曲线运动习题课
一、船过河模型
1、处理方法：小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动(水冲船的运动)和船相对水的运动，即在静水中的船的运动（就是船头指向的方向），船的实际运动是合运动。
2、若小船要垂直于河岸过河，过河路径最短，应将船头偏向上游，如图甲所示，此时过河时间：
3、若使小船过河的时间最短，应使船头正对河岸行驶，如图乙所示，此时过河时间(d为河宽)。因为在垂直于河岸方向上，位移是一定的，船头按这样的方向，在垂直于河岸方向上的速度最大。
二、绳端问题（绳子末端速度分解）
绳子末端运动速度的分解，按运动的实际效果进行可以方便我们的研究。
例如在右图中，用绳子通过定滑轮拉物体船，当以速度v匀速拉绳子时，求船的速度。
解析：船的运动(即绳的末端的运动)可看作两个分运动的合成：
a)沿绳的方向被牵引，绳长缩短，绳长缩短的速度等于左端绳子伸长的速度。即为v；
b)垂直于绳以定滑轮为圆心的摆动，它不改变绳长。这样就可以求得船的速度为, 当船向左移动，α将逐渐变大，船速逐渐变大。虽然匀速拉绳子，但物体A却在做变速运动。
绳子末端速度的分解问题，是本章的一个难点，同学们在分解时，往往搞不清哪一个是合速度，哪一个是分速度。以至解题失败。下面结合例题讨论一下。例1、如图1所示，在河岸上利用定滑轮拉绳索使小船靠岸，拉绳速度大小为v1，当船头的绳索与水平面夹角为θ时，船的速度多大
解析我们所研究的运动合成问题，都是同一物体同时参与的两个分运动的合成问题，而物体相对于给定参照物（一般为地面）的实际运动是合运动，实际运动的方向就是合运动的方向。本例中，船的实际运动是水平运动，它产生的实际效果可以A点为例说明：一是A点沿绳的收缩方向的运动，二是A点绕O点沿顺时针方向的转动，所以，船的实际速度v可分解为船沿绳方向的速度v1和垂直于绳的速度v2，如图1所示。由图可知：v＝v1/cosθ
点评不论是力的分解还是速度的分解，都要按照它的实际效果进行。本例中，若将拉绳的速度分解为水平方向和竖直方向的分速度，就没有实际意义了，因为船并不存在竖直方向上的分运动
例2 如图2所示，一辆匀速行驶的汽车将一重物提起，在此过程中，重物A 的运动情况是【】
A. 加速上升，且加速度不断增大
B. 加速上升，且加速度不断减小
C. 减速上升，且加速度不断减小
D. 匀速上升
解析物体A的速率即为左段绳子上移的速率，而左段绳子上移的速率与右段绳子在沿着绳长方向的分速率是相等的。右段绳子实际上同时参与两个运动：沿绳方向拉长及向上摆动。将右段绳子与汽车相连的端点的运动速度v沿绳子方向
和与绳子垂直方向分解，如图3所示，则沿绳方向的速率即为物体A的速率
vA=v1=vsinθ。随着汽车的运动，θ增大，vA=v1增大，故A应加速上升。
由v-t图线的意义知，其斜率为加速度，在0°～90°范围内，随θ角的增大，曲线y=sinθ的斜率逐渐减小，所以A上升的加速度逐渐减小。
答案B
点评本题主要考查了运动的分解，解题的关键是要分清合速度与分速度。一般情况下，物体相对于给定的参考系（一般为地面）的实际运动就是合运动，本例中，汽车的实际运动就是合运动。另外，运动的分解要按照它的实际效果进行。跟综练习如图4所示，汽车甲以速度v1拉汽车乙前进，
乙的速度为v2，甲、乙都在水平面上运动，则v1∶v2＝__________。
答案cosα∶1
小船渡河的问题补充
小船渡河的问题，就是讨论“船”、“水”、“岸”三者之间的相对运动的关系．其中“船相对于岸的运动”就是“船相对于水的运动”和“水相对于岸的运动”的合运动．
解决这类问题的基本思路：
第一，仔细分析与命题相关的三个考查对象之间的相对运动的关系，正确确定其中哪一个运动可以看作是另外两个相对运动的合运动．
第二，按照平行四边形定则，画出已经确定了的两个分运动和合运动的矢量关系图，然后分析这个平行四边形矢量关系图，根据已知条件计算待求未知量．一般说来，任何一个命题，必然给定了包括三个速度的大小和方向的六个因素中的四个，求另两个未知因素．
1．小船过河问题的分析与求解方法
（1）处理方法：
小船在有一定流速的河中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动（水冲船的运动）和船相对水的运动（即在静水中的船运动），船的实际运动是合运动．
（2）若小船垂直于河岸渡河，则过河路径最短，应将船头偏向上游．如图甲所示，此时过河时间t＝＝
若使小船过河的时间最短，应使船头正对河岸行驶，如图乙所示，此时过河时间t＝(d为河宽）．
〔例3〕一条宽度为L的河，水流速度为v水，已知船在静水中的速度为v船，那么：
（1）怎样渡河时间最短（2）若v船>v水，怎样渡河位移最小（3）若v船 解析：（1）如下左图所示，设船头斜向上游与河岸成任意角θ．这时船速在垂直于河岸方向的速度分量为v1＝v船sinθ，渡河所需的时间为： t＝＝ 可以看出：L、v船一定时，t随sinθ增大而减小；当θ＝90°时，sinθ＝1（最大）．所以，船头与河岸垂直时，渡河时间最短．最短时间：tmin＝ （2）如上右图所示，渡河的最小位移即河的宽度．为了使渡河位移等于L，必须使船的合速度v的方向与河岸垂直，即使沿河岸方向的速度分量为0．这时船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ．根据三角函数关系有v船cosθ－v水＝0 cosθ＝θ＝arccos 因为0≤cosθ≤1，所以只有在v船>v水时，船才有可能垂直河岸渡过．（或者由三角形几何关系知道） （3）如果水流速度大于船在静水中的航行速度，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使漂下的距离最短呢如图所示，设船头与河岸成θ角，合速度v与河岸成α角（取小于90°的一边）．可以看出：α角越大，船漂下的距离x越短．那么在什么条件下α角最大呢以v水的矢尖为圆心、v船为半径画圆，当v与圆相切时，α角最大．