24.4 弧长和扇形面积（肖莲琴）
第一课时
一、教学目标
（一）学习目标
1．理解弧长与圆周长的关系，能用比例的方法推导弧长公式；
2．认识扇形，类比推导弧长公式的方法推导扇形面积公式；
3．能运用弧长计算公式和扇形面积计算公式解决问题．
（二）学习重点
弧长计算公式和扇形面积计算公式.
（三）学习难点
会运用弧长计算公式和扇形面积计算公式解决问题.
二、教学设计
（一）课前设计
1．预习任务
阅读教材P111～112，再填空：
（1）半径为R 的圆的周长为R π2 ，面积为2R π.
（2）由于在半径为R 的圆中，360°圆心角所对的弧长（即圆的周长）为R π2，所以1°的圆心角所对的弧长是3602R π，化简为：180
R π．于是，n °的圆心角所对的弧长为180R n π． （3）由组成圆心角的两条 半径 和圆心角所对的 弧 围成的图形叫做扇形．由于在半径为R 的圆中，360°圆心角所对的扇形面积（即圆的面积）为2R π，所以1°的圆心角所对的弧长是3602R π．于是，n °的圆心角所对的弧长为360
2
R π． 2．预习自测
（1）半径为10 cm 的圆中，60°的圆心角所对的弧长是________.
【知识点】弧长的计算公式
【思路点拨】已知半径、圆心角，可以直接套用弧长计算公式求得弧长.
【解题过程】解：∵半径R ＝10cm ，圆心角n ＝60° ∴由弧长计算公式：180R n π＝ππ3
101801060=??
【答案】π3
10cm （2）下列图片中，阴影部分为扇形的是__________（填图形编号）
① ② ③ ④ ⑤
【知识点】扇形的概念 【思路点拨】扇形是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的，一定有一条边是弧线，顶点一定在圆心处，不会在圆周上．
【解题过程】根据扇形的定义：扇形是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形，因此只有③、⑤是扇形，其余都不是．
【答案】③、⑤
（3）已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的面积是_______. 【知识点】扇形的面积计算公式
【思路点拨】已知半径、圆心角，可以直接套用扇形面积计算公式求得扇形面积．
【解题过程】解：∵半径R ＝6，圆心角n ＝120°
∴由扇形面积计算公式：3602R n π＝ππ12360
61202
=??． 【答案】π12
（4）已知一扇形的面积为π8，且该扇形的半径为4，则该扇形对应圆心角的度数是________. 【知识点】扇形的面积计算公式的逆用
【思路点拨】已知扇形面积、圆心角，可以逆用扇形面积计算公式求得扇形圆心角的度数，实际上扇形面积、圆心角度数、半径三者中可以“知二求一”．
【解题过程】解：∵半径R ＝4，扇形面积＝π8
∴由扇形面积计算公式：3602R n π＝ππ8360
42
=??n 解得：180=n
∴圆心角度数为180°
【答案】180°
（二）课堂设计
1．知识回顾
师问：生活里有好多物品或者建筑都呈现出流畅的圆弧形，小学已经学过了有关圆的周长和面积公式，你还记得吗？
生答：圆的周长公式：R π2或d π（R 表示圆的半径，d 表示圆的直径）
生答：圆的面积计算公式：2R π
师问：弧是圆周的一部分，扇形是圆的一部分，那么弧长与扇形面积应怎样计算？它们与圆的周长、圆的面积之间有怎样的关系呢？
【设计意图】本节课探究的弧长是圆周的一部分、扇形面积是圆面积的一部分，都离不开小学里学生已经掌握了圆的周长、面积的计算公式，因此本节课从回顾两个基本公式入手．
2．问题探究
探究一 弧长的计算公式（★）
●活动① 动画展示，探究新知
师问：如图所示，在半径为R 的⊙O 上，有两动点A 、B ，当A 、B 两点在圆上运动时，想一想弧AB 的长度与什么因素有关？
生答：与∠AOB 的大小有关
师问：当∠AOB ＝360°时，弧AB 的长表示什么意思？
生答：⊙O 的周长，即l ＝R π2
