九年级中考数学圆的综合解答题压轴题提高专题练习及详细答案
一、圆的综合
1．（类比概念）三角形的内切圆是以三个内角的平分线的交点为圆心，以这点到三边的距
离为半径的圆，则三角形可以称为圆的外切三角形，可以得出三角形的三边与该圆相
切．以此类推，如图1，各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形
（性质探究）如图1，试探究圆外切四边形的ABCD两组对边AB， CD 与 BC， AD 之间的数量关系
猜想结论：（要求用文字语言叙述）
写出证明过程（利用图1，写出已知、求证、证明）
（性质应用）
① 初中学过的下列四边形中哪些是圆外切四边形（填序号）
A：平行四边形：B：菱形： C：矩形； D：正方形
②如图 2，圆外切四边形ABCD，且 AB=12， CD=8，则四边形的周长是．
③圆外切四边形的周长为48cm，相邻的三条边的比为5：4： 7，求四边形各边的长．
【答案】见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据切线长定理即可得出结论；
（2）①圆外切四边形是内心到四边的距离相等，即可得出结论；
② 根据圆外切四边形的对边和相等，即可求出结论；
③ 根据圆外切四边形的性质求出第四边，利用周长建立方程求解即可得出结论．
【详解】
性质探讨：圆外切四边形的对边和相等，理由：
如图 1，已知：四边形ABCD的四边 AB， BC，CD， DA 都于⊙ O 相切于 G， F， E， H．
求证： AD+BC=AB+CD．
证明：∵ AB， AD 和⊙O 相切，∴ AG=AH，同理： BG=BF，CE=CF，DE=DH，
∴A D+BC=AH+DH+BF+CF=AG+BG+CE+DE=AB+CD，即：圆外切四边形的对边和相
等．故答案为：圆外切四边形的对边和相等；
性质应用：① ∵根据圆外切四边形的定义得：圆心到四边的距离相等．
∵平行四边形和矩形不存在一点到四边的距离相等，而菱形和正方形对角线的交点到四边
的距离相等．
故答案为： B， D；
② ∵圆外切四边形ABCD，∴ AB+CD=AD+BC．
∵AB=12， CD=8，∴ AD+BC=12+8=20，∴ 四边形的周长是AB+CD+AD+BC=20+20=40．
故答案为： 40；
③ ∵相邻的三条边的比为 5： 4：7 ，∴设此三边为 5x， 4x， 7x，根据圆外切四边形的性质
得：第四边为 5x+7x﹣4x=8x．
∵圆外切四边形的周长为48cm，∴ 4x+5x+7x+8x=24x=48，∴ x=2，∴此四边形的四边为
4x=8cm， 5x=10cm，7x=14cm， 8x=16cm．
【点睛】
本题是圆的综合题，主要考查了新定义圆的外切的性质，四边形的周长，平行四边形，矩
形，菱形，正方形的性质，切线长定理，理解和掌握圆外切四边形的定义是解答本题的关
键．
2．已知 ?ABCD的周长为26，∠ ABC=120°， BD 为一条对角线，⊙O内切于△ ABD，E，F，G 为切点，已知⊙ O 的半径为 3 ．求?ABCD的面积．
【答案】 20 3
【解析】
【分析】
首先利用三边及⊙ O的半径表示出平行四边形的面积，再根据题意求出AB+AD=13，然后利用切线的性质求出BD 的长即可解答.
【详解】
设⊙ O 分别切△ ABD 的边 AD、AB、 BD 于点 G、E、 F；
平行四边形ABCD的面积为S；
1
则 S=2S△ABD=2 × (AB ·OE+BD·OF+AD·OG)= 3 （AB+AD+BD）；
2
∵平行四边形ABCD的周长为26，
∴A B+AD=13，
∴S= 3 (13+BD)；连接 OA；
由题意得：∠ OAE=30°，
∴A G=AE=3；同理可证 DF=DG， BF=BE；
∴D F+BF=DG+BE=13﹣ 3﹣ 3=7，
即BD=7，
∴S= 3 （13+7）=20 3 ．
即平行四边形ABCD的面积为20 3 ．
3．如图，已知Rt△ ABC中， C=90°， O 在 AC 上，以 OC为半径作⊙ O，切 AB 于 D 点，且BC=BD．
（1）求证： AB 为⊙ O 的切线；
（2）若 BC=6，sinA= 3
，求⊙ O 的半径；5
（3）在（ 2）的条件下， P 点在⊙ O 上为一动点，求BP 的最大值与最小值.
【答案】（ 1）连 OD，证明略；（ 2）半径为3；（ 3）最大值3 5 +3，35-3. 【解析】
分析：（ 1）连接 OD， OB，证明△ ODB≌ △ OCB即可 .
（2）由sinA= 3
且BC=6可
知，
AB=10 且
cosA= 4
，然后求出OD 的长度即可.
5 5
（3）由三角形的三边关系，可知当连接 OB 交⊙ O 于点 E、 F，当点 P 分别于点 E、 F 重合时，BP 分别取最小值和最大值 .
详解：（ 1）如图：连接OD、 OB.
在△ ODB 和△OCB 中：
OD=OC,OB=OB,BC=BD;
∴△ ODB≌△ OCB（SSS） .
∴∠ ODB=∠C=90 .°
∴AB 为⊙ O 的切线 .
（2）如图：
∵sinA= 3
，∴
CB 3
, 5AB 5
∵B C=6，∴ AB=10,∵B D=BC=6,
∴A D=AB-BD=4,
∵s inA= 3
，∴ cosA=
4
，
5 5
∴O A=5，∴ OD=3，
即⊙ O 的半径为： 3.
（3）如图：连接OB，交⊙ O 为点 E、F，
由三角形的三边关系可知：
当 P 点与 E 点重合时， PB取最小值 .
由（ 2）可知： OD=3， DB=6,
∴OB= 32 62 3 5
.
∴PB=OB-OE=3 5 3 .
当 P 点与 F 点重合时， PB 去最大值，
PB=OP+OB=3+35 .
点睛：本题属于综合类型题，主要考查了圆的综合知识.关键是对三角函数值、勾股定理、
全等三角形判定与性质的理解.
4．已知，如图： O1为 x 轴上一点，以 O1为圆心作⊙ O1交 x 轴于 C、D 两点，交 y 轴于M、 N 两点，∠ CMD 的外角平分线交⊙ O1于点 E，AB 是弦，且 AB∥ CD，直线 DM 的解析式为
y=3x+3．
（1）如图 1，求⊙ O1半径及点 E 的坐标．
（2）如图 2，过 E 作 EF ⊥ BC 于 F ，若 A 、B 为弧 CND 上两动点且弦 AB ∥ CD ，试问： BF+CF 与
AC 之间是否存在某种等量关系？请写出你的结论，并证明．
（3）在（ 2）的条件下， EF 交 ⊙ O 1 于点 G ，问弦 BG 的长度是否变化？若不变直接写出 BG 的长（不写过程），若变化自画图说明理由．
【答案】（ 1） r=5 E （ 4， 5） （ 2） BF+CF=AC （ 3）弦 BG 的长度不变，等于 5 2 【解析】
分析：（ 1）连接 ED 、 EC 、EO 1、 MO 1，如图 1，可以证到 ∠ ECD=∠ SME=∠ EMC=∠ EDC ，从
而可以证到 ∠ EO 1
1
D=∠EO C=90 °．由直线 DM 的解析式为 y=3x+3 可得 OD=1，OM=3．设
⊙O 1 的半径为 r ．在 Rt △ MOO 1 中利用勾股定理就可解决问题．
（ 2）过点 O 作 O P ⊥EG 于 P ，过点 O 作 O Q ⊥ BC 于 Q ，连接 EO 、 DB ，如图 2．由
1 1
1 1
1
AB ∥ DC 可证到 BD=AC ，易证四边形 O PFQ 是矩形，从而有 O P=FQ ， ∠ PO Q=90 °，进而有
1
1 1
∠EO P=∠ CO Q ，从而可以证到 △EPO ≌△ CQO ，则有 PO =QO ．根据三角形中位线定理
1
1
1
1 1 1
可得 FQ=
1
BD ．从而可以得到 BF+CF=2FQ=AC ．
2
（ 3）连接 EO ， ED ， EB ， BG ，如图 3．易证 EF ∥BD ，则有 ∠GEB=∠ EBD ，从而有
1
? ? ，也就有 BG=DE ．在 Rt △ EO 1 D 中运用勾股定理求出 ED ，就可解决问题． BG =
ED
详解：（ 1）连接 ED 、 EC 、EO 1、 MO 1，如图 1． ∵ ME 平分 ∠ SMC ， ∴∠ SME=∠ EMC ．
∵ ∠SME=∠ ECD ，∠ EMC=∠ EDC ， ∴ ∠ ECD=∠ EDC ，∴ ∠ EO 1D=∠EO 1C ．
∵ ∠EO 1D+∠ EO 1C=180 °， ∴ ∠EO 1D=∠ EO 1C=90 °．
∵ 直线 DM 的解析式为 y=3x+3， ∴ 点 M 的坐标为（ 0， 3），点 D 的坐标为（﹣ 1 ，0），∴OD=1， OM=3．
设 ⊙O 1 的半径为 r ，则 MO 1=DO 1=r ． 在 Rt △ MOO 1 中，（ r ﹣1） 2+32 =r 2．
解得： r=5， ∴ OO 1 =4， EO 1=5， ∴⊙ O 1 半径为 5，点 E 的坐标为（ 4， 5）．
（ 2）BF+CF=AC ．理由如下：
过点 O 1 作 O 1P ⊥ EG 于 P ，过点 O 1 作 O 1Q ⊥BC 于 Q ，连接 EO 1 、 DB ，如图 2． ∵ AB ∥ DC ， ∴∠ DCA=∠ BAC ， ∴ ? = ? ， ? = ? ， ∴ BD=AC ．
AD BC BD AC
∵ O 1P ⊥ EG ，O 1Q ⊥ BC ， EF ⊥BF ， ∴ ∠O 1PF=∠ PFQ=∠ O 1QF=90 °， ∴四边形 O 1PFQ 是矩形， ∴ O 1 P=FQ ， ∠ PO 1Q=90 °， ∴ ∠EO 1P=90 °﹣∠ PO 1C=∠ CO 1Q ．
EO 1P
CO 1Q
在 △EPO 1 和 △ CQO 1 中，
EPO 1 CQO 1 ，
O 1E O 1C
∴△ EPO 1 ≌△ CQO 1， ∴ PO 1 =QO 1，∴ FQ=QO 1．
∵ QO 1⊥ BC ， ∴ BQ=CQ ．
1 1
∵ CO 1=DO 1， ∴ O 1Q= BD ， ∴ FQ= BD ．
2
2
∵ BF+CF=FQ+BQ+CF=FQ+CQ+CF=2FQ ， ∴ BF+CF=BD=AC ． （ 3）连接 EO 1， ED ， EB ， BG ，如图 3．
∵ DC 是⊙ O 1 的直径， ∴∠ DBC=90 °， ∴∠ DBC+∠ EFB=180 °，∴ EF ∥ BD ， ∴∠ GEB=∠ EBD ， ∴
?