根据cosθ＝v船/v水，船头与河岸的夹角应为θ＝arccos 船漂下的最短距离：xmin＝(v水－v船cosθ)? 此时渡河的最短位移：s＝＝ 4．小船在宽度为200 m、水流速度为2 m/s的河中驶向对岸，已知小船在静水中的速度为4 m/s，两岸是平行的，求： （1）若小船的船头始终正指对岸航行时，它将在何时何处到达对岸 （2）若要使小船的船头到达正对岸，小船应如何行驶要用多长时间 （3）若小船航向跟上游河岸成30°角，它将行驶多长时间，在何处到达对岸解：小船渡河的运动是小船在静水中的运动和水流运动的合运动，设船对岸的速度为v，河宽为d，则v船＝4 m/s，v水＝2 m/s，d＝200 m （1）若小船的船头始终正指对岸航行，则小船渡河时间最短，由合运动和分运动具有等时性可求渡河时间t＝s＝50 s． 这时船的实际航向是由A→C，船在出发点A的下游C点处到达对岸，如下左图所示． BC＝v水?t＝2×50 m＝100 m即在B点下游100 m处到达对岸． （2）若要使小船到达正对岸，即以最小位移渡河，在v船>v水时，应使合运动的速度方向垂直于河岸，船头指向（用v船表示）应偏向上游一定角度θ，如下右图所示，合运动的速度大小为：v合′＝m/s＝2 m/s 所以θ＝60°，即船头指向应偏向上游与河岸成60°角 渡河时间为： t′＝s＝s （3）如图所示，将v船正交分解v1＝v船sin30°＝2 m/s v2＝v船cos30°＝2 m/s>v水 所以，船同时参与了两个分运动，一个是以速度v1垂直指向对岸的分运动，另一个是以速度（v2－v水）逆水流指向上游的分运动．渡河时间：t〃＝s＝100 s 这时船的实际航向是由A→E，船在出发点A的上游E点处到达对岸 BE＝（v2－v水）t〃＝(2 －2)×100 m＝146 m即在B点上游146 m处到达对岸．5．如图2所示，一艘小艇从河岸的A处出发渡河，小艇保持与河岸垂直的方向行驶，经过10 min到达正对岸下游120 m的C处；如果小艇保持原来的速度逆水斜向上游与河岸成α角的方向行驶，则经过min恰好到达正对岸的B处，则这条河的宽度为多少 解：设艇速为v1，水速为v2，河宽为s，第一次渡河时间为t1，第二次渡河时间为t2，则由运动的独立性和等时性得：第一次渡河：v2＝＝12 m/min得v1＝m/min 第二次渡河：s1＝v1t2，s2＝v2t2，由叠加原理（如图所示） s12－s22＝s2 (v1t2)2－(v2t2)2＝s2将v1＝，v2＝12 m/min代入得 ( ×2－(12×2＝s2解得河宽s＝200 m． 小船过河问题 轮船渡河问题： （1）处理方法：轮船渡河是典型的运动的合成与分解问题，小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动（水冲船的运动）和船相对水的运动（即在静水中的船的运动），船的实际运动是合运动。 1．渡河时间最少：在河宽、船速一定时，在一般情况下，渡河时间 θ υυsin 1 船d d t = = ，显然，当?=90θ时，即船头的指向与河岸垂直，渡河时间最小 为 v d ，合运动沿v 的方向进行。 2．位移最小 若水船υυ> 结论船头偏向上游，使得合速度垂直于河岸，位移为河宽，偏离上游的角度为船 水 υυθ= cos 若水船v v <，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使漂下的距离最短呢？如图所示， 设船头v 船与河岸成θ角。合速度v 与河岸成α角。可以看出：α角越大，船漂下的距离x 越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以v 水的矢尖为圆心，v 船为半径画圆，当v 与圆相切时，α角最大，根据水 船v v = θcos 船头与河岸的夹角应为 2 水 船v v arccos =θ，船沿河漂下的最短距离为： θ θsin )cos (min 船船水v d v v x ? -= 此时渡河的最短位移：船 水v dv d s = =θcos 【例题】河宽d ＝60m ，水流速度v 1＝6m ／s ，小船在静水中的速度v 2=3m ／s ，问： (1)要使它渡河的时间最短，则小船应如何渡河?最短时间是多少? (2)要使它渡河的航程最短，则小船应如何渡河?最短的航程是多少? ★解析： (1)要使小船渡河时间最短，则小船船头应垂直河岸渡河，渡河的最短时间 s s d t 2030 60 2 == = υ (2)渡河航程最短有两种情况： ①船速v 2大于水流速度v 1时，即v 2>v 1时，合速度v 与河岸垂直时，最短航程就是河宽； ②船速v 2小于水流速度v l 时，即v 2 小船过河问题 1．渡河时间最少：在河宽、船速一定时，在一般情况下，渡河时间 θ υυsin 1船d d t = = ，显然，当?=90θ时，即船头的指向与河岸垂直，渡河时间最小为 v d ，合运动沿v 的方向进行。 2．位移最小 若水船υυ> 结论船头偏向上游，使得合速度垂直于河岸，位移为河宽，偏离上游的角度为船 水 υυθ= cos 若水船v v <，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使漂下的距 离最短呢？如图所示， 水 船v v = θcos 船头与河岸的夹角应为水 船v v arccos =θ， 船沿河漂下的最短距离为：θ θsin )cos (min 船船水v d v v x ? -= 此时渡河的最短位移：船 水v dv d s == θcos 【例题】河宽d ＝60m ，水流速度v 1＝6m ／s ，小船在静水中的速度v 2=3m ／s ，问： (1)要使它渡河的时间最短，则小船应如何渡河?最短时间是多少? (2)要使它渡河的航程最短，则小船应如何渡河?