新课标理 专题六 统计与概率、推理与证明、算法初步
一、选择题
1、2011年3月11日，日本发生了9级大地震并引发了核泄漏.某商场有四类食品，粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测.若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是（ ）
．4
．5
．6
．7
2、设随机变量ξ服从标准正态分布(01)N ，，已知(|| 1.96)P ξ<=0.950，则(1.96)Φ-
=（ ）
．0.025 ．0.050 ．0.950
．0.975
3.设,,l m n 是三条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，,,a b c
是三个不同的向量，则下
列命题不正确的是（ ）
．若l ∥m ，m ∥n ，则l ∥n
．若α∥β，β∥γ，则α∥γ
．若
a ∥
b
，
b
∥
c
，则
a
∥
c
．若l ∥α，m ∥α，则l 不一定平行于m
4、温家宝总理在十二五规划中提到十二五期间，要保民生，为落实温总理指示，某社区办事处为了调查居民的身体素质情况，从本社区内随机抽查了50名居民进行百米测试，成绩
全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：
的居民人数占抽查人数的百分比为x ，成绩大于等于
15秒且小于17秒的居民人数为y ，则从频率分布直方
图中可以分析出x 和y 分别为（ ）
．0.935， ．0.945，
．0.135，
．0.145，
5.在区域???≤≤≤≤1
010y x ，内任意取一点),(y x P ，则221x y +≥的概率是（ ）
．0
. 21
4
-
π
．4π
．
41π
-
6、十六届亚运会于2010年11月12日至27日在广州隆重召开，吉祥物“祥和如意乐洋洋”，寓意着“吉祥、和谐、幸福、圆满和快乐”，深受人们的喜爱！
每套吉祥物含有5只小羊，小明有一套吉祥物，他想将这5只小羊全发给4名同学，每名同学至少有一只羊的概率是
.6415
.12815
. 12524
. 12548
7.若函数()()()F x f x f x =+-，()()()G x f x f x =--，其中()f x 的定义域为R ，且()f x 不恒为零，则（ ）
．()F x ()G x 均为偶函数
．()F x 为奇函数，()G x 为偶函数
．()F x 与()G x 均为奇函数
．()F x 为偶函数，()G x 为奇函数
8．设函数
221)(+
=
x
x f ，类比课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得
(2010)(2009)(2008)(2011
f f f f
-+-+-+???+的值为（ ）
.
.
.
.
2
9、位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向
上或向右，并且向上、向右移动的概率都是1
2.质点P 移动5次后位于点
2
2
(,),25
x y x y +<则的概率为（ ）
． 1 ．1516 ．78 ． 13
16
10、图1是某高校参加2010年上海世博会志愿者选拔的学生身高的条形统计图，从左到右各表示学生人数依次记为A1、A2、…、A10（如A2表示身高（单位：cm ）在[150，155)内的人数）.图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图.现要统计身高在[160，180)内的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是（ ）
．i<6
．i<7
．i<8
．i<9
二、填空题
11、某次体育测试，抽取了20名学生并得到它们的分数，数据分布表如下：
12.若
()
f x 是R
上周期为5的奇函数，且满足
(1)1f =，则
(2011)
(2f f -= .
13、已知集合{123},A a b A =∈，，，，记“点()P a b ，落在直线x y n +=上”为事件(26)
n C n n N *
≤≤∈ ，则3n ≥的概率为 .
14、如果执行右面的程序框图，那么输出的S = . 三、解答题
15.某市教育局责成基础教育处调查本市学生的身高情况，基础教育处随机抽取某中学甲、
乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图所示：
(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高; (2)计算甲班的样本方差；
(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm 的同学,求身高为176cm 的同学被抽中的概率.
16、某地质监部门检查食品类产品情况，从某批产品中，有放回地抽取产品两次，每次随机抽取1件，假设事件A ：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率()0.96P A =． （1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p ；
（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，ξ表示取出的2件产品中二等品的件数，求ξ的分布列．
17.已知函数
22
()1x
f x x
=
+，
（1）分别求
111
(2)(),(3)(),(4)()
234f f f f f f +++的值；
（2）归纳猜想一般性结论，并给出证明； （3）求值：
11
1
(1)(2)(2011)(
)(
)()(1).2011
20102f f f f f f f ++++++++
18. 对于定义域为
[]0,1的函数
()
f x ，如果同时满足以下三条：①对任意的[]
0,1x ∈，总有
()0
f x ≥；
②(1)1f =；③若12120,0,1x x x x ≥≥+≤，都有1212()()()
f x x f x f x +≥+成立，则称函
数()f x 为理想函数．
（1）若函数()f x 为理想函数，证明(0)0.f =
（2）判断函数()21x
g x =-（]1,0[∈x ）是否为理想函数，如果是，请予以证明；如果不是，请说明理由.
