一元一次方程如何找等量关系 列方程找等量关系的关键就是找到题目中的不变量，不变量有不同的表现形式分为两种，题目中的已知数，也就是具体的数值，这种是比较简单的，一眼就能看出来的；有的是通过未知数与题目中的数字运算结果作不变量。当然理解题意非常重要，只有理解了，才能分清等量关系。好，下面我就一些例题详细作以讲解 1.找题目中已知数或者是题目中的一个或多个数字的运算结果作为不变量，让它作为等量关系的一边，把它放在方程的右边（也可以在左边，为了方便叙述，就把它放在右边），然后设未知数，通过未知数和题目中数字的运算列出代数式，使代数式的意义和右边不变量的意义相同，把代数式放在方程的左边，这样方程就会轻而易举的列了出来。 例题1.甲乙两班共有学生98人，甲班比乙班多6人，求两班各有多少人？ 这个题目中有两个数字，这两个数字都是不变量，任何题目中的数字都是不变量，找到一个不变量，放在方程的右边，我们再用x与题目中的数字把它表示出来。这个题目中的我们把98作为不变量放在方程的右边，98代表的含义是甲乙两班共有学生的人数，根据题意可以设甲班人数为x，根据第二个条件“甲班比乙班多6人”，就可以用x表示出乙班的人数为x-6，这样就可以用x把98所代表的含义表示出来x+（x-6），这样就可以把方程列出来了： x+（x-6）=98 同样，我们可以把6作为不变量来列方程，这里不再叙述，同学们自己可以
根据这个思路列出方程来。 例题2.甲、乙两人同时从A地前往相距25.5千米的B地，甲骑自行车，乙步行，甲的速度比乙的速度的2倍还快2千米/时，甲先到达B地后，立即由B 地返回，在途中遇到乙，这时距他们出发时已过了3小时。求两人的速度。 这个题目中的不变量就是两地之间的距离，这里不做过多解释了。 解：设乙的速度是x 千米/时， 3x＋3 (2x＋2)＝25.5×2 2.先把未知数设出来，然后直接把它放在方程的右边或者与题目中的一个或多个数字的运算结果（代数式）放在方程的右边（也可以在左边，为了方便叙述，就把它放在右边），接着通过未知数和题目中数字的运算列出代数式，使代数式的意义和右边代数式的意义相同，放在方程的左边，这样方程就会轻而易举的列了出来。 例题3、人从家里骑自行车到学校。若每小时行15千米，可比预定的时间早到15分钟；若每小时行9千米，可比预定的时间晚到15分钟；求从家里到学校的路程有多少千米？ 这个题目中已知不变量有4个，可是把每一个放在方程的右边，用未知数来表示这个不变量的意义都很困难，从题意中我们还知道预定的时间是一定的，路程也是一定的，那么我们怎么设未知数又怎么列等量关系呢，我们可以设其中
七年级数学解一元一次方程 【典型例题】 类型一、解较简单的一元一次方程 例1．解下列方程 -5x+6+7x＝1+2x-3+8x 类型二、去括号解一元一次方程 例2．解方程：类型三、解含分母的一元一次方程 例3．解方程： 434343 1 623 x x x +++ ++=．类型四、解较复杂的一元一次方程 例4. 解方程： 112 [(1)](1) 223 x x x --=- 类型五、解含绝对值的方程 例5．解方程|x|-2＝0 类型六、解含字母的方程 例6．解方程ax-2＝0 ()() 1221107 x x +=+()()() 232123 x x -+=-
巩固练习 一、选择题 1．下列方程解相同的是 （ ）． A ．方程536x +=与方程24x = B ．方程31x x =+与方程241x x =- C ．方程102x + =与方程102 x += D 方程63(52)5x x --=与方程6153x x -= 2．下列解方程的过程中，移项错误的是( )． A ．方程2x+6＝-3变形为2x ＝-3+6 B ．方程2x -6＝-3变形为2x ＝-3+6 C ．方程3x ＝4-x 变形为3x+x ＝4 D ．方程4-x ＝3x 变形为x+3x ＝4 3. 方程 11 43 x =的解是 （ ） ． A ．12x = B ．1 12 x = C ．43x = D ．3 4 x = 4．对方程2(2x -1)-(x -3)＝1，去括号正确的是 ( )． A ．4x -1-x -3＝1 B ．4x -1-x+3＝1 C ．4x -2-x -3＝1 D ．4x -2-x+3＝1 5．方程1 302 x -- =可变形为( )． A ．3-x -1＝0 B ．6-x -1＝0 C ．6-x+1＝0 D ．6-x+1＝2 6．3x -12的值与1 3 - 互为倒数，则x 的值为( )． A ．3 B ．-3 C ．5 D ．-5 7．解方程21101136x x ++-=时，去分母，去括号后，正确结果是( )． A ．4x+1-10x+1＝1 B ．4x+2-10x -1＝1 C ．4x+2-10x -1＝6 D ．4x+2-10x+1＝6 8.某道路一侧原有路灯106盏，相邻两盏灯的距离为 36米，现计划全部更换为新型的节能灯，且相邻两盏灯的距离变为70米，则需更换的新型节能灯 有（ ） A ．54盏 B ．55盏 C ．56盏 D ．57盏 二、填空题 9．(1)方程2x+3＝3x -2，利用________可变形为2x -3x ＝-2-3，这种变形叫________． (2)方程-3x ＝5，利用________，把方程两边都_______，把x 的系数化为1，得x ＝________． 10．方程2x -kx+1＝5x -2的解是x ＝-1，k 的值是_______． 11．如果式子2x+3与x -5的值互为相反数，那么x ＝________． 12．将方程 11111 24396 x x x x +++=去分母后得到方程________． 13．在有理数范围内定义一种运算“※”，其规则为a ※b ＝a -b ．根据这个规则，求方程(x -2)※1＝0的解为________． 14．一列长为150m 的火车，以15m/s 的速度通过600m 的隧道，则这列火车完全通过此隧道所需时间是________s ． 三、解答题 15．解下列方程 (1)4(2x -1)-3(5x+2)＝3(2-x ) (2)12 323 x x x ---=- (3) 0.10.21 30.020.5 x x -+-= 16．式子12-3(9-y )与5(y -4)的值相等，求2y (y 2+1)的值．
