基本不等式习专题之基本不等式做题技巧
【基本知识】
1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22
2
≥+ (2)若R b a ∈,，则2
2
2b a ab +≤（当且仅当b
a =时取“=”）
2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2
(2)若*
,R b a ∈，
则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）
(3)若*
,R b a ∈，则2
2?
?
? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） (4)，、、)(3
33
333
3
3
+∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；
)(333
3+
∈??
? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”
号成立.
4.若R b a ∈,，则2
)2(2
22b a b a +≤
+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，
可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等”
(3) 熟悉一个重要的不等式链：b
a 112
+2a b
+≤≤≤
2
2
2b a +。
【技巧讲解】
技巧一：凑项（增减项）与凑系数（利用均值不等式做题时，条件不满足时关键在于
构造条件。通常要通过乘以或除以常数、拆因式、平方等方式进行构造）
1：已知5
4x <
，求函数14245
y x x =-+-的最大值。 2. 当时，求(82)y x x =-的最大值。
3：设2
3
0< 4、求函数2 1 (1)2(1) y x x x =+ >-的最小值。 5 已知0,0x y >>，且满足3212x y +=，求lg lg x y +的最大值. 6已知x ，y 为正实数，且x 2＋ y 2 2 ＝1，求x 1＋y 2 的最大值. 7 若,,0a b c >且()423a a b c bc +++=-,求2a b c ++的最小值 . 技巧一答案： 1解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45 x x --g 不是常数，所以对42 x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->Q ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--??231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 2解析：由知，，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。 当，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。 评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。 3、解：∵230< =?? ? ??-+≤-?=-=x x x x x x y 当且仅当,232x x -=即?? ? ??∈= 23,043x 时等号成立。 4解析： 21(1)2(1)y x x x =+ >-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-2 111 1(1)222(1) x x x x --=+++>- 1≥312≥+5 2=，当且仅当211(1)22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是5 2 。 评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其 积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。 5、分析 lg lg lg()x y xy +=, xy 是二项“积”的形式，但不知其“和”的形式x y +是否 定值， 而已知是3x 与2y 的和为定值12，故应先配系数，即将xy 变形为326x y ?，再用均 值不等式. 220,0 32lg lg lg()lg 6 132112lg lg 6262lg 6x y x y x y xy x y >>?+==????+????≤=???? ? ?????????????=解： 当且仅当32x y =，即2,3x y ==时，等号成立. 所以lg lg x y +的最大值是lg 6. 6分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab ≤a 2＋b 2 2 。 同时还应化简1＋y 2 中 y 2 前面的系数为 1 2 ， x 1＋y 2 ＝x 2·1＋y 2 2 ＝ 2 x · 12 ＋y 22 下面将x ， 12 ＋y 2 2 分别看成两个因式： x ·12 ＋y 2 2 ≤x 2＋( 12 ＋y 22 )22 ＝x 2 ＋y 22 ＋12 2 ＝34 即x 1＋y 2 ＝ 2 ·x 12 ＋y 2 2 ≤ 34 2 7分析 初看，这是一个三元式的最值问题，无法利用a b +≥+b 来解决.换个思路，可考虑将2a b c ++重新组合，变成()()a b a c +++，而()()a b a c ++等于定值 42 3-，于是就可以利用均值不等式了. 2,,0,2()()2()()22423232,,31.223 2. a b c a b c a b a c a b a c a ab ac bc b c b c a a b c >++=+++≥++=+++=-=-===--++-解：由知当且仅当即时，等号成立故的最小值为 技巧二： 分离或裂项 1. 求2710 (1)1x x y x x ++= >-+的值域。 2求函数1+=1+2x y x x （） （） 的值域. 1解析一：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x ＋1）的项，再将其分离。 当 ,即 时,4 1)591 y x x ≥+? =+（（当且仅当x ＝1时取“＝”号）。 