19．以下是鲁西南地区某县搜集到的新房屋的销售价格y 和房屋的面积x 的数据：
（1）画出数据对应的散点图；
（2）求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线； （3）据（2）的结果估计当房屋面积为2
150m 时的销售价格
20.某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则
即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为54
、53
、52
，且各轮问题能否正确回答互不影响. （Ⅰ）求该选手被淘汰的概率；
（Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望.（注：本小题结果可用分数表示）
答案解析（专题六）新课标理
1.选 共有食品100种，抽取容量为20的样本，各抽取51
，故抽取植物油类与果蔬类食品种数之和为2+4=6，选.
2.选A 因为ξ服从标准正态分布(01)N ，
，(|| 1.96)( 1.96 1.96)P P ξξ<=-<<=所以 (1.96)( 1.96)12( 1.96)0.950( 1.96)=0.025ΦΦΦΦ--=--=∴-，.
3.选.直线、平面的平行具有传递性，故、正确，向量的平行不具有传递性，如果=0b
，
则a c
与关系不定，
不正确，故选.
4.选 从频率分布直方图上可以看出
1(0.060.04)0.9
x =-+=，50(0.360.34)35y =?+=.
5.选 如图，
1
2
2<+y
x 的概率为1
4
1
π
＝4π
.
根据对立事件概率公式，2
2
1x y +≥的概率是
41π
-
.
6.选 将5只不同的小羊全发给4名同学共有45种发法，其中每名同学至少有一只羊的
发法有
44
25
A
C ，故每名同学至少有一只羊的概率是P=6415
4
5
4
4
25=
A C ，选.
7.选 ()()()(F x f x f x F x -=-+=，
()()()()G x f x f x G x -=--=-，故选. 8.选
221)(+
=
x
x f ，∴
x
x
x
x
x
x f 2
22
2
12
2222
2
1)1(1+?=
?+
=
+=
--，
222
22
2
11)1()(=
+?+
=
-+∴x
x
x f x f ，
发现)1()(x f x f -+正好是一个定值，
=(2010)(2009)(2008)(2011)=(2011)(2010)(2009)(2010)
S f f f f S f f f f -+-+-+???++++???+-
240222
2
S S ∴=
=
，.
9.选 质点P 移动5次后可能位于点(0,5),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(5,0)，其中满足
2
2
25
x y +<点为(1,4),(2,3),(3,2),(4，
其对立事件为质点P 移动5次后位于点(0,5),(5,0)
，
即质点在移动过程中向右移动5次、向上移动0次或向右移动0次、向上移动5次，因此所
求的概率为
5505
551111151()()122323216P C C =--=--=
. 10.选 因为S=4567A A A A +++，故选.
11. 【解析】 由表中可知这些学生中，体育成绩不小于80分的学生数为:2012314---=，
故约占学生总数的00
14
0.707020==.
答案：70 12. 【解析】若
()
f x 是R 上周期为5的奇函数，则(0)0f =，
(2011)(2010)(40251)(40250)(1)(0)101f f f f f f ∴-=?+-?+=-=-=.
答案：1
13. 【解析】方法1：事件
n
C 的总的基本事件个数为339?=.
当n=3时，落在直线3x y +=上的点为（1,2）、（2,1），含有2个基本事件； 当n=4时，落在直线4x y +=上的点为（1,3）、（2,2）、（3,1），含有3个基本事件； 当n=5时，落在直线5x y +=上的点为（2,3）、（3,2），含有2个基本事件； 当n=6时，落在直线6x y +=上的点为（3,3），含有1个基本事件；
故3n ≥的概率为2321
8(3)(3456).
9
9P n P n n n n +++≥======
=或或或
方法2：当n=2时，落在直线2x y +=上的点为（1，1）， 含有1个基本事件，
故3n ≥的概率为
18(3)1(2)1.
99P n P n ≥=-==-
=
答案：8
9
14. 【解析】由程序知，
(211)(221)(2501)50(2100)
502500.
