题型专项(八)与切线有关的证明与计算
类型1与全等三角形有关
1．(2016·梧州)如图，过⊙O上的两点A，B分别作切线，交于BO，AO的延长线于点C，D，连接CD，交⊙O于点E，F，过圆心O作OM⊥CD，垂足为点M.
求证：(1)△ACO≌△BDO；
(2)CE＝DF.
证明：(1)∵AC，BD分别是⊙O的切线，
∴∠A＝∠B＝90°.
又∵AO＝BO，∠AOC＝∠BOD，
∴△ACO≌△BDO.
(2)∵△ACO≌△BDO，
∴OC＝OD.
又∵OM⊥CD，∴CM＝DM.
又∵OM⊥EF，点O是圆心，
∴EM＝FM.
∴CM－EM＝DM－FM.
∴CE＝DF.
2．(2016·玉林模拟)如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝60°，P是OB上一点，过P作AB 的垂线与AC的延长线交于点Q，过点C的切线CD交PQ于点D，连接OC.
(1)求证：△CDQ是等腰三角形；
(2)如果△CDQ≌△COB，求BP∶PO的值．
解：(1)证明：由已知得∠ACB＝90°，∠ABC＝30°.
∴∠Q＝30°，∠BCO＝∠ABC＝30°.
∵CD是⊙O的切线，CO是半径，
∴CD⊥CO.
∴∠DCQ＝∠BCO＝30°.
∴∠DCQ＝∠Q.
故△CDQ是等腰三角形．
(2)设⊙O的半径为1，则AB＝2，OC＝1，BC＝ 3.
∵等腰三角形CDQ与等腰三角形COB全等，
∴CQ＝CB＝ 3.
∴AP＝AQ＝.
∴BP＝AB－AP＝.
∴PO＝AP－AO＝
3－1
(3)若∠B＝30°，AP＝AC，求证：DO＝DP.
∴＝.
∵∠PCE＝∠AOE，
∴∠PEA＝∠AOE.∵OA＝OE，
∴OF＝
3
r.∵AP＝AC，
∴AP＝.∵PE2＝PA·PC，∴PE＝r.
∴AQ＝AC＋CQ＝1＋ 3.
11＋3
22
3－3
2
2.
∴BP∶PO＝ 3.
3．(2016·柳州)如图，AB为△ABC外接圆⊙O的直径，点P是线段CA的延长线上一点，点E在弧上且满足PE2＝PA·PC，连接CE，AE，OE交CA于点D.
(1)求证：△PAE∽△PEC；
(2)求证：PE为⊙O的切线；
1
2
证明：(1)∵PE2＝PA·PC，
PE PA
PC PE
又∵∠APE＝∠EPC，
∴△PAE∽△PEC.
(2)∵△PAE∽△PEC，∴∠PEA＝∠PCE.
1
2
1
2
∴∠OAE＝∠OEA.
∵∠AOE＋∠OEA＋∠OAE＝180°，
∴∠AOE＋2∠OEA＝180°，
即2∠PEA＋2∠OEA＝180°.
∴∠PEA＋∠OEA＝90°.
∴PE为⊙O的切线．
(3)设⊙O的半径为r，则AB＝2r.
∵∠B＝30°，∠PCB＝90°，∴AC＝r，BC＝3r.
过点O作OF⊥AC于点F，
1
22
r3
22
在△ODF与△PDE中，
∴△PCF ∽△PAC.∴ ＝ . ∴a ＝ .
∴PC ＝2a ＝ .
?∠ODF ＝∠PDE ，
?∠OFD ＝∠PED ， ?OF ＝PE ，
∴△ODF ≌△PDE.∴DO ＝DP . 类型 2 与相似三角形有关
4．(2016· 泰州)如图△，在 ABC 中，∠ACB ＝90°，在 D 为 AB 上一点，以 CD 为直径的⊙O 交 BC 于点 E ，连接 AE 交 CD 于点 P ，交⊙O 于点 F ，连接 DF ，∠CAE ＝∠ADF.
(1)判断 AB 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
(2)若 PF ∶PC ＝1∶2，AF ＝5，求 CP 的长．
解：(1)AB 是⊙O 切线．
理由：∵∠ACB ＝90°，
∴∠CAE ＋∠CEA ＝90°.
∵∠CAE ＝∠ADF ，∠CDF ＝∠CEA ，
∴∠ADF ＋∠CDF ＝90°.
∴AB 是⊙O 切线．
(2)连接 CF.
∵∠ADF ＋∠CDF ＝90°，∠PCF ＋∠CDF ＝90°，
∴∠ADF ＝∠PCF.
∴∠PCF ＝∠PAC.
又∵∠CPF ＝∠APC ，
PC PF
PA PC ∴PC 2＝PF·PA.设 PF ＝a ，则 PC ＝2a.
∴4a 2＝a(a ＋5)．
5
3
10
3
5．(2015· 北海)如图，AB ，CD 为⊙O 的直径，弦 AE ∥CD ，
连接 BE 交 CD 于点 F ，过点 E
作直线 EP 与 CD 的延长线交于点 P ，使∠PED ＝∠C.
(1)求证：PE 是⊙O 的切线；
(2)求证：ED 平分∠BEP ；
(3)若⊙O 的半径为 5，CF ＝2EF ，求 PD 的长．
∴PF ＝ 16 ∴PD ＝PF －DF ＝ －2＝ .
解：(1)证明：连接 OE.
∵CD 是圆 O 的直径，
∴∠CED ＝90°.
∵OC ＝OE ，
∴∠C ＝∠OEC.
又∵∠PED ＝∠C ，
∴∠PED ＝∠OEC.
∴∠PED ＋∠OED ＝∠OEC ＋∠OED ＝90°，即∠OEP ＝90°.
∴OE ⊥EP .
又∵点 E 在圆上，
∴PE 是⊙O 的切线．
(2)证明：∵AB ，CD 为⊙O 的直径，
∴∠AEB ＝∠CED ＝90°.
∴∠AEC ＝∠DEB(同角的余角相等)．
又∵∠PED ＝∠C ，AE ∥CD ，
∴∠PED ＝∠DEB ，
即 ED 平分∠BEP .
(3)设 EF ＝x ，则 CF ＝2x.
∵⊙O 的半径为 5，
∴OF ＝2x －5.
在 △R t OEF 中，OE 2＝EF 2＋OF 2，即 52＝x 2＋(2x －5)2，解得 x ＝4，
∴EF ＝4.
∴BE ＝2EF ＝8，CF ＝2EF ＝8.
∴DF ＝CD －CF ＝10－8＝2.
∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠AEB ＝90°.
∵AB ＝10，BE ＝8，
∴AE ＝6.
∵∠BEP ＝∠A ，∠EFP ＝∠AEB ＝90°，
∴△EFP ∽△AEB.
PF EF PF 4 ∴BE ＝AE ，即 8 ＝6.
3 . 16 10 3 3
6．(2014· 桂林)如图，△ABC 为⊙O 的内接三角形，P 为 BC 延长线上一点，∠PAC ＝∠B ， AD 为⊙O 的直径，过点 C 作 CG ⊥AD 于点 E ，交 AB 于点 F ，交⊙O 于点 G.