学生做题前请先回答以下问题 问题1：解一元一次方程的五个步骤及每一步的操作依据（在前面的横线上写操作步骤，后面的横线上写这一步操作的依据）： ①______________，______________； ②______________，______________； ③______________，______________； ④______________，______________； ⑤______________，______________； 问题2：解一元一次方程的七个易错点：①________________；②_________________； ③______________________；④______________________；⑤______________________； ⑥______________________；⑦______________________． 解一元一次方程（解方程）（人教版） 一、单选题(共10道，每道10分) 1.一元一次方程的解为( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 故选B． 试题难度：三颗星知识点：解一元一次方程 2.一元一次方程的解为( )
A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 解： 故选C． 试题难度：三颗星知识点：解一元一次方程 3.一元一次方程的解为( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： （1）考点：解一元一次方程，按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤进行． （2）解答过程：
故选C． （3）易错点： ①去分母常数项1忘记乘以公分母6； ②去分母时忽略掉分数线具有括号的作用， 错误做法如，正确做法是； ③括号前的系数没有分配给每一项，括号前是“-”号，去括号后没有变号； ④移项没有变号； ⑤合并同类项出现错误； ⑥系数化为1时出现错误． 试题难度：三颗星知识点：解一元一次方程 4.一元一次方程的解为( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 故选C． 试题难度：三颗星知识点：解一元一次方程 5.一元一次方程的解为( ) A. B.
（1）等积类应用题的基本关系式：变形前的体积（容积）＝变形后的体积（容积）。 （2）调配类应用题的特点是：调配前的数量关系，调配后又有一种新的数量关系。 （3）利息类应用题的基本关系式：本金×利率＝利息，本金＋利息＝本息。（4）商品利润率问题：商品的利润率，商品利润＝商品售价－商品进价。（5）工程类应用题中的工作量并不是具体数量，因而常常把工作总量看作整体1，其中，工作效率＝工作总量÷工作时间。 （6）行程类应用题基本关系：路程＝速度×时间。 相遇问题：甲、乙相向而行，则：甲走的路程＋乙走的路程＝总路程。 追及问题：甲、乙同向不同地，则：追者走的路程＝前者走的路程＋两地间的距离。 环形跑道题： ①甲、乙两人在环形跑道上同时同地同向出发：快的必须多跑一圈才能追上慢的。 ②甲、乙两人在环形跑道上同时同地反向出发：两人相遇时的总路程为环形跑道一圈的长度。 飞行问题、基本等量关系： ①顺风速度＝无风速度＋风速 ②逆风速度＝无风速度－风速 顺风速度－逆风速度＝2×风速 航行问题，基本等量关系： ①顺水速度＝静水速度＋水速②逆水速度＝静水速度－水速 顺水速度－逆水速度＝2×水速 （7）比例类应用题：若甲、乙的比为2：3，可设甲为2x，乙为3x。（8）数字类应用题基本关系：若一个三位数，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则这三位数为：。 （9）浓度问题：溶质＝溶液×浓度（），溶液＝溶质＋溶剂。 追问 考试经常考的是哪些？ 回答 （1）等积类应用题的基本关系式：变形前的体积（容积）＝变形后的体积（容积）。
（2）调配类应用题的特点是：调配前的数量关系，调配后又有一种新的数量关系。 （3）利息类应用题的基本关系式：本金×利率＝利息，本金＋利息＝本息。（4）商品利润率问题：商品的利润率，商品利润＝商品售价－商品进价。（5）工程类应用题中的工作量并不是具体数量，因而常常把工作总量看作整体1，其中，工作效率＝工作总量÷工作时间。 （6）行程类应用题基本关系：路程＝速度×时间。 相遇问题：甲、乙相向而行，则：甲走的路程＋乙走的路程＝总路程。 追及问题：甲、乙同向不同地，则：追者走的路程＝前者走的路程＋两地间的距离。 环形跑道题： ①甲、乙两人在环形跑道上同时同地同向出发：快的必须多跑一圈才能追上慢的。 ②甲、乙两人在环形跑道上同时同地反向出发：两人相遇时的总路程为环形跑道一圈的长度。 飞行问题、基本等量关系： ①顺风速度＝无风速度＋风速 ②逆风速度＝无风速度－风速 顺风速度－逆风速度＝2×风速 航行问题，基本等量关系： ①顺水速度＝静水速度＋水速②逆水速度＝静水速度－水速 顺水速度－逆水速度＝2×水速