2
S =?-+?-++?-+=
-=
答案：2500
15.【解析】（1）由茎叶图可知：乙班平均身高较高; (2)
158162163168168170171179179182
170
10
x +++++++++=
=
甲班的样本方差为
()()()()()()()()()2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1[(158170)162170163170168170168170170170171170179170179170182170]=57.2
10
-+-+-+-+-+-+-+-+-+-（3）设身高为176cm 的同学被抽中的事件为.
从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm 的同学有：（181，173），（181，176），（181，
178），（181，179），（179，173），（179，176），（179，178），（178，173），(178, 176) ，（176，
173）共10个基本事件，而事件含有4个基本事件， ()4210
5P A ∴=
=.
16.【解析】（1）记0
A 表示事件“取出的2件产品中无二等品”，
1
A 表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”．
则01
A A ，互斥，且
01
A A A =+，故
01()()
P A P A A =+
012
1
22
()()(1)C (1)
1P A P A p p p p
=+=-+-=-
于是2
0.961p
=-．
解得
120.20.2
p p ==-，（舍去）．
所以所求概率0.2p =.
（2）ξ的可能取值为012，
，． 若该批产品共100件，由（1）知其二等品有1000.220?=件，故
2
802100
C 316(0)C 495
P ξ==
=
．
11
80202
100C C 160(1)C 495
P ξ==
=
．
2202100
C 19(2)C 495
P ξ==
=
．
所以ξ的分布列为
22
22
2
22
2222
2
222
2.(),
11()12212(2)()1121212211()
2
11
(3)()1,(4)() 1.
341
()()11()11()()111111()
1(1)(2)(2011)(
20x
f x x
f f f f f f f x f x
x x x f x f x x x x x
S f f f f =
+∴+=+=+=+++++=+=+=+=+=+=++++++++ 17解析：(1)，同理可得(2)由(1)猜想，
证明：(3)令=1
1
)(
)()(1).11
20102
11
=(1)()()(2011)(2010)(2)(1)
22011=4022,2011.
f f f S f f f f f f f S S ++++++++++++= 则则2
18.【解析】（1）取021==x x 可得
0)0()0()0()0(≤?+≥f f f f ．
又由条件①可得0)0(≥f ，故0)0(=f ．
（2）)(x g 是理想函数，显然12)(-=x
x g 在[0，1]满足条件①0)(≥x g ； 也满足条件②1)1(=g ，若01≥x ，02≥x ，121≤+x x ，则
12
1
2
1212()[()()]2
1[(2
1)(2
1)]x x x x g x x g x g x ++-+=---+-0
)12
)(12
(12
2
2
1
2
2
1
2
1≥--=+--=+x x x x x x ，
即满足条件③， 故)(x g 是理想函数． 19.【解析】（1）数据对应的散点图如图所示：
（2）
109
5
1
5
1
==
∑=i i
x x ，
1570
)(2
5
1
=-=
∑=x x
l i i
xx ，
308
))((,2.235
1
=--=
=∑=y y x x
l y i i i
xy ，
设所求回归直线方程为a
bx y +=
，
则1962
.01570
308≈=
=
xx
xy l l b ，
8166
.11570
3081092.23≈?
-=-=x b y a ，
故所求回归直线方程为8166.11962.0+=x y .
（3）据（2），当2
150x m =时，销售价格的估计值为：
2466.318166.11501962.0=+?=y
（万元）.
20.方法一：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的事件为
(123)
i A i =，，，则
14()5P A =
，
23()5P A =
，
32()5P A =
，
∴该选手被淘汰的概率
112223112123()()()()()()()
P P A A A A A A P A P A P A P A P A P A =++=++
142433101555555125=+?+??=．
（Ⅱ）ξ的可能值为123，，
，11(1)()5P P A ξ===
，
1212428(2)()()()5525P P A A P A P A ξ====
?
=
， 12124312(3)()()()5
5
25P P A A P A P A ξ====
?=
．
ξ∴的分布列为
1812571235
2525
25E ξ∴=?
+?
+?
=．
方法二：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的事件为
(123)
i A i =，，，则
14()5P A =
，
23()5P A =
，
32()5P A =
．
∴该选手被淘汰的概率1231231()1()()()P P A A A P A P A P A =-=- 4321011555125=-
??=．
（Ⅱ）同方法一．