专题38 弧长及扇形的面积
聚焦考点☆温习理解 1．弧长及扇形的面积
(1)半径为r ，n °的圆心角所对的弧长公式：l ＝
n πr
180
； (2)半径为r ，n °的圆心角所对的扇形面积公式：S ＝n πr 2360＝1
2
lr ．
2．圆锥的侧面积和全面积
圆锥的侧面展开图是一个扇形，若设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，那么这个扇形的半径为l ，扇形的弧长为2πr .
(1)圆锥侧面积公式：S 圆锥侧＝πrl ； (2)圆锥全面积公式：S 圆锥全＝πrl ＋πr 2
． 3．求阴影部分面积的几种常见方法 (1)公式法； (2)割补法； (3)拼凑法；
(4)等积变形构造方程法； (5)去重法． 名师点睛☆典例分类
考点典例一、弧长公式的应用
【例1】（2016湖南长沙第15题）如图，扇形OAB 的圆心角为120°，半径为3，则该扇形的弧长为 ．（结果保留π）
【答案】2π． 【解析】
试题分析：已知扇形OAB 的圆心角为120°，半径为3，根据弧长公式可得扇形的弧长为1203
180
π?=2π．
考点：弧长公式.
【点睛】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是熟练掌握弧长的计算公式． 【举一反三】
（2016湖南岳阳第11题）在半径为6cm 的圆中，120°的圆心角所对的弧长为 cm ． 【答案】4π． 【解析】
试题分析：根据弧长公式可得半径为6cm 的圆中，120°的圆心角所对的弧长为：180
6
120?π=4πcm ．
考点：弧长的计算．
考点典例二、扇形面积的计算
【例2】（2016山东东营第17题）如图，某数学兴趣小组将边长为5的正方形铁丝框ABCD 变形为以A 为圆心，AB 为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形ABD 的面积为______________.
【答案】25.
考点：扇形的计算. 【举一反三】
（2016辽宁营口第12题）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 垂直平分OB ，垂足为点E ，连接OD 、BC ，若BC =1，则扇形OBD 的面积为 ．
【答案】
6
π．
考点：扇形面积的计算；线段垂直平分线的性质． 考点典例三、扇形面积公式的运用
【例3】（莱芜）如图，AB 为半圆的直径，且AB=4，半圆绕点B 顺时针旋转45°，点A 旋转到A ′的位置，则图中阴影部分的面积为（ ） A ．π B ．2π C ．
2
π
D ．4π
【答案】B. 【解析】
试题分析：根据题意可得出阴影部分的面积等于扇形ABA ′的面积加上半圆面积再减去半圆面积，即为扇形面积即可．
试题解析：∵S 阴影=S 扇形ABA ′+S 半圆-S 半圆 =S 扇形ABA ′
=2454360
π??=2π，
故选：B ．
考点：扇形面积的计算；旋转的性质．
【点睛】阴影部分一般都是不规则的图形，不能直接用公式求解，通常有两条思路：一是转化成规则图形面积的和、差；二是进行图形的割补. 【举一反三】
(2016山东枣庄第11题） 如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠CDB ＝30°，CD ＝32，则阴影部分的面积为
A ．2π
B ．Π C.
π3 D.2π3
【答案】
D.
考点：垂径定理；圆周角定理；扇形面积公式. 考点典例四、圆锥的侧面展开图
【例4】（2016湖北十堰第9题）如图，从一张腰长为60cm ，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB 中剪出一个最大的扇形OCD ，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的高为（ ）
A ．10cm
B ．15cm
C ．103cm
D ．202cm 【答案】
D.
第11题图
考点：圆锥的计算．
【点睛】就圆锥而言，“底面圆的半径”和“侧面展开图的扇形半径”是完全不同的两个概念，要注意其区别和联系，其中扇形的弧长为圆锥底面圆的周长，扇形的半径为圆锥的母线长；圆锥的底面半径、母线和高组成了一个直角三角形． 【举一反三】
（2016湖南衡阳第17题）若圆锥底面圆的周长为8π，侧面展开图的圆心角为90°，则该圆锥的母线长为 ． 【答案】16． 【解析】
试题分析：设该圆锥的母线长为l ，圆锥的侧面展开图为一扇形，根据这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长可得8π=180
90l
π，解得l=16，即该圆锥的母线长为16． 考点：圆锥的计算.
考点典例五、求阴影部分的面积
【例5】(2016湖北襄阳第15题)如图，AB 是半圆O 的直径，点C 、D 是半圆O 的三等分点，若弦CD =2，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
23
π.
考点：扇形的面积计算.