新人教版七年级上册数学 第三章一元一次方程教案 （2015年秋季学期） 授课者：蒋宏亮 学校：东兴市京族学校 第三章一元一次方程 单元要点分析 教案内容 方程就是将众多实际问题“教案化”的一个重要模型?因此，课本从学生熟悉的实际问题开始，从算式到方程，展开方程的学习，以使学生认识到方程的出现源于解决问题的需要，体会学习方程的意义和作用. 本章内容主要分为以下三个部分： 1 ?通过丰富实例，从算式到建立一元一次方程，？展开方程是刻画现实生活的 有效数学模型. 2 .运用等式的基本性质解方程，归纳移项法则，运用分配律，？归纳“合并”、“去括号”等法则，逐步展现求解方程的一般步骤，这些内容的学习不是孤立进行 的，始终从实际问题出发，使学生经历模型化的过程，激发学生的好奇心和主动学习的欲望. 3 .运用方程解决丰富多彩的、贴近学生生活的实际问题，？展现运用方程解决 实际问题的一般过程. 为了使学生经历“建立方程模型”这一数学化的过程，理解学习方程的意义，培养学生的抽象概括等能力，课本内容的呈现都以求解决一个实际问题为切入点，让学生经历抽象、符号变号、应用等活动，在活动中培养学生解决问题的兴趣和能力，提高学生的思维水平和应用数学知识去解决实际问题的意识. 三维目标 1 ．知识与技能根据具体问题中的数量关系，经历形成方程模型，解方程和运用方程解决实际
问题的过程，体会方程是刻画现实世界的有效数学模型． 2 ．过程与方法 （1）了解一元一次方程及其相关概念，会解一元一次方程．（数学系数） （2）能以一元一次方程为工具解决一些简单的实际问题，包括列方程，?求解 方程和解释结果的实际意义及合理性，提高分析问题、解决问题的能力． 3．情感态度与价值观培养学生求实的态度。培养学生获取信息，分析问题，处理问题的能力。 激发学生的好奇心和主动学习的欲望，体会数学的应用价值．重、难点与关键 1 ．重点：一元一次方程有很多直接应用，?解一元一次方程是解其他方程和方程组的基础．因此本章重点在于使学生能根据具体问题中的数量关系列出一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本方法，能运用一元一次方程解决实际问题． 2 ．难点：正确地列出一元一次方程的解决实际问题． 3 ．关键：（1）熟练地解一元一次方程的关键在于正确地了解方程、方程解的意义和运用等式的两个性质． （2）正确地列出方程的关键在于正确地分析问题中的已知数、未知数，?并找 出能够表示应用题全部含义的相等关系． 3.1 从算式到方程 §3.1.1 一元一次方程（一）教案目标： 知识与技能： 通过处理实际问题，让学生体验从算术方法到代数方法是一种进步；过程与方法： 初步学会如何寻找问题中的相等关系，列出方程，了解方程的概念；情感、态度、价值观： 培养学生获取信息，分析问题，处理问题的能力。 教案重点：从实际问题中寻找相等关系 教案难点：从实际问题中寻找相等关系 教案过程： 一、情境引入 提出教科书第78 页的问题，并用多媒体直观演示： 问题1：从题中你能获得哪些信息？（可以提示学生从时间、路程、速度、等方面去考虑。）可以在学生回答的基础上做回顾小结问题2:你会用算术方法求出A,B两地的距离吗？列算式试试。 教师可以在学生回答的基础上做回顾小结： 1、问题涉及的三个基本物理量及其关系； 2、对于客车，1km所用的时间为—h，而卡车所用的时间为—h；所以1km， 70 60 1 1 客车比卡车少用的( ---------- )h。路程多少千M时客车才比卡车少用1h呢？ 60 70 1 1
一元一次方程等量关系 方法一：根据常见的公式寻找等量关系 1、 工作问题和工程问题 （1） 单人工作：工作总量＝工作效率×工作时间 （2） 多人合作：甲的工作总量+乙的工作总量+。。。。。。＝工作总量 【例】某工作甲单独做4天完成，乙单独做8天完成。现甲先做1天，然后和乙共同完成余下工作。问甲一共做了几天？ 甲单独一天可以完成总量的1/4，乙单独一天完成1/8;甲干1天后剩余：1-1*1/4=3/4设甲乙共同完成余下的需要X 天则X*(1/4+1/8)=3/4解得X=2天所以甲一共干了：1+2=3天 【例】一项工程，甲队独做要120天完成，如果甲队先做10天，乙队再做5天，就可以完成这项工程的24 5，乙队单独做这项工程需要多少天？ 解：设乙队的工作效率为X ，得：5X+10/120=5/24解得X=1/40答：乙队单独做这项工程需要40天 2、 行程问题 路程＝速度×时间（特别注意：两地的距离不变） （1）追击问题： ①同时不同地出发：前者走的路程+两地间距离＝追者走的路程 前者走的时间＝追者走的路程 ②同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程 前者走的时间＝追者走的时间+等待时间 【例】甲乙两地路程为180千米,一人骑自行车从甲地出发每小时走15千米,另一人骑摩托车从乙地出发。已知，摩托车速度是自行车速度的3倍，若两人同向而行，骑自行车在先且出发2小时，问摩托车经过多少时间追上自行车？ 解：设摩托车经过时间x 追上自行车 自行车行驶的路程：S 自=15*（x+2） 摩托车行驶的路程：S 摩=15*3x 由于S 自=S 摩+180， 代入数据，得x=7 答：摩托车7小时追上 【例】甲乙两人都以不变的速度在400米环形跑道上跑步，两人在同一地方同时出发同向而行，甲的速度为100米/分，乙的速度是甲速度的3/2倍，问经过多长时间后两人首次相遇？第二次相遇呢？ 首先要相遇，肯定是乙超了甲足足一圈乙的速度：100*3/2=150m/min 设第一次相遇经过时间为X150X-100X=400X=8设第二次相遇经过时间为Y150Y-100Y=400*2Y=16