BG = ED ? ， ∴ BG=DE ．
∵ DO 1=EO 1=5，EO 1⊥ DO 1 ，∴ DE=5 2 ， ∴
BG=5 2
，
∴弦 BG 的长度不变，等于
5
2 ．
点睛：本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、弧与弦的关系、垂径定理、全等三
角形的判定与性质、矩形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的判定与性质、勾股
定理等知识，综合性比较强，有一定的难度．而由
AB ∥ DC 证到 AC=BD 是解决第（ 2）小题
的关键，由 EG ∥ DB 证到 BG=DE 是解决第（ 3）小题的关键．
5．如图， ⊙ M 与菱形 ABCD 在平面直角坐标系中，点 M 的坐标为（ 3，﹣ 1），点 A 的坐标为（﹣ 2， 3 ），点 B 的坐标为（﹣ 3，0），点 C 在 x 轴上，且点 D 在点 A 的左侧．
（1）求菱形（2）若 ⊙ M
ABCD 的周长；沿 x 轴向右以每秒
2 个单位长度的速度平移，同时菱形
ABCD 沿
x 轴向右以每
秒 3 个单位长度的速度平移，设菱形移动的时间为
t （秒），当 ⊙ M
与
BC 相切，且切点为
BC 的中点时，连接
BD ，求：
①t 的值；
② ∠MBD
的度数；
（3）在（
2）的条件下，当点 M 与 BD 所在的直线的距离为 1 时，求
t 的值．
【答案】（ 1
） 8；（ 2）①7； ②105°；（ 3） t=6 ﹣ 3 或 6+ 3 ．
3
【解析】
分析：（ 1）根据勾股定理求菱形的边长为 2，所以可得周长为 8；
（ 2）① 如图 2，先根据坐标求 EF 的长，由 EE'﹣ FE'=EF=7，列式得： 3t ﹣2t=7，可得 t 的值；
② 先求 ∠ EBA=60 °，则 ∠ FBA=120 °，再得 ∠MBF=45 °，相加可得： ∠MBD=∠ MBF+∠ FBD=45 +60° =105° ；°
（ 3）分两种情况讨论：作出距离
MN 和 ME ，第一种情况：如图 5 由距离为 1 可知： BD
为⊙ M 的切线，由 BC 是 ⊙ M 的切线，得 ∠ MBE=30°，列式为 3t+ 3 =2t+6，解出即可； 第二种情况：如图 6，同理可得 t 的值．
详解：（ 1）如图 1，过 A 作 AE ⊥ BC 于 E ．
∵ 点 A 的坐标为（﹣ 2， 3 ），点 B 的坐标为（﹣ 3， 0）， ∴ AE= 3 ， BE=3﹣2=1， ∴AB= AE 2
BE 2
= （ 2
2
=2．
3） 1
∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴AB=BC=CD=AD=2， ∴菱形 ABCD 的周长 =2× 4=8；
（ 2）① 如图 2，⊙ M 与 x 轴的切点为 F ， BC 的中点为
E ． ∵ M （ 3，﹣ 1）， ∴
F （ 3，0）．
∵ BC=2，且 E 为 BC 的中点， ∴ E （﹣ 4， 0）， ∴ EF=7，即 EE'﹣ FE'=EF ， ∴ 3t ﹣ 2t=7，
t=7；
② 由（ 1）可知： BE=1， AE= 3 ，
AE
=
3
= 3 ， ∴∠ EBA=60 °，如图 4，∴ ∠ FBA=120 °．
∴tan ∠ EBA=
BE 1
∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴∠ FBD= 1
∠ FBA= 1 120 =60 °．
2 2
∵ BC 是 ⊙ M 的切线， ∴MF ⊥ BC ．
∵ F 是 BC 的中点， ∴BF=MF=1， ∴ △ BFM 是等腰直角三角形， ∴∠ MBF=45 ，°∴ ∠ MBD=∠ MBF+∠ FBD=45 °+60 =105° ；°
（ 3）连接 BM ，过 M 作 MN ⊥ BD ，垂足为 N ，作 ME ⊥ BC 于 E ，分两种情况：第
一种情况：如图 5．
∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∠ABC=120 °， ∴ ∠ CBD=60 °， ∴ ∠ NBE=60 °．
∵ 点 M 与 BD 所在的直线的距离为
1， ∴ MN=1， ∴ BD 为 ⊙ M 的切线．
∵ BC 是 ⊙ M 的切线， ∴∠ MBE=30 °．
∵ ME=1，∴ EB= 3 ， ∴ 3t+ 3 =2t+6， t=6﹣ 3 ；
第二种情况：如图 6．
∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∠ABC=120 °， ∴ ∠ DBC=60 °， ∴ ∠ NBE=120 °．
∵ 点 M 与 BD 所在的直线的距离为
1， ∴ MN=1， ∴ BD 为 ⊙ M 的切线．
∵ BC 是 ⊙ M 的切线， ∴∠ MBE=60 °．
ME ，EB=
1 3 ， ∵ ME=MN=1， ∴Rt △ BEM 中， tan60 =°
=
BE
tan 60
3
∴3t=2t+6+ 3
， t=6+
3 ； 3
3
综上所述：当点 M 与 BD 所在的直线的距离为
1 时， t=6﹣
3 或 6+
3
．
3
点睛：本题是四边形和圆的综合题，考查了菱形的性质、圆的切线的性质和判定、特殊的 三角函数值、等腰直角三角形的性质、动点运动问题，此类问题比较复杂，弄清动点运动 方向、速度、时间和路程的关系，并与方程相结合，找等量关系，求出时间
t 的值．
6．如图，在
ABC 中， BAC 90 , AB AC2, AD BC ，垂足为 D ，过 A, D
的⊙ O 分别与 AB, AC 交于点 E, F ，连接 EF , DE, DF ． （1）求证：
ADE ≌ CDF ；
（2）当 BC 与 ⊙ O 相切时，求 ⊙ O 的面积．
2
【答案】 (1)见解析 ;(2) .
4
【解析】
分析：（ 1）由等腰直角三角形的性质知 AD=CD 、 ∠1=∠ C=45°，由 ∠ EAF=90°知 EF 是 ⊙ O 的直径，据此知 ∠ 2+∠ 4=∠ 3+∠4=90°，得 ∠ 2=∠3，利用 “ASA 证”明即可得；
（ 2）当 BC 与 ⊙O 相切时， AD 是直径，根据 ∠ C=45 °、 AC= 2 可得 AD=1，利用圆的面积
公式可得答案．
详解：（ 1）如图， ∵ AB=AC ， ∠ BAC=90°， ∴∠ C=45°．
1
又 ∵AD ⊥ BC ， AB=AC ， ∴ ∠1= ∠ BAC=45 °， BD=CD ， ∠ ADC=90 ．°
2
又 ∵∠ BAC=90 °，BD=CD ， ∴ AD=CD ．
又 ∵∠ EAF=90 °， ∴ EF 是⊙ O 的直径， ∴∠ EDF=90 °， ∴∠ 2+∠ 4=90 °．
又 ∵∠ 3+∠ 4=90 °， ∴∠ 2=∠ 3．在 △ ADE 和△ CDF 中．
1
C
∵
AD CD ， ∴ △ADE ≌ △CDF （ASA ）． 2
3
（ 2）当 BC 与 ⊙O 相切时， AD 是直径．在 Rt △ ADC 中， ∠ C=45 °， AC= 2
， ∴sin ∠ C=
AD
， ∴ AD=ACsin ∠ C=1， ∴ ⊙O 的半径为
1
， ∴⊙ O 的面积为
2
．
AC
2 4
点睛：本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是熟练掌握等腰直角三角形的性质、全等
三角形的判定与性质、与圆有关的位置关系等知识点．
7．如图所示，以 Rt △ABC 的直角边 AB 为直径作圆 O ，与斜边交于点 D ， E 为 BC 边上的中点，连接 DE ．
（ 1）求证： DE 是 ⊙O 的切线；
（ 2） 连接 OE ， AE ，当 ∠ CAB 为何值时，四边形 AOED 是平行四边形？并在此条件下求
sin ∠CAE 的值．
【答案】 (1)见解析 ;(2)10
.