最短的航程是多少? v 【例题】在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为v 1，摩托艇在静水中的航速为v 2，战士救人的地点A 离岸边最近处O 的距离为d ，如战士想在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离O 点的距离为( ) A ． 21 222 υ υυ-d B ．0 C ． 2 1 υυd D ． 1 2 υυd 【例题】某人横渡一河流，船划行速度和水流动速度一定，此人过河最短时间为了T 1；若此船用最短的位移过河，则需时间为T 2，若船速大于水速，则船速与水速之比为（ ） (A) 2 1222T T T - (B) 1 2 T T (C) 2 2211T T T - (D) 2 1 T T 【例题】小河宽为d ，河水中各点水流速度大小与各点到较近河岸边的距离成正比，d v k kx v 0 4= =，水，x 是各点到近岸的距离，小船船头垂直河岸渡河，小船划水速度为0v ，则下列说法中正确的是（ ） A 、小船渡河的轨迹为曲线 B 、小船到达离河岸 2 d 处，船渡河的速度为02v C 、小船渡河时的轨迹为直线 D 、小船到达离河岸4/3d 处，船的渡河速度为010v 【练习】 1.有一条河宽100m ，当水流为3m/s 时，船速为4m/s ，画图说明能否到达正对岸，若能，按运动的合成分解来分析以下问题 （1）合速度多大？方向如何（画图） （2）由分运动和合运动同时性分析，当到达对岸时，过河时间为多少？ 专题4.1 小船过河问题 一．选择题 H的A、B两个码头同时1. （2018安徽合肥三模）如图所示，在宽为H的河流中，甲、乙两船从相距 3 开始渡河，船头与河岸均成60°角，两船在静水中的速度大小相等，且乙船恰能沿BC到达正对岸的C。则下列说法正确的是 A. 两船不会相遇 B. 两船在C点相遇 C. 两船在AC的中点相遇 D. 两船在BC的中点相遇 【参考答案】D 【命题意图】本题考查小船过河、运动的合成与分解及其相关的知识点。 【解后反思】若A、B两个码头之间距离为，则此题正确选项上哪一个？若A、B两个码头之间距离 大于2 ，则此题正确选项上哪一个？若甲船在静水中的速度大于乙船，则两船哪一个先到达和对岸？ 3 还能够相遇吗？若甲船在静水中的速度小于乙船，则两船哪一个先到达和对岸？还能够相遇吗？ 2．一小船在静水中的速度为3 m/s，它在一条河宽为150 m，水流速度为4 m/s的河流中渡河，则该小船( ) A ．能到达正对岸 B ．渡河的时间可能少于50 s C ．以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为200 m D ．以最短位移渡河时，位移大小为150 m 【参考答案】C 3.如图所示，河的宽度为L ，河水流速为v 水，甲、乙两船均以静水中的速度v 同时渡河。出发时两船相距2L ，甲、乙船头均与岸边成60°角，且乙船恰好能直达正对岸的A 点。则下列判断正确的是( ) A ．甲船正好也在A 点靠岸 B ．甲船在A 点左侧靠岸 C ．甲、乙两船可能在未到达对岸前相遇 D ．甲、乙两船到达对岸的时间相等 【参考答案】BD 【名师解析】甲、乙两船垂直河岸的速度相等，渡河时间为t ＝ L v sin60° ，乙能垂直于河岸渡河，对乙船则 有v 水＝v cos60°，可得甲船在该时间内沿水流方向的位移为(v cos60°＋v 水) L v sin60°＝2 3 3L <2L ，甲船在 A 点左侧靠岸，甲、乙两船不能相遇。综上所述，A 、C 错误， B 、D 正确。 3.（2018湖北咸宁期中联考）如图所示，小船以大小为v （小船在静水中的速度）、方向与上游河岸成θ的速度从O 处过河，经过一段时间，正好到达正对岸的O ’处，现要使小船在更短的时间内过河并且也正好到达正对岸O ’处。在水流速度不变的情况下，可采取的方法是 A ．θ角不变且v 增大 小船渡河问题 小船渡河的问题,可以分解为它同时参与的两个分运动,一是小船相对水的运动(设水不流时船的运动,即在静水中的运动),一是随水流的运动(即水冲船的运动,等于水流的运动),船的实际运动为合运动. 两种情况：①船速大于水速；②船速小于水速。 两种极值：①渡河最小位移；②渡河最短时间。 【例1】一条宽度为L 的河，水流速度为水 v ，已知船在静水中速度为 船 v ，那么： （1）怎样渡河时间最短 （2）若水船v v >，怎样渡河位移最小 （3）若 水 船v v <，怎样渡河位移最小，船漂下的距离最短 解析：（1）小船过河问题，可以把小船的渡河运动分解为它同时参与的两个运动，一是小船运动，一是水流的运动，船的实际运动为合运动。如右图所示，船头与河岸垂直渡河，渡河时间最短：船 v L t = min 。 此时，实际速度（合速度）2 2 水船合v v v += 实际位移（合位移）船 水船v v v L L 2 2 sin s +=?= （2）如右图所示，渡河的最小位移即河的宽度。为使渡河位移等于L ，必须使船的合速度v 合的方向与河岸垂直，即使沿河岸方向的速度分量等于0。这时船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ，所以有水船v v =θcos ，即 船水 v v arccos =θ。因为θ为锐角，1cos 0<<θ，所以只有在 水船v v >时，船头与河岸上游的夹角船 水v v arccos =θ，船才有可 能垂直河岸渡河，此时最短位移为河宽，即L s =min 。实际速度（合速度）θsin 船合v v =，V 船 V 水 V 合 运动时间θ sin 船合v L v L t == （3）若水船v v <，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使漂下的距离最短呢 如右图所示，设船头v 船与河岸成θ角。合速度v 合与河岸成α角。