(1)判断直线 PA 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
∴AF＝＝ 5.
∴
AE
AB AD4510，解得AE＝2.
(2)若sin∠E＝，PA＝6，求AC的长．
(2)求证：AG2＝AF·AB；
(3)若⊙O的直径为10，AC＝25，AB＝45△，求AFG的面积．
解：(1)PA与⊙O相切．
理由：连接CD.
∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD＝90°.∴∠D＋∠CAD＝90°.
∵∠B＝∠D，∠PAC＝∠B，
∴∠PAC＝∠D.
∴∠PAC＋∠CAD＝90°，即DA⊥PA.
∵点A在圆上，∴PA与⊙O相切．
(2)证明：连接BG.
∵AD为⊙O的直径，CG⊥AD，
︵︵
∴AC＝AG.∴∠AGF＝∠ABG.
∵∠GAF＝∠BAG，∴△AGF∽△ABG.
∴AG∶AB＝AF∶AG.∴AG2＝AF·AB.
(3)连接BD.
∵AD是直径，∴∠ABD＝90°.
∵AG2＝AF·AB，AG＝AC＝25，AB＝45，
AG2
AB
∵CG⊥AD，∴∠AEF＝∠ABD＝90°.
∵∠EAF＝∠BAD△，∴AEF∽△ABD.
AF AE5
＝，即＝
∴EF＝AF2－AE2＝1.
∵EG＝AG2－AE2＝4，
∴FG＝EG－EF＝4－1＝3.
11
∴S
△AFG
＝2FG·AE＝2×3×2＝3.
类型3与锐角三角函数有关
7．(2014·梧州)如图，已知⊙O是以BC为直径的△ABC的外接圆，OP∥AC，且与BC的垂线交于点P，OP交AB于点D，BC，PA的延长线交于点E.
(1)求证：PA是⊙O的切线；
3
5
又∵sinE＝＝＝，∴AO＝3.
∴△ACB∽△BOP.∴＝.
∴AC＝＝＝.
(3)如果AB＝10，cos∠ABC＝，求AD.
解：(1)证明：连接OA.
∵AC∥OP，∴∠AOP＝∠OAC，∠BOP＝∠OCA.
∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC.∴∠AOP＝∠BOP.
又∵OA＝OB，OP＝OP，
∴△AOP≌△BOP.∴∠OAP＝∠OBP.
∵BP⊥CB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.∴OA⊥PA.
∴PA是⊙O的切线．
(2)∵PB⊥CB，∴PB是⊙O的切线．
又∵PA是⊙O的切线，
∴PA＝PB＝6.
PB AO3
EP EO5
在△Rt OPB中，OP＝62＋32＝3 5.
∵BC为⊙O直径，∴∠CAB＝90°.
∴∠CAB＝∠OBP＝90°，∠OCA＝∠BOP.
AC CB
BO OP
CB·BO1865
OP355
8．(2015·来宾)已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD，BD，BD交AC于点F.
(1)求证：BD平分∠ABC；
(2)延长AC到点P，使PF＝PB，求证：PB是⊙O的切线；
3
5
解：(1)证明：∵OD∥BC，
∴∠ODB＝∠CBD.
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB.
∴∠CBD＝∠OBD.
∴BD平分∠ABC.
∴cos∠ABC＝＝＝.
∴
AE OE AO AE OE5
＝
＝
(2)2PO＝3BC.(写PO＝BC亦可)
∴＝＝.∴2PO＝3BC.
(2)证明：∵⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，
∴∠ACB＝90°.∴∠CFB＋∠CBF＝90°.
∵PF＝PB，∴∠PBF＝∠CFB.
由(1)知∠OBD＝∠CBF，
∴∠PBF＋∠OBD＝90°.∴∠OBP＝90°.
∴PB是⊙O的切线．
(3)∵在△Rt ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，
BC BC3
AB105
∴BC＝6，AC＝AB2－BC2＝8.
∵OD∥BC，
∴△AOE∽△ABC，∠AED＝∠OEC＝180°－∠ACB＝90°.
AC BC AB，8＝6＝10.
∴AE＝4，OE＝3.
∴DE＝OD－OE＝5－3＝2.
∴AD＝AE2＋DE2＝42＋22＝2 5.
9．(2016·柳州模拟)如图，已知：AC是⊙O的直径，PA⊥AC，连接OP，弦CB∥OP，直线PB交直线AC于点D，BD＝2PA.
(1)证明：直线PB是⊙O的切线；
(2)探究线段PO与线段BC之间的数量关系，并加以证明；
(3)求sin∠OP A的值．
解：(1)证明：连接OB.
∵BC∥OP，OB＝OC，
∴∠BCO＝∠POA，
∠CBO＝∠POB，∠BCO＝∠CBO.
∴∠POA＝∠POB.又∵PO＝PO，OB＝OA，
∴△POB≌△POA.∴∠PBO＝∠P AO＝90°.
∴PB是⊙O的切线．
3
2
证明：∵△POB≌△POA，∴PB＝PA.
∵BD＝2P A，∴BD＝2PB.
∵BC∥PO△，∴DBC∽△DPO.
BC BD2
PO PD3
(3)∵CB∥OP△，∴DBC∽△DPO.
∴
DC BD22
＝
＝，即DC＝OD.
∴OC＝OD.∴DC＝2OC.
OP3x33
DO PD33
1
3
设OA＝x，PA＝y.则OD＝3x，OB＝x，BD＝2y.
在△Rt OBD中，由勾股定理得(3x)2＝x2＋(2y)2，即2x2＝y2.
∵x＞0，y＞0，∴y＝2x，OP＝x2＋y2＝3x.
OA x13
∴sin∠OP A＝＝＝＝.
类型4与特殊四边形有关
10．(2016·玉林)如图，AB是⊙O的直径，点C，D在圆上，且四边形AOCD是平行四边形，过点D作⊙O的切线，分别交OA延长线与OC延长线于点E，F，连接BF.
(1)求证：BF是⊙O的切线；
(2)已知圆的半径为1，求EF的长．
解：(1)证明：连接OD.
∵EF为⊙O的切线，
∴∠ODF＝90°.
∵四边形AOCD为平行四边形，
∴AO＝DC，AO∥DC.
又∵DO＝OC＝OA，
∴DO＝OC＝DC.
∴△DOC为等边三角形．
∴∠DOC＝∠ODC＝60°.
∵DC∥AO，
∴∠AOD＝∠ODC＝60°.
∴∠BOF＝180°－∠COD－∠AOD＝60°.
在△DOF和△BCF中，
?DO＝BO，
?∠DOF＝∠BOF，
?OF＝OF，
∴△DOF≌△BOF.
∴∠ODF＝∠OBF＝90°.
∴BF是⊙O的切线．
(2)∵∠DOF＝60°，∠ODF＝90°，
∴∠OFD＝30°.
∵∠BOF＝60°，∠BOF＝∠CFD＋∠E，
∴∠E＝∠OFD＝30°.
∴OF＝OE.
又∵OD⊥EF，
∴DE＝DF.
在△R t ODF中，∠OFD＝30°.