10
【解析】
分析：（ 1）要证 DE 是⊙ O 的切线，必须证ED⊥ OD，即∠ EDB+∠ ODB=90°
（2）要证 AOED是平行四边形，则 DE∥ AB， D 为 AC中点，又 BD⊥ AC，所以△ ABC 为等腰直角三角形，所以∠ CAB=45°，再由正弦的概念求解即可．
详解：（ 1）证明：连接 O、 D 与 B、 D 两点，
∵△ BDC是 Rt△，且 E 为 BC 中点，
∴∠ EDB=∠ EBD．（ 2 分）
又∵ OD=OB且∠ EBD+∠ DBO=90°，
∴∠ EDB+∠ ODB=90 ．°
∴DE 是⊙O 的切线．
（2）解：∵ ∠ EDO=∠ B=90°，
若要四边形 AOED是平行四边形，则 DE∥ AB， D 为 AC 中点，又
∵ BD⊥ AC，
∴△ ABC为等腰直角三角形．
∴∠ CAB=45 ．°
过E 作 EH⊥ AC 于 H，
设BC=2k，则 EH= 2
k， AE= 5 k，2
∴sin∠ CAE=EH10
．AE10
点睛：本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心
和这点（即为半径），再证垂直即可．
8．如图 1，四边形ABCD为⊙ O 内接四边形，连接AC、 CO、BO，点 C 为弧 BD 的中点．
（1）求证：∠ DAC=∠ ACO+∠ ABO；
（2）如图 2，点 E 在 OC上，连接 EB，延长 CO交 AB 于点 F，若∠ DAB=∠ OBA+∠ EBA．求
证： EF=EB；
（3）在（ 2）的条件下，如图3，若 OE+EB=AB， CE=2， AB=13，求 AD 的长．
【答案】（ 1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） AD=7．
【解析】
试题分析：（ 1）如图 1 中，连接OA，只要证明∠ CAB=∠ 1+∠2=∠ ACO+∠ABO，由点 C 是
?
BD 中点，推出CD? CB? ，推出∠ BAC=∠DAC，即可推出∠ DAC=∠ ACO+∠ ABO；
（2）想办法证明∠ EFB=∠ EBF即可；
（3）如图 3 中，过点O 作 OH⊥ AB，垂足为H，延长 BE 交 HO 的延长线于G，作 BN⊥ CF 于N，作 CK⊥ AD 于 K，连接 OA．作 CT∠ ⊥ AB 于 T．首先证明△ EFB是等边三角形，再
证明△ ACK≌ △ ACT， Rt△ DKC≌ Rt△ BTC，延长即可解决问题；
试题解析：（ 1）如图 1 中，连接 OA，
∵OA=OC，∴ ∠1=∠ ACO，
∵OA=OB，∴∠ 2=∠ ABO，∴ ∠ CAB=∠ 1+∠ 2=∠ ACO+∠ ABO，
uuur uuur uuur
∵点 C 是BD 中点，∴CD CB，∴∠ BAC=∠DAC，
∴∠ DAC=∠ ACO+∠ ABO．
（2）如图 2 中，
∵∠ BAD=∠ BAC+∠DAC=2∠ CAB，∠ COB=2∠BAC，∴ ∠ BAD=∠BOC，
∵∠ DAB=∠ OBA+∠EBA，∴∠ BOC=∠ OBA+∠ EBA，
∴∠ EFB=∠EBF，∴ EF=EB．
（3）如图 3 中，过点
O 作 OH ⊥ AB ，垂足为 H ，延长 BE 交 HO 的延长线于 G ，作 BN ⊥ CF
于 N ，作 CK ⊥ AD 于 K ，连接 OA ．作 CT ∠ ⊥ AB 于 T ．
∵∠ EBA+∠ G=90 °， ∠ CFB+∠ HOF=90 ，°
∵∠ EFB=∠EBF ，∴ ∠ G=∠ HOF ，
∵∠ HOF=∠ EOG ， ∴∠ G=∠ EOG ， ∴ EG=EO ，
∵OH ⊥AB ， ∴ AB=2HB ，
∵ O E+EB=AB ， ∴ GE+EB=2HB ，∴ GB=2HB ，
HB 1
∴cos ∠ GBA=
， ∴ ∠GBA=60°，
GB 2
∴△ EFB 是等边三角形，设 HF=a ， ∵∠ FOH=30 ，°∴ OF=2FH=2a ，
13
∵ A B=13， ∴EF=EB=FB=FH+BH=a+ ，
2
13 13 ﹣ a+2=
17
﹣a ，
∴OE=EF ﹣ OF=FB ﹣ OF=
﹣ a ， OB=OC=OE+EC= 2 2
2
∵ N E= 1 EF=1 a+
13
，
2
2
4
∴ON=OE=EN=（ 13 ﹣ a ）﹣（ 1 a+ 13 ） =13 ﹣ 3 a ，
2
2
4
4 2
∵BO 2﹣ ON 2=EB 2﹣ EN 2，
∴（
17
﹣ a ） 2
﹣（ 13 ﹣ 3 a ） 2
=（ a+
13
） 2﹣（
1
a+
13
） 2，
2
4 2
2
2
4
解得 a= 3
或﹣ 10（舍弃），
2
∴ O E=5， EB=8， OB=7，
∵∠ K=∠ ATC=90 ，°∠ KAC=∠TAC ， AC=AC ，∴ △ ACK ≌ △ ACT ， ∴ CK=CT ， AK=AT ，
uuur uuur
∵
CD CB，∴ DC=BC，∴Rt△ DKC≌ Rt△ BTC，∴DK=BT，
1
∵F T= FC=5，∴ DK=TB=FB﹣FT=3，∴ AK=AT=AB﹣ TB=10，∴ AD=AK﹣ DK=10﹣ 3=7．2
9．如图 1，四边形 ABCD是正方形，点 E 是边 BC 上一点，点 F 在射线 CM 上 ,∠ AEF=90°，AE=EF，过点 F 作射线 BC 的垂线，垂足为 H，连接 AC．
(1)试判断 BE与 FH 的数量关系，并说明理由；
(2)求证：∠ ACF=90°；
(3)
连接AF A E F
三点作圆，如图
2.
若
EC=4 ∠ CEF=15°
的长
.
，过，，，，求
图 1图 2
【答案】（ 1） BE="FH" ；理由见解析
（2）证明见解析
（3）=2π
【解析】
试题分析：（ 1）由△ABE≌ △EHF（ SAS）即可得到 BE=FH
（2）由（ 1）可知 AB=EH，而 BC=AB， FH=EB，从而可知△FHC是等腰直角三角形，∠ FCH 为 45°，而∠ ACB也为 45°，从而可证明
（3)由已知可知∠ EAC=30°， AF 是直径，设圆心为O，连接 EO，过点 E 作 EN⊥ AC于点 N，则可得△ ECN为等腰直角三角形，从而可得EN 的长，进而可得AE 的长，得到半径，得到所对圆心角的度数，从而求得弧长
试题解析：（ 1） BE=FH．理由如下：
∵四边形 ABCD是正方形∴∠ B=90，°
∵F H⊥ BC ∴ ∠ FHE=90 °
又∵∠ AEF=90°∴ ∠ AEB+∠ HEF="90°" 且∠BAE+∠AEB=90°
∴∠ HEF=∠BAE ∴ ∠ AEB=∠ EFH 又∵ AE=EF
∴△ ABE≌ △ EHF（ SAS）
∴B E=FH
(2)∵ △ ABE≌ △ EHF
∴BC=EH， BE=FH 又∵ BE+EC=EC+CH∴ BE="CH"
∴CH=FH
∴∠ FCH=45 ，°∴ ∠ FCM=45 °
∵AC 是正方形对角线，∴ ∠ ACD=45°
∴∠ ACF=∠FCM +∠ ACD =90°
（3）∵ AE=EF，∴ △ AEF是等腰直角三角形
△AEF外接圆的圆心在斜边AF 的中点上．设该中点为O．连结 EO得∠AOE=90°
过E 作 EN⊥AC 于点 N
Rt△ ENC 中， EC=4，∠ ECA=45°，∴ EN=NC=
Rt△ ENA 中， EN =
又∵∠ EAF=45°∠ CAF=∠ CEF=15°（等弧对等角）
∴∠ EAC=30 °
∴A E=
Rt△ AFE中， AE== EF，∴AF=8
AE 所在的圆O 半径为 4，其所对的圆心角为∠ AOE=90°
=2π·（490·°÷ 360）°=2π
考点： 1、正方形； 2、等腰直角三角形；3、圆周角定理；4、三角函数
10．如图，⊙O 的直径 AB＝8， C 为圆周上一点，AC＝ 4，过点 C 作⊙ O 的切线 l，过点 B 作l 的垂线 BD，垂足为 D， BD 与⊙ O 交于点
E．（1）求∠ AEC的度数；
（2）求证：四边形 OBEC是菱形．
【答案】（ 1） 30°；（ 2）详见解析 .