2、解：可将上式转化为 所以值域为： -)22-322+3 ∞?∞（， 技巧三：换元 1、求2710 (1)1 x x y x x ++= >-+的值域。 2 +1[1-1][1+2(x+1-1)] +11 ==12+1-3(1++21+-3+1x y x x x x x x = ++（） （）（）（））1（）（） >-1+1>01+21+y +122-3<-1-+1>11+21+=-+2-1--,+1--122+3 x x x x x x x x y x x ≥≤≤≥当时，（）2，此时（）当时，（）0（）（（））22此时（）（） 2、求函数 2 25x y x += +的最大值. 3、、已知正数x 、y 满足81 1x y +=，求2x y +的最小值。 4、已知x ，y 为正实数，且x 2＋y 22 ＝1，求x 1＋y 2 的最大值. 参考答案： 1、解析：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t =x ＋1，化简原式在分离求最 值。 22(1)7(1+10544=5t t t t y t t t t -+-++==++） 当,即t =时,4 259y t t ≥?=（当t =2即x ＝1时取“＝”号）。 评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为()(0,0)() A y mg x B A B g x =++>>，g (x )恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。 2分析 2x t +=，进行换元，再使分子常数化，然后运用均值不等式来解决. 222,0,2,(0) 21 00;12014 122212 2=. 232 ,2x t t x t t y t t t y t y t t t t t t t x +=≥=-=≥+==>= ≤ =+ ? ==-则 当时，当时，当且仅当，即所以时 3、解法三：（三角换元法） 令228sin 1cos x x x y ?=????=?? 则有228sin 1cos x x y x ?=??? ?= ?? 22 822sin cos x y x x += +222222 8csc 2sec 8(1cot )2(1tan )108cot 2tan x x x x x x =+=+++=++ 10≥+18≥，易求得12,3x y ==此时时“=”号成立，故最小值是18。 技巧四：消元（转化为函数最值，此时要注意确定变量的范围） 1、已知正数x 、y 满足811x y +=，求2x y +的最小值。 2、已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1 ab 的最小值. 3、设,,x y z 为正实数，230x y z -+=，则2 y xz 的最小值是. 1解法：（消元法） 由811x y +=得8x y x =-，由00088 x y x x x >?>>?>-又则 2x y +22(8)161616 2(8)10 8888 x x x x x x x x x x -+=+ =+=++=-++--- -1018≥=。当且仅当16 88 x x -=-即12,3x y ==此时时“=”号成立，故此函数最小值是18。 法一：a ＝30－2b b ＋1 ， ab ＝30－2b b ＋1 ·b ＝－2 b 2＋30b b ＋1 由a ＞0得，0＜b ＜15 令t ＝b +1，1＜t ＜16，ab ＝－2t 2＋34t －31t ＝－2（t ＋16t ）＋34∵t ＋16 t ≥2t ·16t ＝8 ∴ ab ≤18 ∴ y ≥ 1 18 当且仅当t ＝4，即b ＝3，a ＝6时，等号成立。 3分析 本题也是三元式的最值问题.由题意得 32x z y += ，则可对2y xz 进行消元，用,x z 表示，即变为二元式，然后可利用均值不等式解决问题. 2222 3,0,,2 9666=3,443,,=3 3.x z x z y y x z xz xz xz xz xz xz y x z x y z y xz +>=+++≥====解：由可得 当且仅当即时，取“”. 故的最小值为 技巧五：整体代换(条件不等式) 1：已知0,0x y >>，且 19 1x y +=，求x y +的最小值。 2、已知正数x 、y 满足81 1x y +=，求2x y +的最小值。 1．错解．． ：Q 0,0x y >>，且191x y +=，∴( )1912x y x y x y ??+=++≥= ??? 故 ()min 12x y += 。 错因：解法中两次连用基本不等式， 在x y +≥等号成立条件是x y =， 在 19x y +≥1 9 x y = 即9y x =,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。 正解：19 0,0,1x y x y >>+=Q ，()1991061016y x x y x y x y x y ??∴+=++=++≥+= ??? 当且仅当 9y x x y =时，上式等号成立，又191x y +=，可得4,12x y ==时，()min 16x y += 。 变式： （1）若+ ∈R y x ,且12=+ y x ，求y x 11+的最小值 (2)已知+ ∈R y x b a ,,,且 1=+y b x a ，求y x +的最小值 2、解法：（利用均值不等式） 2x y +8116()(2)10x y x y x y y x =++=+ +1018≥+=,当且仅当81 116x y x y y x ?+=????=??即12,3x y ==时“=”号成立，故此函数最小值是18。 技巧六：转化为不等式 1. 已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1 ab 的最小值. 2、已知正数x y 、满足3xy x y =++，试求xy 、x y +的范围。 1解：由已知得：30－ab ＝a ＋2b ∵ a ＋2b ≥22 ab ∴ 30－ab ≥22 ab 令u ＝ab 则u 2 ＋2 2 u －30≤0， －5 2 ≤u ≤3 2 ∴ab ≤3 2 ，ab ≤18，∴y ≥1 18 点评：①本题考查不等式 ab b a ≥+2 ） （+∈R b a ,的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等式230ab a b =++）（+ ∈R b a ,出发求得ab 的范围，关键是寻找到ab b a 与+之间的关系，由此想到不等式 ab b a ≥+2 ） （+∈R b a ,，这样将已知条件转换为含ab 的不等式，进而解得 ab 的范围. 1解法 ： 由0,0x y >>，则3xy x y =+ +3xy x y ?