七年上一元一次方程1、行程 行程的基本公式：速度×= 路程常见的等量关系(1) 相遇 一般公式：× 速度和= 相遇路程 一、由意得 例：甲、乙两地相距 1500千米，两汽同从两地相向而行，其中吉普每小行 60 千米，是客速度的 1.5 倍。 注意数学用，如：等于，??与??相等，一共有，剩余，是??（1）几小后两相遇？ （2）若吉普先开 40 分，那么客开出两相遇？ 的几倍，比??多几等等。 例 1：一个数的1 与 3 的差等于最大的一位数，求个数。（ 2）追及 7 一般公式： 例 2：一个三位数，三个数位上的数字之和是17，百位上的数字比十 出地不同，同出：×速度差 = 路程差（追及路程） 位上的数大 7，个位上的数字是十位上的三倍，求个三位数。 出地相同，先后出： A× A速度= B× B速度 例 3 ：从正方形的皮上，截去一个2cm 的方形条，剩余的面是 80cm2，，那么原来皮的是多少？ 例：小明家距离学校 1000米。一天小明以80 米每分的速度去上学， 5 二、前后不分后爸爸小明没文，开始以180米每分的速度去追小明，并在途中追上了他。 例1：在要将一个底面半径 3，高 12 的柱条重新熔成一个底面半径 9 的柱，求熔后的柱高。 例 2：小一本，每天 （ 3）形跑道 20 ，需要 12 天完，如果每天多 4 分析意，分析两人路程差或者差，将形跑道直 ，需要多少天完？如果每天少两，需要几天完？ 相遇或者追及。 三、算公式 例：甲乙两人在形跑道上跑步。已知跑道一圈400 米，乙每例如面公式，公式等等。 3 秒跑 6 米，甲的速度是乙的 。 4 四、数量关系
（ 1）若甲、乙两人在环形跑道上相距8 米处同时相向出发，经过几秒（ 5）火车问题 两人相遇？火车过桥总路程= 桥长 + 火车身长 （ 2）若甲在乙前 8 米处同时同向出发，那么经过多长时间两人首次相火车完全在桥上时的路程= 桥长 - 火车身长 遇？火车过隧道总路程= 隧道长 + 火车身长 火车完全在隧道里的路程= 隧道长 - 火车身长 （4）顺流（风）逆流（风））以及上下坡问题例：一座桥长1000 米，一列火车从桥上通过，从上桥到离开桥公用1静水速度是指船在静水中的速度，也就是船自身的速度。无风速度是分钟，整列火车全在桥上的时间为40 秒，求火车的长度。 指飞机在没有风的速度，也就是飞机自身的速度。 顺水实际速度= 静水速度+ 水速 逆水实际速度= 静水速度-水速2、利润问题 顺风实际速度= 无风速度+ 风速利润中的常用概念：进价（成本），标价，售价，利润，利润率，折逆风实际速度= 无风速度-风速扣。 顺水实际速度+ 逆水实际速度= 2 静水速度商品利润 =商品售价- 商品进价 商品售价 =商品标价× 折扣（折扣为换算来的百分数）例 1：一辆货轮航行于 A、B 两码头之间，水流速度为3km/h ，顺水需商品利润率= （商品利润÷商品进价）× 100% 要 2.5 小时，逆水需 3 小时。求 A、B 两码头之间的距离。 例 1：某商品的进价为250 元，按标价的九折销售，利润率为15.2%，例 2：一艘轮船本身速度不变，从武汉到重庆需要 5 昼夜，从重庆到求商品的标价。 武汉需要 7 昼夜。试问一块木排从重庆漂流到武汉需要多久？ 例 2：某商品标价2200 元，打八折出售，利润率为 10%。求商品进价。 例 3：一条河道按顺序排列着A、 B、C 三个码头，某船从 A 码头顺流 而下到 C 码头，然后逆流返回到 B 码头，共用了 9 小时。已知船在静水中例 3：某商品的进价是1000 元，标价是 1500 元，商店要求此商品利 速度为 7.5km/h ，水流速度是 2.5km/h ，A、B 两码头相距15 千米，求 A、C润率不得低于 5%，则此商品最低可以打几折？ 之间的距离。 3、利息问题
第二章一元一次方程教案 一、背景与意义分析 本课安排在第1章“有理数”之后，属于《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）中的“数与代数”领域。 方程有悠久的历史，它随着实践需要而产生，被广泛应用。从数学科学本身看，方程是代数学的核心内容，正是对于它的研究推动了整个代数学的发展。从代数中关于方程的分类看，一元一次方程是最简单的代数方程，也是所有代数方程的基础。 本课中引出了方程、一元一次方程等基本概念，并且对“根据实际问题中的数量关系，设未知数，列出一元一次方程”的分析问题过程进行了归纳。以方程为工具分析问题、解决问题，即建立方程模型是全章的重点，同时也是难点。分析实际问题中的数量关系并用一元一次方程表示其中的相等关系，是始终贯穿于全章主线，而对一元一次方程的有关概念和解法的讨论，是在建立和运用方程这种数学模型的大背景之下进行的。列方程中蕴涵的“数学建模思想”是本课始终渗透的主要数学思想。 在小学阶段，已学习了用算术方法解应用题，还学习了最简单的方程。本小节先通过一个具体行程问题，引导学生尝试如何用算术方法解决它，然后再一步一步引导学生列出含有未知数的式子表示有关的量，并进一步依据相等关系列出含有未知数的等式——方程。