【解析】
【分析】
（1）易得△ AOC是等边三角形，则∠AOC＝ 60°，根据圆周角定理得到∠ AEC＝ 30°；（2）根据切线的性质得到 OC⊥ l，则有 OC∥ BD，再根据直径所对的圆周角为直角得到
OB ∠AEB＝90 °，则∠ EAB＝ 30 °，可证得AB∥ CE，得到四边形
OBE C 为平行四边形，再由
＝OC，即可判断四边形OBEC是菱形．
【详解】
（1）解：在△ AOC中， AC＝4，
∵AO＝ OC＝ 4，
∴△ AOC是等边三角形，
∴∠ AOC＝ 60 °，
∴∠ AEC＝ 30 °；
（2）证明：∵ OC⊥ l ， BD⊥ l．
∴OC∥BD．
∴∠ ABD＝∠ AOC＝
60 °．∵AB 为⊙ O 的直
径，∴∠ AEB＝ 90 °，
∴△ AEB 为直角三角形，∠ EAB＝
30 °．∴∠ EAB＝∠ AEC．
∴CE∥ OB，又∵ CO∥ EB
∴四边形 OBEC为平行四边形．
又∵ OB＝ OC＝ 4．
∴四边形 OBEC是菱形．
【点睛】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了圆周角定理及其推论以
及菱形的判定方法．
11．如图，在矩形 ABCD中，点 O 在对角线 AC 上，以 OA 的长为半径的⊙ O 与 AD、 AC 分别交于点 E、 F，且∠ACB＝∠ DCE．
（1）判断直线CE与⊙ O 的位置关系，并说明理由；
（2）若 AB＝ 2 ，BC＝2，求⊙O的半径．
【答案】（ 1）直线 CE与⊙ O 相切，理由见解析；（ 2）⊙O 的半径为
6
4
【解析】
【分析】
（1）首先连接 OE，由 OE=OA与四边形 ABCD是矩形，易求得∠ DEC+∠ OEA=90°，即OE⊥ EC，即可证得直线CE与⊙O 的位置关系是相切；
（2）首先易证得△ CDE∽ △ CBA，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求得DE 的
长，又由勾股定理即可求得AC 的长，然后设OA 为 x，即可得方程( 3) 2 x2 ( 6 x) 2 ，解此方程即可求得⊙ O 的半径．
【详解】
解：（ 1）直线 CE与⊙ O 相切．
理由：连接OE，
∵四边形 ABCD是矩形，
∴∠ B＝∠D＝∠BAD＝90 °，BC∥ AD，CD＝ AB，
∴∠ DCE+∠DEC＝90 °，∠ACB＝∠DAC，
又∠ DCE＝∠ ACB，
∴∠ DEC+∠ DAC＝ 90 °，
∵OE＝ OA，
∴∠ OEA＝∠ DAC，
∴∠ DEC+∠ OEA＝ 90 °，
∴∠ OEC＝ 90 °，
∴OE⊥ EC，
∵OE 为圆 O 半径，
∴直线 CE与⊙O 相切；
（2）∵ ∠ B＝∠ D，∠ DCE＝∠ ACB，
∴△ CDE∽ △ CBA，
BC AB
∴，
DC DE
又CD＝ AB＝2， BC＝ 2，
∴DE＝1
根据勾股定理得EC＝ 3 ，
又
AC AB2 BC2 6 ，
设 OA 为 x，则( 3) 2 x2 ( 6 x) 2，
解得x 6 ，
4
∴⊙ O 的半径为 6 ．
4
【点睛】
此题考查了切线的判定与性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用，注意辅助线的作法．
12．如图，点 A， B，C， D， E 在⊙O 上， AB⊥ CB于点 B， tanD=3， BC=2， H 为 CE延
长线上一点，且 AH= 10， CH 5 2 .
（1）求证： AH 是⊙ O 的切线；
（2）若点 D 是弧 CE的中点，且 AD 交 CE于点 F，求证： HF=HA；
（3）在（ 2）的条件下，求 EF 的长．
【答案】（ 1）证明见解析（2）证明见解析（ 3）102
【解析】
【分析】（ 1）连接 AC，由 AB⊥ CB可知 AC 是⊙ O 的直径，由圆周角定理可得∠ C=∠ D，于是得到 tanC=3，故此可知 AB=6，在 Rt△ ABC中，由勾股定理得： AC2 = 40，从而可得
AC2+AH2=CH2，根据勾股定理的逆定理可得 AC⊥ AH，问题得证；
（2）连接 DE、 BE，由弦切角定理可知∠ABD=∠HAD，由D是CE?的中点，可得
∠CED=∠ EBD，再由圆周角定理可得∠ ABE=∠ ADE，结合三角形的外角即可证明
∠H AF=∠ AFH，从而可证得 AH=HF；
（3）由切割线定理可得EH=2 ，由（2）可知AF=FH=10，从而可得EF=FH﹣EH=10- ．
2
【详解】（ 1）如图 1 所示：连接AC．
∵AB⊥ CB，
∴AC 是⊙O 的直径，
∵∠ C=∠ D，
∴t anC=3，
∴A B=3BC=3 ×，2=6
在Rt△ ABC中，由勾股定理得：
AC2=AB2+BC2=40，又∵ AH2=10， CH2=50，
∴AC2+AH2=CH2，
∴△ ACH 为直角三角形，
∴AC ⊥AH ，
∴AH 是圆 O 的切线；
（2）如图 2 所示：连接 DE 、 BE ，
∵AH 是圆 O 的切线，
∴∠ ABD=∠ HAD ，
∵D 是 CE ?
的中点，
∴ ?
? ，
CD ED
∴∠ CED=∠ EBD ，
又∵ ∠ ABE=∠ ADE ，
∴∠ ABE+∠ EBD=∠ ADE+∠ CED ，
∴∠ ABD=∠ AFE ，
∴∠ HAF=∠ AFH ，
∴ A H=HF ；
（3）由切割线定理可知： AH 2=EH?CH ，即（ 10 ） 2=5 2
EH ，
解得： EH=
2 ，
∵由（ 2）可知 AF=FH= 10 ，
∴ E F=FH ﹣ EH= 10 - 2 ．
【点睛】本题主要考查圆的综合应用，解答主要应用了切线的判定定理、弦切角定理、切
割线定理、圆周角定理、勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形的外角的性质等，正确添加辅助线是解题的关键 .
13． 在平面直角坐标系 xOy 中，对于点 P 和图形 W ，如果以 P 为端点的任意一条射线与图
形 W 最多只有一个公共点，那么称点
P 独立于图形 W ．
（1）如图 1，已知点 A （-2， 0），以原点 O 为圆心， OA 长为半径画弧交 x 轴正半轴于 点 B ．在 P 1 2 3 4 ? 的
（ 0， 4）， P （ 0，1）， P （ 0， -3）， P （ 4， 0）这四个点中，独立于 AB
点是 ；
（ 2）如图 2，已知点 C （ -3， 0）， D （ 0， 3）， E （ 3，0），点 P 是直线 l ：y=2x+8 上的一个动点．若点 P 独立于折线 CD-DE ，求点 P 的横坐标 x p 的取值范围；
（3）如图 3，⊙ H 是以点 H （ 0，4）为圆心，半径为 1 的圆．点 T （ 0， t ）在 y 轴上且 t ＞ -
3，以点 T 为中心的正方形 KLMN 的顶点 K 的坐标为（ 0 ，t+3 ），将正方形 KLMN 在 x 轴及 x 轴上方的部分记为图形 W ．若 ⊙H 上的所有点都独立于图形
W ，直接写出 t 的取值范
围．
【答案】（ 1） P 2
3
P
P
5
．（ 3） -3＜ t ＜1-
2 或 1+ 2 ＜ t ＜ 7- 2 ．
， P ；（ 2） x ＜ -5
或 x ＞ -
3
【解析】 【分析】
（ 1）根据点 P 独立于图形 W 的定义即可判断；
（ 2）求出直线 DE ，直线 CD 与直线 y=2x+8 的交点坐标即可判断；
（ 3 ）求出三种特殊位置时 t 的值，结合图象即可解决问题 .