∴OF＝2OD.
∴DF＝OF2－OD2＝22－12＝ 3.
∴EF＝2DF＝2 3.
11．(2016·宁波)如图，已知⊙O的直径AB＝10，弦AC＝6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E.
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)求DE的长．
解：(1)证明：连接OD.
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE＝∠DAB.
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠DAO.
∴∠ODA＝∠DAE.
∴OD∥AE.
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE.
∴DE是⊙O切线．
(2)过点O作OF⊥AC于点F.
∴AF＝CF＝3.
∴OF＝OA2－AF2＝52－32＝4.
∵∠OFE＝∠DEF＝∠ODE＝90°，
∴四边形OFED是矩形．
∴DE＝OF＝4.
12．(2015·桂林)如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，AB＝4，PC，PD是⊙O的两条切线，C，D为切点．
(1)如图1，求⊙O的半径；
(2)如图1，若点E是BC的中点，连接PE，求PE的长度；
(3)如图2，若点M是BC边上任意一点(不含B，C)，以点M为直角顶点，在BC的上方作
∠AMN＝90°，交直线CP于点N，求证：AM＝MN.
＝2 2.
解：(1)连接 OD ，OC.
∵PC ，PD 是⊙O 的两条切线，C ，D 为切点， ∴∠ODP ＝∠OCP ＝90°.
∵四边形 ABCD 是⊙O 的内接正方形， ∴∠DOC ＝90°，OD ＝OC.
∴四边形 DOCP 是正方形．
∵AB ＝4，∠ODC ＝∠OCD ＝45°，
∴DO ＝CO ＝DC· s in45°＝4× 2
2 (2)连接 EO ，OP .
∵点 E 是 BC 的中点，
∴OE ⊥BC ，∠OCE ＝45°，
则∠EOP ＝90°.
∴EO ＝EC ＝2，OP ＝ 2CO ＝4.
∴PE ＝ OE 2＋OP 2＝2 5.
(3)证明：在 AB 上截取 BF ＝BM.
∵AB ＝BC ，BF ＝BM ，
∴AF ＝MC ，∠BFM ＝∠BMF ＝45°.
∵∠AMN ＝90°，
∴∠AMF ＋∠NMC ＝45°，∠FAM ＋∠AMF ＝45°. ∴∠FAM ＝∠NMC.
∵由(1)得 PD ＝PC ，∠DPC ＝90°，
∴∠DCP ＝45°.
∴∠MCN ＝135°.
∵∠AFM ＝180°－∠BFM ＝135°，
?∠FAM ＝∠CMN ， 在△AFM 和△MCN 中，?AF ＝MC ，
?∠AFM ＝∠MCN ，
∴△AFM ≌△MCN(ASA)．
∴AM ＝MN.
1、.已知：如图，CB 是⊙O 的直径，BP 是和⊙O 相切于点B 的切线，⊙O 的弦AC 平行于OP ． (1)求证：AP 是⊙O 的切线．(2)若∠P=60°，PB=2cm ，求AC ． 2、⊿ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径作⊙O 交BC 于D ，D E ⊥AC 于E.求证：DE 为⊙O 的切线 3、、如图，AB=BC ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于D ，作D E ⊥BC 于E 。（1）求证：DE 为⊙O 的切线（2）作DG ⊥AB 交⊙O 于G ，垂足为F ，∠A=30°.AB=8，求DG 的长 4、如图，AB 为⊙O 的直径，BC 切⊙O 于B ，AC 交⊙O 于P ，CE=BE ，E 在BC 上. 求证：PE 是⊙O 的切线． 5、如图，D 是⊙O 的直径CA 延长线上一点，点 B 在⊙O 上， 且AB ＝AD ＝AO ．求证：BD 是⊙O 的切线； 6 ．如图，在中， ，以 为直径的分别交、于点、，点在的延长 线上，且 求证：直线 是⊙0的切线； O A B P E C
7、如图 9，直线n切⊙O于A，点P为直线n上的一点，直线PO交⊙O于C、B，D在线段AP上， 连接DB，且AD=DB。（1）判断DB与⊙O的位置关系,并说明理由。（2）若AD=1，PB=BO，求弦AC的长 8、如图10，⊙O直径AB=4，P在AB的延长线上，过P作⊙O切线，切点为C，连接AC。（1）若∠CPA=30°，求PC的长（2）若P在AB的延长线上运动，∠CPA的平分线交AC于点M，你认为∠CMP的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠CMP的值。 9．如图，MN为⊙O的切线，A为切点，过点A作AP⊥MN，交⊙O的弦BC于点P. 若PA=2cm，PB=5cm，PC=3cm，求⊙O的直径． 10．已知：如图，同心圆O，大圆的弦AB=CD，且AB是小圆的切线，切点为E．求证：CD是小圆的切线． 11、如图，AB为⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E，FB是⊙O 的切线交AD的延长线于点F. (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)若DE=3，⊙O的半径为5，求BF的长. F E D A C O B P M B D C O N
证明圆的切线方法及例题 证明圆的切线常用的方法有: 一、若直线I过O O上某一点A，证明I是O O的切线，只需连OA，证明OA丄I 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直? 例1 如图，在厶ABC中，AB=AC ,以AB为直径的O O交BC于D ,交AC于E, B为切点的切线交0D延长线于F. 求证：EF与O 0相切. 证明：连结OE, AD. ?/ AB是O 0的直径， ??? AD 丄BC. 又??? AB=BC , ???/ 3= / 4. —— ? BD=DE，/ 1 = / 2. 又??? OB=OE , OF=OF , ???△ BOF ◎△ EOF ( SAS) ???/ OBF= / OEF. ??? BF与O O相切， ?OB 丄BF. ???/ OEF=9O°. ?EF与O O相切. 说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的
例2 如图，AD 是/ BAC 的平分线, 求证：PA 与O O 相切. 证明一：作直径AE ，连结EC. ?/ AD 是/ BAC 的平分线， ???/ DAB= / DAC. ?/ PA=PD , ???/ 2= / 1+ / DAC. ???/ 2= / B+ / DAB , ???/ 1 = / B. ?/ AE 是O O 的直径, ? AC 丄 EC ,/ E+ / EAC=90°. ???/ 1 + / EAC=90°. 即OA 丄PA. ? PA 与O O 相切. ?/ PA=PD , ???/ PAD= / PDA. 又???/ PDA= / BDE, 证明二：延长AD 交O O 于E ,连结 ?/ AD 是/ BAC 的平分线, ? BE=CE , ? OE 丄 BC. ???/ E+/ BDE=90 0. ?/ OA=OE , ???/ E=/ 1. P P 为BC 延长线上一点，且 PA=PD.