【点睛】阴影部分一般都是不规则的图形，不能直接用公式求解，通常有两条思路：一是转化成规则图形面积的和、差；二是进行图形的割补. 【举一反三】
（2016山东威海第22题）如图，在△BCE 中，点A 时边BE 上一点，以AB 为直径的⊙O 与CE 相切于点D ，AD ∥OC ，点F 为OC 与⊙O 的交点，连接AF ． （1）求证：CB 是⊙O 的切线；
（2）若∠ECB=60°，AB=6，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）详见解析；（2） 2
3
. 【解析】
（2）由（1）可知∠3=∠BCO ，∠1=∠2， ∵∠ECB=60°， ∴∠3=
2
1
∠ECB=30°， ∴∠1=∠2=60°， ∴∠4=60°， ∵OA=OD ，
∴△OAD 是等边三角形，
∴AD=OD=OF ，∵∠1=∠ADO ， 在△ADG 和△FOG 中，
，
∴△ADG ≌△FOG ， ∴S △ADG =S △FOG ， ∵AB=6，
∴⊙O 的半径r=3， ∴S 阴=S 扇形ODF =
=
2
3
． 考点：切线的性质和判定；扇形的面积公式；全等三角形的判定及性质. 课时作业☆能力提升
1. （2016贵州遵义第10题）如图，半圆的圆心为O ，直径AB 的长为12，C 为半圆上一点，∠CAB =30°，
AC 的长是（ ）
A ．12π
B ．6π
C ．5π
D ．4π 【答案】D ．
考点：弧长的计算．
2. （2016四川甘孜州第10题）如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，若将△AOB 绕点O 顺时针旋转90°得到△A ′OB ′，则A 点运动的路径 'AA 的长为（ ）
A．πB．2πC．4πD．8π
【答案】B．
考点：弧长的计算；旋转的性质．
3.（2016福建泉州第6题）如图，圆锥底面半径为rcm，母线长为10cm，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，则r的值为（）
A．3 B．6 C．3πD．6π
【答案】B．
【解析】
216试题分析：已知圆锥底面半径为rcm，母线长为10cm，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，所以2πr=
360×2π×10，解得r=6．故选B．
考点：圆锥的计算．
4.（2016内蒙古通辽第8题）如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∠ABD=60°，CD=
积为（）
A ．
2
3
π B ．π C ．2π D ．4π 【答案】A ．
考点：扇形面积的计算．
5. （2016重庆A 卷第9题）如图，以AB 为直径，点O 为圆心的半圆经过点C ，若AC =BC 影部分的面积是（ ）
A ．
4π B ．124π+ C ．2π D ．122
π+ 【答案】A ． 【解析】
试题分析：∵AB 为直径，∴∠ACB =90°，∵AC =BC ACB 为等腰直角三角形，∴OC ⊥AB ，∴△AOC
和△BOC 都是等腰直角三角形，∴S △AOC =S △BOC ，OA =1，∴S 阴影部分=S 扇形AOC =2901360π?=4π．故选A ．
考点：扇形面积的计算．
6. （2016浙江台州第13题）如图，△ABC 的外接圆O 的半径为2，∠C =40°，则
AB 的长是 ．
【答案】8
9π．
【解析】
试题分析：∵∠C=40°，∴∠AOB=80°，∴ AB的长是802
180
π
??
=
8
9
π．故答案为：
8
9
π．
考点：三角形的外接圆与外心；弧长的计算．
7.（2016湖南株洲第14题）如图，正六边形ABCDEF内接于半径为3的圆O，则劣弧AB的长度为．
【答案】π．
考点：正多边形和圆；弧长的计算．
8.（2016青海第8题）如图，AC是汽车挡风玻璃前的雨刷器，如果AO=45cm，CO=5cm，当AC绕点O顺时针旋转90°时，则雨刷器AC扫过的面积为c m2（结果保留π）．
【答案】500π．
考点：扇形面积的计算；旋转的性质．
9.（2014·南京） 如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展开，得到一个扇形，若圆锥底面圆半径r=2cm ，扇形圆心角120θ=?，则该圆锥母线长l 为 ▲ cm.
【答案】6. 【解析】
试题分析：∵圆锥底面圆半径r=2cm ， ∴根据圆的周长公式，得圆的周长为2r 4ππ= ∵侧面展开后所得扇形弧长等于圆的周长，∴扇形弧长4π=. 又∵侧面展开后所得扇形的圆心角为120°， ∴根据扇形的弧长公式，侧面展开后所得扇形的弧长为()120l
4l 6180
cm ππ??=?=. 考点：圆锥和扇形的计算．
10. （2016内蒙古呼伦贝尔市、兴安盟第16题）小杨用一个半径为36cm 、面积为324πcm 2
的扇形纸板制作一个圆锥形的玩具帽（接缝的重合部分忽略不计），则帽子的底面半径为 cm ． 【答案】9. 【解析】
试题分析：已知扇形的半径为36cm ，面积为324πcm 2
，所以扇形的弧长L=2232436
S R π?==18π，即可得
帽子的底面半径1
2L R π
==9cm ．
考点：圆锥的计算．
11.（2016江苏盐城第14题）已知圆锥的底面半径是2，母线长是4，则圆锥的侧面积是 ． 【答案】8π． 【解析】
试题分析：底面半径是2，则底面周长=4π，圆锥的侧面积=1
2
×4π×4=8π．故答案为：8π． 考点：圆锥的计算．
12.（2016贵州铜仁第24题）如图，已知AB 是⊙O 的直径，点P 为圆上一点，点C 为AB 延长线上一点，
PA =PC ，∠C =30°．
（1）求证：C P 是⊙O 的切线．
（2）若⊙O 的直径为8，求阴影部分的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）8
3
π-
考点：切线的判定；扇形面积的计算．
13.（2016辽宁葫芦岛第23题）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交线段BC，AC于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为F，线段FD，AB的延长线相交于点G．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若CF=1，
【答案】（1）详见解析；（2）
考点：切线的判定；等腰三角形的性质；扇形面积的计算．
14.（2016辽宁沈阳第21题）（2016?沈阳）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别于BC，AC相交于点D，E，BD=CD，过点D作⊙O的切线交边AC于点F．
（1）求证：DF⊥AC；
（2）若⊙O的半径为5，∠CDF=30°，求的长（结果保留π）．
【答案】（1）详见解析；（2） 3
5
．
考点：切线的性质；弧长的计算．