这样安排目的在于突出方程的根本特征，引出方程的定义，并使学生认识到方程是最方便、更有力的数学工具，从算术方法到代数方法是数学的进步。 算术表示用算术方法进行计算的程序，列算式是依据问题中的数量关系，算术中只能含已知数而不能含未知数。列方程也是依据问题中的数量关系（特别是相等关系），它打破了列算式时只能用已知数的限制，方程中可以根据需要含有相关的已知数和未知数，未知数进入式子是新的突破。正因如此，一般地说列方程要比列算式考虑起来更直接、更自然，因而有更多优越性。 二、学习与导学目标 １、知识积累与疏导：通过现实生活中的例子，体会到方程的意义，领悟一元一次方程的定义，会进行简单的辨别。 ２、技能掌握与指导：能根据具体问题中的数量关系，列出方程，感悟到方程是刻画现实世界的一个有效模型。利用率１００％。 ３、智能的提高与训导：在与他人交流探究过程中，学会与老师对话、与同学合作，合理清晰地表达自己的思维过程。 ４、情感修炼与开导：积极创设问题情景，认识到列方程解应用题的优越性，初步体会到“从算式到方程是数学的进步”的含义。 ５、观念确认与引导：通过经历“方程”这一数学概念的形成与应用过程，感受到“问题情境——分析讨论——建立模型——解释应用——转换拓展”的模式，从而更好地理解“方程”的意义。结合例题培养学生观察、类比的能力和渗透数形结合思想。 三、障碍与生成关注 通过“问题情境”，建立“数学模型”，难度较大，为此要充分引导学生关注生活实际，仔细分析题目题意，促使学生朝“数学模型”方面理解。 四、学程与导程活动 （一）创设情景、引入新课 同学们知道南通市的东城区吗？那宽广的人民东路延伸段正吸引着许多投资者的目光，南通市最大的环保热电厂已在东城区的新胜村拔地而起（图片展示），让我们乘３６路公交车去感受一下吧！
一元一次方程应用题归类汇集 一、列方程解应用题的一般步骤（解题思路） （1）审—审题：认真审题，弄清题意，找出能够表示本题含义的相等关系（找出等量关系）． （2）设—设出未知数：根据提问，巧设未知数． （3）列—列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程． （4）解——解方程：解所列的方程，求出未知数的值． （5）答—检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案．（注意带上单位） 二. 1.一般行程问题（相遇与追击问题） （1）.行程问题中的三个基本量及其关系： 路程＝速度×时间时间＝路程÷速度速度＝路程÷时间（2）.行程问题基本类型 相遇问题：快行距＋慢行距＝原距 追及问题：快行距－慢行距＝原距 2.行船与飞机飞行问题： 航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度 逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度 水流速度=（顺水速度-逆水速度）÷2 3.工程问题 工程问题中的三个量及其关系为： 工作总量＝工作效率×工作时间 =工作总量 工作效率 工作时间 = 工作总量工作时间 工作效率 经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1。即完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1． 4．市场经济问题 （1）商品利润＝商品售价－商品成本价（2）商品利润率＝ 商品利润 商品成本价 ×100% （3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量 （4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量 （5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售． 5.存贷问题。 存贷问题中有本金、利息、利息税三个基本量，还有与之相关的利率、本息和、税率等量。
一元一次方程应用题 知能点1：市场经济、打折销售问题 ×100% （1）商品利润＝商品售价－商品成本价（2）商品利润率＝商品利润 商品成本价 （3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量（4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量 （5）商品打几折出售，就是按原价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原价的80%出售． 1. 某商店开张，为了吸引顾客，所有商品一律按八折优惠出售，已知某种皮鞋进价 60元一双，八折出售后商家获利润率为40%，问这种皮鞋标价是多少元？优惠价是多 少元？ 2. 一家商店将某种服装按进价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的进价是多少？ 3.一家商店将一种自行车按进价提高45%后标价，又以八折优惠卖出，结果每辆仍获利50元，这种自行车每辆的进价是多少元？若设这种自行车每辆的进价是x元，那么所列方程为（） A.45%×（1+80%）x-x=50 B. 80%×（1+45%）x - x = 50 C. x-80%×（1+45%）x = 50 D.80%×（1-45%）x - x = 50 4．某商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于5%，则至多打几折． 5．一家商店将某种型号的彩电先按原售价提高40%，然后在广告中写上“大酬宾，八折优惠”．经顾客投拆后，拆法部门按已得非法收入的10倍处以每台2700元的罚款，求每台彩电的原售价．