【详解】
（ 1 ）由题意可知：在 P 1
0 2
3
4
）这四个点中，独
（ ，4）， P （ 0， 1）， P （ 0， -3 ）， P （ 4，0 立于 ? 的点是 P 2 3
AB ， P ． （2） ∵ C （ -3， 0）， D （ 0， 3）， E （ 3， 0），
∴直线 CD 的解析式为 y=x+3，直线 DE 的解析式为 y=-x+3，
＝ 2x 8
＝ 5
由 y
，解得
x
-5，
＝
＝
，可得直线 l 与直线 CD 的交点的横坐标为
x
3
2
y
y
8
x ＝ 5
＝
3
，可得直线 l 与直线 DE 的交点的横坐标为 - 5 ，
由 y 2 x
，解得
＝ x
3
14
3
y
y ＝
3
∴满足条件的点P 的横坐标 x p的取值范围为：x P＜ -5 或 x P＞ - 5 ．
3
3
）如图3-1
中，当直线
KN
与
⊙ H
相切于点
E
时，连接
EH EH=EK=1 HK=
2 ，
（，则，
∴O T=KT+HK-OH=3+ 2 -4= 2 -1，
∴T（ 0， 1- 2），此时 t=1- 2，
∴当 -3＜ t＜ 1- 2 时，⊙H上的所有点都独立于图形W．
如图 3-2 中，当线段KN 与⊙ H 相切于点 E 时，连接EH．
OT=OH+KH-KT=4+ 2 -3=1+ 2 ，
∴T（ 0， 1+ 2），此时 t=1+ 2，
如图 3-3 中，当线段MN 与⊙ H 相切于点 E 时，连接EH．
——圆 ◆知识讲解 一．圆的定义 1、在一个平面内，线段OA绕着它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。 2、圆是到定点的距离等于定长的所有点的集合。 3、确定一个圆需要两个要素：一是位置二是大小，圆心确定其位置，半径确定其大小。 4、连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A、B为端点的弦记作“圆弧AB”，或者“弧AB”。大于半圆的弧叫作优弧（用三个字母表示，如ABC）叫优弧；小于半圆的弧（如AB）叫做劣弧。 二、垂直于弦的直径、弧、弦、圆心角 1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弦。 2、垂径定理逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。 3、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等。 在等圆中，弦心距相等的弦相等。 三、圆周角 1、定义：顶点在圆上，并且角的两边和圆相交的角。 2、定理：一条弧所以的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。 3、推论：（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所以的圆周角相等。 （2）直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 四、点和圆的位置关系 1、设⊙O的半径为r，点到圆心的距离为d。 则d>r ?点在圆外，d=r ?点在圆上，d 2003 年---2011 年吉林省中考数学压轴题 28．（2011 年吉林省）如图，梯形ABCD 中，AD∥BC，∠BAD=90°，CE⊥AD 于点E，AD=8cm，BC=4cm，AB=5cm．从初始时刻开始，动点P，Q 分别从点A，B 同时出发，运动速度均为1cm/s，动点P 沿A-B--C--E 的方向运动，到点E 停止；动点Q 沿B--C--E--D 的方向运动，到点D 停止，设运动时间为xs，△PAQ 的面积为ycm2，（这里规定：线段是面积为0 的三角形） 解答下列问题： 9 （1）当x=2s 时，y= cm2；当x= s 时，y= cm2． 2 （2）当5≤x≤14 时，求y 与x 之间的函数关系式． 4 （3）当动点P 在线段BC 上运动时，求出y= S 梯形ABCD 时x 的值． 15 （4）直接写出在整个运动过程中，使PQ 与四边形ABCE 的对角线平行的所有x 的值． 28．（2010 年吉林省）如图，在等腰梯形ABCD 中，AD∥BC，AE⊥BC 于点E．DF⊥BC 于点F．AD=2cm，BC=6cm，AE=4cm．点P、Q 分别在线段AE、DF 上，顺次连接B、P、Q、C，线段BP、PQ、QC、CB 所围成的封闭图形记为M，若点P 在线段AE 上运动时，点Q 也随之在线段DF 上运动，使图形M 的形状发生改变，但面积始终为10cm2，设EP=xcm，FQ=ycm．解答下列问题： （1）直接写出当x=3 时y 的值； （2）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当x 取何值时，图形M 成为等腰梯形？图形M 成为三角形？ （4）直接写出线段PQ 在运动过程中所能扫过的区域的面积． 中考数学填空压轴题大 全 LG GROUP system office room 【LGA16H-LGYY-LGUA8Q8- 2017全国各地中考数学压轴题汇编之填空题4 1．（2017贵州六盘水）计算1＋4＋9＋16＋25＋……的前29项的和是． 【答案】8555， 【解析】由题意可知1＋4＋9＋16＋25＋……的前29项的和即为：12＋22＋32＋42＋52＋…＋292．∵有规律：21(11)(211)116+?+== ，222(21)(221) 1256 +?++==， 2223(31)(231)123146+?+++== ，……，2222(1)(21) 123146 n n n n ++++++==…． ∴222229(291)(2291) 123296 +?+++++= (8555) 2．（2017贵州毕节）观察下列运算过程： 计算：1＋2＋22＋…＋210.. 解：设S ＝1＋2＋22＋…＋210,① ①×2得 2S ＝2＋22＋23＋…＋211,② ②－①,得 S ＝211－1. 所以，1＋2＋22＋…＋210＝211－1. 运用上面的计算方法计算：1＋3＋32＋…＋32017＝______________. 【答案】201831 2 -， 【解析】设S ＝1＋3＋32＋…＋32017,① ①×3得 3S ＝3＋32＋33＋…＋32018,② ②－①,得 2S ＝32018－1. 所以，1＋3＋32 ＋…＋3 2017 ＝2018312 -. 3．（2017内蒙古赤峰）在平面直角坐标系中，点P （x ，y ）经过某种变换后得到点 P ＇（－y ＋1，x ＋2），我们把点P ＇（－y ＋1，x ＋2）叫做点P （x ，y ）的终结点．已知点P 1的终结点为P 2，点P 2的终结点为P 3，点P 3的终结点为P 4，这样依次得到P 1、P 2、P 3、P 4、…P n 、…，若点P 1的坐标为（2，0），则点P 2017的坐标为． 【答案】（2，0）， 【解析】根据新定义，得P 1（2，0）的终结点为P 2（1，4），P 2（1，4）的终结点为P 3（－3，3），P 3（－3，3）的终结点为P 4（－2，－1），P 4（－2，－1）的终结点为P 5（2，0）， P 5（2，0）的终结点为P 4（1，4），…… 观察发现，4次变换为一循环，2017÷4＝504…余1.故点P 2017的坐标为（2，0）. 4．（2017广西百色）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式的方法． （1）二次项系数212=?； （2）常数项3131(3)-=-?=?-，验算：“交叉相乘之和”； （3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果1(3)211?-+?=，等于一次项系数－1，即：22(x 1)(2x 3)232323x x x x x +-=-+-=--，则223(x 1)(2x 3)x x --=+-，像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法，仿照以上方法，分解因式：23512x x +-＝______． 【答案】（x ＋3）（3x －4）. 【解析】如图． 5．（2017湖北黄石）观察下列各式： …… 按以上规律，写出第n 个式子的计算结果n 为正整数）．（写出最简计算结果即可） 【答案】 1 n n +， 一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，点P在⊙O的直径AB的延长线上，PC为⊙O的切线，点C为切点，连接AC，过点A作PC的垂线，点D为垂足，AD交⊙O于点E． (1)如图1，求证：∠DAC=∠PAC； (2)如图2，点F（与点C位于直径AB两侧）在⊙O上，BF FA =，连接EF，过点F作AD 的平行线交PC于点G，求证：FG=DE+DG； (3)在(2)的条件下，如图3，若AE=2 3 DG，PO=5，求EF的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）EF=32． 【解析】 【分析】 （1）连接OC，求出OC∥AD，求出OC⊥PC，根据切线的判定推出即可； （2）连接BE交GF于H，连接OH，求出四边形HGDE是矩形，求出DE=HG，FH=EH，即可得出答案； （3）设OC交HE于M，连接OE、OF，求出∠FHO=∠EHO=45°，根据矩形的性质得出 EH∥DG，求出OM=1 2 AE，设OM=a，则HM=a，AE=2a，AE= 2 3 DG，DG=3a， 求出ME=CD=2a，BM=2a，解直角三角形得出tan∠MBO＝ 1 2 MO BM =，tanP= 1 2 CO PO =,设 OC=k，则PC=2k，根据OP=5k=5求出k=5，根据勾股定理求出a，即可求出答案．【详解】 （1）证明：连接OC， ∵PC为⊙O的切线， ∴OC⊥PC， ∵AD⊥PC， ∴OC∥AD， ∴∠OCA=∠DAC， ∵OC=OA， ∴∠PAC=∠OCA， ∴∠DAC=∠PAC； （2）证明：连接BE交GF于H，连接OH， ∵FG∥AD， ∴∠FGD+∠D=180°， ∵∠D=90°， ∴∠FGD=90°， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠BEA=90°， ∴∠BED=90°， ∴∠D=∠HGD=∠BED=90°， ∴四边形HGDE是矩形， ∴DE=GH，DG=HE，∠GHE=90°， ∵BF AF =， ∴∠HEF=∠FEA=1 2 ∠BEA=190 2 o ?=45°， ∴∠HFE=90°﹣∠HEF=45°， ∴∠HEF=∠HFE， ∴FH=EH， ∴FG=FH+GH=DE+DG； （3）解：设OC交HE于M，连接OE、OF， ∵EH=HF，OE=OF，HO=HO， ∴△FHO≌△EHO， ∴∠FHO=∠EHO=45°， 圆的证明与计算 1.如图，已知△ABC 内接于△O ， P 是圆外一点，P A 为△O 的切线，且P A ＝PB ，连接 OP ，线段 AB 与线段 OP 相交于点D . （1）求证：PB 为△O 的切线； （2）若P A ＝4 5PO ，△O 的半径为10，求线段 PD 的长. 第1题图 (1)证明：△△△△△△OA △OB △ 第1题解图 △P A △PB △OA △OB △OP △OP △ △△OAP △△OBP (SSS)△ △△OAP △△OBP △ △P A △△O △△△△ △△OAP △90°△ △△OBP △90°△ △OB △△O △△△△ △PB △△O △△△△ △△Rt△AOP △△OA △PO 2 △△4 5PO △2△10△ △△PO △50 3△ △cos△AOP △AO OP △OD AO △ △OD △6△ △PD △PO △OD △32 3. 2. △△△△△ABC △△AB △AC △△D △BC △△△△△AD △DC △△A △B △D △△△△O △AE △△O △△△△△△DE . △1△△△△AC △△O △△△△ △2△△cos C △3 5△AC △24△△△△AE △△. 第2题图 (1)证明：△AB △AC △AD △DC △ △△C △△B △△DAC △△C △ △△DAC △△B △ △△△E △△B △ △△DAC △△E △ △AE △△O △△△△ △△ADE △90°△ △△E △△EAD △90°△ △△DAC △△EAD △90°△ △△EAC △90°△ △OA △△O △△△△ △AC △△O △△△△ (2)解：△△△△△△D △DF △AC △△F △ 第2题解图 △DA △DC △ △CF △1 2AC △12△ △Rt△CDF △△△cos C △CF CD △3 5△ △DC △20△ △AD △20△ △Rt△CDF △△△△△△△△1622==CF CD DF －△ △△ADE △△DFC △90°△△E △△C △ △△ADE △△DFC △ △AE DC △AD DF △ △AE 20△1620 △△△AE △25△ △△O △△△AE △25. 