圆的切线判定证明题
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仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3 5. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，且AB =AC ，点D 在弧BC 上运动，过点D DE 交AB 的延长线于点E ，连结AD 、BD ． （1）求证：∠ADB =∠E ； （2）当点D 运动到什么位置时，DE 是⊙O 的切线？请说明理由． （3）当AB =5，BC =6时，求⊙O 的半径． 6． 如图，已知AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，且AB ⊥CD 于点E ．连接AC 、OC 、BC ． （1）求证：∠ACO =∠BCD ． （2）若E B =8cm ，CD =24cm ，求⊙O 的直径． 7. 如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到点C ，使DC =BD ，连结AC ，过点D 作DE ⊥ AC ，垂足为E . （1）求证：AB =AC ； （2）求证：DE 为⊙O 的切线； （3）若⊙O 的半径为5,∠BAC =60°,求DE 的长. E C A
中考中圆切线证明习题 1、如图， PA 为⊙ O 的切线， A 为切点，过 A 作OP 的垂线 AB ，垂足为点 C,交⊙O 于点 B,延长 BO 与⊙ O 交于点 D ，与 PA 的延长线交于点 E, 求证： PB 为⊙ O 的切线； 2、如图，AB=AC ，AB 是⊙ O 的直径，⊙ O 交BC 于D ，DM ⊥AC 于 M 求证：DM 与⊙O 相切. 3、如图，已知： AB 是⊙ O 的直径，点 C 在⊙ O 上，且∠ CAB=300 ，BD=OB ，D 在 AB 的延 长线上 . 求证：DC 是⊙O 的切线 4、已知：如图， A 是e O 上一点，半径 OC 的延长线与过点 1 AC OB ． 2 （1）求证： AB 是e O 的切线； 2）若 ACD 45°， OC 2，求弦 CD 的长． P D BC ， A
5、已知：如图，在Rt△ABC中， C 90o，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC，AB分别交于点D，E ，且CBD A． 1）判断直线BD与e O的位置关系，并证明你的结论； 2）若AD:AO 8:5 ，BC 2，求BD的长． B 6、已知：如图，在△ ABC 中，AB=AC,AE 是角平分线，BM 平分∠ ABC 交AE 于点M,经过B,M 两点的⊙ O 交BC 于点G,交AB 于点F,FB 恰为⊙O的直径. （1）求证：AE 与⊙ O 相切； 1 （2）当BC=4,cosC=1时，求⊙ O的半径. 3 7、已知：如图，在△ABC中，D是AB边上一点，圆O过D、B、C三点，DOC=2 ACD=90 。
求证：CD 是⊙O 的切线. 10、如图，等腰三角形 ABC 中，AC ＝BC ＝10，AB ＝12。以 BC 为直径作⊙ O 交AB 于点 D ， 交 AC 于点 G ，DF ⊥AC ，垂足为 F ，交 CB 的延长线于点 E (1)求证：直线 EF 是⊙O 的切线； (2)求 CF:CE 的值。 11、如图， AB 是⊙O 的直径， AC 是弦，∠ BAC 的平分线 AD 交⊙O 于点 D ，DE ⊥AC ，交 AC 的 延 长线于点 E ，OE 交AD 于点 F ．⑴求证： 12、如图， Rt △ ABC 中， ABC 90°，以AB 为直径作⊙O 交AC 边于点 D ，E 是边BC 的中 点，连接 DE ． (1)求证：直线 DE 是⊙O 的切线； 2)连接 OC 交DE 于点 F ，若OF CF ，求 tan ACO 的值． 13、如图，点 O 在∠APB 的平分线上，⊙ O 与PA 相切于点 C ． (1) 求证：直线 PB 与⊙O 相切； F G E O E B
中考复习专题 --------圆的切线的判定与性质 知识考点： 1、掌握切线的判定及其性质的综合运用，在涉及切线问题时，常连结过切点的半径，切线的判定常用以下两种方法：一是连半径证垂直，二是作垂线证半径。
2、掌握切线长定理的灵活运用，掌握三角形和多边形的内切圆，三角形的内心。 精典例题： 一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F. 求证：EF与⊙O相切. 例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA与⊙O相切. 例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M 求证：DM与⊙O相切.
例4 如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上.求证：DC是⊙O的切线 例5 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP. 求证：PC是⊙O的切线. 例6 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F. 求证：CE与△CFG的外接圆相切.
二、若直线l 与⊙O 没有已知的公共点，又要证明l 是⊙O 的切线，只需作OA ⊥l ，A 为垂足，证明OA 是⊙O 的半径就行了，简称：“作垂直；证半径” 例7 如图，AB=AC ，D 为BC 中点，⊙D 与AB 切于E 点. 求证：AC 与⊙D 相切. 例8 已知：如图，AC ，BD 与⊙O 切于A 、B ，且AC ∥BD ，若∠COD=900 . 求证：CD 是⊙O 的切线. [习题练习] 例1如图，AB 是⊙O 的弦（非直径），C 、D 是AB 上两点，并且OC=OD ，求证：AC=BD ． 例2已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 与BC 交于点D ，与AC?交于点E ，求证：△ DEC
中考数学专题圆的位置关系 第一部分真题精讲 【例1】已知：如图，AB为⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC于点E．（1）求证：DE为⊙O的切线； （2）若DE=2，tan C=1 2 ，求⊙O的直径． A 【思路分析】本题和大兴的那道圆题如出一辙，只不过这两个题的三角形一个是躺着一个是立着，让人怀疑他们是不是串通好了…近年来此类问题特别爱将中点问题放进去一并考察，考生一定要对中点以及中位线所引发的平行等关系非常敏感，尤其不要忘记圆心也是直径的中点这一性质。对于此题来说，自然连接OD，在△ABC中OD就是中位线，平行于BC。所以利用垂直传递关系可证OD⊥DE。至于第二问则重点考察直径所对圆周角是90°这一知识点。利用垂直平分关系得出△ABC是等腰三角形，从而将求AB转化为求BD，从而将圆问题转化成解直角三角形的问题就可以轻松得解。 【解析】（1）证明：联结OD．∵ D为AC中点， O为AB中点， A ∴ OD为△ABC的中位线．∴OD∥BC． ∵ DE⊥BC，∴∠DEC=90°. ∴∠ODE=∠DEC=90°. ∴OD⊥DE于点D. ∴ DE为⊙O的切线． （2）解：联结DB．∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB=90°．∴DB⊥AC．∴∠CDB=90°. ∵ D为AC中点，∴AB=AC． 在Rt△DEC中，∵DE=2 ，tanC=1 2 ，∴EC=4 tan DE C =. （三角函数的意义要记牢） 由勾股定理得：DC= 在Rt △DCB 中， BD=tan DC C ?= BC=5. ∴AB=BC=5. ∴⊙O的直径为5. 【例2】已知：如图，⊙O为ABC ?的外接圆，BC为⊙O的直径，作射线BF，使得BA平分CBF ∠，过点A作AD BF ⊥ 于点D.（1）求证：DA为⊙O的切线；（2）若1 BD=， 1 tan 2 BAD ∠=，求⊙O的半径.