可以看出：α角越大，船漂下的距离x 越短，那么， 在什么条件下α角最大呢以v 水的矢尖为圆心，v 船为半径画圆，当v 合与圆相切时，α角最大，根据水 船v v = θcos ，船头与河岸的夹角应为水 船v v arccos =θ，此时渡河的最短位移： 船 水v Lv L s == θcos 渡河时间：θ sin 船v L t = ， 船沿河漂下的最短距离为：θ θsin )cos (min 船船水v L v v x ? -= 误区：不分条件，认为船位移最小一定是垂直到达对岸；将渡河时间最短与渡河位移最小对应。 【练习1】小河宽为d ，河水中各点水流速度大小与各点到较近河岸边的距离成正比， d v k kx v 0 4= =，水，x 是各点到近岸的距离，小船船头垂直河岸渡河，小船划水速度为0v ，则下列说法中正确的是（ ） A. 小船渡河的轨迹为曲线 B. 小船到达离河岸 2 d 处，船渡河的速度为02v C. 小船渡河时的轨迹为直线 小船过河问题 问题本质 小船渡河是典型的运动的合成问题。需要理解运动的独立性和等时性原理，掌握合速度与分速度之间的关系。小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动v 水（水冲船的运动），和船相对水的运动v 船（即在静水中的船的运动），船的实际运动v 是合运动。 基本模型 1、v 水 小船渡河专题训练卷 1．如图所示，河的宽度为d ，船渡河时船头始终垂直河岸．船在静水中的速度大小为v 1，河水流速的大小为v 2，则船渡河所用时间为( ) A ． 1d v B ．2 d v C ． 12d v v + D 2．河宽420 m ，船在静水中速度为4 m ／s ，水流速度是3 m ／s ，则船过河的最短时间为( ) A ．140 s B ．105 s C ．84 s D ．760 s 3．小船在静水中的航行速度为1m/s ，水流速度为2m/s ，为了在最短距离内渡河，则小船船头指向应为（图中任意方向间的夹角以及与河岸间的夹角均为300）（ ） A ．a 方向 B ．b 方向 C ．c 方向 D ．e 方向 4．小船在静水中的速度是v ，今小船要渡过一河流，渡河时小船朝对岸垂直划行，若航行至河中心时，河水流速增大，则渡河时间将（ ） A. 不变 B.减小 C.增大 D.不能确定 5．一条河宽为d ，河水流速为1v ，小船在静水中的速度为2v ，要使小船在渡河过程中所行 路程S 最短，则( ) A ．当1v ＞2v 时， B ．当1v ＜2v 时， C ．当1v ＞2v 时，．当2v ＜1v ，6．一小船在静水的速度为3m/s ，它在一条河宽150m ，水流速度为4m/s 的河流中渡河，则 该小船（ ） A ．能到达正对岸 B ．渡河的时间可能少于50s C ．以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为200m D ．以最短位移渡河时，位移大小为150m 7．某船在静水中的速率为4m/s, 要横渡宽为40m 的河, 河水的流速为5m/s 、 下列说法中不 曲线运动习题课 一、船过河模型 1、处理方法：小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动(水冲船的运动)和船相对水的运动，即在静水中的船的运动（就是船头指向的方向），船的实际运动是合运动。 2、若小船要垂直于河岸过河，过河路径最短，应将船头偏向上游，如图甲所示，此时过河时间： 3、若使小船过河的时间最短，应使船头正对河岸行驶，如图乙所示，此时过河时间(d为河宽)。因为在垂直于河岸方向上，位移是一定的，船头按这样的方向，在垂直于河岸方向上的速度最大。 二、绳端问题（绳子末端速度分解） 绳子末端运动速度的分解，按运动的实际效果进行可以方便我们的研究。 例如在右图中，用绳子通过定滑轮拉物体船，当以速度v匀速拉绳子时，求船的速度。 解析：船的运动(即绳的末端的运动)可看作两个分运动的合成： a)沿绳的方向被牵引，绳长缩短，绳长缩短的速度等于左端绳子伸长的速度。即为v； b)垂直于绳以定滑轮为圆心的摆动，它不改变绳长。这样就可以求得船的速度为, 当船向左移动，α将逐渐变大，船速逐渐变大。虽然匀速拉绳子，但物体A却在做变速运动。 绳子末端速度的分解问题，是本章的一个难点，同学们在分解时，往往搞不清哪一个是合速度，哪一个是分速度。以至解题失败。下面结合例题讨论一下。例1、如图1所示，在河岸上利用定滑轮拉绳索使小船靠岸，拉绳速度大小为v1，当船头的绳索与水平面夹角为θ时，船的速度多大 解析我们所研究的运动合成问题，都是同一物体同时参与的两个分运动的合成问题，而物体相对于给定参照物（一般为地面）的实际运动是合运动，实际运动的方向就是合运动的方向。本例中，船的实际运动是水平运动，它产生的实际效果可以A点为例说明：一是A点沿绳的收缩方向的运动，二是A点绕O点沿顺时针方向的转动，所以，船的实际速度v可分解为船沿绳方向的速度v1和垂直于绳的速度v2，如图1所示。由图可知：v＝v1/cosθ 点评不论是力的分解还是速度的分解，都要按照它的实际效果进行。本例中，若将拉绳的速度分解为水平方向和竖直方向的分速度，就没有实际意义了，因为船并不存在竖直方向上的分运动 例2 如图2所示，一辆匀速行驶的汽车将一重物提起，在此过程中，重物A 的运动情况是【】 A. 加速上升，且加速度不断增大 B. 加速上升，且加速度不断减小 C. 减速上升，且加速度不断减小 D. 匀速上升 解析物体A的速率即为左段绳子上移的速率，而左段绳子上移的速率与右段绳子在沿着绳长方向的分速率是相等的。右段绳子实际上同时参与两个运动：沿绳方向拉长及向上摆动。将右段绳子与汽车相连的端点的运动速度v沿绳子方向 小船过河问题| 1河宽d ＝60m ，水流速度v 1＝6m ／s ，小船在静水中的速度v 2=3m ／s ，问： (1)要使它渡河的时间最短，则小船应如何渡河?最短时间是多少? (2)要使它渡河的航程最短，则小船应如何渡河?最短的航程是多少? 