-=+≥，即230-≥13≤-≥(舍)，当且仅当3x y xy x y ==++且即3x y ==时取“=”号，故xy 的取值范围是[9,)+∞。 又2 3()2 x y x y xy +++=≤2()4()120x y x y ?+-+-≥2()6x y x y ?+≤-+≥舍或， 当且仅当3x y xy x y ==++且即3x y ==时取“=”号，故x y +的取值范围是 [6,)+∞ 技巧六：取平方 1、 已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，求函数W ＝3x ＋2y 的最值. 2: 求函数15()2 2 y x =<<的最大值。 解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，a ＋b 2 ≤a 2＋b 2 2 ，本题很简单 3x ＋2y ≤ 2 （3x ）2＋（2y ）2 ＝ 2 3x ＋2y ＝2 5 解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。 高考均值不等式经典例题 1.已知正数,,a b c 满足2 15b ab bc ca +++=，则58310a b c +++的最小值为 。 2.设M 是ABC V 内一点，且30AB AC A =∠=?u u u r u u u r g ，定义()(,,)f M m n p =，其中,,m n p 分别是 ,,MBC MCA MAB V V V 的面积，若1()(,,)2 f M x y =，则14x y +的最小值为 . 3.已知实数1,12 m n >>，则224211n m m n +--的最小值为 。 4.设22110,21025() a b c a ac c ab a a b >>>++-+-的最小值为 。 5.设,,a b c R ∈，且222 ,2222a b a b a b c a b c ++++=++=，则c 的最大值为 。 6.已知ABC V 中，142, 10sin sin a b A B +=+=，则ABC V 的外接圆半径R 的最大值为 。 7.已知112,,339 a b ab ≥≥=，则a b +的最大值为 。 8. ,,a b c 均为正数，且222412a ab ac bc +++=，则a b c ++的最小值为 。 9. ,,,()4a b c R a a b c bc +∈+++=-2a b c ++的最小值为 。 10. 函数()f x =的最小值为 。 11.已知0,0,228x y x y xy >>++=，则2x y +的最小值为 。 12.若*3()k k N ≥∈，则(1)log k k +与(1)log k k -的大小： 。 13.设正数,,x y z 满足22340x xy y z -+-=，则当xy z 取最大值时，212x y z +-的最大值为 。 14.若平面向量,a b r r 满足23a b -≤r r ，则a b ?r r 的最小值为 。 15. 的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a b +的最大值为 。 16.设{}n a 是等比数列， 公比q =n S 为{}n a 的前n 项和，记*21 17()n n n n S S T n N a +-=∈，设0n T 为数列{}n T 的最大项，则0n = 。 均值不等式应用（技巧） 22 11 1 11 n n n a a a a n n a a ++++ ≤≤≤ ++ 其中，2,3 n=等的各式及其变式公式均可供选用。 1.（1）若R b a∈ ,，则ab b a2 2 2≥ + (2)若R b a∈ ,，则 2 2 2b a ab + ≤（当且仅当b a=时取“=”）2. (1)若* ,R b a∈，则ab b a ≥ + 2 (2)若* ,R b a∈，则ab b a2 ≥ +（当且仅当b a=时取“=”） (3)若* ,R b a∈，则 2 2 ? ? ? ? ?+ ≤ b a ab (当且仅当b a=时取“=”） 3.若0 x>，则 1 2 x x +≥ (当且仅当1 x=时取“=”）;若0 x<，则 1 2 x x +≤- (当且仅当1 x=-时取“=”）若0 x≠，则111 22-2 x x x x x x +≥+≥+≤ 即或 (当且仅当b a=时取“=”） 3.若0 > ab，则2 ≥ + a b b a (当且仅当b a=时取“=”） 若0 ab≠，则22-2 a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤ 即或 (当且仅当b a=时取“=”） 4.若R b a∈ ,，则 2 ) 2 ( 2 2 2 b a b a+ ≤ +（当且仅当b a=时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y＝3x 2＋ 1 2x 2（2）y＝x＋ 1 x 基本不等式应用 一．基本不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab (当且仅当 b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2( 2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：（1）y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x --g 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->Q ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一 利用重要不等式放缩 1． 均值不等式法 例1 设.)1(3221+++?+?=n n S n Λ求证.2 )1(2)1(2 +<<+n S n n n 解析 此数列的通项为.,,2,1,)1(n k k k a k Λ=+= 2121)1(+ =++<+ 均值不等式应用（技巧） Wekede 整理 一．