师问：当∠AOB ＝1°时呢？弧AB 的长与整个圆的周长是什么关系？
生答：当∠AOB ＝1°时，弧AB 的长是整个圆的周长的
3601，即l ＝R π23601? 师问：当∠AOB ＝2°时呢？
生答：当∠AOB ＝2°时，弧AB 的长是整个圆的周长的
3602，即l ＝R π23602? 师问：当∠AOB ＝n °时呢？
生答：当∠AOB ＝n °时，弧AB 的长是整个圆的周长的
360n ，即l ＝R n π2360?＝180R n π 师：非常好，弧AB 的长l ＝R n π2360?＝180
R n π，这就是弧长的计算公式，其中n 表示弧AB 所对的圆心角的度数，R 表示弧AB 所在圆的半径．根据弧长的计算公式，我们可知，只要
知道n 和R 就可以求弧长．
特别的，几个特殊圆心角所对的弧长是我们经常用到的，比如：
①当n ＝30°时，弧长l ＝
R π236030?＝6
R π ②当n ＝45°时，弧长l ＝R π236045?＝4
R π ③当n ＝60°时，弧长l ＝R π236060?＝3
R π ④当n ＝90°时，弧长l ＝R π236090?＝2
R π ⑤当n ＝120°时，弧长l ＝R π2360120?＝3
2R π ⑥当n ＝180°时，弧长l ＝R π2360180?＝R π 【设计意图】推导弧长的计算公式，采用了从特殊到一般的思想，能更加深刻地使学生理解到弧长是圆周长的一部分，弧长的大小取决于圆心角占360°的比例．
●活动② 例题演练，巩固新知
师问：（出示一组运用弧长计算公式的基本题型）
（1）半径为3cm ，圆心角为30°的弧长为__________
（2）半径为6cm ，圆心角为120°的弧长为__________
（3）半径为4cm ，长度为π2的弧所对的圆心角是________°
（4）圆心角为150°，长度为π5的弧所在圆的半径是_________
（学生独立完成）
生答：（1）cm 2π
（2）cm π4 （3）90 （4）6
师：通过上面的4个问题，我们不难发现弧长、圆心角度数、半径三者中可以“知二求一” ．
【设计意图】推导出弧长计算公式后，马上对其进行简单的应用，既能加深学生对公式的理解，帮助学生熟练掌握公式，同时，也对公式进行逆向应用，进一步拓展公式的使用范围． 探究二 扇形面积的计算公式（★）
●活动① 引入概念
师问：观察下面阴影部分图形，它像我们生活中的什么图案呢？
生答：扇子的形状
师问：对，像上面阴影这样由两条半径和圆心角所对的弧围成的图形就叫做扇形．
●活动② 类比弧长，探究新知
师问：你能类比前面弧长计算公式的推导，得到扇形的面积计算公式吗？试试看吧！ （学生小组合作，推导扇形面积计算公式，并展示）
生答：类似前面弧长的讨论，我们可以知道扇形AOB 的面积也与圆心角∠AOB 的大小有关：当∠AOB ＝360°时，扇形AOB 的面积就是整个圆的面积，即2R S π=；当∠AOB ＝1°时，
扇形AOB 的面积就是整个圆面积的360
1，即3602R S π=；当∠AOB ＝2°时，扇形AOB 的面积就是整个圆面积的360
2，即36022R S π=；……当∠AOB ＝n °时，扇形AOB 的面积就是整个圆面积的360
n ，即3602R n S π=． 师：非常好！非常好，扇形AOB 的面积S ＝2360
R n π?，这就是扇形面积的计算公式，其中n 表示弧AB 所对的圆心角的度数，R 表示弧AB 所在圆的半径．同样的根据扇形面积的计算公式，我们可知，只要知道n 和R 就可以求扇形面积．
特别的，几个特殊圆心角所对的扇形面积是我们经常用到的，比如：
①当n ＝30°时，扇形面积S ＝2360
30R π?＝122R π ②当n ＝45°时，扇形面积S ＝2360
45R π?＝82R π ③当n ＝60°时，扇形面积S ＝2360
60R π?＝62R π ④当n ＝90°时，扇形面积S ＝2360
90R π?＝42R π ⑤当n ＝120°时，扇形面积S ＝2360
120R π?＝32R π ⑥当n ＝180°时，扇形面积S ＝2360
180R π?＝22R π ●活动③ 例题演练，巩固新知