知能点2：方案选择问题 6．某蔬菜公司的一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元，?经粗加工后销售，每吨利润可达4500元，经精加工后销售，每吨利润涨至7500元，当地一家公司收购这种蔬菜140吨，该公司的加工生产能力是：如果对蔬菜进行精加工，每天可加工16吨，如果进行精加工，每天可加工6吨，?但两种加工方式不能同时进行，受季度等条件限制，公司必须在15天将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种可行方案： 方案一：将蔬菜全部进行粗加工． 方案二：尽可能多地对蔬菜进行粗加工，没来得及进行加工的蔬菜，?在市场上直接销售． 方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成． 你认为哪种方案获利最多？为什么？ 7．某市移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先缴50?元月基础费，然后每通话1分钟，再付电话费0.2元；“神州行”不缴月基础费，每通话1?分钟需付话费0.4元（这里均指市内电话）．若一个月内通话x分钟，两种通话方式的费用分别为y1元和y2元． （1）写出y1，y2与x之间的函数关系式（即等式）． （2）一个月内通话多少分钟，两种通话方式的费用相同？ （3）若某人预计一个月内使用话费120元，则应选择哪一种通话方式较合算？ 8．某地区居民生活用电基本价格为每千瓦时0.40元，若每月用电量超过a千瓦时，则超过部分按基本电价的70%收费。（1）某户八月份用电84千瓦时，共交电费30.72元，求a． （2）若该用户九月份的平均电费为0.36元，则九月份共用电多少千瓦时？?应交电费是多少元？
一元一次方程实际应用题基本等量关系式1、和、差、倍、分问题。 此问题中常用“多、少、大、小、几分之几”或“增加、减少、缩小”等等词语体现 等量关系。审题时要抓住关键词，确定标准量与比校量，并注意每个词的细微差别。 2、等积变形问题。 此类问题的关键在“等积”上，是等量关系的所在，必须掌握常见几何图形的面积、体积公式。“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。常用等量关系为： ①形状面积变了，周长没变；②原料体积＝成品体积。 3、调配问题。 从调配后的数量关系中找等量关系，常见是“和、差、倍、分”关系，要注意调配对象流动的方向和数量。这类问题要搞清人数的变化，常见题型有： ①既有调入又有调出； ②只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变； ③只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变。 4、行程问题。 （1）要掌握行程中的基本关系：路程＝速度×时间（vt S ）。 （2）相遇问题（相向而行），这类问题的相等关系是：各人走路之和等于总路程或同时走时两人所走的时间相等为等量关系。甲走的路程+乙走的路程=全路程。 （3）追及问题（同向而行），这类问题的等量关系是：两人的路程差等于追及的路程或以追及时间为等量关系。 ①同时不同地： 甲的时间=乙的时间
其基本数量关系： 工作总量＝工作效率×工作时间； 合做的效率＝各单独做的效率的和。 当工作总量未给出具体数量时，常设总工作量为“1”。
其基本数量关系是： 利息＝本金×利率×存期； 本息和＝本金＋利息； 利息税＝利息×利息税率； 税后利息＝利息×（1-利息税率） 注意利率有日利率、月利率和年利率，年利率＝月利率×12＝日利率×365。（11）数字问题。 要正确区分“数”与“数字”两个概念，这类问题通常采用间接设法，常见的解题思 路分析是抓住数字间或新数、原数之间的关系寻找等量关系。列方程的前提还必须正确地表示多位数的代数式，一个多位数是各位上数字与该位计数单位的积之和。 （12）年龄问题其基本数量关系： 大小两个年龄差不会变。 如：今年父亲35岁，儿子8岁，年龄差是27岁，n年后，两人的年龄差依然是27岁。 这类问题主要寻找的等量关系是：抓住年龄增长，一年一岁，人人平等。（13）比例分配问题：
一、初一数学一元一次方程解答题压轴题精选（难） 1．某手机经销商购进甲，乙两种品牌手机共 100 部. （1）已知甲种手机每部进价1500 元，售价2000 元；乙种手机每部进价3500 元，售价4500 元；采购这两种手机恰好用了 27 万元 .把这两种手机全部售完后，经销商共获利多少元？ （2）已经购进甲，乙两种手机各一部共用了5000 元，经销商把甲种手机加价50%作为标价，乙种手机加价 40%作为标价. 从 A，B 两种中任选一题作答： A：在实际出售时，若同时购买甲，乙手机各一部打九折销售，此时经销商可获利1570 元.求甲，乙两种手机每部的进价. B：经销商采购甲种手机的数量是乙种手机数量的 1.5 倍.由于性能良好，因此在按标价进行销售的情况下，乙种手机很快售完，接着甲种手机的最后10 部按标价的八折全部售完.在这次销售中，经销商获得的利润率为 42.5%.求甲，乙两种手机每部的进价. 【答案】（1）解：设购进甲种手机部，乙种手机部， 根据题意，得 解得： 元. 答：销商共获利元. （2）解：A: 设每部甲种手机的进价为元，每部乙种手机的进价元， 根据题意，得 解得： 答：求甲，乙两种手机每部的进价分别为：3000元，2000元. B:乙种手机：部，甲种手机部， 设每部甲种手机的进价为元，每部乙种手机的进价元， 根据题意，得