切线证明法 切线的性质定理: 圆的切线垂直于经过切点的半径 切线的性质定理的推论１: 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 切线的性质定理的推论２: 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 切线长定理: 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径． 【例1】如图1，已知AB 为⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，BD ＝ OB ，点C 在圆上，∠CAB ＝30o．求证：DC 是⊙O 的切线． 思路：要想证明DC 是⊙O 的切线，只要我们连接OC ，证明∠OCD ＝90o即可． 证明：连接OC ，BC ． ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90o． ∵∠CAB ＝30o，∴BC ＝21 AB ＝OB ． ∵BD ＝OB ，∴BC ＝2 1 OD ．∴∠OCD ＝90o． ∴DC 是⊙O 的切线． 【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线． 【例2】如图2，已知AB 为⊙O 的直径，过点B 作⊙O 的切线BC ，连接 OC ，弦AD ∥OC ．求证：CD 是⊙O 的切线． 图1 图2
思路：本题中既有圆的切线是已知条件，又证明另一条直线是圆的切线．也就是既要注意运用圆的切线的性质定理，又要运用圆的切线的判定定理．欲证明 CD 是⊙O 的切线，只要证明∠ODC ＝90o即可． 证明：连接OD ． ∵OC ∥AD ，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4． ∵OA ＝OD ，∴∠1＝∠2．∴∠3＝∠4． 又∵OB ＝OD ，OC ＝OC ， ∴△OBC ≌△ODC ．∴∠OBC ＝∠ODC ． ∵BC 是⊙O 的切线，∴∠OBC ＝90o．∴∠ODC ＝90o． ∴DC 是⊙O 的切线． 【例3】如图2，已知AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过C 点的切线互相垂直，垂足为D ．求证：AC 平分∠DAB ． 思路：利用圆的切线的性质——与圆的切线垂直于过切点的半径． 证明：连接OC ． ∵CD 是⊙O 的切线，∴OC ⊥CD ． ∵AD ⊥CD ，∴OC ∥AD ．∴∠1＝∠2． ∵OC ＝OA ，∴∠1＝∠3．∴∠2＝∠3． ∴AC 平分∠DAB ． 【评析】已知一条直线是某圆的切线时，切线的位置一般是确定的．在解决有关圆的切线问题时，辅助线常常是连接圆心与切点，得到半径，那么半径垂直 图3
2、如图，AB 是O O 的直径，/ A = 30°，延长 OE 到D,使BD= OB (OCB 是否是等边三角形？说明你的理由； 圆与特殊角度 1.已知，如图，在△ ADC 中， 长线 上，连接BF,交AD 于点E (1)求证：BF 是eO 的切线； ADC 90，以DC 为直径作半圆eO ，交边AC 于点F ,点B 在CD 的延 BED 2 C . (2)若BF FC , AE 3，求eO 的半径. 3 .如图，AB 是O O 的直径，点 D 在O O 上,OC/ AD 交O O 于E , (1)求证： ； 2)求证：CD 是O O 的切线? 证明： 点F 在CD 延长线上，且 BOC ADf =90 . 4.如图，在O O 中，弦 AE BC 于 D, BC 6 , AD 7 , BAC 45 (1) 求O O 的半径。 (2) 求DE 的长。 19.如图，已知直线 PA 交O O 于A 、B 两点，AE 是O O 的直径，C 为O O 上一 点， 且AC 平分/ PAE 过点C 作CDL PA 于D. (1) 求证：CD 是O O 的切线； (2) 若 AD DG 1： 3, AB=8，求O O 的半径. C B O P ZI C O D A B E
32?已知：如图，AB 是O O 的直径，BD 是O O 的弦，延长BD 到点C,使DGBR 连结AC 过点D 作D 巳 AC,垂足为E . 21?如图，已知 △ ABC ，以BC 为直径，O 为圆心的半圆交 AC 于点F ，点E 为弧CF 的中点，连接BE 交AC 于点 M , AD ABC 勺角平分线，且 AD BE ,垂足为点H . (1) 求证：AB 是半圆O 的切线； (2) 若 AB 3, BC 4，求 BE 的长. 圆与三角函数 22.如图，在△ ABC 中，/ 0=90° , AD 是/ BAC 的平分线, (1) 求证：B0是O O 切线； (2) 若 BB 5, DO3,求 AC 的长. 解： O 是AB 上一点，以OA 为半径的O O 经过点D (1)求证：ABAC ⑵求证：DE 为O O 的切线; A A A
圆切线证明题 1.如图，PA为O O的切线，A为切点，过A作OP的垂线AB,垂足为点C,交O O于点B,延长B0与O O交于点D,与PA的延长线交于点E, 求证：PB为O 0的切线; 2如图，AB=AC AB是O 0的直径，O O交BC于D, DML AC于M 求证：DM与O O相切.
3如图，已知：AB是O 0的直径，点C在O O上，且/ CAB=30, BD=OB D在AB的延长线上 求证：DC是O 0的切线 3.已知：如图，A是LI 0上一点，半径0C的延长线与过点A的直线交于B点，OC=BC , 1 AC OB ? 2 (1)求证：AB是L O的切线；一一 (2 )若丄ACD=45°OC=2，求弦CD 的长. / \ 4.知：如图，在Rt A ABC中，? C=90〃，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的
圆与AC, AB 分别交于点D, E ，且.CBD A . (1 )判断直线BD 与LI O 的位置关系，并证明你的结论; 已知：如图，在 △ ABC 中, D 是AB 边上一点，圆 0过D B C 三点，.DOC2. ACD 90。 (1) 求证：直线AC 是圆0的切线； ,如图，AB=AC D 为BC 中点，O D 与AB 切于E 点. 求证：AC 与O D 相切. 如图，等腰三角形 ABC 中，AC= BC= 10，AB= 12。以BC 为直径作O O 交AB 于点D,交AC C B
于点G DF 丄AC 垂足为F ,交CB 的延长线于点 E 。 ⑴求证：直线EF 是O O 的切线； 如图，Rt △ ABC 中，N ABC = 90°以AB 为直径作O O 交AC 边于点D ，E 是边BC 的中点，连接DE . (1)求证：直线DE 是O O 的切线; 如图，点 O 在/ APB 的平分线上，O O 与PA 相切于点 C. (1) 求证：直线 PB 与O O 相切; 23.(2008年南充市)如图，已知］的直径』垂直于弦二 于点二，过」点作’ 交；的延长线于点 」，连接并延长交J U 于点；，且_［「__［」 . E B
第1题 B 第2题 A 第3题第4题 圆的切线的证明 圆的切线的证明题，从直线与圆有无公共点来看，有两大类型：一是直线与圆有公共点； 二是直线与圆没有公共点。从具体的证明方法来看又分为多种类型 一、直线与圆有公共点 总体思路：“连”（连接圆心与公共点），证垂直。 (一)利用相似证垂直 1.如图，AB 是圆O 的直径，点P 在BA 的延长线上，弦CD ⊥AB 与点E,且PC 2=PE ×PO. (1)求证：PC 是圆O 的切线. (二)利用全等证垂直 2.如图Rt △ABC 中，∠ACB=90°，以BC 为直径的圆O 交AB 于点D,E 、F 是圆O 上的两点， 连接AE 、CF 、DF ，满足EA=CA. (1)求证：AE 圆O 的切线. (三)利用勾股定理证垂直 3.如图，圆O 的直径AB=12,点P 是AB 延长线上一点，且PB=4,点C 是圆O 上一点，PC=8. 求证：PC 是圆O 的切线. (四)利用平行线证垂直 4.如图，△ABC 内接于圆O,CD 平分∠ACB 交于圆O 于D,过点D 作PQ ∥AB 分别交CA 、CB 的延长线于P 、Q. 求证：PQ 是圆O 的切线.