均值不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2 b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则 ab b a ≥ +2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2 ≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=” ） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”）;若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取 “=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a + ≥+ ≥+ ≤即 或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2 ( 2 2 2 b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：（1）y ＝3x 2＋ 1 2x 2 ≥23x 2·1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54 x < ，求函数14245 y x x =-+ -的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404 x x < ∴-> ，1 1425434554y x x x x ? ?∴=-+ =--+ + ?--? ? 231≤-+= 当且仅当15454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，m ax 1y =。 基本不等式应用解题技巧归纳 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。 技巧三： 分离 例3. 求2710(1)1 x x y x x ++=>-+的值域。 技巧四：换元 技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()a f x x x =+的单调性。例：求函数2 y = 练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值. （1）231,(0)x x y x x ++=> （2）12,33y x x x =+>- (3)12sin ,(0,)sin y x x x π=+∈ 2．已知01x <<，求函数y = 的最大值.；3．203x <<，求函数y =. 条件求最值 1.若实数满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是 . 变式：若44log log 2x y +=，求11x y +的最小值.并求x ,y 的值 技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。 2：已知0,0x y >>，且 191x y +=，求x y +的最小值。 变式： （1）若+∈R y x ,且12=+ y x ，求y x 11+的最小值 (2)已知+∈R y x b a ,,,且1=+y b x a ，求y x +的最小值 技巧七、已知x ，y 为正实数，且x 2 ＋y 22 ＝1，求x 1＋y 2 的最大值. 技巧八：已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab 的最小值. 变式：1.已知a >0，b >0，ab －(a ＋b )＝1，求a ＋b 的最小值。 2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。 应用一、求最值 直接求 例1、若x ，y 是正数，则22)21 ()21(x y y x +++的最小值是【 】 A ．3 B ．27 C ．4 D ．2 9 例2、设y x b a b a b a R y x y x 11,32,3,1,1,,+=+==>>∈则若的最大值为【 】 A. 2 B. 23 C. 1 D. 21 练习1.若0x >，则2 x x +的最小值为 . 练习2.设,x y 为正数, 则14 ()()x y x y ++的最小值为【 】 A.6 B. 9 C. 12 D. 15 练习3.若0,0>>b a ,且函数224)(23+--=bx ax x x f 在1=x 处有极值，则ab 的最大值等于【 】 A.2 B ．3 C ．6 D ．9 练习4.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x = 吨. 练习5.求下列函数的值域： （1）2 2 213x x y + = （2）x x y 1 += 练习6.已知0x >，0y >，x a b y ，，，成等差数列，x c d y ，，，成等比数列，则 2 ()a b cd +的最小值是【 】 A.0 B.4 C.2 D.1 例3、已知0,0,01,a b c a b c >>>++=且则111 (1)(1)(1)a b c ---最小值为【 】 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 凑系数 例4、若x y ∈+R ，，且14=+y x ，则x y ?的最大值是 ． 练习1.已知,x y R +∈，且满足 134 x y +=，则xy 的最大值为 . 练习2. 当40< 均值不等式应用（技巧）技巧一：凑项 1、求y = 2x+ 1 x - 3 （x > 3）的最小值 2、已知x > 3 2 ，求y = 2 2x - 3 的最小值 3、已知x < 5 4 ，求函数y = 4x – 2 + 1 4x - 5 的最大值。 技巧二：凑系数 4、当0 < x < 4时，求y = x(8 - 2x)的最大值。 5、设0 < x < 3 2 时，求y = 4x(3 - 2x)的最大值，并求此时x的值。 6、已知0 < x < 1时，求y = 2x(1 - x) 的最大值。 