3．如图，在△ABC 中，AB =BC ，以AB 为直径作△O ，交BC 于点D ，交AC 于点E ，过点E 作△O 的切线EF ，交BC 于点F ． （1）求证：EF △BC ； （2）若CD =2，tan C =2，求△O 的半径． 2019年云南省中考数学试卷 一、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．（3分）若零上8℃记作+8℃，则零下6℃记作℃． 2．（3分）分解因式：x2﹣2x+1＝． 3．（3分）如图，若AB∥CD，∠1＝40度，则∠2＝度． 4．（3分）若点（3，5）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，则k＝． 5．（3分）某中学九年级甲、乙两个班参加了一次数学考试，考试人数每班都为40人，每个班的考试成绩分为A、B、C、D、E五个等级，绘制的统计图如图： 根据以上统计图提供的信息，则D等级这一组人数较多的班是． 6．（3分）在平行四边形ABCD中，∠A＝30°，AD＝4，BD＝4，则平行四边形ABCD的面积等于．二、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 7．（4分）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（） A．B．C．D． 8．（4分）2019年“五一”期间，某景点接待海内外游客共688000人次，688000这个数用科学记数法表示为（） A．68.8×104B．0.688×106C．6.88×105D．6.88×106 9．（4分）一个十二边形的内角和等于（） A．2160°B．2080°C．1980°D．1800° 10．（4分）要使有意义，则x的取值范围为（） A．x≤0 B．x≥﹣1 C．x≥0 D．x≤﹣1 11．（4分）一个圆锥的侧面展开图是半径为8的半圆，则该圆锥的全面积是（）A．48πB．45πC．36πD．32π 12．（4分）按一定规律排列的单项式：x3，﹣x5，x7，﹣x9，x11，……，第n个单项式是（）A．（﹣1）n﹣1x2n﹣1B．（﹣1）n x2n﹣1 C．（﹣1）n﹣1x2n+1D．（﹣1）n x2n+1 13．（4分）如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA ＝12，则阴影部分（即四边形AEOF）的面积是（） A．4 B．6.25 C．7.5 D．9 14．（4分）若关于x的不等式组的解集是x＞a，则a的取值范围是（）A．a＜2 B．a≤2 C．a＞2 D．a≥2 三、解答题（本大共9小题，共70分） 15．（6分）计算：32+（x﹣5）0﹣+（﹣1）﹣1． 16．（6分）如图，AB＝AD，CB＝CD．求证：∠B＝∠D． 中考数学几何选择填空压轴题精选配答案 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】 2016中考数学几何选择填空压轴题精选(配答案)一．选择题（共13小题） 1．（2013蕲春县模拟）如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC 于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连接DF交BE的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC．则以下四个结论中正确结论的个数为（） ①OH=BF；②∠CHF=45°；③GH=BC；④DH2=HEHB． A ．1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个 2．（2013连云港模拟）如图，Rt△ABC中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，D1是斜边AB的中点，过D1作D1E1⊥AC于E1，连结BE1交CD1于D2；过D2作 D2E2⊥AC于E2，连结BE2交CD1于D3；过D3作D3E3⊥AC于E3，…，如此继续，可以依次得到点E4、E5、…、E2013，分别记△BCE1、△BCE2、△BCE3、…、△BCE2013的面积为S1、S2、S3、…、S2013．则S2013的大小为（） A ．B ． C ． D ． 3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，，∠ABC=45°，AE⊥BC于点E，BF⊥AC于点F，交AE于点G，AD=BE，连接DG、CG．以下结论： ①△BEG≌△AEC；②∠GAC=∠GCA；③DG=DC；④G为AE中点时，△AGC的面积有最大值．其中正确的结论有（） A ．1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个 4．如图，正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE=AD，DF=BD，连接BF分别交CD，CE于H，G下列结论： 平移问题 平移性质——平移前后图形全等，对应点连线平行且相等。 一、直线的平移 1、(2009武汉)如图，直线43y x = 与双曲线k y x =（0x >）交于点A ．将直线43y x =向右平移9 2 个单位后，与双曲线k y x =（0x >）交于点B ，与x 轴交于点C ，若2=BC AO ，则k = ． 2、（09年四川南充市）如图已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点(33)A ，． （1）求正比例函数和反比例函数的解析式； （2）把直线O A 向下平移后与反比例函数的图象交于点(6)B m ，，求m 的值和这个一次函数的解析式； （3）第（2）问中的一次函数的图象与x 轴、y 轴分别交于C 、D ，求过A 、B 、D 三点的二次函数的解析式； （4）在第（3）问的条件下，二次函数的图象上是否存在点E ，使四边形O ECD 的面积1S 与四边形O ABD 的面积S 满足：12 3 S S =？若存在，求点E 的坐标；若不存在，请说明理由． 提示:第（2）问，直线平行时，解析式中k 值相等。 ‘ 3、（2009年日照）某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD 是矩形，其中AB =2米，BC =1米；上部CDG 是等边三角形，固定点E 为AB 的中点．△EMN 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB 平行的伸缩横杆． （1）当MN 和AB 之间的距离为0.5米时，求此时△EMN 的面积； （2）设MN 与AB 之间的距离为x 米，试将△EMN 的面积S （平方米）表示成关于x 的函数； （3）请你探究△EMN 的面积S （平方米）有无最大值，若有，请求出这个最大值；若没有，请说明理由． 提示：第（2）问，按MN 分别在三角形、矩形区域内滑动分类讨论； 第（3）问，对（2）问中两种情况分别求最值，再比较得最值。 C 填空题难题突破 备考提示：近几年广东中考填空题中难度较大、考查最多的均为求面积的题目，2016年出现了考圆的综合题，这类几何综合题也值得重视起来，几何图形规律题（常以三角形、四边形为背景）也是需要适当练习. 1．（2017广东，16，4分）如图，矩形纸片ABCD中，AB=5，BC=3，先按图（2）操作：将矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在边AB上的点E处，折痕为AF；再按图（3）操作，沿过点F的直线折叠，使点C落在EF上的点H 处，折痕为FG，则A、H两点间的距离为． 2．（2016广东，16，4分）如图，点P是四边形ABCD外接圆上任意一点，且不与 四边形顶点重合，若AD是⊙O的直径，AB=BC=CD．连接PA，PB，PC，若PA=a，则点A 到PB和PC的距离之和AE+AF=． 3.（2015广东，16，4分）如图，△ABC三边的中线AD、BE、CF的公共点为G，若S△ABC=12，则图中阴影部分面积是___. 4.（2014广东，16，4分）如图，△ABC绕点A按顺时针旋转45°得到△AB′C′，若∠BAC=90°，AB=AC= ，则图中阴影部分的面积等于____. 5.（2013广东，16，4分）如图，三个小正方形的 边长都为1，则图中阴影部分面积的和是____.（结果保留π） 6.（2012广东，10，4分）如图，在平行四边形ABCD中，AD=2，AB=4，∠A=30°.以点A 为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则 阴影部分的面积是______ （结果保留π） 7.（2011广东，10，4分）如图1，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1，取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图2中阴影部分，取△A1B1C1和△D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如图3中阴影部分，如此下去，……，则正六角星形A4F4B4D4C4E4的面积为 ____ 强化训练： 1．如图，AD是△ABC的中线，G是AD上的一点，且AG=2GD，连接BG，若S△ABC=6，则图中阴影部分面积是． 中考数学综合题专题【圆】专题训练含答案 一、选择题 1．（北京市西城区）如图，BC 是⊙O 的直径，P 是CB 延长线上一点，PA 切⊙O 于点A ，如果PA ＝3，PB ＝1，那么∠APC 等于 （ ） （A ） 15 （B ） 30 （C ） 45 （D ） 60 2．（北京市西城区）如果圆柱的高为20厘米，底面半径是高的 41，那么这个圆柱的侧面积是 （ ） （A ）100π平方厘米 （B ）200π平方厘米 （C ）500π平方厘米 （D ）200平方厘米 3．（北京市西城区）“圆材埋壁”是我国古代著名的数学菱《九章算术》中的一个问题，“今在圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用 现在的数学语言表述是：“如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，CE ＝1寸，AB ＝寸，求直径CD 的长”．依题意，CD 长为 （ ） （A ）2 25寸 （B ）13寸 （C ）25寸 （D ）26寸 4．（北京市朝阳区）已知：如图，⊙O 半径为5，PC 切⊙O 于点C ，PO 交⊙O 于点A ，PA ＝4，那么PC 的长等于 （ ） （A ）6 （B ）25 （C ）210 （D ）214 5．（北京市朝阳区）如果圆锥的侧面积为20π平方厘米，它的母线长为5厘 米，那么此圆锥的底面半径的长等于 （ ） （A ）2厘米 （B ）22厘米 （C ）4厘米 （D ）8厘米 6．（天津市）相交两圆的公共弦长为16厘米，若两圆的半径长分别为10厘 米和17厘米，则这两圆的圆心距为 （ ） （A ）7厘米 （B ）16厘米 （C ）21厘米 （D ）27厘米 7．（重庆市）如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C ＝ 90，AO 的延长线交BC 于点D ，AC ＝4，DC ＝1，，则⊙O 的半径等于 （ ） 题目篇 (2014年昆明) 23. （本小题9分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线) 0(32≠-+=a bx ax y 与x 轴交于点A （2-，0）、B （4，0）两点，与y 轴交于点C 。 （1）求抛物线的解析式； （2）点P 从A 点出发，在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向B 点运动，同时点Q 从B 点出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度向C 点运动。