解得： 答：求甲，乙两种手机每部的进价分别为：2000元，3000元. 【解析】【分析】（1）甲的单价乘以部数加上乙的单价乘以部数等于总数，根据题意列出，然后解方程得到结果。(2)A 根据进价加利润等于甲和乙的售价，列出方程B 先求出甲乙的部数，表示出甲乙的标价，列出关系式，50部甲×甲的标价+10部甲×甲标价的八折+40部乙×乙的标价=利润率乘以成本，即可解出结果。 2．如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC=30°，将一直角三角板（∠M=30°）的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的上方． （1）将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周．如图2，经过t秒后，OM恰好平分∠BOC．①求t的值；②此时ON是否平分∠AOC？请说明理由； （2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多长时间OC平分∠MON？请说明理由； （3）在（2）问的基础上，经过多长时间OC平分∠MOB？请画图并说明理由． 【答案】（1）解：①∵∠AON+∠BOM=90°，∠COM=∠MOB， ∵∠AOC=30°， ∴∠BOC=2∠COM=150°， ∴∠COM=75°， ∴∠CON=15°， ∴∠AON=∠AOC﹣∠CON=30°﹣15°=15°， 解得：t=15°÷3°=5秒； ②是，理由如下： ∵∠CON=15°，∠AON=15°， ∴ON平分∠AOC （2）解：15秒时OC平分∠MON，理由如下：
一元一次方程 方程的有关概念 夯实基础 一．等式 用等号（“=”）来表示相等关系的式子叫做等式。 温馨提示 ①等式可以是数字算式，可以是公式、方程，也可以是运算律、运算法则等，所以等式可以表示不同的意义。 ②不能将等式与代数式混淆，等式含有等号，是表示两个式子的“相等关系”，而代数式不含等号，它只能作为等式的一边。如x x 2735-=+才是等式。 二．等式的性质 性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。即如果b a =，那么c b c a ±=±。 性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。即如果 b a =，那么b c ac =；如果b a =()0≠c ，那么 c b c a =。 温馨提示 ①等式类似天平，当天平两端放有相同质量的物体时，天平处于平衡状态。若在天平的两端各加（或减）相同质量的物体，则天平仍处于平衡状态。所以运用等式性质1时，当等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式时，才能保证所得的结果仍是等式，应特别注意“都”和“同一个”。如31=+x ，左边加2，右边也加2，则有2321+=++x 。 ②运用等式的性质2时，等式两边不能同除以0，因为0不能作除数或分母。 ③等式性质的延伸：a.对称性：等式左、右两边互换，所得结果仍是等式，即如果b a =，
那么a b =。b.传递性：如果c b b a ==,，那么c a =（也叫等量代换）。 例1：用适当的数或整式填空，使所得的结果仍为等式，并说明根据等式哪一条性质，以及怎样变形得到的。 （1）如果 51134=-x ，那么+=53 4 x ； （2）如果c by ax -=+，那么+-=c ax ； （3）如果4 3 34=-t ，那么=t 。 三．方程 含有未知数的等式叫做方程。 温馨提示 方程有两层含义： ①方程必须是一个等式，即是用等号连接而成的式子。 ②方程中必有一个待确定的数，即未知的字母，这个字母就是未知数。如12=+x 。 四．方程与等式的区别与联系 五．方程的解与解方程
教学设计 一、内容和内容解析 1．内容 利用合并同类项解一元一次方程，用方程模型解决实际问题． 2．内容解析本章的教学内容是“解一元一次方程”和“列一元一次方程”．安排顺序是“先列-- 后解”，即先从实际情境中抽象出一元一次方程的模型，将实际问题转化成数学问题，然后再讨论所得到的一元一次方程的解法，这样的安排可以自然地反映出所讨论的内容来自于生产和生活的需要，使学生经历把实际问题转化为一元一次方程问题的过程，从中体会到方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，初步形成模型思想，逐步积累基本数学活动经验． 解方程是初中数学的核心内容，其中合并同类项是解一元一次方程的基本步骤之一．通过合并同类项可以把一元一次方程中含未知数的项和常数项分别合并成一项，将方程转化成mx n（m 0）的形式，当m≠1 的时候再利用等式性质 2 将含有未知数的项的系数化为1，从而使方程向x a （常数）的形式进行转化. “解方程”就是将复杂的方程转化成x a （常数）的形式，其中化归思想起了指导作用. 化归的思想在以后二元一次方程组、一元一次不等式、分式方程、一元二次方程的解法中都有所体现. 