7、设0 < x < 2 3 时，求y = x(2 - 3x) 的最大值 技巧三：分离 8、求y = x2 + 7x + 10 x + 1 （x > -1）的值域； 9、求y = x2 + 3x + 1 x （x > 0） 的值域 10、已知x > 2，求y = x2 - 3x + 6 x - 2 的最小值 11、已知a > b > c，求y = a - c a - b + a - c b - c 的最小值 12、已知x > -1，求y = x + 1 x2 + 5x + 8 的最大值 技巧四：应用最值定理取不到等号时利用函数单调性 13、求函数y = x2 + 5 x2 + 4 的值域。 14、若实数满足a + b = 2，则3a + 3b的最小值是。 15、若 + = 2，求1 x + 1 y 的最小值，并求x、y的值。 技巧六：整体代换 16、已知x > 0，y > 0，且1 x + 9 y = 1，求x + y的最小值。 17、若x、y∈R+且2x + y = 1，求1 x + 1 y 的最小值 18、已知a，b，x，y∈R+ 且a x + b y = 1，求x + y的最小值。 19、已知正实数x，y满足2x + y = 1，求1 x + 2 y 的最小值 20、已知正实数x，y，z满足x + y + z = 1，求1 x + 4 y + 9 z 的最小值 技巧七：取平方 21、已知x，y为正实数，且x2 + y2 2 = 1，求x 1 + y2的最大值。 22、已知x，y为正实数，3x + 2y = 10，求函数y = 3x + 2y的最值。 23、求函数y = 2x - 1 + 5 - 2x（1 2 < x < 5 2 ）的最大值。 技巧八：已知条件既有和又有积，放缩后解不等式 24、已知a，b为正实数，2b + ab + a = 30，求函数y = 1 ab 的最小值。 证明不等式的基本方法 导学目标：1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式． [自主梳理] 1.三个正数的算术—几何平均不等式：如果a ，b ，c>0，那么_________________________，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 2.基本不等式(基本不等式的推广)：对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1·a 2·…·a n ，当且仅当__________________时等号成立． 3.证明不等式的常用五种方法 (1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小． (2)综合法：从已知条件出发，利用定义、______、______、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫综合法．也叫顺推证法或由因导果法． (3)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的________条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义 、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立为止，这种证明方法叫分析法．也叫逆推证法或执果索因法． (4)反证法 ①反证法的定义 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法． ②反证法的特点 先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾． (5)放缩法 ①定义：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值________或________，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法． ②思路：分析观察证明式的特点，适当放大或缩小是证题关键． 题型一 用比差法与比商法证明不等式 1.设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则s 与t 的大小关系是( A ) ≥t >t ≤t 高中数学竞赛解题方法篇 不等式 The pony was revised in January 2021 高中数学竞赛中不等式的解法 摘要：本文给出了竞赛数学中常用的排序不等式，平均值不等式，柯西不等式和切比雪夫不等式的证明过程，并挑选了一些与这几类不等式相关的一些竞赛题进行了分析和讲解。希望对广大喜爱竞赛数学的师生有所帮助。 不等式在数学中占有重要的地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛数学中的热门题型.在解决竞赛数学中的不等式问题的过程中，常常要用到几个着名的代数不等式：排序不等式、平均值不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式.本文就将探讨这几个不等式的证明和它们的一些应用. 1．排序不等式 定理1 设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤，则有 1211...n n n a b a b a b -+++(倒序积和) 1212...n r r n r a b a b a b ≤+++（乱序积和） 1122 ...n n a b a b a b ≤+++（顺序积和） 其中1,2,...,n r r r 是实数组1,2,...,n b b b 一个排列，等式当且仅当12...n a a a ===或 12...n b b b ===时成立. （说明：本不等式称排序不等式，俗称倒序积和乱序积和顺序积和.） 证明：考察右边不等式，并记1212...n r r n r S a b a b a b =+++。 不等式1212...n r r n r S a b a b a b ≤+++的意义：当121,2,...,n r r r n ===时，S 达到最大值 1122 ...n n a b a b a b +++.因此，首先证明n a 必须和n b 搭配，才能使S 达到最大值.