2在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为v 1，摩托艇在静水中的航速为v 2，战士救人的地点A 离岸边最近处O 的距离为d ，如战士想在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离O 点的距离为( C ) A ．21222υυυ-d B ．0 C ．21υυd D ．12υυd 3某人横渡一河流，船划行速度和水流动速度一定，此人过河最短时间为了T 1；若此船用最短的位移过河，则需时间为T 2，若船速大于水速，则船速与水速之比为（ ） (A) 212 22 T T T - (B) 12T T (C) 222 11T T T - (D) 21T T 4小河宽为d ，河水中各点水流速度大小与各点到较近河岸边的距离成正比，d v k kx v 04==，水，x 是各点到近岸的距离，小船船头垂直河岸渡河，小船划水速度为0v ，则下列说法中正确的是（ ） A 、小船渡河的轨迹为曲线 B 、小船到达离河岸2d 处，船渡河的速度为02v C 、小船渡河时的轨迹为直线 D 、小船到达离河岸4/3d 处，船的渡河速度为010v 5. 如图1所示，人用绳子通过定滑轮以不变的速度0v 拉水平面上的物体A ，当绳与水平方向成θ角时，求 物体A 的速度。 6 如图3所示，某人通过一根跨过定滑轮的轻绳提升一个质量为m 的重物，开始时人在滑轮的正下方， 绳下端A 点离滑轮的距离为H 。人由静止拉着绳向右移动，当绳下端到B 点位置时，人的速度为v ，绳 与水平面夹角为θ。问在这个过程中，人对重物做了多少功？ 7. 一条宽度为L 的河，水流速度为水v ，已知船在静水中速度为船v ，那么： （1）怎样渡河时间最短？（2）若水船 v v >，怎样渡河位移最小？（3）若水船v v <，怎样渡河船漂下的距离最短？ 小船过河问题 欧阳光明（2021.03.07） 轮船渡河问题： （1）处理方法：轮船渡河是典型的运动的合成与分解问题，小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动（水冲船的运动）和船相对水的运动（即在静水中的船的运动），船的实际运动是合运动。 1．渡河时间最少：在河宽、船速一定时，在一般情况下， 渡河时间 θ υυsin 1 船d d t = = ，显然，当?=90θ时，即船头的指向与 河岸垂直，渡河时间最小为v d ，合运动沿v 的方向进行。 2．位移最小 若水船υυ> 结论船头偏向上游，使得合速度垂直于河岸，位移为河宽，偏 离上游的角度为 船 水υυθ= cos v 若水船v v <，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使漂下的距离最短呢？如图所示， 设船头v 船与河岸成θ角。合速度v 与河岸成α角。可以看出：α角越大，船漂下的距离x 越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以v 水的矢尖为圆心，v 船为半径画圆，当v 与圆相切时，α角 最大，根据 水 船v v = θcos 船头与河岸的夹角应为 水 船v v arccos =θ，船沿河漂下的最短距离为： 此时渡河的最短位移： 船 水 v dv d s == θcos 【例题】河宽d ＝60m ，水流速度v 1＝6m ／s ，小船在静水中的速度v 2=3m ／s ，问： (1)要使它渡河的时间最短，则小船应如何渡河?最短时间是多少? (2)要使它渡河的航程最短，则小船应如何渡河?最短的航程是多少? ★解析： (1)要使小船渡河时间最短，则小船船头应垂直河岸渡河，渡河的最短时间 (2)渡河航程最短有两种情况： ①船速v 2大于水流速度v 1时，即v 2>v 1时，合速度v 与河岸垂 小船渡河的问题 在高中物理教学中，往往遇到小船在水有一定流速的河中渡河的问题。这类问题一般有小船渡河的时间最小，位移最小，速度最小三种情况： 问题一：小船如何渡河时间最小，最小时间为多少？ 分析及解答：设河宽为d ，小船在静水中的速度为V 船，水流速度为V 水，如图1中的甲。将船对水的速度沿平行河岸方向和垂直河岸方向正交分解。沿平行河岸方向的速度不影响渡河的快慢，小船渡过河时时间与垂直河岸方向的速度有关，当小船垂直河岸渡过河时时间最小，即最小时间为t min =d/V 船。 [例题1]：河宽60m,小船在静水中的速度为4m/s,水流速度为3m/s 。求小船渡河的最小时间是多少，小船 实际渡河的位移为多大？ 分析及解答：如图1中的乙，当小船垂直河岸渡过河时时间最 小，即最小时间为t min =d/V 船。 ∴t min =d/V 船=60/4=15(s)。 小船实际渡河的位移S AB =V 合t min =5*15=75(m). 问题二：小船如何渡河到达对岸的位移最小，最小位移是多少？ 分析及解答：在小船渡河过程中，将船对水的速度沿平行河岸 方向和垂直河岸方向正交分解，如图2中的甲。当小船沿平行河岸 方向的分速度与水速大小相等，方向相反时，即V 1=V 水，小船的合 速度（V 2）就沿垂直河岸方向， 这时渡河到达对岸的位移最小，S min =d 。而 渡河时间t=d/V 2=d/Vsin θ。 [例题2]：河宽60m,小船在静水中的速度为5m/s,水流速度为3m/s 。求小船 渡河的最小位移是多少，小船实际渡河的时间为多大？ 分析及解答：如图2 中的乙，当小船沿平行河岸方向的分速度V 1=V 水， 小船要垂直河岸方向渡河，这时渡河到达对岸的位移最小，Smin=d=60(m)。 而V 船与河岸的夹角θ=arc cos(V 船/V 水)=530。这时小船实际渡河的时间 t=d/V 2=d/V 船sin θ=60/4=15(s). 问题三：小船如何渡河速度最小，最小速度为多少？ 分析及解答：将小船渡河运动看作水流的运动（水冲船的运动）和小船相对静水的运动（设水流不流动时 船的运动）的合运动。