其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动。当△PBQ 存在时，求运动多少秒使△PBQ 的面积最大，最多面积是多少 （3）当△PBQ 的面积最大时，在BC 下方的抛物线上存在点K ，使2:5S PBQ CBK =△△：S ，求K 点坐标。 （2013年昆明）23.（本小题9 点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y BC 边上，且抛物线经过O 、A （1）求抛物线的解析式； （2）求点D 的坐标； （3）若点M 在抛物线上，点N 在x 边形是平行四边形若存在，求出点N （2012年昆明）23.（本小题9交x 轴于点P ，交y 轴于点A 与直线相交于A 、B 两点. ⑴ ⑵ 过点A 作AC AB ⊥交x ⑶ 除点C 在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由. （2011年昆明）25、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A 方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动． （1）求AC、BC的长； （2）设点P的运动时间为x（秒），△PBQ的面积为y（cm2），当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC 是否相似，请说明理由； （4）当x=5秒时，在直线PQ上是否存在一点M，使△BCM得周长最小，若存在，求出最小周长，若不存在，请说明理由． （2010年昆明）25．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线经过O（0，0）、A（4， 0）、B（3， 23 ）三点. （1）求此抛物线的解析式； （2）以OA的中点M为圆心，OM长为半径作⊙M，在（1）中的抛物线上是否存在这样的点P，过点P作⊙M的切线l ，且l与x轴的夹角为30°，若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果可保留根号） （云南省2010年）24.（本小题12分）如图，在平面直角示系中，A、B两点的坐标分别是A（-1,0）、B（4,0），点C在y轴的负半轴上，且∠ACB＝90° （1）求点C的坐标； （2）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式； 中考数学几何选择填空压轴题精选 一．选择题（共13小题） 1．（2013?蕲春县模拟）如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连接DF交BE 的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC．则以下四个结论中正确结论的个数为（） ①OH=BF；②∠CHF=45°；③GH=BC；④DH2=HE?HB． A．1个B．2个C．3个D．4个 2．（2013?连云港模拟）如图，Rt△ABC中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，D1是斜边AB的中点，过D1作D1E1⊥AC于E1，连结BE1交CD1于D2；过D2作D2E2⊥AC于E2，连结BE2交CD1于D3；过D3作D3E3⊥AC于E3，…，如此继续，可以依次得到点E4、E5、…、E2013，分别记△BCE1、△BCE2、△BCE3、…、△BCE2013的面积为S1、S2、S3、…、S2013．则S2013的大小为（） A．B．C．D． 3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，，∠ABC=45°，AE⊥BC于点E，BF⊥AC于点F，交AE于点G，AD=BE，连接DG、CG．以下结论：①△BEG≌△AEC；②∠GAC=∠GCA；③DG=DC；④G为AE中点时，△AGC的面积有最大值．其中正确的结论有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 4．如图，正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE=AD，DF=BD，连接BF分别交CD，CE于H，G下列结论： ①EC=2DG；②∠GDH=∠GHD；③S△CDG=S?DHGE；④图中有8个等腰三角形．其中正确的是（） A．①③B．②④C．①④D．②③ 5．（2008?荆州）如图，直角梯形ABCD中，∠BCD=90°，AD∥BC，BC=CD，E为梯形内一点，且∠BEC=90°，将△BEC绕C点旋转90°使BC与DC重合，得到△DCF，连EF交CD于M．已知BC=5，CF=3，则DM：MC的值为（） A．5：3B．3：5C．4：3D．3：4 6．如图，矩形ABCD的面积为5，它的两条对角线交于点O1，以AB，AO1为两邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1O1的对角线交BD于点02，同样以AB，AO2为两邻边作平行四边形ABC2O2．…，依此类推，则平行四边形ABC2009O2009的面积为（） A．B．C．D． 7．如图，在锐角△ABC中，AB=6，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（） A．B．6C．D．3 8．（2013?牡丹江）如图，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，则下列结论：①PM=PN；②；③△PMN为等边三角形；④当∠ABC=45°时，BN=PC．其中正确的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个 9．（2012?黑河）Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论： ①（BE+CF）=BC； ②S△AEF≤S△ABC； ③S四边形AEDF=AD?EF； ④AD≥EF； ⑤AD与EF可能互相平分， 其中正确结论的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个 25题汇编 1. 如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，切点为B ，AD 为弦，OC ∥AD 。 （1）求证：DC 是⊙O 的切线； （2）若OA=2，求OC AD 的值。 2. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠B=60°，CD 是⊙O 的直径，P 是CD 延长线上的一点，且AP=AC （1）求证：直线AP 是⊙O 的切线； （2）若AC=3，求PD 的长。 D C B A O C B 3. 如图，已知AB 是⊙O 的直径，AM 和BN 是⊙O 的两条切线，点E 是⊙O 上一点，点D 是AM 上一点，连接DE 并延长交BN 于点C ，连接OD 、BE ，且OD ∥BE 。 （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）若AD=1，BC=4，求直径AB 的长。 4. 如图，△ABC 内接于⊙O ，弦AD ⊥AB 交BC 于点E ，过点B 作⊙O 的切线交DA 的延长线于点F ，且∠ABF=∠ABC 。 （1）求证：AB=AC ； （2）若EF=4，2 3 tan F ，求DE 的长。 M N E D C B A O 5. 在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径作⊙O ，交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E 。 （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）若AE=1，52=BD ，求AB 的长。 6. 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，AD 垂直于过点C 的直线，垂足为D ，且AC 平分 ∠BAD 。 （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若62=AC ，AD=4，求AB 的长。 A 20XX 年全国各地中考数学压轴题精选 1、（黄石市20XX 年）（本小题满分9分）已知⊙1O 与⊙2O 相交于A 、B 两点，点1 O 在⊙2O 上，C 为⊙2O 上一点（不与A ，B ，1O 重合） ，直线CB 与⊙1O 交于另一点D 。 （1）如图（8），若 AC 是⊙2O 的直径，求证：AC CD =； （2）如图(9)，若C 是⊙1O 外一点，求证：1O C AD ⊥； （3）如图（10），若C 是⊙1O 内一点，判断（2）中的结论是否成立。 2、（黄石市20XX 年）（本小题满分10分）已知二次函数 2248y x mx m =-+- （1）当2x ≤时，函数值 y 随x 的增大而减小，求m 的取值范围。 （2）以抛物线 2248y x mx m =-+-的顶点A 为一个顶点作该抛物线的内接 正三角形 AMN （M ，N 两点在抛物线上） ，请问：△AMN 的面积是与m 无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由。 （3）若抛物线 2248y x mx m =-+-与x 轴交点的横坐标均为整数，求整数m 的值。 3、（20XX 年广东茂名市）如图，⊙P 与y 轴相切于坐标原点O （0，0） ，与x 轴相交于点A （5，0），过点A 的直线AB 与 y 轴的正半轴交于点B ，与⊙P 交于点C ． （1）已知AC=3，求点Ｂ的坐标； （４分） （2）若AC=a , D 是O Ｂ的中点．问：点O 、P 、C 、D 四点是否在同一圆上？请说明 理由．如果这四点在同一圆上，记这个圆的圆心为1O ，函数 x k y = 的图象经过点1O ，求k 的值（用含a 的代数式表示）． 4、庆市潼南县20XX 年）如图,在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形,∠ ACB =90,AC =BC ,OA =1，OC =4，抛物线2y x bx c =++经过A ，B 两点，抛物 线的顶点为D ． （1）求b ,c 的值； （2）点E 是直角三角形ABC 斜边AB 上一动点(点A 、B 除外)，过点E 作x 轴的 垂线 交抛物线于点F ，当线段EF 的长度最大时，求点E 的坐标； （3）在（2）的条件下：①求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶点的四边形的面积；②在抛 物线上是否存在一点P ，使△EFP 是以EF 为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，说明理由. 第3题图 χ y 中考数学选择填空压轴题 一、动点问题 1．如图，C 为⊙O 直径AB 上一动点，过点C 的直线交⊙O 于D 、E 两点， 且∠ACD=45°，DF ⊥AB 于点F,EG ⊥AB 于点G,当点C 在AB 上运动时，设AF=x ，DE=y ，下列中图象中，能表示 y 与x 的函数关系式的图象大致是（ ） 2．如图，A ，B ，C ，D 为圆O 的四等分点，动点P 从圆心O 出发，沿O —C —D —O 路线作匀速运 动，设运动时间为x （s ）．∠APB=y （°），右图函数图象表示y 与x 之间函数关系，则点M 的横坐标应为 ． 3．如图，AB 是⊙O 的直径，且AB=10，弦MN 的长为8，若弦MN 的两端在圆上滑动时， 始终与AB 相交，记点A 、B 到MN 的距离分别为h 1，h 2，则|h 1－h 2| 等于（ ） A 、5 B 、6 C 、7 D 、8 4．如图，已知Rt △ABC 的直角边AC =24，斜边AB =25，一个以点P 为圆心、半径为1的圆在△ABC 内部沿顺时针方向滚动，且运动过程中⊙P 一直保持与△ABC 的边相切，当点P 第一次回到它的初始位置时所经过路径的长度是（ ） A. 563 B. 25 C. 112 3 D. 56 5．在ABC △中，12cm 6cm AB AC BC D ===，，为BC 的中点，动点P 从B 点出发，以每秒1cm 的速度沿B A C →→的方向运动．