为投影列一个投影方程，但A、B两点的连线应_____于X轴。
第2章力系的简化
工程力学学习指导 第2章力系的简化 2.1 教学要求与学习目标 1. 正确掌握下列基本概念与定义： 1) 力系。 2) 力系的主矢与主矩。 3) 等效的概念。 2. 正确掌握下列重要定理及其应用： 1) 等效力系定理。 2) 力向一点平移定理。 3) 合力之矩定理。 3. 正确掌握并应用力系简化的基本方法。 4. 正确掌握固定端约束的性质及其约束力。 2.2 理 论 要 点 2.2.1等效的概念及有关等效的原理 等效力系定理：如果作用于刚体上的力系可以用另一个力系来代替，而不改变刚体的运动状态，则称这两个力系等效。 加减平衡力系原理：在已知力系上附加任意平衡力系，或除去任意平衡力系，则不改变原来力系对刚体的作用。这一原理又叫做“加减平衡力系原理”。它表明，加减平衡力系后，新力系与原来的力系等效。 根据这一原理，可以将已知力沿其作用线移至任意点而不改变力对物体的作用效果。这就是所谓力的可传性。 上述有关等效的概念和加减平衡力系原理以及力的可传性，都是针对运动效果而言的，因而只适用于刚体。当研究力对变形体所产生的变形效果时，这些都不适用。 2.2.2力向一点平移 将一个力分解为一个力和力偶的过程叫做“力向一点平移”。应用加减平衡
力系原理，可以证明；作用于刚体上的已知力F可以向同一刚体上的任意一点平行移动，平移时需要附加一力偶，附加力偶的力偶矩M等于已知力F对平移点之矩。 力向一点平移的结果说明：作用于刚体上A点的力F与作用另一点O的力F及力偶M等效。这也证明了力偶与力是不能等效的。 利用力向一点平移的结果不仅可以解决力系简化和平衡问题，而且在材料力学中讨论到平衡问题时，还可以将变形体视为刚体，从而可以应用上述结果，使问题简化。但必须注意，这一结果在材料力学中应用时是要受到严格限制的。 2.2.3平面力系的简化 为了得到平面力系向一点简化的结果，可以将力系中的所有力向该点平移，得到一个平面汇交力系和平面力偶系。前者可以进一步合成一合力F R，后者则合成一合力偶M。因此，平面力系向任意简化中心O简化时，得到一个力F R 和一力偶M。 为了度量这个力和力偶，需要引进“主矢”和“主矩”的概念。平面力系各个力的几何和，称为力系的主矢，它决定了力F R的大小和方向，但没有确定其作用线，因而不同于汇交力系的合力。 主矢在x、y平面座标轴上的投影为F R x、F R y。 在平面力系中，因其中各个力均在同一平面内，所以各个力对简化中心O 之矩的代数和称为力系对简化中心的主矩，它决定了力偶M的力偶矩的大小及方向。主矩只是度量合力偶对刚体转动的物理量，而合力偶却代表一个力系。 需要指出的是，平面力系的主矢是一不变量，它不随简化中心的不同而改变。但主矩却与简化中心有关。 上述简化结果表明：平面力系对刚体的作用效果取决于它的主矢和主矩。 根据上述简化结果，得出平面力系平衡的必要和充分条件是：力系的主矢量和力系对任选点的主矩分别等于零。 2.2.4插入端约束的约束力 插入端约束力的分析可以作为平面力系简化理论应用的一个例子。在处于纸平面内的主动力作用下，插入端的约束力将是一个分布比较复杂的平面力系。但是，当研究平衡时，只需要研究这一分布力系总的作用效果，因而可以简化成一个力F和一个力偶M。工程上为进一步计算方便起见，又将力F分解为水平与垂直分量，F x、F y。 2.2.5空间力系的简化 与平面力系类似，应用力向一点平移的方法，可以将空间力系分解为两个基本力系：空间汇交力系和空间力偶系。这两个力系对刚体的作用与原空间力系等效。 所得到的空间汇交力系和空间力偶系还可以进一步简化为通过简化中心的主矢和对简化中心之矩的矢量。 2.3 学 习 建 议
第六章 力系的简化与平衡 一、目的要求 1．平面汇交力系（多个力）简化与平衡的几何法和解析法，并能应用平衡条件求解平面汇交力系的平衡问题。 2.力偶系的简化与平衡。 3、了解空间力系向一点简化的方法，明确空间力系合成的四种结果。 4．深入理解平面力系的平衡条件及平衡方程的三种形式。 5．能熟练地计算在平面任意力系作用下单个刚体和物体系统平衡问题。 6.理解简单桁架的简化假设，掌握计算其杆件内力的节点法和截面法及其综合作用。 7、会应用各种形式的空间力系平衡方程求解简单空间平衡问题。 8、对平行力系中心和重心应有清晰的概念，能熟练地应用坐标公式求物体的重心。 9. 牢固掌握滑动摩擦的性质，深刻理解库仑摩擦定律的内涵，熟练求解考虑滑动摩擦时的平衡问题（解析法、几何法）。了解全反力、摩擦角、自锁等概念，了解滚动摩擦现象。 二、基本内容 1．平面汇交力系的简化 平面汇交力系可合成为通过汇交点的合力，其大小和方向等于各分力的矢量和。即 ∑==+++=n i i 11F F F F F n 2R 合力R F 的大小和方向可用力三角形法则或力多边形法则得到。作出图示首尾相接的开口的力多边形abcde ，封闭边矢量ae 即所求的合力。通过力多边形
求合力的方法称为几何法。 平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：力系的合力等于零。 其矢量表达式为 ∑==0F F R 力系平衡的几何条件是：力系的力多边形自行封闭。 合力投影定理：合力在某轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。 平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：各力在两个坐标轴上的投影的代数和分别为零。即 00x y F F ?=??=??∑∑ 两个独立的平衡方程，可解两个未知量。 2.力偶系的简化与平衡条件 （1）力偶系的简化 力偶系可简化为一合力偶，合力偶矩等于各分力偶矩的代数和，即 i M M ∑= 力偶系平衡的必要和充分条件是：力偶系中各力偶矩的和等于零，即 ∑=0M 或∑∑∑===000z y x M M M 3. 空间力系的简化与合成的最终结果 1）空间力系向已知点O 简化 力的平移定理：可以把作用在刚体上点A 的力F 平行移到任一点B ，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶矩等于原来的力F 对新作用点B 的矩。 空间力系向已知点O 简化的一般结果为一个作用在O 点的力和一个力偶，该力矢量等于此力系的主矢。该力偶的力偶矩矢量等于力系对简化中心O 的主矩。主矢与简化中心的选取无关。一般情况下，主矩与简化中心的选取有关。 2）空间力系合成的最终结果 空间力系的最终合成结果有四种可能：一个合力、一个合力偶、一个力螺旋和平衡，这四种结果可由力系的主矢和力系对任意一点的主矩来判断。具体归纳如下：