如图3中的甲，要使小船沿直线从A 运动到B ，小船在静水中的最小速度为多少？根据运动的合成和平行四边形定则，当小船的速度垂直于AB 直线时，船速最小，最小船 速为V 船=V 水sin θ，船速与水速方向的夹角为900+arc sin(V 船/V 水)。 [例题3]：如图3的乙，一条小船位于100m 宽的河岸A 点处，从这里向下游100√3米处有一危险区，若水流速度为4m/s ，为了使小船避开危险区沿直线到达对岸，小船在静水中的速度至少多大？ 分析及解答：为了使小船避开危险区沿直线AB 到达对岸，则小船的合速度方向沿直线AB 。根据运动的合成和平行四边形定则，当小船的速度垂直于AB 直线时，船速最小，最小船 速为V 船=V 水sin θ。由几何关系可知： tg θ=√3/3, θ=300。∴V 船=4*sin300=2(m/s). 而船速与水速方向的夹角为900+arc sin(V 船/V 水)=1200。 小船过河问题 组题：杨炼军 问题本质 小船渡河是典型的运动的合成问题。需要理解运动的独立性和等时性原理，掌握合速度与分速度之间的关系。小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动v 水（水冲船的运动），和船相对水的运动v 船（即在静水中的船的运动），船的实际运动v 是合运动。 基本模型 1、v 水 小船过河问题 小船渡河是典型的运动的合成问题。需要理解运动的独立性原理，掌握合速度与分速度之间的关系。小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动v 水（水冲船的运动），和船相对水的运动v 船（即在静水中的船的运动），船的实际运动v 是合运动。 基本模型 1、v 水 方向划船都不能使船头垂直于河，只能尽量使船头不那么斜。那么怎样才能使漂下的距离最短呢？如图所示， 设船头v 船与河岸成θ角。合速度v 与河岸成α角。可以看出：α角越大，船漂下的距离x 越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以v 水的矢尖为圆心，v 船为半径画圆，当v 与圆相切时，α角最大，根据水 船v v = θcos 船头与河岸的夹角应为 水 船v v arccos =θ，船沿河漂下的最短距离为： θ θsin )cos (min 船船水v d v v x ? -= 此时渡河的最短位移：船 水v dv d s ==θcos 典型例题 ★某人以不变的速度垂直对岸游去，游到中间，水流速度加大，则此人渡河时间比预定时间 A ．增加 B ．减少 C ．不变 D ．无法确定 答案：C ★某人以一定速度始终垂直河岸向对岸游去，当河水匀速流 动时，他所游过的路程，过河所用的时间与水速的关系是( ) A ．水速大时，路程长，时间长 B ．水速大时，路程长，时间短 C ．水速大时，路程长，时间不变 D ．路程、时间与水速无关 小船过河问题分析与题 解 Revised as of 23 November 2020 小船过河问题分析与题解 【问题概说】 （1）船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动。 （2）三种速度:船相对水的速度为v船（即船在静水中的速度），水的流速为v水（即水对地的速度），船的合速度为v（即船对地的速度，船的实际速度，其方向就是船的航向）。 （3）三种情景： ①过河时间最短:当船头垂直河岸，渡河时间最短，且渡河时间与水的流速无关。 ②过河路径最短：在v 船>v水的条件下，当船的合速度垂直于河岸时，渡河位移（航程或路径）最小并等于河宽。 在v船 【典型题例】 两河岸平行，河宽d=100m ，水流速度v 1=3m/s ，求：（1）船在静水中的速度是4m/s 时，欲使船渡河时间最短，船应怎样渡河最短时间是多少船的位移是多大 （2）船在静水中的速度是6m/s 时，欲使船航行距离最短，船应怎样渡河渡河时间多长 （3）船在静水中的速度为1.5m/s 时，欲使船渡河距离最短，船应怎样渡河船的最小航程是多少 [思路分析]（1 t min =d/v 2=100/4=25s 合速度v=s m v v / 543222 221=+=+ 船的位移大小s=v t min =125m （2）欲使船航行距离最短，需船头向上游转过一定角度使合速度方向垂直于河 岸，设船的开行速度v 2与岸成θ角，则cos θ所以θ=600，合速度v=v 2sin600=3s m /3 t= s v d 9 3 100= （3）船在静水中速度小于水流的速度，船头垂直于合速度v 时，渡河位移最小， 设船头与河岸夹角为β，如图所示： cosβ=2 1 35.112== v v 所以β=600 专题——小船渡河问题和“关联”速度问题 1.小船在200m宽的河中横渡，水的流速为2m/s，船在静水中的航速为4m/s，求： （1）若小船的船头始终正对河岸时，它将在何时、何地到达对岸？ （2）要使小船到达正对岸，应如何行驶？历时多长？ （3）小船渡河的最短时间为多长？ （4）若水流速度是5m/s，船在静水中的速度是3m/s，则怎样渡河才能使船漂下的距离最短？最短距离是多少？ 2.在抗洪抢险中武警战士驾驶摩托艇救人,假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为V1，摩托艇静水中的航速为V2，战士救人的地点A离岸边最近处O的距离为d，如战士在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离O点的距离为？ 3.一条河宽d=10m,水流速度v水=3m/s，一小船在静水中的水流速度v船=4m/s，现在要求在5s内渡河，则船头与河岸的夹角应多大？ 4.河水流速v1=5 m／s，一只小机动船在静水中的速度v2=4 m／s.现在它从A点开始渡河，要使其位移最短，船头应指向何方行驶? 若河宽为120m,求最短航程和渡河时间？ 