也即，设n r n <且n b 和某个()k a k n <搭配时有 .n n k n n r k r n n a b a b a b a b +≤+（1-1） 事实上， 不等式（1-1）告诉我们当n r n <时，调换n b 和n r b 的位置（其余n-2项不变），会使和S 增加.同理，调整好n a 和n b 后，再调整1n a -和1n b -会使和增加.经过n 次调整后，和S 达到最大值1122 ...n n a b a b a b +++，这就证明了1212...n r r n r a b a b a b +++1122 ...n n a b a b a b ≤+++. 再证不等式左端, 由1211...,...n n n a a a b b b -≤≤≤-≤-≤≤-及已证明的不等式右端， 得 即1211...n n n a b a b a b -+++1212...n r r n r a b a b a b ≤+++. 例1（美国第3届中学生数学竞赛题）设a,b,c 是正数，求证：3 ()a b c a b c a b c abc ++≥. 思路分析：考虑两边取常用对数，再利用排序不等式证明. 证明：不妨设a b c ≥≥，则有lg lg lg a b c ≥≥ 根据排序不等式有： 以上两式相加，两边再分别加上lg lg lg a a b b c c ++ 利用基本不等式求最值的常用技巧及练习题（含解答）（经典） 一．基本不等式的常用变形 1.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=” ）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当 _____________时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当____________时取“=”） 2.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当____________时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当_________时取“=” ） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定植时， 可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等” 二、利用基本不等式求最值的技巧： 技巧一：直接求： 例1 已知,x y R + ∈，且满足 134 x y +=，则xy 的最大值为 ________。 解：因为x >0，y>0 ，所以 34x y +≥=当且仅当34x y =，即x=6，y=8时取等 号) 1， 3.xy ∴≤，故xy 的最大值3. 变式：若44log log 2x y +=，求11 x y +的最小值.并求x ,y 的值 解：∵44log log 2x y += 2log 4=∴xy 即xy=16 2 1211211==≥+∴xy y x y x 当且仅当x=y 时等号成立 技巧二：配凑项求 例2：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 均值不等式应用 一．均值不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则 ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”）. 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：（1）值域为[ 6 ，+∞） （2）值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：当1x =时，max 1y =。 技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。 解：x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。 变式：设2 3 0< 均值不等式及其应用 一．均值不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab (当且仅当 b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2( 2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三相等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：（1）y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x --g 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->Q ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 均值不等式应用全面总结+题型总结（含详细解析） 一．均值不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则 2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈ ，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2( 2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正 所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：（1）y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴-> ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--??231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。 解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。 当，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。 