B B (五)利用角的转化证垂直 5.如图，△ABC 是圆O 的内接三角形，E 是弦BD 的中点，点C 是圆O 外一点，且∠DBC=∠A, 连接OE 并延长与圆相交于点F ，与BC 相交于点C. (1)求证：BC 是圆O 的切线. 二、直线与圆的公共点未知 总体思路：“作”垂直(圆心到直线的垂线)，证相等(垂线与半径). (一)利用角平分线证相等 1.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC,AE ⊥BC 于E,∠ADC 的平分线交AE 于O,以点O 为圆心，OA 为半径的圆经过点B. 求证：CD 与圆O 相切. (二) 利用面积法证相等 2.如图，已知△ABC 中，∠ACB=90°,AC=3,BC=4,以点C 为圆心，半径为作圆C. 求证：圆C 与AB 相切. 练习： 1.(2017*乐山改编)如图，以AB 边为直径的圆O 经过点P ，且∠ACP=60°,D 是 AB 延长线上一点，PA=PD. 求证：PD 是圆O 的切线.
证明圆的切线专题 证明一条直线是圆的切线,主要有两个思路： 1是证这条直线到圆心的距离等于这个圆的半径： 2,是利用切线的判判定定理,证明这条直线经过一条半径的外端,并且和这条半径垂直. 1不常用,一般常用2. 1. 如图，在Rt ABC ?中， 90C ?∠=，点D 是AC 的中点，且90A CDB ?∠+∠=,过点,A D 作O ，使圆心O 在AB 上，O 与AB 交于点E ． （1）求证：直线BD 与O 相切； （2）若:4:5,6AD AE BC ==,求O 的直径． 2.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90o，O 、D 分别为AB 、BC 上的点，经过A 、D 两点的⊙O 分别交AB 、AC 于点E 、F ，且D 为EF 的中点。 （1）（4分）求证：BC 与⊙O 相切 （2）（4分）当，∠CAD=30o时，求AD 的长。 3. 如图，已知CD 是ΘO 的直径，AC ⊥CD ，垂足为C ，弦DE ∥OA ，直线AE 、CD 相交于点B ． (1)求证：直线AB 是OO 的切线； (2)如果AC =1，BE =2，求tan ∠OAC 的值．
4. 如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径作⊙O ，交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E 。 （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）如果BC =8，AB =5，求CE 的长。 5.如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠ACB 的平分线交AB 于点O ，以O 为圆心的⊙O 与AC 相切于点D ． （1）求证：⊙O 与BC 相切； （2）当AC=3，BC=6时，求⊙O 的半径 6. 如图，AB 是⊙O 的直径，AM ，BN 分别切⊙O 于点A ，B ，CD 交AM ，BN 于点D ，C ，DO 平分∠A DC ． （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若AD=4，BC=9，求⊙O 的半径R ． 7.如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB ＝AC ，点P 是?AB 的中点，连接P A ，PB ，PC ． （1）如图①，若∠BPC ＝60°，求证： AP AC 3=； （2）如图②，若2524sin = ∠BPC ，求PAB ∠tan 的值．
2019 届中考数学圆的切线证明综合试题新人教版我们学习了直线和圆的位置关系，就出现了新的一类习题，就是证明一直线是圆的切线. 在我们所学的知识范围内，证明圆的切线常用的方法有： 一、若直线l 过⊙ O上某一点 A，证明 l 是⊙ O的切线，只需连OA，证明 OA⊥ l 就行了，简称“连 半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例 1 如图，在△ ABC中， AB=AC，以 AB为直径的⊙ O交 BC于 D，交 AC于 E，B 为切点的切线交 OD 延长线于 F. 求证： EF与⊙ O相切 . 证明：连结 OE， AD. ∵AB是⊙O的直径， ∴ AD⊥ BC. 又∵ AB=BC， ∴∠ 3=∠ 4. ⌒ ⌒ ∴ BD=DE，∠ 1=∠ 2. 又∵ OB=OE， OF=OF， ∴△ BOF≌△ EOF（ SAS） . ∴∠ OBF=∠ OEF. ∵ BF与⊙ O相切， ∴OB⊥ BF. ∴∠ OEF=90. ∴EF与⊙ O相切 . 说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的 例 2如图，AD是∠ BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD. 求证： PA与⊙ O相切 . 证明一：作直径 AE，连结 EC. ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠ DAB=∠ DAC.
∵PA=PD， ∴∠ 2=∠ 1+ ∠ DAC. ∵∠ 2=∠ B+∠ DAB， ∴∠ 1=∠ B. 又∵∠ B=∠ E， ∴∠ 1=∠ E ∵ AE是⊙ O的直径， ∴ AC⊥ EC，∠ E+∠EAC=90. ∴∠ 1+∠ EAC=90. 即 OA⊥ PA. ∴PA 与⊙ O相切 . 证明二：延长 AD交⊙ O于 E，连结 OA， OE. ∵AD是∠ BAC的平分线， ⌒⌒ ∴BE=CE， ∴OE⊥ BC. ∴∠ E+∠ BDE=90. ∵OA=OE， ∴∠ E=∠ 1. ∵PA=PD，∴∠ PAD=∠ PDA. 又∵∠ PDA=∠ BDE, ∴∠ 1+∠ PAD=90 即 OA⊥ PA. ∴ PA与⊙ O相切 说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用.例 3 如图， AB=AC，AB 是⊙ O的直径，⊙ O交 BC于 D， DM⊥ AC于 M 求证： DM与⊙ O相切 . 证明一：连结 OD. ∵A B=AC， ∴∠ B=∠ C.