5.一条两岸为平行直线的小河宽L=60m，水流速度为5m/s，一小船欲从码头A处渡过河去，A的下游80m处的河床陡然降低形成瀑布，要保证小船不掉下瀑布，小船相对水的划行速度至少应多大？此时船的划行方向如何？ 6.在河岸上利用定滑轮拉绳使小船靠岸，拉绳速度为v，当船头绳锁方向与水平方向夹角为θ时，船的速度为多大？ 7.不计所有能接触面之间的摩擦,斜面固定,两物体质量分别为m1和m2,且m1 重点高中物理小船过河问题 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 小船过河问题 轮船渡河问题： （1）处理方法：轮船渡河是典型的运动的合成与分解问题，小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动（水冲船的运动）和船相对水的运动（即在静水中的船的运动），船的实际运动是合运动。 1．渡河时间最少：在河宽、船速一定时，在一般情况下，渡河时间 θυυsin 1船d d t == ，显然，当?=90θ时，即船头的指向与河岸垂直，渡河时间最小为v d ，合运动沿v 的方向进行。 2．位移最小 若水船υυ> 结论船头偏向上游，使得合速度垂直于河岸，位移为河宽，偏离上游的角度为船水υυθ= cos 若水船v v <，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使漂下的距离最短呢？如图所示， 设船头v 船与河岸成θ角。合速度v 与河岸成α角。可以看出：α角越大，船漂下的距离 v 水 θ v α A B E v 船 v 水 v 船 θ v V 水 v 船 θ v 2 v 1 x 越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以v 水的矢尖为圆心，v 船为半径画圆，当v 与圆相切时，α角最大，根据水船 v v =θcos 船头与河岸的夹角应为 水 船v v arccos =θ，船沿河漂下的最短距离为： θ θsin )cos (min 船船水v d v v x ?-= 此时渡河的最短位移：船 水v dv d s ==θcos 【例题】河宽d ＝60m ，水流速度v 1＝6m ／s ，小船在静水中的速度v 2=3m ／s ，问： (1)要使它渡河的时间最短，则小船应如何渡河?最短时间是多少? (2)要使它渡河的航程最短，则小船应如何渡河?最短的航程是多少? ★解析： (1)要使小船渡河时间最短，则小船船头应垂直河岸渡河，渡河的最短时间 s s d t 2030 602===υ (2)渡河航程最短有两种情况： ①船速v 2大于水流速度v 1时，即v 2>v 1时，合速度v 与河岸垂直时，最短航程就是河宽； ②船速v 2小于水流速度v l 时，即v 2 小船过河问题的分析与求解方法 濮阳市油田二高（457001） 何春华 小船过河是运动合成和分解中一种非常具有代表性的运动形式，它对学生正确理解合运动、分运动的概念；弄清合运动、分运动之间的等时性、等效性，以及各分运动之间的独立性等，都有着非常高的思维能力要求。因此是学生学习运动合成与分解的一个难点。那么如何正确解决小船渡河问题呢？笔者认为要想学好这个问题，必须理解好三个方面的关系： （1）运动关系：小船在有一定的河水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动（水冲船的运动）和船相对于水的运动（即在静水中船的运动），船的实际运动是合运动。 （2）时间关系：①合运动和分运动的等时性；②当船头与河岸垂直时，渡河时间最短。 （3）位移关系：①合运动和分运动的位移等效关系；②理解在什么情况下位移最小。下面就对以上关系加以分析和应用举例: 例：设一条河的宽度为L ，水流速度为v 1,已知船在静水中的速度为v 2，那么： （1）怎样渡河时间最短？ （2）若v 2> v 1,怎样渡河位移最小？ （3）若v 2< v 1,怎样渡河位移最小？ 解析：（1）如图所示，设船头斜向上游与河岸成任意角θ， 这时船的速度在y 方向的速度分量为v y =v 2sin θ,渡河所需的时间为θsin 2 v L t =可以看出：L 和v 2一定时，t 随sin θ增大而就减小，当θ=900时sin θ=1（最大），所以，船头与河岸垂直时，渡河时间最短，为2 min v L t =. (2)如图所示，渡河的最小位移即河的宽度，为了使渡河的位移等于L ，必须使船的合速度v 的方向与河岸垂直，即使沿河岸方向的速度分量 ∑=0x v ，这时船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ，根据三角函数关系有0cos 21=-θv v ，即2 1arccos v v =θ。因为1cos 0≤≤θ，所以只有在v 2> v 1时，船才有可能垂直于河岸过河。 （3）如果水流速度大于船在静水中的航行速度，则不论穿的航 向如何，总要被水冲向下游，如图所示，设船头与河岸成θ角， 合速度与河岸成а角，可以看出：а越大，船漂向下游的距离越 短，以v 1的矢尖为圆心，以v 2为半径画圆，当v 与相切时，а角 最大，根据12cos v v =θ，船头与河岸的夹角应为：1 2arccos v v =θ，此时渡河的最短位移为L v v L s 21cos ==θ。 例2（07启东月考）一艘小艇从河岸A 处出发渡河，小艇保 持与河岸垂直方向行驶，经过10min 到达正对岸下游120m 的C 处，如图所示，如果小艇保 （1）船的实际运动是：水流的运动和船相对静水的运动的合运动。 （2）三种速度：v 1（船在静水中的速度）、v 2（水流速）、v （船的实际速度）。 （3）三种情景： ①过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，1 v d t = 短（d 为河宽）。 ②过河路径最短（12v v <时）：合速度垂直于河岸，航程最短， d s =短。 ③过河路径最短（12v v >时）：合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河。确定方法如下：如图所示，以v 2矢量末端为圆心，以v 1矢量的大小为半径画弧，从v 2矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向航程最短。 由图可知：2 1v v sin = θ，最短航程：.d v v sin d s 12=θ= 短 问题3：小船渡河的最值问题： 一小船渡河，河宽d=180m ，水流速度s /m 5.2v 1=。 （1）若船在静水中的速度为s /m 5v 2=，求： ①欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？ ②欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？ （2）若船在静水中的速度s /m 5.1v 2=，要使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？ 解析：将船实际的速度（合速度）分解为垂直河岸方向和平行河岸方向的两个分速度，垂直分速度影响渡河的时间，而平行分速度只影响平行河岸方向的位移。 （1）若s /m 5v 2=。 ①欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向。 当船头垂直河岸时，如图所示，合速度为倾斜方向，垂直分速度 为s /m 5v 2=。 s 36s 5180v d t 2=== s /m 525 v v v 2221= +=合 .m 590t v s ==合 ②欲使船渡河航程最短，应垂直河岸渡河，船头应朝上游与河岸 成某一角度α。 垂直河岸过河这就要求0v =水平，所以船头应向上游偏转一定角度，如图所示，有12v sin v =α得?=α30。 所以当船头向上游偏30°时航程最短。 s=d=180m. . s 324s 325 180 30cos v d t 2==?= （2）若.s /m 5.1v 2= 与（1）中②不同，因为船速小于水速，所以船一定向下游漂移，设合速度方向与河岸下游方向夹角为α，则航程 α= sin d s ，欲使航程最 短，需α最大，如图所示，由出发点A 作出v 1矢量，以v 1矢量末端为圆心，v 2大小为半径作圆，A 点与圆周上某点的连线即为合速度方向，欲使v 合与水平方向夹角最大，应使v 合与圆相切，即2v v ⊥合。 曲线运动——小船渡河问题分析 1．一人以垂直河岸不变的速度（相对水）向对岸游去，若河水流动速度恒定。下列说法中 正确的是 A．河水流动速度对人渡河无任何影响 B．游泳者渡河的路线与河岸垂直 C．由于河水流动的影响，人到达对岸的位置将向下游方向偏移 D．由于河水流动的影响，人到达对岸的时间与静水中不同 答案：C 正确的是 A．小船过河所需的最短时间是40s B．要使小船过河的位移最短，船头应始终正对着对岸 C．要使小船过河的位移最短，过河所需的时间是50s D．如果水流速度增大为6m/s，小船过河所需的最短时间将增大 答案：A A、下落时间越短 B、下落时间越长 C、落地时速度越小 D、落地时速度越大 答案：D 4．小船匀速横渡一条宽120m的河流，当船头垂直于河岸方向航行时，30s到达河对岸下游60m处，则船在静水中的速度为；若船头保持与河岸上游成α角航行，恰好到达正对岸，则α= 。 答案： 5．一小船在静水的速度为3m/s，它在一条河宽150m，水流速度为4m/s的河流中渡河，则 该小船（） A．能到达正对岸 B．渡河的时间可能少于50s C．以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为200m D．以最短位移渡河时，位移大小为150m 答案：C 6．小船在静水中的速度是v，今小船要渡过一河流，渡河时小船朝对岸垂直划行，若航行 至河中心时，河水流速增大，则渡河时间将（） A. 不变 B.减小 C.增大 D.不能确定 答案：A 7．若河水的流速大小与水到河岸的距离有关，河中心水的流速最大，河岸边缘处水的流速 最小。现假设河的宽度为120m，河中心水的流速大小为5m/s，船在静水中的速度大小为3m/s，则下列说法中正确的是（） A．船渡河的最短时间是40s B．船在河水中航行的轨迹是一条直线 C．要使船渡河时间最短，船头应始终与河岸垂直 D．要使船渡河行程最短，船头应与上游河岸成53°行驶 答案：AC 8．一条河宽100m，水流速度为3m/s，一条小船在静水中的速度为5m/s，关于船过河的过 程，下列说法不正确的是： A．船过河的最短时间是20s B．船要垂直河岸过河需用25s的时间 C．船的实际速度可能为5m/s D．船的实际速度可能为10m/s 答案：D 9．某船在静水中的速率为4m/s, 要横渡宽为40m的河, 河水的流速为5m/s、下列说法中 不正确的是 A、该船不可能沿垂直于河岸的航线抵达对岸 B、该船渡河的速度最小速度是3m/s C、该船渡河所用时间至少是10s D、该船渡河所经位移的大小至少是50m 答案：B 10．一只船在200m宽的河中横渡，水流速度是2m/s，船在静水中的航速是4m/s，欲使小船以最短时间渡过河去，则应使船头方向_________河岸（填“垂直”或“不垂直”）行驶，最短的时间是_________ s. 答案：垂直50 11．一艘船以相对于静水恒定的速率渡河，水流速度也恒定（且小于船速），若河的宽度 一定，要使船到达对岸航程最短，则（） A．船头指向应垂直河岸航行B．船头指向应偏向下游一侧 C．船头指向应偏向上游一侧D．船不可能沿直线到达对岸(完整版)高中物理小船过河问题含答案,推荐文档
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