方程和方程思想是中学数学的主干知识，解方程以及列方程解决实际问题是中学数学的基本功，学习方程的知识和解方程的技能，学会用方程模型解决实际问题是学生在中学阶段获得基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验的重要内容，也是培养数学核心素养不可或缺的素材． 基于以上分析，确定本节课的教学重点是：确定实际问题中的相等关系，设未知数，列出一元一次方程；并利用合并同类项解一元一次方程． 二、目标和目标解析 1．目标 （1）了解解方程的基本目标（使方程逐步转化为x a 的形式），掌握利用合 并同类项解一元一次方程，体会解法中蕴含的化归思想，进一步提高运算能力．（2）能够根据具体问题中的相等关系列出一元一次方程，建立符号意识，逐步体会模型思想． 2．目标解析 达成目标（1）的标志是：理解合并同类项的依据和合并同类项的必要性；给定一个一元一次方程，能够准确地进行合并同类项解方程．了解合并同类项的作用是简化方程，使方程向x a （常数）的形式转化，在此过程中体会化归思想. 讨论一元一次方程的解法时，会直接应用有理数的运算，还会应用“合并同
初中数学试卷 1．用适当的数填空： ①、x2+6x+ =（x+ ）2； ②、x2－5x+ =（x－）2； ③、x2+ x+ =（x+ ）2； ④、x2－9x+ =（x－）2 2．将二次三项式2x2-3x-5进行配方，其结果为_________． 3．已知4x2-ax+1可变为（2x-b）2的形式，则ab=_______． 4．将一元二次方程x2-2x-4=0用配方法化成（x+a）2=b的形式为_______，?所以方程的根为_________． 5．若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m的值是（） A．3 B．-3 C．±3 D．以上都不对 6．用配方法将二次三项式a2-4a+5变形，结果是（） A．（a-2）2+1 B．（a+2）2-1 C．（a+2）2+1 D．（a-2）2-1 7．把方程x+3=4x配方，得（） A．（x-2）2=7 B．（x+2）2=21 C．（x-2）2=1 D．（x+2）2=2 8．用配方法解方程x2+4x=10的根为（） A．2±10 B．-2±14 C．-2+10 D．2-10 9．不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x-4y+7的值（） A．总不小于2 B．总不小于7 C．可为任何实数 D．可能为负数 10．用配方法解下列方程：
（1）3x 2-5x=2． （2）x 2+8x=9 （3）x 2+12x-15=0 （4）4 1 x 2 -x-4=0 11.用配方法求解下列问题 （1）求2x 2-7x+2的最小值 ； （2）求-3x 2+5x+1的最大值。 一元二次方程解法练习题 一、用直接开平方法解下列一元二次方程。 1、0142 =-x 2、2)3(2=-x 3、()512 =-x 4、()162812 =-x 二、 用配方法解下列一元二次方程。 1、.0662=--y y 2、x x 4232=- 3、9642=-x x
学习好资料 欢迎下载 一元一次方程等量关系 方法一：根据常见的公式寻找等量关系 1、 工作问题和工程问题 （ 1） 单人工作：工作总量＝工作效率 ×工作时间 （ 2） 多人合作：甲的工作总量 +乙的工作总量 +。。。。。。＝工作总量 【例】 某工作甲单独做 4 天完成，乙单独做 8 天完成。现甲先做 1 天，然后和乙共同完成余 下工作。问甲一共做了几天？ 甲单独一天可以完成总量的 1/4，乙单独一天完成 1/8;甲干 1 天后剩余： 1-1*1/4=3/4 设甲乙 共同完成余下的需要 X 天则 X*(1/4+1/8)=3/4 解得 X=2 天所以甲一共干了： 1+2=3 天 【例】 一项工程，甲队独做要 120 天完成，如果甲队先做 10 天，乙队再做 5 天，就可以完 成这项工程的 5 ，乙队单独做这项工程需要多少天？ 24 解：设乙队的工作效率为 X ，得： 5X+10/120=5/24 解得 X=1/40 答：乙队单独做这项工程需 要40天 2、 行程问题 路程＝速度 ×时间（特别注意：两地的距离不变） （1）追击问题： ① 同时不同地出发：前者走的路程 +两地间距离＝追者走的路程 前者走的时间＝追者走的路程 ② 同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程 前者走的时间＝追者走的时间 +等待时间 【例】甲乙两地路程为 180 千米 ,一人骑自行车从甲地出发每小时走 15 千米 ,另一人骑摩托车 从乙地出发。已知， 摩托车速度是自行车速度的 3 倍，若两人同向而行，骑自行车在先且出 发 2 小时，问摩托车经过多少时间追上自行车？解：设摩托车经过时间 x 追上自行车 自行车行驶的路程： S 自 =15* （ x+2 ） 摩托车行驶的路程： S 摩 =15*3x 由于 S 自=S 摩 +180， 代入数据，得 x=7 答：摩托车 7 小时追上 【例】甲乙两人都以不变的速度在 400 米环形跑道上跑步， 两人在同一地方同时出发同向而行，甲的速度为 100 米 /分，乙的速度是甲速度的 3/2 倍，问经过多长时间后两人首次相遇？第二次相遇呢？ 首先要相遇，肯定是乙超了甲足足一圈乙的速度： 间为 X150X-100X=400X=8 设第二次相遇经过时间为 100*3/2=150m/min 设第一次相遇经过时 Y150Y-100Y=400*2Y=16