九年级数学证明圆的 切线专题 证明一条直线是圆的切线；主要有两个思路： 1是证这条直线到圆心的距离等于这个圆的半径： 2；是利用切线的判判定定理；证明这条直线经过一条半径的外端；并且和这条半径垂直. 1不常用；一般常用2. 1. 如图；在Rt ABC ?中； 90C ?∠=；点D 是AC 的中点；且90A CDB ?∠+∠=；过点,A D 作O ；使圆心O 在AB 上；O 与AB 交于点E ． （1）求证：直线BD 与O 相切； （2）若:4:5,6AD AE BC ==；求O 的直径． 2.如图；在Rt △ABC 中；∠C=90o；O 、D 分别为AB 、BC 上的点；经过A 、D 两点的⊙O 分别交AB 、AC 于点E 、F ；且D 为EF 的中点。 （1）（4分）求证：BC 与⊙O 相切 （2）（4分）当；∠CAD=30o时；求AD 的长。 3. 如图；已知CD 是ΘO 的直径；AC ⊥CD ；垂足为C ；弦DE ∥OA ；直线AE 、CD 相交于点B ． (1)求证：直线AB 是OO 的切线； (2)如果AC =1；BE =2；求tan ∠OAC 的值．
4.如图；在△ABC中；AB=AC；以AB为直径作⊙O；交BC于点D；过点D作DE⊥AC；垂足为E。（1）求证：DE是⊙O的切线； （2）如果BC=8；AB=5；求CE的长。 5.如图；在△ABC中；∠C=90°；∠ACB的平分线交AB于点O；以O为圆心的⊙O与AC相切于点D． （1）求证：⊙O与BC相切； （2）当AC=3；BC=6时；求⊙O的半径 6.如图；AB是⊙O的直径；AM；BN分别切⊙O于点A；B；CD交AM；BN于点D；C；DO平分∠A DC． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若AD=4；BC=9；求⊙O的半径R．
中考专题-------圆的切线证明（学生版） 证明切线的方法： 1、连半径、证垂直（经过半径的外端且垂直于半径的直线必是切线） 2、作垂直、证半径（直线与圆的公共点未知时，通过圆心做作已知直线的垂直线段，证明此垂线段的长等于半径 3、切线的性质1、圆的切线垂直于经过切点的半径2、经过与圆心且垂直于切线的直线必过切点3、经过切点且垂直于半径的直线必过圆心
中考经典例题： 1.（2007北京中考）已知：如图，A 是O e 上一点，半径OC 的延长线与过点A 的直线交于B 点， OC BC =，1 2 AC OB =． （1）求证：AB 是O e 的切线； （2）若45ACD ∠=°，2OC =，求弦CD 的长． 2.（2008北京中考）已知：如图，在Rt ABC △中，90C ∠=o ，点O 在AB 上，以O 为圆心，OA 长为半径的圆与AC AB ，分别交于点D E ，，且CBD A ∠=∠． （1）判断直线BD 与O e 的位置关系，并证明你的结论； （2）若:8:5AD AO =，2BC =，求BD 的长 4、 如图，AB=AC ，D 为BC 中点，⊙D 与AB 切于E 点. O A B C D D C O A E
求证：AC 与⊙D 相切. 6、（2011?北京）如图，在△ABC ，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 、BC 于点D 、E ，点F 在AC 的延长线上，且∠CBF=错误!未找到引用源。∠CAB ． （1）求证：直线BF 是⊙O 的切线； （2）若AB=5，sin ∠CBF=错误!未找到引用源。，求BC 和BF 的长． 17．（本题满分8分） 如图，Rt ABC △中，90ABC ∠=°，以AB 为直径作O ⊙交AC 边于点D ，E 是边BC 的中点，连接DE ． （1）求证：直线DE 是O ⊙的切线； （2）连接OC 交DE 于点F ，若OF CF =，求tan ACO ∠的值． （2010中考）18．如图，点O 在∠APB 的平分线上，⊙O 与PA 相切于点C ． (1) 求证：直线PB 与⊙O 相切； (2) PO 的延长线与⊙O 交于点E ．若⊙O 的半径为3，PC=4．求弦CE 的长． C E B A O F D
证明圆的切线方法及例题 ： 有 证明圆的切线常用的方法 O A，证明OA⊥l 就行了，简称“连 一、若直线l 过⊙O 上某一点A，证明l 是⊙O 的切线，只需连 半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例1 如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D，交AC 于E，B 为切点的切线交OD 延长线于 F. E F 与⊙O 相切. 求证： O E，AD. 证明： 连结 ∵AB 是⊙O 的直径， ∴AD ⊥BC. 又∵AB=BC ， ∴∠3=∠4. ⌒⌒ ∴BD=DE ，∠1=∠2. 又∵OB=OE ，OF=OF ， ∴△BOF≌△EOF（SAS）. ∴∠OBF= ∠OEF. ∵BF 与⊙O 相切， ∴OB⊥BF. ∴∠OEF=90 0. ∴EF 与⊙O 相切. 说明： 此题是通过证明三角形全等证明垂直的 1
P A=PD. B C 延长线上一点，且 例2 如图，AD 是∠BAC 的平分线，P为 P A 与⊙O 相切. 求证： 结EC. 作直径AE，连 证明一： ∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴∠DAB= ∠DAC. ∵PA=PD， ∴∠2=∠1+∠DAC. ∵∠2=∠B+ ∠DAB ， ∴∠1=∠B. 又∵∠B=∠E， ∴∠1=∠E ∵AE 是⊙O 的直径， ∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=90 0 . ∴∠1+∠EAC=90 0. 即OA ⊥PA. ∴PA 与⊙O 相切. 结OA ，OE. 延长AD 交⊙O 于E，连 证明二： ∵AD 是∠BAC 的平分线， ⌒⌒ ∴BE=CE， ∴OE⊥BC. ∴∠E+∠BDE=90 0. ∵OA=OE ， ∴∠E=∠1. ∵PA=PD， ∴∠PAD=∠PDA. 又∵∠PDA= ∠BDE, ∴∠1+∠PAD=90 即OA ⊥PA. ∴PA 与⊙O 相切 合运 综 用. 此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识 的 说明： 2
C E A B O P 圆的切线证明（四） 1 如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，交AC 于E ，B 为切点的切线交OD 延长线于F. 求证：EF 与⊙O 相切. （2011中考）2.如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，过A 作OP 的垂线AB ，垂足为点C,交⊙O 于点B,延长BO 与⊙O 交于点D ，与PA 的延长线交于点E,(1)求证：PB 为⊙O 的切线；（2）若tan ∠ABE=2 1 ,求sin ∠E. 》
3 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA与⊙O相切. 【 4如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M 求证：DM与⊙O相切. D ，
5 如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D 在AB的延长线上. 求证：DC是⊙O的切线 | 6 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP. ( 求证：PC是⊙O的切线.
】 7 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F. 求证：CE与△CFG的外接圆相切. 8. （2006北京中考）已知：如图，△ABC内接于⊙O，点D在OC的 ！ 延长线上，，∠CAD=30°. (1)求证：AD是⊙O的切线； (2)若OD⊥AB，BC=5，求AD的长.