评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。 变式：设2 3 0< 基本不等式应用技巧之高级篇 基本不等式在不等式的证明、求最大值、最小值的有些问题上给我们带来了很大的方便，但有时很想用基本不等式，却感到力不从心。这需要一点技巧，就是要能适当的配凑，即把相关的系数做适当的配凑。比如下面的例题1。 例题1. 已知5 4 x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。 解：因54 x <，所以450 x -<。这可以先调整式子的符号，但 1 (42) 45 x x --不是常数，所以必须对 42x -进行拆分。 11 42(54)3231 4554y x x x x =-+=--++≤-+=-- 当且仅当1 5454x x -=-，即1x =时取等号。故当1x =时，max 1y = 但是有些题目的配凑并不是这么显然。我们应该如何去配凑，又有何规律可循呢？请看下面的例题2. 例题2. 设,,,x y z w 是不全为零的实数，求 2222 2xy yz zw x y z w +++++的最大值。 显然我们只需考虑0,0,0,0x y z w ≥≥≥≥的情形，但直接使用基本不等式是不行的，我们假设可以找到相应的正参数,αβ满足： 2222222222 ()(1)1x y z w x y y z z w ααββ+++=++-++-+≥++（）故依据取等号的条件得， t = ==，参数t 就是我们要求的最大值。 消去,αβ我们得到一个方程24410t t --= 此方程的最大根为我们所求的最大值得到t = 从这个例子我们可以看出，这种配凑是有规律的，关键是我们建立了一个等式 = = ，这个等式建立的依据是等号成立的条件，目的就是为了取得最值。 我们再看一些类似的问题，请大家细心体会。 例题3. 设,,,x y z w 引入参数,αβ ,γ 使其满足： 2(1)(2)(1)x y z x x y x y z x αβαγβγαβ++=--++++-+≥--+ 不等式解题技巧 【基本知识】 1、若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取 “=”） 2、(1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈， 则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） 3、0x >若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 4、， 、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a =b =c 时,“=”号成立； )(333 3 + ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号 成立. 5、若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注意： （1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可 以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” （3）熟悉一个重要的不等式链： b a 2 +2 a b +≤≤2 2 2b a + 【技巧讲解】 技巧一：凑项（增减项）与凑系数（利用均值不等式做题时，条件不满足时关键在于构造条件。通常要通过乘以或除以常数、拆因式、平方等方式进行构造） 1、 已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 2、当04x <<时，求(82)y x x =-的最大值。 基本不等式 令狐采学 一、基础知识 1．（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+； （2）若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅那时b a =取“=”）． 2．（1）若00a ,b >>，则ab b a ≥+2 ； （2）若00a ,b >>，则ab b a 2≥+（当且仅那时b a =取“=”）； （3）若00a ,b >>，则22?? ? ??+≤b a ab （当且仅那时b a =取“=”）． 3．若0x >，则12x x +≥（当且仅那时1x =取“=”）； 若0x <，则12x x +≤-（当且仅那时1x =-取“=”）； 若0x ≠，则1 2x x +≥，即12x x +≥或12x x +≤-（当且仅那时b a =取“=”）． 4．若0>ab ，则2≥+a b b a （当且仅那时b a =取“=”）； 若0ab ≠，则2a b b a + ≥，即2a b b a +≥或2a b b a +≤-（当且仅那时b a =取“=”）． 5．若R b a ∈,，则22222b a b a +≤??? ??+（当且仅那时b a =取“=”）． 二、拓展 1．一个重要的不等式链：2221122a b a b ab a b ++≤≤≤+． 2．函数()()0,0b f x ax a b x =+>>图象及性质 （1）函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如右图所示： （2）函数()0)(>+=b a x b ax x f 、性质： ①值域：()22,ab ab,??-∞-+∞??； ②单调递增区间：,,,b b a a ????-∞- +∞ ??? ?? ???；单调递加区间：0, ,,0b b a a ????- ??? ?????． 注： （1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的 最小值，正所谓“积定和最小，和定积最年夜”； （2）求最值的条件“一正，二定，三相等”； （3）均值定理在求最值、比较年夜小、求变量的取值规模、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 三、基本类型 对称性： “1”的代换： 四、利用基本不等式求最值经常使用技巧 技巧一：凑项高考均值不等式经典例题
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