设运动时间为t ，那么当t = 秒时，过D 、P 两点的直线将ABC △的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍． 6．如图,正方形ABCD 的边长为2，将长为2的线段QR 的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果Q 点从A 点出发，沿图中所示方向按A→B→C→D→A 滑动到A 止，同时点R 从B 点出发，沿图中所示方向按B→C→D→A→B 滑动到B 止，在这个过程中，线段QR 的中点M 所经过的路线围成的图形的面积为（ ） A ．2 B ．4π- C ．π D ．π1- 7．如图，矩形ABCD 中，3AB =cm ，6AD =cm ，点E 为AB 边上的任意一点，四边形EFGB 也是矩形，且2EF BE =，则AFC S =△（ ）2 cm ． A ．8 B ．9 C ．8 3 D ．9 3 8．△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠BAC ＝60°，D 是的中点，AD ＝ａ，则四边形ABDC 的面积为 ． 在 梯 形 ABCD 中， 9．如图， 90614AD BC ABC AD AB BC ∠====∥，°，，，点M 是 BC 上一定点，且MC =8．动点P 从C 点出发沿线段 A B C Q R M D A D C E F G B D P 中考数学圆的综合综合经典题及详细答案 一、圆的综合 1．如图，四边形OABC 是平行四边形，以O 为圆心，OA 为半径的圆交AB 于D ，延长AO 交O 于E ，连接CD ，CE ，若CE 是⊙O 的切线，解答下列问题： （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若BC=4，CD=6，求平行四边形OABC 的面积． 【答案】（1）证明见解析（2）24 【解析】 试题分析：（1）连接OD ，求出∠EOC=∠DOC ，根据SAS 推出△EOC ≌△DOC ，推出∠ODC=∠OEC=90°，根据切线的判定推出即可； （2）根据切线长定理求出CE=CD=4，根据平行四边形性质求出OA=OD=4，根据平行四边形的面积公式=2△COD 的面积即可求解． 试题解析：（1）证明：连接OD ， ∵OD=OA ， ∴∠ODA=∠A ， ∵四边形OABC 是平行四边形， ∴OC ∥AB ， ∴∠EOC=∠A ，∠COD=∠ODA ， ∴∠EOC=∠DOC ， 在△EOC 和△DOC 中， OE OD EOC DOC OC OC =?? ∠=∠??=? ∴△EOC ≌△DOC （SAS ）， ∴∠ODC=∠OEC=90°， 即OD ⊥DC ， ∴CD 是⊙O 的切线； （2）由（1）知CD 是圆O 的切线， ∴△CDO 为直角三角形， ∵S △CDO = 1 2 CD?OD ， 又∵OA=BC=OD=4， ∴S△CDO=1 2 ×6×4=12， ∴平行四边形OABC的面积S=2S△CDO=24． 2．如图，⊙M交x轴于B、C两点，交y轴于A，点M的纵坐标为2．B（﹣33，O），C（3，O）． （1）求⊙M的半径； （2）若CE⊥AB于H，交y轴于F，求证：EH=FH． （3）在（2）的条件下求AF的长． 【答案】（1）4；（2）见解析;（3）4． 【解析】 【分析】 （1）过M作MT⊥BC于T连BM，由垂径定理可求出BT的长，再由勾股定理即可求出BM的长； （2）连接AE，由圆周角定理可得出∠AEC=∠ABC，再由AAS定理得出△AEH≌△AFH，进而可得出结论； （3）先由（1）中△BMT的边长确定出∠BMT的度数，再由直角三角形的性质可求出CG 的长，由平行四边形的判定定理判断出四边形AFCG为平行四边形，进而可求出答案．【详解】 （1）如图（一），过M作MT⊥BC于T连BM， ∵BC是⊙O的一条弦，MT是垂直于BC的直径， ∴BT=TC=1 2 3 ∴124 ； （2）如图（二），连接AE，则∠AEC=∠ABC，∵CE⊥AB， ∴∠HBC+∠BCH=90° 、选择题： 1. 如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子 3. 已知圆内接正三角形的边心距为 1，则这个三角形的面积为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 4. 如图，点 A ， B ， C ，在⊙ O 上，∠ ABO=32°，∠ ACO=38°，则∠ BOC 等于 ( 6.如图, ⊙O 是△ ABC 的外接圆 ,弦AC 的长为 3,sinB=0.75, 则⊙ O 的半径为( ) 圆 50 题 垂直，在测直径时，把 A ． O 点靠在圆周上，读得刻度 OE=8个单位， 12 个单位 B ． 10 个单位 C CD 是⊙ O 的两条弦，连结 AD 、BC ．若∠ BCD=70°， OF=6个单位，则圆的直径为 ( 1 个单位 D ． 15 个单位 则∠ BAD 的度数为( 2. 如图， AB 、 A ． 40° B ．50° C ． 60° D ． 70° B ．70° C ．120° D ． 140° 5. 如图 , 点 A,B,C 在⊙ O 上, ∠A=36° , ∠ C=28° , 则∠ B=( A.100 B.72 C.64 D.36 OA 、 OB 在 O 点钉在一起，并使它们保持 AD 切⊙ O 于点 A ，点 C 是弧 BE 的中点，则下列结论不成立的是( B ． EC=B C C ．∠ DAE=∠ABE D ．AC ⊥OE 10. 如图 , △ABC 中,AB=5,BC=3,AC=4, 以点 C 为圆心的圆与 AB 相切 ,则⊙ C 半径为( 11. 数学课上，老师让学生尺规作图画 Rt △ABC ，使其斜边 AB=c ，一条直角边 BC=a ，小明的作法如图所 示， 你认为这种作法中判断∠ ACB 是直角的依据是( ) A.4 B.3 C.2 D. OB=6cm,高 OC=8cm 则. 这个圆锥的侧面 积是 7. 如图，圆锥的底面半径 22 A.30cm 2 B.30 π cm 2 C.60 2 π cm D.120cm 9. 如图,AB 是⊙ O 的直径 ,C 、D 是⊙ O 上两点 , 分别连接 AC 、BC 、CD 、OD ．∠ DOB=140° A.20° B.30 C.40 D.70 ，则∠ ACD (= B.2.5 C.2.4 D.2.3 2018年中考数学压轴题汇编 1．（2018?贵阳模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值． （3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=﹣x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标． 2．（2017?枣庄）如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A （，）和B（4，m），点P 是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； （3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标． 3．（2017?酒泉）如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M．（1）求抛物线的解析式和对称轴； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2017?阜新）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）．（1）求抛物线的函数表达式； （2）若点P在抛物线上，且S△AOP=4S BOC，求点P的坐标； （3）如图b，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大值． 5．（2017?济宁）如图，⊙E的圆心E（3，0），半径为5，⊙E与y轴相交于A、B两点（点A在点B 的上方），与x轴的正半轴交于点C，直线l的解析式为y=x+4，与x轴相交于点D，以点C为顶点的 抛物线过点B． （1）求抛物线的解析式； （2）判断直线l与⊙E的位置关系，并说明理由； （3）动点P在抛物线上，当点P到直线l的距离最小时．求出点P的坐标及最小距离． 6．（2017?荆门）如图，在矩形OABC中，OA=5，AB=4，点D为边AB上一点，将△BCD沿直线CD 折叠，使点B恰好落在边OA上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系． （1）求OE的长及经过O，D，C三点抛物线的解析式； 2017全国各地中考数学压轴题汇编之填空题4 1．（2017贵州六盘水）计算1＋4＋9＋16＋25＋……的前29项的和是． 【答案】8555， 【解析】由题意可知1＋4＋9＋16＋25＋……的前29项的和即为：12＋22＋32＋42＋52＋…＋292．∵有规律：21(11)(211)116+?+== ，222(21)(221) 1256 +?++==， 2223(31)(231)123146+?+++== ，……，2222(1)(21) 123146 n n n n ++++++==…． ∴222229(291)(2291) 123296 +?+++++= (8555) 2．（2017贵州毕节）观察下列运算过程： 计算：1＋2＋22＋…＋210.. 解：设S ＝1＋2＋22＋…＋210,① ①×2得 2S ＝2＋22＋23＋…＋211,② ②－①,得 S ＝211－1. 所以，1＋2＋22＋…＋210＝211－1. 运用上面的计算方法计算：1＋3＋32＋…＋32017＝______________. 【答案】201831 2 -， 【解析】设S ＝1＋3＋32＋…＋32017,① ①×3得 3S ＝3＋32＋33＋…＋32018,?② ②－①,得 2S ＝32018－1. 所以，1＋3＋32 ＋…＋3 2017 ＝2018312 -. 3．（2017内蒙古赤峰）在平面直角坐标系中，点P （x ，y ）经过某种变换后得到点 P ＇（－y ＋1，x ＋2），我们把点P ＇（－y ＋1，x ＋2）叫做点P （x ，y ）的终结点．已知点P 1的终结点为P 2，点P 2的终结点为P 3，点P 3的终结点为P 4，这样依次得到P 1、P 2、P 3、P 4、…P n 、…，若点P 1的坐标为（2，0），则点P 2017的坐标为． 【答案】（2，0）， 【解析】根据新定义，得P 1（2，0）的终结点为P 2（1，4），P 2（1，4）的终结点为 P 3（－3，3），P 3（－3，3）的终结点为P 4（－2，－1），P 4（－2，－1）的终结点为P 5（2，0）， P 5（2，0）的终结点为P 4（1，4），…… 观察发现，4次变换为一循环，2017÷4＝504…余1.故点P 2017的坐标为（2，0）. 4．（2017广西百色）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式的方法． （1）二次项系数212=?； （2）常数项3131(3)-=-?=?-，验算：“交叉相乘之和”； （3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果1(3)211?-+?=，等于一次项系数－1，即： 22(x 1)(2x 3)232323x x x x x +-=-+-=--，则223(x 1)(2x 3)x x --=+-，像这样，通过十字 交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法，仿照以上方法，分解因式：23512x x +-＝______． 【答案】（x ＋3）（3x －4）. 【解析】如图． 5．（2017湖北黄石）观察下列各式： …… 按以上规律，写出第n 个式子的计算结果n 为正整数）．（写出最简计算结果即可） 【答案】 1 n n +， 【解析】先看分子,左边是一个数,分子为1;左边两个数(相加),则为2;左边三个数(相加),则为3,…, 左边n 个数(相加),则分子为n .而分母,就是分子加1,故答案: 1 n n +. 6．（2017年湖南省郴州市）已知a 1＝﹣ 32，a 2＝55，a 3＝﹣710，a 4＝917，a 5＝－1126 ，…… ， 则a 8＝．(完整版)吉林省中考数学压轴题汇编,推荐文档
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