9.（2007北京中考）已知：如图，A 是O 上一点，半径OC 的延长线与过点A 的直线交于B 点，OC BC =，1 2 AC OB = ． " （1）求证：AB 是O 的切线； （2）若45ACD ∠=°，2OC =，求弦CD 的长． < 9.（2008北京中考）已知：如图，在Rt ABC △中，90C ∠=，点O 在AB 上，以O 为圆心，OA 长为半径的圆与AC AB ，分别交于点D E ，，且CBD A ∠=∠． （1）判断直线BD 与O 的位置关系，并证明你的结论； （2）若:8:5AD AO =，2BC =，求BD 的长． 10.（2009北京中考）已知：如图，在△ABC 中，AB=AC,AE 是角平分线，BM 平分∠ABC 交AE 于点M,经过B,M 两点的⊙O 交BC 于点G,交AB 于点F,FB 恰为⊙O 的直径. * （1）求证：AE 与⊙O 相切； （2）当BC=4,cosC=1 3 时，求⊙O 的半径. O A B C D A
1 1.如图，已知AB 为⊙O 的直径，过点B 作⊙O 的切线BC ，连接OC ，弦AD ∥OC ．求证：CD 是⊙O 的切线． 2.如图，AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，且OA 2 =OD ·OP. 求证：PC 是⊙O 的切线. 3.如图，已知：AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，且∠CAB=300 ，BP=OB ，点P 在AB 的延长线上. 求证：PC 是⊙O 的切线. O A B C D 2 3 4 1
24.AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，∠BAC 的平分线AD 交⊙O 于点D ，DE ⊥AC ，交AC 的延长线于点E ，OE 交AD 于点F. 求证：DE 是⊙O 的切线. 5.△ABC 中，AB=AE ，以AB 为直径，作⊙O 交BE 于C ，过C 作CD ⊥AE 于D ，DC 的延长线与AB 的延长线交于点P. 求证：PD 是⊙O 的切线. 6.在⊙O 中，AB 是直径，AC 是弦，OE ⊥AC 于点E ，过点C 作直线FC ，使∠FCA ＝∠AOE ，交AB 的延长线于点D. 求证：FD 是⊙O 的切线. F E D C B A O F B D E O C
3 7.如图，AB 为半圆O 的直径，点C 在半圆O 上，过点O 作BC 的平行线交AC 于点E ，交过点A 的直线于点D ， 且BAC D ∠=∠.求证：AD 是半圆O 的切线. 8.如图，已知△ABC 内接于⊙O,AC 是直径，D 是弧AB 的中点，过点D 作直线BC 的垂线，分别交CB 、CA 的延长线于 E 、 F ． （1）求证：EF 是⊙O 的切线. （2）若EF ＝8，EC ＝6，求⊙O 的半径. O B A C E D
1、.已知：如图，CB是⊙O的直径，BP是和⊙O相切于点B的切线，⊙O的弦AC平行于OP．(1)求证：AP是⊙O的切线．(2)若∠P=60°，PB=2cm，求AC． 2、⊿ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于D，D E⊥AC 于E.求证：DE为⊙O的切线3、、如图，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于D，作D E⊥BC于E。（1）求证：DE为⊙O的切线（2）作DG⊥AB交⊙O于G，垂足为F ，∠A=30°.AB=8，求DG的长 4、如图，AB为⊙O的直径，BC切⊙O于B，AC交⊙O于P，CE=BE，E在BC上. 求证：PE是⊙O的切线． 5、如图，D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，且AB＝AD＝AO．求证：BD是⊙O 的切线； O A B P
6．如图，在中，，以为直径的分别交、于点
、，点 在的延长线上，且 求证：直线是⊙0的切线；
7、如图9，直线n切⊙O于A，点P为直线n上的一点，直线PO交⊙O于C、B，D在线段AP上，连接DB，且AD=DB。（1）判断DB与⊙O的位置关系,并说明理由。（2）若AD=1，PB=BO，求弦AC的长 8、如图10，⊙O直径AB=4，P在AB的延长线上，过P作⊙O切线，切点为C，连接AC。（1）若∠CPA=30°，求PC的长（2）若P在AB的延长线上运动，∠CPA的平分线交AC于点M，你认为∠CMP的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠CMP的值。 9．如图，MN为⊙O的切线，A为切点，过点A作AP⊥MN，交⊙O的弦BC于点P. 若PA=2cm，PB=5cm，PC=3cm，求⊙O的直径． 10．已知：如图，同心圆O，大圆的弦AB=CD，且AB E．求证：CD是小圆的切线． 11、如图，AB为⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E，FB是⊙O 的切线交AD的延长线于点F. (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)若DE=3，⊙O的半径为5，求BF的长. F E D A C O B P M B D C O N
1、?已知：如图，CB 是OO 的直径，BP 是和OO 相切于点B 的切线，OO 的弦AC 平行于OP. (1) 求证：AP 是OO 的切线.(2)若Z P=60°, PB=2cm,求 AC. 2、ZABC 中，AB 二AC,以AB 为直径作G>0交BC 于D, AB=BC,以AB 为直径的€>0交AC 于D,作DE 丄BC 于E 。(1)求证：DE 为G )O 的 作DG 丄AB 交00于G,垂足为F, ZA=30° .AB=8,求DG 的长 4、如图，AB 为00的直径，BC 切。0于B, AC 交?0于P, CE 二BE, E 在BC 上.求证：PE 是G> 0的切线. 5、如图，D 是OO 的直径CA 延长线上一点，点B 在。0上， 且AB=AD=AO.求证：BD 是 的切线； 6.如图，在△磁中，AB=AC f 以曲为直径的OO 分别交“、記于点0、 总，点疋在血的 为?O 的切线 切线(2)
7、如图9,直线n 切(DO 于A,点P 为直线n 上的一点，直线P0交。0于C 、B, D 在线段AP 上，连接DB,且AD=DBo (1)判断DB 与€)0的位置关系，并说明理由。(2)若AD=1, PB=BO,求 弦AC 的长 8、如图10,直径AB=4, P 在AB 的延长线上，过P 作00切线，切点为C,连接AC 。(1) 若ZCPA 二30° ,求PC 的长(2)若P 在AB 的延长线上运动，ZCPA 的平分线交AC 于点M,你认为 ZCMP 的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出ZCMP 的值。 9?如图，MN 为。0的切线，A 为切点，过点A 作AP 丄MN,交＜00的弦BC 于点P.若PA=2cm, PB=5cm, PC=3cm,求00 的直径. 10. 已知：如图，同心圆6大圆的弦AB 二CD,且AB 是小圆的切线，切点为E.求证：CD 是 小圆的切线. 11、如图，AB 为OO 的直径，AD 平分Z BAC 交OO 于点D,肛丄AC 交AC 的延长线于点E, FB 是OO 的切线交AD 的延长线于点F. 延长线上，且攵跡=空/吨 求证：直线M 是00的切线 ;
如何证明圆的切线 证明直线是圆的切线，通常有的以下几种方法： 一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径． 【例1】如图1，已知AB 为⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，BD ＝OB ，点C 在圆上，∠CAB ＝30o．求证：DC 是⊙O 的切线． 思路：要想证明DC 是⊙O 的切线，只要我们连接OC ，证明∠OCD ＝90o即可． 证明：连接OC ，BC ． ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90o． ∵∠CAB ＝30o，∴BC ＝2 1AB ＝OB ． ∵BD ＝OB ，∴BC ＝ 2 1OD ．∴∠OCD ＝90o． ∴DC 是⊙O 的切线． 【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线．本题在证明∠OCD ＝90o时，运用了“在一个三角形中，如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”，当然也可以从角度计算的角度来求∠OCD ＝90o． 二、如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到这条直线的距离等于半径． 【例2】如图2，已知AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过C 点的切线互相垂直，垂足为D ．求证：AC 平分∠DAB ． 思路：利用圆的切线的性质——与圆的切线垂直于过切点的半径． 证明：连接OC ． ∵CD 是⊙O 的切线，∴OC ⊥CD ． ∵AD ⊥CD ，∴OC ∥AD ．∴∠1＝∠2． ∵OC ＝OA ，∴∠1＝∠3．∴∠2＝∠3． ∴AC 平分∠DAB ． 【评析】已知一条直线是某圆的切线时，切线的位置一般是确定的．在解决有关圆的切线问题时，辅助线常常是连接圆心与切点，得到半径，那么半径垂直切线． 图1 图2